Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken riktning i xy-planet ska vi röra oss för att komma ner snabbast om vi befinner oss i punkten (5,, 9)? ( p) (b) Hur snabbt ändras höjden i punkten (5,, 9) om vi rör oss i riktningen enligt del (a) med farten km/h sett uppifrån? ( p) Lösningsförslag. (a) Största ökningen för funktionen z(x, y) ges i riktningen av dess gradient, som är vektorfältet (, x,, y) ( 4x, y). För att komma ner snabbast ska vi röra oss i motsatt riktning, vilket i den aktuella punkten är ( 4 5, ) (, ). Vi ska alltså röra oss i riktningen av vektorn (, ), eller om man vill svara med en enhetsvektor, (, ). (b) Riktningsderivatan av z(x, y) i riktningen av minus dess gradient ges av minus längden av gradientvektorn. I den aktuella punkten alltså (, ). Då vi rör oss med hastigheten m/tim i xy-led blir förändringshastigheten i z-led m/tim. Svar. (a) Man ska röra sig i riktningen (/, / ). (b) Hastigheten i z-led blir km/h, dvs c:a,8 km/h.
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5. Bevisa formeln V 4πa3 för volymen av ett klot med radie a genom att införa sfäriska 3 koordinater i trippelintegralen V dv, där klotet K ges av x + y + z a. (4 p) Lösningsförslag. Vi vet att att dv ger volymen av klotet K. I sfäriska koordinater K K beskrivs klotet av olikheterna r a, φ π, θ π. Integralen i sfäriska koordinater blir alltså π π a dv dθ sin φ dφ r dr K [ ] r [θ] π 3 a [ cos φ]π 3 4πa3 3, och därmed har vi bevisat formeln. π ( ( ) ( )) a3 3
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5 3. Avgör vilket av fälten F(x, y, z) ( x(z ), yz, z x ) och G(x, y, z) ( y + (x y)z, x(y z), x(x y) ) som är konservativt och bestäm en potential till detta. (4 p) Lösningsförslag. Observera att rotationsfria fält som är definierade i hela R 3 alltid är konservativa, men om de bara är definierade på en delmängd av R 3 behöver de inte vara konservativa. Vi beräknar rotationen av de bägge fälten och får ( rot F y (z x ) z ( yz), x(z ) z x (z x ), x ( yz) ) x(z ) y ( ( y), x ( x), ) (y, 3x, ) (,, ) ( rot G(x, y, z) y x(x y) z x(y z), z (y + (x y)z) x(x y), x x x(y z) ) y (y + (x y)z) ( x ( x), x y (x y), y z (y z)) (,, ). Alltså är G rotationsfritt, men inte F. Vi kan bestämma en potential till G genom att först integrera x-komponenten i x-led och får Φ(x, y, z) xy + x z xyz + H(y, z). När vi deriverar Φ(x, y, z) med avseende på y och z får vi Φ y xy xz + H y och Φ z x xy + H z och eftersom xy xz x(y z) och x xy x(x y) kan vi välja H(y, z). Alltså är Φ(x, y, z) xy + x z xyz en potential till G. Svar. Fältet G är konservativt med potential Φ(x, y, z) xy + x z xyz medan fältet F inte är konservativt. 3
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5 DEL B 4. Den elliptiska cylindern 9x + 5y 5 och planet 4y + 3z skär varandra i en kurva C. (a) Ge en parametrisering av kurvan C. ( p) (b) Beräkna längden av kurvan C. ( p) Lösningsförslag. (a) Ellipsen E i planet z ges av ekvationen 9x + 5y 5, eller på standardform 5 x + 3 y. Denna kurva kan vi parametrisera som (5 cos(t), 3 sin(t)), med t π. Den kurva vi söker ligger ovanför ellipsen E, där z-värdet ges av planet 4y + 3z. Med andra ord att z 4 y. Detta ger att den sökta kurvan C ges av 3 r(t) (x(t), y(t), z(t)) (5 cos t, 3 sin t, 4 sin t) för t π. (b) Kurvans längd ges av π ds r (t) dt C π π π ( 5 sin t) + (3 cos t) + ( 4 cos t) dt 5 sin t + 9 cos t + 6 cos t dt 5 dt π 5 π. (Observera att kurvan är en cirkel med radie 5. Hade vi valt ett annat plan hade skärningen blivit en ellips och då kan inte kurvlängden beräknas med hjälp av elementära funktioner.) Svar. (a) En parametrisering ges av r(t) (x(t), y(t), z(t)) (5 cos t, 3 sin t, 4 sin t). (b) Längden av kurvan är π längdenheter. 4
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5 5. Låt f(x, y) x + xy 5y och g(x, y) x xy + y. (a) Bestäm största och minsta värde för f(x, y) givet att g(x, y) om dessa existerar. ( p) (b) Bestäm största och minsta värde för g(x, y) givet att f(x, y) om dessa existerar. ( p) Lösningsförslag. Lagranges villkor ger i båda fall att gradienterna, f(x, y) (x + y, x y) och g(x, y) (x y, x + 4y), ska vara parallella, vilket vi kan ställa upp som { x + y λ(x y) x y λ( x + 4y) eller { x y λ(x + y) x + 4y λ(x y) Båda dessa leder till att (x + y)( x + 4y) (x y)(x y) vilket förenklas till x 7xy + 3y. Vi löser denna som x 7y 49 4 ± y 6 3 7y 5 4 ± y 6 7y 4 ± 5y 4 dvs x 3y eller x y/. (a) Lösningarna till g(x, y) utgör en ellips eftersom vi kan skriva det som (x y) + y. Därmed vet vi att det kommer att finnas ett största och ett minsta värde för f(x, y) på denna kompakta mängd. Dessa måste uppfylla Lagrangevillkoret eftersom det inte finns några singulära punkter. Vi sätter in x 3y i ekvationen och får 9y 6y + y, dvs 5y. Därmed ges lösningarna av y ± och vi har f(3y, y) 9y + 6y 5y y. När vi sätter in x y/, dvs y x i ekvationen får vi x 4x + 8x, dvs 5x och x ± och vi har f(x, x) x + 4x x 5x 3. Det största värdet är alltså f(3, ) f( 3, ) och det minsta f(, ) f(, ) 3. (b) Lösningarna till f(x, y) utgör en obegränsad kurva eftersom vi kan skriva det som (x + y) 6y, vilket ger x y ± + 6y. Därmed kan funktionen g(x, y) anta godtyckligt stora värden. Däremot är g(x, y) nedåt begränsad eftersom g(x, y) (x y) + y. Funktionens minsta värde måste antas i en punkt på ett begränsat område och dessa punrkter måste uppfylla Lagrangevillkoret eftersom det inte finns några singulära punkter. Vi sätter in x 3y i ekvationen och får 9y + 6y 5y, dvs y. Därmed ges lösningarna av y ± och vi har g(3y, y) 9y 6y + y 5y 5. När vi sätter in x y/, dvs y x i ekvationen får vi x + 4x x, dvs 5x som saknar lösningar. Funktionen saknar största värde och det minsta värdet är f(3, ) f( 3, ) 5. Svar. (a) Maximum är och minimum är 3. (b) Maximum saknas och minimum är 5. 5
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5 6. En snöboll i formen av ett klot centrerad i origo och med radie a belyses av solen som befinner sig långt bort på den positiva y-axeln. Bestäm den instrålande effekten (, I, ) ˆn ds, S där S är den del av klotets yta som uppfyller y > och därmed är belyst av solen, I är solens intensitet, ˆn är ytans utåtpekande normal och ds är arealementet. (4 p) Lösningsförslag. Halvklotets yta kan beskrivas i rymdpolära (sfäriska) koordinater som r a, φ: π, θ : π. Genom att använda vinklarna φ och θ för att parametrisera ytan har vi att ˆn ds r sin φ r dφ dθ a sin φ (a sin φ cos θ, a sin φ sin θ, a cos φ) dφ dθ. Den instrålande effekten blir då (, I, ) ˆn ds S a I a I a I φ: π θ : π π π a I π/ πa I. a sin φ a sin φ sin θ I dφ dθ π sin φ dφ sin θ dθ ( ) cos(φ) dφ [ φ cos(φ) ] π 4 π [ cos θ] π sin θ dθ Vi kan också använda divergenssatsen för att lösa uppgiften. Fältet är konstant och därmed divergensfritt. Om vi ser på den belysta delen av snöbollen och sluter till ytan genom att lägga till en cirkelskiva genom centrum får vi en sluten yta och därmed är nettoflödet genom denna noll. Därmed blir inflödet genom den givna ytan lika med utflödet genom cirkelskivan genom origo. Denna har area πa och fältet har konstant styrka I vinkelrätt mot skivan vilket ger flödet πa I. Svar. Den instrålade effekten är πa I. 6
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5 DEL C 7. Ett område som ligger på ena sidan om ett plant snitt genom en sfär kallas för en sfärisk kalott. Beräkna arean av den sfäriska kalott som ges av x + y + z a, z h, där a och h är konstanter med < h < a. (4 p) Lösningsförslag. Låt oss parametrisera vår sfäriska kalott med hjälp av x och y. Vi får parametriseringen r(x, y) (x, y, a x y ) där (x, y) D som ges av x + y a h. Arean av den sfäriska kalotten Y blir nu ( ) x ds Y D a x y, y a x y, dxdy x + y D a x y + dxdy π ( ) a h r dθ a r + r dr ( ) a h r + a π r r dr a r a h ( ) πa r dr {u a r, du rdr} a r πa πa h a a h ( u ) du u du πa [ u ] a h πa(a h). Vi kan också använda sfäriska koordinater där ytan parametriseras av r a, för φ arccos(h/a) och θ π vilket ger arean π arccos(h/a) a sin φ dφdθ a [θ] π [ cos φ]arccos(h/a) πa ( h/a ( )) πa(a h). Svar. Arean av kalotten är πa(a h) areaenheter. 7
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5 8. I origo har kurvan cos(x + y) + cos(x y) + 4y en förgreningspunkt och består av fyra kurvstycken som möts där. Bestäm riktningsvektorn för respektive kurvstycke i origo. y y x x y y x x Kurvan cos(x + y) + cos(x y) + 4y och de sökta riktningsvektorerna. (4 p) Lösningsförslag. med hjäp av Taylorutvecklingen cos t t / + O(t 3 ) för cos t kring t kan vi Taylorutveckla ekvationens vänsterled till ordning kring origo och får då x + 3y + O(r 3 ) ( 3y x)( 3y + x) + O(r 3 ), där r (x, y) x + y. Dela båda led med r x + y, 3y x 3y + x x + y + O(r). x + y Låt (x, y) (, ). Då får vi att 3y x 3y + x x + y x + y. Eftersom ovanstående faktorer är kontinuerliga (i en punkterad omgivning av origo) och kurvan är sammanhängande i närheten av origo så medför detta att antingen 3y x 3y + x x + y eller x + y, 8
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5 dvs. Om fall (x, y) x + y Om fall x 3y + o(r) eller x 3y + o(r). inträffar har vi att enhetsvektorn i riktningen från origo till (x, y) blir ( 3y, y) + o(r) y + 3y + o(r ) y y ( 3, ) + o(r) r { ( 3, ), om x + ( 3, ), om x inträffar har vi att enhetsvektorn i riktningen från origo till (x, y) blir (x, y) x + y ( 3y, y) + o(r) y + 3y + o(r ) y y ( 3, ) + o(r) r De fyra riktningarna är alltså ± ( 3, ) och ± ( 3, ). Ett alternativt lösningssätt är att skriva om ekvationen som cos x cos y + 4y { ( 3, ), om x + ( 3, ), om x med additionssatsen för cosinus. Gradienten av vänsterledet är ( sin x cos y, 8y cos x sin y) och eftersom den andra komponenten är skild från noll i närheten av origo kan vi lokalt lösa ut y som en funktion av x enligt implicita funktionssatsen. Att det finns punkter som uppfyller ekvationen i närheten av origo får vi ta för givet från uppgiftstexten och då kan vi använda implicita funktionssatsen för alla punkter på någon av de fyra kurvstyckena i en omgivning av origo. Vi kan derivera ekvationen två gånger och får och sin x cos y y cos x sin y + 8y y cos x cos y + y sin x sin y y cos x sin y + y sin x sin y (y ) cos x cos y + 8y y + 8(y ) När vi närmar oss origo är gränsvärdena för sin x, sin y och y noll, medan gränsvärdena för cos x och cos y är ett. Om α är gränsvärdet för y och β är gränsvärdet för y får vi + α β + β α + 8β + 8α vilket ger 6α, dvs α ±/ 3. Riktningarna blir de samma som angavs ovan. (Här har vi antagit att gränsvärdena α och β existerar.) Svar. De fyra riktningarna är (± 3, ±). 9
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 7-6-5 9. Låt kurvan C vara triangeln med hörn i punkterna (3, 4), ( 4, ), (, 3), och orienterad moturs. Beräkna ydx + xdy. x + y C (4 p) Lösningsförslag. Vektorfältet ( ) y F (F, F ) x + y, x x + y uppfyller F y F x överallt där det är definierat, vilket är överallt utom i origo som ligger inuti triangeln. Vi kan inte dra slutsatsen att integralen runt den slutna kurvan C är noll, men vi kan använda Greens sats för att byta kurvan mot en annan enkel kurva kring origo, utan att ändra integralens värde. Vi kan välja enhetscirkeln C ett varv runt origo moturs. Kurvan C parametriseras av (x(t), y(t)) (cos t, sin t), t π. Den sökta integralen är alltså ydx + xdy ydx + xdy C x + y C x + y π sin t( sin t) + cos t cos t cos t + sin dt t π π. dt Svar. C ydx + xdy x + y π.