Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

Relevanta dokument
" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

" e n och Newtons 2:a lag

Mekanik Föreläsning 8

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.

=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Inre krafters resultanter

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

Mer Friktion jämviktsvillkor

. Bestäm för denna studs stöttalet e! Lösning: Energiprincipen för bollens fall ner mot underlaget ger omedelbart före stöt:

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

Komihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA

Introhäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018

9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment

Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )

FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

Kapitel extra Tröghetsmoment

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Inlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: Tid:

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)

Tentamen i Mekanik för D, TFYY68

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler.

Laboration 2 Mekanik baskurs

Arbete och effekt vid rotation

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tentamen i Mekanik II

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system

INSTITUTIONEN FÖR FYSIK OCH ASTRONOMI. Mekanik baskurs, Laboration 2. Friktionskraft och snörkraft

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

" = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G.

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

mg F B cos θ + A y = 0 (1) A x F B sin θ = 0 (2) F B = mg(l 2 + l 3 ) l 2 cos θ

Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)

Kapitel 4 Arbete, energi och effekt

Biomekanik, 5 poäng Jämviktslära

Repetitionsuppgifter i Fysik 1

Möjliga lösningar till tentamen , TFYY97

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

m 1 + m 2 v 2 m 1 m 2 v 1 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen , kl KTH Mekanik

KOMIHÅG 18: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n. x j,

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

Solsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

Svar och anvisningar

Andra EP-laborationen

Ord att kunna förklara

TFYA16/TEN :00 13:00

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Repetition Mekanik Fy2 Heureka 2: kap. 2, 3.1-3, version 2016

Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1

Allmänt om kraft. * Man kan inte se, känna eller ta på en kraft, men däremot kan man se verkningarna av en kraft.

27,8 19,4 3,2 = = ,63 = 3945 N = = 27,8 3,2 1 2,63 3,2 = 75,49 m 2

undanträngda luften vilket motsvarar Flyft kraft skall först användas för att lyfta samma volym helium samt ballongens tyngd.

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1

Transkript:

1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturligt komponenter a = v e t + v 2 " e n ---------------------------------- Föreläsning 9: Dynamik kraft-rörelse (orsak-verkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1. En 'fri' partikel förblir i vila eller rätlinjig rörelse. v = konstant vektor 2. ma = F 3. Krafter uppstår i par så att summan är noll. Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål. Tröghet I N2 finns massan m, och den representerar partikelns tröghet. Betrakta: a = F / m Större m innebär svårare att ändra rörelsen.

Inertialsystem koordinatsystem som inte roterar och inte accelererar. Där är Newtons lagar giltiga 2 Det finns många inertialsystem Byte av inertialsystem innebär (från det högra koordinatsystemet till det vänstra): Ingen ändring i uppmätta accelerationer. a = a ' Konstant skillnad i uppmätta hastigheter. v = v ' +V, där V = R. KRAFT-RÖRELSE och massans betydelse. (a) (b) m Mg m=150 kg M=200 kg Problem: Bestäm den vertikala accelerationen för 150-kilos cylindern i de båda illustrerade fallen. Bortse ifrån friktionen och trissornas massor.

3 Lösning: Fall a) Friläggning av båda cylindrarna tillsammans med Newtons 2:a lag. Kom ihåg att båda cylindrarnas rörelser hänger ihop med en otänjbar tråd. T (a) T x Mg m x = T " M x = Mg " T Summera ekvationerna: ( M + m ) x = ( M m )g Lös ut accelerationen: x = M m M + m g. Fall b) Friläggning av den enda cylindern resulterar i en enda ekvation. (b) Mg x m x = Mg " Lös ut accelerationen x = M m m g.

Newtons 2:a lag för krokig rörelse 4 T 0 T 0 Problem 1: En liten kula med massa m är från början upphängd i två vajrar. Om en vajer plötsligt kapas bestäm förhållandet (kvoten) k mellan spänningen omedelbart efter respektive före kapningen i den återstående vajern. Lösning: Före kapning har vi jämvikt. " 2T 0 sin# $ = 0, dvs T 0 = 2sin". Efter kapning har vi inte jämvikt. Omedelbart efter ser det ut så här: T 1 R sin Kulan ska just påbörja en typ av cirkelrörelse. Sätt upp Newtons 2:a lag i radiell riktning (polära koordinater): m R " R# 2 ( ) = "T 1 + sin$. Men det finns ingen begynnelserörelse och ingen avståndsacceleration (vajern kan inte förlängas), varför vänsterledet i ekvationen blir noll. Alltså T 1 = sin". Förhållandet blir: k = T 1 = 2sin 2 ". Numeriskt: " k = 2$ 1 % ' 2 = T 0 # 2& 1 2

5 Problem 2: En liten kula med massa m är fäst i en sträckt tråd med längd L. Kulan släpps från ett läge som beskrivs av vinkeln " = #, och en pendelrörelse påbörjas. Bestäm vinkelaccelerationen i början av denna rörelse. Lösning: Kraftbilden är som i Problem 1. T 1 R sin Sätt upp Newtons 2:a lag i transversell rörelseriktning (motsvarande vinkelökningen). Den riktningen är ortogonal mot tråden och trådkraften: ml " = cos". I början är " = #. Vinkelaccelerationen blir " = g cos#. (Svar) L

6 Problem: Betrakta en liten lastbil med massa m=10 ton, som färdas med konstant fart v = 30 m/s över ett backkrön. Krökningsradien vid backkrönet är 100 meter. Beräkna normalkraften på lastbilen från vägen vid backkrönet. Lösning: Identifiera krafterna på lastbilen. Tyngdkraft och normalkraft och möjligen friktion. Rita en bild där lastbilen förenklas till en punkt. Accelerationen beskrivs i det naturliga koordinatsystemet av a = v e t + v 2 " e n, men v = konstant " a = v 2 # e n Ur Newtons 2:a lag: e n : m v 2 " = # N, N = m $ g " v 2 ' & ) = 10 kn. % # (

KOMIHÅG 9: Newtons 3 lagar. Inertialsystem ----------------------------------------- 7 Föreläsning 10: Tillämpning av Newtons lagar T 1 R sin Problem 2: En liten kula med massa m är fäst i en sträckt tråd med längd L. Kulan släpps från ett läge som beskrivs av vinkeln " = #, och en pendelrörelse påbörjas. Bestäm kulans fart i nedersta läget. Lösning: Kraftbilden är som i Problem 1 och 2. Sätt upp Newtons 2:a lag i transversell rörelseriktning. ml " = cos" => " = g cos" => L " " = g L cos" " => 1 " 2 2 = g sin" + C. I början är " = # och " = 0. L Dvs 1 2 " 2 = g L sin" # g L sin$. I nedersta läget är " = # /2, så att " 2 = 2 g ( 1# sin$ ). Farten i cirkelrörelsen (v = L" ) blir L v = 2gL( 1" sin# ).

8 Problem: En kula med massan m kan glida utan friktion längs en cirkelbåge med radien R. Cirkelbågen roterar med konstant vinkelhastighet " kring en fix vertikal axel. Bestäm den vinkel " för vilken kulan är i vila relativt cirkelbågen. Lösning: Kraftanalys: Tyngdkraft och normalkraft från bågen, Kinematik: Horisontell cirkelbana, konstant vinkelhastighet. Newtons 2:a lag: Ingen rörelse i vertikal riktning: " 0 = N cos# $. Horisontell cirkelrörelse: e r : m "Rsin#$ 2 ( ) = "Nsin#. Eliminera normalkraften: mr " 2 =, för sin" # 0 cos# Lös vinkeln: cos" = g R #. 2 eller sin" = 0.

ENERGI-RÖRELSE Energi är ett mycket teoretiskt begrepp som inte kan observeras, medan rörelse kan observeras med ögonen. -Energibegrepp: --Kinetisk energi. T = 1 2 m v 2 --Kraftens effekt (momentant). P = F v Problem: En jord susar fram med 300 m/s i en approximativt cirkelformad bana kring ett gravitationscentrum (solen). Hur stor effekt har solens gravitation på jordens rörelse? Lösning: Kraften är approximativt radiell och rörelsen är transversell, dvs ortogonala riktningar. Alltså (approximativt) ingen effekt. 9 --Kraftens arbete. U 0"1 = t 1 # Pdt. t 0 Härledning av energisamband för rörelse och kraft: -- Lagen om Effekten Def: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m v v ( ) Tidsderivera: T = 1 2 m v v + v v ( ) = ma v = F v = P, ty def: v = a och Newtons 2:a lag: F = ma, samt def av effekten P. Alltså: T = P (Effektlagen)

-- Lagen om Arbetet Def arbete: U 01 = t 1" Pdt 10 t 0 Använd Effektlagen: U 01 = t 1" T dt = T 1 T 0 t 0 dvs ändring av kinetisk energi är lika stor som krafternas arbete T 1 " T 0 = U 0"1 (Arbetslagen) Problem: En bil med massan m körs med konstant horisontell hastighet. Farten är v och luftmotståndet beskrivs av den viskösa friktionskraften L = cv, där c är en känd, konstant storhet. - Bestäm drivkraften F som bilmotorn presterar. Svar: F=cv. - Bestäm drivkraftens effekt P. Svar: P = cv 2. - Hur mycket större blir farten om effekten fördubblas? Svar: Ny fart v. Ny drivkraft och nytt luftmotstånd. cv' 2 = 2cv 2 " v'= 2v. Farten ökar med "v = 2 #1 ( )v.