SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+ } Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten a Definition (Kontinuitet på ett intervall En funktion är kontinuerlig i intervallet (a, b om den är kontinuerlig i varje punkt 0 i (a, b En funktion är kontinuerlig i intervallet [a, b] om den är kontinuerlig i varje punkt 0 i (a, b samt högerkontinuerlig i a, dvs lim f ( a och vänsterkontinuerlig i b dvs lim f ( b b a+, Definition (Kontinuerlig funktion Vi säger att y f ( är en kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd Satsen om mellanliggande värden Antag att 1 f ( är kontinuerlig på ett intervall och f ( antar värdena y1och y i intervallet (dvs f ( 1 y1 och f ( y för några 1 och i intervallet Då antar f ( varje värde mellan y1och y Med andra ord, om C är ett tal mellan y1och y så finns minst en punkt 0 sådan att f ( 0 C Följande sats är en direkt följd av satsen om mellanliggande värde Följdsats Antag att 1 f ( är kontinuerlig på intervallet [ a, b] och f (a och f (b har olika tecken dvs f ( a f ( b < 0 Då har f ( minst ett nollställe i [ a, b] dvs det finns minst en punkt 0 sådan att f ( 0 0 Sida 1 av 6
Eempel 1 Visa att ekvationen + 0 har minst en lösning i intervallet [1,] Lösning: Beteckna + Då gäller f ( 1 1och f ( 7 För funktionen f ( gäller: 1 f ( är kontinuerlig på intervallet [1,] och f (1 och f ( har olika tecken Enligt satsen om mellanliggande värden har funktionen minst ett nollställe i intervallet [1,] dvs ekvationen + 0 har minst en lösning Satsen om största och minsta värde på [ a, b] {The ma-min Theorem} Antag att f ( är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet [ a, b] Då har f ( ett största och ett minsta värde på [ a, b] Med andra ord: det finns 1 och så att f f ( för alla i intervallet [ a, b] ( 1 VIKTIGT: Följande funktioner är kontinuerliga funktioner i sina definitionsmängder y n, n positivt heltal (Definierad och kontinuerlig för alla reella tal n y, n positivt heltal, (Definierad och kontinuerlig om 0 y p, p>0 ett reellt tal (men ej heltal, (Definierad och kontinuerlig om 0 p y, p<0 ett reellt tal (men ej heltal, (Definierad och kontinuerlig om > 0 y sin, y cos, ( Definierade och kontinuerliga för alla (, sin π y tan(, (Definierad och kontinuerlig om + nπ cos cos y cot(, (Definierad och kontinuerlig om nπ sin y, y, y e, y a, a > 0, (Def och kont för alla (, y arcsin, (Definierad och kontinuerlig om 1 1 y arccos, (Definierad och kontinuerlig om 1 1 y arctan, ( Definierad och kontinuerlig för alla (, y arccot ( Definierad och kontinuerlig för alla (, Sida av 6
Om ff( och gg( är kontinuerliga då är f ( g(, ff(+gg(, ff( gg(, och ff( gg( funktioner ddärr gg( 0 också kontinuerliga Elementära funktioner: De elementära funktionerna är polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, eponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, inversa trigonometriska funktioner och alla kombinationer av dessa med hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning 5 + + sin Eempel + + 5sin + cos + + (tan + cos ln( + 1 är en 9 elementär funktion Viktigt: De elementära funktionerna är kontinuerliga inom sina definitionsmängder Eempel Låt + 9 a I vilka punkter är f ( definierad b I vilka punkter är f ( kontinuerlig Lösning: a Funktionen är definierad om följande två villkor är uppfyllda V1: 0 och V: 9 0 dvs Alltså D [ 0,1 (1, f b Funktionen är kontinuerlig för alla D f eftersom f ( är en elementär funktion Svar: Funktionen är definierad och kontinuerlig om [ 0,1 (1, Sida av 6
Styckvisdefinierade funktioner: I vår kurs, förutom elementära funktioner, betraktar vi också styckvisdefinierade funktioner Eempel 4 Följande styckvisdefinierade är INTE elementära: a om 0 b om > 0 + om < 0 om 0 När vi undersöker kontinuitet för styckvisdefinierade funktioner måste vi alltid separat undersöka ändpunkterna till funktionens definitionsintervall Med andra ord kollar vi för varje sådan ändpunkt a om följande krav för kontinuitet är uppfylld lim a lim a+ f ( a Eempel 5 I vilka punkter är funktionen y f ( a definierad b kontinuerlig om i + 1 om 0 ii + + 1 om > 0 om + om > Lösning: i Funktionen är definierad för alla Funktionen är kontinuerlig för < 0 (eftersom + 1är kontinuerlig för alla därmed för <0 Funktionen är också kontinuerlig för > 0 (eftersom + är kontinuerlig för alla därmed för >0 Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten 0 Vi har lim 1, lim 1, f ( 0 1 0 0+ Alltså lim lim f (0 1 0 0+ Därför är funktionen kontinuerlig för alla ii Funktionen är definierad för alla Funktionen är uppenbart kontinuerlig för < och för > Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten Vi har lim, lim 5, f ( + som medför att f ( är kontinuerlig i punkten 0 Sida 4 av 6
Alltså lim lim som medför att f ( är INTE kontinuerlig i punkten + Svar: i Funktionen är definierad och kontinuerlig för (, ii Funktionen är definierad (,, kontinuerlig för (, (, ÖVNINGSUPPGIFTER + ln Uppgift 1 För vilka är funktionen y 1+ e a definierad b kontinuerlig? Lösning: Funktionen är definierad för > 0 (notera att 1 + e > 1 för alla Eftersom f ( är en elementär funktion är den kontinuerlig inom sin definitionsmängd Alltså är funktionen kontinuerlig för > 0 Svar: Kontinuerlig och definierad för > 0 Uppgift För vilka är funktionen y sin + a definierad b kontinuerlig? Lösning: Detta är en elementär funktion som är definierad och kontinuerlig för sin 0 dvs för kπ Svar: Kontinuerlig och definierad för kπ Uppgift För vilka är funktionen a definierad b kontinuerlig? y + + sin Svar: Funktionen är kontinuerlig och definierad för alla reella tal (notera att + sin Uppgift 4 För vilka är funktionen y + 5 om 0 sin(4 om > 0 Sida 5 av 6
a definierad b kontinuerlig? Svar: a Definierad för alla reella tal b Kontinuerlig om 0 dvs (,0 (0, sin(4 (Notera att lim lim 4 0+ 0+ medan lim lim ( + 5 5 0 0 Uppgift 5 Kan man bestämma tal p så att funktionen f ( blir kontinuerlig i punkten sin p( om < ( om 6 om? 9 om > sin p( p sin p( p p Lösning: Vi beräknar i lim lim lim 1 ( p( ii f ( 6 och 9 ( ( + iii lim lim lim lim ( + 6 + + + + Funktionen är kontinuerligt i punkten om lim lim f ( + dvs om p 6 Härav p1 Svar: p1 Sida 6 av 6