3 arameterframställningar Från och med nästa kapitel kommer mcket av vårt fokus ligga på olika integraluttrck med vektorvärda funktioner. Vi kommer eempelvis studera integreringen av vektorfält både längs med rmdkurvor och över tor. Som förberedelse förs i detta kapitel en lite längre diskussion om hur just rmdkurvor och tor bör behandlas. Visserligen har vi redan stött på rmdkurvor som hastigast i tidigare kapitel, men den mer utförliga analsen har vi valt att spara till nedan. 3.1 Rmdkurvor Rmdkurvor kan parametriseras med hjälp av en vektorvärd funktion av endast en variabel. För att beskriva en kurva i rummet kan vi, eempelvis, föreställa oss en partikel som färdas längs dess väg. Vid tiden t befinner sig partikeln vid en punkt i rummet, som ges av ortsvektorn r = r(t). Genom att variera t, ser vi hur partikeln vandrar längs de punkter som bgger upp vår rmdkurva. Q du a b u r=r(u) r(b) r(a) dr Betrakta nu en stckvis glatt och orienterad rmdkurva, mellan punkt och Q (se figuren ovan). För att beskriva denna kurva använder vi oss av den vektorvärda funktionen r(u) = ((u), (u), (u)), där a u b. Som snes har vi här valt en parameterframställning r(u) så att r(a) pekar mot punkt och r(b) mot punkt Q. Q Att kurvan är stckvis glatt betder att r(u) är en kontinuerlig och stckvis kontinuerligt deriverbar funktion. Vi kan tänka oss ett möjligt scenario där rmdkurvan är uppdelad i delkurvor 1, 2,... vilka är ihopsatta vid ändpunkterna (vilket gör kontinuerlig) och som var och en beskrivs av kontinuerligt deriverbara funktioner (se figuren till vänster). 1 2 3 4 Det faktum att vår rmdkurva är orienterad betder att vi infört en Q positiv genomloppsriktning, vilken vi också har markerat med en pil i figuren ovan. Då vi vandrar längs kurvan görs detta alltid i dess positiva genomloppsriktning. unkt kan följdaktligen ses som vår kurvas startpunkt och punkt Q som dess slutpunkt. Notera också att parametriseringen förutsätts vara vald så att en ökning i u motsvarar en förflttning i :s orienteringsriktning. åt oss nu ta en närmare titt på rmdkurvans längd. Vi tänker oss att vi stegvis ökar u med du och på så sätt vandrar längs (se figuren ovan). I samband med att u väer med du, dvs u u du, ändras r med d r = r(u du) r(u) = d r du du.
Notera att d r är riktad i :s positiva genomloppsriktning. Vi kan därmed vandra längs, från kurvans startpunkt ( ) till dess slutpunkt (Q), genom upprepade förflttningar med d r (vilka i sin tur beror av u, dvs var på kurvan vi befinner oss). I varje steg förflttar vi oss sträckan dr = d r = d r du du längs rmdkurvan. Kurvans totala längd s fås således som ˆ ˆ b s = dr = d r du du. a Ofta ses också benämningarna båglängd för s och bågelement för dr. 3.2 Ytor För att beskriva en ta behövs en vektorvärd funktion av två oberoende variabler. En stckvis glatt och orienterad ta S återges därför med hjälp av ortsvektorn r(u, v) (se figuren nedan). v v 0 u 0 S p R p dv (u,v) du Area: ds p =dudv u r=r(u,v) r(u 0,v 0 ) R N S Förstoring av R (u,v) (u,vdv) (dr) u r(u,v) (dr) v N R (udu,v) Area: ds= (dr) u (dr) v arameterframställningen r = r(u, v) översätter varje unik punkt (u, v) i området S p till en unik punkt, given av r(u, v) = ((u, v), (u, v), (u, v)), tillhörande tan S. Orienteringen gör att tans ena sida är att betrakta som positiv och den andra som negativ. å liknande sätt som en rmdkurvas orientering avgör i vilken riktning som d r pekar, bestämmer en tas orientering i vilken riktning ˆN som dess normal pekar. Som ses i figuren ovan väljs ˆN i S:s positiva orienteringsriktning. Att tan är stckvis glatt innebär att r(u, v) är en kontinuerlig funktion och stckvist kontinuerligt (partiellt) deriverbar med avseende på u och v. Om den ena variabeln hålls konstant, medan den andra tillåts variera, skapas en rmdkurva inbäddad i tan S. Vi kan ta den blå och röda rmdkurvan i figuren som eempel. Den blå kurvan fås genom att fiera u (u = u 0 ) och den röda genom att istället fiera v (v = v 0 ). Dessa två rmdkurvor korsar naturligtvis varandra i den punkt som ges av r(u 0, v 0 ). Vi tänker oss nu att vi ökar u med du, dvs u udu, samtidigt som vi håller v konstant. Ortsvektorn ändras då med (d r) v = r(u du, v) r(u, v) = u du, där indeet v i (d r) v signalerar att v hålls konstant. Om vi istället ökar v med dv (och fierar u) fås ändringen till (d r) u = r(u, v dv) r(u, v) = v dv. Vi tar det igen; en ökning av u i S p med du avbildas som en ändring (d r) v i S. å samma sätt följer att en förändring v v dv i S p ger upphov till en ändring (d r) u i S.
Sammantaget betder detta att alla punkter inom den infinitesimala rektangeln R p (med sidor du och dv) i S p översätts genom r(u, p) till punkter inom parallellogrammet R (som spänns upp av vektorerna (d r) u och (d r) v ) i S (se figuren på föregående sida). Arean ds av R ges av ds = (d r) u (d r) v = u v dudv, }{{} en lokal förstoringsfaktor! i enlighet med krssproduktens definition (se kapitel 1). Vi noterar att parallellogrammets area är proportionell mot ds p = dudv, dvs arean av rektangeln R p i S p. roportionalitetskonstanten u v är en lokal förstoringsfaktor, då den beror av (u, v), för avbildningen från S p till S. Slutligen, för att ta med tans orientering i beskrivningen, används de vektoriella telementen d S = ˆNdS = u v dudv, där vi förutsätter att r(u, v) är vald så att (och inte motsatt den). Då v u = u v, u v pekar i tans orienteringsriktning ˆN väljs i praktiken ordningen i krssprodukten så att riktningen på d S stämmer överrens med tans på förhand givna orientering. Notera också att arean ds = d S, t ˆN = 1. För att beräkna den totala arean av tan S lägger vi samman alla bidragen från dess vektoriella telement, med de individuella areorna ds = ds, ds = u v dudv. S S p Vi bör i detta skede påpeka att alla tor inte är orienterbara. Möbiusbandet (se figuren till höger) är ett klassiskt eempel på en ta som vi inte kan ordna en orientering till. Tänk att vi startar på ena sidan av bandets ta och sakta börjar vandra längs med bandet. Efter ett tag, då vi fullbordat ett varv, befinner vi oss plötsligt på motsattt sida om där vi startade. Det går med andra ord inte att stämpla den ena sidan som positiv och den andra som negativ. Vi avslutar detta kapitel med två eempel på hur en tas ˆN och d S kan beräknas. 2 2 Eempel 1: Vi söker normalriktningen ˆN till rotationsparaboloiden = 2 2 i punkten : (1, 2, 5) (se figuren till höger). Notera tans orientering, där rotationsparaboloidens utsida är positiv och dess insida negativ. = 2 2 10 8 4 2 0 2 4
Vi börjar med att hitta funktionen r(u, v) = ((u, v), (u, v), (u, v)) till tan. För rotationsparaboloiden kan vi, eempelvis, välja = u, = v, = u 2 v 2. Ovanstående val ger de två möjliga normalvektorerna N = ± u v = ±( 2u, 2v, 1), där ± införts eftersom vi ännu inte vet ordningen på faktorerna i krssprodukten som ger det ˆN som överensstämmer med tans givna orientering. Den vektor N i punkten : {u = 1, v = 2} som pekar utåt (i enlighet med figuren) ges av N = (2, 4, 1) och fås, i detta fall, genom att välja N =. Den normaliserade riktningsvektorn i u v blir därmed ˆN = N N = (2, 4, 1) 21. (utsidan) (insidan) θ φ r Eempel 2: Vi söker nu ett uttrck på det vektoriella telementet d S tillhörandes en sfär med den givna radien R och orientering enligt figuren till vänster. För att parametrisera denna ta tar vi hjälp av de sfäriska koordinaterna θ och ϕ. Med u = θ och v = ϕ skrivs ortsvektorn till vår sfär med radie R som r(θ, ϕ) = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, }{{}}{{}} R cos {{ θ } ), (θ,ϕ) (θ,ϕ) (θ,ϕ) där 0 θ π och 0 ϕ π. Med N = θ fås en utåtriktad vektor (i enlighet med tans ϕ orientering). Att denna ordning i krssprodukten är den önskvärda ses ur N = θ ϕ = ˆ ŷ ẑ R cos θ cos ϕ R cos θ sin ϕ R sin θ R sin θ sin ϕ R sin θ cos ϕ 0 = (R 2 sin 2 θ cos ϕ, R 2 sin 2 θ sin ϕ, R 2 sin θ cos θ cos 2 ϕ R 2 sin θ cos θ sin 2 ϕ) = R sin }{{} θ r 0 där vi använt oss av att sin 2 ϕ cos 2 ϕ = 1. Med andra ord, N pekar i samma riktning som r. Det vektoriella telementet kan nu uttrckas som funktion av θ och ϕ d S = θ ϕ dθdϕ = R2 sin θdθdϕ(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ).
Övningsuppgifter 3.1 Ange en enkel parameterframställning r = r(u) för kurvan { 4 2 = 0 2 2 = 0, från punkten (0, 0, 0) till (1, 2, 5). Bestäm även tangentriktningen i punkten (1/4, 1, 17/1). 3.2 Andragradstan 2 22 222 2 = 0 skärs av planet 1 = 0. Vilken vinkel bildar de båda torna med varandra i punkten (0, 1, 0)?