Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0
Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4
Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter i matematik Inför studierna i vår det lämpligt att fräscha upp räknefärdigheterna. Det är kanske något år sedan du läste gymnasiematematiken, och när du kommer till Linköping och Norrköping sätter vi igång med full fart från första början! I skolan används numera räknare (bl.a. grafritare) flitigt. Detta har många fördelar. Rutinberäkningar går snabbt och man kan därigenom ägna mer tid åt verksamhet som utvecklar begreppsförståelse och problemlösningsförmåga. Det finns dock risker med att använda miniräknare alltför flitigt. Många moment i matematiken är av den karaktären att man förstår dem bättre om man vänjer sig vid att hantera dem genom att räkna för hand, med penna och papper. Alla uppgifter i detta häfte skall lösas helt utan tekniska hjälpmedel. De fyra räknesätten.. Bestäm de tal på tallinjen, som är markerade med A, B och C. a) b).. Vilket tal ligger mitt emellan a) 0, och 0, b) 0,6 och 0, 0,7 och 0,8 d) 0,8 och 0,8.. Beräkna a) + 6 b) ( + 6 ) ( + 6) d) ( + 6).4. Beräkna a) 40 0 b) 0 + + ( 0) d) 4 + ( ) e) 6 ( 0) f) 0 ( 0).. Beräkna a) + 8 b) 8 + ( 0) ( ) 40 + 0 + d) ( 0) + ( 00) Det är inte tillåtet att skriva två operationssymboler intill varandra. Ett vanligt fel är gånger minus, dvs att man får se något sådant som. Detta är förbjudet; man måste sätta parentes om den andra faktorn: ( )..6. Beräkna a) ( ) ( ) ( 4) b) 8 ( ) ( ) ( 6) ( ) 7 + ( ) ( 4) d) ( ) ( 0) 6 ( ) e) (4 7 ) + ( 6 7 )/
4 När man arbetar med bråkuttryck är det mycket viktigt att bråkstrecket står på samma nivå som tecknet = och symboler som + och (om dessa inte själva ingår i bråket). Exempelvis är det fel, ja direkt förbjudet, att skriva a + b = c när man menar a + b = c..7. Beräkna 7 a) ( ) b) + ( 0) ( ) ( ) 6 + 6 7 + 8 +.8. Beräkna a) 0 0, b) 0, 4 + 6 0,7, 0, d) 0 (0,8 0,).. Beräkna a) 0, 0, b) 0,08 0,7 0,7 0,0 d) 0, 0,00.0. Beräkna a) 4 0, + 0, b) 0,7 0, 0, 4, 0, d) 0,8 + 0, 6.. Beräkna a) 0, + 0, b) 6 0, + 6 0, 0,4 + 0, 0, d) 0,7 0, 0,.. Beräkna a) 0,6 0, 0,4 0,7 b) 0,7 0,08 0,04 0,6 d) 0,6 + 0, 0, 0,06 0,4 0, 0, 0,00.. Vilket tal skall talet, multipliceras med för att resultatet skall bli:.4. Beräkna a) 0 000 b) 0,0 a) 0,8 + 0, b) 0, 0, 0,07 0,07 d) 0,8 0,0.. Summan av två tal är 0,6. Det ena talet är 0,04. Vilket är det andra?.6. Produkten av två tal är 0,04. Det ena talet är 0,. Vilket är det andra?.7. Vad kostar det att köpa 0, kg köttfärs, om köttfärsen kostar 4 kr/kg?.8. För en viss kopieringsmaskin är kostnaden 0 öre per kopia. Hur många kopior har en kund tagit, om hon får betala 67,0 kr?
Repetitionsuppgifter inför Matematik Räkning med tal i bråkform Förkortning (med 7) 4 = /7 4/7 = 7 Förlängning (med 7) = 7 7 = 6 Multiplikation 4 7 = Addition och subtraktion + 6 = 6 6 + 6 0 0 = 0 + 0 0 + 0 = = 7 0 0 0 = 7/ 0/ = 0 Division 4 7 4 = 7 = 0 = 0 = 0 Om man förlänger dubbelbråket med nämnaren) får man talet i nämnaren. (det inverterade talet till den ursprungliga.. Förkorta så långt som möjligt a) 0 b) 6 7 77.0. Bestäm det tal, som skall stå på den tomma platsen: a) = b) 7 = 8 d) 7 6 = d) = 7.. Skriv upp de tal mellan 0 och, som i enklaste bråkform skrivs med nämnaren... Vilket tecken (=, < eller >) skall stå mellan talen? a) 4 b) 4 8 7 6.. Vilket tecken (< eller >) skall stå mellan talen? a) b) 8 00 7 0 d) 4 d) 0.4. Skriv följande tal i enklaste bråkform: a) 0,00 b) 0,0 0,07 d) 0,0004.. Beräkna a) 7 + 7 b) 6 7 + + d) 4 8 + 6 e) 6 ( 4) ( ) f) 6+( )+ ( 0)+( ) ( ) ( ) 8.6. Summan av två tal är 0. Det ena talet är. Vilket är det andra? 6 4 0
6.7. Produkten av två tal är. Bestäm den andra faktorn, om den ena faktorn är a) 7 b) 6.8. Vilket tal skall 6 multipliceras med för att produkten skall bli 8?.. Beräkna a) + 6 4.0. Bestäm det bråk som ligger mitt emellan b) d) ( ) ( 7 + ) 7 + a) 4 och b) 8 och.. Beräkna medelvärdet av, 4 och... Beräkna a) 0 + + ( 8 + 6 + ) 8.. Beräkna a) d) + 4 6 7 8 b) 4 e) / 40 4 6 7 8 g) + 8 ( ) 4 + 8 + ( ) ( ) b) + 8 + 6 + ) d) ( f) 4 ( ) / ( 4 6 + ) 4.4. Av en tygrulle skall man klippa till 40 cm långa stycken till dukar. Hur många dukar får man om tygrullen är 40 m lång?.. Vilket är kilopriset för jäst om 0 g kostar,7 kr?.6. I Sverige kastas i genomsnitt 00 kg sopor per person och år. Hur stor mängd sopor blir det under ett år i ett samhälle med 00 000 invånare? Svara i ton..7. Vid en regnskur föll mm regn. Hur många liter föll på en rektangulär gräsmatta, som är m lång och 0 m bred?
Repetitionsuppgifter inför Matematik 7 Potenser och rötter Uttrycket a x kallas för en potens med basen a och exponenten x. Följande räknelagar för potenser förutsätts vara kända (a, b > 0): a x a y = a x+y ( a ) x a x = b a x a y = ax y (a x ) y = a x y (a b) x = a x b x b x a x = a x a 0 = a m n = n a m.. Beräkna a) 600 + 00 b) 0,008 0, d) 7 000.. Beräkna a) b) ( ) d) ( ).. Beräkna a) 4 6 b) 0 + d).4. Beräkna a) b) 4 4 6 + 6 d).. Förenkla så långt som möjligt: a) 4 b) ( ) / 6 7 8 d) 0 e) 000 / f) 6 /4 g) 4/ 6 x+y h) x y i) /7 7 ( ) 6/7 j) 0 7/ (/0) 4 0 /.6. Beräkna a) 0 + 0 b) 0 + 7 0 0 + 6 0 4 d) 0 4 + 0.7. Skriv i potensform med basen :.8. Beräkna a) 8 b) 4 a) 0, b) 0, e) 0,07 0,00 64 0, d) d) 8 0,.. Beräkna a) ( ) b) ( 7) ( ) 6 d) ( 0).0. Beräkna a) ( ) + ( ) b) (0) + ( ) ( ) + ( ) d) ( 4) + ( ) ( 0) e) ( ) + ( ) 4 ( )
8.. Ordna följande tal efter storlek, från det minsta till det största ( ) 87 0 ; ( 0,) ; ; ( 0,) ; (0,) 4 ; 0 0.. Beräkna a) 0,00 0 6 + 0 b),4 0 4 0 0, 0 0 4 d) 0,0 0 0.. Beräkna a) 0 4 0 b) 0 4 + 0 + 0 6 0 + 0 d) 0 7 0 e) 0 0 f) 0 0.4. Skriv i potensform med basen det tal som är a) dubbelt så stort som 0 b) hälften så stort som 0.. Skriv som en enda potens av : a) 7 b) 6 d) ( ).6. Beräkna a) 6 4 b) 4 7 6 7 7 7 d) ( 4) 6.7. Skriv som en enda potens av : a) 4 b).8. Beräkna a) 7 7 7 b) ( 4) ( ).. Skriv som en enda potens av :.0. Förkorta a) 7 b) 4 a) 4 b).. Skriv som en potens med basen 4 d) ( ) ( 0 4) 0 7 ( ) ( 4) 6 4 8 6 4 a) 8 4 6 b) 6 6 7 d) 6 8 (6 ) d).. Beräkna a) 7 b) 6 4 + d) +.. Beräkna a) 0, b) 0, 0, + 0,6 d) 0, + 0,.4. Beräkna och svara i grundpotensform (dvs. på formen a 0 n, där a < 0): a) 0 0 b) 4 0 4 0 4 0 4 6 0 6 d) 0 8 0 8
Repetitionsuppgifter inför Matematik.. Med hur många siffror skrivs följande tal om de skrivs utan potenser? a),7 0 8 b) 8, 0 0 0 0 d) 0,0 0 8.6. Beräkna och svara i grundpotensform: 6 0 6 a) 0 b) 0 6 0 7 0, 0 d).7. Beräkna och svara i grundpotensform: a) ( 4 0 4) b) ( 0 ) ( 0 ).8. a = 8 0 8 och b = 0. Beräkna och svara i grundpotensform: a) ab b) a/b b/a 0 4 8 0 d) ( 0 ) Ett rotuttryck kan ibland förenklas genom att man faktoriserar under rotmärket efter följande modell: 7 = 8 = = ( ) = = 6.. Följande tio tal är parvis lika. Para ihop de tal som är lika 8,,,,, 8, 7, 4,,.0. Snygga till följande uttryck enligt ovanstående idé: a) 8 b) 0 48 d) + 8 e) f) 4+ 7.. Beräkna och förenkla följande uttryck: a) 8 b) 0 d) 7 0 0 e) f) Ett bråk med kvadratrotsuttryck i nämnaren brukar inte anses som förenklat. Kvadratrötter i nämnare kan avlägsnas genom att man förlänger med det s.k. konjugatuttrycket: + + + = ( ) ( ) = ( ) = + = +.. Skriv om följande uttryck utan kvadratrötter i nämnaren: + a) b) d) 6 + +.. Förenkla så långt som möjligt följande tal: a) ( ) b) 6 6 d) 6
0 Algebra Förenklingar och omskrivningar Produkten av två polynom innebär multiplikation av två parentesuttryck, som visas i exemplet nedan. Teckenregeln lika tecken ger plus; olika tecken ger minus tillämpas. Exempel: (x 4) (x ) = x x 8x + 0 = x x + 0 Vi fortsätter med några räknelagar: (a + b) = a + ab + b () (a b) = a ab + b () (a b) (a + b) = a b () De två första, ekvationerna () och (), kallas kvadreringsreglerna och den tredje, (), kallas konjugatregeln. Samtliga dessa räknelagar kan kontrolleras genom att man utför multiplikationen i vänsterledet. Den första kvadreringsregeln kan vi även se på följande geometriska sätt, i alla fall då a och b är positiva. Vänsterledet i den översta ekvationen är arean av hela kvadraten med sidan a + b, högerledet är summan av arean av de fyra delar som kvadraten består av. Konjugatregeln och andra kvadreringsregeln kan på motsvarande sätt ges en geometrisk tolkning. Konjugatregeln är för övrigt ofta användbar, då det gäller att förenkla uttryck som innehåller rotuttryck i nämnaren, vilket illustrerades på sida. Faktorisering genom utbrytning xy x y = x y x x y = xy ( x) = xy( x) (x + y) + xz + yz = (x + y) + z(x + y) = (x + y)( + z) Faktorisering genom användning av konjugat- och kvadreringsreglerna 4s t = (s + t)(s t) 8a + a + = ( a + 6a + ) = (a + ) (x + ) 4y = (x + + y) (x + y)
Repetitionsuppgifter inför Matematik Ekvationslösning är vad det låter som. Det handlar om att finna samtliga tal som uppfyller en given ekvation. Exempel Lös ekvationen x = 4 ( x) Ekvationen kan skrivas x = 0 x. Vi möblerar om, så att alla x hamnar på ena sidan och alla konstanter på den andra sidan om likhetstecknet, och får ekvationen 4x = d.v.s. x = 4. Exempel Lös ekvationen x + = Samla konstanterna på högra sidan och gör liknämnigt, så fås x = = = Detta ger lösningen x =. Exempel Lös ekvationen (x ) (x 4) = (x 4) ( x) Vi observerar att faktorn (x 4) finns med i båda leden. Om x = 4 så blir alltså såväl höger- som vänsterled 0, d.v.s. x = 4 är en lösning. Om x 4 kan vi dividera båda leden med (x 4) och då erhålla ekvationen x = x, vilken har lösningen x =. Svaret blir att x = eller att x = 4. (Ett mycket vanligt fel är att man direkt dividerar båda leden med den gemensamma faktorn och erhåller ekvationen x = x. Då har man dock dessvärre tappat bort en lösning. Division med (x 4) förutsätter ju att x 4.).. Förenkla a) (x y) (4x+y) (6x 0y) (x+y) b) 6 ( x y ( y + 8 ) 6 x ).. Lös ekvationerna a) x = x b) 7z + = z (x + ) = 6 (x + ) d) x x 07 + 4 = 0 e) 800 = + 6600 f) x = 4 0.. Lös ekvationen (x + 8) (6 x) (4 x) (x + ) = 44
Andragradsekvationer Betrakta en allmän andragradsekvation x + px + q = 0 där p och q är konstanter. För att härleda en formel för ekvationens rötter, använder man sig av en omskrivning, som är mycket vanlig, då man arbetar med andragradsuttryck, nämligen kvadratkomplettering. Detta innebär att man samlar alla uttryck som innehåller x i en kvadrat, vilket kan ses geometriskt i nedanstående figur. Vi kan även se det algebraiskt genom att använda oss av första kvadreringsregeln: x + px + q = x + p x + q = x + p ( p ( p ) ( ) x + + q = x + p ) ( (p ) q ) ( Med denna omskrivning kan ekvationen x + px + q = 0 tecknas x + p ) ( p ) = q under ( p ) förutsättning att q 0. Då har ekvationen lösningarna x + p (p ) = ± p (p ) q, d.v.s. x = ± q.4. Tre på varandra följande positiva heltal (konsekutiva tal) har summan 4. Vilka är talen?.. Lös ekvationerna a) x + + x x 8 = b) x 4 = x + x 8 + x = d) x + x + x 4 x 6 = När man skall lösa ekvationen 6 ( x) = 48 nedan, är det enklast att först lösa ut ( x) och inte att multiplicera in i parentesen..6. Lös ekvationerna a) 6 ( x) = 48 b) 7 (x 7) = 4 4 x x 4 4 x =.7. Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt: a) x 4 b) x 8x x d) x 0x +
Repetitionsuppgifter inför Matematik.8. Förenkla följande uttryck ) a) x y (y + x) b) z 4 + 6 ( z.. Utför multiplikationerna a) (4y ) (y ) b) (x ) (4x x 6).0. Förenkla följande uttryck och beräkna därefter uttryckets värde för det angivna x- värdet. ( x a) 6 ) ( x 4 8 ) och x = 6 b) (x + ) (x 4x + ) (x x + ) och x =.. π betecknar ett tal som anger omkretsen av en cirkel med radien r =. π =,4... En cirkel med radien r har alltså omkretsen O = πr och dess area ges av A = πr. Beräkna en cirkels omkrets och area om a) r = b) r = r = π.. Utveckla och förenkla a) (x + 7) (x 7) b) (x + y) d) (x + ) + (x ) e) (4a + b) (4a b).. Uttrycket döljer ett heltal. Vilket?.4. Förenkla genom att förkorta a) 0a6 a.. Lös ekvationerna ( ) ( ) ( + 4 ) ( 4 + ) b) x + 6x x + 8a 4a + 8 a) x = b) (x ) = x = 6x d) (x ) + (x+) (x ) = (x+) (x+) (x+).6. Lös följande ekvationer: a) x + 4x + 4 = 0 b) x x 6 = 0 x x 8 = 0 d) x + x 0 = 0 e) x 0x + 8 = 0.7. Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt: a) x x b) x + x + 0 x + x 7 d) 4 x x Kom ihåg följande regel: Om en produkt av två eller flera faktorer är noll, så måste minst en av faktorerna vara noll..8. Lös följande ekvationer: a) x (x + ) = 0 b) (x ) (x + ) = 0 x (x ) = 0 d) (x ) (x + 8) = 0.. Ekvationen x 4x + a = 0 har en rot x =. Bestäm a och den andra roten.
4 4 Facit. Facit: Räknesätt.. a) A = 0,7, B = 0,0, C = 0, b) A = 0,8, B =,0, C = 0,.. a) 0, b) 0,8 0,7 d) 0,8.. a) 8 b) 00 0 d) 48.4. a) 0 b) 8 d) 0 e) 8 f) 0.. a) 0 b) 6 0 d) 6.6. a) b) 4 d) 8 e).7. a) 4 b) 8 6.8. a) 0 b) d) 4.. a) 0,06 b) 0,06 8 d) 0.0. a) 0, b) 0,0, d).. a) 0, b) 0 d) 0,0.. a) 0,0 b) 7 0,0 d).. a) 00 000 b) 0,00.4. a) 0,8 b) 0, 0,00 d) 0,77.. Det andra talet är 0,6..6. Den andra talet är 0,0..7.,0 kronor.8. kopior.. a) b) 7 7 d).0. a) b) 4 d) 7.. a) b) d).. a) = b) > > d) <.. a) > b) > < d) > 7.4. a) b) d) 00 40 400 00.. a) b) d) 7 8 8 e) f) 0.6. Det andra talet är /.7. Andra faktorn är a) 7 b) 6.8. Talet är /0.. a) 7 0 b) 6 d) 7
Repetitionsuppgifter inför Matematik.0. a) 8.. 6.. a) 47 4.. a) 40 b) b) 6 48 b) 6 e) 6 f).4. 600 dukar.. kronor per kilo.6. 0 000 ton sopor.7. 000 liter regn föll på gräsmattan. 8 77 78 g) d) 0 d) 0. Facit: Potenser och rötter.. a) 70 b) 0,0 0, d) 0.. a) b) d).. a) 0 b) 8 d).4. a) 00 b) 7 00 d) 7.. a) b) d) 7 648 e) 0 f) 8 g) 0, h) x y i) 0, j) 0,.6. a) 00 b) 700 60 000 d) 0 00.7. a) b) 6 d) 7.8. a) 0,0 b) 0,0000 4 d) e) 0.. a) 7 b) 4 64 d) 00 000.0. a) b) 7 d) 4 e) 8 (.. 0, ( 0,) ), 0,0 ( 0 ) (, 0,008 (0,) 4) (, 0,0 ( 0,) ), 0,8 ((/0) ), 0,87 ( 87 0 ).. a) 000 b) 4 000 000 d) 00.. a) 00 b) 00 00 0 000 d) 000 e) 0,0 f) 0,0.4. a) b).. a) 4 b) 8 d) 6.6. a) = b) = 7 0 = d) = 4.7. a) b) 6 6 d)
6.8. a) 7 = 4 b) = 0 = 0 d) 6 = 6.. a) 0 b) 7 d) 6.0. a) b).. a) b).. a) 6 b) 7.. a) b) 00 0 d) 7 7 d).4. a), 0 b) 0 0,4 0 d) 4 0.. a) siffror b) siffror siffror d) 7 siffror.6. a) 0 8 b) 0 0 8 d), 0 8.7. a),6 0 b), 0 8 0 d) 0 6.8. a),6 0 7 b) 4 0 0, 0.. 8 =, 8 =, =, 4 =, 7 =.0. a) b) 4 d) e) 4 f) 7.. a) 4 b) 6 0 d) 77 e) f).. a) ( ) + b) 6 + d) + 6.. a) + b) 4 6 + 6 d) ( ). Facit: Algebra.. a) 0 b) 0.. a) x = 4 b) z = 0 x = d) x = e) x = 600 f) x =.. x =.4. Talen är 7, 8 och.. a) x = b) x = x = 7 d) x =.6. a) x = 0 b) x = x =.7. a) (x 7) (x + 7) b) (x ) (x+) x ( x) (+x) d) (x ) 7.8. a) 0y b) z 6 = 7z.. a) 8y 6y + b) 8x 6x +x+0.0. a) Det förenklade uttrycket är x och antar värdet 0 då x =. b) Det förenklade uttrycket är x och antar värdet då x =... a) O = 4π, A = 4π b) O = 4π, A = 4π O = 6, A = π
Repetitionsuppgifter inför Matematik 7.. a) x 4 b) 4x +y +0xy d) 8x + 8 e) 80ab.. 0.4. a) 4a b) x (a ).. a) x = ± b) x = 7 eller x = x = 0 eller x = 6 d) x = 7.6. a) x = eller x = b) x = eller x = x = 4 eller x = 7 d) x = eller x = e) x = eller x = 4.7. a) (x ) (x + ) b) (x + ) (x + 4) (x ) (x + 7) d) (x ) (x + 8).8. a) x = 0 eller x = b) x = eller x = x = 0 eller x =.. a = och den andra roten är x = 7 d) x = 8 eller x =