Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010

Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 17 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 1 / 26

Dagens program Konvexa och pseudokonvexa områden, forts Holomorfiområden och Leviproblemet Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 2 / 26

Analytiska diskar och pseudokonvexitet Definition En analytisk disk är en holomorf avbildning φ : D C n. Ibland kallas dess bild också för en analytisk disk.om φ kan fortsättas till C( D) säger kallas disken sluten. Proposition Om Ω C n är strikt pseudokonvext, kan Ω inte innehålla någon icke-konstant analytisk disk. (Jfr bidisken!) Bevis. Antag att φ : D Ω är en analytisk disk. Låt ρ vara en strikt plurisubharmonisk definierande funktion för Ω och låt u = ρ φ. Å ena sidan är u konstant 0. Å andra sidan är nx 2 ρ u(0) = (φ(0)) w j w k C w 2 > 0, z j z k j,k=1 där w = φ (0), vilket är en motsägelse. I själva verket kan en analytisk disk ha kontakt av högst ordning 2 med randen till ett strikt pseudokonvext område. Se övning 3.2.2 i Krantz. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 3 / 26

Konvexitet med avseende på en funktionsfamilj Definition Låt Ω R n och låt F vara en familj reellvärda funktioner på Ω. Låt K vara en kompakt delmängd av Ω. Vi definierar det konvexa höljet av K med avseende på familjen F som ˆK F = {z Ω : f(x) sup f(ξ) för alla f F}. ξ K Området Ω kallas konvext med avseende på F om ˆK F är kompakt för alla kompakta K Ω. Om funktionerna i F är komplexvärda, ersätter vi f med f i definitionen av det konvexa höljet. Exempel Ω R n är konvext om och endast om det är konvext med avseende på familjen av reellvärda linjära funktioner. Övning Varje område Ω är konvext med avseende på C(Ω) (eller C(R n )). Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 4 / 26

Konvexitet med avseende på en funktionsfamilj Exempel Varje område Ω C är konvext med avseende på O(Ω). Antag först att Ω är begränsat. Låt K Ω vara kompakt, och sätt r = dist(k, Ω). Om dist(w, Ω) < r, välj w Ω med w w = dist(w, Ω). Då är f(ζ) = 1 ζ w holomorf på Ω och f(w) > sup ζ K f(ζ), vilket visar att w ˆK O(Ω).Alltså är Ω konvex m.a.p. O(Ω). Om Ω inte är begränsat kan vi ta en stor disk D R K och observera att ˆK O(Ω) = ˆK O(Ω DR ). Vi kommer att se att konvexitet med avseende på O och/eller PSH spelar en central roll för att förstå existensområden för holomorfa funktioner. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 5 / 26

Holomorfa stödfunktioner Definition Låt Ω C n och P Ω. Vi säger att Ω har en holomorf stödfunktion i P om det finns en omgivning U P och en holomof funktion f O(U) sådan att f 1 (0) Ω = {P }. Övning Visa att starkt konvexa punkter har holomorfa stödfunktioner. Proposition Varje strikt pseudokonvex punkt har en holomorf stödfunktion. Bevis. Följer ur Narasimhans lemma och föregående övning. Kan även göras direkt med det s.k. Levipolynomet, se Krantz för detaljer. Exempel Tridisken, Kohn-Nirenbergs område. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 6 / 26

Pseudokonvexitet för områden utan C 2 -rand Vi behöver en generellare definition av pseudokonvexitet, som även tillåter obegränsade områden och områden utan C 2 -rand. Vi behöver ett till synes orelaterat begrepp först. Definition En avståndsfunktion är en kontinuerlig funktion µ : C n R som uppfyller 1. µ 0 2. µ(z) = 0 omm z = 0 3. µ(tz) = t µ(z) för t C, z C n Definition Om Ω är ett område i C n och µ en avståndsfunktion, så sätter vi µ Ω(z) = µ(z, Ω) = inf µ(z w) w Ω. Om X Ω skriver vi även µ Ω(X) = inf x X µω(x) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 7 / 26

Hartogs-pseudokonvexitet Definition Låt Ω vara ett område i C n (inga krav på randregularitet). Om det finns en avståndsfunktion µ, sådan att log µ Ω PSH(Ω), så kallas Ω (Hartogs-)pseudokonvext. Proposition Varje område i C är Hartogs-pseudokonvext. Observera att varje område i C med C 2 -rand är trivialt Levi-pseudokonvext, så begreppen sammanfaller åtminstone i detta fall. I själva verket sammanfaller de även i högre dimension. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 8 / 26

Karakteriseringar av pseudokonvexitet Sats Låt Ω C n vara ett område. Följande påståenden är ekvivalenta. 1 log µ Ω PSH(Ω) för varje avståndsfunktion µ. 2 Ω är Hartogs-pseudokonvext 3 Ω har en kontinuerlig, psh uttömningsfunktion Φ, dvs {Φ < c} Ω, c R. 4 Ω har en C, strikt psh uttömningsfunktion 5 Ω är konvex med avseende på PSH(Ω) 6 Om {φ α} är en familj slutna analytiska diskar med aφ a( D) Ω, så aφ(d) Ω. (Kontinuitätssatz.) 7 Om µ är en avståndsfunktion och φ en sluten analytisk disk, så är µ Ω(φ( D)) = µ Ω(φ(D)). 8 Ω är Levi-pseudokonvex (detta förusätter förstås C 2 -rand) 9 Ω går att tömma ut med Hartogs-pseudokonvexa områden 10 Ω går att tömma ut med strikt Levi-pseudokonvexa områden med C -rand. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 9 / 26

Karakteriseringar av pseudokonvexitet Jag tänker inte visa alla implikationer, men här kommer ett urval, främst för att illustrera vnågra vanliga bevisidéer och trick. (8) = (3) Levipseudokonvexitet medför existens av uttömningsfunktion. Låt d Ω(z) = dist(z, Ω) vara det Euklidiska avståndet till Ω. Antag att log d Ω inte är psh, dvs det finns en punkt z och en riktning w sådan att 2 ζ ζ log dω(z + ζw) ζ=0 = λ > 0. Utnyttja dessa z och w för att konstruera en analytisk disk ψ : D Ω som tangerar Ω (invändigt) i en punkt p Ω.En Taylorutveckling av d Ω ψ visar att Leviformen för den definierande funktionen d Ω med tecken måste ha ett negativt egenvärde i p, vilket är en motsägelse. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 10 / 26

Karakteriseringar av pseudokonvexitet (3) = (5) Uttömningsfunktion medför konvexitet map PSH(Ω). Låt u vara en uttömningsfunktion för Ω och ta K Ω. Då finns ett ε > 0 sådant att u(z) 2ε för alla z K och per definition gäller att dvs Ω är PSH(Ω)-konvext. ˆK {z : u(z) < ε} Ω, Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 11 / 26

Karakteriseringar av pseudokonvexitet (5) = (3) Konvexitet map PSH medför Kontinuitätssatz. Låt φ : Ω vara en sluten analytisk disk. Om u PSH(Ω), så är u φ subharmonisk på D, så om z D är u φ(z) sup u φ(ζ). ζ D Följdaktligen är och om så αφ α( D) φ( D) φ( D), αφ α( D) Ω, αφ α( D) Ω. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 12 / 26

Karakteriseringar av pseudokonvexitet (7) = (1) Kontinuitätssatz medför Hartogspseudokonvexitet, skiss. Låt µ Ω vara en avståndsfunktion. Vi vill visa att ψ : ζ log µ Ω(z + aζ) är subharmonisk för ζ D för varje z Ω och (små) a C n, dvs att ψ(0) 1 2π Z 2π 0 ψ(e iθ ) dθ. Använd Stone-Weierstrass för att approximera ψ med ett realdelen av ett holomorft polynom ψ h = Re p. Tag b C n så att µ(b) 1 och definera en sluten analytisk disk φ : ζ z 0 + aζ + be p(ζ) ( ζ 1). Visa att φ(d) Ω (här utnyttjas Kontinuitätssatz-antagandet.) Se Krantz för detaljer. Obs att φ(0) = z 0 + be p(0) Ω för alla b med µ(b) 1. Med andra ord är µ Ω(z 0) e p(0) = e h(0). Vi har alltså att ψ(0) = log µ Ω(z 0) h(0) = 1 2π Z 2π 0 h(e iθ ) dθ < 1 2π Z 2π 0 ψ(e iθ ) dθ + ε. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 13 / 26

Karakteriseringar av pseudokonvexitet (4) = (10) C, strikt psh uttömning medför att Ω är en växande följd av strikt Levi-pseudokonvexa områden med slät rand. Låt Φ vara en C, strikt psh uttömningsfunktion. Sätt Ω ε = {z Ω : Φ(z) < ε}. Sards sats ger att Ω ε är ett strikt Levipseudokonvext område med slät rand för nästan alla ε. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 14 / 26

Karakteriseringar av pseudokonvexitet (1) = (8) log d Ω är psh medför att Ω är Levi-pseudokonvext. Om Ω är C 2, så är d Ω också C 2, åtminstone nära Ω. Låt P Ω och w C n. Eftersom log d Ω är psh, nx j,k=1 1 d Ω(P ) 2 d Ω (P ) + 1 d Ω z j z k d 2 Ω (P ) (P ) dω z j «(P ) z k w j w k 0. Förläng med d Ω(P ), välj w så att P d Ω z j (P )w j = 0 och låt P Ω, vilket visar att nx j,k=1 2 d Ω z j z k (P ) w k w k 0 för alla w T P ( Ω), dvs ρ(z) = ( d Ω(z), d Ω(z), z Ω z Ω är en C 2 definierande funktion för Ω (åtminstone nära Ω) som är psh i komplexa tangentriktningar. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 15 / 26

Några konsekvenser Proposition Om Ω j är pseudokonvexa, så är T j Ωj pseudokonvext. Proposition Om Ω 1 Ω 2, så är S j Ωj pseudokonvext. Proposition Pseudokonvexitet är en lokal egenskap, dvs om Ω C n är ett område sådant att varje P Ω har en öppen omgivning U, sådan att U Ω är pseudokonvext, så är Ω pseudokonvext. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 16 / 26

Holomorfiområden Vi påminner oss om definitionen. Definition Låt Ω C n vara ett område. Vi säger att Ω är ett holomorfiområde (eller existensområde för holomorfa funktioner) om det inte finns öppna mängder U 1, U 2 sådana att U 2 är sammanhängande, U 2 Ω, U 1 U 2 Ω och till varje holomorf funktion h O(Ω) går att hitta en holomorf funktion h 2 O(U 2) med h = h 2 på U 1. Ω U 1 U 2 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 17 / 26

Holomorfiområden och O-konvexa områden Låt K Ω och betrakta det konvexa höljet av K med avseende på O = O(Ω). Lemma ˆK O är begränsat (även om Ω inte är det). Bevis. K är begränsad omm koordinatfunktionerna z 1,..., z n är begränsade på K, vilket i sin tur är sant omm de är begränsade på ˆK O. Lemma ˆK O är innehållen i det vanliga konvexa höljet av K. Lemma Om φ : D Ω är en sluten analytisk disk, så är φ(d) φ( D) O. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 18 / 26

Holomorfiområden och O-konvexa områden Definition Låt Ω C n. Vi säger att P Ω är essentiell om det inte finns någon omgivning till P till vilken alla holomorfa funktioner på Ω fortsätter (lokalt). Sats Låt Ω C n vara ett område. Följande påståenden är ekvivalenta: 1 Ω är konvex med avseende på O = O(Ω). 2 Det finns en funktion h O(Ω) som inte kan fortsättas lokalt över någon randpunkt. 3 Varje randpunkt är essentiell. (Dvs Ω är ett holmorfiområde.) 4 För varje f O, varje K Ω och varje avståndsfunktion µ gäller att ««f µ Ω(z) på K = f µ Ω(z) på ˆK O 5 µ Ω(K) = µ Ω( ˆK O) för alla K Ω och alla avståndsfunktioner µ. 6 Varje randpunkt P har en omgivning U, sådan att Ω U är ett holomorfiområde. 7 Varje randpunkt P har en omgivning U sådan att Ω U är konvex map O(Ω U). Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 19 / 26

Holomorfiområden och O-konvexa områden (1) = (2). Välj en tät följd w j som upprepar varje punkt oändligt många gånger. Till varje j, låt D j vara den största polydisk centrerad i w j som är innehållen i Ω. Välj en följd av kompakter K 1 K 2 med jk K = Ω. Enligt antagandet är ˆK j Ω, dvs vi kan hitta z j D j \ ˆK j och en funktion h j O(Ω) sådan att h(z j) = 1, och h j < 2 j på K j. Sätt h(z) = Y (1 h j) j. j=1 Det är lätt att se att produkten konvergerar likformigt på varje K j och h är inte identiskt noll. Det är klart att h inte fortsätter över någon randpunkt till Ω. (2) = (3). Trivialt Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 20 / 26

Holomorfiområden och O-konvexa områden (3) = (4), skiss. Fixera r = (r 1,..., r n) och definiera en avståndsfunktion µ r (z) = max 1 j n { z j /r j}. Börja med att visa (4) för denna specifika avståndsfunktion. (Se Krantz för detaljer, man utnyttjar potensserieutveckligar av funktioner i O). Slutligen visar man (4) för en godtycklig avståndsfunktion µ genom ett smart trick att skriva µ som ett infimum av µ r -liknande avståndsfunktioner. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 21 / 26

Holomorfiområden och O-konvexa områden (4) = (5). Ur (4) följer att för alla f O och alla K Ω. Sätt f = 1. f(z) sup z K µ = sup f(z) Ω(z) z ˆK O µ Ω(z) (5) = (1). Trivialt. Ekvivalenserna med (6) och (7) följer enklast ur lösningen till Leviproblemet. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 22 / 26

Leviproblemet Sats Om Ω är ett holomorfiområde, så är Ω pseudokonvext. Bevis. Antag att Ω är ett holomorfiområde. Ur föregående sats följer att Ω är O-konvext, vilket i sin tur medför att Ω är PSH-konvext (eftersom f PSH för f O). Ur den långa satsen om ekvivalenser för pseudokonvexa områden följer att Ω är pseudokonvext. Omvändningen till denna sats är också sann och bevisas oftast via Hörmanders L 2 -uppskattningar för lösningar till -ekvationer. Detaljerna får vänta till nästa kurs, men några ord vill jag i alla fall säga. (Leviproblemet kan även bevisas via -Neumannproblemet eller kärvteoretiska metoder; båda dessa lösningar kom innan Hörmanders.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 23 / 26

Hörmanders L 2 -uppskattningar Sats (Hörmander) Låt Ω vara pseudokonvext, och anta att f är en (p, q + 1)-form med koefficienter i L 2 (Ω), som uppfyller att f = 0 i distributionsmening. Då finns en (p, q)-form u med koefficienter i L 2 (Ω) som löser u = f i distributionsmening. Dessutom finns en konstant C (som bara beror av diam(ω) och n), sådan att lösningen u går att välja med u L 2 C f L 2. Beviset görs via uppskattnigar i viktade L 2 -rum, L 2 (e ψ dv ), där ψ är en slät, strikt psh uttömningfunktion. (Motsvarande uppskattningar med L -norm är i allmänhet inte möjliga!) Via diverse Sobolevnormsuppskattningar, kan man visa att det går att lösa u = f där lösningen u W s+1 om f W s. Ur detta följer att släta (C ) högerled har släta lösningar. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 24 / 26

En variant av Ohsawa-Takegoshis utvidgningssats Sats Anta att Ω C n är pseudokonvext. Låt X = Ω `C n 1 {0}. Om f O(X), så finns en F O(Ω) med F X = f. Bevis. Låt π : C n C n vara projektion på de n 1 första koordinaterna. Låt B = {z Ω : π(z) / X}. Då är B och X relativt slutna, disjunkta delmängder av Ω. Det finns en Ψ C (Ω), sådan att Ψ = 1 på en (relativ) omgivning av X och Ψ = 0 på B. (Övning.) Sätt F (z) = Ψ(z)f(π(z)) + z nv(z). där v är en lämpligt vald slät funkion. Observera att F är väldefinierad på Ω och en slät utvidning av f. Vi vill välja v C (Ω), så att F = 0. Vi behöver alltså att v(z) = ( Ψ(z))f(π(z)) z n. Men HL är C och -sluten, och Hörmander ger oss en slät lösning. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 25 / 26

Lösningen av Leviproblemet Sats Låt Ω C n vara pseudokonvext. Då är Ω ett holomorfiområde. Bevis. Något överraskande visar vi resultatet med induktion över n. För n = 0 är påståendet sant. Antag att vi vet att det är sant för alla områden i C n 1. För generiska punkter P Ω kan vi hitta ett hyperplan h sådant att h Ω och P (h Ω). Efter ett koordinatbyte kan vi anta att h = {z n = 0}. Det är lätt att se att X = Ω h är ett pseudokonvext område i C n 1. Enligt induktionsantagandet finns det en holomorf f O(X) som är singulär i P. Utvidgningssatsen ovan ger en F O(Ω) med F X = f som också är singulär i P. Detta visar att (generiska) randpunkter i Ω är essentiella, vilket är tillräckligt för att visa att Ω är ett holomorfiområde. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 26 / 26