Digital Signalbehandling

Digital Signalbehandling Institutionen för Elektro- och informationsteknik Övningar och lösningar Proakis bok (upplaga 4) Nedelko Grbić Lund 4

Innehåll Övningsuppgifter 5 Lösningar till övningsuppgifter 3 3

4 INNEHÅLL

Kapitel Övningsuppgifter. Bestäm vilka av följande signaler som är periodiska och bestäm periodtiden. a) cos(.πn) b) cos(π 3 6n 5n) c) cos(3πn) d) sin(3n) e) sin(π )..5 Den analoga signalen x a (t) är x a (t) 3 sin(πt). a) Skissa x a (t) för t 3 ms. b) Sampla med F s 3 sampel/s. Bestäm x(n) x a (t) tnt, T /F s. Bestäm frekvensen f hos x(n) och visa att x(n) är periodisk. c) Skissa x(n). Vad är perioden och vad motsvarar det i ms? d) Bestäm minsta F s så att x a (t) samplas så att max av x(n) är 3..7 En analog signal innehåller frekvenser upp till khz. a) Vilka sampelfrekvenser kan användas om vi vill kunna rekonstruera signalen exakt? b) Antag att sampelfrekvensen F s 8 khz. Vad händer med frekvenskomponenten F 5 khz? c) Antag att sampelfrekvensen F s 8 khz. Vad händer med frekvenskomponenten F 9 khz?.8 Ett analogt elektrokardiogram (EKG) innehåller frekvenser upp till Hz. a) Vad är Nyquist rate för signalen? b) Vilken är den högsta frekvenskomponent som kan representeras unikt med sampelfrekvensen F s 5 Hz? Kommentar: Högsta frekvenskomponenten hos signalen kallas Nyquist frequency och den dubbla frekvensen kallas Nyquist rate. Samplingsfrekvensen måste alltså väljas högre än Nyquist rate för att undvika vikningsdistorsion.. För att visa effekten av vikning gör vi följande. Vi samplar in signalen x(t) 3 cos(πt)+ sin(5πt) med sampeltakten F s Hz utan att ha något analogt filter före samplingen. Vi lyssnar sedan på signalen med sampeltakten F s Hz (ideal rekonstruktion). Hur ser signalen ut efter rekonstruktionen? Matlab: Vid inspelning med ljudkort i PC filtreras den analoga signalen automatiskt med ett analogt filter med brytfrekvens F s / före samplingen för att undvika vikningsdistorsion. Vill vi tex illustrera exemplet ovan kan vi tex sampla med F s Hz vilket ställer gränsfrekvensen i ljudkortets filter till 5 Hz. Nu behåller vi bara vart femte sampel och har då reducerat sampeltakten till Hz och detta motsvarar att vi samplat med Hz men med det analoga filtret inställt på 5 Hz. 5

6 KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER.3 Den diskreta signalen x(n) 6.35 cos((π/)n) kvantiseras med upplösningen a). och b).. Hur många bitar behövs i A/D-omvandlaren?.4 Bestäm bithastighet (bitar/s) och upplösning om en seismisk signal med dynamik volt samplas med F s Hz med en 8-bitars A/D-omvandlare. Vilken maximal frekvens kan reprensenteras i den digitala signalen? E. MATLAB: För att åstadkomma ekoeffekt använder vi oss av nedanstående koppling (z D fördröjer signalen D sampel). y(t) A/D x(n) y(n) D/A x(t) mikrofon z D.9 högtalare Simulera detta i MATLAB och lyssna på effekten. Exempel på MATLABkod: t-:.;; %generera s lång tidsvektor, FS/ xvco(t,[3,8],); %generera en svept sinussignal mellan 3 och 8 Hz soundsc(x,); %lyssna nollzeros(,5); %generera 5 nollor x[x,noll];x[noll,.9*x]; yx+x; %generera ekot soundsc(y,); %lyssna Välj nytt x (samplat tal och lyssna på ekoeffekten). Impulssvar och faltning, kapitel. En tidsdiskret signal x(n) definieras av + n 3, 3 n x(n), n 3, n < 3, n > 3 a) Skissa signalen x(n). b) Skissa signalen för följande alternativ. i) Vik (spegla i origo) x(n) och fördröj 4 sampel. ii) Fördröj x(n) 4 sampel och vik (spegla i origo). c) Skissa x( n + 4). d) Vilket alternativ i b) svarar mot x( n + k)? e) Uttryck x(n) i δ(n) och u(n)..7 Avgör om nedanstående system är ) Statiskt eller dynamiskt. ) Linjärt eller olinjärt. 3) Tidsinvariant eller tidsvariabelt. 4) Kausalt eller icke-kausalt. 5) Stabilt eller instabilt. a) y(n) cos(x(n)). b) y(n) n+ k x(k). c) y(n) x(n) cos(ω n).

7 e) y(n) T run(x(n)), trunkering till heltal. h) y(n) x(n)u(n). j) y(n) x(n). n) Ideal sampling, x(n) x a (t) tnt, < n <..3 Visa att ett nödvändigt och tillräckligt villkor för BIBO-stabilitet är n h(n) M h <..6 a) Visa att n y(n) k x(k) l h(l) då y(n) x(n) h(n). b) Beräkna faltningen y(n) x(n) h(n) för följande signaler (fetstil anger index ). ) x(n) {,, 4} och h(n) {,,,, }. ) x(n) {,, } och h(n) x(n). 4) x(n) {,, 3, 4, 5} och h(n) {}. 9) x(n) {,,,, }, ochh(n) {,, 3, 4}. ) x(n).5 n u(n) och h(n).5 n u(n)..7 Beräkna faltningen x(n) h(n) för nedanstående signaler. a) x(n) {}, h(n) {6543} b) x(n) {}, h(n) {6543} c) x(n) {}, h(n) {} d) x(n) {}, h(n) {} MATLAB: Lös ovanstående faltningar i MATLAB (conv.m).. Beräkna faltningen y(n) x(n) h(n) för nedanstående signaler. a) x(n) a n u(n), h(n) b n u(n) för både a b och a b. b) x(n) {} och h(n) δ(n) δ(n ) + δ(n 4) + δ(n 5)..35 Bestäm h(n) för systemet nedan då h (n) {.5,.5,.5}, h (n) h 3 (n) (n + )u(n) och h 4 (n) δ(n ). Bestäm utsignalen då x(n) δ(n+)+3δ(n ) 4δ(n 3) x(n) h (n) h (n) h (n) 3 h (n) 4 y(n).6 Beräkna korrelationsfunktionen r xx (l) och korskorrelationsfunktionen r xy (l) för följande sekvenser. x(n) för n N n n + N, noll för övrigt och y(n) för N n N, noll för övrigt..6 Beräkna korrelationsfunktionen r xx (l) för följande sekvenser. a) x(n) {,,, }. b) x(n) {,,, }. Vad är slutsatsen av a) och b) ovan? MATLAB: Lös a) och b) ovan i MATLAB..64 En ljudsignal från en högtalare reflekteras av två olika väggar med reflexionskoefficienterna r och r. Signalen tas upp av en mikrofon nära högtalaren och har utseendet x(n) s(n) + r s(n k ) + r s(n k ) där k och k är fördröjningarna hos ekona. Bestäm och skissa autokorrelationsfunktionen r xx (l) för x(n).

8 KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER Z-transform, kapitel 3 3. Bestäm z-transformen för a) x(n) {3,,,,, 6,, 4} { ( b) x(n) )n, n 5, n 4 3. Bestäm z-transformen för nedanstående signaler och skissa pol-nollställesdiagram. a) x(n) ( + n)u(n). c) x(n) ( ) n n u(n). f) x(n) Ar n cos(ω n + φ)u(n), < r <. h) x(n) ( )n [u(n) u(n )]. 3.8 Använd faltning för att bestämma nedanstående transformer. a) Bestäm Y (z) uttryckt i X(z) för y(n) n k x(k). b) Bestäm X(z) för x(n) (n + )u(n). Tips: Visa att x(n) u(n) u(n). 3.9 Z-transformen X(z) av den reella signalen x(n) innehåller ett komplexkonjugerat par av poler och ett komplexkonjugerat par av nollställen. Vad händer med dessa om vi multiplicerar x(n) med e jωn? Tips: Använd skalningsteoremet för z-transform. 3.4 Bestäm invers z-transform x(n), x(n) kausal, av följande signaler. a) X(z) +3z +3z +z b) X(z) z +.5z c) X(z) z 6 +z 7 z d) X(z) +z +z g) X(z) +z +z +4z +4z MATLAB: Plotta några av dessa funktioner för z e jω med hjälp av MATLAB. 3.6 Bestäm faltningen mellan x (n) och x (n) nedan med hjälp av z-transformen. a) x (n) ( 4 )n u(n ) och x (n) [ + ( )n ]u(n). c) x (n).5 n u(n) och x (n) cos(πn)u(n). 3.35 Bestäm utsignalen y(n) x(n) h(n) för a) h(n) (/3) n u(n), x(n) (/) n cos(π/3 n)u(n). d) y(n).5x(n).5x(n ), x(n) cos(π/ n) u(n). 3.4 In och utsignal för ett LTI-system är givet av x(n).5 n u(n).5(.5) n u(n ) och y(n) ( 3 )n u(n). a) Bestäm kretsens impulssvar h(n) och systemfunktion H(z). b) Bestäm kretsens differensekvation. c) Bestäm en realisering av minimal ordning. d) Är systemet stabilt? 3.49 Använd den enkelsidiga z-transformen för att beräkna y(n), n för följande fall.

9 b) y(n).5y(n ) +.5y(n ), y( ), y( ). c) y(n).5y(n ) + x(n), x(n) (/3) n u(n), y( ). d) y(n).5(y(n ) + x(n), x(n) u(n), y( ), y( ). E3. Kombinera varje pol-nollställe-konfiguration med det impulssvar den motsvarar. Hur påverkar polens avstånd till enhetscirkeln impulssvarets utseende? Hur påverkas impulssvaret av dubbelpoler? z plan, A z plan, B z plan, C st st.5 Impulssvar I Impulssvar II Impulssvar III 5 h(n).5 h(n) h(n).5 n n 5 n E3. Ett andra ordningens linjärt och tidsinvariant system är definierat av H(z) b + b z + b z + a z + a z. a) Bestäm utsignalen y(n) då insignalen x(n) 3 sin( π n)u(n) y( ) /3, b, b /5, b a /, a b) Låt insignalen till systemet ovan vara x(n) sin(πf n) < n <. Koefficienter ställs så att utsignalen y(n), < n <. Detta inträffar då b b b a, a /4 Vad är frekvensen f i insignalen? c) Insignalen till systemet är återigen x(n) sin(πf n), < n <. Då koefficienterna är b, b, b /4 a, a erhålles utsignalen y(n) A sin(πf n+θ )+A sin(πf n+θ ), < n < Vad är frekvensen f? E3.3 En linjär tidsinvariant krets beskrivs med differensekvationen y(n) y(n ) + 3 6 y(n ) x(n). Bestäm utsignalen y(n) då x(n) ( ) n ( u(n) + sin π 4 n), < n <.

KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER E3.4 En krets är given av differensekvationen y(n) y(n ) +.5y(n ) x(n). Kretsen har begynnelsevärdena y( ), y( ), och insignalen är x(n) u(n). Bestäm för n a) zero-input-lösningen, y zi (n). b) zero-state-lösningen, y zs (n). c) transienta lösningen, y trans (n). d) stationära lösningen, y ss (n). E3.5 En linjär tidsinvariant krets beskrivs av differensekvationen y(n) 4 y(n ) x(n). Bestäm utsignalen y(n) då x(n) { sin ( π 4 n) n < n Fouriertransform, signaler genom LTI-system och sampling, kapitel 4, 5 och 6 4.8 Två diskreta signaler { s k (n) och s l (n) är ortogonala över ett intevall [N, N ] om N nn s k (n)s l (n) Ak, k l, k l Om A k är signalerna ortonormala. a) Visa relationen { N kn n ejπ N N, k, ±N, ±N..., annars kn jπ b) Illustrera a) för N 6 genom att för k,, 3, 4, 5, 6 rita s k (n) e N n,,, 3, 4, 5. kn jπ c) Visa att harmoniska signaler s(n) e N längd N. 4.9 Bestäm fouriertransformen av följande signaler. a) x(n) u(n) u(n 6). b) x(n) n u( n). c) x(n) (.5) n u(n + 4). d) x(n) (α n sin(ω n))u(n), α <. g) x(n) {,,,, }. 4. Bestäm signalen vars fouriertransform är {, ω ω a) X(ω), ω < ω π b) X(ω) cos ω 4. Bestäm signalen vars fouriertransform är {, ωc W/ ω ω c) X(ω) c + W/, annars för är ortogonala över varje intervall av 4.4 Sekvensen x(n) är given av x(n) {,, 3,, } och dess fouriertransform är X(ω). Bestäm, utan att explicit bestämma X(ω), följande a) X() b) arg(x(ω)) d) π π X(ω)dω

d) X(π) e) π π X(ω) dω MATLAB: Beräkna X(ω) och plotta X(ω) och arg(x(ω)) 5. a) Bestäm och { skissa fouriertransformen W R (ω) för ett rektangelfönster, n M w R (n), annars b) Bestäm och skissa fouriertransformen av ett triangelfönster w T (n) n, n M/ w T (n) M n, M/ < n M, annars genom att utnyttja faltning av två rektangelfönster enligt a. MATLAB: Plotta W R (ω) för M, 4 och 5. 5.7 En tidsdiskret krets är given av figuren med a cos(ω ) a) Bestäm in-utsignalrelation och impulssvar h(n). b) Skissa H(ω) och arg(h(ω) c) Bestäm y(n) då x(n) 3 cos(π/3 n + π/6) < n < och ω π/. x(t) z a z y(t) 5.5 Skissa X(f) svarande mot följande pol-nollställeskonfigurationer. 8 a) b) c) d) 5.6 Bestäm ett filter som helt spärrar frekvensen ω π/4 och beräkna utsignalen då insignalen x(n) sin(π/4 n)u(n) för n,,, 3, 4. 5.35 Ett andra ordningens system har en dubbelpol för p,.5 och två nollställen z, e ±j3π/4. Bestäm förstärkningsfaktorn G så att H(). 5.39 Bestäm 3-dB bandbredden för filtren ( < α < ). H (z) a az H (z) a +z az MATLAB: Plotta amplitudfunktionerna i MATLAB och uppskatta därur bandbredderna. E4. Dimensionera nedanstående krets så att likspänningsförstärkningen blir och så att frekvenserna ω π/ och ω π spärras. Bestäm också kretsens amplitudfunktion och fasfunktion. b b b b 3 z z z

KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER E4. Vi vill skapa ekoeffekt och använder oss av nedanstående koppling. y(t) A/D x(n) y(n) D/A x(t) mikrofon z D z D högtalare a) Bestäm den digitala kretsens poler och nollställen för D 5. b) Bestäm och skissa den digitala kretsens amplitudfunktion H(f). E4.3 Vi använder oss av nedanstående koppling för att få en ekoeffekt. y(t) A/D x(n) y(n) D/A x(t) mikrofon z D.9 högtalare a) Bestäm den digitala kretsens impulssvar. b) Bestäm den digitala kretsens amplitudfunktion H(f). c) Bestäm den digitala kretsens poler och nollställen för D5. E4.4 Insignalen till nedanstående system är x(t) cos(πt) + cos(π6t). Filtrets impulssvar h(n) u(n) u(n 8). Sampeltakten är 8 khz. x(t) Sampling h(n) Rekonstruktion y(t) cos( π/4 n) cos( π/4 n) Bestäm utsignalen y(t) då rekonstruktionen är ideal. MATLAB: Simulera systemet i MATLAB. Välj gärna ljud som insignal. E4.5 Antag att vi har en tidskontinuerlig signal: x a (t) e t u(t), t i sekunder a) Bestäm signalens fouriertransform X a (F ) samt X a (F ). b) Vi vill sampla signalen med F s Hz. Vi förfiltrerar den därför med ett antivikningsfilter. Detta antas vara ett idealt lågpassfilter med gränsfrekvens F s / 5Hz. Hur stor del av energin i signalen x a (t) spärras av antivikningsfiltret? c) Den filtrerade signalen samplas med samplingsfrekvensen F s. Beräkna beloppet av Fouriertransformen av den samplade signalen y(n). Beräkna också Fouriertransformen av den samplade signalen om antivikningsfiltret tas bort. E4.6 Bestäm utsignalen från nedanstående krets då insignalen är x a (t) cos(π F t) då F 6Hz och F s Hz.

3 xa(t) x(n) Teckenskift I x(n) y(n) A/D Ideal ya(t) Rek. Teckenskiftaren utför operationen och uppsamplaren x (n) ( ) n x(n) { ( n ) x y(n) n jämn n udda Rekonstruktionen är ideal och sker med samplingstakten F s. Diskreta fouriertransformen DFT, kapitel 7 7. De fem första värdena av en 8-punkters DFT av en reell sekvens ges av {.5,.5 j.38,,.5 j.58, }. Bestäm de övriga 3 punkterna. MATLAB: Kolla resultatet i MATLAB. 7. Bestäm den cirkulära faltningen mellan följande signaler (N8) a) x {,,,,,,, }, x sin( 3π 8 n), n N. 7.3 Givet N-punkts { DFT X(k), k N av x(n), n N. Definiera X(K) k Kc, N k X (k) c k N k c < k < N k c Jämför x (n) IDF T (X (k)) med x(n). Vad händer? 7.4 Sekvenserna x (n) cos π N n och x (n) sin π N n är givna för n N. a) Bestäm den cirkulära faltningen mellan x (n) och x (n). b) Bestäm den cirkulära korrelationen mellan x (n) och x (n). c) Bestäm den cirkulära autokorrelationen för x (n). d) Bestäm den cirkulära autokorrelationen för x (n). 7.7 Sekvensen x(n), n N, har DFT:n X(k). Bestäm nu DFT:erna av sekvenserna nedan i termer av X(k) ) x c (n) x(n) cos πk N n. ) x s (n) x(n) sin πk N n. 7.8 Bestäm den cirkulära faltningen mellan x (n) {,, 3, } och x (n) {4, 3,, }. Jämför med den icke-cirkulära faltningen. 7.9 Bestäm den cirkulära faltningen mellan x (n) {,, 3, } och x (n) {4, 3,, } genom att använda DFT och IDFT. 7. Bestäm energin för sekvensen x(n) cos πkn N n N. MATLAB: Bestäm energin i MATLAB med hjälp av fft. 7. Sekvensen {,,,,,,, }, har DFT:n X(k). Bestäm nu DFT:erna av sekvenserna a) {,,,,,,, }. b) {,,,,,,, }.

4 KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER 7.8 Insignalen till ett linjärt tidsinvariant system H(ω) är x(n) k δ(n kn). Antag att vi beräknar N-punkters DFT av utsignalen y(n) för punkterna n N. Beräkna sambandet mellan Y (k) och H(ω). 7.3 Beräkna N-punkters DFT av a) x(n) δ(n) b) x(n) δ(n n ), < n < N c) x(n) a n, n N {, n N/ (N even) d) x(n), N/ n N e) x(n) e jπ/n k n, n N f) x(n) cos(π/n k n), n N g) x(n) sin(π/n k n), n N {, n even h) x(n), n odd n N 7.4 Givet x(n) {,, 3, }. Beräkna 4-punkters DFT ax x(n) genom att lösa 4:e ordningens ekvationssystem för invers DFT. 7.5 a) Bestäm fouriertransformen av x(n) {,, 3,,, }. b) Bestäm 6-punkters DFT av v(n) {3,,,,, }. c) Jämför X(k) och V (k) i a) och b). E5. Beräkna och skissa X(k) där X(k) är 8 punkters DFT av x(n) med x(n) {,,,,,,, } E5. Låt X(k) vara 8 punkters DFT av x(n) med x(n) {,,, 3, 8, 7,, } a) Beräkna y(n) IDF T (X (k)). b) Beräkna y(n) IDF T (( ) k X(k)). MATLAB: Kolla räkningarna i MATLAB med fft, ifft. Låt x(n) vara en ljudsignal och lyssna på y(n) i a) respektive b). E5.3 Insignalen x(n) till systemet y(n) ay(n ) + x(n) < a < är periodisk med perioden N. Bestäm impulssvaret till ett FIR-filter som ger samma stationära lösning som systemet ovan för insignalen x(n). E5.4 Den signalbehandlingsintresserade eleven Hans hittar en stämgaffel. Tyvärr framgår det ej vilken resonansfrekvens stämgaffeln har. Han kommer då på den lysande idén att utnyttja en spektrumanalysator. Spektrumanalysatorn är digital och gör en DFT av insignalen. Med spektrumanalysatorn inställd på - Hz (sampeltakt 4 Hz) avläser han en topp i spektrum vid frekvensen 38 Hz. Vilka värden på resonansfrekvensen kan stämgaffeln ha? Motivera svaret.

5 E5.5 Nedan ges fyra sekvenser x i (n) och åtta sekvenser X j (k). Välj ut de fyra rätta DFT paren x(n) X(k). x(n) X(k) { + j,,, } A {,,, } {.5,.5,.5,.5} B {j,, j, } 3 { + j, j,, } C { + j, + j, + j, + j} 4 {.75,.5,.5,.5} D {j,, j, } E {, j, j, } F {, j,, j} G { + j, + j,, } H {,,, } MATLAB: Tag eventuellt hjälp av MATLAB för att kolla resultatet. E5.6 Betrakta impulssvaret h(n) 4 δ(n) + 4 δ(n ) + 4 δ(n ) + δ(n 3) 4 a) Beräkna Fouriertransformen. Beräkna DFT:n för N 4. Samband? b) Vad blir H(k), k... 3 för N 4? Vad blir h p (n) IDFT(H(k))? E5.7 Följande två tidsdiskreta signaler är givna y(n) 3 n x(n) 3 n Signalernas Fouriertransformer samplas i punkterna f k/n, k... N, för N 5. Hur är Y (k/n) relaterad till X(k/N)? E5.8 Impulssvaret till en kausal tidsdiskret krets är h(n) δ(n) + δ(n ) + δ(n ). Insignalen är x(n) δ(n) + δ(n ). a) Beräkna utsignalen med hjälp av faltningsformeln. b) Beräkna utsignalen med hjälp av Fouriertransformen. c) Sätt in f k/n, k... N i uttrycket för Y (f). Om N är mindre än ett visst tal M uppstår vikning i tidsplanet. Slutsats? Hur stort är M? Hur stort är M i ett allmänt fall då impulssvaret har längden P och insignalen längden Q?

6 KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER E5.9 Sekvensen h(n) är impulssvar till ett transversalfilter av ordning L med koefficienter b k, k... L. Signalen x(n) är en trunkerad stegfunktion med längden Q, dvs { n... Q, Q > L + x(n) f.ö. Man önskar beräkna utsignalen från transversalfiltret med hjälp av DFT, men gör misstaget att välja DFT-längden N Q (istället för N Q + P Q + L, där P betecknar längden av h(n)). Beräkna för detta val av N utsignalen y p (n), n... N. E5. Signalerna x(n) och h(n) enligt figur är insignal respektive impulssvar till en tidsdiskret krets. Man vill beräkna utsignalen y(n) h(n) x(n) med hjälp av 8 punkters DFT. Detta kan man göra genom att dela upp insignalen i segment om t.ex. 4 punkter. Gör detta och beräkna respektive utsignal-segment m.h.a. faltningssumman. x(n) n - h(n) n E5. Man har givet en oändlig sekvens x(n) ( )n u(n) med Fouriertransformen X(f). Av denna bildar man en ändlig sekvens y(n) sådan att y(n) då k < och k > 9 genom att beräkna y(n) IDFT(Y (k)) n... 9. där Bestäm y(n). Y (k) X(f) f k k... 9. E5. Man kan utföra filtrering med hjälp av overlap-save-metoden. Då delas insignalen x(n) upp i segment av längden N x i (n) x(n + i(n M + )) n N där M är längden på filtrets impulssvar. För varje segment bildas X i (k) DFT{x i (n)} och y i (n) IDFT{X i (k) H(k)} där H(k) är DFT{h(n)}. Bestäm hur y i (n), i,,... skall kombineras för att ge y(n) x(n) h(n). Illustrera med figur.

7 Realiseringar, kapitel 9 9.3 Bestäm systemfunktionen och impulssvaret till nedanstående krets. x(t) 3 y(t) / z 9.9 Bestäm realisering enligt direktform I, direktform II, kaskadform och parallellform för nedanstående system. a) y(n) 3 4 y(n ) 8 y(n ) + x(n) + 3x(n ). f) y(n) y(n ) y(n ) + x(n) x(n ) + x(n ). 9.5 Bestäm parametrarna {K m } till ett lattice FIR-filter bestämt av ekvationen H(z) A (z) + z + 3 z MATLAB: Lös också parametrarna med hjälp av MATLAB. 9.9 a) Bestäm och skissa nollställen till lattice FIR-filtret med parametrarna K, ; K 3, K 3 b) Samma som i a) men med K 3 c) I a) ocb b) visar det sig att alla nollställen ligger på enhetscirkeln. Kan detta resultat generaliseras? Och hur? d) Bestäm fasfunktionen för filtren i a) och b). Slutsats? Exempel på design av filter E8. Givet nedanstående digitala FIR-filter. z z z a) Bestäm kretsens poler och nollställen. b) Bestäm och rita kretsens amplitudfunktion H(f). c) Bestäm och rita kretsens fasfunktion. d) Vid vilka frekvenser blir H(f)? e) Vilken typ (LP, BP, HP) är det? E8. Givet nedanstående digitala FIR-filter. z z z

8 KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER a) Bestäm kretsens poler och nollställen. b) Bestäm och rita kretsens amplitudfunktion H(f). c) Bestäm och rita kretsens fasfunktion. d) Vid vilka frekvenser blir H(f)? e) Vilken typ (LP, BP, HP) är det? E8.3 Vi vill filtrera en uppmätt signal genom att bilda utsignalen y(n) som medelvärdet av de fem senaste insignalvärdena enligt y(n) 5 x(k).(x(n 4) + x(n 3) + x(n ) + x(n ) + x(n)) a) Bestäm filtrets impulssvar h(n). b) Bestäm filtrets amplitudfunktion H(f). c) Skissa H(f) för f. E8.4 Utgående från signalen x(n) sin(π/ n) önskar man åstadkomma signalen y(n) sin(π/ n + π/3). Bestäm en krets som gör detta. Försök med ett FIR-filter. E8.5 Bestäm impulssvaret h(n) till en tidsdiskret krets så att följande krav på H(f) är uppfyllda: H() H( /5) H(/5) H(/5) H( /5) h(n) är reell h(n) är kausal kretsen har linjär fas MATLAB: Plotta spektrum i MATLAB och se om det uppfyller kraven. E8.6 Ett filter H(z) är givet genom N st poler i origo och N st nollställen i z. Likspänningsförstärkningen är (db). Bestäm för vilka värden på N som dämpningskraven enligt figuren är uppfyllda och bestäm impulssvaret för minimalt värde på N. MATLAB: Plotta spektrum i MATLAB och se om det uppfyller kraven. H(f) -3 -..4 f Ett löst exempel på FIR-filter med fönstermetoden: Bestäm ett FIR-filter som uppfyller dämpningskravet nedan dels med fönstermetoden och dels med ekviripplemetoden.

9 H(f) -3-4..5 f Först väljer vi fönsterfunktion för FIR-filtret. Hamming har största sidlob -55dB. Vi väljer därför Hammingfönster. Ett ungefärligt värde på gradtalet M fås ur FS tabell 5..7.5. M 34 M Observera dock att tabell 5. har definierat övergångszonens undre punkt vid -6dB, så det rätta M bör vara något större. Bättre värde på M fås ur figur FS sid 36. Vid undre gränsen f., H(f) 3dB, erhålles x.4 (f f c ) M (. f c ) M och vid f.5, H(f) 4dB x.5 (f f c ) M (.5 f c ) M Löser vi ut f c och M ur ovanstående ekvationer erhåller vi f c. M 38 Låt oss nu se vilket gradtal ekviripplemetoden ger. Passbandsripplet är log + δ p δ p 3 + δ p δ p.5.4 δ p.4.4.7 och logδ s 4 δ s. D log.7. 3 4.6 f.5..5 N..5 +. Ekviripplefiltret ger alltså lägst gradtal men har bestämts så att spärrbandsdämpningen är 4dB i hela spärrbandet medan FIR-filtret med Hammingfönster har största sidloben med dämpningen ca 55dB.

KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER E8.7 Bestäm impulssvaret till ett realiserbart filter som uppfyller kravspecifikationen nedan. Filtret skall ha så låg ordning som möjligt och exakt linjär fas. H(f) db -6-5..5 f E8.8 Ett FIR-lågpassfilter, som uppfyller de i figuren givna kraven, skall realiseras. Man utgår från ett idealt lågpassfilter H d (f) med gränsfrekvensen f c och använder ett Hammingfönster, vilket ger minst en spärrbandsdämpning, på 4dB. Beräkna f c så att de givna kraven uppfylles för minimalt M (udda). Realisera filtret. H(f) db -3-4..5 f MATLAB: Plotta spektrum i MATLAB och se om det uppfyller kraven. E8.9 Kravspecifikationen för ett tidsdiskret HP-filter är givet enligt figuren nedan. Vid frekvensen.6 skall dämpningen vara 3dB. Bestäm pulssvaret till ett FIR-filter av minimal ordning som uppfyller givna krav. H(f) db -3-4..6 f E8. Kravspecifikationen för ett tidsdiskret BP-filter är given enligt figuren nedan. Vid frekvenserna. och.5 skall dämpningen vara 3dB. Bestäm pulssvaret till ett FIRfilter av minimal ordning som uppfyller givna krav.

H(f) db -3 - -4.5..5.75 f MATLAB: Plotta spektrum i MATLAB och se om det uppfyller kraven. E8. Bandbredden för ett BP-filter definieras som skillnaden i frekvens mellan de två punkter där amplituden är H(ω) /. Bestäm bandbredden för ett FIR BP-filter som har impulssvaret sin(.466π(n )) h(n).4933 cos(π.49(n )) (.466π(n )) π(n ) (.54 +.46 cos( ) n 4 4 E8. Två FIR-filter kaskadkopplas H(z) H (z) H (z) där H (z) r cos(θ)z + r z Bestäm H (z) så att kaskadkopplingen får linjär fas och likspänningsförstärkningen H() ( r cos(θ) + r ). Ange arg(h(f)) för f /. E8.3 En bandpass-signal som man önskar studera har komponenter i området.5-3 MHz. Signalen samplas med sampelfrekvensen F s MHz och A/D-omvandlas. Signalen har dock genererat övertoner i området 5-6 MHz och dessutom har till den önskade signalen störningar i området 9- MHz adderats. Man vill nu med ett digitalt FIRfilter undertrycka störning och övertoner minst 4 db. Filtret får påverka den önskade signalen med maximalt 3 db.

KAPITEL. ÖVNINGSUPPGIFTER

Kapitel Lösningar till övningsuppgifter S. Periodicitet N : cos(ω(n + N)) cos(ωn) n. N fundamental period om f k N (ω πf) där k och N är heltal och saknar gemensamma faktorer. a) cos(.πn) [t.ex.] cos(.π(n+)) periodisk. cos(.πn) cos(π.5n) cos ( π n) k N N. b) Periodisk, N7. c) Periodisk, N. d) Periodisk sin(3n) sin(3(n + N)) om 3N πp och p heltal. Då kan ej N vara heltal alltså ej periodisk. e) Periodisk, N. S.5 a) Se c). b) x(n) x a (nt ) 3 sin(π5nt ) 3 sin(π 5 3 n) 3 sin(π 6 N 6, f /6. c) N 6, T /3 T p NT. s. n). Periodisk, 3 Uppgift.5a,c d) x(). x() 3 3 sin( π F s Hz. 3 5 5 5 3 msec 5 ) 3 sin(π F ) s F s 3

4 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER S.7 a) F s F max khz khz. b) x(n) x a (nt ) cos(π 5 8 n) cos(π 5 8 n) [ 5 8 > ] cos(π( 3 8 )n) cos( π 3 8 n) cos(π 3 8 n) x a(t) cos(π3t), dvs vikning till 3 khz. c) khz S.8 a) Nyquist rate F N lägsta sampelfrekvens så att vikning ej uppstår. F N F max Hz. b) F s 5 Hz F max 5 Hz. S. x a (t) 3cos(π 5t) + sin(π 5t) F s 5 3 Hz F rek Hz 3 ( x(n) 3cos π 5 ) ( n + sin π 5 ) n 3cos (π 4 ) n + sin (π 58 ) n 3cos (π 4 ) n + sin ( π 38 ) n F rek khz ( y a (t) 3cos π 4 ) ( t + sin π 3 8 3cos(π 5t) sin(π 375t) MATLABkod som illustrerar exemplet: t[:.:]; x3*sin(*pi*t)+*sin(5*pi*t); yx(:5:length(x)); soundsc(x,); soundsc(y,); subplot(),plot(t(:),x(:)); subplot(),plot(t(:),y(:)); ) t S.3 Antalet nivåer, L x max x min +. Antalet bitar, b log L. a) b7 b) b S.4 Hz 8 bit 6 bit/s, F max Hz, /55 V S E. Simulering i Matlab.

5 Impulssvar och faltning, kapitel S. a) x(n) n b) () y(n)x(-n) z(n)y(n-4)x(-n+4) n n () y(n)x(n-4) z(n)y(-n)x(-n-4) c) Alternativ () i b). d) Spegla och fördröj k steg. e) x(n) /3 δ(n + ) + /3 δ(n + ) + u(n) u(n 4) S.7 Systemen är: n a) Statiskt ty utsignalen beror bara av insignalen vid samma tidpunkt. Icke-linjärt ty Eq.(..6) är ej uppfylld. Tidsinvariant eftersom en fördröjd insignal ger samma utsignal fast fördröjd. Kausalt eftersom utsignalen vid tidpunkten n ej beror av insignaler för tidpunkter > n. Stabilt ty begränsad insignal ger begränsad utsignal. b) Dynamiskt, linjärt, tidsinvariant, icke-kausalt, instabilt. c) Statiskt, linjärt, tidsvariant, kausalt, stabilt. e) Statiskt, icke-linjärt, tidsinvariant, kausalt, stabilt. h) Statiskt, linjärt, tidsvariant, kausalt, stabilt. j) Dynamiskt, linjärt, tidsvariant, icke-kausalt, stabilt. n) Statiskt, linjärt, tidsinvariant, kausalt, stabilt. S.3 () (Tillräcklighet.) Antag att n h(n) M h <, då gäller med begränsad insignal, dvs. sup n x(n) M x <, y(k) h(n)x(k n) h(n) x(k n) M h M x <, n d v s systemet är BIBO-stabilt. n () (Nödvändighet.) Antag att n h(n), bilda insignalen { h x(n) ( n)/ h( n), h( n),, h( n). n

6 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER x(n) är begränsad ty x(n). Vi får y() n h(n)x( n) n h(n)h (n) h(n) n h(n) h(n) h(n), n S.6 d v s en begränsad insignal ger en obegränsad utsignal systemet är inte BIBOstabilt. Alltså måste n h(n) < om systemet är BIBO. a) n y(n) n k h(n k)x(k) k x(k) n h(n k) k x(k) l h(l) b) () Grafisk lösning: x(k) h(k) k k x(- k) h(k) x(-k) Σ k x(- k) k h(k) x(- k) Σ 3 k k x(- k) h(k) x(- k) Σ 7 x(3- k) k k h(k) x(3- k) Σ 7 x(4- k) k h(k) x(4- k) k Σ 7 x(5- k) k h(k) x(5- k) k Σ 6 x(6- k) k h(k) x(6- k) k Σ 4 k k

7 y(n) 7 y(n) { 3 7 7 7 6 4}, n y(n) 35 k x(k) l h(l) 7 5 () y(n) { 4 4 } (4) y(n) { 3 4 5} (9) Tabell-lösning: x(n) h(n) - -3 4 - -3 4 - -3 4 - -3 4 - -3 4 Summera antidiagonalerna, kontrollera i vilken summa pilarna korsas, y(n) { 5 3 5 4}, n y(n) k x(k) l h(l) 4 () Formel-lösning: n y(n) k ( )k u(k)( 4 )n k u(n k) ( )k ( 4 )n k u(n k) k n ( )k ( 4 )n k k ( n 4 )n () k k ( n+ )n 4, n (( )n ( 4 )n )u(n) n y(n) 8 3 k x(k) l h(l) 4 3 S.7 a) y(n) {6 5 8 4 6 3 } b) y(n) {6 5 8 4 6 3 } c) y(n) { }

8 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER d) y(n) { } S. a) Om a b, y(n) a n n k ( b a k bk u(k)a n k u(n k) ) k a n (b/a) n+ b/a an+ b n+ a b, n. Om a b, y(n) a n n k k a n (n + ), n. b) y(n) { 3 3 } S.35 a) Parallell- och seriekoppling h(n) h (n) [h (n) h 3 (n) h 4 (n)] b) h 3 (n) h 4 (n) (n )u(n ) h (n) h 3 (n) h 4 (n) δ(n) + u(n ) h(n) δ(n) + 5 4 δ(n ) + δ(n ) + 5 u(n 3) c) Falta med en komponent av x(n) i taget 5 5 5 h(n) δ(n + ) 4 5 5 5 5... h(n) 3δ(n ) 3 5 5 4 6 5 5... h(n) ( 4δ(n 3)) - -5-8 - - Utsignalen blir y(n) { 5 5 4 4 4 5 4 4 5 4 3 5 } 3 5 S.6 S.6 a) r xx (l) n x(n)x(n l) r xx (l) N l + n +N nn N+l r xy (l) n x(n)y(n l) : lös grafiskt dvs r xy(l) r xx (l n ) x(n) { } N l + ; l e xx (l) x(n)x(n l) { 3 5 7 5 3 } b) y(n) { } r yy (l) { 3 5 7 5 3 }

9 S.64 x(n) s(n) + r s(n k ) + r s(n k ) r xx (l) n x(n)x(n l) n (s(n) + r s(n k ) + r s(n k )) (s(n l) + r s(n k l) + r s(n k l)) r ss (l) + r r ss (l + k ) + r r ss (l + k ) + +r r ss (l k ) + r r ss (l) + r r r ss (l + k k ) + +r r ss (l k ) + r r r ss (l + k k ) + r r ss (l) Låt r och r r xx (l) r ss (l) + r r ss (l + k ) + r r ss (l + k ) + Z-transform, kapitel 3 S 3. a) X(z) 3z 5 + 6 + z 4z b) X(z) ( ) 5 z 5 z +r r ss (l k ) + r r ss (l k ) S 3. a) X(z) ( z ). Förläng med z. Nollställen: z (st). Poler: z (st). c) x(n) ( ) n u(n) X(z) + z Nollställe: z. Pol: z. f) x(n) Ar n cos(ω n + φ)u(n) Ar n (cos(ω n) cos φ sin(ω n) sin φ)u(n) X(z) A ( r cos(ω )z ) cos φ r sin(ω )z sin φ r cos ω z + r z Poler och nollställen ges av X(z) Az cos φ z r cos(ω φ) cos φ (z re jω ) (z re jω ) h) Nollställen: z och z r cos(ω φ)/ cos φ. Poler: z re ±jω. X(z) / z ) z ( / z ( ) z / z

3 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER Poler och nollställen ges av X(z) z (z (/) ) z (z /) z (/) z 9 (z /) Nollställen: z (/) z / e jπk/, k... 9. Poler: z (9st). OBS! Polen p / och nollstället z / släcker ut varandra. S 3.8 a) b) y(n) n k u(n) u(n) x(k) k Y (z) X(z) U(z) X(z) k x(k)u(n k) x(n) u(n) u(k)u(n k) X(z) U(z) U(z) z n (n + )u(n) k ( z ) S 3.9 Skalning i z-planet a n x(n) X(a z). Om vi har en pol (nollställe) z re jω c efter multiplikation i tidsplanet att ny pol (nollställe) z e j(ωc+ω) likaså e jω z re jω c e jω z re jωc z e j(ωc ω) Polerna (nollställena) är inte längre komplexkonjugerade. S 3.4 a) x(n) ( ) n u(n) ( ) n u(n) ( ) n b) x(n) cos π 4 (n )u(n ) + δ(n) c) x(n) u(n 6) + u(n 7) d) X(z) + z z + + z + z + z ( + jz )( jz ) ( ) + z A + jz + B jz, A, B Z x(n) δ(n) + ( j)n u(n ) + (j)n u(n ) Alt. identifiering via FS ( δ(n) δ(n) cos α n sin βn u(n) Z e j π/ n + ( π ) n u(n ) ) π/ n ej u(n ) z α sin β z α cos β + α z

3 α, β π sin π n u(n) Z z + z x(n) δ(n) + sin π (n )u(n ) g) De båda svaren är samma signal, kolla gärna genom att sätta in n,,... X(z) 4 + z + 3 4 4z + 4z + 4 + X (z) X (z) z ( + z ) + 3/4 ( + z ) Z x(n) 4 δ(n) + (n + )( )n u(n ) + 3 4 (n + )( )n u(n) [ ] δ(n) (n )( )n + ( ) n u(n ) S 3.6 a) ( ) n x (n) u(n ) 4 4 [ x (n) + x x Z X X ( ) n u(n ) Z 4 4 ( ) n ] u(n) Z z + / z z /4 z [ ] X X z /4 ( /4 z ) ( z ) + /4 ( /4 z ) ( / z ) [ ] z A /4 z + B z + C / z Handpåläggning: [ A 4 4 + ] 3, B 4 [ /4 ] 3, C 4 [ / ] X X 3 x x z z 3 [ 3 3 z /4 z + ( ) ] n u(n ) + 4 z Z / z ( ) n u(n )

3 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER c) x (n) ( ) n u(n) Z / z x (n) cos(πn)u(n) Z + z + z + z + z H.p. X X x x Z X X ( / z ) ( + z ) A / z + B + z A B + 3 + / 3 3 / z + Z 3 + z x x [ ( ) n + ] 3 3 ( )n u(n) [ ( ) n + ] cos πn u(n) 3 3 S 3.38 a) y zs (n) h x(n) då systemet är i vila dvs y( l) l... N Y zs (z) H(z)X(z) [ /3 z A /3 z + B + Cz / z + /4 z /4 z / z + /4 z ] Id.koeff. A / Az + /4 Az + B + Cz /3 Bz /3 Cz ( /3 z ) ( / z + /4 z ) A + B A 3 B + C 4 4 A 3 C A 7 B 6 7 C 3 8 /7 /3 z + 6/7 + 3/8 z ( / z + /4 z ) /7 /3 z + 6 7 + /8 z / z + /4 z 7 /3 z + 6 7 /4 z / z + /4 z + 3 3 7 3/4 z Z / z + /4 z

33 y zs (n) [ 7 ( ) n + 6 3 7 ( ) n ( π3 ) cos n + 3 3 7 ( ) n ( π ) ] sin 3 n u(n) d) S 3.4 Kausalt LTI y zs (n) 5 cos y(n) x(n) x(n ) x(n) cos ( π n) u(n) ( π ) n u(n) 5 cos ( π (n ) ) u(n ) ( ) n x(n) u(n) ( ) n u(n ) 4 y(n) a) Kausal in, kausal ut beg.villkor. ( ) n u(n) 3 X(z) Y (z) 4 z z 4 z z z 3 z H(z) Y (z) X(z) 3 z z 4 z h(n) z A 7 z + z + B 3 3 z 4 z ( ( ) n ( ) n ) + 3 u(n) 3 4 b) y(n) 7 y(n ) + y(n ) x(n) x(n ) c) x(n) + + + 7 z z y(n) d) poler < h(n) kausal } stabil

34 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER S 3.49 b) Y + (z).5(z Y + (z) + ) +.5(z Y + (z) + z ) c) Y + (z).5z Y + (z) +.5z Y + (z).5.5z Y + (z).5.5z.5z +.5z z + / / z Y + (z) ( Z y zi (n) ( ) n ) u(n) Y + (z) Y + (z)z + y( ) + 3 z Y + (z) z Y + (z) + + 3 z ( z ) + ( 3 z ) ( z ) 3 z + ( z ) ( 3 z ) 7/ z + 3 z S E3. d) Z y(n) 7 ( ) n u(n) ( ) n u(n) 3 Y + (z) 4 Y + (z)z + 4 z y( ) + 4 y( ) + z Y + (z) Y + (z) 4 z Y + (z) + 4 + z 4 ( 4 z ) + ( z ) ( 4 z ) z + 4 4 ( 4 z ) ( z ) 3/8 7/4 4/3 + z + + z z A-III. B-I. C-II. Z y(n) 3 8 ( ) n u(n) + 7 ( ) n u(n) + 4 4 3 u(n) Ju längre avstånd från poler till enhetscirkeln, desto mer dämpat impuls-svar. Dubbelpol på enhetscirkeln beskriver ett instabilt system (detta är anledningen att systemets poler aldrig bör ligga på enhetscirkeln, även om systemet inte är instabilt, jfr B-I. En insignalpol på samma ställe ger obegränsad utsignal, jfr A-III.)

35 S E3. a) ( π ) x(n) 3 sin n u(n) X(z) 3 z + z y(n) y(n ) + 5 x(n ) ; y( ) 3 Y + (z) z {Y + (z) + y( ) z} + 5 z X(z) Y + (z) 3 6 + + ( 5 z z + 6 + + 3 z 5 z y(n) ( n u(n) 6 ) { + 6 5 cos z ) ( + z ) { + z 5 + z 5 + z ( π ) ( π ) ( (n ) + sin (n ) ) } n u(n ) } b) y(n) dvs nollställe vid ω πf c) Pol på enhetscirkeln vid f T (z) b + b z + b z ( + z + z ) z, ± j 3 e ±jπ /3 f 3 N(z) + a z + a z z + z S E3.3 z, ± j 3 e ±jπ /6 f 6 y(n) y(n ) + 3 y(n ) x(n) 6 Y (z) ( z + 36 ) z X(z) Poler Låt där Y (z) ( 4 z ) ( 3 4 p, { /4 3/4 Y (z) ( 4 z ) ( 3 4 x(n) x (n) + x (n) z ) X(z) z ) X(z) ( ) n x (n) u(n) x (n) sin (π 4 ) n n

36 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER X (z) z Y (z) 9 + 4 z 3 4 4 z z x (n) sin (π 4 ) n n ( H w π ) 4 e jπ 4 + 3 6 e j π 4 3 6 + j.776e j.888 y(n) ( ( ) n + 9 4 ( ) n 3 4 4 ( ) n ) u(n) +.776 sin (π 4 ) n.888 S E3.4 H(z) z +.5z Poler: p, e ±j π 4 a) y zi (n) ( ) n [cos( π 4 n) + sin(π 4 n)]u(n). b) y zs (n) Z [H(z)X(z)] Z [.5z (.5z ) z +.5z + z ] ( ) n (sin π 4 n cos π n)u(n) + u(n). 4 c) y trans ( ) n cos( π 4 n + 3π 4 ) + ( ) n (sin π 4 n cos π 4 n) ( ) n cos π n, n. 4 d) y ss u(n).

37 S E3.5 y(n) y(n ) x(n) 4 Y (z) ( 4 ) z X(z) p 4 n < H(z) ; H(ω) 4 z 4 e jω ( H π ) 4 4 e jπ 4 + 4 j 4 e jarctan 4.97e j.4 7 y( ) 4 4 6 7 7 7.94 y(n).97 sin (π 4 ) n.4 n Y + (n) y(n) 4 7 /4z 4 y( ) 4 ( ) n u(n) 4 /4z Fouriertransform, signaler genom LTI-system och sampling, kapitel 4, 5 och 6 S 4.8 a) N n e jπkn/n { e jπ k/n N N för k, ±N, ±N,... e jπ k/n n ejπlnn/n N n N för k, ±N, ±N, ln, l Z b) k k k3 3 3 Summan av vektorerna k4 k5 k6 6 Summan av vektorerna6

38 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER c) N +N nn e j(π/n)kn e j(π/n)ln { e j(π/n)(k l)n N k l, ±N, ±N f.ö. nn N +N S 4.9 a) { e j(π/n)(k l)n N k l (ty sk (n) s k+n (n)) f.ö. nn N +N X(ω) n (u(n) u(n 6))e jωn 5 n e jωn e jω6 sin(3ω) e jω sin ( ) ω e j 5ω b) X(ω) ejω c) X(ω) 56ej4ω 4 e jω d) X(ω) n (α n sin ω n)u(n)e jωn α n e jωn α n e jωn n j e jωn j( αe jω e jω ) j( αe jωe jω ) αe jω e jω + αe jω e jω j( αe jω e jω αe jω e jω + α e jω ) g) α sin ω e jω α cos ω e jω + α e jω X(ω) j(sin ω + sin ω) S 4. a) x(n) π [ j π π π π X(ω)e jωn dω π X(ω) cos(ωn) + jx(ω) sin(ωn)dω π π ] X(ω) sin(ωn)dω ty X(ω) jämn & sin(ωn) udda π cos(ωn)dω π ω π sin(πn) πn sin(ω n) πn [ sin(ωn) n ] π δ(n) sin(ω n) πn ω

39 b) X(ω) cos ω + cos ω + 4 ejω + 4 e jω n x(n)e jωn endast term med n,, finns x(n) δ(n) + 4 δ(n + ) + 4 δ(n ) S 4. c) Multiplikation med e jωcn i tidsplanet skift ω c åt höger i frekvensplanet. Låt X L (ω) vara ett idealt lågpassfilter med gränsfrekvens W/ och höjden. x L (n) W/ π W/ ejωn dω sin( W n) πn cos ω c n e jωcn + e jωcn F{x L (n) cos ω c n} X(ω) Det vill säga x(n) 4 sin( W n) πn cos ω c n S 4.4 a) X() S 5. a) b) X(ω) π (X(ω) reell och negativ för alla ω) c) π X(ω)dω 6π π d) X(π) 9 e) π π X(ω) dω 38π W R (ω) n M n w R (n)e jωn e jωn e jω(m+) e jω e jω (M+)/ e jω / ( e jω (M+)/ jω e (M+)/) e jω/ e jω/ e jω M/ sin ω (M+) sin ω

4 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER 8 6 4 WR(omega) 8 6 4 3 3 omega (dotted line: M, full line: M, dashed line: M5) b) w T (n) w R (n) w R (n ) där w R (n) { n... M f.ö. W T (ω) W R (ω) W R (ω) e jω e jω M sin ω M 4 sin ω S 5.7 a) T.ex. ur FS y(n) x(n) cos ω x(n ) + x(n ) h(n) δ(n) cos ω δ(n ) + δ(n ) b) H(ω) cos ω e jω + e jω e jω ( e jω cos ω e jω + ) (ejω e jω )(e jω e jω ) e jω H(ω) e jω e jω e jω e jω V (ω)v (ω) φ(ω) arg[ cos ω e jω + e jω ] { arg[e jω ω ω < ω (cos ω cos ω )] ω π ω > ω

4 abs(h) 3.5.5.5 Amplitude.5.5.5 3 3.5 omega 3 Phase angle(h).5.5.5 3 3.5 omega c) ( π x(n) 3 cos 3 n + π ) 6 < n < ( π ) ( π y(n) 3 H cos 3 3 n + π ( π )) 6 + φ 3 ω π ( H π ) + e j π/3 3 ( ) ( ) 3 + ( π ) φ 3 π 3 ( π y(n) 3 cos 3 n π ) 6 < n < < n < S 5.5 Plotta X(f) med hjälp av MATLAB. 4 Amplitude 8 Amplitude 3 6 abs(h) abs(h) 4 abs(h) 3 omega.5.5 Amplitude 3 omega abs(h) 3 omega 8 6 4 Amplitude 3 omega

4 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER S 5.6 Välj ω π 4 h(n) { { } } x(n)... { } T.ex. Grafisk faltning y(n)... P.g.a. att insignalen startar vid n syns en transient i utsignalen. S 5.35 H() V V U U G() H() ( ) + ( 4 ) + 4( + ) S 5.39 H (ω) H (ω 3dB ) H() a ae jω H () a a H (ω 3dB ) ( a) a cos ω 3dB + ja sin ω 3dB ω 3dB arccos 4a a a H (ω) a + e jω ae jω H () a a H (ω) ω arccos ( ) a + cos ω j sin ω a cos ω + aj sin ω a + a Amplitude.8 abs(h).6.4..5.5.5 3 3.5 omega Phase.5 angle(h).5.5.5.5 3 3.5 omega H är bäst ty nollställe i z.

43 S E4. Välj nollställe z j, z j, z. Detta ger H(z) b ( + z + z + z 3 ). DC-nivå ger b /4 och b b b b 3.5. Och H(ω) /4 sin(ω) sin(ω/) / cos(3ω/) + cos(ω/), arg(h(ω)) 3ω/ + π (om π/ < ω < π) (Och H(ω) periodisk). S E4. H(z) + z D + z D zd +z D + H(ω) + e jωd + e jωd + cos ωd. z D poler: D i origo, nollställen: z D + z D +, z D.5( ± j 3) e j± π 3 e jπk π ±j, k,,...d, och slutligen z k e 3D e jπ/d k S E4.3 a) y(n) x(n) +.9x(n D), h(n) δ(n) +.9δ(n D) b) H(z) +.9Z D zd +.9, D 5, poler 5 i origo, nollställen z 5.9 Z D.9e jπ k+jπ, z k.9 /5 e jπk/5+jπ/5, k,,,..., 499 (ligger på en cirkel). sin 4ω S E4.4 H(f) sin ω/, mult med cos(π/8 n) flyttar spektrum ±/8, H(f) spärrar alla frekvenser utom f (rita spektra). Ger y(t) 4 cos(π t) S E4.5 a) x a (t) e t u(t) X a (F ) b) Spärrad energi: E s Hela energin: c) Utan filter: Y (f) Med filter: 5 [ e e (+jπf )t (+jπf )t dt ( + jπf ) + jπf X a(f ) + (πf ) X a (F ) df + π [ arctan π F [ π ] π.539 5 ] X a (F ) df 5 5 E tot π π π spärrad andel:.539 π % ] + (πf ) df e n/ e jπfn e. e jπf.887.896 cos πf n Ỹ (f) F s X a (F ) F s + (πffs ).. + (πf) S E4.6 Ỹ (f) Y (f) f.5 f.5.64.74 f.5.3.53

44 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER Xa(F) -6 X(f) 6 F -.6-.4 -.6 -.4.4.6.4.6 X(f) f -.-.9 -...9. f Y(f) -.55 -.45 -.5.5.45.55 Ya(F).5 f -9-9 F y a (t) cos(πt) + cos(π9t) Diskreta fouriertransformen DFT, kapitel 7 S 7. Om x(n) reell så är X(ω) en jämn funktion, och arg(x(ω)) en udda funktion. X(ω) är alltid en periodisk funktion med perioden π. Dessa samband gäller även då X(ω) samplats till X(k). Det betyder att då X().5 X().5 j.38 X() X(3).5 j.58 X(4) så är X(5) X (3).5 + j.58 X(6) X () X(7) X ().5 + j.38. S 7. a) y(n) {.5,.55,.55,.5,.5,.6,.6,.5}. S 7.3 x(n) blir lågpassfiltrerad då vissa värden i X(k) nollställs, ty k-värdena mellan k c och N k c representerar höga frekvenser från ω π (högsta frekvensen) och neråt till πk c /N. Frekvenserna ω π och upp till π(n k c )/N representerar periodiceringen. S 7.4 a) N sin π N n b) N sin π N l c) N cos π N l d) N cos π N l S 7.7 X c (l) [X((l k)) N + X((l + k)) N ] X s (l) j [X((l k)) N X((l + k)) N ] S 7.8 Cirkulär faltning periodisera den ena signalen och falta som vanligt. x {... 3 3 3...} x {43}

45 y x x y() 4 + 3 + 3 + 7 y() 4 + 3 + + 3 9 y() 4 3 + 3 + + y(3) 4 + 3 3 + + 9 S 7.9 x 3 (n) x (n) x (n) x (n) {,, 3, } x (n) {4, 3,, } X(k) DF T (x n ) 3 x n e jπnk/4 k... 3 n X () 7 X () X () j X () j X () X () X (3) X () + j X (3) X () + j X 3 (k) X (k)x (k) x(n) IDF T (X(k)) 4 X 3 () 77 X 3 () 5 X 3 () X 3 (3) 5 3 X(k)e jπnk/4 n... 3 k x 3 () 7 x 3 () 9 x 3 () x 3 (3) 9 S 7. ( ) πkn x(n) cos N E x N n x(n) n N N n cos ( πk N ) N n n + cos ( 4πk N n) k, k N E x N k, N E x N + 4 e j 4πk/N N e j 4πk/N } {{ } 4πk/N N e j + e j 4πk/N N }{{}

46 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER S 7. X (k) k... 7 given. DFT periodiserar x(n) x(n) n x(n) n x(n) x (n) x((n 5)) 8 x (n) x((n )) 8 } n X (k) X (k) e jπ k 8 5 X (k) X (k) e jπ k 8 S 7.8 Y (k) H(f) f k N S 7.3 a) X(k) b) X(k) N n δ(n n )e jπkn/n e jπkn/n, k,..., N c) X(k) a N ae jπk/n d) x(n) X(k) { n N N n N N jämnt N/ n e jπkn/n {k } e jπk N/ N e jπk/n e jπk/ e jπk/n ( ) k k,..., N e jπk/n X() N e) x(n) e j π N k n (obs fel i boken) X(k) N δ(k k ) f) X(k) N (δ(k k ) + δ(k (N k )))

47 g) X(k) N j (δ(k k ) δ(k (N k ))) h) Förutsätt att N är jämnt x(n) X(k) { n jämnt n udda N ( + ( ) n )e jπkn/n N n ( ( δ(k) + δ k N )) S 7.4 X(k) + e j πk/ + 3e jπk + e j 3πk/ {7, j,, + j} S 7.5 a) x(n) { 3 } X(ω) n x(n)e jωn e jω + e jω + 3 + e jω + e jω b) v(n) {3 } 3 + 4 cos ω + cos ω V DF T (k) 5 v(n)e jπ k 6 n, n 3 + e j π 3 k + e j π 3 k + e j 4π 3 k + e j 5π 3 k c) V DF T (k) 3 + 4 cos π 3 k + cos π 3 k k... 5 Det vill säga V DF T (k) X(ω k ), ω k π k 6, k... 5 S E5. Låt x (n) {,,,,,,, }. x(n) är cirkulärt skift av x (n), skift påverkar endast fasen. Således X(k) X (k) sin π k 4 sin π k 6 S E5. a) y(n) x( n) {,,, 7, 8, 3,,, }. b) y(n) x(n 4, modulo 8) {8, 7,,,,,, 3}. S E5.3 där H F IR (f) H IIR (f) för f k N h F IR (n) IDF T H F IR ( k N ) h F IR (n) N ( ) k H IIR N m ty insignalen periodisk ( ( )) k H F IR N ( k H F IR N N N m k jπ km/n h IIR (m)e N h IIR (m) e jπ k/n (n m) k ) l jπ kn/n e h IIR (n ln) Jämför vikning h F IR (n) l a n ln a n a N u(n)

48 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER S E5.4 f ±38 + n 4 {38, 6,...}. S E5.5 C, F, 3G, 4H. S E5.6 a) H(f) 4 + 4 e jπf + 4 e jπf + 4 e jπ3f H(k) 4 + 4 e jπk/n + 4 e jπk/n + 4 e jπ3k/n +++...+ för k... N. H(k) är sampel av H(f) i punkterna f k N, k... N. b) H(), H(), H(), H(3). h p (n) 4 Fouriertransformen av h(n) för alla värden på n..8.6.4....3.4.5.6.7.8.9 Normerad frekvens DFT av h(n), N6.8.6.4....3.4.5.6.7.8.9 Normerad frekvens DFT av h(n), N4.8.6.4....3.4.5.6.7.8.9 Normerad frekvens S E5.7 Y (k/n) X(k/N) S E5.8 a) y(n) δ(n) + δ(n ) +.5 δ(n ) +.5 δ(n 3) b) Se ovan. c) M4; allmänt är M P +Q där P är impulssvarslängden och Q är insignallängden. S E5.9 y p (n) L l b l n... N.

49 S E5. Metoden kallas overlap-add om beräkningen av utsignalen görs med DFT. y(n) - n S E5. y(n) { - ( ) ( )n n 9 f.ö. S E5. Figuren illustrerar hur uppdelningen görs. M- N- y(n) y(n) y(n) Realiseringar, kapitel 9 S 9.3 Välj tillståndsvariabeln v(n) efter fördröjningselementet, vilket ger v(n + ) v(n) + x(n) y(n) [v(n + ) + 3x(n)] + v(n) v(n) + x(n) + 6x(n) + v(n) 3v(n) + 8x(n) och tillståndsmatriserna F q g T 3 d 8. Impulssvaret blir h(n) 3 H(z) ( ) n u(n ) + 8δ(n) Z 3z z + 8 8 z z S 9.9 a) y(n) 3 4 y(n ) 8 y(n ) + x(n) + 3 Direkt I: ur differensekvationen Direkt II: ur F.S. + diff.ekv. x(n ) Kaskad: z-trans av diff.ekv. H(z) + 3 z ( 4 z )( z )

5 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER S 9.5 Parallell: H(z) 3 z 4 7 3 z f) y(n) y(n ) y(n ) + x(n) x(n ) + x(n ) Systemet innehåller komplexa poler D.F.II, kaskad och parallell är ekvivalenta. OBS! F el i P roakisupplaga3 : a () 3 H(z) A (z) + z + 3 z B (z) 3 + z + z ger K α () 3 A (z) A (z) K B (z) K + 4/3 8/9 z + 3 z + z + 3 z 3 ( 3 ( 3 + z + z ) ) B (z) 3 + z ger K α () 3 A (z) + ( 3 z 3 3 + z ) ( ) 3 5/4 5/4 K 3, K 3 (K ) S 9.9 a) K, K 3, K 3 A (z) B (z) A (z) A (z) + K (z) z B (z) + z + z B (z) + z A (z) A (z) + K (z) z B (z) + z 3 z ( + z ) + 3 z 3 z B (z) 3 + 3 z + z { A3 (z) + 3 z 3 z + z ( 3 + 3 z + z ) + z 3 B 3 (z) + z 3 Nollställen + z 3 z 3 e jπ(k+) z e jπ(k+)/3 k,, ( ) z e ±j π/3, z

5 b) A 3 (z) + 3 z 3 z + ( ) z ( 3 + 3 ) z + z + 3 z 3 z z 3 B 3 (z) 3 z + 3 z + A 3 (z) ( z ) ( + 53 ) z + z 5 5 6 ± 36 5 ± j (Belopp ett) 6 c) Om sista reflektionskoefficientens belopp är lika med ett ligger alla nollställen på enhetscirkeln. d) a) H(z) + z 3 H(ω) ( + e j 3ω e j 3ω/ e j 3ω/ + e j 3ω/) ( ) 3ω j 3ω/ cos e b) ω < π 3 : θ(ω) 3ω π 3 < ω π : θ(ω) π 3ω Linjär fas (symmetriskt FIR) H(z) + 3 z 3 z z 3 H(ω) + 3 e jω 3 e jω e j3ω ( e j 3ω + π ) ( ( ) 3 sin ω + ( ω ) ) 3 sin Alla nollställen på enhetscirkeln Linjär fas. Exempel på design av filter S E8. a) p,,3, n, ±j, n 3 b) H(ω) cos(3ω/) + cos(ω/) c) arg(h(ω)) 3ω/ + (fashopp med π) d) ω ±π/, ω π e) Lågpassfilter S E8. a) p,,3, n, ±j, n 3 b) H(ω) sin(3ω/) sin(ω/) c) arg(h(ω)) π/ 3ω/ + (fashopp med π) d) ω ±π/, ω e) Högpassfilter

5 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER S E8.3 a) h(n) /5 {,,,, } /5(δ(n) + δ(n ) + δ(n ) + δ(n 3) + δ(n 4)) b) H(z) /5 4 n z n. z 5 z c) H(f) periodisk sinc, H(f) för f.,.4,.6,.8 S E8.4 Prova med :a ordn, H(z) b +b z. H(ω) ωπ/ e jπ/3 ger b /, b 3/ S E8.5 H(/5) H( /5) nollställen i z, e ±j4π/5. H(/5) H( /5) troligen två nollställen till. linjär fas symmetriskt eller antisymmetriskt impulssvar. En test ger att eller 3 nollställen inte räcker. h(n).3δ(n) +.33δ(n ) +.6δ(n ) +.33δ(n 3)..3δ(n 4) (h(n).536δ(n) +.764δ(n ).δ(n ) +.764δ(n 3) +.536δ(n 4)) S E8.6 H(z) k (z + )N z N H(ω) k (ejω + ) N e jωn k e jω N/ N ( cos ω k e jω N/ ( e j ω/ + e j ω/) N ) N H() k N dvs H(ω) ( cos ω ) N Vid ω π. ska H(ω) ω π. ( cos ) N π. > ( 3dB) Vid ω π.4 dvs N < 6. Minimalt: N ( cos N < 6.9 ) N π.4 <. N >.96 ( ) z + H(z) z 4 ( + z + z ) h(n) { 4 } 4

53 S E8.7 FIR-filter, 5dB Hammingfönster 6dB vid f f. vilket ger att vid 5dB, f.5 erhålles (.5.) M.6 S E8.8 M.6 3.4 dvs M 33.5 f [ sinc(f (n 6)) ].54 +.46 cos π(n 6) h(n) 3 n 3 f.ö. H db (.) 3dB ger (. f c ) M.4 H db (.5) 4dB ger (.5 f c ) M.49 M.49 +.4.5. 37.8 M 39 (udda) Välj f c.3 ger f c. +.4 39.3 f c.5.49 39.8 (.3 f c.8 duger) b n (h(n) ĥ(n 9) h d(n 9)w H (n 9) ) för n... 38. sin{π.3(n 9)} π(n 9) (.54 +.46 cos ) π(n 9) 38 y(n) b b b b38 x(n) Z - Z - Z - S E8.9 Ur diagram för Hammingfönster:.4 (.6 f c )M.49 (. f c )M M 33 ; f c.479 w H (n).54 +.46 cos πn 3 ; h d(n) δ(n) f c sinc(f c n) ĥ(n) h d (n 6) w H (n 6) n 3

54 KAPITEL. LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTER S E8. Utgå från ett idealt BP-filter: h d (n) 4f c sinc(f c n) cos πf n, n, Trunkera h d (n) m.h.a. w H (n). (Hammingfönster tillräckligt ty max 4dB dämpning.).54 +.46 cos πn M, M n M w H (n), f.ö. dvs bilda ĥ(n) h d (n) w H (n) Förskjut sedan ĥ(n) tills det blir kausalt, dvs ( h(n) ĥ n M ) Det som behövs bestämmas är alltså M, f och f. Vi tittar först på den vänstra övergångszonen: Formelsamlingen ger { (.5 (f f ))M.49... () ( 4dB) (. (f f ))M.4... () ( 3dB).5 M.89 M 37.8 Sedan tittar vi på den högra övergångszonen: { (.5 (f + f ))M.4... (3) ( 3dB) (.75 (f + f ))M.9... (4) ( db).5 M.3 M 5.4 För att uppfylla kraven vid båda övergångszonerna krävs M > max(37.8, 5.4) Välj M 53 Vi hade dessutom kravet att vid frekvenserna. och.5 skall dämpningen vara 3dB, vilket innebär att när vi löser ut f och f så måste vi använda ekv. () och (3). Det M-värde som sättes in är nu M 53, i både ekv. () och (3). () (. (f f )) 53.4 (3) (.5 (f + f )) 53.4 { f.75 f.85 Alltså: h d (n).33 sinc(.65n) cos(π.75n).54 +.46 cos πn 5, 6 n 6 w H (n), f.ö.

55 och h(n) h d (n 6) w H (n 6) [.33 sinc(.65(n 6)) cos(π.75(n 6))] [ ].54 +.46 cos π(n 6) 5, f.ö., n 5 S E8. Centerfrekvensen är f.96, f c.33 och M 4 (ges ur uttrycket). Detta insättes i (f (f + f c ))M.4( 3dB) f.33 för högra sidan (lågpass) och i (f (f f c ))M.4( 3dB) f.96 för vänstra sidan (högpass). Bandbredden, f f f.7. S E8. H(z) skall ha linjär fas. Sätt H (z) a + bz + cz ty första ordningen räcker ej. Genom att beräkna H(f) ser vi att linjär fas fås om a cr b ar cos(θ) br cr cos(θ) Tillsammans med kravet på likspänningsförstärkningen ger detta H (z) r r cos(θ)z + z H(z) är av ordning 4 och har symmetriskt impulssvar. Detta ger arg(h(f)) 4πf. S E8.3 Sampling med MHz ger vikning. Övertonerna viks till frekvensområdet 4-5 MHz och störningarna viks till - MHz. Detta ger ett bandpassfilter med följande krav. H(f) -3-4..5.3.4 f Ett Hammingfönster ger L 9, f.75 och f.46. Impulssvaret blir h(n) (.54 +.46 cos( π(n 9) ) 4f sinc(f (n 9)) cos(πf (n 9)) 8 n 8