TENTAMENSSKRIVNING LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK ENDIMENSIONELL ANALYS B (FMAA5)/A3 (FMAA) 74 kl. 83 Inga hjälmedel är tillåtna. För att du skall kunna erhålla full oäng skall dina lösningar vara läsvärda och försedda med ordentliga. Lös dierentialekvationerna: motiveringar. Lämna tydliga svar. a) y (x) y(x) e x. (.5) b) y (x) y(x) 3, y(). (.5). a) Lös ekvationen z + ( i)z 4i. (.5) b) Beskriv, i geometriska termer, vad som sker med det komlexa talet z då det multiliceras med i. Finns det något komlext tal som vi kan multilicera resultatet med för att få tillbaka z? Skriv det i så fall å formen a + ib där a och b är reella tal. (.3) c) Låt z 4e i6. Beräkna je iz j. (.) 3. En viss kurs i matematik innehåller den totala kunskasmängden M. Anna Lys, som läser kursen, har ingen kunska i ämnet vid kursstart. Under kursens gång tillgodoser Anna sig kunska kontinuerligt med en takt som vid varje tidunkt är roortionell mot den kunskasmängd som Anna har kvar att lära sig i kursen. Vi kallar roortionalitetskonstanten för k. Dessvärre glömmer Anna även kunska, och det sker med en takt som vid varje tidunkt är roortionell mot den mängd kunska som Anna besitter. Här är roortionalitetskonstanten 3k5 (samma k som ovan). Två veckor efter kursstart är Anna i fas, vilket betyder att hennes kunskasmängd just då är M4. Tentamen går åtta veckor efter kursstart och för att bli godkänd å den krävs en kunskasnivå å M. Kommer Anna Lys, enligt denna modell, att klara tentamen? 4. a) Formulera och bevisa en valfri men viktig sats om integraler. Ge även en kort motivering till varför den är viktig. (.4) b) Beräkna integralerna + + 4x dx och (arcsin x) dx: (.6) 5. Ange ett närmevärde (å decimalform) till arean av det område i xy-lanet som begränsas av x-axeln, kurvan y x, samt linjerna x och x :. Det absoluta felet får ej överstiga :5 3. 6. Låt D vara det ändliga område i xy-lanet som begränsas av linjen y x och arabeln y x. Bestäm volymen av den kro som ustår då D roterar kring linjen y x. Lycka till!
LÖSNINGSFÖRSLAG LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK ENDIMENSIONELL ANALYS B (FMAA5)/A3 (FMAA) 74 kl. 83. a) Dierentialekvationen är linjär och av andra ordningen. Den tillhörande homogena dierentialekvationen y y löser vi genom att observera att den karakteristiska ekvationen har lösningarna. Det följer att y h (x) C e x +C e x är den allmänna lösningen till den homogena dierentialekvationen. För att bestämma en artikulärlösning noterar vi att högerledet e x ej löser den homogena dierentialekvationen. Ansättningen y (x) Ae x skall därmed fungera. Vi deriverar ett ar gånger och får y (x) Ae x och y (x) 4Ae x. Insättning ger nu e x y (x) y (x) 4Ae x Ae x 3Ae x vilket stämmer recis då A 3. Alltså duger y (x) (3)e x som artikulärlösning. Den allmänna lösningen till vår dierentialekvation fås nu som summan av y h och y, dvs y(x) C e x + C e x + 3 e x : b) Dierentialekvationen är searabel, och eftersom y() 6 kan vi dela med (y(x)) 3, åtminstone för små x. Vi integrerar och får (y(x)) 3 y (x) dx dx dvs (y(x)) x + C Nu ger y() att C, och vi kan lösa ut y och får (villkoret y() tvingar oss att välja den ositiva roten) y(x) x : (Lösningen är endast denierad för x <.). a) Kvadratkomlettering ger (z + ( i)) i. Den vanliga lösningsvägen att låta w z + ( i) och sedan skriva w a + ib fungerar (se exemel 6. och 6.3 i kursboken), men vi ser en genväg. Eftersom ( + i) i så får vi att z + ( i) ( + i), vilket ger lösningarna z + i ( i) i och z ( + i) ( i). b) Multilikation med re i ger en skalning med faktor r och en vridning med vinkeln. Eftersom i e i4 så skalar vi alltså först z med en faktor och vrider det med vinkel 4 medurs. För att få tillbaka z kan vi multilicera med ( i) vilket kan skrivas i + i ( i)( + i) + i: c) Det gäller att je iz j e Im z e 4 sin(6) e.
3. Låt y(t) beteckna den kunskasmängd som Anna tillgodogjort sig t veckor efter kursstart. Då gäller dels y(), y() M4, men också y (t) k(m y(t)) 3 5 ky(t) 8 ky(t) + km: 5 Vi skall undersöka huruvida y(8) är större än eller mindre än M. Dierentialekvationen kan lösas å alla möjliga sätt vi lär oss i kursen, och lösningen blir y(t) Ce 8kt5 + 5M 8 : Villkoret y() ger C 5M8. Villkoret y() M4 ger sedan M 4 5M 8 ( e 6k5 ): Härur kan k lösas ut (och då får man k 5(ln(53))6), men det är eventuellt beräkningsmässigt enklare att först observera att e 6k5 35 för att sedan få y(8) 5M 8 ( e 64kt5 ) 5M 8 ( (e 6k5 ) 4 ) 5M 8 (35) 4 68 5 M: Eftersom 685 > så kommer Anna Lys att klara tentamensskrivningen. Vi ber att få gratulera. 4. a) dx lim + 4x R!+ R b) Den första integralen är generaliserad, och vi får + h dx lim + (x) R!+ lim R!+ arctan(r) 4 : ir arctan(x) För den andra integralen kan man först låta x sin t, vilket ger (till exemel) R t cos t dt. Denna kan sedan beräknas med två artialintegrationer (se exemel. i kursboken), resultatet blir t cos t dt t sin t + t cos t sin t 4 ( 8): Alternativt kan en rimitiv funktion bestämmas direkt genom uread artialintegration, (arcsin x) dx D(x) (arcsin x) dx x(arcsin x) x arcsin x x dx x(arcsin x) + arcsin x D( x ) dx x(arcsin x) + x arcsin x x(arcsin x) + x arcsin x x + C: x x dx
Alltså blir (arcsin x) dx x(arcsin x) + x arcsin x x+c 4 ( 8): 5. Arean beskrivs av integralen R : x dx ln :, så vår ugift är att beräkna ln : numeriskt. Vi gör detta genom att använda en Maclaurinutveckling av f (x) ln( + x). Vi börjar med att undersöka hur många termer vi behöver ta med (här kan man förstås röva sig fram i stället). Eftersom f (x) (+x), f (x) (+x), : : :, f (n) (x) ( ) n+ (n )!( + x) n så kommer feltermen i x : då vi tar med n termer i olynomet, uttryckt å Lagranges form, att bli R n+ (:) ( ) n+ n! (n + )! ( + ) n+ :n+ ( ) n+ :n+ (n + )( + ) n+ där :. Det räcker att ta n, ty då får vi följande uskattning för felet jr 3 (:)j ( + ) :3 < :5 3 : Det återstår att beräkna aroximationen. Maclaurinolynomet ordning blir till f av (x) f () + f ()x + f ()x + x x : Seciellt gäller det att (:) : : :95: Alltså är, enligt Maclaurins formel med felterm å Lagranges form, j ln : :95j jf (:) (:)j jr 3 (:)j < :5 3 : Det sökta närmevärdet är således :95. 6. y P r P x
Vi låter P vara en unkt å linjen med avstånd a från origo, och P vara en unkt å arabeln med x-koordinat x. Vi låter vidare r vara avståndet mellan P och P (se gur). Enligt skivformeln blir rotationsvolymen V r da: Vi söker samband mellan a, r och x, och byter sedan variabel i integralen till x. Eftersom P har koordinater (a ; a ) och P har koordinater (x; x ) får vi med Pythagoras sats att r (x a ) + (x a ) x 4 + x + a a(x + x ): () Men Pythagoras sats å triangeln med hörn i origo, P och P ger även a + r x + x 4 : () Eliminerar vi r från () och () får vi x + x 4 a x 4 + x + a a(x + x ) vilket ger sambandet a (x + x ) (3) mellan a och x. Vi sätter in detta i (), och får följande uttryck för r : r x + x 4 a (x + x 4 ) x 3 : V I integralen R r da kan vi alltså göra variabelbytet i (3), vilket ger oss r da 4 4 3 + 5 (x + x 4 ) x 3 ( + x) dx x + x 4 x 3 + x 3 + x 5 4x 4 dx 4 + 4 + 6 4 5 6 : Alternativ lösning Vi kan rotera arabeln (t; t ), t 4 radianer medurs och sedan använda den vanliga skivformeln. Vi nyttjar att unkten (t; t ) i lanet kan identieras med det komlexa talet t + it. Den önskade rotationen fås genom att multilicera med e i4 ( )( i), vilket ger att vår roterade arabel blir x(t) + iy(t) ( i)(t + it ) (t + t ) + i( t + t ) ; t : Volymen fås nu med den vanliga skivformeln (och dx x (t) dt), V y dx D h ( t + t ) (t + t ) i dt 6 :