=

ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ

ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔÐº À ÐÖÓÓÒ ËÔÒÒ ½µ Ó ÚÒÒ ØØ ØÐÐÒÐº Ì ÖÒ Ó Ñ Ò ÅØÐÒÐÒÒ Ù Ö ÚÒ Úº ÖÖ ÒÓÑ ØØ ØØØ ÒÓÑ ÒÒ ÒÐÒÒ Ó ÒÚ ÒÒÖÒ ÒÒº ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ½º½ ÅØÐ Ò Ú ÅØÐ ÔÐØØÖ Ö ÒÙÑÖ ÖÒÒ Ú ÒÚØÓÖÖ Ó ÒÚÖÒº Å ÓÑÑÒÓØ Ë µ ÒÚÖÒ ÓÒÐÑØÖ Ò µ Ó ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ ÓÑ ÓÐÓÒÒÖ ÑØÖ Ò Ëµ ØÐÐ ÑØÖ Ò º ÖÒ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ ÑØÖ Ò [ ] 1 2 = 4 3 ÒÚÖ ÒÚØÓÖ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ë 1 Ë = º ÅØÖ ÒÚÖ ÖÐÐ Ñ ÒÚº Ð ÚÒ Ö ÒÓØ Ú ÒÚÖÒ λ i Á Ö ÒØ ÑØÖ Ò ÖÐÐ Ñ Ý ¾µ Ó Ú ÓÑ ÒÖ ÒÖ Ù Ö Ö ÒÚÖØÖ ÒÒ ÑØÖ º Î ÑÒ Ñ ØØ Ò ÑØÖ Ö ÒÙÐÖ Ö ÚÒ Ñ λá Ö λ ÒØ Ö ØØ ÒÚÖº ½º¾ ÒÚÒ ÒÐÒÒ Ú ÑØÖ Ò ÖÒ ½º½º ËÖÚ ÓÛ µº Á Ø Ò ØÖ ÓÑ ÓÑÑÖ ÙÔÔ ÔÖ Ù Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔ Ô Ò ÖÒ ÚØÓÖÒ Üº Å ÑÙ ¹ ÒÔÔÒ ÒØÖÝØ Ö Ù ÚØÓÖÒ Ü ÖÙÒØ ÒØ ÖÐÒº ËØÒÒ ÙÔÔ ÒÚØÓÖ ÖÐÖº Ö ÚÐ ÐÐÖ ÙÔÔ ØØ ÒÚØÓÖÒ Ó ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚÖº ÎÐÐ Ù ÑØ ÒÓÖÒÒÖ Ò Ù ØØ ÒÚØÓÖ Ð ÖÚ ÔÖÒØ ÅØÐ Ó Ò Ñ Ò ÐÒÐ ÑØ Ô Ò ÙÖ ÓÑ ØÖÝ º ÂÑÖ Ñ ØÐÐÒ ½º½º ÈÖÚ ÚÒ Ñ ÒÖ ÑØÖ Öº Ò Ð ÒÒ Ö ÐÒº Á ÓÛ¹Ò ØÖØ ÒÒ ÓÚÒÖ Ò ÚØ ÖÙØÒ ØØ ÐØØ Ò ØÖ ÓÑ ÒÒÐÐÖ Ø Ö Ò ÑØÖ ÓÑ Ö ÖÙº ÃÐ Ô Ø ÐÐÐ Ò ØÖØ Ó Ù ØÐÐÒ ØÐÐ Ö ÑØÖ Öº ½

½º Ø ÒÒ ØØ ÒÐØ ØØ ØØ ÔÐÓ ÙØ ÓÒÐÐÑÒØÒ ÖÒ Ò ÚÖØ ÑØÖ Ó ØØ ÚØ ÓÒÐÐÑÒØÒ Ð Ò ÓÒÐÑØÖ º ÅØÐÓÑÑÒÓØ ØÖ º Ì Ø ÓÑÑÒÓÒ µ ½¼ ½½ ½¾ µ µµ Î Ö Ö ÒÙ Ñ Ò ØÖÖ ÑØÖ ÖÒ ÚÒÒ ºµº ØÑ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ Ö ÑØÖ Ò ØØ ÔÐÐÐ Ú ÚÒÒ ºµ 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 = 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Ò ÒØ ÖÑ Ñ ÓÒ µ Ý µ ½º ÎÐ Ö ÒÚÖÒ ØÐÐ ÑØÖ Ò Ö Ø Ø ÐØÐºµ ¾º ÎÐ ÑÙÐØÔÐØØÖ Ö ÒÚÖÒ º ÎÐÒ Ö ÒÚØÓÖÒ ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ Ø ØÖ Ø ÒÚÖØ ÖÒÐ ÅØ¹ Ð ÚÖº ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ ÓÐÓÒÒÖÒ Ë¹ÑØÖ Ò Ö ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ º ÅÒ Ò ÔÐÓ¹ ÖÑ Ø Ü ÓÐÓÒÒ Ñ Ë µ ÒÖ ÐÐ ÖÖ ÓÐÓÒÒ µº ËØØ ÐÐØ Ë µ Ó Ð Ë º Ö ÑÑ Ö Ò ÓÐÓÒÒ ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ Ø ØÖ Ø ÒÚÖØº Î ÐÐ ÒÙ Ó Ô Ò Ò ØÓÖ ÑØÖ º Ð Ò 100 100¹ÑØÖ Ñ ÐÙÑÔÚ ÚÐ ÐÑÒØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ÖÒÒ ½¼¼µº ÄØ ÅØÐ ÓÒÐ Ö Òº ÈÐÓ ÖÑ ÒÚÖÒ ÒÓÑ ÐÑ µº Ä ÑÖ ØÐÐ ØØ Ò Ð ÒÚÖÒ Ö ÖÐÐ Ó ØØ ÒÖ ÖÓÑÑÖ ÓÑÔÐÜÓÒÙÖ ÔÖº ÎÐØ Ö ÒÚÖ ÒÙÑÑÖ ÐÐ Ø ÐÑ µ Ó ÚÐÒ Ö ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖ µ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ð ¹ÐÑ Ö ÐØØº ØÖ ÓÑ ÒÒ ÚØÓÖ Ö ÙÒÖ ÐÑÒØ Ö Ø ÚÖÐØ ØØ Ô Ñ ØØ ØØº Ö ØØ ØØ ÚØÓÖÒ Ö ÐØÒ Ò ÑÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ ØÐÐØ Ð ÙÑÑÒ Ú ÓÐÙØÐÓÔÔÒ Ú ÐÑÒØÒ Ñ ÙÑ µµµº ËÙÑÑÒ Ú ÓÐÙØÐÓÔÔÒ Ö Ð ÐÚ ¾

ËÓÑ ÒØ Ö ÒÚÖÒ ÙÑÑ Ð Ñ ÔÖØ Ö ÑØÖ Ò ÓÒÐÐÑÒ¹ ØÒ ÙÑÑµ Ó ÒÚÖÒ ÔÖÓÙØ Ö Ð Ñ ØÖÑÒÒØÒ Ö ÑØÖ Òº Ì Ø ØØ Ö Ò ØÓÖ ÑØÖ Ò ÖÒ ÔÖÓÐÑº Ð ÔÖ Ó ØÖÑÒÒØ Ú Ñ ÓÑÑÒÓÒ ØÖ µ Ö Ô Ø µ Ó ÑÖ Ñ ÒÚÖÒ ÙÑÑ ÙÑ ÐÑµ Ö ÔØÚ ÔÖÓÙØ ÔÖÓ ÐÑµº ÒÚÖÒ ÔÖÓÙØ Ö ÐÒ ÑØÖ Ò Ö ÚÐ ÐÙÑÔÚ µ Ò Ò ØÓÖ ÑÒÖÐº Î Ò ØØ ÖÓ Ô ËØÓÖÐ Ú ÑØÖ Ö Ó ÚØÓÖÖ Î ÒÙÑÖ ÖÒÒ Ö ÑÒ Ø Ü ÒØ ÜØ ÚÖÒ Ô ÒÚØÓÖÖ Ó ÒÚÖ¹ Ò Ó Ø Ö ÖÐ ÓÑÐØ ØØ Ò ÚÖÒ Ñ ÒÐØ ÖÒÖØµº Á ØÐÐØ Ö ØØ ÚØÓÒÒ = λ ÜØ ÙÔÔÝÐÐ Ö Ú Ò Ó Ñ ØØ λ ÐÖ ÐØØº Ò ÚØÓÖ ÐÐÖ ÑØÖ Ö Ù Ö ÐÑÒØ Ó Ø Ö ÒØ ÒØÝØ ¹ ÚØ ÙÖ ÑÒ ÐÐ ÑØ ØÓÖÐº ÅØÐ Ö Ò ÙÒØÓÒ ÒÓÖÑ ÓÑ ÑÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÒÑÐº ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÒÙ ØØ ÒÙÑÖ Ø ÐÐ ØØ Ë 1 Ë = Ó ØØ j = λ j j º ÖÒ Ö ÑØÖ Ò ÒÓÖÑ ÒÚ Ëµ Ë¹µ Ó ÒÓÖÑ ¹ÐÑ µº Á ÓÒÐ ÖÖ ÑØÖ Ö ÅØÐ Ò ÒØ Ð Ô ÑØÖ Ö ÓÑ Ö ÓÒÐ ÖÖ Ó Ò ÓÑ ÒØ Ö Ø ÙØÒ ÒÒÖ Ò ÔÔÖÓÜÑØÚ ÓÒÐ ÖÒ ÚÒ Ú ÓÒÐ ÖÖº ÅØÖ Ò = [ 5 1 4 1 ÖÒ ÚÒÒ º¾ Ö ÓÒÐ ÖÖº ÄØ ÅØÐ Ö ÓÒÐ Ö Ò Ñ Ë µº ÌØØ ÒÓ Ô ÑØÖ Ò Ë Ñ ÓÖÑØ ÐÓÒº ËÖ Ò ÒÚÖØÖÖ ÙØ Î ÐÖ Ø Ëµ Î ÒÖ ÓÑ ÑÒ Ö Ö Ð Ë 1 Ë ÇÑ Ù Ö ÓØØ ÓÑ Øµ Ö ØØ ÓÒÐ Ö ÑØÖ Ò ÚÒÒ º½º Î ÐÖ Ø µ ÎÖÖ ÓÐÓÒÒÖÒ Ë ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ] ËÝÑÑØÖ Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÑØÖ Ö Á ÑÒ Ú Øµ ÌÖÒ ÔÓÒÖÒ ÓÔÖØÓÒÒ ÅØÐ ØÒ Ñ ÔÖÑ ³µº ÆÖÑÖ ØÑØ T ÒÓÑ º³º ÍØÐÑÒ ÔÙÒØÒ Ö ÑÒ ÖÑØ ÓÒÙÖÒ ÚÐØ ÒÒÖ ØÖÒ ÔÓÒÖÒ Ó ÓÑÔÐÜ ÓÒÙÖÒº ØØ Ö Ò ÚØ Ø ÓÔÖØÓÒÒ Ö ÓÑÔÐÜ ÑØÖ Öµº Ö ÑØÖ Ö Ñ ÖÐÐ ÐÑÒØ ÐÖ Ø ÒÒ ÐÐÒº

½º½¼ ÄØ Ð ³ Ó º³º = [ 1 3i 2 + i 4 5i 6 7i ËÓÑ Ù ÓÑÑÖ ØØ ØÓÖÒ ÔØÐ Ö ÖÐÐ ÝÑÑØÖ ÑØÖ Ö ØÖ ÚØ Ò ÔÖ ½º Ö ÐÐØ ÓÒÐ ÖÖ ] ¾º ÒÚÖÒ Ö ÐÐØ ÖÐÐ º Ò ÓÒÐ ÖÒ ÑØÖ Ò Ë Ò ÐÐØ ÚÐ ÓÖØÓÓÒÐ ÚÐØ ØÝÖ ØØ ÒÚ ËµË³ ÐÐÖ ÚÚÐÒØ ØØ Ë Ë³ Ý Þ Ëµµ ½º½½ ½º½¾ ÓÒÐ Ö ÑØÖ Ò ÚÒÒ º ¼ Ó ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ò ÖÐÐÒ ÑØÖ Ò Ë Ö ÓÖØÓÓÒÐº Ð Ö Ø Ë Ë³ Ó Ë³ Ë Ó Ø Ø Ö ÖØ ÙÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ë³ Ë¹Ý µµ Ó ÒÓÖÑ Ë Ë³¹Ý µµº ÈÑÒÒÐ Ý Òµ ØÝÖ ÒØ ÑØÖ Ò Ú ÓÖÒÒ nº ÆÑÒØ ÓÑÑÖ Ú Ø ÒÐ ÙØØÐØ Ú Ó ØÚÒ Iº Î ÐÐ ÒÙ ÓÒØÖÓÐÐÖ ØÓÖÒ Ö Ò ÑÝØ ØÖÖ ÝÑÑØÖ ÑØÖ º Ð Ò ÐÙÑÔÑØÖ Ú ØÓÖÐ 100 100 Ñ ÖÒÒ ½¼¼µº ÒÓÑ ØØ Ø = + Ì ÐÐØ ³ Ö Ú Ò ÝÑÑØÖ ÐÙÑÔÑØÖ Ú ÒÒ ØÓÖÐº ÖÒ ÒÙ Ô ÚÒÐØ ØØ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ º Ò ÚØÓÖ Ñ ÒÚÖÒ Ñ ÐÑ µ Ó Ú Ò Ø Ø ØØ Ö ÖÐÐ Ñ ÒÓÖÑ Ñ ÐÑµµº ÆÓÖÑÒ ÐÖ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ Ò ÓÑ ÓÚÒ ØØ Ø ÖÐÐÒ Ë¹Ø Ö ÓÖØÓÓÒÐØ Ó ØØ ÒÚ Ëµ Ë¹ Ö ÐØØ ØÐÐ Ü¹ ÑÔÐ Ñ ÒÓÖÑ Ë³ Ë¹Ý ½¼¼µµ Ö ÔØÚ ÒÓÖÑ Ë³ Ë¹µº ÎÐ ÚÖÒ Ù ÅÔÐ Ø Ö ÖÐØÚØ ÓÚÒÐØ ØØ ÒÚÖÒ ØÐÐ Ò ÑØÖ Ò ÖÒ ÜØº Ø ÐÐÖ ÙÚÙ ÓÑ Ö ÖØÓÒÐÐ ØÐ ÐÐÖ Ö ÒÒÐÐÖ ÒÐ ÖÓØÙØØÖÝº ÇÖ¹ Ò Ö ÚÒÐÒ ÝÑÑØÖÒ ÔÖ Ó Ø ÔÖØ ÔÖÓÐÑ ÓÑ ØØ ÙÔÔÓÚ ØÐÐ ÑØÖ Òº Á Ò ÐÐ Ö ÅÔÐ ØØ Ö ÐÔÑÐº ÅÔÐ ÑØÖ Ö Ò ÚÐ ÚÖ ÝÑÓÐ ÓÑ ÒÙÑÖ º ÅØÖ Ö ½º½ Ö ØØ ÐØØ ÙÒÒ ÖÒ Ñ ÑØÖ Ö ÅÔÐ Ö ÑÒ Ö Ø ÓÑÑÒÓØ ÛØ ÐÒÐµº Ø ÚÒÐ Ø ØØØ ØØ Ò Ò ÑØÖ ÅÔÐ Ö Ñ ÓÑ¹ ÑÒÓØ ÑØÖÜº ÅÒ ÒÖ Ö Ø ÒØÐØ ÖÖ Ò ÓÐÓÒÒÖ Ó ØÐÐ ÐÙØ Ñ¹ ØÖ ÐÑÒØÒ ÓÑ Ò Ð Ø ÒÓÑ ÐÑÑÖ º ËÐ Ò ØÒÖÑØÖ Ò ÒÓÑ

ÑØÖÜ ¾ ¾ ½ ¾ µ ÒÖ ÑØÖ Ò ÚÒÒ º¾ ÒÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÑØÖÜ ¾ ½ ½ ¾ ¾¼ µ ½º½ ÅÐÐÒ ÐÒ Ð ØÒ Ö ÔÖØ Ö ØØ ÑÒ ÐÐ ÚÖ Ò ÒÝ Ö ÖÖ ÑÒ ÒØ ÒÚÒ Ö ÅÔÐºµ ÅØÖ Ò ÒÚÖÒ Ó ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ Ò Ñ ÓÑÑÒÓØ ÒÚØ ÈÖÚ ÓÑÑÒÓÒ ÒÚØ µ Ó ÒÚØ µº Î ØÝÖ ÓÐ ÐÖÒ Ú ÅÔÐ ÚÖ ½º½ Î ÐÖ Ó Ò Ò ØÖÖ ÝÑÓÐ ÑØÖ Ñ Ñ ÒÒÝØÒÒ ÖÒ ÚÒÒ º µº ËÐ Ò ÑØÖ Ò À ÑØÖÜ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ÐÐÖ ÀÒ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ÎÐÐ ÑÒ ØØ Ø ÐÐ ÙØ ÔÖ ÓÑ ÚÒÒ ØØ Ò ÑÒ ÓÑÑÒÓØ À Ù ÐÔ Ø ÓÔ Àµµ ØÖ Ò Ö Ø ÒØÓÒÒ Ú À ÝØ a ÑÓØ α Ó b ÑÓØ βºµ ØÑ Ò ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ ÑØÖ Òº Ö ÑØÖ Ò ÓÒÐ ÖÖ ½º½ ÄØ ÒÙ ÅÔÐ Ö Ñ ÑØÖ Ò ÖÒ ÙÔÔØ ÓÚÒº Ù Ò ÖÚ Ò ÑØÖ Ò Ñ ÓÑÑÒÓØ ÚÐÑ ÑØÖÜ ½µ ½ µµ ÀÙÖ ÑÒ ÓÖÓÒ ÒÚØÓÖÖ Ö Ò ÇÑ Ù ÚÐÐ ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ ÒÚØÓÖÖÒ ÚÖÐÒ Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒ Ò Ù ÖÖ Ô ÐÒ ØØ ÒÚÒÚØ µ Ë½ÓÔ ÒÚ½ µë¾óô ÒÚ¾ µëóòø Ë½ Ë¾µ Ø Ëµ ÀÙÖ Ö ÑØÖ Ò Ë ÙÔÔÝ ÎÖ ÒÚØÓÖÖÒ ÐÒÖØ ÖÓÒ ½º½ ÇÑ Ù Ö ÓØØ ÓÑ Øµ Ö ÚÒ Ñ ÑØÖ Ò ÖÒ ÙÔÔØ º

ÅØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ½º½ ½º½ ÅØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ØÒ Ô ÑÑ ØØ ÓÑ ÚÒÐ ÐÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ñ Ø ÙÒÒØØ ØØ ÑØÖ ÑÙÐØÔÐØÓÒÒ Ñ Ø ÖÚ ² ØÐÐØ Ö Ö º Ö ØØ ÅÔÐ ØØ ÙØÖ ÓÔÖØÓÒÖÒ Ñ Ø ÑÒ ÙØÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÚÐÑº Ì Ø ÖÒ ÖÒÒÖÒ Ö ÑØÖ Ò ÒÓÑ ØØ Ð Ò ÑØÖ Ë ÚÖ ÓÐÓÒÒÖ Ö ÒÚØÓÖÖÒ ØÐÐ º ÍÒÖ Ò ÓÑ Ë ÓÒÐ ÖÖ Ñ ÚÐÑ Ë ¹½µ² ² Ëµ Î ÐÐ ÒÙ ÖÒ Ö ÓÐÚÒØÒ ØÐÐ ÒÖ ÑØÖ Öº ÒØ ÑØÖ Ò Ú ÓÖÒÒ n ÖÐÐ ÐØØ Ø Ñ ½ Òµº ØÑ Ö ÓÐÚÒØÒ ØÐÐ ÑØÖ Ò ÒÓÑ ½ µ Ö ÓÐÚÒØÚÐÑ ¹µ ¹½µµ ÖÒ ÚÒ Ø ÖØÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑØ Ñ Ø ¹µµ ÐÐÖ ÖÔÓÐÝ µ Ó ÑÖ Ñ ÒÑÒÖÒ Ö ÓÐÚÒØÑØÖ Òº ÎÐÒ Ö Ö ÓÐ¹ ÚÒØÒ ÒÑÒÖ ½º¾¼ ½º¾½ Ä ÚÒÒ º µ Ñ ÐÔ Ú Ø º Ò º ÇÑ Ù Ö ÓØØ ÓÑ Øµ ØÑ Ö ÓÐÚÒØÑØÖ Ò ØÐÐ ÑØÖ Ò ÚÒÒ º½º ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ò ½º¾¾ ÅØÐ Ò ÖÒ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ö ÒÙÑÖ Ø Ñ ÓÑÑÒÓØ ÜÔÑ ÑÒ ØØ Ö Ò ÖÒ Ø ÒØÖ º ÅÖ ÚÒ Ö ØØ ÒÚÒ ÅÔÐ Ö ÓÑ¹ ÑÒÓØ Ö ÜÔÓÒÒØÐº ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÚÖÒ ÙÔÔØ º½ Ñ ÅÔÐº Ö Ô ØØ ØØ Ö µ ÑØÖÜ ¾ ¾ ¹¾ ¹½ ½ ¹¾ µ ÜÔÓÒÒØÐ Øµ ÐÐÖ ÑØÖÜ ¾ ¾ ¹¾ ¹½ ½ ¹¾ µ ÜÔÓÒÒØÐ Øµ ÂÑÖ ÚÒ Ñ ÅÔÐ ÜÔ ÜÔ Øµ Î Ö ØØ ÓÑÑÒÓ Ä Ò ÚÒ º¾ Ñ ÅÔÐº

½º¾ Ö ØØ ÖÚÖ ÑØÖ Ö Ñ Ø ÑÒ ÒÚÒ ÓÑÑÒÓØ ÑÔ ÓÑ Ö ÒÒ¹ ÖÒ ØØ Ö Ø ÖÙÑÒØ ÙØÖ Ô ÚÖ ÐÑÒØ ÒÖ ÖÙÑÒØº ÖÚÖ ÑØÖ Ò = Ñ Ú Ò Ô tº ÒÚÒ ÓÑÑÒÓÒ [ ] cost sin t sin t cost ÑØÖÜ ¾ ¾ Ó Øµ ¹ Ò Øµ Ò Øµ Ó Øµ µ ÑÔ Øµ ½º¾ ½º¾ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ò Φ(t) = e ta ÖØÖ Ö Ú ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ó ÝÒÒÐ ÚÐÐÓÖØº dφ = Φ, Φ(0) = I. dt ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ö ÑØÖ Ò º¾ ÑØÖÜ ¾ ¹ ººº µ È ÜÔÓÒÒØÐ Øµ ÚÐÑ ÑÔ È Øµ¹² Èµ È Ò ÒÒ ¼ Öº Î ÖÒÒÒ ÖÒ ÒÒ Ø x 0 Ö ÓÑÖ A y 0 Ö ÓÑÖ B Ó z 0 Cº ÙÖÒ ÖÖ ÑÐÐÒ ÓÑÖÒ ÒÐØ ÐÒ ÑÓÐÐ Ò ÐÐÖ Öµ ÍÒÖ Ò Ø ÔÖÓ T Ö ¼ % Ú ÖÒ A ØÒÒØ ÚÖ A ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ B Ó ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ C ¼ % Ú ÖÒ B ØÒÒØ ÚÖ B ½¼ % Ö ØØ ØÐÐ A Ó ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ C ¼ % Ú ÖÒ C ØÒÒØ ÚÖ C ¼ % Ö ØØ ØÐÐ A Ó ½¼ % Ö ØØ ØÐÐ B ÄØ x n, y n Ó z n ØÒ ÒØÐØ Ö ÖÓÒÖÒ A, B Ö Ô C ØÖ ØÒ nt. ÐÐÖ x n+1 = 0.6x n + 0.1y n + 0.4z n y n+1 = 0.2x n + 0.7y n + 0.1z n n = 0, 1, 2,... z n+1 = 0.2x n + 0.2y n + 0.5z n ÀÙÖ ÑÒ Ö ÒÒ ØÖ ÐÒ Ø Ö ÔØÚ ÓÑÖ x n x 0 ËØØ Ú n = y n Ó Ú 0 = y 0 º ËÖÚ Ý ØÑØ Ô ÑØÖ ÓÖÑ Ú n+1 = Ú n º z n z 0 ÒÚÒ ÅÔÐº ËÖÚ Ò ÑØÖ Ò ÅÔÐº ÖÒ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓ¹ ÖÖº ÓÒÐ Ö Ý ØÑÑØÖ Ò Ó ÒÚÒ ÓÒÐ ÖÒÒ Ö ØØ ÖÒ lim n n Ú 0 º ÖÒ ÚÖØ ÐÑÒÖ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÑ ÒØÐØ Ö Ö ÔØÚ ÓÑÖº ÅÖ ØÐ Ò Ù Ö Ô ÐÒ ØØ

½»½¼ ÑØÖÜ ½ ÓÖØ ØØ µ ËÝ ØÑÑØÖ Ò ÒÚÒÚØ µ Ë½ÓÔ ÒÚ½ µë¾óô ÒÚ¾ µë ÓÔ ÒÚ µ ÜØÖÖ ÒÚØÓÖÖÒ ÙÖ ÒÚº ËÓÒØ Ë½ Ë¾ Ë µ ÚÐÑ Ë ¹½µ² ² Ëµ ØØÒ ½ ½ Ò ¾ ¾ Ò Òµ Ú¼ÑØÖÜ ½ Ü¼ Ý¼ Þ¼ µ ÚÐÑ Ë² ØØÒ² Ë ¹½µ² Ú¼µ ÖÒÒ Ú Ò Ú¼ ÑÔ ÐÑØ ± ÒÒÒØÝµØ Ò ÒÙ ÚÐ º ÌÒ Ô ØØ Ü¼ Ý¼ Þ¼ ¼º Î Ö ÖÐÐÒØ ÑÐÐÒ ÓÓÖÒØÖÒ Ò ÒÚØÓÖ ÖÒ ØÐÐ Ø ØÖ Ø ÒÚÖØ Î Ö ÖÐÐÒØ ÑÐÐÒ ÒØÐØ Ö Ö ÔØÚ ÓÑÖ ËÑÒ Ë ØØ 1, 2 Ó 3 Ö ÒÚØÓÖÖ Ñ ÒÚØÓÖÖÒ λ 1, λ 2 Ö ÔØÚ λ 3 ØÐÐ º ÒÚØÓÖÖÒ Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ÚÖÖ Ø ÒÒ ØÐ c 1, c 2 Ó c 3 Ò ØØ Ú 0 = c 1 1 + c 2 2 + c 3 3 º ÖÚ ÐÖ ØØ n Ú 0 = c 1 λ n 1 1 + c 2 λ n 2 2 + c 3 λ n 3 3. ÇÑ λ 1 Ö Ø ÒÚÖ ÓÑ Ö ØÖ Ø ÓÐÙØÐÓÔÔ Ö Ú ØØ n Ú 0 c 1 λ n 1 1 n Ö ØÓÖØº Î Ö ÒÙ ÙÖ ÖÐÐÒØ x n : y n : z n Ö Ø ÑÑ ÓÑ ÑÐÐÒ ÓÓÖÒØÖÒ ÒÚØÓÖÒ 1 ºµ ÒÑÖÒÒº ÈÖÓÐÑØ Ò ÅÔÐ Ó Ð Ñ Ö ÓÐÚ ÑÒ Ö ÑÒ ÒØ ÒÚÖÒ ÒÚÖÒº ÖÒØÐÚØÓÒÖ Á ÑÒ Ú Øµ ½º¾ ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ö ÙØÑÖØ ÔØ Ö Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ ÑÒ ÅÔÐ Ö Ö ÒÓ ÐØØ Ø ØØ ÒÚÒ Ó Ö ÚÒ ÝÑÓÐ Ð ÒÒÖ ÓÑ Ò ÒÒ º ÃÓÑÑÒÓØ ÅÔÐ ØÖ ÓÐÚº Ø Ö Ø ÖÙÑÒØØ Ö Ò Ð Ø Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ó ÚÒØÙÐÐØ ÝÒÒÐ ÚÖÒ Ø ÒÖ Ö Ò Ð Ø Ú ÚÖÐÖ ÓÑ ÑÒ ÚÐÐ Ð ÙØº ÒÒ Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒÒ ØÐÐ Ý ØÑØ dx 1 dt = 3x 1 + x 2 dx 2 dt = x 1 3x 2. ØØ Ö ÑÒ ÐØØ ÅÔÐº Ö ØØ ÓÑÑÒÓÖÖÒ ÒØ ÐÐ Ð ÐÒ Ö Ø ÚÑØ ØØ Ö Ø ÒÖ ØÒÒÖº

ÚØÓÒÖ Ü½ Øµ Øµ¹ Ü½ Øµ Ü¾ Øµ Ü¾ Øµ ØµÜ½ Øµ¹ Ü¾ Øµ ÚÖÐÖ Ü½ Øµ Ü¾ Øµ ÓÐÚ ÚØÓÒÖ ÚÖÐÖµ ØØ Ö Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒÒ ØÐÐ Ý ØÑØº ÎÐÐ Ú Ô ÝÒÒÐ ÚÖ¹ Ò Ø Ü x 1 (0) = a 1 x 2 (0) = a 2 Ö Ø Ö ØØ ÓÑÔÐØØÖ ÚØÓÒÖÒº ÚØÓÒÖ Ü½ Øµ Øµ¹ Ü½ Øµ Ü¾ Øµ Ü¾ Øµ ØµÜ½ Øµ¹ Ü¾ Øµ Ü½ ¼µ½ Ü¾ ¼µ¾ Ó Ö ÓÑ Ð ÒÒÒº Ø Ö ÚØÚ Ó Ö ØØ ØØ Ò ÒÙÑÖ ÚÖÒ Ö ÝÒÒÐ ÚÖÒº ÁÒÓÑÓÒ ÚØÓÒÖ Ñ ÒÐ ÖÐ Ö Ó Ö ½º¾ Ä ÚÒÒ º Ó Ñ ÅÔÐº Ø Ö ÑÑ Ý ØÑÑØÖ ÓÑ ÓÚÒ ÑÒ Ñ f(t) = (2 cos 2t, cos 2t) Ö ÔØÚ f(t) = (e 2t, 3e 2t )º Ø Ö ØØ Ð ØÐÐ Ö ØÖÑÖ Ú ÐÒÒ ØÝÔ ÙØÒ ØØ ÅÔÐ ØÖØØÒÖ ÑÓØ Ø ØÐÐ Ú Ò ÑÒÒ ÙÐÐ Öµº ½º¾ Ä ÚÒÒ º µº Ì ÓÖØ ØÖÒ ÒØÒ ÖÒ Ð ÒÒÒ ºµºµ Ö ÖÑ ØÐÐÒÒ Ú Ð ÒÒÖ Ø Ö ÓØ Ò ÚÖØ ØØ Ö Ø ÖÔÖ ÒØÖ Ð ÒÒÖ ØÐÐ ÖÒØÐÚØÓÒÖº ÅÔÐ Ö ØØ ÒÚÒÖØ ÔØ ØÓÓÐ Ö ØØ Ö ØØº ÌÝÚÖÖ ÐÖ ÝÒØÜÒ Ò Ð ÖÒ Ò ÓÑ ÓÐÚ ÒÚÒÖº Ö ØØ ÒÚÒ ÔØØ Ö ÑÒ ÓÑÑÒÓØ ÛØ ØÓÓÐ µ Á ÒÒ ØÓÖÚÒÒ ÒÖ Ú Ó Ñ ØØ Ò ÓÑ¹ ÑÒÓ ÒÑÐÒ ÔÐÓØº ÆÖ ÑÒ ÒÚÒÖ ØÓÓÐ Ñ Ø ÐÐ ÚÖÐÖ ÒÙÑÖ ÚÖÒº Ä ÒÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ö ÒÙÑÖ Ø ÒÓÑ ØØ Ò ÔÔÖÓÜÑÖ Ñ Ò Ò ÒÚÐµ ÖÙÖ ÓÒ ÚØÓÒº Î Ð Ö Ò ÚÖÒØ Ú ÚÒÒ º ÒÑÐÒ ÚØÓÒ Ý ØÑØ dx 1 dt = 4x 1 6x 2 + 3 sin4t dx 2 dt = x 1 + x 2 + 2 sin 4t Ñ ÓÐ ÝÒÒÐ ÚÖÒ (x 1 (0), x 2 (0))º Á ÚÖ ÒÚÒÒÒ Ú ÔÐÓØ Ö ÝÒØÜÒ ÔÐÓØ Ú ÚÖÐÖ ØÒØÖÚÐÐ ÝÒÒÐ Ú ØÔ Þ ØÐÒ Ò Òµ

½º¾ ÐÐØ ÐÐ Ò ÓÑ Ð ØÓÖ ØÖ ÓÑ ÓÖÒÒ ÐÒ Ú ÚÖÐÖÒ Ö Ú ØÝÐ º ÎÐ ÚÖÐÖ ÓÑ ÔÐÓØØ Ú Òº Ò ÓÑ ÒÚÒÖ Ò ÐÖ ÚÖ ÓÒ Ú ÅÔÐ Ò Ú ÒÖ ÝÒØÜÒº ÒÚÒ ÐÔµ ÊØ ÙÔÔ Ö ØÓÑÔÓÒÒØÒ x 1 (t) Ú ØÚ Ð ÒÒÖÒ ØÐÐ Ý ØÑØ ÓÚÒ Ñ ¹ ÝÒÒÐ ÚÖÒ Ö ÔØÚ (0, 0) Ó ( 10, 0) ÓÑ ÙÒØÓÒÖ Ú tº Î ÒÖÖ ÓÐ ÖÙÑÒØÒ ØÐÐ ÔÐÓØº Ú Ü½ Øµ Øµ¹ Ü½ Øµ¹ Ü¾ Øµ Ò Øµ Ü¾ Øµ ØµÜ½ Øµ Ü¾ Øµ ¾ Ò Øµ ÚÖÐÖ Ü½ Øµ Ü¾ Øµ ØÒØÖÚÐÐ ¼ºº¾¼ ÝÒÒÐ Ú Ü½ ¼µ¼ Ü¾ ¼µ¼ Ü½ ¼µ¹½¼ Ü¾ ¼µ¼ ÆÙ Ò ÙÖÒ ÔÐÓØØ Ñ ÔÐÓØ Ú ÚÖÐÖ ØÒØÖÚÐÐ ÝÒÒÐ Ú ØÔ Þ¼º¾ ÐÒÓÐÓÙÖÖ ÐÙ ÒØ Ü½ Øµ µ ½º ¼ ÊØ ÚÒ ÙØ x 2 (t) ÓÑ ÙÒØÓÒ Ú tº ÎÐÒ ÒÚÖÒ ØÝ ÝÒÒÐ ÚÖÒ Ô ÙØ ÒØ Ú Ü½ ÐÐÖ Ü¾ ØÖ ØØ Ø ÈÖÚ Ó Ñ ÒÜ½ Øµ Ü¾ Øµ º Ì Ø Ñ ÒÖ Ö ÝÒÒÐ ÚÐÐÓÖ Ø Ü (20, 0) Ó (20, 10)º Ä ÐÐ ÙÖÚÓÖÒ ÑÑ ÙÖº ÅÔÐ Ò ÚÒ ÖØ ÙØ Ð ÒÒ ÙÖÚÒ ÑÒ ÓÒÖº ÈÐÓØØ Ð ÒÒÖÒ (t, x 1, x 2 )¹ÖÙÑÑØ Ñ ÓÑÑÒÓØ ÔÐÓØ Ú ÚÖÐÖ ØÒØÖÚÐÐ ÝÒÒÐ Ú ØÔ Þ¼º¾ ÐÒÓÐÓÙÖÖ ÐÙ ÒØ Ü½ Øµ Ü¾ Øµ µ Ä ÒÒÖÒ ÐÖ ÔÖÐÖ ÑÒ ÓÒÖ ØÖÒ ÒØÖÒ ØØ ÙØº ÄØØÖØÙÖÖØÒÒ ÈÖØ¹ÒÒÖ º ² ËÖ º ¾¼¼½µ ÒÚÒÖÒÐÒÒ Ö ÅØÐ ÁÒ Ø¹ ØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÍÔÔ Ðº À º ¾¼¼ µ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÅÔÐ ËÔÖÒÖº ËÑÓÒ Ãº ½ µ ÅØÐ ÈÖÑÖ ÔÖØÑÒØ Ó ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÐÓÖ Ò ÚÐÐ Ðº ËÔÒÒ Ëº ½µ ÄÒÖ Ý ØÑ ÃËº ÏÖÒÖ ºº ¾¼¼¾µ ÅÔÐÒÓÒ ÅØÑØÚÐÒÒÒ Æµ ÄÙÒº ½¼