1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

Relevanta dokument
TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Integraler av vektorfält Mats Persson

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Övning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Tentamen: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

y= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

Tentamen: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Övningstenta: Lösningsförslag

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Vektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösning till kontrollskrivning 1A

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Tentan , lösningar

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

4. Beräkna volymen av den tetraeder som stängs inne mellan koordinatplanen x = 0, y = 0 och z = 0 och planet. x F (x, y) = ( x 2 + y 2, y

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv

SF1626 Flervariabelanalys

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08

Vektoranalys, snabbrepetition. Vektorfält

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09. Carl-Henrik Fant

18 Kurvintegraler Greens formel och potential

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

Tentamen MVE035 Flervariabelanalys F/TM

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

4 Integrering av vektorfält

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

1 Några elementära operationer.

Transkript:

1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan). åt A vara ett vektorfält. Då är ( A) ˆnd. Bevis. Ramgard, s.7 Ex. 1 åt vara enhetskvadraten i xy planet, d.v.s. ges av x 1, y 1 och z =. åt också vara randen till. Räkna ut linjeintegralen av vektorfältet A = (y + x )ˆx + (x + y )ŷ längs kurvan. Orientering moturs sett från (,, 1). ösning. Enligt tokes sats är ( A) ˆnd där normalen måste väljas som ˆn = ẑ (läs om valet av orienteringar i tokes sats). Eftersom A = ẑ har vi att ( A) ˆnd = ẑ ẑd = d = 1. var:. 1 Ex. (Flödet av rotationen av ett vektorfält, Tentamen 1 jan., 1998, 4) Beräkna ( sin ϕ r ˆϕ) ˆnd där är ytan z = ρ 1, z 1 och ˆn är riktad bort från z-axeln. ösn. Randen till ytan består av två cirklar 1 : ρ = 1, z = och : ρ =, z = 1. För att använda tokes sats måste man välja orienteringen på 1 moturs och på medurs sett från (,, ). Nu använder vi tokes sats ( baklänges ) = = ( sin ϕ r ˆϕ) ˆnd = π π r ˆϕ ˆϕdϕ dϕ π π 1 1+ r dϕ = π sin ϕ r ˆϕ dr ˆϕ ˆϕdϕ ( ) 1

Ex. (kurvan är ej sluten, Tentamen 11 jan., 1999, ) Beräkna linjeintegralen av vektorfältet A = xˆx + yŷ + zẑ längs kurvan r = + sin ϕ, θ = ϕ där ϕ π/. ösn. Vi presenterar två metoder för att lösa uppgiften. 1. Man kan kontrollera att A =. Kurvan (vi ska beteckna den med ) har startpunkten ϕ = θ =, r = (eller (,, ) i kartesiska koordinater) och slutpunkten ϕ = θ = π/, r = (eller (,, ) i kartesiska koordinater). Vi inför sträckan 1 med startpunkten i (,, ) och slutpunkten i (,, ). Då blir kurvan + 1 sluten och omsluter en yta. Nu använder vi tokes sats ( A) ˆnd =. + 1 A dr. 1 För att räkna ut integralen i högerledet parametriserar vi kurvan 1 som r(t) = (, (1 t), t), t 1. Vi har 1 1. Vektorfältet A har en potential (x, y, z) (,, )dt = 1 Φ = 1 (x + y + z ). ( 9 + 1t)dt = 5. Kontrollera! å var. 5/. Φ(,, ) Φ(,, ) = 5. Ex.4 ( A men A ˆn =, Tentamen 4 juni 1999, ) Beräkna linjeintegralen av vektorfältet A = xz ˆx + yzŷ längs skärningskurvan x +y +z = 1, x+y+z = där x. Orienteringen väljer du själv. ösn. Vi har A = ( y, x, ). Men en normal till ellipsoiden är (x, 4y, z) och ( y, x, ) (x, 4y, z) =. Om ytan ligger på ellipsoiden är ( A) ˆn =. kärningskurvan (vi ska beteckna den med ) har ändpunkterna (, 1/, 1/) och (, 1/, 1/). Vi väljer den första som startpunkten och den andra som slutpunkten. Vi inför kurvan 1 som en del av skärningskurvan (egentligen är det en del av cirkeln med radien 1/ som ligger i yz planet) x +y +z = 1, x = med startpunkten i (, 1/, 1/) och med slutpunkten i (, 1/, 1/).

Vi inför också ytan som ligger på ellipsoiden mellan kurvorna och 1. Nu använder vi tokes sats ( A) ˆnd =. + 1 A dr. 1 Vi parametriserar 1 som x =, y = 1/ cos ψ, z = 1/ sin ψ, π/4 ψ π/4. Vi har 1 = 1 π/4 π/4 π/4 π/4 1. ite mer om potentialer (xz, yz, ) (, 1/ sin ψ, 1/ cos ψ)dψ sin ψ cos ψdψ = 1 [sin ψ] π/4 π/4 = 1 6 åt V vara ett område i R och låt A vara ett vektorfält i V. Vi har visat följande sats. ats åt V vara ett område R och låt A vara ett kontinuerligt deriverbart vektorfält. Följande tre påståenden är ekvivalenta: 1. A har en potential;. A dr beror bara på ändpunkterna av för som ligger i V ;. för varje sluten kurva i V. Här vill vi diskutera ett annat villkor som garanterar att vektorfältet A har en potential. Vi vet att om vektorfältet A har en potential så måste A =. Nu vill vi svara på frågan: När garanterar villkoret A = att vektorfältet har en potential? Det visar sig att detta gäller för så kallade enkelt sammanhängande områden. Def. Ett område V kallas enkelt sammanhängande om varje sluten kurva i V kan kontinuerligt deformeras till en punkt i V utan att lämna V. Följande mängder är enkelt sammanhängande: a) cirkelskiva i R ; b) ett klot i R ; c) R ; d) R \ origo. Exempel på områden som inte är enkelt sammanhängande är: a) R \ origo; b) R \ z axeln. ats åt V vara ett enkelt sammanhängande område och låt A vara ett kontinuerligt deriverbart vektorfält. Då gäller att A har en potential om och endast om A = i V.

Bevis. Om A har en potential Φ (d.v.s. Φ = ) så är A = ( Φ) =. Omvänt, låt A = och låt vara en sluten kurva i V. Eftersom V är enkelt sammanhängande kan man visa att är randen till en yta som ligger i V. Enligt tokes sats är ( A) ˆnd =. Enligt sats har A en potential. Ex.5 åt V = R \ z axeln. Det här området är ej enkelt sammanhängande. Betrakta vektorfältet A = 1 ρ ˆϕ i området V. Man kan kontrollera att A = i V. För att visa att det här vektorfältet inte har en potential tar vi en sluten kurva med parametriseringen ρ = 1, ϕ = ϕ, z =, ϕ < π. Det är enhetscirkeln i planet z =. Vi har π 1 ˆϕ ˆϕdϕ = π. ρ Det visar (enligt sats ) att vektofältet inte kan ha potential. Ex.6 (Vektorfält med singularitet) åt A vara samma vektorfält som i det föregående exemplet och vara skärningskurvan mellan cylindern ρ = 1 och planet x + y + z = 1. Vi väljer orienteringen på moturs sett från (,, 1). Bestäm linjeintegralen A dr. ösn. 1. (Fel lösning.) Rotationen av A är noll. åt vara området som omsluts av. Användes tokes sats för med randen fås att linjeintegralen är. Felet här är att innehåller singulariteter för A (fältet A har singulariteter längs hela z axeln).. (Korrekt lösning.) åt 1 vara kurvan ρ = 1, z = med orientering medurs sett från (,, 1). åt också vara ytan som ligger på cylindern ρ = 1 mellan kurvorna och 1. Nu innehåller inte singulariteter till A och tokes sats ger + 1 eller π enligt Ex.5 1 4

Ex.7 (En invariant definition av rotationen.) Betrakta A i punkten P. Vi väljer en riktningen ˆn och inför cirkelskivan ε med centrum i P och radien ε som ligger i planet ortogonalt mot ˆn. Om ε är randen till ε så har vi (efter rätt val av orientering på ε ) ( A) ˆnd. ε ε För små ε kan man skriva att ε ( A) ˆnd πε ( A(P )) ˆn. 1 ( A(P )) ˆn = lim ε πε A dr. ε Den här formeln ger en invariant definition av rotationen av vektorfält (högerledet är definierat utan val av kartesiska koordinater). 5