Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin. A.1 inje-, yt- och volymstäthet Masstätheten (densiteten) för en kropp är en välkänd storhet. Om densiteten inte varierar i kroppen blir den matematiska behandligen av masstäthet ofta enkel. Med volymen V och massan M fås kroppens densitet då helt enkelt som = M/V. Men hur beräknar man exempelvis massan av en kropp i vilken densiteten varierar? Vi behöver nu betrakta en infinitesimal volym dv och dess motsvarande infinitesimala massa dm (se Figur A.1(a)) för att beräkna dess lokala densitet (i kg/m ) dm ( r ) = (A.1) dv där ortsvektorn r just anger att densiteten är lokalt definierad; den refererar till punkten r = (x, y, ). I praktiska fall är omvändningen vanligast; vi känner till den lokala masstätheten och vill beräkna den totala massan. Vi behöver då integrera uttrycket i (A.1) över hela kroppens volym: M V = r dv. (A.) I en del fall kan kroppen vara så tunn att den har karaktären av en tunn yta. Då kan det vara praktiskt att introducera yttätheten, definierad som ρ s = dm/d där d är en infinitesimal delyta av ytan. I andra fall, där kroppen har karaktären av en tråd eller kurva, är det praktiskt att definiera linjetätheten ρ l = dm/dl där dl är ett infinitesimalt linjesegment längs kurvan. Figurerna A.1(b) och A.1(c) illustrerar detta. Figur A.1 Infinitesimala volym-, yt- och linjelement. Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 1
Analogt med masstäthet kan täthet definieras även för andra (skalära) fysiska storheter; man talar exempelvis om strömtäthet, energitäthet, krafttäthet och så vidare. Ett viktigt exempel är elektrisk laddningstäthet. åt oss anta att kroppen i Figur A.1(a) är elektriskt laddad och att laddningen i den infinitesimala volymen dv är dq. Då kan (volym)laddningstätheten ρ V definieras analogt med ekvation (A.1). Därmed fås den infinitesimala laddningen dq som V dq = r dv. (A.) Den totala laddningen i kroppen blir då volymsintegralen av (A.): V V Q = r dv. (A.4) Om vi i stället betraktar en yta, som i Figur A.1(b), får vi dq = r d (A.5) Q = r d (A.6) där ρ s är ytladdningstätheten och (A.6) är ett exempel på en ytintegral. Väljer vi i stället en kurva, exempelvis en elektriskt ledande tråd, fås l dq = r dl (A.7) l Q = r dl (A.8) där ρ l är elektrisk linjetäthet och (A.8) ett exempel på en linjeintegral. Beräkningar av volyms, yt- och linjeintegraler kräver som regel matematiska verktyg som behandlas i Kapitel 6 och 7. För problem med cylindersymmetri eller sfärisk symmetri är det emellertid ofta möjligt att förenkla beräkningarna och använda de infinitesimala element som introduceras i Kapitel. Vi ska nu studera tre exempel. Exempel A.1. injeladdningstäthet En tråd är formad som en halvcirkel med cetrum i origo och med radie ; se Figur A.(a). Tråden är elektriskt laddad med linjeladdningstätheten ρ l = ρ cosφ (den varierar alltså längs tråden). Vi vill nu beräkna totala laddningen på tråden. åt oss därför införa ett infinitesimalt längdelement dl längs tråden. Eftersom tråden är cirkelformad kan vi använda uttrycket (.9) för linjeelement i cylindriska koordinater. adien är ju konstant, så vi låter = : dl = d. (A.9) Med användning av (A.7) får vi den infinitesimala laddningen dq = = cos ldl d (A.1) som integreras till / / / Q= dq = cos d = sin =. (A.11) / Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB
Figur A. Geometri för exemplen A.1, A. och A.. Exempel A.. Ytladdningstäthet En yta är formad som en halvsfär med basen parallell med x-planet, centrum i origo och med en radie enligt Figur A.(b). Ytan är elektriskt laddad med ytladdningstätheten ρ = ρ sinφ. Beräkna totala laddningen på ytan. Vi inleder med att betrakta en infinitesimal delyta d. Eftersom ytan har sfärisk form kan vi använda oss av uttrycket för infinitesimala delytor i sfäriska koordinater; se (.15). Då radien av sfären är konstant, kan vi sätta r = : d = sindd. (A.1) Med användning av (A.5) fås d som integreras till Q= d = sin sind d (A.1) dq sind sind cos cos 4 Q = = = =. (A.14) Exempel A.. Volymladdningstäthet En kropp V är cylinderformad med axeln längs -axeln, basen i xy-planet, radien och höjden, se Figur A.(c). Kroppen är elektriskt laddad med volymladdningstätheten ρ V = ρ (1 ρ ). Beräkna kroppens totala laddning. Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB
Vi inför ett infinitesimalt volymselement dv i kroppen. Eftersom kroppen har cylindersymmetri kan vi använda uttrycket för en infinitesimal volym i cylindriska koordinater. Observera att vi kan inte låta = eftersom hela volymen ska täckas vid integreringen. Variabeln är alltså ej konstant. Vi har dv = ddd. (A.15) Med användning av (A.) fås 1 dq = V dv = ddd som kan integreras till (notera att vi integrerar ut till kroppens yttre radie ). (A.16) Q = dq = 1 ddd = 1 d = d = = = = 6 (A.17) Figur A. Geometri för elektriska fält som genereras av (a) punktladdningar och (b) ett elektriskt laddat föremål. Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 4
A. Elektriska fält från punktladdningar och elektriskt laddade kroppar Elektriska fältet från en punktladdning Q, placerad i origo, beskrevs i sektion. med hjälp av ett sfäriskt koordinatsystem. I mer generella fall kan laddningar befinna sig på andra ställen; se Figur A.. Hur beräknas det elektriska fältet i dessa fall? Vi antar att laddningen befinner sig i en punkt med ortsvektorn r 1. Nu söker vi det elektriska fältet i punkten P som associeras med ortsvektorn r, se Figur A.(a). I förhoppning om att samma metod som vid lösning av problemet med laddningen i origo fungerar, så behöver vi riktningen av det elektriska fältet och det kvadratiska avståndet mellan laddningen och punkten P. åt d vara riktningen som pekar från laddningen till punkten P. Vi normaliserar så att d = 1. Figur A.(a) visar att riktningen från laddningen till P är r r 1. Alltså blir ˆ r r1 d =. (A.18) r r 1 Avståndet mellan P och laddningen är r r 1 som kvadrerat blir r r 1. Detta ger elektriska fältet q1 r r1 E = (A.19) 4 r r 1 för en enskild punktladdning. I fallet två punktladdningar, som i Figur A.(a), adderas (superponeras) helt enkelt fälten från var och en av punktladdningarna: q1 r r1 q r r E = +. (A.) 4 r r 4 r r 1 Har vi N elektriska laddningar, identifierade med ortsvektorerna r i, får vi det elektriska fältet i punkten P med ortsvektorn r som E = q r r N i i. (A.1) i= 1 4 r ri En liknande analys kan göras då vi vill beräkna det elektriska fältet från en elektriskt laddad kropp. Vi studerar en kropp med volymen V och antar att dess volymladdningstäthet är ρ V (r ). Vi skriver ut ortsvektorn r för att beteckna att ρ V inte är konstant utan varierar i rummet. Vi vill nu beräkna totalfältet från kroppen i punkten P med ortsvektorn r. om första steg betraktar vi ett infinitesimalt volymselement dv i V, associerat med ortsvektorn r ; se Figur A.(b). Den infinitesimala laddningen i dv är dq = ρ V (r )dv. Nu kan vi använda (A.19) för att beräkna det infinitesimala elektriska fältet de i P, genererat av laddningen dq: ( ) dq r r r dv V r r de = = 4 4 r r r r. (A.) Det totala elektriska fältet, slutligen, fås genom att integrera (A.) över hela volymen V: ( r r ) ( r ) E( r ) = V dv. (A.) V 4 r r Vi kan nu ställa upp motsvarande formler för fallen att vi har en elektriskt laddad yta med ytladdningstäthet ρ, alternativt en elektriskt laddad tråd med linjeladdningstätheten ρ l ; Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 5
( r r ) ( r ) E( r ) = d (A.4) 4 r r ( r r ) ( r ) E( r ) = l dl. (A.5) 4 r r Det är värt att poängtera att i formlerna (A.)-(A.5) står r för den position i vilken vi vill veta fältet, medan r representerar positionen för det infinitesimala elementet med delladdningen dq. Motsvarande integraler kan, i generella fall, vara besvärliga att beräkna. Vi introducerar lösningsmetoder i Kapitel 6 och 7. Det är emellertid instruktivt att i detta skede beräkna dem för några fall med cylindersymmetri eller sfärisk symmetri. Vi avslutar därför denna sektion med att diskutera två sådana fall. Figur A.4 Geometrier för exempel A.4 och A.5. Exempel A.4. Det elektriska fältet från en laddad ledare En rak ledare med längd b är elektriskt laddad med konstant linjeladdningstäthet ρ l. Antag att ledaren är orienterad längs -axeln och centrerad i origo; se Figur A.4(a). Beräkna det elektriska fältet i en punkt P lokaliserad i xy-planet. Det står klart att vi behöver beräkna integralen i (A.5) för att få ett uttryck för fältet. Eftersom ledaren är orienterad längs en axel har vi cylindersymmetri och kan däför använda ett cylindriskt koordinatsystem där ortsvektorn har formen r = ρe ρ + e ; se (.8). För att lösa integralen behöver ta följande tre steg: (I) ta fram ett uttryck för punkten P:s ortsvektor r, (II) uttrycka positionen r för en infinitesimal linjeladdning på ledaren och (III) ge ett uttryck för ett infinitesimalt linjeelement längs ledaren: (I) Eftersom P har placerats i xy-planet är =. Ortsvektorn till P, i cylinderkoordinater, blir r = ˆ (A.6) (II) e där utgör avståndet mellan P och -axeln. addningen är lokaliserad till ledaren, dvs till -axeln. Detta ger =. Ortsvektorn till den infinitesimala linjeladdningen blir då Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 6
(III) r = eˆ (A.7) där anger den position laddningen befinner sig på. Kom ihåg att primade variabler används för att utmärka de variabler som ska integreras. Eftersom tråden följer -axeln blir linjeelementet dl med laddning dq helt enkelt dl = d. (A.8) Vi kan nu slutföra insättningen i (A.). Vi har r r = eˆ eˆ (A.9) r r = + (A.) ( r r ) eˆ eˆ dl = r r + / ( ) l 4 ( + ) / d vilket ger E( r ) = eˆ eˆ d = (laddningstätheten är konstant i detta exempel och kan flyttas utanför integralen) eˆ ˆ e l = = / 4 d + eˆ e ˆ = = 4 d 4 d ( ) + ( + ) l l / / (A.1) (A.) (A.) (notera att e ρ ej beror av och kan flyttas utanför integralen, som beskrivet i ektion.4, och att e är konstant och också kan flyttas utanför integrationen) b 1 b = eˆ eˆ = eˆ 4 4 4 l l l + + + b b b Det elektriska fältet blir l b E( r ) = + b eˆ b (A.4). (A.5) Det framgår att det elektriska fätet endast har en radiell komponent. Detta kommer sig av att fältet är beräknat i xy-planet och att tråden är centrerad i =. Varje -komponent från infinitesimala fältbidrag genererade för > kancelleras alltså av motsvarande, motriktade fält för <. Exempel A.5. Det elektriska fältet från en halvsfär En kropp med formen av en halvsfär, centrerad i origo med radie och basen i xy-planet är elektriskt laddad (se Figur A.4(b)). Volymsladdningstätheten är ρ V = ρ (1 r ). Beräkna det elektriska fältet i origo. För att beräkna det elektriska fältet behöver vi lösa integralen (A.). Problemets geometri inspirerar till sfäriska koordinater. Ortsvektorn är r = re r; se (.14). För att lösa integralen behöver vi utföra tre preliminära steg: (I) uttrycka positionen r där vi vill beräkna fältet, (II) ange positionen r för en infinitesimal laddning som befinner sig innanför volymen och (III) uttrycka det infinitesimala volymselementet: Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 7
(I) (II) Punkten där vi vill beräkna fältet är origo; r = (,,) =. (A.6) Den infinitesimala laddningen befinner sig på radien: r = r eˆ (A.7) r där r är avståndet från laddningen till origo. (III) I sfäriska koordinater kan det infinitesimala volymselementet uttryckas som (se (.15)) dv = r sin d d dr (A.8) Vi har använt primade variabler för att förtydliga de variabler som ska integreras över. Vi kan nu skriva följande uttryck som ingår i integralen (A.) r r = r e ˆr (A.9) r r = r (A.4) ( r r ) re ˆ r r Integralen blir dv = r sin d d dr = eˆ r sin d d dr. (A.41) r r = 1 sin = / r E eˆ r d d dr 4 (A.4) Notera här att laddningstätheten refererar till den infinitesimala punktladdningen i r ; därför måste den också anges med ett primtecken. Notera också att basvektorn e r beror av vinklarna och, så den kan inte placeras utanför integralen. Vi behöver vidare konvertera e r till ett kartesiskt koordinatsystem med hjälp av (.1): 4 / r = + + = 4 1 ( sin cos eˆ sin sin ˆ cos ˆ x ey e ) sin d d dr (A.4) / r = 1 sin cos e d d dr + 4 ( ˆx ) / r 1 sin sin e d d dr + ( ˆy ) / r 1 ( sin cos eˆ ) d d dr 4 = (e x, e y och e är oberoende av, och r, så de kan flyttas utanför integralen) = + 4 / r eˆ x 1 sin cos d d dr + 4 / r eˆ y 1 sin sin d d dr / r eˆ 1 sin cos d d dr 4 = (A.44) (A.45) Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 8
π (notera att cosφ dφ = integralen) Vi får slutligen π och sinφ dφ =, så x- och y- komponenterna ger inget bidrag till / r = eˆ ( sin cos ) d 1 dr = 4 (A.46) / cos r 1 eˆ ˆ ˆ r e e = = = 8 (A.47) E( r ) ˆ = e. (A.48) 8 På grund av problemets symmetri kancelleras x- och y-komponenterna av elektriska fältet från en infinitesimal laddning i r, och av de komponenter som produceras av infinitesimala laddningar på motsatt sida, i r, och +. Därför ger endast -komponenten bidrag till fältet. A. trömtäthet Vi har bekantat oss med problemställningar där elektriska strömmar I flyter längs trådar med elektriskt motstånd. För dessa problem antas ofta att tråden är infinitesimalt tunn. I verkligheten har emellertid varje ledare en ändlig tjocklek. Dessutom är det vanligt att strömmen, som flyter i ledaren, koncentrerar sig mer i vissa delar av ledaren och mindre i andra delar. Exempelvis kan mer ström flyta i centrum av en ledare än i dess utkanter. För att kunna beskriva denna situation behöver vi införa strömtätheten j. trömtäthet definieras som en vektor, vars storlek i varje punkt utgörs av den lokala elektriska strömmen di per enhetsarea d; j di = (A.49) d och vars riktning bestäms av riktningen för de elektriska laddningarnas rörelse. Om strömtätheten är känd, kan (A.49) användas för att bestämma den totala strömmen som flyter genom ytan : I = j d. (A.5) Detta är ett exempel på ett flöde. Vi lär oss metoder för att beräkna det i Kapitel 7. I en geometri, där strömtätheten är riktad vinkelrät mot, som i Figur A.5, kan denna integral förenklas till I = j d. (A.51) Denna integral kan enkelt beräknas om vi kan uttrycka det infinitesimala ytelementet d med en användbar parametrisering. Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 9
Exempel A.6. trömtätheten i en rak ledare åt oss anta att den raka ledaren i Figur A.5 har cirkulärt tvärsnitt med radie och att strömtätheten inuti tråden beskrivs av r j ( r) = j ˆ 1 ey (A.5) där r är avståndet till ledarens symmetriaxel. Vi vill beräkna den totala strömmen som flyter genom ledaren. Inledningsvis kan vi notera från (A.5) att strömtätheten har sitt maximumvärde på axeln r =, där det gäller att j () = j e y. Vidare minskar strömtätheten linjärt mot randen r =, där j () =. edarens tvärsnittsarea är cirkulär, så för att uttrycka d använder vi en cylindrisk parametrisering, vilken, genom att utnyttja (.9), blir d = rddr (A.5) där r varierar från (på trådens axel) till (vid randen) och varierar från till. Nu kan vi enkelt beräkna den totala strömmen som flyter genom tråden med hjälp av (A.5): r I = j d = j 1 rddr = r r r j j r dr j. = = = (A.54) Figur A.5 Geometri till Exempel A.6. En strömtäthet j flyter längs y-axeln genom en rak ledare med cirkulärt tvärsnitt och radie. Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 1
A.4 äkneövningar Övning A.1. En cirkulär spole har radien, centrum i origo och ligger i xy-planet. Den linjära laddningstätheten i spolen är λ = λ cos 5 φ. Beräkna den totala elektriska laddningen i spolen. Övning A.. En halvcylindrisk yta med radien och axeln längs -axeln ligger i xy-planet på x <. Ytan har längden h. e Figur A.6(a). Masstätheten i ytan beskrivs av σ = σ ρ cosφ, där ρ, φ och är cylinderkoordinater. Beräkna ytans masas. Övning A.. En del av en sfärisk yta med radien befinner sig i första kvadranten (x >, y >, > ), se Figur A.6(b). addningstätheten i ytan beskrivs av σ = σ rsinθ, där r, θ och φ är sfäriska koordinater. Beräkna den totala elektriska laddningen i ytan. Figur A.6. Geometri för övning A. och övning A. Övning A.4. Ett föremål definieras som /4 av en cylinder med radien, höjden h och axeln längs -axeln. Centrum av cylindern ligger i origo. Delen av cylindern visas i Figur A.7(a), med ytan 1 i x-planet och ytan i y-planet. addningstätheten ρ c i cylindern beskrivs av ρ c = ρ ρsinφ, där ρ, φ och är cylinder-koordinater. Beräkna den totala elektriska laddningen i föremålet. Övning A.5. En sfär med radien har centrum i origo. Betrakta ett föremål som definieras som delen av sfären som ligger i kvadranten x <, y <, > ; e Figur A.7(b). addningstätheten beskrivs av ρ c = ρ rcosφ, där r, θ och φ är sfäriska koordinater. Beräkna den elektriska laddningen i föremålet. Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 11
Figur A.7. Geometri för övning A.4 och övning A.5 Övning A.6. En elektrisk ström I flyter i en cirkulär spole. polen har radien r, centrum i origo och befinner sig i planet =. e Figur A.8(a). Biot-avarts lag lyder: I Br = 4 ( ) dl r r r r där dl är ett infinitesimalt längdelement längs spolen (kurvan ), r är en vektor från origo till dl, r är positionsvektorn (från origo till punkten där vi vill beräkna B ). Beräkna magnetfältet B längs -axeln. Figur A.8. Geometri för övning A.6, övning A.8 och övning A.1 Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 1
Övning A.7. Kraften F på en ledare med den elektriska strömmen I, i det magnetiska fältet B är:. F = I dl B Beräkna kraften F på en cirkulär strömslinga (radie och centrum i origo). ligger i xy-planet (=) och omsluter -axeln en gång. Magnetiska fältet B definieras i ett cylindriskt koordinatsystem: Övning A.8. ( cos sin ) B = B ˆ ˆ e + e. E (r ) är det elektriska fältet i en punkt vars ortsvektor är r. Fältets källa är en yta,, med konstant laddningstäthet σ. Under dessa förutsättningar beräknas E (r ) som: ( ) 1 r r d Er = 4 r r där d är ett infinitesimalt ytelement på (ej riktat), r är en vektor från origo till d, r är positionsvektorn (från origo till punkten där vi vill beräkna E ). Ytan är en cirkulär skiva som ligger i xyplanet ( = ). kivan har centrum i origo och radie. e Figur A.8(b). Beräkna elektriska fältet E längs -axeln. Övning A.9. Betrakta en stel cirkulär spole med radie. polen har centrum i origo och ligger i planet x =. addningstätheten i spolen beskrivs av λ l = λ cosθ. I origo finns en elektriskt laddad partikel med laddning Q som generar ett elektriskt fält enligt 1 E = 4 Q eˆ r r Den infinitesimala laddningen dq på ett längdelement dl är dq = λ l dl. Kraften på dq som produceras av elektriska fältet är df = E dq. Beräkna den totala kraften på spolen. Övning A.1. En elektrisk ström I går i en halvcirkulär spole med radie r. polen ligger på planet = och har centrum i origo, se Figur A.8(c). Använd Biot-avarts lag (se övning A.6) för att beräkna magnetfältet B längs -axeln. Övning A.11. En halvsfärisk yta med radie ligger i = planet med centrum i origo, se Figur A.9(a). Ytan har konstant laddningstäthet σ. Beräkna elektriska fältet E i origo. Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 1
Övning A.1. E (r ) är det elektriska fältet i en punkt vars ortsvektor är r. Fältets källa är en yta,, med konstant laddningstäthet σ. Under dessa förutsättningar beräknas E (r ) som ( ) 1 r r d Er = 4 r r där d är ett infinitesimalt ytelement på (skalärt, ej riktat), r är en vektor från origo till d, r är positionsvektorn (från origo till punkten där vi vill beräkna E ). Ytan är en halvcylinder med radie och höjden. Halvcylindern har axeln riktad längs -axeln och är definierad för x ; se Figur A.9(b). Beräkna elektriska fältet E i origo. Figur A.9. Geometri för övning A.11 och övning A.1. Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 14
A.5 var till räkneövningar Övning A.1. Q = Övning A.. M = h Övning A.. Övning A.4. Övning A.5. Övning A.6. Övning A.7. Övning A.8. Övning A.9. Q = 8 Q = h Q = 4 4 I B( r ) = F = IB e E( r ) r ˆx ( r + ) ˆ = e Q ˆ F = e 4 / eˆ + Övning A.1. Övning A.11. Övning A.1. I 1 B( r ) = r e + r e / 4 E ( r ) = 4 e E r ( r + ) = e 1/ x ˆ ( + ) ( ˆ ˆ x ) ˆ Appendix, Vektoranalys 47-1617- författarna och iber AB 15