Linj-ara dynamiska system i diskret tid

En Webbaserad Analyskurs Dynamiska System Linj-ara dynamiska system i diskret tid Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmailcom

Linjära dynamiska system i diskret tid 1 (1) 1 Introduktion Ett dynamiskt system i diskret tid är detsamma som en rekursionsformel u n+1 = f(u n ) där n =, 1, Här kan u n vara vektorer och alltså innehålla information om olika storheter I ett ekologiskt sammanhang kanske man varje år vill se hur många rävar och harar där finns Vi har då ett system där u n har två komponenter, en för antalet rävar och en för antalet harar Eftersom rävarna äter harar kommer deras antal att påverka hararnas, och även omvänt, om rävarna inte har någon bra, alternativ, födoresurs Funktionen f, som i detta fall blir en funktion R R, beskriver hur de påverkar varandra vad gäller hur många de blir nästa år En sådan rekursonsformel är linjär om f(u) = Au för någon matris A Denna typ av system är viktiga, dels därför att de förkommer i en rad olika situationer, dels därför att man förstår icke-linjära dynamiska system till stor del genom att undersöka linjäriseringar av dem nära dess jämviktslägen Detta motiverar varför vi börjar med att ingående studiera just linjära dynamiska system i diskret tid Linjära -system Vi ska här se hur man löser ett linjärt system av rekursionsformler på formen { x n+1 = a 11 x n + a 1 y n y n+1 = a 1 x n + a y n Med beteckningarna u n = ( xn y n kan detta skrivas som en matrisekvation ), A = u n+1 = Au n ( ) a11 a 1 a 1 a Hade detta varit en endimensionell ekvation (A och u n reella tal) hade denna rekursionsformel haft lösningen u n = A n u Detta förblir sant för ett system, skillnade är att A n är den matris man får genom att multiplicera matrisen A med sig själv n gånger Exempel 1 Om ( ) 7 4 A =, u 8 5 = så ges lösningen på rekursionsformeln u n+1 = Au n av ( ) n ( ) 7 4 u n = 8 5 1 ( ), 1

Linjära dynamiska system i diskret tid (1) Men hur beräknas lösningen för ett allmänt n? För ett givet n, tex n = 5, är det bara att multiplicera ihop matriserna, men hur gör man om man vill bestämma u n som en funktion av n? För detta problem kommer matrisalgebran till hjälp Antag att A har egenvärdet λ med tillhörande egenvektor v: Av = λv Om vi väljer denna egenvektor som startvektor, u = v, så ser vi då att u 1 = Av = λv, u = Au 1 = λav = λ v, u 3 = Au = λ Av = λ 3 v osv, tills vi ser att u n = λ n v Detta speciella startvärde ger därför en enkel lösning: förhållandet mellan komponenterna ändras inte, men komponenterna multipliceras med samma tal λ Ofta blir det allmänna fallet endast obetydligt mer komplicerat Exempel Matrisen i föregående exempel har egenvärdena med tillhörande egenvektorer λ 1 = 3 och λ = 1, v 1 = (1, 1) respektive v = (1, ) Dessa är linjärt oberoende, så vi kan därför bestämma konstanter c 1 och c sådana att u = c 1 v 1 + c v, dvs ( ) ( ) ( ) 1 1 = c 1 1 + c 1 Detta ekvationssystem har lösningen c 1 = 3, c = 1, så vi har att u = 3v 1 v Men nu följer att u 1 = Au = 3Av 1 Av = 3(3v 1 ) ( 1)v, u = Au 1 = 3 Av 1 ( 1)Av = 3 3 v 1 ( 1) v osv Den allmänna formeln blir (räkna ut några u n till om du inte är övertygad) u n = 3 n+1 v 1 ( 1) n v Uttryckt i våra ursprungliga variabler blir detta ( ) ( ) ( ) ( ) xn 1 1 3 = 3 n+1 ( 1) n = n+1 ( 1) n 1 3 n+1 + ( 1) n y n Vi kan grafiskt illustrera lösningen till ett -system på två naturliga sätt Dels kan vi rita polygonerna (eller bara punkterna, om vi så vill) med hörn i punkterna (n, x n ) och (n, y n ) Alternativt kan vi rita ett sk fasporträtt, vilket betyder att vi ritar punkterna u n = (x n, y n ), förbundna eller inte med räta linjer Det är gjort i figuren nedan, med x n i rött och y n i blått, som dock i detta fall är ganska intetsägande

Linjära dynamiska system i diskret tid 3 (1) 6 1 3 4 1 3 4 5 6 7 8 n y 1 3 1 3 4 5 5 5 75 x 1 3 4 6 6 Egenvärdesekvationen för ett -system är ett andragradspolynom Ett sådant behöver inte ha reella lösningar Men det är sig själv inget problem, som nästa exempel visar: två reella sanningar förbinds ibland av en linje i det komplexa talplanet Exempel 3 Betrakta det dynamiska systemet { x n+1 = 1 x n 1 y n, x = 1 y n+1 = x n + 1 y n, y = Motsvarande egenvärdesekvation är λ λ + 1 =, vilket betyder att egenvärden är de komplexa talen λ ± = 1 ± i Vi räknar nu bara på Egenvektorn till egenvärdet λ + ska uppfylla ekvationen { i x 1 1x 4 = x 1 i x x 1 = ix / = Väljer vi här x = får vi x 1 = i och alltså egenvektorn ( ) i Låt oss här ignorera att vi fick komplexa tal i egenvektorn En motsvarande räkning för egenvärdet (1 i)/ ger att detta har egenvektorn ( ) i

Linjära dynamiska system i diskret tid 4 (1) Vi vill nu bestämma konstanter c 1, c sådana att ( ) ( ) ( ) 1 i i = c 1 + c Detta ger ekvationerna som har lösningen Vi ser därför att ( xn y n ) i(c 1 c ) = 1, (c 1 + c ) =, c 1 = 1 + i, c = 1 i = 1 i (1 + i )n ( ) i + 1 + i (1 i )n ( ) i Det är förvånande att en så komplicerad lösning vid beräkning faktiskt ger reella tal Det måste vara så eftersom det ursprungliga dynamiska systemet endast innehåller reella tal För att skriva om formeln använder vi att 1 ± i = 1 e ±π/4 Vi får då att ( xn y n ) = 1 ei(n 1)π/4 (n+1)/ ( ) i + 1 e i(n 1)π/4 (n+1)/ ( i Lösningen illustreras grafiskt nedan på samma sätt som tidigare ) = (n 1)/ ( sin π(n 1) 4 cos π(n 1) 4 ) y 1 1 4 6 8 1 n 5 5 1 x Det är egentligen inget speciellt med -system i diskussionen ovan Om vi har ett allmänt n n-system u n+1 = Au n, så kan vi lösa det som ovan, om vi kan hitta n linjärt oberoende egenvektorer till A Detta gäller tex om vi har n olika egenvärden, och vi kan tillåta oss att räkna med komplexa tal som ovan

Linjära dynamiska system i diskret tid 5 (1) 3 Om åldersfördelningen i en population I det här avsnittet ska vi diskutera en generalisering av Malthaus modell u n+1 = ru n, som beskriver hur en population växer/avtar i storlek med någon form av tidsskala (år, generation eller liknande) Vi ska nu se hur denna kan generaliseras om vi tar hänsyn till åldersstrukturen i populationen Vi tänker oss att vi vart T :te år gör en inventering av en population (folkräkning alltså), där T inte behöver vara ett heltal Vid varje tillfälle delar vi in individerna i åldersklasser enligt åldersklass åldrar 1 mellan och T år mellan T och T år m mellan (m 1)T och mt år Vi ignorerar alla åldersklasser över reproduktionsåldern Populationens tillstånd vid en viss tidpunkt anger vi genom att ange antalet honor i de olika åldersgrupperna just då Om vi låter x i = antalet honor i åldersklass i, så sammanfattas populationens tillstånd vid en viss tidpunkt av m-vektorn x 1 x u = För att beskriva hur tillståndet ändras mellan två inventeringar låter vi u vara m-vektorn ovan och v motsvarande m-vektor som beskriver populationens tillstånd vid nästa inventering Vi betecknar komponenterna i v med y 1,, y m Inför p i = vara (den genomsnittliga) fraktionen av honor från åldersgrupp i som överlevt till nästa räknetillfälle (då de är i åldersgrupp i + 1) f i = vara (det genomsnittliga) antalet honor som föds per hona från åldergrupp i (och registreras i åldersgrupp 1 vid nästa tillfälle x m Ur detta följer följande ekvationer y 1 = f 1 x 1 + f x + + f m x m y = p 1 x 1 y 3 = p x y m = p m 1 x m 1 Dessa ekvationer skrivs mer koncist i matrisspråk som v = Au,

Linjära dynamiska system i diskret tid 6 (1) där f 1 f f m 1 f m p 1 p p m 1 Om vi nu utgår ifrån ett visst tillstånd, beskrivet av m-vektorn u, så gäller att tillstånden vid de följande inventeringarna rekursivt fås ur matrisrekursionen u n+1 = Au n Detta kallas Leslie s modell och matrisen A kallas populationens reproduktionsmatris Med hjälp av en sådan modell kan vi jämföra tillväxten av två olika populationer som skiljer sig åt genom sin åldersfördelning hur mycket fortare växer en population som är koncentrerad till reproduktionsåldrarna än en som är jämng fördelad över åldrarna? Exempel 4 År 1 ställde Leonardo av Pisa, mer känd genom det latinska namnet Fibonacci, upp ett numera klassskt problem om hur många par av kaniner ett enda par kan producera på ett år Även om formuleringen var annorlunda, är hans antagande ekvivalent med följande: varje nyfött par reproducerar sig vid en månads ålder och vid månaders ålder och dör sedan Vid varje reproduktionstillfälle föds ett par, en hona och en hanne För att lösa detta räknar vi antalet hon-kaniner varje månad och betraktar två ålderskategorier: nyfödda och en månad gamla Det räcker med dem, ty de som är nyfödda vid en räkning producerar vi nästa räkning ett nytt par, medan de som är en månad gamla producerar ett nytt par Ett nyfött par blir en månad gammalt Detta ger oss reproduktionsmatrisen ( ) 1 1 A = 1 Vilket startvillkor har vi då? Att vi vid första räkningen (alltså u 1 ) har ett en månad gammalt par är detsamma som att vi vid en hypotetisk räkning en månad tidigare hade endast ett nyfött par och inget en månad gammalt par Vi använder därför startvillkoret ( ) 1 u = Vi lämnar det nu som övning att konstatera att vi kan lösa detta med metoderna från avsnitt ett och får att u n = 1 (λ n +v + λ n v ), där λ ± = 1 5 (1 ± ( ) λ± 5), v ± = 1 Här lägger vi märke till att λ + /λ < 1, vilket betyder att termen λ n + kommer att dominera då n är stor, så att u n 1 λ n +v +, 5 vilket betyder att populationen tillväxer (ungefär) som en geometrisk serie med kvot λ +

Linjära dynamiska system i diskret tid 7 (1) Betrakta nu åter en allmän reproduktionsmatris A Normalt sett finns det till en sådan ett positivt reellt egenvärde λ 1 sådant att för alla andra egenvärden λ till A gäller att och man kan visa att det då gäller att λ < λ 1, u n = A n u = c 1 λ n 1v 1 + E n Här är v 1 en egenvektor till λ 1, c 1 är ett tal som bestäms av u, och E n en matris sådan att λ n 1 E n då n Vi ser därför att med tiden gäller att u n = c 1 λ n 1v 1 och det relativa felet blir försumbart om bara n är tillräckligt stor Anmärkning Om vi utvecklar determinanten som definierar den karakteristiska ekvationen efter första kolonnen ser vi att det karakteristiska polynomet ges av p n (λ) = λ n f 1 λ n 1 f p 1 λ n f 3 p 1 p λ n 3 f n p 1 p n Detta kan skrivas p n (λ) = λ n (1 f(λ)) där f(λ) = f 1 λ + p 1f + + p 1 p n 1 f n λ λ n Här är alla koefficienter positiva, så f är monotont avtagande och det gäller att f(λ) då λ + och f(λ) då λ Det finns därför precis ett λ sådant att f(λ ) = 1 Med andra ord, det finns precis ett positivt, reellt egenvärde Motsvarande egenvektor ges av v = t(1, p 1 /λ, p 1 p /λ,, p 1 p p n 1 /λ n 1 ) Det som är oklart är varför de övriga egenvärdena är mindre till sitt absolutbelopp (Frobenius sats??) Det största egenvärdet och motsvarande egenvektor har därför en speciell betydelse för populationen Vi ser nämligen att u n+1 = λ 1 u n, dvs riktningen på u n ändrar sig inte mellan två inventeringar, utan förblir densamma som den för v 1 So oavsett om populationen tillväxer (λ 1 > 1) eller dör ut (λ 1 < 1), så gäller att åldersfördelningen inte ändrar sig (när tillräckligt lång tid har gått) Av det skälet sägs v 1 beskriva en stabil åldersfördelning Den formella definitionen på en stabil åldersfördelning v är att a) alla v:s komponenter är positiva och deras summa är ett, b) det finns ett λ sådant att Av = λv Det kan tänkas finnas flera stabila åldersfördelningar till en reproduktionsmatris, men det vi sett är att den som hör till det största egenvärdet definierar det som kommer att inträffa efter lång tid Det bör dock påpekas att det finns reproduktionsmatriser som inte har ett största egenvärde och för vilka en mer komplicerad dynamik äger rum

Linjära dynamiska system i diskret tid 8 (1) Exempel 5 För Fibonacci-problemet med kaniner gäller att det största egenvärdet är λ +, så motsvarande stabila åldersfördelning blir ( ) 1 λ+ v 1 = 1 + λ + 1 Den stabila åldersfördelningen är alltså sådan att förhållandet mellan antalet nyfödda och antalet en månad gamla honor är λ + 1618 Vidare ser vi att antalet kaniner tillväxer ungefär som en geometrisk serie med kvoten λ + Den andra egenvektorn ger ingen stabil åldersfördelning, eftersom dess komponenter har olika tecken Exempel 6 En lite modernare modell för kaninerna skulle kunna vara följande Vi delar in honorna i tre åldersklasser: -1 år (ungar), 1- år (årsbarn) och -3 år (vuxna) inga djur blir äldre än tre år Vi antar att hälften av alla ungar blir årsbarn medan /3 av dessa blir vuxna Vidare antar vi att i genomsnitt gäller att ungarna har 5 avkomlingar per år, årsbarnen 5 avkomlingar per år och de vuxna 3 avkomlingar per år Det betyder att vår kanin-population har reproduktionsmatrisen 5 5 3 A = 5 3 Denna matris har egenvärdena 1, 5,, och det sista av dessa har egenvektorn v 1 = (1, 3, 1) Det följer att med tiden växer populationen exponentiellt som n och att fördelningen mellan åldersklasser stabiliseras som 1 : 3 : 1 Har man många åldersklasser är det ofta önskvärt att slå ihop flera av åldersklasserna Om vi tex vill formulera ett dynamiskt system som anger åldersklassernas storlek för en mänsklig population varje år, tvingar ovanstående modell oss till cirka 1 ålderklasser En förenkling kan då tillgå så att man delar upp den kvinnliga populationen i tre åldersklasser: barn (ålder 14 år), fertila (ålder 15 39 år) och äldre (4 år och äldre) Varje grupp antas sedan fullständigt homogen (lika många i varje ålder och samma reproduktions- och dödsintensitet vid varje ålder inom åldersklassen) Antag att flickor endast föds av mödrar i den mellersta åldersklassen och att de tre grupperna har överlevnadsintensiteter p 1, p respektive p 3 Låt u n = (x n, y n, z n ) vara antalet i de olika åldersklasserna efter n år För att få reda på x n+1 ur detta, måste vi (som tidigare) veta antalet som föds under detta år, men vi får också ett bidrag som består av att 14 av 15 ungarna förblir ungar ett år till, och av dessa överlever fraktionen p 1 Det betyder att x n+1 = by n + 14 15 p 1x n, där b är reproduktionsintensiteten för fertila kvinnor På motsvarande sätt ser vi att och att y n+1 = 1 15 p 1x n + 4 5 p y n z n+1 = 1 5 p y n + p 3 z n

Linjära dynamiska system i diskret tid 9 (1) Anmärkning Diskussionen här har handlat om en diskret tid (vi tittar år för år) och åldern har delats in ett ändligt antal klasser Man kan fråga sig hur modellen ändrar sig om vi istället betraktar kontinuerlig tid och alla åldrar Låt därför x(t, a) vara antalet honor som är a år gamla vid tiden t Om vi tittar in på denna population endast vid tidpunkterna t i, så innebär Leslie-modellen ovan att, med t i+1 = t i + t, x(t i + t, a + t) = p(a)x(t i, a) x(t i + t, a + t) x(t i ) = (1 p(a))x(t i, a i ) Men p(a) beror också på hur ofta vi samplar, alltså på t, och en rimlig hypotes är att 1 p(a) = fraktionen som dör i intervallet (t i, t i+1 ) = µ(a) t (åtminstone till första ordningen) Om vi låter t, ser vi att raderna ( : m) i Leslie-matrisen svarar mot den partiella differentialekvationen t x + a x = µ(a)x För att få något som svarar mot första raden låter vi f(a) beteckna fertiliteten (antal ungar per år) hos en hona som är a år gammal Då svarar den första raden i Lesliematrixen mot ekvationen x(t, ) = f(a)x(t, a)da Denna differentialekvation kalla Von Foersters ekvation 4 En modell för interaktionen mellan rovdjur och bytesdjur Betrakta ett bytesdjur, säg en gnagare, G som äter en viss vegetabilisk födoresurs vi kallar F Antag vidare att gnagaren är bytesdjur för ett visst rovdjur, säg räv, R Med ett index n betecknar vi antal/mängd av dessa vid år n Vi kan då definiera dynamiken från år till år Vi börjar med att definiera hur vi ska mäta R, G, F Vårt mål är en rent kvalitativ analys, och vill därför ha så få parametrar i modellen som möjligt Vi väljer därför att välja enheter så att en enhet gnagare äter en enhet av sin födoresurs per år, och att en enhet räv äter en enhet gnagare per år Om det i verkligheten är så att en räv äter 1 gnagare per år, så betyder det att vi mäter gnagare i tusental Eftersom vi valt enheter som vi gjort, kan vi tolka skillnaden G n R n födoöverskott för rävarna och vi kan anta att förändringen per år är proportionellt mot detta: om G n > R n finns det mycket föda och rävarna kan öka i antal, medan om G n < R n är det ont om föda och rävarnas antal måste minska Vi antar därför att det finns en konstant a sådan att R n+1 = R n + a(g n R n ) För gnagarna är situationen lite mer komplicerad eftersom förändringen från år till år beror både på deras födotillgång och hur många rävar det finns G n R n representerar

Linjära dynamiska system i diskret tid 1 (1) hur många gnagare det finns efter året och gnagarnas födoöverskott blir då F n (G n R n ) Med samma motivering som ovan får vi nu modellen G n+1 = G n R n + b(f n (G n R n )) för hur gnagarnas antal ändras från år till år Slutligen ger resonemanget oss att det för gnagarnas födoresurs gäller att F n+1 = F n (G n R n ) Vi har alltså en modell i tre obekanta, med två positiva parametrar, och vi vill se hur dessas värde påverkar dynamiken Vi börjar då med att skriva om systemet som följande linjära 3 3-system R n+1 = (1 a)r n + ag n G n+1 = (1 b)(g n R n ) + bf n F n+1 = F n (G n R n ) För att lösa detta system kan vi observera att om vi sätter N = R + af, så gäller att N n+1 = R n + a(g n R n ) + af n a(g n R n ) = R n + af n = N n N n ändrar sig alltså inte, och vi sätter N = R + af, vilket betyder att F n = N R n a Stoppar vi in detta i den andra ekvationen får vi att Vi får alltså följande linjära 3 3- system { R n+1 = (1 a)r n + ag n G n+1 = (1 b)g n dr n + c där d = 1 b + b a, c = bn a Ett jämviktsläge till detta system inträffar när R n = R, G n = G för alla n, vilket betyder systemet { R n+1 = (1 a)r n + ag n G n+1 = (1 b)g n dr n + c R = G = bn (= M) a + b Likheten inom parantes är en definition: jämviktsläget är alltså (R, G) = (M, M) Inför vi r = R M, g = G M, så löser de nya storheterna systemet { r n+1 = (1 a)r n + ag n g n+1 = (1 b)g n dr n Egenvärdespolynomet är λ (1 a) a d λ (1 b) = λ + (a + b )λ + (1 a)(1 b) + ad = λ + (a + b )λ + 1

Linjära dynamiska system i diskret tid 11 (1) Detta polynom har nollställena z ± = 1 a + b ± (1 a + b ) 1 = 1 a + b ± 1 (a + b)(a + b 4), så vi ser att om a+b < 4 är egenvärdena komplexa Eftersom polynomet har reella koefficienter gäller att dess nollställen är komplexkonjugat Eftersom den konstanta termen är ett följer att dessa måste vara på formen w = e ±iθ, och eftersom deras summa är cos θ ser vi att vi måste ha att cos θ = 1 (a + b)/ Vidare, den kvadratiska formen Q(x, y) = dx + (b a)xy + ay, är positivt definit om a+b < 4, vilket betyder att nivåkurvorna Q(x, y) = k då är ellipser Genom att stoppa in uttrycken för r n+1, g n+1 i r n, g n kan vi då med en del algebraiskt räknande visa att Q(r n+1, g n+1 ) = Q(r n, g n ) för alla n, Vi har alltså att Q(r n, g n ) = Q(r, g ), dvs följden (r n, g n ) ligger hela tiden på den ellips som går genom motsvarande startpunkt En grafisk illustration av hur lösningen kan se ut då a + b < 4 ges i figurerna nedan, där rävarna är den blå kurvan och gnagarna den röda G M 1 n (M, M) R Vi ser i den vänstra figuren att den föreslagna dynamiken leder till oscillationer i djurpopulationerna, så att när det är ont om rävar tillväxer först gnagarna, varigenom rävarna hittar föda och blir fler Samtidigt ökar därmed trycket på gnagarpopulationen som avtar, vilket i sin tur leder till att rävarna också strax börjar avta, av brist på föda Dock är inte lösningen periodisk (med en liten period i varje fall), vilket ses bättre i den högra figuren som beskriver fasporträttet Som sig bör ligger alla punkterna på en ellips, men det finns inget tecken på att vi får en sluten bana, alltså att vi någon gång kommer tillbaka till en punkt vi varit i tidigare Om det är så eller inte kan dock endast avgöras med hjälp av en matematisk analys som vi avhåller oss ifrån Vad som precis händer beror på talen a och b i modellen Denna typ av data är inte vad man normalt hittar i naturen Oftast har vi någon form av stabil jämvikt med någorlunda konstanta djurpopulationer år från år Ett lysande undantag är berömda data är för det kandensiska lodjuret och dess byte snöskoharen The Hudson Bay Company samlade under närmare 3 år in data på hur många pälsar man lyckades skaffa av respektive djurslag, och även om detta inte i sig kan sättas lika

Linjära dynamiska system i diskret tid 1 (1) med antalet av respektive djurart så ger figuren nedan ett klart intryck av en dynamik som liknar den ovan Dock ska det påpekas att det är mycket kring tolkningen av dessa data som är omstritt Vad vi fick i exemplet var alltså en rekursion u n+1 = Au n + b, där u n = (R n, G n ) och b = (, c) är två-vektorer och A en -matris Vad vi såg var att för att läsa den bestämmer vi först jämviktsläget u = Au + b (I A)u = b u = (I A) 1 b (förutsatt att I A är inverterbar) Då löser variabeln v n = u n u rekursionen ty v n+1 = Av n v n+1 = u n+1 u = Au n u = A(v n + u ) u = Av n + (Au u ) = Av n