===================================================

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 1 av 9 Avstånsbeäkning AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avstånet mellan två punkte Låt A = ( x1, och B = ( x, y, z ) vaa två punkte i ummet Avstånet mellan A och B ä = AB = ( x z x1) + ( y y1) + ( z 1) A B =================================================== Avstånet fån en punkt till ett plan Låt π vaa ett plan vas ekvation ä skiven på fomen Ax + By + Cz + D = 0 och låt P ( x1, vaa en given punkt Meto1: Avstånet fån punkten P = ( x1, till planet Ax + By + Cz + D = 0 ä Ax1 + By1 + D = Q A + B + C Meto: Linjen L genom P vinkelät mot planet ha ekvationen,,,, Om vi beteckna me Q skäningspunkten mellan linjen L och planet π å ä avstånet =================================================== Avstånet fån en punkt till en ät linje Meto1: Avstånet fån punkten A = ( x1, till en linje som gå genom P=,, och ha iktningsvekton, ä PA v = v P B A

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR av 9 Avstånsbeäkning Anmäkning: Den hä fomeln beäkna avstånet som höjen av paallellogammen som späns upp av vektoena v och PA, vs PA aean v = = basen v Meto: Vi kan bestämma en punkt B på linjen,,,, som ligge nämast punkten A genom att använa villkoet 0 och äefte beäkna Exempel: Beäkna avstånet fån punkten A = (,3,8) till linjen L: ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) Lösning : Låt B vaa en punkt på linjen L Då ha B kooinate,, 6 Om punkten B ligge på linjen nämast punkten A å gälle ( se bilen ovan) 0 Eftesom, 1, och 1,1,0 få vi fån (*) 1 0 0 1/ Däfö, 1, 1/, 1/, och Anmäkning: Punkten B = (5/,5/,6), kan också beäknas genom att substituea t 1/ i B t, t, 6 =================================================== Meto3: Vi kan bestämma en punkt B på linjen L:,,,, som ligge nämast punkten A genom att föst bestämma ekvationen fö planet Π som gå genom A vinkelät mot L Däefte bestämme vi B som skäningspunkt mellan planet Π och linjen L: Exempel: Beäkna avstånet fån punkten A = (,3,8) till linjen L: ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0) A P B Π

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 3 av 9 Avstånsbeäkning Lösning : Planet Π ha en nomalvekto och äfö ä planets ekvation: 1 1 3 0 8 0 elle 5 0 Vi substituea linjens ekvatione,, 6 i planets ekv och få 5 0 1/ Skäningspunkten ä äfö 5/, 5/, 6 Häav 1/, 1/, och äme 3 Meto4: Vi kan bestämma en punkt B på linjen L:,,,, som ligge nämast punkten A genom att föst bestämma pojektionen av vekton PA på linjen L, ä P= x, y, ) ( 0 0 z 0 Exempel: a) Bestäm en punkt B på linjen L: ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) som ligge nämast punkten A = (,3,8) b) Beäkna äefte avstånet fån punkten A till linjen L a) Vi ha P=(,,6) och A= (,3,8), v = (1,1,0 ) Låt u = PA = (0,1, ) å gälle, enligt pojektionsfomeln PB = poj v u v 1 ( u ) = v = (1,1,0 ) = v v 1 1 5 5 Däfö OB = OP+ PB = (,,6) + (,,0) = (,,6) ; 5 5 me ana o B= (,,6) 1 1 1 1 18 b) Eftesom AB = (,, ) ha vi AB = + + 4 = = 4 4 4 3 1 (, 1,0 )

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 4 av 9 Avstånsbeäkning Avstånet mellan två paallella äta linje Välj en punkt A på t ex linjen L 1 och beäkna avstånet fån punkten A till linjen L L L 1 =================================================== Avstånet mellan två icke-paallella äta linje Låt L 1 och L vaa två äta linje genom P 1 och P me iktningsvektoe v 1 och v Låt N vaa en nomalvekto till båe L 1 och L, t ex N = v 1 v Avstånet mellan linjena ä N = P1 P o N L 1 P 1 L P Uppgift 1 Planet 6 x + y + 3z = 6 skä kooinataxlana i punktena A, B och C Bestäm omketsen av tiangeln ABC Skäningen me x-axeln få vi om vi substituea y = 0 och z = 0 i ekvationen: 6 x + 0 + 0 = 6 x = 1 z C B A y x

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 5 av 9 Avstånsbeäkning Alltså ä A=(1, 0, 0) På samma sätt få vi B= (0, 3, 0) och C=( 0,0, ) Häav: AB = ( 1,3, 0) och AB = 10, AC = ( 1,0, ) och AC = 5, BC = ( 0, 3, ) och BC = 13 Däme ä omketsen av tiangeln ABC lika me 10 + 5 + 13 Sva: 10 + 5 + 13 Uppgift Bestäm avstånet fån punkten A = (1,, 3) till planet x + 5y = 4z Föst skive vi planets ekvation på fomen Ax + By + Cz + D = 0 Alltså x + 5y + 4z + = 0 Avstånet fån punkten A till planet ä Ax1 + By1 + D 1 + 5 ( ) + 4 3 + 6 6 = = = = = A + B + C + 5 + 4 45 3 5 5 5 Sva: (= ) 5 5 Uppgift 3 Linjen ( x, y, = (1,1,1) + t(,1,1 ) skä planet x + y + z 7 = 0 i en punkt A Bestäm avstånet fån punkten A till planet x + 3y + 4z + 10 = 0 Vi substituea x = 1 + t, y = 1 + t, z = 1 + t i ekvationen x + y + z 7 = 0 och få t = 1 Alltså ä skäningspunkten A=(3,,) Avstånet fån punkten A till et ana planet x + 3y + 4z + 10 = 0 ä Ax1 + By1 + D 3 + 3 + 4 + 10 30 = = = A + B + C + 3 + 4 9 Sva: 30 9 Uppgift 4 Bestäm avstånet mellan följane (paallella) plan x + y + z = 5 och x + y +z = 0 Ovanståene plan ä paallella eftesom e ha paallella nomalvektoe, ( faktisk samma nomalvekto (,,1) en hä gången)

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 6 av 9 Avstånsbeäkning Vi välje en punkt på fösta planet t ex P(1,1,1) och använe fomeln Avstånet fån punkten A = ( x1, Ax1 + By1 + D till planet Ax + By + Cz + D = 0 ä = A + B + C Ax1 + By1 + D 1+ 1+ 1 1+ 0 5 I våt fall = = = A + B + C + + 1 3 5 Sva: = 3 Uppgift 5 Linjen ( x, y, = (0,1,) + t(1,1,3 ) skä planet x + y + z 13 = 0 i en punkt A Bestäm avstånet fån punkten A till linjen ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) Vi substituea x = 0 + t, y = 1 + t, z = + 3t i ekvationen x + y + z 13 = 0 och få t = Skäningspunkten ä A=(,3,8) Fö att beäkna avstånet fån punkten A till linjen ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) använe vi fomeln v = v Vi välje en punkt på en ana linjen t ex P=(,,6) och bila vekton PA = (0,1, ) Linjens iktningsvekto ä v = (1,1,0 ) v PA = (,,1) Avstånet fån punkten A till linjen ( x, y, = (,,6) + t(1,1,0 ) ä v 9 3 = PA = = v Sva: 3 3 (= ) Uppgift 6 Bestäm avstånet fån punkten A =(1,,3) till skäningslinjen mellan två plan x + y + z = och x + y + z = 3 föst bestämme vi skäningen mellan planen: x + y + z = [( 1) ekv1 + ekv] x + y + z = 3 x + y + z = y + z = 1 Vi betakta z som en fivaiabel, beteckna z=t och få

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 7 av 9 Avstånsbeäkning x = 1 y = 1 t z = t Alltså skä e två plan längs en linje Fö att beäkna avstånet fån punkten A =(1,,3) till linjen ( x, y, = (1,1,0) + t(0, 1,1 ) använe vi fomeln PA v = v ä P=(1,1,0) och v = ( 0, 1,1 ) Häav PA = (0,1,3 ) och v PA = (-4,0,0) Avstånet fån punkten A till linjen ä v 4 = PA = = v Sva: Uppgift 7 Bestäm avstånet mellan följane linje ( x, y, = (1,1,4) + t(1,1,3) och ( x, y, = (1,1,1) + t(,,6) Linjenas iktningsvektoe v 1 = ( 1,1,3) och v = (,,6) ä paallella eftesom v = v 1 Däfö välje vi en ( vilken som helst) punkt på en linje och beäkna avstånet fån enna punkt till en ana linje Vi välje A=(1,1,4) och använe fomeln PA v =, ä P=(1,1,1) och v = v =(,,6) v Häav PA = (0,0,3) och v PA = (6,-6,0) Avstånet fån punkten A till linjen ä v 6 3 = PA = = v 11 11 Sva: 3 11 Uppgift 8 Bestäm avstånet mellan följane linje ( x, y, = (1,1,1) + t(1,,1) och ( x, y, = (1,3,4) + t(,,0)

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 8 av 9 Avstånsbeäkning Linjena ha iktningsvektoe v 1 = ( 1,,1) och v = (,,0) Vekto N = v 1 v =(-,,-) ä vinkelät mot båa linje Vi välje en punkt på vaje linje Låt P 1 =(1,1,1) och P =(1,3,4) Då P 1P =(0,,3) Avstånet ä N 1 3 = P1 P o = = N 3 3 Sva: = 3 3 Uppgift 9 Vi betakta två linje L1: ( x, y, = (7, 3, 4) + t(, 1, 0) och L: ( x, y, = (1, 0, 1) + s(0, 1, 1) a) Bestäm e två punkte P, Q på L1 espektive L som ligge nämast b) Beäkna äefte (et kotaste) avstånet mellan linjena L1 och L L 1 P Q L Linjena ha iktningsvektoe v 1 = (,1, 0) och v = ( 0, 1,1) Punkte P och Q ligge nämast om PQ ä vinkelät mot båe v 1 och v, vs om PQ v 1 =0 och PQ v =0 Punkten P ligge på L1 och äfö få vi punktens kooinate fö ett väe på paamete t Alltså ha P kooinate P( 7 t, 3 + t, 4) Punkten Q ligge på L och äfö ha Q kooinate Q( 1, s, 1 + s) : Däme PQ = ( t 6, s t 3, s 3) Fån PQ v 1 =0 ha vi 4t + 1 s t 3 =0 ( ekv1)

Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 9 av 9 Avstånsbeäkning Fån PQ v =0 ha vi s + t + 3 + s 3 =0 ( ekv) Vi löse systemet: 5t s +9=0 ( ekv1) t+ s =0 ( ekv) och få s = 1 och t= Häav P( 3,5,4) och Q( 1,1,0) och Avstånet = PQ = 4 + 16 + 16 = 6 Sva: a) P( 3,5,4) och Q( 1,1,0) b) =6 PQ = (, 4, 4)