VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa att n är jämnt delbart med 5 för n =,, 3,... 4. Bevisa att 4 + 7 + 3 0 + + n3n + ) = nn + ) för n =,, 3,... 5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är precis 35 ). 7 6. Beräkna ) ) 7 7 a. 43 8 b. + 0 + + + n. 7. Utveckla a. y) 5 b. ) 4 3 8. Bestäm koefficienten vid 3 i utvecklingen av *. Man vet att utvecklingen av + ) 7. ) n + innehåller termen 4. Bestäm 0. Bestäm inversfunktionen f ), om den finns, till de funktioner f) som anges nedan. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och f. a. f) = + + 3 b. f) = +. Visa att funktionen f) = + 7 har en invers f. Beräkna f) och f 3).
5B3 AMELIA FR P OCH T HT 004 *. Beräkna eakt svaret får inte innehålla trigonometriska eller cyklometriska funktioner): ) a. arcsin 3 b. arcsin + arcsin c. sin arcsin 3 5 e. arcsin sin π g. sin arcsin ) 3 d. cos arcsin 4 f. arcsin sin 7π h. sin arcsin 3 + arcsin ) 3 3. Förklara varför sin arcsin alltid är lika med medan arcsin sin inte alltid är lika med. Hur går det ihop med påståendet att arcsin är invers till sin? 4*. Beräkna eakt svaret får inte innehålla trigonometriska eller cyklometriska funktioner): a. sin arccos 3 b. cos arcsin + arccos ) 3 3 c. tan arccos 3 d. sin arcsin + arccos ) 5 5 5*. Beräkna eakt svaren får inte innehålla trigonometriska eller cyklometriska funktioner): a. arccos cos π b. arccos cos 7π 6*. Verifiera att a. arcsin 3 4 + arccos 7 = 5π 6 b. arcsin 7 + arccos 3 4 = π 6 Uppgifter till Vecka 43 7. Visa att sinh = sinh cosh. 8. Låt f) = + och g) =. Bestäm de sammansatta funktionerna f g, g f, f f och g g.. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 5 + 6 4 b. lim 5 + 6 3 +
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 3 + 3 + 4 + 5 c. lim 3 + + 3 + 4 4 + + 3 + d. lim 4 +3 + 3 +4 e. lim f. lim + + ) 0 + + 0. Beräkna följande gränsvärden: a. lim + 3 + c. lim arctan + + e. lim b. lim + 4 3 + d. lim arctan + 3 + f. lim. Beräkna högergränsvärde, vänstergränsvärde och gränsvärde i punkten = 3 för funktionen 4 + 3, då < 3 3 f) = 3 4 + 3, då > 3. Beräkna högergränsvärde, vänstergränsvärde och gränsvärde i punkten = 3 för funktionen 4 + 3, då < 3 3 f) = 3 5 + 6, då > 3 + + a 3. Bestäm värdet på konstanten a så att lim är ändligt och beräkna gränsvärdet. 4. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 0 sin 3 sin 4 b. lim 4 sin ) 3 ) 3 + ln c. lim ln + 3) ln + )) d. lim + e e. lim 0 ) 7 + 3 f. lim + 3 ) 7 + 3 + 3 5. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig där?
5B3 AMELIA FR P OCH T HT 004 a. f) = 5 + 4 b. f) = 3 sin ) ) c. f) = arctan ) d. f) = arctan 6. Visa att ekvationen 6 + 3 + = 0 har minst en reell lösning. 7. Visa att kurvorna y = 3 ++3 och y = 4 + 3 +4 skär varandra i minst en punkt. Uppgifter till Vecka 44 8. Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt:: a. 4 + 5 + 3 b. sin sin + cos c. sin + cos ) sin d. + + + e. + ) f. sin g. sin h. )e i. + ) 3 ) 4 j. ln sin + ) k. arctan l. arcsin +. Bestäm ekvationen för tangenten och ekvationen för normalen till kurvan a. y = ) 3) 8 i punkten, ). b. y = )8 i punkten, ). 3) 30. Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. cos b. ln tan c. sin d. arctan e. arccos 4 f. 3 e
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 3. Beräkna derivatorna dy d och d y d definieras genom: a. 3 y 3 + y = b. uttryckta i och y om funktionen y) y + y3 3 = 3. Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan 3 y + y 3 = 7 i punkten, ). 33. Beräkna höger- och vänsterderivatorna i = 0 till funktionen f) = cos. 34. Förklara varför man kan använda derivatan av en funktion för att hitta lokala etrempunkter till funktionen. 35. Bestäm alla lokala etrempunkter och deras typ) till följande funktioner: a. f) = 4 arctan + ln + ) b. f) = + 3 c. f) = + arctan ) d. f) = + ln + ) e. f) = 4 + 5 ln + ) 36. Förklara varför man kan använda derivatan av en funktion för att avgöra om funktionen själv är väande eller avtagande på ett intervall. 37. Bestäm följande funktioners största och minsta värde. a. + arcsin, 0 b. + ln 4 + 6 ), 5 c. 4 + 3 d. 4, 0 4 38. Visa att följande oliheter är sanna: a. e, för alla b. ln + ) 3 +, för 0 3. Visa att funktionen f) = + är inverterbar.
5B3 AMELIA FR P OCH T HT 004 40. Bestäm om möjligt största och minsta värde till följande funktioner: a. f) = ln + ) arctan { 3 + 7, om 3 b. g) = 3 + 37, om 3 8 4. Visa att olikheten sin + cos + är sann för alla 0. 4. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen + 3.