Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2012-03-24 kl 14.30-19.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad. Ej räknedosa. Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg (3) krävs minst 14 poäng från uppgifterna 1 9, varav minst 3 poäng från uppgifterna 7 9. Var och en av dessa nio uppgifter kan ge maimalt 3 poäng. För var och en av uppgifterna 1 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga (duggaresultatlista bifogas). Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från 1 9 minst 50% (12 poäng) från uppgift 10 13, för betyg 5 minst 75% (18 poäng). Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter (Skriv inte mer än en uppgift på varje blad.). Numeriska värden kan anges som uttryck där faktorer som π och logaritmer ingår, om så behövs. Del I. (D1.1) 1. Uppgift 1 9 räknas för godkänt betyg. Varje uppgift kan ge upp till 3 poäng. För godkänt (betyg 3 5) krävs minst 14 poäng, varav minst 3 poäng på uppgift 7 9. Uppgift 1 6 kan en och en ersättas av duggapoäng. Vi definierar en funktion f på mängden D f = { R 1} genom 2 1. Funktionen f har en invers funktion f 1. Bestäm en formel för f 1 () och ange definitionsmängden för f 1. (D1.2) 2. Betrakta funktionen, om 0,, om < 0. a) Är f kontinuerlig i 0? b) Är f deriverbar i 0? c) Har kurvan y = f() en välbestämd tangent i punkten (, y) = (0, 0)? Det räcker att ange Ja eller Nej som svar. Varje rätt svar ger +1, varje felaktigt svar ger 1, inget svar ger 0. (Hela uppgiften kan dock inte ge negativ poäng.) (D2.3) 3. (D2.4) 4. (D3.5) 5. Bestäm koefficienter a och b så att (a + b)e uppfyller villkoren f(0) = 2 och f (3) = 0. Låt ln. Bestäm de globala etremvärdena (största och minsta värdet) till f() för i intervallet [1, ), om de antas. Bestäm samtliga primitiva funktioner (antiderivator) till funktionen e, för > 0. 2
(D3.6) 6. Bestäm värdet av integralen 1 0 ( π ) sin 2 d. 7. Bestäm den lösning y = f() till differentialekvationen som uppfyller villkoret f(0) = 2. y d + = 0, 8. Bestäm den lösning y = f() till differentialekvationen som uppfyller villkoret f(0) = 0. + 2y =, d 9. Låt y = dt och y = d2 y dt 2. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + 2y + 5y = 3 cos(2t) + 5 sin(2t). Del II. Följande uppgifter räknas för betyg 4 och 5. Varje uppgift kan ge upp till 6 poäng, totalt 24. Även presentationen bedöms. 10. Låt 1 + 32 + 6 + 2 2. + 2 a) Vad är den maimala definitionsmängden för f (inom de reella talen)? b) Ange alla asymptoter till kurvan y = f(). c) Ange de intervall inom vilka f är väande respektive avtagande. d) Ange var f antar lokala etrema, om sådana finns, och för varje fall ifall det är ett lokalt maimum eller minimum. 11. En kropp fås genom att rotera området mellan kurvan y = ln och linjerna y = 0 och = 2 kring y-aeln. Vad blir volymen av denna kropp, uttryckt i koordinatsystemets volymenheter? 12. a) Bestäm en primitiv funktion till + 2 ( 2 + 1). b) Är integralen + 2 1 ( 2 + 1) d konvergent, och vad är i så fall dess värde? 13. Betrakta en differentialekvation på formen d = P ()y + Q()y2. Genom substitutionen y = 1 kan ekvationen överföras till en linjär differentialekvation. u Bestäm den allmäna lösningen till differentialekvationen d = 2 y + ( + 1) y2. 3 Lycka till! /SK&JS
Högskolan i Skövde (SK, JS) English version Eam in mathematics Course: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Date: 2012-03-24 14.30-19.30 Aids : No aids allowed ecept for attached cheat sheet. No calculator. The eamination is graded 5, 4, 3 or U, where 5 is the highest grade and U is fail. For passed result (grade 3) at least 14 points are needed from problems 1 9 (Part I), among these at least 3 points from problems 7 9. Each of these 9 problems may yield 3 points. From each of problems 1 6 you may choose to use the results from the pre-tests (dugga) instead of giving a solution to the eam problems. (The results from the pre-tests are found appended.) In case the pre-test result is used no solution shall be given to the eam problem, and you shall write a D instead of an X in the corresponding square on the envelope. For grade 4 the requirements for grade 3 shall be met, and further at least 50% (12 points) in part II (problems 10 13). For grade 5 at least 75% (18 points) in part II is required. Give full solutions to all problems. Don t write more than one problem at each page, use only one side of the sheet. Numerical values may be given as epressions including factors like π and logarithms, if needed. Part I. (D1.1) 1. Problems 1 9 is for passing. Each problem can give up to 3 points. To pass the course (grade 3 5) at least 14 points are required, whereof at least 3 points from problems 7 9. Problems 1 6 may one by one be substituted for by pre-test grades. We define a function f on the domain D f = { R 1} by 2 1. The function f has an inverse function f 1. Find a formula for f 1 () and state the domain of f 1. (D1.2) 2. Define the function, om 0,, om < 0. a) Is f continuous at 0? b) Is f differentiable at 0? c) Does the curve y = f() have a well-defined tangent at the point (, y) = (0, 0)? It s sufficient to give Yes or No as an answer to each question. Each correct answer yields +1, each incorrect one 1, no answer 0. (The full problem will not yield a negative score.) (D2.3) 3. (D2.4) 4. Find values of the coefficients a and b such that (a+b)e satisfies the conditions f(0) = 2 and f (3) = 0. Let ln. Find the global etreme values (maimal and minimal value) of f() for in the interval intervallet [1, ), if such values eist. 4
(D3.5) 5. Find all primitive functions (antiderivatives) of the function e, for > 0. (D3.6) 6. Evaluate the integral 1 0 ( π ) sin 2 d. 7. Find the solution y = f() of the differential equation which satisfies the condition f(0) = 2. y d + = 0, 8. Find the solution y = f() of the differential equation which satisfies the condition f(0) = 0. + 2y =, d 9. Let y = dt and y = d2 y dt 2. Find the general solution to the differential equation y + 2y + 5y = 3 cos(2t) + 5 sin(2t). Part II. The following problems are for grades 4 and 5. Each problem yields up to 6 points. The assessment also includes the presentation. 10. Let 1 + 32 + 6 + 2 2. + 2 a) What is the maimal domain of f (in the set of real numbers)? b) Find all asymptotes to the curve y = f(). c) State the intervals on which f is increasing and decreasing, respectively. d) State where f takes its local etrema (if they eist) and for each case, if it is a local maimum or a local minimum. 11. A solid is obtained by rotating the region between the curve y = ln and the lines y = 0 and = 2 about the y ais. What is the volume of this solid, epressed in the volume units of the coordinate system? 12. a) Find a primitive function (antiderivative) of + 2 ( 2 + 1). b) Is the integral convergent, and if so, what is its value? 1 + 2 ( 2 + 1) d 5
13. Suppose we have a differential equation of the form d = P ()y + Q()y2. By substituting y = 1 we get a linear differential equation. Find the general solution of u the differential equation d = 2 y + ( + 1) y2. Good luck! /SK&JS 6