Moment 5.3, 5.4 Viktiga exempel 5.16, 5.18-5.23 Övningsuppgifter 5.20, 5.21, 5.22, 5.51, 5.53 Matrisekvationer Exempel 1. Lös följande matrisekvation 2 3 x y 2 5 3 3 z Tre ekvationer att lösa Svar: x 1, y 6 och z 2 2+6+3x y+4+15 3+6+3z 1 2 3 2+6+3x 11 y+4+15 25 3+6+3z 15 Exempel 2. Lös följande matrisekvation med avseende på X. ( ( ( ( x1 2 21 + 2 2 3 leder till ekvationssystemet med lösningen x 1 1 och x 2 4 ( 3x1 +4x 2 2x 1 +2x 2 x 2 ( 2 + 3 ( 3x1 +4x 2 +2 2x 1 +2x 2 +3 { 3x1 +4x 2 19 2x 1 +2x 2 10 Exempel 3. Lös matrisekvationen AX A B då 11 25 15 11 25 15 ( 21 ( 21 A ( 3 2 2 1 B ( 2 0 Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Genom att först bestämma A 1 kan vi genom Först bestämmer vi A B till A 1 AX A 1 (A B EX A 1 (A B X A 1 (A B A B ( 1 2 3 3 Sedan kommer turen till A 1. Det är speciellt enkelt att bestämma inversen till en (2 2- matris. Sats 1. Inversen till är där det A a 11 a 22 a 12 a 21 ( a11 a A 12 a 21 a 22 ( A 1 1 a22 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 I vårt exempel är det(a 3 ( 1 ( 2 2 1, så ( A 1 Till sist beräknar vi A 1 (A B och får X ( ( 1 2 3 3 ( 5 4 7 5 Exempel 4. Lös matrisekvationen AXA 2B då ( 1 2 A B ( 1 0 Vi startar med att ta reda på A 1. det(a 1 2 2 ( 1 4. A 1 1 ( 2 2 4 1 1 Nu kan vi multiplicera med A 1 på följande sätt genom att få X fritt. A 1 AXAA 1 2A 1 BA 1 X 2A 1 BA 1 Som leder till följande matrismultiplikationer och till svaret X 2A 1 BA 1 2 1 4 1 ( ( ( 2 2 1 0 2 2 4 1 1 1 1 ( ( ( 1 8 8 2 2 3 1 8 2 4 1 1 1 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Exempel 5. Lös matrisekvationen XB XA C med avseende på X då A Vi skriver om ekvationen Vi beräknar först B A ( 1 2 ( 4 3 0 1 ( 4 3 B 0 1 XB XA C XB XA C X(B A C X C(B A 1 ( 1 2 ( 3 1 C 2 2 ( 3 1 2 2 Sedan beräknar vi (B A 1. det(b A 8 (B A 1 1 8 ( 2 1 Återstår för att beräkna C(B A 1 för att få X. C(B A 1 1 ( ( 3 1 2 1 1 8 2 2 8 ( 8 0 0 8 ( 1 0 0 1 Läxa 1. 5.20 Vi tar det allra enklaste exemplet, som egentligen inte kan ses som ett fullständigt bevis. ( ( ( AA T a b a c a 2 +b 2 ac+bd c d b d ac+bd c 2 +d 2 Eftersom a 21 a 12 är AA T symmetrisk. Läxa 2. 5.21 A ( a b c d B ( 1 1 0 2 Vi ska finna samtliga matriser av typen A(2 2 sådana att AB BA. Vi får ( ( ( ( a b 1 1 1 1 a b c d 0 2 0 2 c d ( a 2b a c 2d c ( a c b d 2c 2d Från c 2c får vi c 0. Om a kan väljas fritt, likaså d. Så återstår att bestämma b, genom 2b a b d som ger b a d. Vi kan välja a och d fritt och på det sättet få följande matriser ( a a d 0 d Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Läxa 3. 5.22 a A(10 och B( 17 Läxa 4. 5.22 b A(10 och B( 10. AB(10 10 och BA( Läxa 5. 5.22 c A och B måste vara kvadratiska (n n, men det är bara i undantagsfall som AB BA Läxa 6. 5.51 a 1 2 2 1 1 1 2 2 3 Läxa 7. 5.51 b 1 2 3 2 1 1 1 1 5+2 6 3+2 1 5 5 1 3 2 2 5 1 6 1 5+36+10 15 20 6 0 5 6 5 Läxa 8. 5.51 c 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 Försök att lista ut varför det A 1 utan att jobba allt för mycket! Läxa 9. 5.51 d Läxa 10. 5.53 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1+0+0 1 0 0 0 0 1 3 1 5 3 2 1 0 6 1 2 1 5 1 2 0 2+15 0+3 3 0 6+6 2 1+0 10+3+0 6 6+0 1+4 1 5 6+1 3+12 2 1 0 0 0 0 0 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Problem 1. Lös matrisekvationen Då A ( 5 6 4 5 Svar 1. a {{5, 6}, {4, 5}}; b {{1, 2}, {3, 4}}; x {{x11, x12}, {x21, x22}}; Solve[a.x.a b.a] Problem 2. Lös matrisekvationen då A X ( 1 1 Svar 2. a {{1, 1}, {3, 4}}; b {{0, 2}, {3, 1}}; x {{x11, x12}, {x21, x22}}; Solve[a.x b - a] AXA BA B ( 14 11 12 AX B A B ( 1 2 ( 0 2 3 1 Problem 3. Lös matrisekvationen X ( 4 7 3 6 XA 2A B då Svar 3. a {{1, 1}, {3, 4}}; b {{0, 1}, {2, 0}}; Solve[x.a 2 a + b] A ( 1 1 B ( 0 1 2 0 X ( 1 1 8 0 Problem 4. För vilka värden på den reella parametern a är matrisen inverterbar? 2 a 3 4 a 2 9 5 5 4 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Svar 4. c {{2, a, 3}, {4, a^2, 9}, {5, 5, 5}}; Solve[Det[c] 0] Ger resultatet a 2 och a 3 Problem 5. Lös matrisekvationen XB XA C då A ( 2 3 B Svar 5. a {{2, 3}, {-1, 2}}; b {{0, 3}, {2, -4}}; c {{5, 2}, {-1, 2}}; x {{x11, x12}, {x21, x22}}; Solve[x.b x.a - c] ( 0 3 2 4 C ( 5 2 ( 1 9 1 3 0 1 Svar: Undersökning I Figur 1: e1a+b+c+d100; e2a15; e3b+c52; e4c+d76; Solve[{e1,e2,e3,e4}] {{a->15,b->9,c->43,d->33}} 43 spelar både poker och fotboll Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Dagens Problem: Nyårsfest Sex personer A,B,C,D,E och F firar nyår på en av Stockholms restauranger. Deras födelsedagar infaller under de sex första månaderna på året, men nödvändigtvis inte i den ovan givna ordningen. Följande gälller: Två av personerna A och januaribarnet är läkare E och februaribarnet är lärare och gifta med varandra Han som är född i mars och C är programmerare B och F är systrar C har samma kön som majbaret och gift med den som är född i juni. B och januaribarnet är syskon Majbarnet och A har aldrig tidigare träffats Bestäm yrke, födelsemånad och kön för de sex personerna. Håkan Strömberg 7 KTH Syd