=

ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼½¾ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ Ó ÌÓÑ ÖÒ ØÑ

ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÓÖØ ØØ ØÙÖ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ Ó ÓÒÐ ÖÒ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÖÐ ÖØ ØØÓÒÖ Ð ÒÒÖ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ö ØØ Ø ÖØ Ý ØÑ Ú ÖÒ ÚØÓÒÖ À ÐÖÓÓÒ ËÔÒÒ ½µ Ó ÚÒÒ ØØ ØÐÐÒк Ì ÖÒ Ó Ñ Ò ÅØÐÒÐÒÒ Ù Ö ÚÒ Úº ÌÖÝ ÙØ ÒÒ ÐÒÐÒÒ Ó Ø Ñ Ò ÖÖ ÒÓÑ ØØ Ö ÐÒ Ð ÒÓÑ ÐÒÐÒÒÒ Ó ÒÚ ¹ ÒÒÖÒ ÒÒº ÊÔØÖ ÖÐÚÒØ ØÓÖ ÐÖÓÓÒº ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ½º½ ÅØÐ Ò Ú ÅØÐ ÔÐØØÖ Ö ÒÙÑÖ ÖÒÒ Ú ÒÚØÓÖÖ Ó ÒÚÖÒº ÇÑ ÒÖØ ÒÚÖÒ ÖÖ ÓÑÑÒÓØ µº ÇÑ ÖÑÓØ Ò¹ ÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ Ú ÙÒÖÖ ÓÑÑÒÓØ Ë µº ÒÚÖÒ ÒÒ ÓÑ ÓÒÐÐÑÒØ ÓÒÐÑØÖ Ò Ó ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ ÙÔÔØÖÖ ÓÑ ÓÐÓÒÒÖ ÑØÖ Ò Ëº ÖÒ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ ÑØÖ Ò [ ] 1 2 = 4 3 ÒÚÖ ÒÚØÓÖ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ë 1 Ë = º ÅØÖ ÒÚÖ ÖÐÐ Ñ ÒÚº Ð ÚÒ Ö ÒÓØ Ú ÒÚÖÒ λ i Á Ö ÒØ ÑØÖ Ò ÖÐÐ Ñ Ý ¾µ Ó Ú ÓÑ ÒÖ ÒÖ Ù Ö Ö ÒÚÖØÖ ÒÒ ÑØÖ º Î ÑÒ Ñ ØØ Ò ÑØÖ Ö ÒÙÐÖ Ö ÚÒ Ñ λá Ö λ ÒØ Ö ØØ ÒÚÖº ½º¾ ÒÚÒ ÒÐÒÒ Ú ÑØÖ Ò ÖÒ ½º½º ËÖÚ ÓÛ µº Á Ø Ò ØÖ ÓÑ ÓÑÑÖ ÙÔÔ ÔÖ Ù Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔ Ô Ò ÖÒ ÚØÓÖÒ Üº Å ÑÙ ¹ ÒÔÔÒ ÒØÖÝØ Ö Ù ÚØÓÖÒ Ü ÖÙÒØ ÒØ ÖÐÒº ËØÒÒ ÙÔÔ Ü Ó Ü Ö ÔÖÐÐÐк Ö Ü Ò ÒÚØÓÖº ÎÖÖ ½

ÃÓÓÖÒØÖÒ Ö Ü Ò Ù ÒÓÑ ØØ ÖÚ Ü ÒÔÙØ ½µº Á Ø Ö Ò ØÖØ ÓÑÑÖ Ø ÙÔÔ ØØ ÖÓÖ º Ö Ø Ñ ÑÙ Ò ØÐÐ ÔØ Ò Ú Üº Ãй Ñ ÚÒ ØÖ ÑÙ ÒÔÔº Ù Ò ÒÙ ÚÐ ÓÓÖÒØÖÒ Ö Üº Á ÔÖÓÖÑÑØ ÓÛ Ö Ü ÐÐØ ÐÒÒ ½º ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÒÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÒÓÖÑ Üµº ËÖÚ ÒÙ ÜÒÔÙØ ½µ Ó ÝØØ ÖÓÖ Ø ØÐÐ ÔØ Ò Ú Üº Ä Ò ÓÓÖÒØÖÒ Ö Üº Å ÒÓÖѹÓÑÑÒÓØ Ò Ù ÒÙ ØÑÑ ÐÒÒ Ú Üº Î ÐÖ ÒÚÖØ ÂÑÖ Ñ ØÐÐÒ ½º½º ÈÖÚ ÚÒ Ñ ÒÖ ÑØÖ Öº Ò Ð ÒÒ Ö ÐÒº Á ÓÛ¹Ò ØÖØ ÒÒ ÓÚÒÖ Ò ÚØ ÖÙØÒ ØØ ÐØØ Ò ØÖ ÓÑ ÒÒÐÐÖ Ø Ö Ò ÑØÖ ÓÑ Ö ÖÙº ÃÐ Ô Ø ÐÐÐ Ò ØÖØ Ó ØÐÐÒ ØÐÐ Ö ÑØÖ Öº ½º Ä ÐÒ ØÒØÑÒ ÙÔÔغ Ù Ò ÒÚÒ ÅØÐ Ö ØØ ÖÒ ÒÓÒ ÒÚÖ ÑØÖ Ó Ö ØØ ÑÙÐØÔÐÖ ÒÖ ÑØÖ Öº ÒÖ ¾ ¾¼¼½¾½¾º Ö Ò 2 2¹ÑØÖ Ö Ù ÙÒÖ Ò ØÓÖÐÓÖØÓÒ ÙÒÒØ ÒÚÒ ÅØÐÔÖÓ¹ ÖÑÑØ ÓÛ Ö ØØ ÑØØ ÖØ ÙÔÔ ÓÐÓÒÒÑØÖ ÖÒ Ü Ó Üº Å ÐÔ Ú ØÓÖÑÙ Ò ÙÒ Ù ÒÖ ÐØ Ö Ü Ó ÙØÓÑØ Ø Ü ÙØÖغ Á ÙÖÖÒ ÒÒ Ö ÑØÖ ÖÒ Ü Ó Ü ÐÓÖØ Ñ ÔÐÖ ÙØÒ ÖÒ ÓÖÓ ÚÖ Ð ÑÖÖØ Ñ Ò ÐØÒ ÔÙÒغ ÐÐ ÔÐÖÒ ÒØ ÙØ ÖÒ ÓÖÓº 2 2 2 Ü 0 Ü Ü 0 Ü Ü 0 Ü 0 2 0 2 0 2 µ ÚÐ ÒÚÖÒ ÐØе Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ º ¼º µ µ ØÑ º ¼ºµ ½º µ ØÑ Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒ ØÐÐ Ý ØÑØ dü dt = Ü Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖº ¼º µ Ø ÒÒ ØØ ÒÐØ ØØ ØØ ÔÐÓ ÙØ ÓÒÐÐÑÒØÒ ÖÒ Ò ÚÖØ ÑØÖ Ó ØØ ÚØ ÓÒÐÐÑÒØÒ Ð Ò ÓÒÐÑØÖ º ÅØÐÓÑÑÒÓØ ØÖ º Ì Ø ÓÑÑÒÓÒ ½ µ ±ÐÖ Ò ÓÒÐÑØÖ Ñ ÚÒ ±ÓÒÐÐÑÒØÒ Ó º ½¼ ½½ ½¾ µ ±ÈÐÓÖ ÙØ ÓÒÐÐÑÒØÒ ÖÒ Ò ÚÒ ÑØÖ Ò º µµ ½ Ø ÓÑ ØÖ ØÖ ± Ö ÓÑÑÒØÖÖ ÓÑ ÒØ ÖÚ Òº ¾

½º Î Ö Ö ÒÙ Ñ Ò ØÖÖ ÑØÖ ÖÒ ÚÒÒ ºµº ØÑ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ Ö ÑØÖ Ò ØØ ÔÐÐÐ Ú ÚÒÒ ºµ 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 = 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Ò ÒØ ÖÑ Ñ ÓÒ µ Ý µ ½º ÎÐ Ö ÒÚÖÒ ØÐÐ ÑØÖ Ò Ö Ø Ø ÐØкµ ¾º ÎÐ ÑÙÐØÔÐØØÖ Ö ÒÚÖÒ º Ò Ò ÒÚØÓÖ ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ Ø ØÖ Ø ÒÚÖØ ÖÒÐ ÅØÐ ÚÖº ½º ½º ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ ÓÐÓÒÒÖÒ Ë¹ÑØÖ Ò Ö ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ º ÅÒ Ò ÔÐÓ ÖÑ Ø Ü ÓÐÓÒÒ Ñ Ë µº ËØØ ÐÐØ Ë µ Ó Ð º Ö ÑÑ Ö Ò ÓÐÓÒÒ ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ Ø ØÖ Ø ÒÚÖغ Î ÐÐ ÒÙ Ó Ô Ò Ò ØÓÖ ÑØÖ º Á ÑÒ Ú Øºµ Ð Ò 100 100¹ÑØÖ Ñ ÐÙÑÔÚ ÚÐ ÐÑÒØ Ñ Óѹ ÑÒÓØ ÖÒÒ ½¼¼µº ÄØ ÅØÐ ÓÒÐ Ö Òº ÈÐÓ ÖÑ ÒÚÖÒ ÒÓÑ ÐÑ µº Ä ÑÖ ØÐÐ ØØ Ò Ð ÒÚÖÒ Ö ÖÐÐ Ó ØØ ÒÖ ÖÓÑÑÖ ÓÑÔÐÜÓÒÙÖ ÔÖº ÎÐØ Ö ÒÚÖ ÒÙÑÑÖ ÐÐ Ø ÐÑ µ Ó ÚÐÒ Ö ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖ µ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ð ¹ÐÑ Ö ÐØغ ØÖ ÓÑ ÒÒ ÚØÓÖ Ö ÙÒÖ ÐÑÒØ Ö Ø ÚÖÐØ ØØ Ô Ñ ØØ Øغ Ö ØØ ØØ ÚØÓÖÒ Ö ÐØÒ Ò ÑÒ ØÐÐ ÜÑÔÐ ØÐÐØ Ð ÙÑÑÒ Ú ÓÐÙØÐÓÔÔÒ Ú ÐÑÒØÒ Ñ ÙÑ µµµº ËÙÑÑÒ Ú ÓÐÙØÐÓÔÔÒ Ö Ð ÐÚ Á ÑÒ Ú Øºµ ËÓÑ ÒØ Ö ÒÚÖÒ ÙÑÑ Ð Ñ ÔÖØ Ö ÑØÖ Ò ÓÒÐÐÑÒØÒ ÙÑѵ Ó ÒÚÖÒ ÔÖÓÙØ Ö Ð Ñ ØÖÑÒÒØÒ Ö ÑØÖ Òº Ì Ø ØØ Ö Ò ØÓÖ ÑØÖ Ò ÖÒ ÔÖÓÐѺ Ð ÔÖ Ó ØÖÑÒÒØ Ú Ñ ÓÑÑÒÓÒ ØÖ µ Ö Ô Ø µ Ó ÑÖ Ñ ÒÚÖÒ ÙÑÑ ÙÑ Ðѵ Ö ÔØÚ ÔÖÓÙØ ÔÖÓ Ðѵº È ÖÙÒ Ú ÒÙÑÖ ÚÖÙÒÒÒ Ð Ò ÐÐÒ ÑÐÐÒ ÒÚÖÒ ÔÖÓÙØ Ó Ø µ ÐÒ Ð Ò ØÓÖº ËØÓÖÐ Ú ÑØÖ Ö Ó ÚØÓÖÖ Î ÒÙÑÖ ÖÒÒ Ö ÑÒ Ø Ü ÒØ ÜØ ÚÖÒ Ô ÒÚØÓÖÖ Ó ÒÚÖ¹ Ò Ó Ø Ö ÖÐ ÓÑÐØ ØØ Ò ÚÖÒ Ñ ÒÐØ ÖÒÖصº Á ØÐÐØ Ö ØØ ÚØÓÒÒ = λ ÜØ ÙÔÔÝÐÐ Ö Ú Ò Ó Ñ ØØ λ

ÐÖ ÐØغ Ò ÚØÓÖ ÐÐÖ ÑØÖ Ö Ù Ö ÐÑÒØ Ó Ø Ö ÒØ ÒØÝØ ¹ ÚØ ÙÖ ÑÒ ÐÐ ÑØ ØÓÖк ÅØÐ Ö Ò ÙÒØÓÒ ÒÓÖÑ ÓÑ ÑÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÒÑк ½º ÇÑ Ù ÓÖØ ½º ºµ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÒÙ ØØ ÒÙÑÖ Ø ÐÐ ØØ Ë 1 Ë = Ó ØØ j = λ j j ÒÓÑ ØØ ÖÒ ÒÓÖÑ ÒÚ Ëµ ˹µ Ó ÒÓÖÑ ¹ÐÑ µ Ö ÑØÖ Ò ½ºº Á ÓÒÐ ÖÖ ÑØÖ Ö ½º ½º½¼ ÅØÐ Ò ÒØ Ð Ô ÑØÖ Ö ÓÑ Ö ÓÒÐ ÖÖ Ó Ò ÓÑ ÒØ Ö Ø ÙØÒ ÒÒÖ Ò ÔÔÖÓÜÑØÚ ÓÒÐ ÖÒ ÚÒ Ú ÓÒÐ ÖÖº ÅØÖ Ò = [ 5 1 4 1 ÖÒ ÚÒÒ º¾ Ö ÓÒÐ ÖÖº ÄØ ÅØÐ Ö ÓÒÐ Ö Ò Ñ Ë µº ÌØØ ÒÓ Ô ÑØÖ Ò Ë Ñ ÓÖÑØ ÐÓÒº ËÖ Ò ÒÚÖØÖÖ ÙØ Î ÐÖ Ø Ëµ Î ÒÖ ÓÑ ÑÒ Ö Ö Ð Ë 1 Ë Á ÑÒ Ú Øºµ Ö ØØ ÓÒÐ Ö ÑØÖ Ò ÚÒÒ º½º Î ÐÖ Ø Ëµ ÎÖÖ ÓÐÓÒÒÖÒ Ë ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ] ËÝÑÑØÖ Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÑØÖ Ö Á ÑÒ Ú Øµ ½º½½ ÌÖÒ ÔÓÒÖÒ ÓÔÖØÓÒÒ ÅØÐ ØÒ Ñ ÔÖÑ ³µº ÆÖÑÖ ØÑØ T ÒÓÑ º³º ÍØÐÑÒ ÔÙÒØÒ Ö ÑÒ ÖÑØ ÓÒÙÖÒ ÚÐØ ÒÒÖ ØÖÒ ÔÓÒÖÒ Ó ÓÑÔÐÜ ÓÒÙÖÒº ØØ Ö Ò ÚØ Ø ÓÔÖØÓÒÒ Ö ÓÑÔÐÜ ÑØÖ Öºµ Ö ÑØÖ Ö Ñ ÖÐÐ ÐÑÒØ ÐÖ Ø ÒÒ ÐÐÒº Á ÑÒ Ú Øºµ ÄØ ¾ Ð ³ Ó º³º = [ 1 3i 2+i 4 5i 6 7i ËÓÑ Ù ÓÑÑÖ ØØ ØÓÖÒ ÔØÐ Ö ÖÐÐ ÝÑÑØÖ ÑØÖ Ö ØÖ ÚØ Ò ÔÖ ] ½º Ö ÐÐØ ÓÒÐ ÖÖ ¾º ÒÚÖÒ Ö ÐÐØ ÖÐÐ º Ò ÓÒÐ ÖÒ ÑØÖ Ò Ë Ò ÐÐØ ÚÐ ÓÖØÓÓÒÐ ÚÐØ ØÝÖ ØØ ÒÚ ËµË³ ÐÐÖ ÚÚÐÒØ ØØ Ë Ë³ Ý Þ Ëµµ 2+iº ¾ 1 3i ÑØ Ò ÓÑ ½¹ ÙØÒ ÑÐÐÒÖÙѺ Ó Ø ÚÖ ÑÐÐÒÖÙÑ ØÐÐ Ò Ø ÐÑÒØ

½º½¾ ½º½ Á ÑÒ Ú Øºµ ÓÒÐ Ö ÑØÖ Ò ÚÒÒ º ¼ Ó ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ò ÖÐÐÒ ÑØÖ Ò Ë Ö ÓÖØÓÓÒк Ð Ö Ø Ë Ë³ Ó Ë³ Ë Ó Ø Ø Ö ÖØ ÙÐÐ Ò ÒÓÖÑ Ë³ Ë¹Ý µµ Ó ÒÓÖÑ Ë Ë³¹Ý µµº ÈÑÒÒÐ Ý Òµ ØÝÖ ÒØ ÑØÖ Ò Ú ÓÖÒÒ nº ÆÑÒØ ÓÑÑÖ Ú Ø ÒÐ ÙØØÐØ Ú Ó ØÚÒ Iº Î ÐÐ ÒÙ ÓÒØÖÓÐÐÖ ØÓÖÒ Ö Ò ÑÝØ ØÖÖ ÝÑÑØÖ ÑØÖ º Á ÑÒ Ú Øµ Ð Ò ÐÙÑÔÑØÖ Ú ØÓÖÐ 100 100 Ñ ÖÒÒ ½¼¼µº ÒÓÑ ØØ Ø = + Ì ÐÐØ ³ Ö Ú Ò ÝÑÑØÖ ÐÙÑÔÑØÖ Ú ÒÒ ØÓÖк ÖÒ ÒÙ Ô ÚÒÐØ ØØ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ º Ò ÚØÓÖ Ñ ÒÚÖÒ Ñ ÐÑ µ Ó Ú Ò Ø Ø ØØ Ö ÖÐÐ Ñ ÒÓÖÑ Ñ Ðѵµº ÆÓÖÑÒ ÐÖ ÃÓÒØÖÓÐÐÖ Ò ÓÑ ÓÚÒ ØØ Ø ÖÐÐÒ Ë¹Ø Ö ÓÖØÓÓÒÐØ Ó ØØ ÒÚ Ëµ ˹ Ö ÐØØ ØÐÐ ÜÑÔÐ Ñ ÒÓÖÑ Ë³ Ë¹Ý ½¼¼µµ Ö ÔØÚ ÒÓÖÑ Ë³ ˹µº ÎÐ ÚÖÒ Ù ÅÔÐ Ø Ö ÖÐØÚØ ÓÚÒÐØ ØØ ÒÚÖÒ ØÐÐ Ò ÑØÖ Ò ÖÒ Üغ Ø ÐÐÖ ÙÚÙ ÓÑ Ö ÖØÓÒÐÐ ØÐ ÐÐÖ Ö ÒÒÐÐÖ ÒÐ ÖÓØÙØØÖݺ ÇÖ¹ Ò Ö ÚÒÐÒ ÝÑÑØÖÒ ÔÖ Ó Ø ÔÖØ ÔÖÓÐÑ ÓÑ ØØ ÙÔÔÓÚ ØÐÐ ÑØÖ Òº Á Ò ÐÐ Ö ÅÔÐ ØØ Ö ÐÔÑк ÅÔÐ ÑØÖ Ö Ò ÚÐ ÚÖ ÝÑÓÐ ÓÑ ÒÙÑÖ º ÅØÖ Ö ½º½ ËØÖØ ÅÔÐ ½ ÐÐÖ ÒÖ ÚÖ ÓÒº ÒÑÖÒ ÇÑ Ù ÚÐÐ ÙÒÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑÑÒÓÒ Ô ÑÑ ØØ ÓÑ ÒÒ ÒÐÒÒ Ú Ô Ò Ö Ò Ù Ö Ô ÐÒ ØØ Ö Ñ ÀÐÔËØÖØÙÔ ÐÓºººËØÖØ ÛØ ÐÒ ÏÓÖ Øº Ö Ø ÒÒ Ú Ó ÒÒ Ò ØÐÐÒÒÒ ÌÓÓÐ ÇÔØÓÒ ÔÐÝÁÒÔÙØ ÔÐÝ ÅÔÐ ÆÓØØÓÒ Ó Ú ÐÙØØ ÔÔÐÝ ÐÓÐÐݺ Æ Ø Ò Ù ØÖØÖ ÅÔÐ ¹ ÚÖ Ù Ö ÚÐ ÐÒ ÏÓÓÖ Øº ÆÓØÖ ØØ Ñ ØØ Ò ÖÚÒÒ ØØ Ñ Ø ÚÖ ÓÑÑÒÓ Ú ÐÙØ Ñ ÑÓÐÓÒ ÐÐÖ ÓÐÓÒº Ö ØØ ÐØØ ÙÒÒ ÖÒ Ñ ÑØÖ Ö ÅÔÐ Ö ÑÒ Ö Ø Ø Ü ÓÑÑÒÓØ ÛØ ÐÒеº ØØ ØØ ØØ Ò Ò ÑØÖ ÅÔÐ Ö Ñ ÓÑÑÒÓØ ÑØÖܺ ÅÒ ÒÖ Ö Ø ÒØÐØ ÖÖ Ò ÓÐÓÒÒÖ Ó ØÐÐ ÐÙØ ÑØÖ ÐÑÒØÒ ÓÑ Ò Ð Ø ÒÓÑ ÐÑÑÖ º ËÐ Ò ØÒÖÑØÖ Ò ÒÓÑ ÑØÖÜ ¾ ¾ ½ ¾ µ ÒÖ ÑØÖ Ò ÚÒÒ º¾ ÒÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÑØÖÜ ¾ ½ ½ ¾ ¾¼ µ ÅÐÐÒ ÐÒ Ð ØÒ Ö ÔÖØ Ö ØØ ÑÒ ÐÐ ÚÖ Ò ÒÝ Ö ÖÖ ÑÒ ÒØ ÒÚÒ Ö ÅÔкµ

½º½ ÅØÖ Ò ÒÚÖÒ Ó ÑÓØ ÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ Ò Ñ ÓÑÑÒÓØ ÒÚØ º ËÖÚ ÅÔÐ ÒÚØ Ó ØÙÖ Ö ÜÑÔÐÒ ÐÙØØ Ú Òº ÆÓØÖ ØØ ÙØØ ÖÓÚ Ö Ö ØÖÙØÙÖÒ [ ÒÚÖØ λ, ÑÙÐØÔÐØØ, ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ÒÚØÓÖÖ ÖÒ ØÐÐ λ] ÈÖÚ ÓÑÑÒÓÒ ÒÚØ µ Ó ÒÚØ µº Î ØÝÖ ÓÐ ÐÖÒ Ú ÅÔÐ ÚÖ ½º½ Á ÑÒ Ú Øºµ Î ÐÖ Ó Ò Ò ØÖÖ ÝÑÓÐ ÑØÖ Ñ Ñ ÒÒÝع ÒÒ ÖÒ ÚÒÒ º µº ÒÖ ÑØÖ ÙÒØÓÒÒ À ÒÓÑ À µ ¹ ÑØÖÜ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ÐÐÖ À µ¹ò ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ µ ØÑ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓÖÖ ØÐÐ ÑØÖ Ò À µº Ö ÑØÖ Ò ÓÒй ÖÖ ½º½ ÄØ ÒÙ ÅÔÐ Ö Ñ ÑØÖ Ò ÖÒ ÙÔÔØ ½º ÓÚÒº Ù Ò ÖÚ Ò ÑØÖ Ò Ñ ÓÑÑÒÓØ ÚÐÑ ÑØÖÜ ½µ ½ µµ ÀÙÖ ÑÒ ÓÖÓÒ ÒÚØÓÖÖ Ö Ò ÇÑ Ù ÚÐÐ ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ ÒÚØÓÖÖÒ ÚÖÐÒ Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒ Ò Ù ÖÖ Ô ÐÒ ØØ ÒÚÒÚØ µ Ë ÓÒØ ÓÔ ÒÚ½ µ ÓÔ ÒÚ¾ µµ Ø Ëµ ÀÙÖ Ö ÑØÖ Ò Ë ÙÔÔÝ ÎÖ ÒÚØÓÖÖÒ ÐÒÖØ ÖÓÒ ½º½ ÇÑ Ù Ö ÓØØ ÓÑ Øºµ Ö ÚÒ Ñ ÑØÖ Ò ÖÒ ÙÔÔØ ½ºº ÅØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ½º½ ÅØÖ ÓÔÖØÓÒÖ ØÒ Ô ÑÑ ØØ ÓÑ ÚÒÐ ÐÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ñ Ø ÙÒÒØØ ØØ ÑØÖ ÑÙÐØÔÐØÓÒÒ Ñ Ø ÖÚ ² ØÐÐØ Ö Ö º Ö ØØ ÅÔÐ ØØ ÙØÖ ÓÔÖØÓÒÖÒ Ñ Ø ÑÒ ÙØÓÑ ÓÑÑÒÓØ ÚÐѺ Ì Ø ÖÒ ÖÒÒÖÒ Ö ÑØÖ Ò ÙÔÔØ ½º½ ÓÚÒ ÒÓÑ ØØ Ð Ò ÑØÖ Ë ÚÖ ÓÐÓÒÒÖ Ö ÒÚØÓÖÖÒ ØÐÐ º ÍÒÖ Ò ÓÑ Ë ÓÒÐ ÖÖ Ñ ÚÐÑ Ë ¹½µ² ² ˵

½º¾¼ Î ÐÐ ÒÙ ÖÒ Ö ÓÐÚÒØÒ ØÐÐ ÒÖ ÑØÖ Öº ÒØ ÑØÖ Ò Ú ÓÖÒÒ n ÖÐÐ ÐØØ Ø Ñ ½ Òµº ØÑ Ö ÓÐÚÒØÒ ØÐÐ ÑØÖ Ò ÒÓÑ ½ µ Ö ÓÐÚÒØÚÐÑ ¹µ ¹½µµ ÖÒ ÚÒ Ø ÖØÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑØ Ñ Ø ¹µµ ÐÐÖ ÖÔÓÐÝ µ Ó ÑÖ Ñ ÒÑÒÖÒ Ö ÓÐÚÒØÑØÖ Òº ÎÐÒ Ö Ö ÓÐÚÒ¹ ØÒ ÒÑÒÖ ½º¾½ Ä ÚÒÒ º µ Ñ ÐÔ Ú Ø º Ò º Ö ØØ Ñ ÅÔÐ ØÑÑ Ò ÒÖÐ ÖØ ØØÓÒÖ Ð ÒÒ ØÐÐ dü dt = Ü + est ÖÚÖ Ù ÙÑ Ø Öе ÓÐÚÐÑ ÒÚÖ ¹µ² ÜÔ Øµµ ÑÔ Ê Óе ½º¾¾ Ö ØØ Ð ÚÒÒ º µ ÚÖ Ù ÚØÚ Ö Ø ÖÚ Ò ÑØÖ ÖÒ Ó Ó ØÐØ sº ÅÔÐÓÑÑÒÓØ ÑÔ Ú ØÖ ÓÑ ÖÐÐÒ ÖÒ Ú Ò ÑØÖ Óк ÇÑ Ù Ö ÓØØ ÓÑ Øºµ ØÑ Ö ÓÐÚÒØÑØÖ Ò ØÐÐ ÑØÖ Ò ÚÒÒ º½º ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ò ½º¾ ÅØÐ Ò ÖÒ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ö ÒÙÑÖ Ø Ñ ÓÑÑÒÓØ ÜÔÑ ÑÒ ØØ Ö Ò ÖÒ Ø ÒØÖ º ÅÖ ÚÒ Ö ØØ ÒÚÒ ÅÔÐ Ö Óѹ ÑÒÓØ Ö ÜÔÓÒÒØк ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÚÖÒ ÙÔÔØ º½ ÚÒÒ ØØ Ñ ÅÔк Ö Ô ØØ ØØ Ö µ ÑØÖÜ ¾ ¾ ¹¾ ¹½ ½ ¹¾ µ ÜÔÓÒÒØРص ÐÐÖ ÑØÖÜ ¾ ¾ ¹¾ ¹½ ½ ¹¾ µ ÜÔÓÒÒØРص ÂÑÖ ÚÒ Ñ ÅÔÐ ÜÔ ÚÐÑ ÜÔ Øµµ Î Ö ØØ ÓÑÑÒÓ Ä Ò ÚÒ º¾ Ñ ÅÔк ËØÙÖ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ò Ö ÑØÖ Ò ÚÒÒ º½º ÚÐ ÜÔÓÒÒØй ÑØÖ Ò ÒÚÖÒ ØÐÐ ÑØÖ Ò º½º ËÑÑ ÙÔÔØ Ö º¾º

½º¾ Ö ØØ ÖÚÖ ÑØÖ Ö Ñ Ø ÑÒ ÒÚÒ ÓÑÑÒÓØ ÑÔ ÓÑ Ö ÒÒ¹ ÖÒ ØØ Ö Ø ÖÙÑÒØ ÙØÖ Ô ÚÖ ÐÑÒØ ÒÖ ÖÙÑÒغ ÖÚÖ ÑØÖ Ò = Ñ Ú Ò Ô tº ÒÚÒ ÓÑÑÒÓÒ [ ] cost sint sint cost ÑØÖÜ ¾ ¾ Ó Øµ ¹ Ò Øµ Ò Øµ Ó Øµ µ ÑÔ Øµ ½º¾ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ò Φ(t) = e ta ÖØÖ Ö Ú ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ó ¹ ÝÒÒÐ ÚÐÐÓÖØ dφ = Φ, Φ(0) = I. dt ÂÑÖ Ø ºº ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ö ÑØÖ Ò º¾ ÑØÖÜ ¾ ¹ ººº µ È ÜÔÓÒÒØРص ÚÐÑ ÑÔ È Øµ¹² ȵ ½º¾ ÅØÖ ÖÒ [ 9e t 8e 2t 6e 2t 6e t 12e t 12e 2t 9e 2t 8e t ], [ (1+2t)e 3t te 3t 4te 3t (1t)e 3t cost 1 sint 2 1 sint 2 1 sint + 1 cost 2 2 1 + 1 cost 2 2 sint 1 + 1 cost 1 + 1 cost 2 2 2 2 ], Ó Ö ÐÐ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ Ö Ú ØÝÔÒ e t Ö ÓÐ ÑØÖ Ö º ØÑ ÙØÒ ØØ Ö Ø ÖÒ ÒÚÖÒ ØÐÐ Ö ÔØÚ ¹ÑØÖ Ó ÚÖ ÓÑ ¹ÑØÖ Ò Ö Ö ÓÒÐ ÖÖº ÒÐÖÒ ØØ ÖÒ Ò ÑÓØÚÖÒÖ ØÑ Ò Ö ÔØÚ ÑØÖ ÒÓÑ ØØ ÖÚÖ Ö ÔØÚ ÜÔÓÒÒØй ÑØÖ Ó ÖØÖ ØØ Ò t = 0º ÒÚÒ ¹ÑØÖ Ö Ó ÓÒØÖÓÐÐÖ Ò ÚÖ ÓÚÒº

½º¾ È Ò ÒÒ ¼ Öº Î ÖÒÒÒ ÖÒ ÒÒ Ø x 0 Ö ÓÑÖ A y 0 Ö ÓÑÖ B Ó z 0 Cº ÙÖÒ ÖÖ ÑÐÐÒ ÓÑÖÒ ÒÐØ ÐÒ ÑÓÐÐ Ò ÐÐÖ Öµ ÍÒÖ Ò Ø ÔÖÓ T Ö ¼ % Ú ÖÒ A ØÒÒØ ÚÖ A ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ B Ó ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ C ¼ % Ú ÖÒ B ØÒÒØ ÚÖ B ½¼ % Ö ØØ ØÐÐ A Ó ¾¼ % Ö ØØ ØÐÐ C ¼ % Ú ÖÒ C ØÒÒØ ÚÖ C ¼ % Ö ØØ ØÐÐ A Ó ½¼ % Ö ØØ ØÐÐ B ÄØ x n,y n Ó z n ØÒ ÒØÐØ Ö ÖÓÒÖÒ A,B Ö Ô C ØÖ ØÒ nt. ÐÐÖ x n+1 = 0.6x n + 0.1y n + 0.4z n y n+1 = 0.2x n + 0.7y n + 0.1z n n = 0,1,2,... z n+1 = 0.2x n + 0.2y n + 0.5z n ÀÙÖ ÑÒ Ö ÒÒ ØÖ ÐÒ Ø Ö ÔØÚ ÓÑÖ x n x 0 ËØØ Ú n = y n Ó Ú 0 = y 0 º ËÖÚ Ý ØÑØ Ô ÑØÖ ÓÖÑ Ú n+1 = Ú n º z n z 0 ÒÚÒ ÅÔк ËÖÚ Ò ÑØÖ Ò ÅÔк ÖÒ ÒÚÖÒ Ó ÒÚØÓ¹ ÖÖº ÓÒÐ Ö Ý ØÑÑØÖ Ò Ó ÒÚÒ ÓÒÐ ÖÒÒ Ö ØØ ÖÒ lim n n Ú 0 º ÖÒ ÚÖØ ÐÑÒÖ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÑ ÒØÐØ Ö Ö ÔØÚ ÓÑÖº ÅÖ ØÐ Ò Ù Ö Ô ÐÒ ØØ ½»½¼ ÑØÖÜ ½ ÓÖØ ØØ µ ËÝ ØÑÑØÖ Ò ÒÚÒÚØ µ ˽ÓÔ ÒÚ½ µë¾óô ÒÚ¾ µë ÓÔ ÒÚ µ ÜØÖÖ ÒÚØÓÖÖÒ ÙÖ ÒÚº ËÓÒØ Ë½ ˾ Ë µóòð ÖÒ ÑØÖ ÚÐÑ Ë ¹½µ² ² ˵ ØØÒ ½ ½ Ò ¾ ¾ Ò Òµ Ú¼ÑØÖÜ ½ ܼ ݼ Þ¼ µ ÚÐÑ Ë² ØØÒ² Ë ¹½µ² Ú¼µ ÖÒÒ Ú Ò Ú¼ ÑÔ ÐÑØ ± ÒÒÒØÝµØ Ò ÒÙ ÚÐ º ÌÒ Ô ØØ Ü¼ ݼ Þ¼ ¼º Î Ö ÖÐÐÒØ ÑÐÐÒ ÓÓÖÒØÖÒ Ò ÒÚØÓÖ ÖÒ ØÐÐ Ø ØÖ Ø ÒÚÖØ Î Ö ÖÐÐÒØ ÑÐÐÒ ÒØÐØ Ö Ö ÔØÚ ÓÑÖ ËÑÒ Ë ØØ 1, 2 Ó 3 Ö ÒÚØÓÖÖ Ñ ÒÚØÓÖÖÒ λ 1,λ 2 Ö ÔØÚ λ 3 ØÐÐ º ÒÚØÓÖÖÒ Ö ÐÒÖØ ÓÖÓÒ ÚÖÖ Ø ÒÒ ØÐ c 1,c 2 Ó c 3 Ò ØØ Ú 0 = c 1 1 +c 2 2 +c 3 3 º ÖÚ ÐÖ ØØ n Ú 0 = c 1 λ n 1 1 +c 2 λ n 2 2 +c 3 λ n 3 3. ÇÑ λ 1 Ö Ø ÒÚÖ ÓÑ Ö ØÖ Ø ÓÐÙØÐÓÔÔ Ö Ú ØØ n Ú 0 c 1 λ n 1 1 n Ö ØÓÖغ Î Ö ÒÙ ÙÖ ÖÐÐÒØ x n : y n : z n Ö Ø ÑÑ ÓÑ ÑÐÐÒ ÓÓÖÒØÖÒ ÒÚØÓÖÒ 1 ºµ

ÒÑÖÒÒº ÈÖÓÐÑØ Ò ÅÔÐ Ó Ð Ñ Ö ÓÐÚ ÑÒ Ö ÑÒ ÒØ ÒÚÖÒ ÒÚÖÒº ÄØØÖØÙÖÖØÒÒ ÈÖعÒÒÖ º ² ËÖ º ¾¼¼½µ ÒÚÒÖÒÐÒÒ Ö ÅØÐ ÁÒ Ø¹ ØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÍÒÚÖ ØØ ÍÔÔ Ðº À º ¾¼¼ µ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÅÔÐ ËÔÖÒÖº ËÑÓÒ Ãº ½ µ ÅØÐ ÈÖÑÖ ÔÖØÑÒØ Ó ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÐÓÖ Ò ÚÐРк ËÔÒÒ Ëº ½µ ÄÒÖ Ý ØÑ Ã˺ ÏÖÒÖ ºº ¾¼¼¾µ ÅÔÐÒÓÒ ÅØÑØÚÐÒÒÒ Æµ ÄÙÒº ½¼