TENTAMEN 9 jan 01, HF1006 och HF1008 Moment: TEN1 (Lnjär algebra), hp, skrftlg tentamen Kurser: Analys och lnjär algebra, HF1008, Lnjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1 Td: 115-1715, Plats: Campus Hannge Lärare: Rchard Erksson, Inge Jovk och Armn Hallovc Examnator: Armn Hallovc Betygsgränser: Maxpoäng = För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs, 19, 16, 1, 10 respektve 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN1: Utdelad formelblad Mnräknare ej tllåten Kompletterng: 9 poäng på tentamen ger rätt tll kompletterng (betyg Fx) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skrv endast på en sda av papperet Skrv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgfter skall markeras med kryss på omslaget ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas n tllsammans med lösnngar Fullständga lösnngar skall presenteras tll alla uppgfter ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgft 1 (p) a) Beräkna volymen av den parallellepped som spänns upp av vektorerna (1, 1, 1), (1,, ) och (1,, 5) b) Beräkna även volymen av den parallellepped som spänns upp av (1,, ), (, 1, ) och (1, 1, -7) c) Tolka svaret du får b Uppgft (1p) Bestäm k så att vektorerna (, 5, ) och (, 7k+1, 6) blr parallella Uppgft (p) Lös följande ekvatonssystem genom Gausselmnerng: z = 6 x y z = 8 x + 6y + 8z = 5 Uppgft (p) x + Lös olkheterna a) > 0 och b) x x + < 0
Uppgft 5 (p) Antag att vektorn är summan av de två vektorerna och a) (1p) Beräkna om =(1,5,9) och =( 1,, 1) b) (1p) Bestäm en vektor som är vnkelrät mot och har en negatv z-komponent Uppgft 6 (p) a) (1p) Bestäm ekvatonen för den lnje som går genom punkterna (0,1,5) och (1,1,6) b) (1p) Bestäm skärnngspunkten mellan denna lnje och planet x + y = 5 c) (p) Bestäm vnkeln mellan lnjen och planet Uppgft 7(p) Bestäm avståndet mellan de två parallella planen x + y z = 7 och x + y z = 0 Uppgft 8 (p) Låt (1 + ) z = 1 Bestäm z och arg(z) Uppgft 9 (p) Ekvatonen z z z + 6 = 0 har en lösnng z = 1+ Bestäm alla lösnngar 1 Uppgft 10 (p) Bestäm alla lösnngar tll ekvatonen z = 1 Uppgft 11 (p) x Låt A = V betraktar ekvatonen A v = k v med avseende på v = 1 Talet k är en y konstant Det är uppenbart att en lösnng ( den trvala lösnngen) tll ekvatonen är nollvektorn 0 v = 0 0 a) Bestäm de värden för k, för vlka ekvatonen har lösnngar v som nte är nollvektorn ( v ) 0 0 b) Bestäm alla lösnngar v för vart och ett av dessa k värden 0 Lycka tll
FACIT Uppgft 1 (p) a) Beräkna volymen av den parallellepped som spänns upp av vektorerna (1, 1, 1), (1,, ) och (1,, 5) b) Beräkna även volymen av den parallellepped som spänns upp av (1,, ), (, 1, ) och (1, 1, -7) c) Tolka svaret du får b 1 1 1 1 a) 1 = ( 15 + 8) ( 5 + ) + ( ) = 7 1 5 Volymen V1 = 7 1 = 7 ve b) 1 = ( 7 ) ( 1 + ) + ( 1) = 0 1 1 7 "Volymen" V=0 c)de tre vektorerna är lnjärt beroende ( lgger samma plan) Svar: a) V1 = 7 ve b) V=0, c) de tre vektorerna är lnjärt beroende ( lgger samma plan) Rättnngsmall: +1p för varje del Uppgft (1p)Bestäm k så att vektorerna (, 5, ) och (, 7k+1, 6) blr parallella Vektorerna (, 5, ) och (, 7k+1, 6) är parallella om det fnns ett tal t så att (, 7k+1, 6) = t (, 5, ) Härav får v tre skalära ekvatoner = t 7k + 1 = 5t 6 = t Från första (eller tredje) ekvatonen har v t = / Substtutonen den andra ekvatonen ger 7k + 1 = 15 / 7k = 17 / k = 17 /1 Svar: k = 17 / 1 Rättnngsmall: Allt korrekt=1p
Uppgft (p) Lös följande ekvatonssystem genom Gausselmnerng: z = 6 x y z = 8 x + 6y + 8z = 5 z = 6 x y z = 8 x + 6y + 8z = 5 R = R - R1 R = R+ R1 z = 6 0 + y + z = 0 + z = 1 z = 6 0 + y + z = R = R+ R 0 + 0 + 7z = 1 z = z = sätts n R ger y = Från R1 får v slutlgen x = 1 Svar: x = 1, y =, z = Rättnngsmall: +1p för korrekt Gaussmetoden med mndre räknefel +1p för korrekt svar Uppgft (p) x + Lös olkheterna a) > 0 och b) x x + < 0 a) Teckentabell: 1 x + 0 + + + 0 x + + 0 ej + def x + Alltså > 0 om x < eller x > 1 b) Först x x + = 0 x = 1, x = V kan faktorsera olkheten ( )( x ) < 0 1 och gen använda teckentabell
1 0 + + + x 0 x x + + 0 ej + def Alltså: x x + < 0 om 1 < x < Alternatv för b delen: V kan skssera grafen tll f ( x) = x x + Från grafen har v att x x + < 0 om 1 < x < Svar: a) De reella tal som uppfyller x < eller x > 1 dvs x (, ) (1, ) b) 1 < x < Rättnngsmall: a) allt korrekt =1p, b) allt korrekt =1p Uppgft 5 (p) Antag att vektorn är summan av de två vektorerna och a) (1p) Beräkna om =(1,5,9) och =( 1,, 1) b) (1p) Bestäm en vektor som är vnkelrät mot och har en negatv z-komponent a) = + = = (1,5,9) ( 1,, 1) = (,,10) Svar a) = (,,10) b) En vektor =(,, ) är vnkelrät mot om skalärprodukten =0 (1,5,9) (,, ) =0 +5 +9 =0 Det fnns oändlgt många lösnngar (även då z-komponenten <0) T ex = (,1, 1) Svar b) Oändlgt många lösnngar T ex = (,1, 1) Rättnngsmall: a) allt korrekt =1p, b) allt korrekt =1p
Uppgft 6 (p) a) (1p) Bestäm ekvatonen för den lnje som går genom punkterna (0,1,5) och (1,1,6) b) (1p) Bestäm skärnngspunkten mellan denna lnje och planet x + y = 5 c) (p) Bestäm vnkeln mellan lnjen och planet a) Lnjens rktnngsvektor ges av vektorn = (1,0,1) Om v väljer P som punkt på Lnjen blr lnjens ekvaton på vektorform (,, ) = (0,1,5) + (1,0,1) Svar a) (,, ) = (0,1,5) + (1,0,1) = b)lnjens ekvaton på parameterform: =1 =5+ planets ekvaton x + y = 5 Gemensam punkt (=gemensamt x,y,z) fås då t + 1 = 5 t = x =, y = 1, z = 9 Svar b) Skärnngspunkten är (,1, 9) c) Vnkeln mellan lnjen och planet fås med hjälp av skalärprodukten mellan lnjens rktnngsvektor och planets normalvektor Om v kallar vnkeln mellan dessa vektorer för u fås sedan den sökta vnkeln v som 90 cos =, där = = (1,1,0) och = = (1,0,1) (1,1,0) (1,0,1) cos = = 1 = 60 = 90 60 = 0 Svar c) (eller o 0 ) 6 Rättnngsmall: a) allt korrekt =1p, b) allt korrekt =1p c) Korrekt vnkeln mellan lnjens rktnngsvekor och planets normal =1p Allt korrekt=p Uppgft 7(p) Bestäm avståndet mellan de två parallella planen x + y z = 7 och x + y z = 0
Plan 1: x + y z 7 = 0 Plan : x + y z = 0 Metod 1 Välj en godtycklg punkt plan 1, tll ex P1 = (7,0,0) av formeln (fnns på formelblad): Ax1 + By1 + Cz1 + D 1 7 + 1 0 1 0 + 0 7 d = = = A + B + C 1 + 1 + ( 1) och beräkna avståndet tll plan med hjälp Svar: 7 Metod Välj en godtycklg punkt plan 1, ex (7,0,0) och en punkt plan, ex (1,0,1) Blda = (6,0, 1) Normera plan :s normalvektor: = (1,1, 1) = (,, ) Då blr avstånden mellan planen s projekton på, dvs = (6,0, 1) (1,1, 1) = Svar: Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p Uppgft 8 (p) Låt (1 + ) z = 1 Bestäm z och arg(z) 1+ 1 ( ) ) z = = = = 1 ) V kan ange varje faktor uttrycket på exponentalformen
e = 1, Därför e 1+ =, = e 1 e e 7 (1 + ) e e z = = = = e 1 Härav ser v att arg(z) Svar: z =, arg(z) e e 7 = ( + k ) ( V ser gen att z = ) 7 = ( alternatvt svar, arg(z) = ) Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p Uppgft 9 (p) Ekvatonen z z z + 6 = 0 har en lösnng z = 1+ Bestäm alla lösnngar 1 Ekvatonen har reella koeffcenter och en komplex rot z = 1+ 1 Därför är z = 1 också en rot tll ekvatonen Ekvatonen är delbart med ( z z1 )( z z) = ( z 1 )( z 1 + ) = ( z 1) = z z + 1 + 1 = z z + Polynomdvson ger (z z z + 6) /( z z + ) = z + Från z + = 0 får v den tredje lösnngen z = / Svar: z 1 = 1+, z = 1, z = / Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p Uppgft 10 (p) Bestäm alla lösnngar tll ekvatonen z = 1 ( + k ) z 1 z = e z = e =, k=0, 1,, Svar: ( + k ) z e =, k=0, 1,,
Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p Uppgft 11 (p) x Låt A = V betraktar ekvatonen A v = k v med avseende på v = 1 Talet k är en y konstant Det är uppenbart att en lösnng ( den trvala lösnngen) tll ekvatonen är nollvektorn 0 v = 0 0 a) Bestäm de värden för k, för vlka ekvatonen har lösnngar v som nte är nollvektorn ( v ) 0 0 b) Bestäm alla lösnngar v för vart och ett av dessa k värden 0 a) Ekvatonen A v = k v ger 1 x x x + y kx = k = y y x + y ky Detta kan v skrva som två skalära ekvatoner + y = kx eller x + y = ky ( k) x + y = 0 x + ( k) y = 0 (sys1) Anmärknng: Systemet (sys1) är homogent och därför är alltd lösbart, det kan ha exakt en lösnng (om D 0 ) eller oändlgt många lösnngar om D = 0 ( k) Systemets determnant är D = = k 5k + 1 ( k) D = = k 5k + = 0 k = 1, k = 0 1 Om D 0, dvs om k 1 1 och k y=0 ( V söker cke-trvala lösnngar), har systemet exakt en lösnng, den trvala lösnngen x=0, Det homogena systemet (sys1) har oändlgt många lösnngar om D = 0 dvs om k 1 och k b) V löser systemet k = 1 1 och k = Om k 1 blr systemet ( v substtuerar k 1 sys 1): 1 = 1 = 1 = =
+ y = 0 + y = 0 x + y = 0 0 = 0 V har en fr varabel y = t Från x + y = 0 har v en fr varabel, y=t, och därmed x = t Därmed blr lösnngen) x t v = = y t, där t är ett godtycklgt reellt tal, t 0 ( För t=0 får v den trvala Om k = får v systemet x + y = 0 x + y = 0 x + y = 0 x y = 0 x y = 0 0 = 0 Härav y = t och x = t Därför x t v = =, t 0 y t Svar: a) Icke-trvala lösnngar (oändlgt många) fnns om k = 1 1 och k = b) För k = 1 1 får v t v =, t 0 För t k = har v t v =, t 0 t Rättnngsmall: Allt korrekt=p Korrekt metod med mndre räkne fel =1p