1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem

Relevanta dokument
Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Kroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

1 Några elementära operationer.

Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys

1.1 Sfäriska koordinater

Den vanliga koordinaterna, betecknas (x, y, z) med enhetsvektorerna î, ĵ och. z k

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

OMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Integraler av vektorfält Mats Persson

0. Introduktion, matematisk bakgrund

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

Vektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse

VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018

Cartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera.

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Föreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem

TENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Hydrodynamik Mats Persson

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =

Lösningar till seminarieuppgifter

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

En första kurs i matematisk fysik

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

Tentamen: Lösningsförslag

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Världshistoriens bästa sammanfattning. Andreas Rejbrand

Differentialformer och lite vektoranalys

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Mekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

1 Vektorer och tensorer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1

1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

ANDREAS REJBRAND Elektromagnetism Coulombs lag och Maxwells första ekvation

Tentamen: Lösningsförslag

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Integration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log.

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar till uppgifter i magnetostatik

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

Tenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:

Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl

Fysik TFYA68 (9FY321)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

Kursprogram för ETE110 Modellering och simulering inom fältteori, läsåret 2008/2009

Transkript:

1 Föreläsning 4 1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ Φ = ρ ˆρ + 1 ˆϕ + ρ ϕ z ẑ (2 Φ = ˆx + x y ŷ + z ẑ. Nu skriver vi om detta i ON-basen ˆr, ˆθ, ˆϕ: Φ = A rˆr + A θ ˆθ + Aϕ ˆϕ. Vi kan hitta koefficienterna A r, A θ, A ϕ med hjälp av skalärmultiplikation med ˆr, ˆθ, ˆϕ. Vi har A r = Φ ˆr = 1 Φ dr h r dr = 1 ( x h r x r + y y r + z = z r r. För att kontrollera sista likheten använder man kedjeregeln. Likadant, A θ = Φ ˆθ = 1 Φ dr h θ dθ = 1 ( x h θ x θ + y y θ + z = 1 z θ r θ A ϕ = Φ ˆϕ = 1 Φ dr h ϕ dϕ = 1 ( h ϕ x x ϕ + y y ϕ + z z ϕ Dessa beräkningar medför (1. Likheten (2 bevisas på samma sätt. Ex. a. Med hjälp av (1 får man = 1 r sin θ ϕ. r = ˆr, (3 θ = 1 r ˆθ, ϕ = 1 r sin θ ˆϕ 1

b. Med hjälp av (2 får man ρ = ˆρ, ϕ = 1 ρ ˆϕ z = ẑ. Ex. Bestäm en potential till ˆr/r 2. Lösn. Man måste lösa ekvationen eller enligt (1 Φ = ˆr r 2 r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 r sin θ ϕ ˆϕ = ˆr r 2. Man kan skriva detta som tre skalära ekvationer r = 1 r 2, 1 r θ = 0, 1 r sin θ ϕ = 0. Från de sista två ekvationerna får man att Φ bara beror på r, dvs Φ = Φ(r. Nu får man från första ekvationen att Φ(r = 1/r. 1.2 Divergensen i kroklinjiga koordinatsystem Sats 2 (i Låt Då är A = 1 r 2 i sfäriska koordinater. (ii Låt Då är i cylindriska koordinater. A = A rˆr + A θ ˆθ + Aϕ ˆϕ. r (r2 A r + 1 r sin θ θ (sin θa θ + 1 r sin θ A = A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ. ϕ A ϕ (4 A = 1 ρ ρ (ρa ρ + 1 ρ ϕ A ϕ + z A z (5 2

Bevis. (ii Först räknar vi ut divergensen av ortvektorerna ˆρ, ˆϕ ẑ. Med hjälp av definitionen av divergensen har vi ( x ˆρ = ρ, y ρ, 0 = x( x + ( y = 1 ρ y ρ ρ x2 ρ 3 + 1 ρ y2 ρ 3 = 1 ρ Likadant Dessutom kan man kolla att (6 ( y ˆϕ = ρ, x ρ, 0 = 0 (7 ẑ = (0, 0, 1 = 0. (8 (ΦB = Φ B + Φ B för ett skalärfält Φ ett vektorfält B. Vi använder den här formeln för att få (A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ = A ρ ˆρ + A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ + A z ẑ = Nu använder vi formeln (2 för gradienten i cylindriska koordinater formlerna (6 (8 = A ρ ρ + A 1 ρ ρ + 1 ρ A ϕ ϕ + A ϕ0 + A z z + A z0. Man kan kontrollera att detta sammanfaller med högerledet av (5. Likheten (4 bevisas likadant. Ex. a. Bestäm alla Φ = f(r som uppfyller Laplaces ekvation Lösn. Enligt (1 har vi att Nu får vi med hjälp av sats 2(i att Φ = 2 Φ x 2 + 2 Φ y 2 + 2 Φ = 0. (9 z2 Φ = df ˆr = r dr ˆr. Φ = 1 r 2 Därför kan man skriva om (9 som d ( r 2 df. dr dr 1 d ( r 2 r 2 df = 0. dr dr 3

Detta medför att eller eller r 2 df dr = a df dr = a r 2 f(r = a r + b där a b är två godtyckliga konstanter. 1.3 Rotationen i kroklinjiga koordinater Sats 3 1 ˆr rˆθ r sin θ ˆϕ (A rˆr + A θ ˆθ + Aϕ ˆϕ = r 2 sin θ r θ ϕ A r ra θ r sin θa ϕ i sfäriska koordinater (10 (A ρ ˆρ + A ϕ ˆϕ + A z ẑ = 1 ρ ˆρ ρ ˆϕ ẑ ρ ϕ z A ρ ρa ϕ A z (11 i cylindriska koordinater. Bevis. Om Φ är ett skalärfält så (ΦA = ( Φ A + Φ( A. (12 Låt A = A rˆr. Om man använder (12 att r = ˆr (se (3 så får man (A rˆr = (A r r = A r r +A r ( r = A r r +A r ( r. Eftersom rotationen av gradienten är 0 (se öv.1.6 a i exempelsamlingen är högerledet ( Ar = A r r = r ˆr + 1 r = 1 A r r θ ˆϕ + 1 r sin θ A r θ ˆθ + 1 A r r sin θ ϕ ˆϕ ˆr A r ϕ ˆθ. (13 Högerledet i (10 är lika med (om A θ = A ϕ = 0 1 ( Ar r 2 sin θ ϕ rˆθ A r θ r sin θ ˆϕ (14 4

Jämför vi (13 (14 ser vi att (10 gäller för A = A rˆr. Fallen A = A θ ˆθ A = Aϕ ˆϕ betraktas likadant. Nu, summerar man dessa tre fall får man (10. Formeln (11 kan bevisas på samma sätt. Ex. Tentamen TATM 41 Vektoranalys 4 juni 1999, uppg.1. Bestäm ett tal a sådant att vektorfältet A = (2ρz + ρ 2 sin ϕˆρ + aρ 2 cos ϕ ˆϕ + (ρ 2 + zẑ har en potential ange denna. Lösning. A har potential om A = 0. Med hjälp av (11 har vi att A = 1 ˆρ ρ ˆϕ ẑ ρ ρ ϕ z (2ρz + ρ 2 sin ϕ ρaρ 2 cos ϕ (ρ 2 + z = 1 ρ (3aρ2 cos ϕ ρ 2 cos ϕẑ. Så man måste ha att a = 1/3 för att rotationen ska bli 0. Ekvationen för potentialen blir Φ = (2ρz + ρ 2 sin ϕˆρ + 1 3 ρ2 cos ϕ ˆϕ + (ρ 2 + zẑ. Nu använder vi (2 skriver om detta som tre skalära ekvationer Först löser vi ekvationen (15. Vi får Nu använder vi detta för att lösa (16: eller f(ϕ, z = g(z. Alltså ρ = 2ρz + ρ2 sin ϕ, (15 1 ρ ϕ = 1 3 ρ2 cos ϕ, (16 z = ρ2 + z. (17 Φ = ρ 2 z + 1 3 ρ3 sin ϕ + f(ϕ, z. 1 ρ ϕ = 1 3 ρ2 cos ϕ + 1 ρ f ϕ = 1 3 ρ2 cos ϕ Φ = ρ 2 z + 1 3 ρ3 sin ϕ + g(z. 5

Nu använder vi detta för att lösa (17: eller z = ρ2 + dg(z = ρ 2 + z dz g(z = 1 2 z2. Svar: a = 1/3; potentialen till A är ρ 2 z + 1 3 ρ3 sin ϕ + z2 2. 6