Kntrllskrivning Intrduktinskurs i Matematik HF09 Datum: 9 aug 014 Versin B Kntrllskrivningen ger maimalt 1p. För gdkänd kntrllskrivning krävs 6p Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar! Inga hjälpmedel tillåtna. Inga tabesök eller andra raster under den här kntrllskrivningen. Skrivtid: :15-1:15. Skriv din klass på mslaget (TIMEL1, TIELA1, TIDAA1, TIBYH1A, TIBYH1B eller TIBYH1C). Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar. 4 5 ( y ) 1. Beräkna ch förenkla så långt sm möjligt. Svara på frmen ( y). Lös ekvatinen c d = ( där vi antar att cd 0) d c cd med avseende på ch ange vilket av följande svar är krrekt: m n p y (1p) (1p) A) = c B) = d C) = c + d D) = c d E) = c d F) = c + d G) = 1 H) ingen av A-G är krrekt 3. Faktrisera uttrycket d + 4d + 3 så långt sm möjligt. (1p) 4. Lös ekvatinssystemet (1p) 5 7y = 0 3 4y = 0 5. Lös ekvatinen 3 5 = 8. (1p) 6. Lös ekvatinen lg( + 1) + lg = 1. (1p) Var gd vänd!
r r r 7. I nedanstående figur gäller F = F 1 + F. Vinkeln mellan F r 1, F r ch den (p) hrisntella (vågräta) aeln är 60 respektive 30 (se figuren). Bestäm strleken av F r y m F 1 = 4 N ch F =6 N. ( F r y är den kmpsant av resultanten F r sm är parallell med y-aeln) 8. Bestäm derivatan till följande funktiner: (p) a) f ( ) = 8 cs b) f ( ) = 11 + 9 4 3 6 16 + 1 9. Betrakta funktinen G( ) =. (p) 4 a) Bestäm funktinens statinära punkter. b) Bestäm punkternas typ (maimipunkt, minimipunkt eller terrasspunkt). Lycka till!
FACIT 4 5 ( y ) 1. Beräkna ( y) 4 5 8 ( y ) y = = 4 ( y) y Versin B ch förenkla så långt sm möjligt. Svara på frmen 8 y 4 y = 4 y 8 6 m n p y (1p) 4 8 6 Svar: y. Lös ekvatinen c d = ( där vi antar att cd 0) d c cd med avseende på ch ange vilket av följande svar är krrekt: (1p) A) = c B) = d C) = c + d D) = c d E) = c d F) = c + d G) = 1 H) ingen av A-G är krrekt c d = c d = c d ( c d) = ( c d )( c + d ) d c cd ( c d )( c + d ) ( c d ) = ( c d )( c + d ) = ( m c d 0 ) ( c d ) = c + d Svar: Krrekt svar är C), = c + d ( Om cd 0 ch c d 0 ) 3. Faktrisera uttrycket d + 4d + 3 så långt sm möjligt (1p) Metd 1. Frmeln a + b + c = a( 1)( ) : Först d 1, = ± 4 3 d1, = ± 1 d1 = 1, d = 3. Därför d + 4d + 3 = 1( d + 1)( d + 3) Svar: ( d + 1)( d + 3) Metd. Först kvadratkmplettering: d + 4d + 3 = d + d + + 3 = d + därefter knjugatregeln = d + 1 d + + 1 = d + 1 d + 3 Svar: ( d + 1)( d + 3) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1
4. Lös ekvatinssystemet (1p) 5 7y = 0 3 4y = 0 Multiplicera den övre ekvatinen med faktrn 3 ch den nedre ekvatinen med faktrn (-5) 15 1y 6 = 0 15 + 0y = 0 Addera ekvatinerna ledvis y 6 = 0 y = 6 Sätt y = 6 i den nedre ekvatinen 3 4y = 0 ger = 8 = 8 Svar: y = 6. 5. Lös ekvatinen 3 5 = 8. (1p) 8 3 5 = 8 5 = {lgaritmera} 3 Svar: lg8 lg3 = lg5 Anmärkning: Det finns flera ekvivalenta svar t e lg8 lg3 lg5 = lg8 lg3 = lg5 lg(8/ 3), lg5 ln(8/ 3) ln5, lg 5 (8/3),... 6. Lös ekvatinen lg( + 1) + lg = 1 (1p) (Anmärkning: ekvatinen är definierad m +1>0 dvs m > 1) lg( + 1) + lg = 1 lg(( + 1)) = 1 ( + 1) = = 8 = 4 (ntera att > 1) Svar: = 4 r r r 7. I nedanstående figur gäller F = F 1 + F. Vinkeln mellan F r 1, F r ch den hrisntella (vågräta) aeln är 60 respektive (p) 30 (se figuren). Bestäm strleken av F r y m F 1 = 4 N ch F =6 N. ( F r y är den kmpsant av resultanten F r sm är parallell med y-aeln)
i) y-krdinaten för F r 4 3 4 3 1är 4 sin(60 ) = = = 3 ii) y-krdinaten för F r 6 är 6 sin(30 ) = = 3 Därför F = 3 + 3 N Svar: y y F = 3 + 3 N Rättningsmall: Rätt metd samt hittar rätt y-krdinaten för en av F r 1, F r ska ge 1 päng. Allt krrekt ger p. 8. Bestäm derivatan till följande funktiner: (p) a) f ( ) = 8 cs b) f ( ) = 11 + 9 a) Använd prduktregeln ( f g) = f g + f g f ( ) = 8 cs + 8 ( sin ) = 8 cs 8 sin b) Skriv först m funktinsuttrycket: 1 ln11 ln11 f ( ) = 11 + 9 = ( e ) + 9 = e + 9. 1 3 1 ln11 Derivera term för term: f ( ) = e ln11 ( ) = 11 ln11+ 1. Svar: a) f ( ) = 8 cs 8 sin b) f ( ) = 11 ln11+ 1 Rättningsmall: 1 päng vardera för a) ch b). Rätt eller fel (svaret måste dck inte förenklas så långt sm möjligt).
4 3 6 16 + 1 9. Betrakta funktinen G( ) =. (p) 4 a) Bestäm funktinens statinära punkter. b) Bestäm punkternas typ (maimipunkt, minimipunkt eller terrasspunkt). 4 3 4 3 6 16 + 1 G ( ) = = +. 4 4 3 3 Första derivatan: G ( ) = + = ( + 1) G ( ) = 0 ( + 1) = 0 = 0 eller + 1 = 0. + 1 = 0 = 1± 1 1 = 1 (dubbelrt). Andra derivatan: G ( ) = 3 4 + 1 Två statinära punkter: = 0 ch = 1 i) Punkten =0 : G (0) = 1 > 0 =0 är en minimipunkt. ii) Punkten = 1 : G (1) = 0 Punktens typ går ej att bestämma med andraderivatans tecken. Därför använder vi metden med förstaderivatans teckentabell: 0 1-0 + + + (-1) + + + 0 + G () = (-1) - 0 + 0 + G () MIN TERRASS Svar: a) Statinära punkter är = 0 ch = 1. b) = 0 är en minimipunkt medan = 1 är en terrasspunkt. Rättningsmall: Rätt a ger 1 päng. Rätt b ger 1 päng