ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0
Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig utbildning du än väljer, så börjar studierna med en ansenlig mängd matematik. Lyckas man väl med dessa matematikkurser, så ligger vägen öppen för fortsatt lyckade studier. Ett bra sätt, för att underlätta matematikstudierna, är att repetera gymnasiematematiken innan du börjar på högskolan/universitetet. Det häfte som du just tittar i, innehåller ett antal övningar som kan vara lämpliga att arbeta med under en sådan repetition. Vi är medvetna om att inte alla får behålla sina gymnasieböcker. Därför innehåller häftet även en del teoriavsnitt och eempel. Några kommentarer till övningarna. Försök att göra uppgifterna utan hjälp av miniräknare och formelsamlingar. Det är viktigt att lära sig behärska räknelagar m.m. utan att använda hjälpmedel. Försök kontrollera rimligheten i dina svar, innan du jämför med facit. Några eempel på kontrollmöjligheter: Om du förenklar ett uttryck som innehåller storheterna a och b, så skall det ursprungliga och det förenklade uttrycket vara lika för alla värden på dessa storheter. Testa med några olika värden på a och b för att se att uttrycken är lika för åtminstone dessa värden. Löser du en ekvation, så skall lösningarna förstås uppfylla ekvationen. Sätt in lösningarna i ekvationen och kontrollera att högerled och vänsterled blir lika. Ibland kan man rita figurer som illustrerar problemet (t.e. när det gäller trigonometri och geometri). Gör det! I slutet av varje kapitel finns en del stjärnmärkta övningar. Det kan vara lämpligt att först arbeta med de uppgifter som ej är stjärnmärkta, för att senare i mån av tid öva vidare på (*)-uppgifterna. Övningshäftet finns att hämta på http://www.mai.liu.se/tm/repetition/ Lycka till.
Innehåll Diagnostiskt prov Förenklingar och omskrivningar Ekvationslösning 7 Absolutbelopp 4 Olikheter 4 5 Potenser och logaritmer 5 6 Trigonometri 8 7 Geometri 4 8 Derivator 9 Binomialutveckling. 4 Facit 7 Svar till diagnostiskt prov 4
Diagnostiskt prov Försök att lösa dessa uppgifter utan hjälpmedel. Det kan hända att du tycker att en del uppgifter är svåra, men det ska du inte bli orolig för. Häftet innehåller förklaringar, eempel och övningar som gör att du säkerligen kommer att klara diagnostiska provet mycket bättre efter att ha arbetat med övningshäftet.. Lös ekvationen + 4 =.. Skriv ( ) som ett bråk. 4. Förenkla uttrycket a b + b a a b b a så långt som möjligt. 4. Bestäm alla lösningar till ekvationen 4 6 + = 0. 5. Ange alla sådana att + =. 6. För vilka gäller olikheten < 9? 7. Förenkla b ( a b ) a a / b så långt som möjligt. 8. Rita funktionen f() = minsta värde. +, och ange funktionens största och 9. Vilken av nedanstående figurer åskådliggör bäst funktionen y = e? A. y B. y C. y D. y E. y F. y 0. Bestäm derivatan av f() = e +.. Förenkla lg 5 + lg lg 6 så långt som möjligt.. Bestäm cos v då v ligger i andra kvadranten och sin v =.. Bestäm alla som uppfyller ekvationen sin =.
Förenklingar och omskrivningar Vi startar med några elementära räknelagar: (a + b) = a + ab + b () (a b) = a ab + b () (a + b)(a b) = a b () a + b = (a + b)(a ab + b ) (4) a b = (a b)(a + ab + b ) (5) De två första kallas kvadreringsreglerna, den tredje kallas konjugatregeln och de två sista är kubreglerna. Samtliga dessa räknelagar kan förstås kontrolleras genom att man utför multiplikationerna i vänsterledet i () () respektive högerledet i (4) (5). Den :a kvadreringsregeln kan vi även se på följande geometriska sätt, i alla fall då a och b är positiva. a b a a ab b ab b Vänsterledet i ekv. () är arean av hela kvadraten med sidan a+b, högerledet är summan av arean av de fyra delar som kvadraten består av. Konjugatregeln och :a kvadreringsregeln kan på motsvarande sätt ges en geometrisk tolkning. Konjugatregeln är för övrigt ofta användbar då det gäller att förenkla uttryck som innehåller rotuttryck i nämnaren. Eempel Förenkla. Vi förlänger uttrycket med nämnarens konjugat, d.v.s. + och får + + = ( + )( ) = = +. Eempel Förenkla + 4.
Vi sätter uttrycket på minsta gemensamma nämnare, d.v.s. och får + 4 = 6 + 4 = 6 + 4 = 7. Eempel Förenkla uttrycket +. + Vi gör liknämnigt i flera steg, med start inifrån : + + = + + = + + = + + + + = + + = + +. Övningar. Beräkna: a) ( ) ( ) b) + e) + 4 4. Förenkla uttrycken a) 4a b 4 ab a 4 b b) ( ab ) c) + 7 5 4 d) 4 5 + f) () ( ) g) ( ) h) 6 c) 8 ( b a ) ( a) ( b ) d) ( ) ( ) 5 a a a. Utveckla: a) (a + b) b) (a b) c) (a 5b) d) (a b)(a + b) e) (a + b) f) (a b) g) ( + y)( y + y ) h) ( y)( + y + y ) 4. Skriv som en produkt av så många faktorer som möjligt, genom att känna igen t.e. kvadrerings- och konjugatregler: a) a 4b b) 75 y c) 75 0y + y d) + e) 6 9 f) 4y + 4y g) 7 5. Skriv om så att nämnaren ej innehåller några rottecken: a) b) 5 ( )
6. Förenkla följande uttryck: a) (p ) + (p + ) p b) (r + s) (r s) c) + 5 5 a d) a ab a b e) b + b a + ( ) a b b f) a 7. I många fysikaliska sammanhang dyker sambandet y = a + upp. Talen a och b b är positiva storheter. Om t.e. två elektriska motstånd med resistanserna a resp b parallellkopplas kommer denna krets att ha motståndet y. Lös ut y ur sambandet. Vad kan sägas om y jämfört med a och b? 8. Utveckla: a) (a + b + c) b) (a b c) c) (a + b + c) 9. Utveckla: a) ( y)( 5 + 4 y + y + y + y 4 + y 5 ) b) ( + y)( 6 5 y + 4 y y + y 4 y 5 + y 6 ) (*) (*) (*) 0. Skriv som en produkt av så många faktorer som möjligt: a) 7 b) 00y 5 0y c) 4 6y 4 d) 4 + e) 6 y 6. Förenkla: a) a a + b b a + b c) b) a + a a a a + a ( 6 + ) ( 6 + ) / + 4 d) +. Visa :a kvadreringsregeln genom att tolka uttrycken som areor. Polynomdivision. Om p(), q() och r() är polynom, sådana att p() r() = k() + q() q() (6) där r() har lägre gradtal än q(), kallar vi k() för kvoten och r() för resten då p() divideras med q(). För att bestämma k() och r() går man till väga på liknande sätt som när man bestämmer kvot och rest vid division mellan två heltal. 4
Eempel 4 Utför polynomdivisionen 6 + 0 8. + Uppställt med liggande stolen fås 6 +0 8 + ( 4 + 4) + 6 8 ( + 4 4) 4 De steg som utförts ovan är följande: Utgå från uppställningen 6 +0 8 + går gånger i. Subtrahera ( + ). 6 +0 8 + ( 4 + 4) + 6 8 går gånger i. Subtrahera ( + ). 6 +0 8 + ( 4 + 4) + 6 8 ( + 4 4) 4 Använder vi istället trappan blir uppställningen + 6 +0 8 ( 4 + 4) + 6 8 ( + 4 4) 4 Som synes är skillnaden mellan de olika uppställningarna mest av kosmetisk art, räkningarna blir desamma. Ur kalkylen ovan får vi kvoten k() = och resten r() = 4, d.v.s. 6 + 0 8 + = + 4 +. 5
OBS: En enkel kontroll av att man räknat rätt, fås genom att multiplicera båda led med nämnaren +. Övningar. Utför polynomdivisionen: a) + 7 b) 4 c) + 9 8 (*) (*) 4. Bestäm kvot och rest då P() = 4 + 5 + divideras med a) b) c) +. d) Beräkna P(), P() och P( ). Ser du något samband? e) Bevisa det samband du förhoppningsvis såg. 5. Bestäm resten då polynomet 00 0 + divideras med a) b) + c) + 6
Ekvationslösning Ekvationslösning är vad det låter som. Det handlar om att finna samtliga tal som uppfyller en given ekvation. Eempel 5 Lös ekvationen = 4(5 ). Ekvationen kan skrivas = 0. Vi möblerar om så att alla hamnar på ena sidan och alla konstanter på den andra och får ekvationen 4 = d.v.s. = /4. Eempel 6 Lös ekvationen + = 5. Samla konstanterna på högra sidan och gör liknämnigt, så fås = 5 = 5 5 5 = 5. Detta ger lösningen = 5/. Eempel 7 Lös ekvationen ( )( 4) = ( 4)( ). Enklast hanterar vi denna ekvation genom att möblera om så att vi får 0 i högerledet. Vi får då ekvationen ( )( 4) ( 4)( ) = 0 vilket kan skrivas om som ( ( ) ( ) ) ( 4) = 0 d.v.s. ( 4)( 4) = 0. Således har ekvationen lösningarna = eller = 4. (Ett mycket vanligt fel är att man direkt dividerar båda led med den gemensamma faktorn ( 4) och landar i ekvationen =. Då har man dock dessvärre tappat bort en lösning. Division med ( 4) förutsätter ju att 4. ) 7
Andragradsekvationer. Betrakta en allmän andragradsekvation + p + q = 0 där p och q är konstanter. För att härleda en formel för ekvationens rötter, använder man sig av en omskrivning som är mycket vanlig då man arbetar med andragradsuttryck, nämligen kvadratkomplettering. Detta innebär att man samlar alla uttryck som innehåller i en kvadrat, vilket kan ses geometriskt i nedanstående figur. + p p p + p p p p + p p p Alltså är + p = p + p ( + p ) ( p ) ( + p ) ( p ) ( så + p + q = + p p p ) ( (p ) q ). Vi kan även se detta algebraiskt genom att använda oss av :a kvadreringsregeln: + p + q = + p + q = + p ( p ( p ) ( ) + + q = + p ) ( (p ) q. ) Med denna omskrivning kan ekvationen + p + q = 0 tecknas ( + p ) ( p ) = q och under förutsättning att ( p ) q 0 så har ekvationen lösningarna + p = ± (p ) q d.v.s. = p ± (p ) q. 8
Övningar 6. Lös ekvationerna: a) = 5 b) = c) 4 = 7. Lös följande andragradsekvationer: d) + 4 = 0 a) 5 = 6 b) 8( )( + ) = 0 c) + 7 + = 0 d) 4 7 + 9 = 0 e) ( + ) = 4( 4) f) ( + ) = ( ) (*) 8. Lös ekvationerna: a) ( + )( ) = + 9 b) (a + b) + ab = 0 c) 5 6 + = Polynomekvationer av högre grad. Att lösa ekvationer av grad större än är i allmänhet krångligt (eller ibland omöjligt). I vissa fall kan man dock klara det relativt enkelt genom att antingen byta variabler eller genom att försöka gissa någon lösning och använda polynomdivision. Eempel 8 Lös ekvationen 4 + 6 = 0. Ekvationen innehåller endast jämna potenser av, så vi sätter t =. Då får vi den nya ekvationen t + t 6 = 0 som har lösningarna t = eller t =. Går vi tillbaks till den ursprungliga variabeln, har vi alltså att = eller =. Den första ekvationen har lösningarna = ± medan den senare saknar reella lösningar. Svar: = eller =. Eempel 9 Bestäm alla lösningar till ekvationen + 9 8 = 0. Vi börjar med att försöka gissa en rot. Vi prövar med några små heltal och upptäcker att = är en lösning till ekvationen. Alltså innehåller polynomet faktorn ( + ). Därefter dividerar vi polynomet med den faktorn och får + 9 8 + = 9. Vi fortsätter med att bestämma alla lösningar till ekvationen 9 = 0, och finner att = ±, d.v.s. + 9 8 = ( + )( 9) = ( + )( + )( ). Ekvationen har således lösningarna =, = eller =. 9
Övningar 9. Lös ekvationerna: a) + = 0 b) + = 0 c) + = 0 0. Skriv som en produkt av så många reella faktorer som möjligt: a) + 4 b) 6 4. Ange en andragradsekvation med rötterna och.. Ekvationen + p + q = 0 har rötterna r och r. a) Bestäm r + r b) Bestäm r r c) Lägg resultaten på minnet, här har du en bra kontrollmöjlighet. (*) (*). Lös ekvationerna: a) + = 7 b) 8 = 7( ) 4 c) + = 0 d) ( ) = ( + ) ( e) + ) = + f) ( + 5 ) ( + 5 ) = 6 4. För vilka värden på a har ekvationen (a + ) (a 6) + a = 0 två likadana rötter? Lös ekvationen för dessa a. 0
Absolutbelopp Absolutbeloppet av ett tal definieras som {, om 0 =, om 0. Absolutbelopet av är alltså alltid positivt, är ju positivt om är negativt. På tallinjen kan talet tolkas som avståndet mellan och 0. På motsvarande vis kan a tolkas som avståndet mellan och a. Eempel 0 Bestäm de som uppfyller likheten =. Vi söker de punkter på tallinjen, vilkas avstånd till talet är. 0 4 Likheten är tydligen uppfylld då = eller =. Övningar 5. Räkna ut a) ( ) 4 + ( ) b) ( ) 4 + ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 6. Bestäm alla som uppfyller villkoren a) 5 = b) 4 = 6 c) < 4 d) + 4 Avståndstolkningen ger dock inte alltid den enklaste lösningsgången. Ofta är det lämpligare att använda sig av definitionen och dela upp i olika fall. Eempel För vilka är + =? Likheten + + = gäller om och endast om = ±. + = ger + = ( ) d.v.s. = 7/ + = ger + = ( ) d.v.s. = 5/4 Svar: = 7/ eller = 5/4.
Eempel Lös ekvationen = + 4. Uttrycken innanför beloppstecknen blir 0 då = 0 respektive =. Vi tittar på tre olika fall. 0: För dessa är = och + 4 = + 4, så ekvationen lyder = + 4, d.v.s. = 4. Men vi kommer ihåg att den ekvation vi nyss löste enbart gäller då 0, så vi ignorerar den lösning vi fick fram eftersom 4 < 0. 0: För dessa är = och +4 = +4. så ekvationen lyder = +4 d.v.s. = 4/. Detta tal uppfyller olikheten < 0. : Här är = och +4 = (+4) så ekvationen kan i detta fall skrivas = ( + 4) d.v.s. = 4. Detta är en lösning ty 4. Svar: = 4 eller = 4/. Eempel Lös ekvationen =. Vi tittar på två olika fall, för att kunna eliminera beloppstecknet. {, om 0 d.v.s. om = ( ), om 0 d.v.s. om. : För dessa är = och då lyder ekvationen =. Den ekvationen har de båda lösningarna = ± 7, men av dessa är det endast = + 7 som uppfyller kravet. : Här är = ( ), så ekvationen blir = ( ). Denna har lösningarna = ± 7, varav endast = 7 uppfyller kravet. Svar: = 7 eller = + 7. I eemplet ovan fick vi fram två stycken falska lösningar, d.v.s. två -värden som inte var lösningar till ekvationen. Hur dessa dyker upp kan vi se genom att rita upp kurvorna y = och y =.
y y = { y = { y = ( ) y = { y = { y = ( ) När vi delar upp ekvationen i två delar löser vi i tur och ordning de båda ekvationerna = resp = ( ). De streckade förlängningarna av linjerna y = och y = ( ) punkter som ger de falska lösningarna. skär parabeln i de Övningar 7. Bestäm alla som uppfyller a) = + b) = 4 c) = d) 5 + + 6 = 0 8. Vilka uppfyller följande samband? a) + + 5 = b) + + 5 = c) 5 5 = 9 (*) 9. Bestäm alla som uppfyller: a) + + = b) < c) + = d) = e) =
4 Olikheter För olikheter gäller följande räknelagar: Om < y så är + a < y + a för varje reellt tal a (7) Om < y så är a < ay om a är positivt (8) Om < y så är a > ay om a är negativt (9) Speciellt visar (8) och (9) att man måste iaktta stor försiktighet vid multiplikation med okända storheter. Eempel 4 För vilka gäller olikheten <? I stället för att multiplicera med (som ju är okänd) samlar vi alla uttryck på en sida (så vi får 0 på andra sidan) och sätter allt på gemensam nämnare och faktoriserar uttrycken: < kan skrivas > 0 d.v.s. ( )( + ) > 0 d.v.s. > 0 ( )( + ) Olikheten löses nu enkelt genom teckenstudium av funktionen f() =. 0 0 + + 0 + + + 0 + + f() 0 + 0 + Olikheten gäller då f() > 0, alltså då < < 0 eller >. Övningar 0. För vilka gäller olikheterna a) + < b) 4 c) ( + )( ) + 5 0 d) 0 + 5 > 0 e) + > 0 f) 0 < < (*). För vilka gäller olikheterna a) < < 5 b) 4 < c) > d) + 5 + 0 4
5 Potenser och logaritmer Uttrycket a kallas för en potens med basen a och eponenten. Följande räknelagar för potenser förutsätts vara kända (a, b > 0): a a y = a +y a a y = a y (a ) y = a y ( a b) = a b a 0 = (a b) = a b a = a a m n = n a m Om a > 0 är fit och får variera, definierar a en funktion som vi kallar för eponentialfunktionen med basen a. Eponentialfunktionen är strängt väande om a > och strängt avtagande om 0 < a <. Den inversa funktionen till y = a, R kallas för logaritmfunktionen med basen a och skrivs = a log y. Nedan är detta åskådliggjort för a = 4 y y y = - - = log y Likheterna y = a och = a log y är således två olika sätt att uttrycka samma samband mellan talen och y. 5
De två vanligaste logaritmerna är y = ln = e log (naturliga logaritmen) som är invers funktion till = e y y = lg = 0 log (0-logaritmen) som är invers funktion till = 0 y För den naturliga logaritmen gäller följande räknelagar: e ln = för alla > 0 ln( y) = ln + ln y om > 0 och y > 0 ln = ln ln y om > 0 och y > 0 y ln y = y ln om > 0 Motsvarande lagar gäller även för 0-logaritmen (och andra logaritmer). Eempel 5 Förenkla 5 /7 7 ( ) 6/7 5. 5 5 /7 7 ( ) 6/7 5 = 5 /7 5 /7 5 6/7 = 5 /7+/7 6/7 = 5 = 5 5. Eempel 6 Lös ekvationen + = 8. Eftersom = ( ) och + = inför vi en ny variabel t =. Ekvationen lyder då t t = 8 och har lösningarna t = 4 eller t = (kontrollera det). Sätter vi in detta i sambandet t =, så får vi två möjligheter. Antingen är = 4 = d.v.s. = eller också är = vilket är orimligt eftersom > 0. Således har ekvationen endast lösningen =. Övningar. Skissa kurvorna y =, y = 0 respektive y =. Förenkla så långt som möjligt: a) 4 b) ( ) / 7 c) 8 d) 6 0 e) 000 / f) 6 /4 g) 4/ h) 6+y y ( ) i samma figur. 6
4. Förenkla: a) lg 0 b) lg 000 c) ln e d) e ln e) lg 0 π 5. Sätt lg = a och lg = b. Uttryck i a och b: a) lg 4 b) lg 6 c) lg 8 6. Skriv aln + bln y + c som en enda logaritm. 7. Lös ekvationerna: a) lg = b) ln = c) = 8. Många fysikaliska förlopp, te radioaktivt sönderfall, brukar beskrivas av ett eponentiellt avtagande av formen y = Ae kt där A och k är positiva konstanter och t är tiden. I dessa sammanhang talar man ofta om halveringstiden d.v.s. den tid det tar för funktionen att avta från begynnelsevärdet till halva detta värde. Betrakta funktionen y = 0e t. Vilken halveringstid har denna funktion? 9. Lös ekvationerna: a) + = 45 b) 6 + + 6 = c) + 0 / = +5 (*) 40. Förenkla: a) lg 0000 lg 0 + lg(0 000) lg lg 000 + lg 0 + lg 0 b) 5 log 000 5 log 40 c) 4log 4 8log 64 9 log 9log + 7 log 9 d) ln (ln ) e (*) (*) 4. Vilket tal är störst? a) / eller /9 b) ( 000 000) 000 eller 000 (000 000 ) 4. Lös ekvationerna: a) lg lg 7 = b) 5 + 5 = 40 c) ( ) + + = 7 d) e e 6 = 0 e) e + 4 e = 4 f) 5 5 = 5 (*) 4. Ljudintensiteten, I, brukar jämföras med enreferensintensitet I 0 genom att man anger ljudintensitetsnivån L = 0 lg I I 0. Den på så sätt beräknade ljudintensitetsnivån sägs vara angiven i decibel, db. a) Hur många decibel ökar L om ljudintensiteten I fördubblas? b) Man önskar sänka intensitetsnivån från 70 till 50 db. Hur mycket måste ljudintensiteten sänkas? 7
6 Trigonometri De trigonometriska funktionerna definieras med hjälp av nedanstående figur, så att cos v är -koordinaten och sinv är y-koordinaten för punkten P på enhetscirkeln. sin v y P = (cos v,sin v) O v cos v Vinkeln v räknas positiv moturs från positiva -aeln. Vi mäter vinkeln i radianer, så att ett varv är π radianer (dvs samma mätetal som omkretsen på enhetscirkeln). Övningar 44. Omvandla följande vinklar till radianer: a) 0 b) 90 c) 80 d) 45 e) 0 f) 60 45. Omvandla följande vinklar till grader: a) π b) π c) 5π 6 d) π 4 e) π f) π 46. Bestäm, med hjälp av Pythagoras sats, kateterna i följande två rätvinkliga trianglar: 45 45 0 60 47. Bestäm, med hjälp av föregående uppgift: a) sin π 4 b) cos π 4 c) sin π d) cos π e) sin π 6 f) cos π 6 8
48. Titta i enhetscirkeln. Uttryck med hjälp av cos v och sin v: a) sin(v + π) b) cos(v + π) c) sin(v + π) d) cos(v + π) e) sin(v + 4π) 49. Bestäm a) sin π 4 b) cos π 4 c) cos 5π 6 d) sin π e) sin 5π 4 50. Ytterligare ett samband, som man kan se i enhetscirkeln, är trigonometriska ettan Varför är detta sant? sin + cos =. 5. Förenkla sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ. 5. Beräkna a) cos då sin = b) sin då cos = c) cos då sin = d) sin då cos = 5. Betrakta nedanstående figur. v b a) Bestäm sin u, cos u, sin v och cos v b) Vilka av dem är lika? c) Vad råder det för samband mellan u och v? u d) Vilka trigonometriska räknelagar kan man således se i denna figur? 54. Titta på enhetscirkeln igen. Låt Q vara punkten med koordinaterna (cos u,sin u) och P punkten med koordinaterna (cos v,sin v). a) Hur ska u väljas för att P och Q ska få samma -koordinat? b) Hur ska u väljas för att P och Q ska få samma y-koordinat? c) Vad blir sambandet mellan u och v om man vet att cos u = cos v? d) Vad blir sambandet mellan u och v om man vet att sin u = sin v? Ur den föregående uppgiften kan vi sammanfatta: sin = sin y om och endast om a = y + n π eller = (π y) + n π för något heltal n cos = cos y om och endast om = ±y + n π för något heltal n () (0) 9
Eempel 7 Lös ekvationen cos = cos. Av sambandet () följer att cos = cos om och endast om = + n π eller = + n π för något heltal n. Det första alternativet ger = n π och det andra ger = n π d.v.s. = n π/ Svar: = n π eller = n π/ för något heltal n. Eempel 8 ( Lös ekvationen sin + π ) ( ) 5π = sin 4 6. Denna ekvation är, enligt samband (0), uppfylld om och endast om + π 4 = 5π 6 + n π eller + π 4 = π ( 5π 6 ) + n π för något heltal n. Det första alternativet ger + π 4 = d.v.s. = d.v.s. = för något heltal n. Alternativ två ger + π 4 π = π d.v.s. = n π 5π 6 + n π 7π + n π 7π 4 + n π ( ) 5π 6 + n π för något heltal n, men eftersom den sista likheten är falsk för alla heltal n, oavsett vad är, saknar denna ekvation lösningar. Svar: = 7π 4 + n π för något heltal n. 0
Övningar 55. Bestäm alla lösningar till a) sin v = 0 b) cos v = 0 c) sin v = d) cos v = e) sin v = f) cos v = g) sin v = h) cos v = 56. Lös ekvationerna a) sin = sin b) cos + cos = 0 Några trigonometriska samband: sin(v + π) = sin v och cos(v + π) = cos v () ( π ) sin v = cos v ( π ) och cos v = sin v () sin( v) = sin v och cos( v) = cos v (4) sin + cos = (trigonometriska ettan) (5) cos( + y) = cos cos y sinsin y (6) cos( y) = cos cos y + sinsin y (7) sin( + y) = sin cos y + cos sin y (8) sin( y) = sin cos y cos sin y (9) sin = sin cos (0) cos = cos sin = cos = sin () sin = cos = cos + cos Sambanden () och (5) har vi redan tittat på och räknelagarna () och (4) ser man enkelt i enhetscirkeln. Sambanden (6) (9) är inte lika enkla att se, men om man lyckats visa dessa så följer (0) och () som specialfall med = y. () ()
Slutligen fås () och () ur (). Vi tar och tittar på ett bevis av (7). Bevis Titta på nedanstående figur. sin siny d y sin( y) d y y cos cos y cos( y) Vi ser två likadana likbenta trianglar utritade, toppvinkeln hos dem är y. Då måste baserna i dessa trianglar vara lika långa, säg att längden är d. Dessa baser utgör dock hypotenusan i de två rätvinkliga skuggade trianglarna, så med hjälp av Pythagoras sats erhålls sambandet (cos y cos ) + (sin siny) = d = ( cos( y)) + (sin( y)) och om vi utvecklar detta och använder trigonometriska ettan så får vi direkt att cos( y) = cos cos y + sin sin y vilket skulle visas. Övningar 57. a) Hur ser man (), d.v.s. att sin(v + π) = sin v och cos(v + π) = cos v? b) Hur ser man (4), d.v.s. att sin( v) = sin v och cos( v) = cos v?
genom att använda samban- c) Visa att sin cos = den () på sidan. och cos = + cos 58. Tangens för en vinkel definieras som tan v = sinv cos v. Bestäm a) tan 0 b) tan π c) tan π 4 d) tan π e) tan π 6 f) tan π 59. Uttryck som funktion av a och α i figurerna nedan. a) a α b) α c) α a a d) a α e) α a f) α a (*) 60. Visa att ( a) sin v + π ) ( = cos v b) cos v + π ) ( = sinv c) tan v + π ) = tan v I uppgift c) förutsätts att v nπ/, där n är heltal (varför?). 6. Utnyttja att π = π π 4 för att beräkna sin π och cos π. (*) 6. Beräkna sin( + y) då sin = 4, sin y = [0, π ]. och både och y ligger i intervallet (*) 6. Visa att a) + tan = cos b) tan(v + π) = tan v.
7 Geometri Räta linjer i planet Vi förutsätter hela tiden att vi har ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem, och att det är känt hur lägen i planet kan beskrivas m.h.a. koordinater. Nedan följer ett eempel. y (, ) (, ) (, ) Nu ska vi titta på hur man beskriver linjer m.h.a. ekvationer. Ekvationerna kommer att ha formen a + by = c, där a, b och c är konstanter. Innebörden av ekvationen är att en punkt ligger på linjen om och endast om dess koordinater (,y) uppfyller linjens ekvation. Eempel 9 Linjen i figuren nedan har ekvationen + y = (, ) y (, ) + y = (4, ) Vi ser t.e. att punkten (,) ligger på linjen, ty med =, y = får vi att + y = + = d.v.s. punkten (, ) uppfyller linjens ekvation. Kontrollera själv att (4,) ligger på linjen, men att (,) inte gör det. Det enklaste sättet att beskriva en linje är kanske att ange en punkt ( 0,y 0 ) på linjen och en riktningskoefficient k. 4
y ( 0, y 0 ) v k Ur figuren framgår att k = tan v, förutsatt att inte linjen är lodrät. Vinkeln v kallas linjens riktningsvinkel, och införs moturs från positiva -aeln. I bilden ovan är vinkeln spetsig och därmed är k > 0. För trubbig riktningsvinkel fås k < 0. Vi utesluter i fortsättningen lodräta linjer. Vi låter nu ( 0,y 0 ) vara en fi punkt på linjen och (,y) ( 0,y 0 ) en godtycklig punkt. Då följer av figuren nedan att (,y) ligger på linjen om och endast om y y 0 = k. 0 y ( 0, y 0 ) (, y) 0 y y 0 v k Multiplicerar vi slutligen upp nämnaren så får vi linjens ekvation på enpunktsform: y y 0 = k( 0 ) Observera att även punkten ( 0,y 0 ) uppfyller den inramade ekvationen, så denna ekvation beskriver samtliga punkter som ligger på linjen. Eempel 0 Bestäm ekvationen för den linje som har riktningsvinkeln π som går genom punkten (,). Var skär linjen y-aeln? Lutningen är k = tan π = och den givna punkten ( 0,y 0 ) = (,), så enpunktformen ger linjens ekvation som y = ( ), d.v.s. y = +. 5 och
Efter den sista överflyttningen fick vi linjens ekvation på formen y = k + m. Vad k betyder vet vi redan, det är linjens lutning. Betydelsen av m ser vi om vi sätter in = 0. Vi finner att då = 0, så blir y = m, d.v.s. talet m anger y-koordinaten för den punkt där linjen skär y-aeln. y (, ) π/ Linjen i eemplet har således ekvationen y = + och den skär y-aeln i y =. Observera att m ger linjens skärning med y-aeln, så m anger alltså hur högt upp linjen ligger. Om vi behåller samma k men ökar värdet på m, så får vi därför en ny linje, med samma lutning, men högre upp. Vår ursprungliga linje har parallellförflyttats. y y = k + m, m > m y = k + m I linjär algebra kommer du att bl.a. studera linjära ekvationssystem. Då ekvationssystemet har två obekanta variabler, kan det tolkas geometriskt; man skär linjer med varandra. På motsvarande sätt kan ekvationssystem med tre obekanta tolkas som skärningen mellan plan i rummet. 6
Eempel Bestäm de punkterna som ligger både på linjen + y = och på linjen + y =. Vi ska alltså bestämma de punkter vilkas koordinater (, y) uppfyller båda ekvationerna. Vi löser ut ur den första ekvationen, = y, och sätter in i den andra. Då får vi ( y) + y = d.v.s. y =. Sätter vi sedan in detta i den första ekvationen så fås =. Således har vi funnit att linjerna har en gemensam punkt med koordinater (, ). För att se att vi räknat rätt, prövar vi svaret. Vi sätter in =, y = i båda ekvationerna (gör det) och kontrollerar att höger- och vänsterled blir lika. Dessutom kan vi grafiskt se att resultatet är rimligt, genom att rita de båda linjerna: y + y = + y = Ur figuren framgår tydligt att linjerna har en gemensam punkt och de uträknade koordinaterna förefaller stämma med skärningspunktens. Linjens normal En linje som skär en given rät linje L under rät vinkel kallas en normal till L. y normal v v L v + π/ 7
Om linjen L har riktningsvinkel v, kommer riktningskoefficienten att vara k = tan v. En normal till L har då riktningsvinkel v + π/ och riktningskoefficient k n = tan(v + π/). Av övning 60 på sidan framgår dock att tan(v + π/) = tan v, och således är k n = k (förutsatt att L ej är vågrät eller lodrät). Eempel Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkten (5,) och är normal till linjen L : + y = 7. Linjen L kan skrivas y = 7, d.v.s. den har riktningskoefficient k =. Den sökta normalen har då riktningskoefficient k n = = och går genom punkten k (5,). Normalens ekvation är därför y = ( 5) d.v.s. y =. Övningar 64. Ange ekvationen för linjen som går genom punkten med koordinater (,) och som har riktningsvinkeln a) π/6 b) π/ + π/6 c) π/ π/6 d) π π/6 65. Ange riktningskoefficient och riktningsvinkel för linjen a) y = + b) + y = c) + y = d) y = 7 e) + y = 66. Bestäm, för linjerna i uppgift 65, deras skärning med - och y-alarna. Använd detta för att rita in dem i ett koordinatsystem. 67. Bestäm ekvationen för räta linjen genom punkterna (, ) och (, ), t.e. genom att först bestämma linjens riktningskoefficient. Bestäm därpå linjens skärning med koordinatalarna och verifiera resultatet i figur. 68. Visa att punkterna (,), (4, ) och (,6) ligger i rät linje. Verifiera i figur. 69. I följande deluppgifter ges ekvationerna för två räta linjer. Bestäm linjernas skärningspunkt, dels grafiskt, dels algebraiskt. Bestäm även linjernas skärningsvinkel, t.e. genom att relatera denna till de båda riktningsvinklarna (rita figur). a) { y = 6 + y = b) { + y = y = 0 c) { + y = + y = d) { + y = + y = 4 70. Bestäm ekvationen för den räta linje som skär linjen + y = på y-aeln, under rät vinkel. (*) 7. Beräkna vinkelräta avståndet från origo till räta linjerna a) + y = 6 b) + y = 6 c) + y = p t.e. genom att bestämma skärningen med koordinatalarna och räkna ut en triangelarea på två sätt. 8
Avståndsformeln och cirkelns ekvation Betrakta två punkter (,y) och ( 0,y 0 ). Avståndet mellan dem är d = 0 + y y o = ( 0 ) + (y y o ) vilket är en omedelbar följd av Pythagoras sats. y (, y) ( 0, y 0 ) 0 y y 0 En cirkel består av alla punkter (,y) på ett visst givet avstånd r > 0 från medelpunkten ( 0,y 0 ). Punkten (,y) ligger alltså på cirkeln om och endast om ( 0 ) + (y y o ) = r. Eftersom båda leden är positiva är detta samband ekvivalent med det samband vi får om vi kvadrerar båda led. Vi har således fått fram följande. Cirkeln kring punkten ( 0,y 0 ), med radie r > 0, har ekvationen ( 0 ) + (y y o ) = r. Om vi utvecklar kvadraterna, får ekvationen följande form: eller, omskrivet, Formen hos uttrycket är följande: 0 + 0 + y y 0 y + y 0 = r 0 + y y 0 y = r 0 y 0. Vänsterledet innehåller kvadrattermer och y samt linjära termer A och By, där A och B är konstanter (A = 0, B = y 0 ). Däremot finns inga blandade termer med, dvs inga y-termer. Högerledet är konstant C (där C = r 0 y 0). Varje ekvation av denna form, dvs + A + y + By = C beskriver antingen en cirkel, en punkt eller ingenting, beroende på hur konstanterna A, B och C ser ut, vilket vi ser i följande eempel. Eempel Beskriv geometriskt följande mängder: a) + y + 4y + = 0 b) + y + 4y + 5 = 0 c) + y + 4y + 6 = 0. 9
a) Kvadratkomplettering ger d.v.s. ( ) + (y + ) + = 0 ( ) + (y + ) = vilket beskriver en cirkel med radie kring punkten (, ). b) Motsvarande kalkyl som ovan ger ( ) + (y + ) = 0 vilket är uppfyllt endast för punkten (,y) = (, ). c) På samma vis fås, efter kvadratkomplettering, sambandet ( ) + (y + ) = vilket är en orimlighet eftersom vänsterledet ej kan bli negativt. Det finns inga punkter som uppfyller sambandet. Övningar 7. Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (,4) och radie 5. Rita figur. En speciell punkt bör framgå direkt ur din figur. Kontrollera den i ekvationen. 7. Tolka ekvationerna a) + + y 6y = 6 b) + + y 6y =. c) Ange det tal k för vilket ekvationen ++y 6y = k uppfylls av en enda punkt. 74. a) Teckna villkoret för att en punkt (,y) ska ha samma avstånd till punkten (,) som till punkten (,4). Kvadrera villkoret b) Kvadrera villkoret och härled en ekvation som du sedan tolkar och åskådliggör i en figur. 0
8 Derivator Vi betraktar problemet att bestämma tangenten till grafen för en funktion f i en given punkt 0. y f( 0 + h) f( 0 ) 0 0 + h För att finna tangenten i punkten ( 0,f( 0 )), approimerar vi denna med en sekant genom punkterna ( 0,f( 0 )) och ( 0 + h,f( 0 + h)), där 0 + h ligger nära 0. Riktningskoefficienten för denna sekant är f( 0 + h) f( 0 ) = f( 0 + h) f( 0 ). ( 0 + h) 0 h Om vi låter h vara nära noll, kommer sekanten att vara en god approimation av tangenten. Vi får tangentens riktningskoefficient som gränsvärdet av f( 0 + h) f( 0 ) h då h går mot noll (om gränsvärdet eisterar). Detta gränsvärde kallas för derivatan av funktionen f i punkten 0 och betecknas f ( 0 ). Eempel 4 Bestäm derivatan av f() =. f( + h) f() = ( + h) = + h + h + h = + h + h. h h h Då vi låter h 0 kommer detta uttryck att närma sig, d.v.s. f () =.
Räknelagar för derivator: Om a och b är konstanter och f och g är deriverbara så är d d (a f() + b g()) = a f () + b g () (4) d d (f()g()) = f ()g() + f()g () (5) d d f() g() Derivata av sammansatt funktion. = f ()g() f()g () (g()) om g() 0 (6) Antag att z = f(y) och y = g(). Om y elimineras får vi att z = f (g()) = h() är en funktion av som är sammansatt av f och g. Antag att g är deriverbar i punkten och att f är deriverbar i punkten y = g(). Då är h deriverbar i och det gäller att: h () = f (y) g () = f (g()) g () (7) Derivator av några elementära funktioner d sin = cos (8) d d cos = sin (9) d d d tan = cos = + tan (0) d d α = α α () d d ln = () d d e = e () Eempel 5 Funktionen h() = ln ( + ) kan vi se som sammansättningen av funktionerna f och g, h() = f (g()), där f(y) = ln y och g() = +. Eftersom f (y) = y och g () =, följer då enligt räknelag (7) att h () = f (y) g () = y = +. Övningar 75. Beräkna derivatan av a) 7 b) + 5 + c) 4 + d) e) e f) + g) sin cos h) ln sin
76. Derivera och förenkla så långt som möjligt: a) sin( + π) b) ln c) cos d) ln e) f) e + g) e ln h) i) sin (*) 77. Funktionen f:s graf är ritad i nedanstående figur. Hur ser derivatans graf ut? Skissera den. y 4 5
(*) 9 Binomialutveckling. Vi har nu bl.a. tagit upp kvadreringsregeln (a + b) = a + ab + b. Det är även lätt att genom direkt uträkning visa att (a + b) = a + a b + ab + b. Observera att termerna i högerledet innehåller fallande potenser av a och stigande potenser av b och att eponentsumman alltid är. Nu vore det trevligt om man på ett enkelt sätt kunde skriva upp en motsvarande regel för utveckling av (a + b) n, där n är ett godtyckligt positivt heltal. För detta behövs dock några förberedelser. Vi definierar n! som { n! = n, om n är ett positivt heltal 0! =. Talet n! kallas n-fakultet och betyder således produkten av de n första positiva heltalen, om n är ett positivt heltal. Uttrycket ovan måste tolkas med viss försiktighet, det är inte säkert att alla talen i början av högerledet skall vara med. Eempelvis är! = och ingenting annat. En tolkning av n! är antalet sätt på vilket man kan ordna n stycken objekt. Vi kan direkt observera en räknelag för fakulteter: (n + )! = (n + ) n! (4) då n är ett positivt tal. En av anledningarna till att låta 0! = är att då blir (4) uppfylld även för n = 0. Vidare definierar vi n över k som ( ) n n! = k k!(n k)!. Om vi stryker en massa gemensamma faktorer i täljare och nämnare får vi sambandet ( ) n n (n ) (n (k )) =. k k! Eempel 6 ( ) 8 = 8!! 5! = 8 7 6 5 4 4 5 = 8 7 6 = 56. ( ) n En tolkning av talen, som även kallas binomialkoefficienter, är antalet sätt på vilket k man bland n stycken saker kan plocka ut k stycken (om man ej bryr sig om i vilken ordning man valt dem). Du kan gärna försöka övertyga sig om att så är fallet genom att till eempel låta n =,4 eller 5 och låta k variera mellan 0 och n. 4
Eempel 7 På hur många olika sätt kan man välja ut två stycken olika heltal mellan och 0? Först väljer vi ett tal, vilket kan göras på 0 sätt. Därefter väljs det andra talet, vilket kan göras på 9 sätt. Totala antalet möjligheter blir således 0 9. Då har vi dock fått med samma uppsättningar dubbla gånger; vi har t.e. fått med både {,8} och {8,}. Om vi ej bryr oss om i vilken ordning vi valt talen, blir totala antalet möjligheter 0 9 = ( 0 ). Om vi går tillbaka till utvecklingen av (a + b) = (a + b)(a + b)(a + b) så ser vi att vi ur varje parentes skall välja ut antingen ett a eller ett b. ( Termer ) av typen a fås genom att välja b ur 0 stycken parenteser och detta kan göras på sätt. Termer av 0 ( ) typen a b fås genom att välja ut b ur en av parenteserna, vilket kan göras på sätt och så vidare. Med detta resonemang fås att ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) = a + a b + ab + b 0 På motsvarande sätt får man det allmänna binomialteoremet: ( ) ( ) ( n n n (a + b) n = a n + a n b + + 0 k ) a n k b k + + Binomialkoefficienterna skrivs ofta upp i ett schema som kallas Pascals triangel. ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 0 4.... ( ) n b n. (5) n Denna triangel gömmer många intressanta samband. Varje tal inne i triangeln är t.e. summan av de två tal som står närmast ovanför, vilket gör att det är väldigt enkelt att skriva upp triangeln på en enklare form. 5
4 6 4.... Likaså ser man att Pascals triangel är symmetrisk, vilket resulterar i räknelagen ( ) ( ) n n =. (6) k n k Övningar 78. Beräkna 0!,!,!,..., 6!. 79. Beräkna ( ) 7 a) b) ( ) 5 c) ( ) 5 d) ( ) e) ( ) 000 998 80. a) Utveckla (a + b) och ( + y) 4. b) Jämför svaren med Pascals triangel. Vad blir (a + b) 5? Utveckla och kontrollera. c) Utveckla (a + b) 4 och ( y) 4. 8. Linus har råkat i penningbekymmer, hans studiemedel är nästan slut. På natten innan lördagen uppenbarar sig dock i Linus dröm sju tal mellan och 5. När Linus vaknar är han övertygad om att de tal han drömt om är denna lördags lottorad. Glad i hågen rusar Linus till närmaste On-Line-inlämning och lämnar in en kupong med två identiska rader (han måste tippa minst två rader och vill inte lämna in någon rad som ej ger högsta vinsten). Hur stor är sannolikheten att Linus vinner högsta vinsten, så att han kan leva på något annat än vatten och bröd tills nästa utbetalning av studiemedel sker? 6
Facit. a) 7 b) 5/6 c) /7 d) 5/ e) 7 f) 9 g) 8 h) 0. a) 4b5 a b) 8a b 6 c) d). a) a + ab + b b) a ab + b c) 9a 0ab + 5b d) a b e) a + a b + ab + b f) a a b + ab b g) + y h) y 4. a) (a b)(a + b) b) (5 + y)(5 y) c) (5 y) d) ( + )( + ) e) (4 + )(4 ) f) ( y) g) ( )( + ) 5. a) 5 + b) + 6. a) b) 4rs c) + 5 e) a + b a b 7. y = ab a + b d) (a,b 0, a b) f) a a + b (a b) och av detta kan vi se att y < a och y < b. 8. a) a + b + c + ab + ac + bc b) a + 4b + 9c 4ab 6ac + bc c) a + b + c + a b + ab + a c + ac + b c + bc + 6abc 9. a) 6 y 6 b) 7 + y 7 0. a) ( )(9 + + ) b) 5(5 y) c) ( y)( + y)( + 4y ) d) ( ) ( + ) e) ( y)( + y)( y + y )( + y + y ). a) b a (b 0, a b) b) a + a (a,, ) c) 4 d). a) + 5 b) + + (,0,) c) + 4 0 4. a) Kvot + + 5 + 5 och rest b) Kvot + + och rest 0 c) Kvot + 0 5 och rest 08 d) P() =, P() = 0 och P( ) = 08. e) Utgå från sambandet (6) på sidan 4, multiplicera båda led med nämnaren q() = a och sätt in ett listigt valt -värde. 7
5. a) 0 b) 00 + c) 0. 6. a) = b) = c) = 9 d) = 7. a) = 0 eller = 6/5 b) = eller = c) = 4 eller = d) = / eller = /7 e) = eller = 4 f) = 8. a) = 4 eller = b) = a eller = b c) = ± 5 9. a) = eller = ± 5 0. a) ( + 4)( ) b) ( )( + ). 5 + 6 = 0 är väl den enklaste. a) p b) q b) =, eller c) =. a) = ± eller = ±/ b) =, eller c) = d) = 4 e) = ± eller = ± 5 f) =,, eller 4 4. a = 4 ger = /, a = 4 ger = 5 5. a) b) 4 c) 8/9 d) 8/9 6. a) = eller = 8 b) = 5 eller = c) < < 7 d) 6 eller 7. a) = b) = eller = 7 c) alla 0 d) lösning saknas 8. a) = 4 b) = 6 eller = 9/ c) =, 4, 7 eller = 9. a) = 0 eller = 4/ b) < < eller < < c) = d) = ± eller = ±4 e) = 6 eller = 4 0. a) < b) eller c) 5 < / eller d) 5 e) 0 < < eller > f) < < eller < < 4. a) < < eller < < 4 b) 6 < < eller < < 6 c) < / eller 0 < < d) / < / eller <. Låt din miniräknare rita kurvorna, och titta om det ser likadant ut som i dina figurer. a) b) c) d) 7648 e) 0 f) 8 g) / h) y 4. a) b) c) / d) e) π 8
5. a) a b) a + b c) a 6. ln (e c a y b) 7. a) = 0 = /0 b) = e / c) = ln ln = log 8. t = ln. 9. a) = b) = 0 eller = c) = 40. a) 4/ b) c) d) 0 4. a) /9 (ty / = 8 /9 och /9 = 9 /9 ) b) 000 (000000 ) 4. a) = 4900 b) = c) = eller = ln ln = log d) = ln e) = ln f) = ln ln 5 = 5 log 4. a) 0 lg db b) Intensiteten måste minskas till en hundradel av ursprungsvärdet 44. a) 0 b) π c) π d) π 4 e) π 6 f) π 45. a) 60 b) 0 c) 50 d) 45 e) 70 f) 540 46. Den vänstra figuren har kateterna Den högra figuren har kateterna respektive 47. a) b) c) d) e) 48. a) sin v b) cos v c) sin v d) cos v e) sin v f) 49. a) b) c) 50. Detta följer av Pythagoras sats d) e) 5.. 8 5. a) 0 b) ± c) ± d) Detta går ej, ty cos = saknar lösning 5. a) sin u = b, cos u = a, sinv = a, cos v = b b) sin u = cos v och cos u = sin v c) u = π v och v = π ( u π ) ( π ) d) cos v = sin v och sinv = cos v 9
54. a) u = v + n π eller u = v + n π (där n är ett heltal) b) u = v + n π eller u = π v + n π (där n är ett heltal) c) samma svar som i a) d) samma svar som i b) 55. a) v = nπ b) v = π + nπ c) v = π + n π d) v = n π e) v = π 6 + n π eller v = 5π 6 + n π f) v = π + n π eller v = π + n π g) v = π 4 + n π eller v = π 4 + n π h) v = π 4 + n π eller v = π 4 + n π 56. a) = nπ eller = π + nπ b) = π + nπ eller = π + n π 57. a) Vad händer om man roterar vinkeln ett halvt varv? b) Vad händer om man roterar vinkeln v medurs istället för moturs? 58. a) 0 b) 0 c) d) e) 59. a) = asin α b) = atan α c) = a/tan α d) = acos α e) = a/cos α f) = a/sin α. 6. sin π = 6 4 6. + 5 cos π = 6 + 4 f) eisterar ej 6. a) Sätt vänsterledet på gemensam nämnare och använd trigonometriska ettan b) Använd definitionen av tan(v + π) och resultatet i uppgift 48 64. a) y = ( ) b) y = ( ) c) y = ( ) d) y = ( ) 65. a) k =, v = π/4 b) k =, v = π/4 c) k =, v = π/4 d) k = /, v = π/6 e) k =, v = π/ 66. Linjerna skär - och y-alarna i punkterna a) (, 0) och (0, ) b) (, 0) och (0, ) c) ( /, 0) och (0, /) d) (7,0) och (0, 7/ ) e) ( /,0) och (0, ) 40
67. y = 5 skär koordinatalarna i punkterna (5/, 0) och (0, 5) 68. Bestäm linjen som innehåller de båda första punkterna och kontrollera att den tredje ligger på linjen. 69. a) Skärningspunkt (5/, /), skärningsvinkel π/4 π/4 = π/ b) Skärningspunkt (/( + ),/( + )), skärningsvinkel 5π/6 π/4 = 7π/ c) Linjerna har inga gemensamma punkter (de är parallella) d) Linjerna sammanfaller (ekvationerna uttrycker samma linje), skärningsvinkel 0 70. y = / 7. a) 6/ b) 6/ c) p / 7. ( + (y 4) = 5 7. a) En cirkel med radie 4 kring punkten (,). b) Det finns inga punkter (,y) som uppfyller ekvationen. c) k = 0 74. a) ( ) + (y ) = ( + ) + (y 4) b) y + 5 = 0, mittpunktsnormalen till sträckan mellan (,) och (,4). 75. a) 0 b) + 0 c) + 4 d) f) 76. a) cos b) f) ( + )e + g) (cos sin ) = cos h) g) c) cos sin d) ln e) sin e) ( + )e cos ln sin h) 4 /4 i) sin cos 77. y 4 5 4
78.,,, 6, 4, 0, 70. 79. a) b) 0 c) 0 d) ( ) = 78 e) ( ) 000 = 499500 80. a) a + a b + ab + b respektive 4 + 4 y + 6 y + 4y + y 4 b) a 5 + 5a 4 b + 0a b + 0a b + 5ab 4 + b 5 c) 6a 4 + a b + 4a b + 8ab + b 4 respektive 6 4 y + 4 y 8y + y 4 ( ) 5 8. Antal olika lottorader är, så chansen är ( 7 5 ) = 67450 7 4
Svar till diagnostiskt prov. = 5.. 5 a b a + b 4. = + 5 4 eller = 5 4 5. = eller = 5 6. < < 7. a 7 8. Funktionens största värde är f( ) = 5 och minsta värdet är f() =. y 9. Figur E 0. f () = + ( + ) e.. cos v =. = π 6 + nπ eller = 5π 6 + nπ för något heltal n 4