Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

Relevanta dokument
1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Kap Implicit givna funktioner

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Provtentamen i Matematik 2, 5B1116, för B,E,I,IT,M,Media och T, ht 2001

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

SF1626 Flervariabelanalys

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

5 Lokala och globala extremvärden

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.

Lösning till kontrollskrivning 1A

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

2x ex dx. 0 = ln3 e

4 McLaurin- och Taylorpolynom

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Flervariabelanalys. Problemsamling. December Matematiska institutionen vid Linköpings universitet

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

2x + 3y + z = 2 x + 2y + z = a x 2y 3z = 1

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

Campus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

Sätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

Antag att du går rakt norrut i ett bergslandskap. Ibland går du uppför, ibland nerför men hela tiden rakt mot norr. Vi kallar detta bäring 0.

Lokala undersökningar

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.

1 Koordinattransformationer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

Repetitionsuppgifter

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kap Dubbelintegraler.

Kontrollskrivning 1A

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

Partiella differentialekvationer av första ordningen

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

En normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

MA2001 Envariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

= 0 genom att införa de nya

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13

Sidor i boken KB 6, 66

x 1 1/ maximum

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

Typuppgifter på TATA69

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Tentamen: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Differentialens geometriska betydelse

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Transkript:

Uppgifter inför KS4 den 11 april 011. Matematik II för CL. SF1613. 1. En humla flyger längs kurvan (given på parameterform) x = t,y = t 3, t " 0. Då t = 1 upptäcker humlan en blomma i punkten (5,3) och flyger istället iväg längs tangenten. Kommer humlan fram till blomman? (t= tiden).. Låt F(t) = (lnt, t, t ). Bestäm längden av F(t) mellan t = 1 och t = e. 3. Bestäm tangenterna till F(t) i uppgift då t = 1 och t = e samt bestäm vinkeln mellan dessa. 4. Bestäm ekvationen för a) tangentplanet b) normalen till ytan x yz + 3y = xz " 8z i punkten (1,,-1). 5. Ytorna x + y + z = 3 och x " y + z = skär varandra längs en rymdkurva. Bestäm normalplanet och tangenten till kurvan i punkten (1,1,1) 6. Ytorna x " yz + y 3 = 4 och x +1 = ( - 4a)y + az skär varandra i punkten (1,-1,). För vilka värden på a skär de varandra vinkelrätt? 7. Bestäm riktningsderivatan för f(x,y,z) =(y + sin z)e "x i punkten (0,," ) i riktning mot punkten (1,1,0). 8. Bestäm riktningsderivatan till F = x yz längs kurvan x = e "u,y = sin u +1,z = u " cosu i punkten P då u = 0. 9. Temperaturen i en punkt på xy-planet är T= 100xy x + y. a) Bestäm riktningsderivatan i punkten (,1) i den riktning som bildar 60 graders vinkel med positiva x-axeln. b) I vilken riktning tagen från (,1) är derivatan maximal? c) Vilket är max.värdet? 10. En bit metall upptar området 0<x<1, 0<y<1 i xy-planet. Metallens temperatur är känd som T = xy(1" x)(1" y). I vilken riktning skall en insekt som befinner sig i punkten ( 1 4, 1 ) flyga för att svalna så snabbt som möjligt. 3

11. En bergsklättrare befinner sig i punkten (1,1,) på berget z = 4 " x " y och bestämmer sig för att gå i nordostlig riktning. Går hon uppför eller nedför berget? 1. Bestäm genom att införa variablerna differentialekvationen y f x " + x f y " + f z " = 0. u = (x + y)e "z $ v = (x " y)e z & w = z den allmänna lösningen till 13. Transformera "z "x då z = z(x, y) och x = u + v, y = 1 (u " v ). 14. Transformera " z "x"y då a) " u = x + y $ v = x + 3y b) x = v + ln u $ y = "v + ln u. 15. Transformera följande uttryck med angivet variabelbyte: a) " z "x + " z "y då u = ax " by $ v = bx + ay b) " z "x " z "y "z "x + "z "y = 0 då x = u + v $ y = u " v c) " z "x + y " z "x"y = 0 då " x = u + e v $ y = e u. 16. Bestäm MacLaurinpolynomet av andra graden till funktionen e a) ln(1+ x + y ) b) e xy cos(x + y) c) x +y cos(x " y) 17. Taylorutveckla f(x,y) = ln(x + y )" y + omkring punkten (0,1) t o m andra graden. 18. MacLaurinutveckla f(x,y) = sin(x + y)+ e xy t o m tredjegradstermerna. 19. Bestäm MacLaurinutvecklingen av ordning 3 med ordorestterm av funktionerna a) xy " x + xy 3 b) ln(x + cos y)

sin 0. Beräkna gränsvärdet a) x + sin y lim b) lim (x,y)"(0,0) x + y (x,y)"(0,0) x + y 1 cos x cos y. 1. Vilka av följande kvadratiska former "(h,k,l) är definita, indefinita eller semidefinita? a) (h + k) b) h + k + kl c) h + k + l + hk d) h + k + l + hk + hl. Bestäm lokala extremvärden till följande funktioner då f(x,y) är given av a) x 3 + y " 6xy b) x 3 " y 3 " 3xy c) x 3 + y " xy " y 3. Avgör om följande funktioner är linjära. Ange i sådana fall funktionens matris. a) f (x, y) = (x + y, x + y, y) T b) f (x, y) = x + y!1 4. Bestäm Jacobimatrisen till : a) " x = 1 (u! v ) & $ y = uv ' b) f (x,y,z) = (x + yz,y " x ln z) u = x + e 5. Visa att funktionen f : v = y e x x y y,,, u v u v y x är lokalt inverterbar och beräkna de partiella derivatorna svarande mot punkten (x,y)=(0,0). Beräkna även inversens Jacobimatris svarnade mot denna punkt. 6. En yta definieras genom ekvationen 3xyz z 3 = 10. Visa att det finns en omgivning av punkten (1,3,) där ytan kan uppfattas som en graf till en ' kontinuerligt deriverbar funktion z = z(x,y). Bestäm z x och z 'y i punkten (1,3).

7. Beräkna '' z xy för den funktion z=z(x,y) som i någon omgivning av punkten 3 3 3 (1,1,1) definieras medelst ekvationen x + y + z + x + y + z = 6. x + y = 0 8. Visa att ekvationssystemet 3 x + y + z = 0 definierar i en omgivning av punkten (-,1,1) precis två kontinuerligt deriverbara funktioner y=y(x) och z=z(x). Beräkna y (-). 9. Kan summan av tre positiva tal vara 5 om deras produkt är 8? 30. Bestäm största och minsta värdet av funktionen f given av f ( x, y) = x xy + y y i den slutna triangeln med hörnen i punkterna (,-), (,3) och (-3,-). 31. Samma uppgift som i 30 men med f given av f ( x, y) = xy + 3x 5y i mängden x y x. + z 3

Svar: 1 1. nej. + e 1 3. Tangenten då t = 1 är (x,y,z) =(t, +t, + t ) och tangenten då t = e är (x,y,z) = (1+ 1 e t, e + 1 e t,e + t ). Vinkeln mellan tangenterna är arccos(4 + 4 e + e ) 3( + e). 4. a) 6x -11y - 14z + = 0 b) (x,y,z) = (1,,-1) +t(-6,11,14) 5. 3x-y-z = 0 och (x,y,z) = (1,1,1) + t(3,-1,-) 6. För alla a-värden 7. " 8" + 8. " 6 9. a) 1 3 " 6 b) (-1,) c) 1 5 10. (" 1 9," 1 16 ) = "(1 9, 1 16 ) 11. nedför berget ( 1. f (x, y,z) = g((x + y)e"z,(x " y)e z ). 13. 14. a) " z "u + 7 " z "u"v + 6 " z "v. b) u " z "u " z "v + u "z "u. df de = " ) v "z v + u "u + u "z v + u "v 15. a) (a + b )( " z "u + " z "v ) b) " z "u"v "z "v = 0 c) " z "u"v = 0 16. a) x " 1 x + y b) 1" 1 x " 1 y c) 1+ x + y + x + y 17. f(x,y) = x " (y "1) + R

18. f(x,y) = 1+ y + x + xy " y3 6 + R 3 19a) xy " x + O(r 4 ) b) x " 1 x " 1 y + 1 3 x 3 + 1 xy + O(r 4 ) 0a) 1 b) 1. a) Positivt semidefinit b) Indefinit c) Positivt semidefinit d) Positivt definit ty: 1 a) "(h,k,l) " 0 för alla h,k,l och =0 om h=-k b) "(h,k,l) = h + (k + l ) l antar både positiva och negativa värden: 4 "(h,0,0) > o, om h " o, "(0,k,k) < 0 om k " 0. c) "(h,k,l) = (h + k) + l d) "(h,k,l) = (h + k) + (h + 1 l) + 3 4 l. a) Min =-108 i (6,18) b) Min= -1 i (1,1) c) Min = " 7 16 i(1, 3 4 ) 3a) linjär! 1 1$ 1 & " 0 1 b) ej linjär " 4. a) J = $ u!v v u & b) x z y & ( $ "ln z y "x /z' 1 1 xu = yu = yv `= x v = 5.,, J f 1 = 1 1 1 1 1 6. z ' 6, ' = x z. = y 7..-3/ 8. -1/5 9. nej 30. -1; 4. 31. -34; 13/7