Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Formelsmling: ISBN 98-9--9-8 eller ISBN 98-9--5- (utn nteckningr. Ing ndr formelsmlingr är tillåtn! Miniräknre, penn, rdergummi, linjl, grdskiv Omfttning och betgsgränser: Poäng Betg F E 5 D 8 0 C B 6 A Till smtlig uppgifter krävs fullständig lösningr. Lösningrn skll vr tdlig och lätt tt följ. Införd beteckningr skll definiers. Uppställd smbnd skll motivers. Skriv helst med blertspenn! Svret sk frmgå tdligt och vr förenklt så långt som möjligt. Svr med enhet och lämplig vrundning på tillämpde uppgifter. Svr ekt på övrig uppgifter, om inte nnt nges.
Är du godkänd på KS hoppr du över uppgift -. Förenkl uttrcket ( 5 ( ( så långt möjligt. (p. Förenkl uttrcket så långt möjligt. (p Är du godkänd på KS hoppr du över uppgift -. En liksidig tringel hr höjden,5 cm. Bestäm den liksidig tringelns sidlängder. (p 0. Lös ekvtionssstemet 8 5 0 (p Dess uppgifter gör ll 5. Lös ekvtionen 5 (p 6. Lös ekvtionen 8 8 (p. Vektorn (, v. Vektorn v, ( b. Beräkn b så tt vektorn v blir dubbelt så lång som vektorn v. (p 8. En frhörning med fr lik lång sidor hr två vinklr (p som är 5⁰. Se figur. Hur mång procent mindre är denn frhörnings re jämfört med motsvrnde kvdrt med smm sidlängd? 5⁰ Ange svr med värdesiffror. 5⁰
9. I figuren är AB,5 cm, BC 6,0 cm och DE,0 cm. (p Beräkn sträckn CE. C E D A B 0. En rät linje L är prllell med linjen 9 0, smt går genom punkten (, 8. En nnn rät linje L är vinkelrät mot de övrig linjern, smt går genom punkten (8, -6. Bestäm vståndet melln linjerns ( L och L skärningspunkter med -eln. (p. Lös ekvtionen. (p. Två kvdrter med sidlängder respektive b ( 0 < < b (p är plcerde enligt figuren med vr sitt hörn i origo. Bestäm ekvtionen för den prbel (ndrgrdsfunktion som går genom den större kvdrtens övre vänstr hörn och nedre högr hörn smt den mindre kvdrtens övre högr hörn. Se figur. b
Sidlängd Höjd Lösningsförslg. 5 0 ( (5 5 ( ( 5 ( Svr:. 6 ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( Svr: 6. Tringelns vinklr är 60. Höjden drs vinkelrätt mot sidn, vilket ger tt: cm sidlängden sidlängden höjden, tn 60,5 60 tn Svr: Smtlig sidor är cm,. ( ( 8 5 0 5 8 0 Substitution ger: 88 88 8 60 5 8 ( 5 vilket ger:
Svr: 5. 5 och Definitionsområde: Ekvtionen multiplicers med de båd nämnrn, vilket ger: ( ( ( ( 5( ( ( ( ( 5( ( 5 5 6 6 5 ± Svr: ± 6. 8 8 8 8 0 ( 8 8 0 Nollproduktmetoden ger 0 eller 8 8 0 8 8 0 ± 8 ± 0 6 eller Svr: 0 6. v (, > v 5 och v (, b > b v v v b 5 b 5 (Kvdreringen leder inte till flsk lösningr då bägge led vr positiv
b 9 b ± 0 Svr: b ± 0 8. Kvdrtens re kn uttrcks i sidlängdern: Frhörningen är en romb. Aren bsen höjden A K. A R sin 5 sin 5 Förhållndet melln reorn blir: A A R K sin 5 sin 5 0,9659, vilket motsvrr en minskning med -0,9659 0,0 5⁰ sin5⁰ Svr:,% Minskningen jämfört med kvdrtens re kn även beräkns som A K A A K R sin 5 sin 5 0.0 9. De två tringlrn är likformig eftersom båd hr en rät vinkel och de hr därutöver en gemensm vinkel vid C. Dett ger: CE AC Dessutom ger Pthgors sts: AC BC AB DE AB CE BC AB Genom insättning får vi: DE AB DE,0 cm och därmed: CE BC AB ( 6,0 cm (,5 cm. 8 cm AB,5 cm 0 Svr: Sträckn CE är,8 cm Den givn linjens ekvtion 9 0 kn skrivs
Lutningskoefficienten är lltså k. L hr då också lutningskoefficienten För vinkelrät linjer gäller tt k k. L hr därför lutningskoefficienten k. k. Linjerns ekvtioner kn skrivs: m respektive m Insättning v (,8 i L ger 8 8 m m 8 Insättning v (8,-6 i L ger 6 8 m m 6 8 6 Linjern ekvtioner blir: 6 respektive 8 Avståndet melln skärningspunktern med -eln blir 6 6 m m ( 8 längdenheter. Svr: 6 l.e.. Teckenvälingr för de två bsolutbeloppen sker vid 0 och vid 0 0. Absolutbeloppen i ekvtionen ts bort med hjälp definitionen i vrje intervll: 0 Intervll: < 0 0 < Absolutbeloppen ( ersätts med: Ekvtionen blir: ( ( ( ( ( (
Ej i intervllet! Svr:,. Prbeln går genom punktern (0, b, (b, 0 och (, och 0 < < b. Prbelns ekvtion skrivs på llmän form c d e. Punkten (0, b ger följnde villkor: Punkten (b, 0 ger följnde villkor: b c 0 d 0 e e b 0 c b d b b och b 0 > 0 c b d > d cb ( Punkten (, ger följnde villkor: c d b ( ( i ( ger c ( cb b c cb b b > c b > b c( b ( (Då c 0 fås definitionsmängden b ( i ( ger d b ( b b b b b b b b b Svr: b b b b b b Anm: Grfen kn se ut på två sätt b b
Alterntivt lösningsförslg Prbeln går genom punktern (0, b, (b, 0 och (, och 0 < < b. Prbelns ekvtion skrivs i fktorform k( m( n. Då (b, 0 är ett nollställ fås direkt tt k( m( b. Punkten (0, b ger följnde villkor: b k( 0 m(0 b och b 0 > k ( m Punkten (, ger följnde villkor: k( m( b ( ( i ( ger ( m( b > m b m mb > m mb b m > b m b och slutligen k b b (Definitionsmängd: b b b b b Svr: ( b
Rättningsmll A. Vrje beräkningsfel - poäng (Därefter fortstt rättning enligt n förutsättningr B. Beräkningsfel; llvrlig och/eller leder till förenkling - poäng eller mer C. Prövning istället för generell metod - smtlig poäng D. Felktig ntgnden/nstser - smtlig poäng E. Antr numerisk värden - smtlig poäng F. Lösning svår tt följ och/eller Svret frmgår inte tdligt - poäng eller mer G. Mtemtisk smboler nvänds felktigt/skns -poäng eller mer Bl. Om skns (t.e. > nvänds istället Om nvänds felktigt (t.e. istället för > - poäng/tent - poäng/tent Teoretisk uppgifter: H. Avrundt svr (OBS nge ldrig både ekt och vrundt svr - poäng/tent Tillämpde uppgifter: I. Enhet skns/fel - poäng/tent J. Avrundningr i delberäkningr som ger fel svr - poäng/tent K. Svr med felktigt ntl värdesiffror ( ± värdesiffr ok - poäng/tent L. Andr vrundningsfel - poäng/tent M. Ekt svr (OBS nge ldrig både ekt och vrundt svr - poäng/tent. Korrekt förenklt till 0 5 sedn fel -p Påstår tt ( 5 5 -p (B. Definitionsmängd skns ej vdrg Korrekt fktorisering och uttrcket skrivet som ett bråk, ( ( t e sedn fel ( ( -p. Grdtecken skns helt eller delvis i beräkning Ej vdrg i MI (Avdrg kommer görs fr.o.m period (MII d.v.s. när ni börjt nvänd rdiner Fel uppställd trigonometrisk formel -p. En vribelvärdet rätt, sedn fel -p 5. Definitionsmängd skns Ej vdrg Svrr br med en lösning -p Påstår tt br hr lösningen, men lägger till i svret -p 6. Vrje sknd lösning -p Rden 8 8 0 skns helt eller sknr HL -p (F. Svrr br med en lösning -p Felktig nottion te 5 -p (G Avrundt svr, d.v.s. tolkt tt uppgiften är tillämpd. -/tent (H Svr med l.e. Ej vdrg
8. Korrekt beräknd kvot och/eller minskning, sedn fel -p Antr numeriskt värde på sidn denn gång -p (egentligen E Svrr 0,0 d.v.s. ej i procent -p Avrundr till % d.v.s. följer inte uppmningen -p Grdtecken skns helt eller delvis i beräkning ej vdrg i MI (Avdrg kommer görs fr.o.m period (MII d.v.s. när ni börjt nvänd rdiner 9.Felktig likformighetsekvtion -p (D Ingen motivering om likformighet vrken i tet eller mrkert i figur -p 0. Korrekt uttrck för L eller k och m frmgår tdligt p Avrundt svr, d.v.s. tolkt tt uppgiften är tillämpd. -/tent (H Svr utn l.e. OK. Delr inte upp ekvtionen i tre fll -p Hittr lösningr, men inget resonemng om definitionsmängder -p Korrekt erstt ekvtioner utn bsolutbelopp och respektive intervll frmgår tdligt p Felktigt resonemng om lösningrs giltighet -p/gång Definitionsmängder skns, korrekt prövning v lösningrs giltighet utn formell fel. Ej vdrg. Koordinterns beteckningr ( och b nvänds även som koefficienter i nstsen -p Korrekt nsts och identifiert korrekt villkor (punkter p Uttrckt två v de tre konstntern med hjälp v och b, därefter fel p Svrr med konstntern istället för prbelns ekvtion -p