4 Integrering av vektorfält 4.1 Integrering av vektorvärda funktioner Vi börjar vår undersökning av hur vektorfält integreras med att studera en styckvis kontinuerlig funktion A av flera oberoende variabler u, v,..., dvs Au, v,...). Denna vektorvärda funktion integreras nu över ett område D i u, v,...-rummet. Genom att uttrycka A i sina kartesiska komponenter ses att Adudv = A x dudv, A y dudv, A z dudv. D D D D Integreringen sker alltså direkt i A:s komponenter, på liknande sätt som vid deriveringen av A se kapitel 2.1 och 2.2). Att så är fallet följer av det faktum att de kartesiska enhetsvektorerna x, ŷ och ẑ är fixerade, dvs de är oberoende av u, v,.... Eftersom de kartesiska komponenterna av A ges av skalärvärda funktioner, fås att många satser som är giltiga för reella funktioner även kan tillämpas på A. Exempelvis, för Au) gäller b da du du = Ab) Aa), a x d dx a Au)du = Ax). Exempel: åt F x, y, z) dxdydz = F x r), F y r), F z r)) dv, r dv vara kraften som verkar på volymselementet dv = dxdydz vid r = x, y, z). Den totala kraften på en kropp V fås då genom att addera kraftbidragen som verkar på kroppens alla smådelar enligt ) F r)dv = F x dv, F y dv, F z dv. V V V V 4.2 injeintegraler Betrakta nu en styckvis glatt och orienterad rymdkurva mellan punkt P och punkt Q. Rymdkurvan beskrivs med hjälp av ortsvektorn ru), där a u b och där vi förutsätter att en ökning i u motsvarar en rörelse i :s positiva riktning. Rymdkurvans startpunkt P ges således av ra) och dess slutpunkt Q av rb). Utmed rymdkurvan finns nu även ett vektorfält A, som är styckvis kontinuerligt längs. injeintegralen längs av A:s tangentkomponent kan då beräknas enligt A d r = b a A ru)) d r du du, dr Q Arb)) Aru)) P Ara))
se diskussionen kring :s parameterframställning i kapitel 3.1. Att integranden i ovanstående uttryck verkligen är detsamma som A:s tangentkomponent längs ses genom omskrivningen d r = d r d r du du = du d r d r du du, du T dr där dr är rymdkurvans bågelement och T dess normaliserade tangentvektor. Med andra ord, A d r = } A {{ T } dr. tangentkomponenten av A längs Exempel 1: En partikel rör sig längs rymdkurvan i ett kraftfält F. Kurvans parameterframställning ges av rt) = xt), yt), zt)), där α t β. Totala arbetet som tillförs partikeln blir W = F d r = β α F rt)) d r dt dt. Med F r) = F x r), F y r), F z r)) kan ovanstående uttryck även skrivas i differentialform som β W = F x x, y, z) dx dt + F yx, y, z) dy dt + F zx, y, z) dz ) dt. dt α Exempel 2: Vi söker nu A d r i fallet då Ax, y, z) = yz, xz, 2) och för en rymdkurva som går från P : 1,, ) till Q : 1,, 4π). För skojs skull jämför vi linjeintegralens värde för två olika rymdkurvor och se figuren till höger). Kurvan beskrivs av ortsvektorn ru) = xu), yu), zu)) = cos u, sin u, u), där u 4π. Vi ser vidare att A ru)) = yu)zu), xu)zu), 2) = u sin u, u cos u, 2), d r du = d cos u, sin u, u) = sin u, cos u, 1). du injeintegralen längs blir således 4π A d r = A ru)) d r du du = = 4π 4π u + 2)du = 8π 2 + 8π. u sin u, u cos u, 2) sin u, cos u, 1)du
ängs används istället ortsvektorn ru) = 1,, u), där u 4π. Vi får nu att A ru)) =, u, 2), d r du =,, u). injeintegralen längs beräknas slutligen till 4π A d r =, u, 2),, 1) du = 8π. 2 Observera: injeintegralen mellan två punkter beror i allmänhet) av vägen! Andra linjeintegraler Andra typer av linjeintegraler där A ses förekomma är exempelvis A d r, A Ndr, där N är kurvans orienterade normal. medan den undre i en skalär. Den övre linjeintegralen resulterar i en vektor, Exempel: åt oss betrakta en stationärt strömmande vätska. Vätskan består av ett ytterst tunt skikt i z-led, vilket gör att den effektivt sett kan ses som tvådimensionell. Hastighetsfördelningen i vätskan ges därmed av det tidsoberoende vektorfältet vx, y), med enheten m/s. Vätskans materieströmm fås följdaktligen som ρx, y)vx, y), där ρ är vätskans ytdensitet med enhet kg/m 2 ). Vi söker nu massan av den flödande vätska som passerar en rymdkurva i vätskans plan, från vänster till höger i figuren nedan, per tidsenhet. y Q T dr ru) P N vru)) x Förstoring vid bågelementet dr h θ vru)) dt Area: hdr dr θ N vru)) För att bestämma det totala massflödet bestäms först materieströmmen genom ett litet bågelement dr under den korta tiden dt. Inom det infinitesimala dr:s omedelbara närhet kan det mer beskedligt varierande v betraktas som konstant. All vätska som befinner sig
inom parallellogrammet, som spänns upp av v ru))dt och d r, ses därmed passera genom dr under tiden dt. Parallellogrammets area ges av se figuren ovan) hdr = v ru)) dt cos θdr = v ru)) Ndrdt. Vätskemassan som passerar bågelementet dr per tidsenhet ges därför av ρ v Ndr. Det totala massflödet i kg/s), från vänster till höger, genom kurvan fås slutligen till ρv ) Ndr. Uppdelad rymdkurva En rymdkurva som är uppdelad i mindre bitar skrivs som = 1 + 2 +..., där i är :s delkurva i. Notera att delkurvorna inte nödvändigtvis behöver hänga samman se figuren till höger). injeintegralen längs kan på motsvarande sätt delas upp i en summa av linjeintegraler över alla dess delkurvor. Exempelvis fås att A d r = A d r + A d r +... 1 + 2 +... 1 2 P 1 2 3 5 4 Q Q P Q P - Byte av orientering Betrakta en rymdkurva beståendes av samma punkter som, men med dess motsatta orientering. Det som skiljer en linjeintegral längs mot den längs är således endast att de vektoriella linjeelementen d r pekar i motsatt riktning, dvs d r d r då. Om alla vektoriella linjeelement byter tecken måste även linjeintegralen totalt sett byta tecken, vilket betyder att A d r = A d r. Cirkulation injeintegralen av A längs en enkel sluten kurva, vilket även kallas för cirkulationen av A, skrivs som A d r. Att kurvan är enkel sluten betyder att den ej skär sig själv se figuren nedan). Ej sluten kurva luten kurva, men ej enkel luten enkel kurva
Om A d r = för alla enkelt slutna kurvor inom det öppna 4 området D, så gäller det att linjeintegralen av A mellan två godtyckliga punkter i D är oberoende av vägen dem emellan. Vi förutsätter här att inte heller rymdkurvan mellan de båda punkterna lämnar D. Det omvända är också sant; om linjeintegralen av A är oberoende av vägen inom D för samtliga start- och slutpunkter, så innebär det att cirkulationen av A är noll inom D. Bevis: Vi delar upp den slutna kurvan i två delkurvor 1 och 2 enligt figuren till höger. Givet att = A d r fås att = A d r A d r, dvs att 1 2 1 A d r = 2 A d r. P 1 2 Q D Till sist bör det påpekas att det vi egentligen beskriver när vi säger att linjeintegralen A d r är oberoende av vägen, är en egenskap hos vektorfältet A. Vektorfält med denna egenskap sägs vara konservativa. Konservativa fält Till ett konservativt fält A, definierat i det öppna området D, finns ett skalärfält Φ i D sådan att A = grad Φ. Φ Ovanstående funktion Φ kallas då för potentialen till A. Vektorfältet självt beskrivs på liknande sätt ofta som ett potentialfält, vilket alltså är synonymt med att det är konservativt. Det första vi noterar är att potentialen till A inte är entydigt bestämd, ty A = Φ = Φ + c), en annan möjlig potential! där c är en konstant. Det skall också påpekas att man inom fysiken, av historiska orsaker, ofta kallar Φ snarare än Φ) för A:s potential. För ett potentialfält A i ett öppet område D gäller, vilket vi nyss diskuterat, att linjeintegralen mellan två punkter i D är oberoende av vägen dem emellan. Nu är det hög tid att faktiskt visa att ett vektorfält på formen A = Φ verkligen uppfyller detta villkor A d r = b a Φ) d r du du = = Φ rb) ) Φ ra) ). Punkt Q PunktP b a Φ dx x du + Φ y dy du + Φ dz z du ) b du = a d du Φdu om synes, linjeintegralen av A = Φ längs beror endast av rymdkurvans ändpunkter, P och Q. Märk väl att en additiv konstant c, dvs Φ Φ+c, har ingen som helst inverkan på potentialskillnaden ΦQ) ΦP ). 4 Ett område D sägs vara öppet om själva punkterna som definierar dess rand inte är en del av D.
Det är också viktigt att påpeka att ingen annan motstridig form på A än A = Φ ger upphov till linjeintegraler som är helt oberoende av vägen. Faktiskt; om A d r verkligen är oberoende av vägen inom ett öppet bågvis sammanhängande 5 område D, så har A nödvändigtvis en potential där. Denna potential ges av D φx, y, z) = r r a A d r, Öppet) bågvist sammanhängande område D där a är en valfri fixerad punkt i D. Bevis: Antag att samtliga linjeintegraler av A inom D är oberoende av vägen. Då ses att Φ = r a A d r är en entydig funktion av x, y och z, givet a. Exempelvis, med a =,, ) vilket antas ligga inom D) fås att Φ x = lim Φx + x, y, z) Φx, y, z) x x = lim x 1 x = lim 1 x = lim x 1 x = A x x, y, z). x+ x,y,z),,) x+ x,y,z) x,y,z) x+ x A d r x,y,z),,) A d r [A x x, y, z)dx + A y x, y, z)dy + A z x, y, z)dz] A x x, y, z)dx x } {{ } A xx,y,z) x På motsvarande sätt visas att Φ = A y y och Φ = A z z. ammantaget fås alltså att φ φ = x, φ y, φ ) = A x, A y, A z ) = A. z Vi har, med andra ord, genom att utgå ifrån att alla linjeintegraler av A inom D är oberoende av vägen, hittat en potential till A i form av Φ = r A d r. a lutligen ställer vi oss frågan hur man vet om ett givet kontinuerligt vektorfält A är konservativt eller inte? Att konstruera en potential är nämligen inte alltid så enkelt, så innan vi börjar att aktivt leta efter Φ för att genom den lösa vår linjeintegral) bör vi vara säkra på att en potential faktiskt existerar för A. Antag att det finns en funktion U i ett område D så att A = U A x, A y, A z ) = U x, U y, U ), z 5 Bågvis sammanhängande betyder helt enkelt att alla punkter i området kan förbindas med linjer utan att vi för den sakens skull behöver lämna området. )
i området. Om U nu existerar, måste även följande vara uppfyllt 2 U x y = 2 U y x, A x y = A y x. På samma sätt fås att A x z = A z x och A y z = A z y måste gälla för att U skall kunna existera i D. Dessa tre villkor är nödvändiga villkor för att A skall kunna ha en potential. Om de inte är uppfyllda kan vi genast slå fast att vektorfältet inte är konservativt. Om nyss nämnda villkor är tillräckliga villkor för existensen av en potentialfunktion beror helt på området D. Mer precist; om D är ett öppet enkelt sammanhängande område 6, ja då vet vi att A har en potential i D under förutsättningen att Ax y = Ay, Ax x z = Az x Ay och z = Az y är uppfyllda. Ej sammanhängande Ej enkelt sammanhängande Enkelt sammanhängande Exempel: Beräkna linjeintegralen A d r för A = 2y 2, 4xy + y 2 z 2, 2 ) 3 y3 z + z z från punkt P : 1, 1, ) till Q : 2,, 1) där ses i figuren till höger. Vi undersöker först om A kan ha en potential, A x y = 4y = A y x, A x z = = A z x, A y z = 2y2 z = A z y. x 2,,1) -1,1,) y Ja, vi bör kunna hitta en potential till A. För potentialen Φ gäller då att A x = 2y 2 = Φ x, A y = 4xy + y 2 x 2 = Φ y, A z = 2 3 y3 z + z = Φ z. 6 Ett enkelt sammanhängande område betyder att varje sluten kurva i området kontinuerligt kan reduceras till en punkt utan att vi lämnar området.
Utifrån uttrycket för A x fås att Φ = 2y 2 x + fy, z). Med hjälp av uttrycket för A z fås härnäst att Φ = 2y 2 x + 1 3 y3 z 2 + gz). lutligen, baserat på A z, fås att Φx, y, z) = 2xy 2 + 1 3 y3 z 2 + 1 2 z2 + c, där c är en konstant. Den sökta linjeintegralen beräknas nu enkelt som A d r = Φ2,, 1) Φ 1, 1, ) = 5 2. 4.3 Flödesintegralen Betrakta nu ytan, som är styckvis glatt och orienterad. Ytan beskrivs genom parameterframställningen ru, v), med u, v i området P se kapitel 3.2). Ytan är att betrakta som uppbyggd av vektoriella ytelement d, vilka ges av d = Nd = r u r v dudv, där N är den normaliserade normalvektorn tillhörande ytelementet d. Vi förutsätter här att parameterframställningen är vald så att ovanstående uttryck för d överenstämmer med ytans givna orientering se återigen kapitel 3.2). Fortsättningsvis finns även ett vektorfält A, som är definierat och styckvis kontinuerligt på. Flödesintegralen av A över ges, per definition, av A d vilket även kan skrivas som A d = } A {{ N } d Normalkomponenten av A till = A ru, v)) p r u r v ) dudv. Notera att vi här alltså beräknar integralen över av A:s normalkomponent till ytan. Exempel: En stationärt strömmande vätska i tre dimensioner har den tidsoberoende hastighetsfördelningen vx, y, z), givet i m/s. Materiestömmen fås ur ρx, y, z) vx, y, z) med enhet kg/m 2 s)). Vätskemassan som passerar genom det vektoriella ytelementet d, i dess positiva riktning, under tiden dt ges då av ρ v Nddt. Det totala massflödet i kg/s) genom, i dess positiva orienteringsriktning, beräknas slutligen till ρ v Nd. v dt d N v v Ndt Uppdelad yta En orienterad yta som består av ett ändligt antal delytor i skrivs som = 1 + 2 +.... Flödesintegralen av A över kan delas upp på liknande sätt A d = A d. i i + -
Byte av orientering En yta består av samma ytelement d) som, men har den motsatta orienteringen. De vektoriella ytelementen till fås således genom att byta tecken på motsvarande vektoriella ytelement till, vilket medför att A d = A d. Avslutande exempel på flödesintegralen: Vi söker A d för ytan som ges av z = gx, y), se figuren till höger och notera även ytans orientering. Vi väljer u = x, v = y, vilket ger parameterframställningen ru, v) = u, v, gu, v)). Dessutom fås de partiella derivatorna r u = 1,, g ), u r v =, 1, g ). v x z N d + - y Normalvektorn till ges antingen av r r eller av u v r r = r r. Vi provar med det sistnämda v u u v alternativet N = r v r u = x ŷ ẑ 1 g v 1 g u = g u, g ) u, 1. Notera att ovanstående vektor ej är normaliserad. Med detta val av kryssprodukt fås att N har en negativ z-komponent, vilket inte är förenligt med ytans givna orientering. Vi drar följaktligen slutsatsen att den korrekta normalvektorn är N = g u, g ) u, 1. Flödesintegralen kan till sist beräknas som A d = Au, v, gv, u)) g p u, g ) u, 1 dudv, där integreringen sker över området p i uv-planet tillika xy-planet).
amma exempel som ovan, men beräknat med hjälp av gradienten: I detta fall, där ytan ges direkt av x och y genom z = gx, y), kan flödesintegralen A d beräknas på ett alternativt sätt; nämligen ur en integrering direkt i x och y. Då d = Nd, behöver vi dock först kunna uttrycka ytans normaliserade normalvektor N samt dess ytelementet d som funktioner av x och y. edan tidigare se kapitel 2.5), vet vi att normalvektorn till en nivåyta Φx, y, z) = c, där c är en konstant, fås som gradienten av Φ. Normalvektorn till kan således beräknas ur ett skalärfält Φ för vilket är en nivåyta. Det finns två möjliga Φ med denna egenskap samt Φx, y, z) = z gx, y) +c, Φx, y, z) = gx, y) z +c. De två möjliga valen av Φ ger upphov till normalvektorer med helt motsatt riktning. På samma sätt som tidigare, måste vi helt enkelt kontrollera vilket skalärfält som överrenstämmer med ytans givna orientering. Vi testar, N = gradz gx, y) + c) = z gx, y) + c) = g ) x, g y, 1, vilket stämmer med ytans orientering. Den normaliserade normalvektorn fås följdaktligen som ) g x N, g, 1 y = ) g, g., 1 x y x z N d dx dy + - y Det som återstår nu är att koppla samman ytelementet d med dxdy, dvs ytelementet i xy-planet. om synes se figuren till höger) är dxdy inget annat än projektionen av d på xy-planet, dvs dxdy = N ẑd. Detta samband mellan d och dxdy medför, i sin tur, att ) g, g, 1 x y d = Nd = N N ẑ dxdy = Flödesintegralen av A fås slutligen till A Nd = Ax, y, gx, y)) p g x, g y, 1 ),, 1) dxdy = g ) x, g y, 1 dxdy, vilket är identiskt med vad vi fick i tidigare lösningsalternativ. g ) x, g y, 1 dxdy.
4.4 ymmetrier Innan vi rutinmässigt börjar introducera parameterframställningar av, t.ex., ytor, kan det vara lönt att först leta efter symmetrier, eller andra egenskaper som förenklar integrationen. om exempel kan här tas en udda funktion f av x, dvs fx) = fx). Vid integrering av fx) över ett symmetriskt intervall kring noll, fås att a a fx)dx =. Vi behöver, i detta fall, alltså inte leta efter någon primitiv funktion till f. Varje bidrag fx)dx till integralen utraderas av ett annat bidrag f x)dx = fx)dx. iknande symmetrier kan utnyttjas även vid integrering i högre dimensioner. Om vi, t.ex., integrerar över ett symmetriskt intervall i x och om fx, y) = f x, y) fås att ymax a y min a fx, y)dxdy =, oberoende av y-intergralens gränser. Varje bidrag fx, y)dxdy upphävs nämligen av ett annat bidrag f x, y)dxdy. Exempel 1: Vi söker massan m av ett klot B, med radie R och vars centrum ligger i origo,, ). Klotets densitet ges av ρx, y, z) = ax + b. Klotets totala massa beräknas enligt m = B ρdv = B ax + b)dxdydz = a xdxdydz } B {{ } +b dxdydz } B {{ } Volym av B = b 4πR3 3. Exempel 2: Vi söker nu flödet φ av fältet A = x 1 +x 2, x 3, ) genom en sfär av radie R. färens utsida är positivt orienterad. φ = A N d = r R = 1 R x 2 1d + x 1 x 2 d = 1 1 x 2 1 + x 2 2 + x 2 R 3 3) d = R 2 x 1 + x 2, x 3, ) x1, x 2, x 3 d R + x 2 x 3 d 1 R 2 R 3 4πR2.
Övningsuppgifter 4.1 Beräkna F d r om F = x 2, 1, yz) längs kurvan : t, 2t 2, 3t), t 1. 4.2 Beräkna linjeintegralen av vektorfältet A = 2xyz, x 2 z+1, x 2 y) från punkten, 1, ) till punkten 1, 1, 2). 4.3 Beräkna integralen F d r, där F = yz, xz, xy) och är kurvan x = a cos ϕ, y = b sin ϕ, z = c sinh ϕ π från punkten a,, ) till punkten a/ 2, b/ 2, c sinh5/4)). 4.4 Beräkna linjeintegralen A d r av vektorfältet A = y, x 2, ) från punkt P : 1,, ) till punkt Q : 1,, 4π) längs kurvan : ru) = cos u, sin u, u), där u : 4π. 4.5 Beräkna flödet av F = 1, xy, ) genom ytan x = u + v, y = u v, z = u 2, där u 1, v 1. Normalen i punkten 1, 1, ) har en positiv z-komponent. 4.6 Beräkna F Nd om är sfären x 2 +y 2 +z 2 = 4 och F = x, y, z). Välj normalen utåt. 4.7 Beräkna flödet av vektorfältet A = x 2, 2y, z) ut genom en sfäryta med radien R och medelpunkten i origo ned hjälp av parametriseringen r = Rsin u cos v, sin u sin v, cos u). 4.8 Beräkna flödet av vektorfältet A = x 2 y 2, x + y) 2, x y) 2 ) genom ytan r = u + v, u v, uv), där 1 u 1, 1 v 1 och N ẑ >. 4.9 Beräkna 5 fx)dx då 5 a) fx) = x b) fx) = x 2 c) fx) = x 3 Vilka slutsatser kan man dra av detta? 4.1 Avgör om fx, y)dxdy = eller om fx, y)dxdy för de tre områdena 1, 2, 3 enligt figuren till höger, då a) fx, y) = x b) fx, y) = x 2 c) fx, y) = x 3 d) fx, y) = sinx) e) fx, y) = cosx) f) fx, y) = xy g) fx, y) = xy 2 h) fx, y) = x 2 y
4.11 åt V vara enhetsklotet, dvs R = 1. Beräkna nu utan integration a) xdxdydz V b) z + 3)dxdydz V 4.12 Betrakta cirkelytan r 2, ϕ 2π. Hur stor är y2 d i förhållande till r2 d? 4.13 Räkna uppgift 4.7 utan att parametrisera, genom att sätta N = 1 x, y, z) samt R använda symmetribetraktelser. 4.14 Förklara varför 1 1 1 1 2y 2 dxdy = 1 1 1 1 x 2 + y 2 )dxdy.