Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215
Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler 3 Övningar Svar Lösningsskisser
Kurvor ^e 3 I t R r(t) ^e 2 ^e 1 x=r(t) Värdemängden av en kontinuerlig vektorvärd funktion r(t) definierad på ett intervall I R kallas en kurva L i R 3 x = r(t), t I
Kurvor ^e 3 t r(t) I R ^e 2 ^e 1 x=r(t) Värdemängden av en kontinuerlig vektorvärd funktion r(t) definierad på ett intervall I R kallas en kurva L i R 3 x = r(t), t I En tangentvektor till kurvan L i punkten r(t) ges av r (t) = r(t) (grön vektor) t Kurvan kallas glatt om r (t), t I
Ytor ^u 2 r(y) ^e 3 D y x=r(y) ^e 2 ^u 1 ^e 1 Värdemängden av en kontinuerlig vektorvärd funktion r(y) definierad på ett område D R 2 kallas en yta S i R 3 x = r(y), y D
Linjemått (bågmått) Låt x = r(t), definierad på ett intervall [a, b] R, framställa en kurva L. Tangentvektorn ˆτ (enhetsvektor) ges av ˆτ = ˆτ (t) = r (t) r, t [a, b] (t)
Linjemått (bågmått) Låt x = r(t), definierad på ett intervall [a, b] R, framställa en kurva L. Tangentvektorn ˆτ (enhetsvektor) ges av ˆτ = ˆτ (t) = r (t) r, t [a, b] (t) Två olika linjemått, dl och dl, (skalärvärt respektive vektorvärt) förekommer, och ges av dl = dr(t) dt dt = r (t) dt och dl = dr(t) dt dt = r (t) dt = ˆτ (t) r (t) dt = ˆτ (t) dl
Linjeintegraler I Tre huvudtyper av linjeintegraler förekommer i kursen 1. Skalärvärd linjeintegral L f dl = 2. Vektorvärd linjeintegral f dl = L L L A dl = A dl = b a b a b a b a f (r(t)) r (t) dt f (r(t))r (t) dt A(r(t)) r (t) dt A(r(t)) r (t) dt
Linjeintegraler II 3. Tangentlineintegral, skalärvärd A dl = L L A ˆτ dl = b a A(r(t)) r (t) dt
Några vanliga linjemått Cylindriska koordinater ^e 3 ^z d d` = z d` =r ^Á dá c z r ^r c d` = dr c ^e 2 Á r c ^e 1
Några vanliga linjemått Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater z ^e 3 ^z d d` = z r d` =r ^Á dá c ^r c d` = dr c ^e 3 µ r r ^r d` = r d d` = r sinµ ^Á dá ^µ d` = dµ r ^e 2 ^e 2 Á r c Á ^e 1 ^e 1
Ytor och normalvektorer d c ^u 2 D y r(y) ^e 3 ^n(u,v) r v (u,v) r u (u,v) x=r(y) ^e 2 a b ^u 1 ^e 1 Låt x = r(y) = r(u, v), definierad på ett område (u, v) D = [a, b] [c, d] R 2, framställa en yta S.
Ytor och normalvektorer d c ^u 2 D y r(y) ^e 3 ^n(u,v) r v (u,v) r u (u,v) x=r(y) ^e 2 a b ^u 1 ^e 1 Låt x = r(y) = r(u, v), definierad på ett område (u, v) D = [a, b] [c, d] R 2, framställa en yta S. Två tangentvektorer u och v till ytan kan definieras r u (u, v) = r(u, v), r v (u, v) = u r(u, v), (u, v) [a, b] [c, d] v
Ytor och normalvektorer d c ^u 2 D y r(y) ^e 3 ^n(u,v) r v (u,v) r u (u,v) x=r(y) ^e 2 a b ^u 1 ^e 1 Låt x = r(y) = r(u, v), definierad på ett område (u, v) D = [a, b] [c, d] R 2, framställa en yta S. Två tangentvektorer u och v till ytan kan definieras r u (u, v) = r(u, v), r v (u, v) = u En ytnormal ˆn (enhetsvektor) ges av r(u, v), (u, v) [a, b] [c, d] v ˆn(u, v) = r u(u, v) r v (u, v), (u, v) [a, b] [c, d] r u (u, v) r v (u, v) Ytan kallas glatt om r u (u, v) r v (u, v)
Ytmått ^e3 ^n r v r u ^e2 ^e1 Två olika ytmått, ds och ds, (skalärvärt respektive vektorvärt) förekommer, och ges av och ds = r u (u, v) r v (u, v) dudv ds =r u (u, v) r v (u, v) dudv = ˆn(u, v) r u (u, v) r v (u, v) dudv =ˆn(u, v) ds
Ytintegraler I Tre huvudtyper av ytintegraler förekommer i kursen 1. Skalärvärd ytintegral f ds = f (r(u, v)) r u (u, v) r v (u, v) dudv S D b ( d ) = f (r(u, v)) r u (u, v) r v (u, v) dv du a c
Ytintegraler II 2. Vektorvärd ytintegral f ds = f ˆn ds = f (r(u, v))r u (u, v) r v (u, v) dudv S S D = f (r(u, v))ˆn(u, v) r u (u, v) r v (u, v) dudv D ( b ) d = f (r(u, v))ˆn(u, v) r u (u, v) r v (u, v) dv du a c
Ytintegraler II 2. Vektorvärd ytintegral f ds = f ˆn ds = f (r(u, v))r u (u, v) r v (u, v) dudv S S D = f (r(u, v))ˆn(u, v) r u (u, v) r v (u, v) dudv D ( b ) d = f (r(u, v))ˆn(u, v) r u (u, v) r v (u, v) dv du a c A ds = A(r(u, v)) r u (u, v) r v (u, v) dudv S D ( b ) d = A(r(u, v)) r u (u, v) r v (u, v) dv du a c
Ytintegraler III 3. Normalytintegral, skalärvärd A ds = A ˆn ds S S = A(r(u, v)) ˆn(u, v) r u (u, v) r v (u, v) dudv D
Några vanliga ytmått Cylindriska koordinater ^e3 ds = ^Á dz dr crc ds = ^r c r cdá dz ds= ^z r c dr c dá ^e2 ^e1
Några vanliga ytmått ^e3 Cylindriska koordinater ^e3 Sfäriska koordinater ds = ^Á dz dr crc ds = ^r c r cdá dz ^e1 ds= ^z r c dr c dá ^e2 ^e1 r µ ds = dµdá ^rr 2sinµ ^e2 Á Ytterligare två ytmått förekommer
Andra vanliga ytmått I Låt ytan S framställas av z = f (x, y) (x och y parametrar) Ortsvektorn till ytan ges av r(x, y) = (x, y, f (x, y)) och normalen av (vänd mot positiva z-värden) r x (x, y) r y (x, y) = (1,, f x ) (, 1, f y ) = ( f x, f y, 1) Ytnormalen Ytmåttet blir ˆn(x, y) = r x(x, y) r y (x, y) r x (x, y) r y (x, y) = ( f x, f y, 1) fx 2 + fy 2 + 1 ds =r x (x, y) r y (x, y) dxdy = ˆn(x, y) ˆn(x, y) ẑ dxdy
Andra vanliga ytmått II Låt ytan S framställas av f (x) = konstant Ytnormalen till ytan ges av vilket ger och Ytmåttet blir f (x) ˆn(x) = ± f (x) f (x) ẑ ˆn(x) ẑ = ± f (x) ˆn(x, y) r x (x, y) r y (x, y) = ˆn(x, y) ẑ = ± f (x) f (x) ẑ f (x) ds =r x (x, y) r y (x, y) dxdy = ± f (x) ẑ dxdy
Ytintegraler De aktuella ytintegralerna framställs ((x, y) D R 2 ) dxdy f ds = f (r(x, y)) S D ˆn(x, y) ẑ ˆn(x, y) f ds = f (r(x, y)) S D ˆn(x, y) ẑ dxdy dxdy A ds = A(r(x, y)) S D ˆn(x, y) ẑ dxdy A ds = A(r(x, y)) ˆn(x, y) ˆn(x, y) ẑ S D
Volymer ^u 3 D r(y) ^e3 y ^u 2 x=r(y) ^e2 ^u 1 ^e1 Låt x = r(y) = r(u, v, w), definierad på ett område (u, v, w) D = [a, b] [c, d] [e, f ] R 3, framställa en volym V Funktionaldeterminanten (Jacobianen) ges av ( r r u v r ) r = w (u, v, w) = x 1 u x 2 u x 3 u x 1 v x 2 v x 3 v x 1 w x 2 w x 3 w
Volymsmått Volymsmåttet ges av dv = r u ( r v r w ) dudvdw = r (u, v, w) dudvdw
Volymsintegraler Två typer av volymsintegraler förekommer i kursen 1. Skalärvärd volymsintegral r f dv = f (r(u, v, w)) (u, v, w) dudvdw V D 2. Vektorvärd volymsintegral r A dv = A(r(u, v, w)) (u, v, w) dudvdw V D
Några vanliga volymsmått Cylinderkoordinater dv = r c dr c dφdz Sfäriska koordinater dv = r 2 sin θdrdθdφ
Övningar integraler 1. Beräkna den vektorvärda integralen S ˆθ ds över en sfär med radien a som är centrerad i origo 2. Problem 1.29 (1.28 i 3e upplagan) i Griffiths (line integral = tangentlinjeintegral) 3. Låt A = (18z, 12, 3y) och låt ytan S definieras av planet {(x, y, z) : x, y, z, 2x + 3y + 6z = 12}. Normalen pekar från origo. Beräkna normalytintegralen. 4. Låt A(x) = z ˆx + xŷ + yẑ och låt kurvan L definieras av skärningen mellan ytorna S 1 : {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1} och S 2 : {(x, y, z) : x = y}. Beräkna L A dl. 5. Problem 1.31 (1.3 i 3e) i Griffiths
Övningar integraler svar 1. ẑπ 2 a 2 2. 2.a 4/3 2.b 4/3 2.c 4/3 2.d 3. 24 4. ± π 2 ( 1,, 1) 5. 1/6
Lösningsskiss 1 Utnyttja sambandet ˆθ = ˆx cos θ cos φ + ŷ cos θ sin φ ẑ sin θ för att kunna utföra integration i ett fixt koordinatsystem. Sfärens ytmått uttryckt i sfäriska koordinater är ds = a 2 sin θdθdφ. Vi får π ( 2π ) ˆθ ds = (ˆx cos θ cos φ + ŷ cos θ sin φ ẑ sin θ) a 2 sin θdφ dθ S där vi använt π π = ẑ2πa 2 sin 2 θ dθ = ẑπ 2 a 2 π sin 2 θ dθ = 1 2 (1 cos 2θ) dθ = π 2 och 2π cos φ dφ = 2π sin φ dφ =
Lösningsskiss 2, a & b v = x 2ˆx + 2yzŷ + y 2 ẑ a. b. + + L 1 L 1 v dl = 1 v(1, 1, z) ẑ dz = v dl = 1 v(x, 1, 1) ˆx dx = v(x,, ) ˆx dx + 1 x 2 dx + v(,, z) ẑ dz + 1 2y dy + 1 1 1 1 v(1, y, ) ŷ dy dz = 1 3 + 1 = 4 3 v(, y, 1) ŷ dy x 2 dx = 1 + 1 3 = 4 3
Lösningsskiss 2, c & d c. Parameterframställning av kurvan r(t) = t(ˆx + ŷ + ẑ), t [, 1] L v dl = 1 v(t, t, t) r (t) dt = 1 t 2 + 2t 2 + t 2 dt = 4 3 d. Subtraktion av resultaten i a & b eller använd att v =.
Lösningsskiss 3 A(r) = 18z ˆx 12ŷ + 3yẑ och parameterframställ ytan med x och y som parametrar D = {(x, y) : x, y, 2x + 3y 12} och z = f (x, y) = 2 x/3 y/2 ^e 3 (,,2) (6,,) D (,4,) ^e 2 ^e 1 Ytmåttet blir ds = r x (x, y) r y (x, y) dxdy = (1/3, 1/2, 1) dxdy
Lösningsskiss 3, forts. S A ds = = = = D 6 6 6 (18z, 12, 3y) (1/3, 1/2, 1)dxdy ( ) 4 2x/3 (6(2 x/3 y/2) 6 + 3y)dy dx ( ) 4 2x/3 (6 2x)dy dx (4 2x/3)(6 2x)dx = 24
Lösningsskiss 4 A(r) = (z, x, y) och kurvan L är en storcirkel på enhetscirkeln som parameterframställs genom (tecken beroende på omloppsriktning) r(θ) = ±( 1 1 2 sin θ, 2 sin θ, cos θ), där θ [, 2π). Linjemåttet blir dl = ± dr(θ) dθ 1 1 dθ = ±( cos θ, cos θ, sin θ)dθ 2 2 2π A dl = ± (z, x, y) ( 1 1 cos θ, cos θ, sin θ) dθ L 2 2 2π 1 1 = ± (cos θ, sin θ, sin θ) ( 1 1 cos θ, cos θ, sin θ) dθ 2 2 2 2 2π = ± ( 1 sin 2 θ 1 2 2 sin θ cos θ, 3 2 sin θ cos θ, 1 2 cos 2 θ 1 sin θ cos θ) dθ 2
Lösningsskiss 4, forts. Med hjälp av 2π sin 2 θ dθ = 2π cos 2 θ dθ = π och 2π sin θ cos θ dθ = får vi A dl = ±( 1 1 π,, π) = ± π ( 1,, 1) 2 2 2 L
Lösningsskiss 5 ^e 3 (,,z) (1{z,,z) (,,1) (,1{z,z) (,1,) ^e 2 (1,,) x+y=1{z ^e 1 På höjden z [, 1] integrera i x och y över triangeln med hörn i (1 z,, z), (, 1 z, z) och (,, z), följt av en integration i z 1 ( 1 z ( 1 z y T dv = V 1 = ) ) z 2 dx dy dz = ((1 z) 2 12 (1 z)2 ) z 2 dz = 1 2 1 ( 1 z ) (1 z y)z 2 dy dz 1 (z z 2 ) 2 dz = 1 ( 1 2 3 + 1 5 2 4 ) = 1 6