Arcusunktioner ARCUSFUNKTIONER Deinitionsmängd Värdemängd derivatan udda/jämn arcsin() [-, ] [, ] arccos() [-, ] [ 0, ] arctan() alla reella tal (, ) arccot() alla reella tal ( 0, ) + + udda varken udda eller jämn udda varken udda eller jämn yarcsin() DEFINITION Funktionen sinus är inte inverterbar på intervallet (, ) (varör? ) Restriktionen av sinusunktionen till intervallet [/, /] är inverterbar och inversen kallas arcussinus Alltså restriktionen av sinusunktionen till intervallet [/, /] ( ) sin, [, ] med värdemängden V [,] har inversen ( ) arcsin, [, ] Etersom D [, ] och V [,] har vi D [, ] och V [, ] av 4
Arcusunktioner Egenskaper ör unktionen yarcsin() : Funktionens deinitionsmängd är D [,] och värdemängd V [, ] Funktionen är en udda unktion etersom arcsin( ) arcsin( ) och därör är graen symmetrisk med avseende på origo Funktionen är väande d 4 Derivatan: (arcsin ) d Uppgit Beräkna a) arcsin( ) b) arcsin( ) c) arcsin( 0) d) arcsin( ) e) arcsin( ) ) arcsin( ) g) arcsin( ) Tipps: Använd öljande tabell vinkeln v sin(v) 4 6 0 0 6 4 av 4
Arcusunktioner Svar: a) arcsin( ) etersom sin( ) b) arcsin( ) c) arcsin( 0) 0 d) arcsin( ) 6 6 e) arcsin( ) ) arcsin( 4 Uppgit a) Bestäm deinitionsmängden ( ) + arcsin( + 4) ) g) arcsin() b) Bestäm inversen ( ) samt D och V Lösning: a) Funktionen är deinierad om D och värdemängden + 4 Vi lägger till 4 ( Vi löser samtidigt båda olikheter) Vi delar med Alltså D [, ] V till unktionen Värdemängden: När antar värden i intervallet [, ] så antar + 4 alla värden i intervallet [, ], och därmed arcsin( + 4) Härav ( eter multiplikationen med ) arcsin( + 4), vi adderar och år + arcsin( + 4) + Därmed V [, + ] Svar a ) D [, ] och V [, + ] av 4
Arcusunktioner Lösning: b) Först: D V [, + ] och V D, ] [ Vi löser ut ur ekvationen y + arcsin( + 4) ( lägg till ) y arcsin( + 4) (dela med ) y arcsin( + 4) ( inversunktion) y + 4 sin( ) ( lägg till 4) y 4 + sin( ) (dela med ) + sin( y ) Till slut byter vi plats på och y och år inversen som unktion av y + sin( ) Svar b) ( ) sin( + ) där D V [, + ] och V D, ] [ Uppgit Bestäm alla lösningar till ekvationen sin 0 Lösning: En lösning är arcsin(0) 0079 ( med miniräknare) Alla lösningar (oändligt många) ges av öljande två talöljder: k arcsin( 0) + k, där k 0, ±, ±, och n [ arcsin(0)] + n, där n 0, ±, ±, Uppgit 4 a) För vilka gäller sin(arcsin ( ))? 4 av 4
Arcusunktioner b) Beräkna sin(arcsin( 08)) Svar a) För alla i intervallet[, ] b) 0 8 Uppgit a) Bestäm deinitionsmängden till ( ) arcsin(sin( )) b) För vilka gäller arcsin(sin ( ))? c) Beräkna arcsin(sin( )) 4 d) Beräkna arcsin(sin( )) e) arcsin(sin( )) 7 Lösning: a) D (, ) sin är deinierad ör alla reella tal Etersom sin är ( ) arcsin(sin( )) också deinierad ör alla reella tal Alltså D R (, ) b) arcossin() är inversen till restriktionen av sinusunktionen på intervallet [, ] Därör arcsin(sin ( )) om ligger i [, ] Anmärkning Om ligger utanör [, ] då är arcsin(sin( )) där vi bestämmer i intervallet [, ] så att sin( ) sin( ) c) arcsin(sin( )) etersom ligger i [, ] 4 d) arcsin(sin( )) arcsin(sin( )) { Notera att vi "ersätter" 4 ligger i intervallet [, ] och uppyller sin( ) sin( ) } 4 med som e) 9 arcsin(sin( )) arcsin(sin( )) 7 7 7 av 4
Arcusunktioner Svar: a) D R (, ) b) För [, ] c) arcsin(sin( )) d) 4 arcsin(sin( )) e) 9 arcsin(sin( )) 7 7 Uppgit 6 Bestäm a) cos(arcsin( )) b) tan(arcsin( )) c) cos(arcsin ( ) Lösning: a) Notera att deinitionsmängden ör cos(arcsin( )) är intervallet [, ] Vi betecknar arcsin( ) v och därmed sin v där v [, ] Då blir cos(arcsin ( )) cosv Vi bestämmer cos v med hjälp av "trigonometriska ettan" sin v + cos v cosv ± sin v ( cosv 0 etersom v [, ]) ) sin v b) Vi betecknar arcsin( ) v och därmed sin v, där v [, ] Då blir tan(arcsin ( )) tan v Från sin v ( och v [, ] ) beräknar vi örst sin v cosv sin v och slutligen tan v cosv Alltså tan(arcsin( )) tan v c) Vi kan använda a) men vi kan även beräkna direkt: cos(arcsin ( ) cos( ) 6 Svar: a) b) c) Uppgit 7 Beräkna derivatan av unktionen a) y arcsin( ) b) y arcsin(ln( 4)) Svar a) y b) () 9 y ln 4 4 4 ln 4 6 av 4
Arcusunktioner yarccos() DEFINITION Restriktionen av cosinus till intervallet [0, ] är inverterbar Inversen kallas arcuscosinus och betecknas arccos() Alltså restriktionen av ( ) cos, [0, ] cos till intervallet [0, ], har inversen ( ) arccos, [, ] Etersom D [ 0, ] och V [,] har vi D [, ] och [0, ] V Egenskaper ör unktionen yarccos(): Funktionens deinitionsmängd är D[, ] och värdemängd V[0, ] Funktionen är varken udda eller jämn Anm: arccos( ) arccos( ) 4 Funktionen är avtagande Derivatan: d d (arccos ) Uppgit 8 Beräkna a) arccos( ) b) arccos( / ) c) arccos( 0) d) arccos( / ) e) arccos( / ) ) arccos( / ) g) arccos( ) 7 av 4
Arcusunktioner Tipps: Använd öljande tabell vinkeln v 0 cos(v) 6 4 0 4 6 Svar a) b) / c) / d) / e) / 4 ) / 6 g) 0 Uppgit 9 a) För vilka gäller cos(arccos ( ))? b) Beräkna cos(arccos( 0)) Svar a) För alla i intervallet[, ] b) 0 Uppgit 0 a) Bestäm deinitionsmängden till ( ) arccos(cos( )) b) För vilka gäller arccos(cos ( ))? 4 c) Beräkna arccos(cos( )) 7 d) Beräkna arccos(cos( )) e) arccos(cos( )) Svar: a) D R (, ) b) För [ 0, ] 4 4 c) arccos(cos( )) 4 ( etersom ligger i intervallet [ 0, ] 7 7 d) arccos(cos( )) arccos(cos( )) ( Notera att cos( ) cos( ) ligger i intervallet [ 0, ] e) arccos(cos( )) arccos(cos( )) och att Uppgit Beräkna a) ssssss(aaaaaaaaaaaa(/)) b) tttttt(aaaaaacccccc(/)) Lösning: a) Beteckna arccos( / ) v Då gäller cos( v ) där v ligger i örsta kvadranten ( enligt deinitionen av arccos(v)) och vi ska bestämma sin vv 8 av 4
Arcusunktioner Etersom sin vv ± cos vv ( vi väljer tecken + etersom v ligger i örsta kvadranten) har vi sin vv + (/) 8/9 sin v b) tan(arccos (/ )) tan v cosv Uppgit a) Bestäm sin(arccos( )) b) Bestäm tan(arccos( )) Lösning: a) Vi betecknar arccos( ) v Härav cos(v) där v ligger i [0, ] Vi ska beräkna sin(arccos ( )) sin v Från sinv ± cos v, etersom v ligger i [0, ], ( där sinv 0) har vi sinv + cos v b) tan(arccos( )) Svar: a) b) sinv tan v cosv Uppgit Bestäm deinitionsmängden till yy e +arccos() + ln( /) Lösning: Uttrycket e är deinierad ör alla Funktionen är deinierad om öljande två villkor är uppyllda: Villkor ( ör uttrycket arccos ) : Villkor ( ör uttrycket ln( /)) : / > 0 d v s > / Båda villkor är uppyllda om < Svar: DD (, ] Uppgit 4 Beräkna derivatan av unktionen a) y arccos( ) b) y arccos( + + 4) Svar a) y ( ) 0 0 4 b) y ( + + 4) ( + ) ( ( + ) + + 4) 9 av 4
Arcusunktioner Uppgit Bevisa att arcsin + arccos ör alla [,] Tipps Använd örsta derivatan Bevis: Låt () arcsin + arccos ( DD [,] ) Då gäller () 0 ör alla (,) Etersom ( ) 0 ör alla i intervallet (,) är unktionen () konstant i detta intervall Alltså arcsin + arccos CC För att bestämma C insätter vi t e 0 och år CC arcsin 0 + arccos 0 0 + Därör arcsin + arccos ör alla (,) I ändpunkterna har vi arcsin + arccos + 0 och arcsin() + arccos() + Därmed har vi bevisat att ör alla [,] arcsin + arccos 0 av 4
Arcusunktioner yarctan() DEFINITION Restriktionen av tangens till intervallet (/, /) är inverterbar Inversen kallas arcustangens och betecknas arctan() Alltså restriktionen av tangensunktionen till intervallet (/, /) () tttttttt, (/, /) med värdemängden VV (, ) har inversen () aaaaaa, (, ) Etersom DD (/, /) och VV (, ) har vi DD VV (, ) och VV DD (/, /) Egenskaper ör unktionen yarctan() Funktionens deinitionsmängd är D (, ) och värdemängd V (, ) Funktionen har två vågräta asymptoter y och y lim aaaaaaaaaaaaaa +, lim aaaaaaaaaaaaaa Funktionen är en udda unktion etersom aarrrrrrrrrr() aaaaaaaaaaaa() och därör är graen symmetrisk med avseende på origo 4 Funktionen är väande d Derivatan: (arctan( )) d + av 4
Arcusunktioner Uppgit 6 a) För vilka gäller tan(arctan ( ))? b) Beräkna tan(arctan ()) Svar a) För alla b) Uppgit 7 a) Bestäm deinitionsmängden till ( ) arctan(tan( )) b) För vilka gäller arctan(tan ( ))? c) Beräkna arctan(tan( )) 9 d) Beräkna arctan(tan( )) Svar a) + k, k 0, ±, ±, b) För de som ligger i (, ) c) arctan(tan( )) {etersom ligger i (, ) } d) 9 arctan(tan( )) arctan(tan( )) Uppgit 8 Bestäm a) cos(arctan( )) b) sin(arctan( )) Lösning: Om vi delar likheten sin v + cos v med cos v år vi ( om cos v 0 ) tan cos v + v som vi använder ör att beräkna sin v cosv tan v ± cosv om tan v är känd Däreter kan vi beräkna + tan v a) Vi betecknar arctan( ) v Därmed tan v där v (, ) Vi beräknar av 4
Arcusunktioner cos(arctan( )) cosv ± + tan v + (tecken + etersom v (, ) där cos v > 0 ) b) sin(arctan( )) sinv cosv tan v + + 4 Uppgit 9 Beräkna derivatan av unktionen a) y arctan( ) b) y arctan(ln( )) Svar: a) y 4 4 + ( ) + ( ) b) y + ln ( + ln ) 4 yarccot() DEFINITION Restriktionen av cotangens till intervallet (0, ) är inverterbar Inversen kallas arcuscotangens och betecknas arccot() Alltså restriktionen av cotangensunktionen till intervallet (0, ) () cccccccccccc, (0, ) med värdemängden VV (, ) har inversen () aaaaaa, (, ) Etersom DD (0, ) och VV (, ) har vi DD VV (, ) och VV DD (0, ) Egenskaper ör unktionen yarccot() Funktionens deinitionsmängd är D (, ) och värdemängd VV (0, ) Funktionen har två vågräta asymptoter yy 0 och yy av 4
Arcusunktioner lim aaaaaaaaaaaaaa 0, lim + aaaaaaaaaaaaaa Funktionen är varken udda eller jämn Anm: arccot( ) arccot( ) 4 Funktionen är avtagande d Derivatan: (arccot( )) d + Uppgit 0 Beräkna aaaaaaaaaaaa() + aaaaaaaaaaaa() Lösning: aaaaaaaaaaaa() + aaaaaaaaaaaa() 4 + 4 Uppgit Bevisa att arctan + arccot ör alla reela tal Bevis: Låt ( ) arctan + arccot då gäller ör alla () + + 0 Därör är () en konstant unktion, dvs arctan + arccot C För att inna C insätter vi till e och år C arctan+ arccot + 4 4 Alltså arctan+ arccot VSB 4 av 4