Dagens program Repetition Determinanten Definition och grundläggande egenskaper Radoperationers påverkan på erminanten Beräkning av erminanten för en trappstegsmatris Utveckling efter rad eller kolonn Kofaktorer Geometriska tolkningar
4.2. Determinantdefinitionen, steg för steg Definition 4.2.1. En tillåten produkt ur en n n-matris A är en produkt av n st element ur A, a 1p1 a 2p2 a npn, där ingen av faktorerna i produkten står i samma rad eller samma kolonn i A som någon av de andra faktorerna i produkten Tillåten produkt Otillåten produkt
4.2. Determinantdefinitionen, steg för steg Definition 4.2.2. Ett negativt par ur en tillåten produkt a 1p1 a 2p2 a npn är ett par av faktorer a ipi a jpj där i < j men p i > p j Radindex: i < j, dvs rad i är ovanför rad j Kolonnindex: p i > p j, dvs kolonn p i är till höger om kolonn p j Negativt par. Tänk ovanför till höger: a ipi a jpj
4.2. Determinantdefinitionen, steg för steg Definition 4.2.4. Tecknet för en tillåten produkten a 1p1 a 2p2 a npn ges av 1 N(p 1,p 2,,p n ) där N p 1, p 2,, p n = antalet negativa par i a 1p1 a 2p2 a npn T ex i produkten nedan är totalt 3 negativa par vilket medför att 1 N(p 1,p 2,p 3,p 4 ) = 1 3 = 1
4.2. Determinantdefinitionen, steg för steg Definition 4.2.6. Låt A vara en n n-matris. Determinanten av A, A, definieras som summan av de tillåtna produkterna inklusive deras tecken, d v s A = 1 N(p 1,p 2,,p n ) a 1p1 a 2p2 a npn Exempel 1. A = a b c d A = ad cb Exempel 2. Determinanten blir lättare att räkna om finns flera nollor: 0 4 5 0 6 7 = 0 4 5 0 6 7 = 1 4 7 1 6 5 = 2 Observation: om en matris A har en nollrad (eller nollkolonn) så är A = 0
Multiplikation av rad med nollskild konstant Sats 4.3.3. Låt A vara en n n-matris och B den n n-matris som fås då en rad (eller en kolonn) ur A multipliceras med ett tal k 0. Då är B = k A. T ex a 11 a 12 a 13 ka 21 ka 22 ka 23 = k a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Exempel. 10 20 30 = 10 5 6 7 9 10 11 = 2 1 1 3 4 3 6 7 5 9
Spaltning Sats 4.3.4. Låt n n-matriserna B, A 1, A 2 har egenskap att A 1 och A 2 är lika, sånär som på en rad, och elementen i denna rad i matrisen B är summan av motsvarande element ur matriserna A 1 och A 2. Då gäller att T ex B = A 1 + A 2 a 11 a 12 a 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 = a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 + a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 b 21 b 22 b 23 a 31 a 32 a 33 Exempel. 1 + x 1 + 2x 1 + 3x 5 5 5 = 1 1 1 5 5 5 + x 2x 3x 5 5 5 = = x 2x 3x 5 5 5 = x 5 5 5 = 0
Elementära räkneoperationer Multiplicera rad (kolonn) med nollskild konstant Byta plats på två rader Addera konst*(rad) till annan rad Hela erminanten multipliceras med konstanten Determinanten byter tecken Determinanten ändras ej 10 20 30 = 10 5 6 7 9 10 11 = 2 1 1 3 4 3 6 7 5 9 = 9 12 15 2 = 1 = 0 0 0 = 0
Elementära räkneoperationer Exempel 6 1 4 7 3 4 4 3 1 1 8 1 2 2 2 2 = 0 7 44 1 0 1 20 0 1 1 8 1 0 0 14 0 = 1 1 8 1 0 1 20 0 0 7 44 1 0 0 14 0 = 1 1 8 1 0 1 20 0 0 0 184 1 0 0 14 0 = = 1 1 8 1 0 1 20 0 0 0 14 0 0 0 184 1 = 1 1 8 1 0 1 20 0 0 0 14 0 0 0 0 1 = 14
Kofaktorer Huvudidé: att krympa en erminant till en summa av erminanter av en storlek mindre. Definition 4.8.1. Låt A vara en n n-matris och låt (n 1) (n 1)-matrisen A ij vara den matris som fås då rad i och kolonn j stryks ur A. Då kallas M ij = A ij minoren till elementet a ij och C ij = 1 i+j M ij kallas kofaktorn till elementet a ij. Exempel. Låt För i = 1 och j = 1 För i = 2 och j = 2 A = C 11 = 1 1+1 C 22 = 1 2+2 = 5 6 8 9 = 5 9 6 8 = 3 = 1 3 7 9 = 1 9 7 3 = 12
Kofaktorer Sats 4.8.3. Låt A vara en n n-matris. Då gäller att A = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in A = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj (utveckling efter rad i) (utveckling efter kolonn j) Exempel. Låt A = A = 1 1+1 5 6 8 9 + 1 1+2 4 6 7 9 + 1 1+3 4 5 7 8 = 45 48 36 42 + 32 35 = 0
Determinanter och ekvationssystem Korollarium 4.5.2. Låt A vara en n n-matris och T en trappstegsmatris sådan att A T. Då gäller att A 0 T 0 Sats 4.6.1. Låt A vara en n n-matris. Följande påståenden är ekvivalenta: A 0 A är inverterbar Matrisekvationen AX = Y har entydig lösning för alla n 1-matriser Y. Matrisekvationen AX = 0 har endast den triviala lösningen, X = 0. rang A = n A är radekvivalent med enhetsmatrisen
Korollarium 4.6.2. Determinantkriteriet (A) 0 Ekvationssystemet AX = Y är entydigt lösbart för alla högerled Y. A = 0 Ekvationssystemet AX = Y saknar lösning eller har oändligt många lösningar. Exempel 3.4.5. För vilka a ekvationssystemet är entydigt lösbart x + y + z = 1 2x + ay + 2z = 0 x + 3y + 2az = 1 Lösning. Söker erminanten först: 1 1 1 2 a 2 1 3 2a = a 2 3 2a 2 2 1 2a + 2 a 1 3 = 2a2 5a + 2 = (2a 1)(a 2) För all a 2 och a 1 matrisen A är inverterbar så att systemet har entydigt lösning 2 Om a = 2 x + y + z = 1 x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 0 x + y + z = 0 har ingen lösning x + 3y + 4z = 1 x + 3y + 4z = 1 Om a = 1 2 1 1 1 2 1/2 2 1 3 1 1 0 1 ~ 1 1 1 0 3/2 0 0 2 0 1 0 0 ~ 1 1 1 0 3/2 0 0 0 0 1 0 0 har oändligt många lösningar
Transponering och produktlagen Sats 4.4.1 (Transponering). Låt A vara en n n-matris. Då gäller att A t = A. Sats 4.7.1. Låt A och B vara en n n-matriser. Då gäller att AB = A B Korollarium 4.7.2. Låt A vara en inverterbar n n- matris. Då gäller att A 1 = 1 A
Geometriska tolkningar Vektorprodukten kan skrivas som en erminant:
Geometriska tolkningar Area av parallellogram i planet Även volymprodukten kan skrivas som en erminant