Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.

Relevanta dokument
Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

a (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.

Några saker att tänka på inför dugga 2

SF1625 Envariabelanalys

x 1 1/ maximum

Teorifrå gor kåp

Lösningsförslag TATM

Tentamen i Envariabelanalys 1

också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

MA2047 Algebra och diskret matematik

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

SF1625 Envariabelanalys

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

Lösningsförslag TATM

arcsin(x) udda ( x) varken udda eller jämn alla reella tal ( 0, ) 1. y=a 1 x udda/jämn Värdemängd derivatan Definitionsmängd Arcusfunktioner

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.

x = a är nödvändigt villkor för deriverbarhet i denna x = a } { f är högerkontinuerlig i punkten x = a } { f är vänsterkontinuerlig i punkten

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

ARCUSFUNKTIONER. udda. arcsin(x) [-1, 1] varken udda eller jämn udda. arccos(x) [-1, 1] [ 0, π ] arctan(x) alla reella tal π π. varken udda eller jämn

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

Matematik 1. Maplelaboration 1.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

1 Primitiva funktioner

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

P03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till tentamen TEN1 i Envariabelanalys I (TNIU 22)

Kontinuitet och gränsvärden

Dugga 2 i Matematisk grundkurs

5B1134 Matematik och modeller

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

6. Samband mellan derivata och monotonitet

TATM79: Föreläsning 6 Logaritmer och exponentialfunktioner

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Lösningar kapitel 10

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Lösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

Om för en reellvärd funktion f som är definierad på mängden D gäller följande

Lösningsförslag TATM

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler

Transkript:

SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+ } Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten a Definition (Kontinuitet på ett intervall En funktion är kontinuerlig i intervallet (a, b om den är kontinuerlig i varje punkt 0 i (a, b En funktion är kontinuerlig i intervallet [a, b] om den är kontinuerlig i varje punkt 0 i (a, b samt högerkontinuerlig i a, dvs lim f ( a och vänsterkontinuerlig i b dvs lim f ( b b a+, Definition (Kontinuerlig funktion Vi säger att y f ( är en kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd Satsen om mellanliggande värden Antag att 1 f ( är kontinuerlig på ett intervall och f ( antar värdena y1och y i intervallet (dvs f ( 1 y1 och f ( y för några 1 och i intervallet Då antar f ( varje värde mellan y1och y Med andra ord, om C är ett tal mellan y1och y så finns minst en punkt 0 sådan att f ( 0 C Följande sats är en direkt följd av satsen om mellanliggande värde Följdsats Antag att 1 f ( är kontinuerlig på intervallet [ a, b] och f (a och f (b har olika tecken dvs f ( a f ( b < 0 Då har f ( minst ett nollställe i [ a, b] dvs det finns minst en punkt 0 sådan att f ( 0 0 Sida 1 av 6

Eempel 1 Visa att ekvationen + 0 har minst en lösning i intervallet [1,] Lösning: Beteckna + Då gäller f ( 1 1och f ( 7 För funktionen f ( gäller: 1 f ( är kontinuerlig på intervallet [1,] och f (1 och f ( har olika tecken Enligt satsen om mellanliggande värden har funktionen minst ett nollställe i intervallet [1,] dvs ekvationen + 0 har minst en lösning Satsen om största och minsta värde på [ a, b] {The ma-min Theorem} Antag att f ( är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet [ a, b] Då har f ( ett största och ett minsta värde på [ a, b] Med andra ord: det finns 1 och så att f f ( för alla i intervallet [ a, b] ( 1 VIKTIGT: Följande funktioner är kontinuerliga funktioner i sina definitionsmängder y n, n positivt heltal (Definierad och kontinuerlig för alla reella tal n y, n positivt heltal, (Definierad och kontinuerlig om 0 y p, p>0 ett reellt tal (men ej heltal, (Definierad och kontinuerlig om 0 p y, p<0 ett reellt tal (men ej heltal, (Definierad och kontinuerlig om > 0 y sin, y cos, ( Definierade och kontinuerliga för alla (, sin π y tan(, (Definierad och kontinuerlig om + nπ cos cos y cot(, (Definierad och kontinuerlig om nπ sin y, y, y e, y a, a > 0, (Def och kont för alla (, y arcsin, (Definierad och kontinuerlig om 1 1 y arccos, (Definierad och kontinuerlig om 1 1 y arctan, ( Definierad och kontinuerlig för alla (, y arccot ( Definierad och kontinuerlig för alla (, Sida av 6

Om ff( och gg( är kontinuerliga då är f ( g(, ff(+gg(, ff( gg(, och ff( gg( funktioner ddärr gg( 0 också kontinuerliga Elementära funktioner: De elementära funktionerna är polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, eponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, inversa trigonometriska funktioner och alla kombinationer av dessa med hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning 5 + + sin Eempel + + 5sin + cos + + (tan + cos ln( + 1 är en 9 elementär funktion Viktigt: De elementära funktionerna är kontinuerliga inom sina definitionsmängder Eempel Låt + 9 a I vilka punkter är f ( definierad b I vilka punkter är f ( kontinuerlig Lösning: a Funktionen är definierad om följande två villkor är uppfyllda V1: 0 och V: 9 0 dvs Alltså D [ 0,1 (1, f b Funktionen är kontinuerlig för alla D f eftersom f ( är en elementär funktion Svar: Funktionen är definierad och kontinuerlig om [ 0,1 (1, Sida av 6

Styckvisdefinierade funktioner: I vår kurs, förutom elementära funktioner, betraktar vi också styckvisdefinierade funktioner Eempel 4 Följande styckvisdefinierade är INTE elementära: a om 0 b om > 0 + om < 0 om 0 När vi undersöker kontinuitet för styckvisdefinierade funktioner måste vi alltid separat undersöka ändpunkterna till funktionens definitionsintervall Med andra ord kollar vi för varje sådan ändpunkt a om följande krav för kontinuitet är uppfylld lim a lim a+ f ( a Eempel 5 I vilka punkter är funktionen y f ( a definierad b kontinuerlig om i + 1 om 0 ii + + 1 om > 0 om + om > Lösning: i Funktionen är definierad för alla Funktionen är kontinuerlig för < 0 (eftersom + 1är kontinuerlig för alla därmed för <0 Funktionen är också kontinuerlig för > 0 (eftersom + är kontinuerlig för alla därmed för >0 Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten 0 Vi har lim 1, lim 1, f ( 0 1 0 0+ Alltså lim lim f (0 1 0 0+ Därför är funktionen kontinuerlig för alla ii Funktionen är definierad för alla Funktionen är uppenbart kontinuerlig för < och för > Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten Vi har lim, lim 5, f ( + som medför att f ( är kontinuerlig i punkten 0 Sida 4 av 6

Alltså lim lim som medför att f ( är INTE kontinuerlig i punkten + Svar: i Funktionen är definierad och kontinuerlig för (, ii Funktionen är definierad (,, kontinuerlig för (, (, ÖVNINGSUPPGIFTER + ln Uppgift 1 För vilka är funktionen y 1+ e a definierad b kontinuerlig? Lösning: Funktionen är definierad för > 0 (notera att 1 + e > 1 för alla Eftersom f ( är en elementär funktion är den kontinuerlig inom sin definitionsmängd Alltså är funktionen kontinuerlig för > 0 Svar: Kontinuerlig och definierad för > 0 Uppgift För vilka är funktionen y sin + a definierad b kontinuerlig? Lösning: Detta är en elementär funktion som är definierad och kontinuerlig för sin 0 dvs för kπ Svar: Kontinuerlig och definierad för kπ Uppgift För vilka är funktionen a definierad b kontinuerlig? y + + sin Svar: Funktionen är kontinuerlig och definierad för alla reella tal (notera att + sin Uppgift 4 För vilka är funktionen y + 5 om 0 sin(4 om > 0 Sida 5 av 6

a definierad b kontinuerlig? Svar: a Definierad för alla reella tal b Kontinuerlig om 0 dvs (,0 (0, sin(4 (Notera att lim lim 4 0+ 0+ medan lim lim ( + 5 5 0 0 Uppgift 5 Kan man bestämma tal p så att funktionen f ( blir kontinuerlig i punkten sin p( om < ( om 6 om? 9 om > sin p( p sin p( p p Lösning: Vi beräknar i lim lim lim 1 ( p( ii f ( 6 och 9 ( ( + iii lim lim lim lim ( + 6 + + + + Funktionen är kontinuerligt i punkten om lim lim f ( + dvs om p 6 Härav p1 Svar: p1 Sida 6 av 6