Tentamen i Balkteori, VSMN35, 2012-10-26, kl 08.00-13.00 Maimal poäng på tentamen är 40. För godkänt tentamensresultat krävs 16 poäng. Tentamen består av två delar: En del med frågor och en del med räkneuppgifter. Frågedelen omfattar uppgifterna 1 och 2. Tillåtna hjälpmedel vid lösning av denna del är fickräknare, linjal, papper och penna. Svaren på frågedelen kan lämnas på den bifogade etra kopian av frågedelen. Räknedelen omfattar uppgifterna 3-6. Tillåtna hjälpmedel vid lösning av denna del är kurskompendiet (eller motsvarande äldre kurspärmen, dock utan -tentorna och deras lösningar), Calfemmanualen samt egna anteckningar och annan litteratur, dock inte lösningar till övningsuppgifter och -tentor. Sätt namn på alla papper som du lämnar in. När svaren till frågedelen är inlämnade kan övriga hjälpmedel plockas fram. Lcka till! 1
Tentamen i Balkteori, VSMN15, 2012-10-26 Frågedel Namn: 2
Namn: Uppgift 1 (14*(1/2)=7 poäng) Ange för nedanstående påståenden om de är rätt eller fel. +1/2 poäng för varje rätt svar, -1/2 för fel svar och 0 poäng om inget svar. Sammanlagt inte mindre än noll poäng. Ange ditt svar genom att ringa in Rätt, Fel eller Inget svar. a) Positivt tvärkraft V är definierad enligt figuren nedan. Rätt Fel Inget svar b) Yttröghetsprodukten för ett cirkulärt balktvärsnitt är noll. Rätt Fel Inget svar c) Ett grundläggande antagande vid härledning av ekvationer för balkböjning enligt Bernoulli-Eulers teori är skjuvtöjningarna i balken är noll. Rätt Fel Inget svar d) Ett grundläggande antagande i Vlasovs vridningsteori är att skjuvtöjningen i balken är noll. Rätt Fel Inget svar e) Vridstvhetens tvärsnittsfaktor, K v, kan anges i enheten m 3. Rätt Fel Inget svar f) En krökt I-balk är utformad och belastad enligt figuren ovan. Påstående: lasten ger en trckande normalspänning vinkelrätt mot balkens medellinje. Rätt Fel Inget svar g) Figuren ovan visar ett plant balkelement som representerar böjverkan enligt Timoshenkos balkteori. Elementet har fra frihetsgrader: två i vardera balkände som representerar translation respektive rotation. Påstående: rotationen avser lutningen av balkens medellinje. Rätt Fel Inget svar h) Figuren ovan visar ett element som representerar vridverkan enligt teorin för blandad vridning. Elementet har fra kinematiska frihetsgrader. Påstående: två av frihetsgraderna avser vridningsvinkel, ϕ, och två av frihetsgrader avser andra derivatan av vridningsvinkel, ϕ. Rätt Fel Inget svar i) Differentialekvationer kan lösas numeriskt med olika residualmetoder. Betrakta ekvationen för vridning enligt St Venant: ( GK vϕ ) + qv = 0. Påstående: residualen är R ( ) = ( GK v ϕ ) + qva där q va är den för lösningen ansatta fördelade vridmomentbelastningen. Rätt Fel Inget svar 3
Namn: j) Vippningsinstabilitet för en konsolbalk innebär att lasten är sådan att det finns minst två teoretiskt möjliga jämviktlägen. Rätt Fel Inget svar k) 2:a ordningens teori innebär att ekvationerna för kraft- och momentjämvikt mellan snittstorheterna (snittkrafter och snittmoment) och ttre laster ställs upp för balken i dess deformerade läge. Rätt Fel Inget svar l) St Venants vridteori förutsätter att tvärsnittets välvning är noll eller nästan helt förhindrad. Rätt Fel Inget svar m) För att kunna transformera stvhetsmatris för blandad vridning från lokalt koordinatsstem till ett globalt koordinatsstem är det tillräckligt att känna de globala koordinaterna för elementets två ändar. Rätt Fel Inget svar n) Transformationssambandet K e = AT K e A avser transformation av stvhet K e från ett lokalt koordinatsstem till ett globalt koordinatsstem med annan orientering. Påstående: A bestäms av en vinkel mellan koordinatsstemen och ttröghetsmomenten, I och I, och ttröghetsprodukten I i det ursprungliga (lokala) koordinatsstemet. Rätt Fel Inget svar Uppgift 2 (1+1+1+1+1+1 = 6 poäng) a) 1) 2) 3) 4) Figuren ovan visar tre tunnväggiga tvärsnitt och ett massivt tvärsnitt. I det massiva tvärsnittet, 4), är tngdpunkten markerad med en liten ring. Tvärsnittet 1) är enkelsmetriskt och tvärsnittet 2) är polärsmmetriskt. Markera i figuren var vridcentrum ungefärligen är belägen för de fra tvärsnitten. b) Ange om något av de fra tvärsnitten i figuren ovan har noll eller försumbart välvtröghetsmoment, I ω 0. Ange i så fall vilket/vilka tvärsnitt som har I ω 0. c) Definiera eller förklara klart och entdigt vad som menas med ett tvärsnitts skjuvcentrum. (Observera att frågan gäller definition av skjuvcentrum, inte vridcentrum.) 4
Namn: d) Tvärsnitt Temperatur, t Spänning, σ + t σ En stålbalk med dubbelsmmetriskt I-tvärsnitt är centriskt fastsatt med två filager, se figuren ovan. Balken värms på ovansidan så att det uppkommer en över balkhöjden linjärt varierande temperatur. Rita i spänningsdiagrammet ovan normalspänningsfördelningen i balktvärsnittet. Markera dragspänninmg med + och trckspänning med -. e) Pelare Tvärkraft, V Moment, M m En konsolpelare med längden L belastas med en jämt fördelad momentbelastning, m, längs hela sin längd. Rita tvärkraftdiagram och momentdiagram. Tecken på moment och tvärkraft behöver inte anges, bara storlek och fördelning. f) V M T-tvärsnittet ovan är enkelsmmetriskt och har konstant godstjocklek. Markera eller ange, klart och tdligt, var, enligt balkteori, ma skjuvspänning uppkommer (punkt(er) och/eller område(n)) vid vertikal tvärkraft (vänster) och vridmoment (höger). 5
Tentamen i Balkteori, VSMN35, 2012-10-26 Räknedel 6
Uppgift 3 (1+2+5=8 poäng) a a a a Figuren ovan visar tvärsnittet av en hängränna gjort av plåt. Godstjockleken t=a/20. a) Beräkna läget av tvärsnittets tngdpunkt. b) Beräkna tvärsnittets största ttröghetsmoment. c) Beräkna och rita normerad sektoriell koordinat för tvärsnittet. Eventuella uppgifter i litteratur om tvärsnittsstorheter för ovanstående tvärsnittsform får inte användas i beräkningarna. Uppgift 4 (2+2+3=7 poäng) 80 mm q() 6 TP 8 49.0 q(l) q() SC 41.0 8 100 Tvärsnittsdata: I = 3.80 10 6 mm 4, I = 1.01 10 6 mm 4, K v = 37.2 10 3 mm 4, I ω =2.17 10 9 mm 6, SC =11.8 mm Last- och materialdata: q(l)=80.0 N/mm, E=2.0 10 5 N/mm 2, G=8.0 10 4 N/mm 2 En balk med längden L=1000 mm är utformad, belastad och upplagd enligt figuren ovan. SC beteckar - koordinaten för skjuvcentrum, SC. Den fördelade lastens intensitet varierar linjärt från 0 vid =0 till 80.0 N/mm vid =L. Balkens nedböjning i -riktning, w(), i tvärsnittets tngdpunkt (,)=(0,0) skall beräknas. Observera att balken är upplagd på två filager och att dessa filager är placerade i balkens underkant, vid =49 mm. a) Ange de differentialekvationer (grundekvationer) som behövs för beräkning av nedböjningen. Bara de ekvationer som behövs skall anges. Siffervärden behöver inte vara insatta. b) Ange de aktuella randvillkor vid =0 och =L som behövs för att lösa ekvationerna i a). Villkoren skall uttrckas som villkor för de i differentialekvationerna sökta obekanta funktionerna. Siffervärden behöver inte vara insatta. c) Beräkna balkens nedböjning, w(), i tvärsnittets tngdpunkt (,)=(0,0) mha ekvationer och randvillkor från a) och b). 7
Uppgift 5 (3+3=6 poäng) Vänster balk 300 mm q = 40 kn/m 500 mm q = 40 kn/m L = 10 m ω 140 ω 0 S ω 0 S ω Balk HEB 500: t liv =14.5 mm t fläns =28.0 mm A = 23860 mm 2 I = 10.72 10 8 mm 4 I = 1.262 10 8 mm 4 K v = 5.40 10 6 mm 4 I ω = 7.02 10 12 mm 6 ω 0 = 37500 mm 2 Stål: E = 200000 N/mm 2 G = 80000 N/mm 2 S = 78.75 10 6 mm 4 ω0 Man överväger att bgga en enkel bro av två fritt upplagda standardstålbalkar med I-tvärsnitt HEB 500. Mellan balkarna skall läggas betongelement, vilande på balkarnas undre fläns. Belastning och balkarnas utformning och tvärsnittsdata anges i figuren. (Balkarna skall ha livavstvningar vid upplag, ej visade i figuren.) Vänster balk studeras. Beräkningar mha grundekvationerna för balkböjning och blandad vridning har tillsammans med aktuella randvillkor, balkgeometri, materialdata och belastning gett att v () = 0 w() = (7.774 4 155.5 3 + 7774)10 ϕ () = 0.04213cosh(0.555) - 0.04180sinh(0.555) - 0.006481 6 2 + 0.06481-0.04213 där v är tvärsnittets rörelse i -riktning, w är rörelsen i -riktning och ϕ är rotationen, allt med vridcentrum som referenspunkt. Enheten för längd är m och enheten för vinkel är radian. a) Beräkna normalspänningen σ i balken i punkten (,, ) = (5.0 m, 150 mm, 250 mm). b) Beräkna skjuvspänningen i balken punkten (,, )=(2.0 m, 0, -250 mm). Skjuvspänningens tecken behöver inte anges, bara deras storlek. 8
Uppgift 6 (2+4=6 poäng) L F Vippningsinstabilitet hos en konsolbalk med längden L och belastad med en punktlast F enligt figur, skall studeras. Balken är initialt helt rak och visas i figuren i ett utböjt jämviktsläge. 2:a ordningens teori ger följande differentialekvation för balkens vridning, ϕ (),: F ϕ '' + GK EI v 2 (L ) 2 ϕ = 0 där G och E är materialparametrar och K v och I är tvärsnittskonstanter. a) Välj, inför en approimativ numerisk lösning av ekvationen, ett 2:a gradspolnom som lösningsansats för ϕ (), sådant att aktuella randvillkor uppflls. b) Använd viktad residualmetod med viktfunktioner enligt Galerkin för att göra en approimativ beräkning av den last som ger vippningsinstabilitet. Utgå från lösningsansatsen från uppgift a). 9