Optimering Optimering av transportproblem Campusveckan VT2013 Linköpings universitet SL 1
Optimering - Distributionsproblem Företaget Kulprodukter AB producerar sina kulor vid fyra olika fabriksanläggningar och distribuerar sedan kulorna till fem stora kunder. Kapaciteten vid fabrikerna samt kundernas efterfrågan för den närmaste planeringsperioden ges av tabell 1, och i tabell 2 ges transportkostnaderna mellan fabrikerna och kunderna. Den geografiska spridningen av anläggningar och kunder ges av Figur 1. Uppgiften är att bestämma hur Kulprodukter AB ska utföra transporterna för att uppfylla kundernas efterfrågan och minimera transportkostnaderna. Som hjälpmedel används Problemlösaren i Excel. Figur 1: Geografisk spridning av fabriker och kunder Tabell 1: Maximal kapacitet hos fabrikerna och minsta efterfrågan hos kunderna (1000-tal kulförpackningar). Fabrik F1 F2 F3 F4 Kapacitet 30 40 30 40 Kund K1 K2 K3 K4 K5 Efterfrågan 20 30 15 25 20 Tabell 2: Transportkostnader i kronor (per kulförpackning) mellan fabriker och kunder. K1 K2 K3 K4 K5 F1 2,80 2,55 3,25 4,30 4,35 F2 4,30 3,15 2,55 3,30 3,50 F3 3,00 3,30 2,90 4,30 3,40 F4 5,20 4,45 3,50 3,75 2,45 2
Är efterfrågan av kulförpackningar mindre, större eller lika stor som fabrikernas produktionskapacitet? Vad skulle det kosta att transportera 2500 st kulförpackningar från fabrik 3 till kund 4? Formulering: I figur 1 ser man de fabriker och kunder som omfattas av optimeringsproblemet. Man kan se det som två olika typer av noder, dels noder som representerar en tillgång (fabriker) och dels noder som representerar en efterfrågan (kunder). Nodtyperna brukar kallas källor respektive sänkor. För varje nod vet vi hur stor tillgången respektive efterfrågan är. Det vi söker är det flöde mellan noderna som minimerar totalkostnaden. Problemet är ett klassiskt optimeringsproblem och kallas transportproblemet. För att kunna formulera transportproblemet matematiskt inför vi beslutsvariabeln: x = flöde (antal kulförpackningar) från fabrik i till kund j, i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3, 4, 5 Och vi använder också följande parametrar som indata till modellen: c = transportkostnad (per kulförpackning)från fabrik i till kund j, i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3, 4, 5 s = tillgång vid fabrik i, i = 1, 2, 3, 4 d = efterfrågan hos kund j, j = 1, 2, 3, 4, 5 Eftersom det är det optimala flödet vi är intresserade av att hitta så är det värdena för alla x som ska bestämmas. Transportkostnaden (c ) har vi i form av tabell 2. Tillgång (s ) och Efterfrågan (d ) kan vi läsa ur tabell 1. Hur tolkar du betydelsen av x 23 =30000? 3
Hur tolkar du/ni ett negativt värde på x ij? Modellen: Uppgiften är nu alltså att minimera de kostnader som uppstår då man distribuerar kulor från fabrikerna till kunderna (målfunktionen) samtidigt som man uppfyller kundernas efterfrågan och inte tillverkar mer kulor i fabrikerna än vad som är möjligt under perioden (bivillkor). Vi har värden på alla parametrar i modellen (c, s, d ), men söker det flöde x som är optimalt för att lösa uppgiften. Modellen kan formuleras på ett kompakt sätt enligt följande: min z = c x då x s, i = 1, 2, 3, 4 (Tillgång) x d, j = 1, 2, 3, 4, 5 (Efterfrågan) x 0, i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3, 4, 5 Då man skriver ut målfunktionen och alla bivillkor i modellen ser det ut enligt nedan: Målfunktion min z = 2,80x + 2,55x + 3,25x + 4,30x + 4,35x 4,30x + 3,15x + 2,55x + 3,30x + 3,50x 3,00x + 3,30x + 2,90x + 4,30x + 3,40x 5,20x + 4,45x + 3,50x + 3,75x + 2,45x Bivillkor då x + x + x + x + x 30000 (Tillg. F1) x + x + x + x + x 40000 (Tillg. F2) x + x + x + x + x 30000 (Tillg. F3) x + x + x + x + x 40000 (Tillg. F4) x + x + x + x 20000 (Efterf. K1) x + x + x + x 30000 (Efterf. K2) x + x + x + x 15000 (Efterf. K3) x + x + x + x 25000 (Efterf. K4) x + x + x + x 20000 (Efterf. K5) x 0 för alla värden på i och j Vad beskriver målfunktionen z i modellen ovan? 4
Lösning I mappen S:\TN\K\Campusveckan\Dag3\ finns filen Optimeringsproblem.xlsx, kopiera denna till en mapp där ni har skrivrättigheter och öppna filen. I figur 2 visas en bild av optimeringsmodellen i Excel. Figur 2: Optimeringsmodellen i Excel Till att börja med är de angivna flöden i modellen satt till noll. Flödena är de justerbara cellerna i modellen som motsvarar alla värden av x. Innan Problemlösaren kan användas måste modellen kompletteras. Börja med att fyll i det matematiska sambandet för målfunktionen z i den markerade cellen för Målcell. Eftersom alla flöden inledningsvis är satta till 0 kommer även målfunktionsvärdet att vara 0. Fyll på samma sätt i värdet för bivillkoren under rubriken Värde i Excel. Under rubriken Begränsning sätts det begränsande värdet för varje bivillkor. Nu skall Problemlösaren i Excel användas. För att lägga till Problemlösaren i verktygsfältet gå in i startmenyknappen längst upp till vänster och klicka på Excel Options. Välj Add-Ins och markera Problemlösaren i listan Inactive Application Add-ins. Klicka på Go, bocka i Problemlösaren och klicka på Ok. Nu finns Problemlösaren/Solver under fliken Data i verktygsfältet. Öppna Problemlösaren och klicka på knappen Alternativ /Options Bocka i rutan Anta linjär modell/assume Linear Model som kan ses i figur 3, och låt övriga inställningar vara oförändrade och välj OK. 5
Figur 3: Inställning för Problemlösaren För att ange målfunktionen för Problemlösaren, klicka på den markerade symbolen i figur 4 och markera sedan målcellen i Excelbladet. Välj alternativet Min eftersom vi vill hitta det minsta möjliga värdet för målfunktionen. Markera på samma sätt de justerbara cellerna. Figur 4: Problemlösaren i Excel För att lägga till våra bivillkor, eller Begränsningar som det heter i Problemlösaren, klicka på Lägg till. Beroende på hur bivillkoret ser ut så fylls Cellreferens och Begränsning i med rätt relation, som i exemplet i figur 5. Detta görs för varje bivillkor i modellen. Glöm inte att lägga till villkoren för att flödet måste vara större eller lika med 0 för alla x. Begränsningen måste inte tas från ett cellvärde i excelbladet, utan kan anges som ett tal direkt i rutan för Begränsning. 6
Figur 5: Lägg till begränsning i Problemlösaren Nu är optimeringsproblemet färdigt att lösa. Gör detta genom att klicka på Lös i Problemlösaren. Vad blir den minsta kostnaden för att lösa transportproblemet? Hur många kullådor levereras från varje fabrik till respektive kund? Från\Till Kund 1 Kund 2 Kund 3 Kund 4 Kund 5 Fabrik 1 Fabrik 2 Fabrik 3 Fabrik 4 Är det några fabriker som utnyttjar sin maximala kapacitet, och i så fall vilka? Testa att ändra bivillkoret för fabrik 1 och sätt maximal kapacitet till 50000 kulförpackningar. Lös optimeringsproblemet på nytt. Vad blir den minsta transportkostnaden nu? 7
Hur många kullådor levereras nu från varje fabrik till respektive kund? Från\Till Kund 1 Kund 2 Kund 3 Kund 4 Kund 5 Fabrik 1 Fabrik 2 Fabrik 3 Fabrik 4 Varför förändras resultatet när kapaciteten i fabrik 1 förändras? Vilka andra faktorer än transportkostnaden är viktigt att tänka på när man beslutar om vilka fabriker som ska leverera kullådor till de olika kunderna? En tid har gått sen Kulprodukter AB senast såg över sin distribution och förutsättningarna har förändrats. Det har kommit en ny sorts kulor på marknaden som efterfrågas av kund 4 men som inte kan tillverkas i fabrik 1, 2 och 4. Fabrik 3 är utrustad med modernare maskiner och kan därför tillgodose efterfrågan hos kund 4. Utgå ifrån den ursprungliga modellen (när maximal kapacitet i fabrik 1 är satt till 30 000 kulförpackningar) och lägg till ett bivillkor som förbjuder leveranser från fabrik 1, 2 och 4 till kund 4. Lös därefter den nya modellen. Vilket bivillkor la ni till i modellen? Vad blir den nya transportkostnaden? 8
Hur många kullådor levereras nu från varje fabrik till respektive kund? Från\Till Kund 1 Kund 2 Kund 3 Kund 4 Kund 5 Fabrik 1 Fabrik 2 Fabrik 3 Fabrik 4 Finns det något annat sätt att ändra i modellen så att transporter mellan fabrikerna 1, 2 och 4 till kund 4 inte kommer att finnas med i en optimal lösning? 9
Extra uppgift: Ni ska nu formulera och lösa ett optimeringsproblem utifrån den beskrivning av problemet som ges nedan som är av typen Packningsproblem: En gång om året arrangeras den stora Kulmässan i Kulköping. Varje år åker två representanter från Kulprodukter AB på mässan för att ställa ut företagets produkter. Mässan är ett tillfälle att marknadsföra Kulprodukter AB:s produkter och knyta kontakter med andra företag i branschen. Det finns också möjlighet för mässans besökare att köpa olika typer av företagets kulor på mässan. De två representanterna från Kulprodukter AB hyr en skåpbil som de kan lasta full med kulförpackningar innan de beger sig mot Kulköping. Problemet är att de inte vet hur många kulförpackningar av varje sort som ska packas i bilen. De olika kultyperna som ska visas upp på mässan är A-kulor, B-kulor och Odd-kulor. Vinsten av att sälja en låda kulor är lite olika för de olika kultyperna. Vinsten för A-kulor är 80 kr/låda, för B-kulor 70 kr/låda och för Odd-kulor 50 kr/låda. Vikten skiljer sig också åt för de olika sorters kullådor. A- kullådor väger 5 kg, B-kullådor väger 4 kg och Odd-kullådor väger 2 kg per låda. Förutom vikten är lådorna även olika stora. A-kullådor är 4 dm 3, B-kullådor 3 dm 3 och Odd-kullådor 1 dm 3. Det finns vissa begränsningar då man ska packa sina kullådor i skåpbilen. Storleken på skåpbilen gör att man inte kan packa mer lådor än att de får plats på 1200 dm 3. Vikten av alla lådor får heller inte överstiga 2000 kg. Man måste också tänka på i sina beräkningar att endast packa hela lådor i skåpbilen och alltså inte 0,39 lådor av en sort. På morgonen då bilen ska packas med kullådorna ser man i lagret att det finns 4500 lådor kvar av A- kulorna, men bara 350 lådor kvar av B-kulorna och endast 100 lådor kvar av Odd-kulorna. Hur många lådor av varje sort ska packas i skåpbilen? Och vad blir vinsten om de lyckas sälja alla kullådor på mässan? 10