TALMÄNGDER SUMMATECKEN PRODUKTTECKEN ---------------------------------------------------------------- Talmängder Vi använder följande etecningar för s standardtalmängder: N={0 1 } mängden av alla naturliga tal (I några öcer N={1 }) Z={ 10 1 } mängden av alla hela tal m Q={ ; där m n är hela tal och n 0 } mängden av alla rationella tal n R mängden av alla reella tal C ={a+i; där a och är reella tal och i = 1} mängden av alla omplexa tal För att etecna positiva heltal och negativa heltal använder vi Z + och Z På motsvarande sätt använder vi Q + Q R + och R ---------------------------------------------------------------------- Om ett element x tillhör mängden M sriver vi x M annars sriver vi x M Om A={ } då tillhör mängden A som vi etecnar A och läser tillhör A (eller iland ligger i A) Alltså gäller A A A medan exempelvis A ( tillhör inte A) 1 A 1 A Exempel 1 a) Talet N medan N ) Talet Z medan Z c) Talet Q medan Q d) Talet R medan i R e) Talet i C ------------------------------------------------------------------------------------- Betecning { x G : P( x)} Ett sätt att esriva en mängd är att örja med en redan änd mängd G (grundmängd) och välja de element x som ligger i G och som uppfyller ett eller flera givna villor Då använder vi oftast följande esrivning A { x G : P( x)} som utläses A är mängden av alla x som tillhör G och som satisfierar villoret P(x) Till exempel om vi definierar A { x Z : x } då är A { 101 } Exempel Om vi definierar A enligt följande A { x Z : x 1} där Z etecnar alla hela tal så är A { 1 0 1} 1 av
Om vi ändrar Z till N (= naturliga tal) och ehåller samma rav x 1 då måste 1 och exluderas (de är inte naturliga tal) Alltså om B { x N : x 1} då är B {01 } ------------------------------------------------------------------ Intervall Vitiga delmängder till mängden av alla reella tal är intervall (I nedanstående intervall är a och reella tal) Ändliga intervall: (a ) öppet intervall; mängden av reella tal x sådana att a < x < [a ) halvöppet intervall; mängden av reella tal x sådana att a x < ( a ] halvöppet intervall ; mängden av reella tal x sådana att a < x [a ] slutet intervall; mängden av reella tal x sådana att a x Oändliga intervall: ( ) öppet intervall ; mängden av reella tal x ( a ) öppet intervall; mängden av reella tal x sådana att x > a ( ) öppet intervall ; mängden av reella tal x sådana att x < [ a ) halvöppet intervall; mängden av reella tal x sådana att x a ( ] halvöppet intervall ; mängden av reella tal x sådana att x Notera att en haparentes [ eller ] inte sa stå redvid symolen (eftersom inte är ett reellt tal) Anmärning: I några öcer använder man följande intervalletecningar ]a[ [a[ och ]a] för (a) [a) och (a] Omgivning En omgivning till talet c är varje öppet intervall som innehåller c Låt ε vara ett positivt tal (i tillämpningar oftast ett litet tal) och c ett reellt tal Intervallet (c ε c+ε) allas en ε-omgivning till c av
Exempel För att åsådligt göra delmängder till R (reella tal) använder vi talaxeln Låt M { x R : 1 x } I det här fallet är M ett intervall som estår av alla reella tal x som uppfyller 1 x Vi ortare etecnar M = [ 1] { x R : 1 x } SUMMATECKEN En metod att esriva summor är att använda tecnet (stort sigma): där a och är heltal och a a f ( ) f ( a) f ( a 1) f ( ) Anmärning: Betecningen på indexvariael an väljas godtycligt Alltså f ( ) f ( i) f ( j) f ( a) f ( a 1) f ( ) a ia ja Några exempel: 7 i 1 i j1 f ( ) f () g( ) g() f () f () f (6) f (7) h( i) h( ) h( 1) h(0) h(1) h() h() ( 1) ( 11) ( 1) ( 1) 7 1 i i 1 1 1 0 8 1 9 1 17 1 Variaelyte Om vi i ett utryc som innehåller summatecnet yter indexvariaeln måste vi ocså estämma gränser för den nya variaeln Exempel Byta 1 mot j i uttrycet f ( 1) 1 Lösning: Vi måste estämma gränser för den nya variaeln 100 av
Från 1 j har vi den nedre gränsen 1 j och den övre gränsen 100 j 01 Därmed 100 1 01 f ( 1) f ( j) PRODUKTTECKEN Några typer av produter an vi esriva ortare genom att använda tecnet (stort pi): där a och är heltal och Några exempel: 9 a a f ( ) f () f () f (6) f (7) f (8) f (9) g( j) g() g() i f ( ) f ( a) f ( a 1) f ( ) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 1 6 1 6 7 (förorta först)= 7 Betecning n! ( n- faultet ) Låt n 1 vara ett naturligt tal Produten av alla naturliga tal från 1 till n etecnar vi med n! Alltså n! 1 n Av pratisa säl definierar man 0! 1 Till exempel 0! 1 1! 1! 1! 1 6! 1! 1 10 6! 1 6 70 7! 1 6 00 Uppenart gäller ( n 1)! ( n 1) ( n! ) av
ÖVNINGAR Uppgift 1 Ange alla element i givna mängder 11 7 11 a) { x N : x } ) { x N : x } c) { x N : x } 11 7 11 d) { x Z : x } e) { x Z : x } f) { x Z : x } Svar: a) { 01 } ) { 01 } c) { } d) { 101 } e) { 101 } f) { } Uppgift Beräna nedanstående summor 1 a) ) c) j 0 1 j0 d) 1 Svar: a) 7 1 ) 6 c) 0 d) +++=0 Uppgift Beräna nedanstående produter a) 1 ) 00 c) d) 1 1 0 1 Svar: a) ) c) 1 d) 0 9 6 Uppgift Sriv om nedanstående uttryc genom att använda givna variaelyten 0 a) f ( ) i 10 10 ) g ( ) j 7 Svar: a) f ( i) ) g ( j) i17 j Uppgift Beräna 100! 10! a) ) 0! 98! 9! Svar: a) 100 99 9900 ) 10 1 11 av