Övningstentamen i MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp

Relevanta dokument
MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

Övningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

UPPSALA UNIVERSITET Envariabelanalys IP1/Hösten L.Höglund, P.Winkler, S. Zibara Ingenjörsprogrammen Tel: , ,

Lösningar kapitel 10

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

6. Samband mellan derivata och monotonitet

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm

Tillämpad Matematik I Övning 4

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2015 Skrivtid 8:15 12:15

vinkelräta (1p) då a r = (0,1,0), b r =(0,1,2k) och c r =(1,0,1)? b) Beräkna arean av triangeln ABC då (2p) A= ( 3,2,1), B=(4,3,2) och C=(3,3,3)

Repetitionsuppgifter. Geometri

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 26 okt 2016 Skrivtid 13:00-17:00

Lösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik

MA2001 Envariabelanalys

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Planering för Matematik kurs E

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

x 1 1/ maximum

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Tentamen i Envariabelanalys 1

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

där x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

SF1625 Envariabelanalys

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

6.2 Implicit derivering

KONTROLLSKRIVNING. Matematik C. Datum: Tid:

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Tidsbunden del

Betygsgränser: För betyg. Vem som har är. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) (2p) lim. (1p) cos( x 1) lim x 1. (1p) 2. (4p) Uppgift.

Planering för Matematik kurs D

3.1 Derivator och deriveringsregler

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

Matematik E (MA1205)

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

TEN22 Tekniskt basår. Miniräknare, Slutbetyget på. avklarats med Poäng Lycka till!

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN uppgifter med miniräknare 3

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

Tentamen i Envariabelanalys 2

Kap Inversfunktion, arcusfunktioner.

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN

MVE465. Innehållsförteckning

TENTAMEN. Matematik för basår I. Stenholm :00-12:00

Lösning till tentamen i 5B1126 Matematik förberedande kurs för TIMEH1, , kl

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Transkript:

Övningstentamen i MA Tillämpad Matematik I,.hp Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betgsgränser se kursens hemsida. ösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. cka till! Bertil Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.. Beräkna arg z z, då z och z betder komplekonjugat. (p) ösningsförslag: Vi har w z z, så arctan b a Π arctan Π Π om w z z.z Arg w Π Π Π. Går lika bra att svara. Π arctan Π Π Π. Beräkna abs. (p) ösningsförslag: r abs z z a b 6. Abs 6 6. Bestäm värdemängden V f till funktionen f cos,, Π. (p) ösningsförslag: Eftersom vi har, Π kommer cos att genomlöpa hela sin värdemängd V cos, ma f och min f V f,. Plot Cos,,, Π, Aesabel "", ""............,,,, Rätt svarsalternativ: d. ös ekvationen 6. (p) ösningsförslag: Potenslagar! 6 6 6. Solve 6,

. ös ekvationen ln ln ln. (p) ösningsförslag: Övning på logaritmlagar, ln ln ln ln ln 8 eller. Här är falsk rot med hänsn till kravet ovan, t logaritmlagen ln a ln ln gäller ju bara om a och b. Detta vet naturligtvis Mathematica Solve og og og, 6. åt f ln. Bestäm f '. (p) ösningsförslag: ln Regler pot.lagar ln SD. dfd D og, dfd. Rätt svarsalternativ: e. åt f. Bestäm f '. (p) ösningsförslag: Kvotregeln. dfd D, Simplif dfd. Rätt svarsalternativ: e 8. åt f sin cos. Bestäm f ' Π. (p) ösningsförslag: sin cos KR Sätt u cos u sin u cos Konst.regeln u sin u cos SD cos u sin Bt tillbak cos cos sin Cos jämn fkn. cos cos sin. dfd D Sin Cos, Simplif sin cos cos dfd. Π Rätt svarsalternativ: d. Sök tangentens ekvation till kurvan cos i den punkt på kurvan som har Π. (p) ösningsförslag: Först funktionen och dess derivata f : Cos

f' sin Kanske är det av intresse att kolla dessa i punkten Π. f Π,f' Π, Tangentens riktningskoefficient är värdet av derivatan i punkten, så med direkt omlastning av enpunktsformeln till k m får vi Solve f Π f' Π Π, EpandAll Π Rätt svarsalternativ: e Π Π Π Π. Sök i punkten, på kurvan. (p) ösningsförslag: Derivera implicit och lös ut. Dt, impl D, dd Solve impl, ' First Slutligen numeriskt i den önskade punkten. dd., 6. Betrakta den stckvis konstanta funktionen i figuren. Beräkna sedan f. p f ösningsförslag: Dela upp integrationsområdet så att integranden är konstant k i varje intervall, då är a b k k a b k b. f. 66. Beräkna. (p)

ösningsförslag: Vi får ln ln ln ln. log ln ln. Bestäm 6. (p) ösningsförslag: uktar lite variabelsubstitution. Sätt u, så har vi u, med gränserna u u u och ö u ö. Nu är det bara att meka ihop det hela 6 u 6 u u 8. 6 8 6 8 6 6. Integrera Π Π sin u u. (p) ösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt u, så har vi u, med gränserna u u Π u Π och u ö Π ö Π Π. Så Π Π sin u u Π Π Π sin cos Π cos Π cos Π. Π Sin u Π u Rätt svarsalternativ: e. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln, linjerna och samt grafen till, roterar ett varv kring aeln. p z ösningsförslag: Direkt med "formel" V b a Π Π Π Π Π Π. Π Π Π 6 Π Π Π Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica. 6. Genom punkten, drages en rät linje, som tillsammans med de positiva koordinatalarna begränsar en triangel. Sök den triangel som har minst area.

6. Inför i problemtetens figur sträckan a på aeln från till linjens skärningspunkt. Inför på motsvarande sätt sträckan b på aeln. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer arean A och. (p) ösningsförslag: Rita och inför sträckorna a och b enligt recept. Då har vi triangelns area och likformiga trianglar. b a ekv A, b a A a b, b a ekv A, b a ekv A, b a ekv A, b a ekv A, b a. ös ut A och ur ekv med Solve. Spara som regler i AÅb. (p) ösningsförslag: Följ rådet. AÅb Solve ekv, A, First A a a, b a a Rätt svarsalternativ: d AÅb Solve ekv Solve ekv AÅb AÅb Solve ekv, A, AÅb Solve ekv, A, 8. Rita A, a,, i rött med Plot. Pnta alarna på lämpligt sätt! (p) ösningsförslag: Alltid bra att pigga upp sig med en liten bild över situationen som vi ska optimera. Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" A 6.... a Plot AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aes "a", "A" Plot A AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A". Sök a som minimerar A med D och Solve. Spara som regel i a. (p) ösningsförslag: Ser ut att vara ett minimum i figuren ovan, som sig bör, eftersom A både då a och a. Sök nu det som minimerar arean, det vill säga lös ekvationen A. a dada D A. AÅb, Simplif

a a Solve dada, a, a a Solve D A. AÅb,, a Solve D A. AÅb,, a Solve D A. AÅb,, a Solve D AÅb,,. Bestäm minimalt A. Tänk på att det kan vara flera lösningar på a. (p) ösningsförslag: Här duger bara sista lösningen. Slutligen svaret på den brännande frågan. På köpet får vi också den andra hjälpvariabeln. Problemtetens figur återspeglar denna optimala situation. AÅb. a A, b AÅb. a Solve a, A Solve AÅb.a, A a. AÅb. Minimalt A, ännu en gång, nu med en direkt numerisk lösare. (p) ösningsförslag: Det är bara att skedmata FindMinimum. FindMinimum A. AÅb, a,., a. Rätt svarsalternativ: e FindMinimum AÅb, FindMin A. AÅb, a, Min A. AÅb, a, FindMinimize A. AÅb, a, 6. I en smal rak stång med längden m är densiteten Ρ kg m proportionell med k mot kvadratroten ur avståndet till stångens ena ände. Stångens totala vikt är M kg. Ρ ma Ρ. Definiera densiteten som en funktion i Mathematica, Ρ[]. (p) ösningsförslag: åt, vara längskoordinat i stången räknat från "ena" ändpunkten. Enligt uppgift varierar densiteten som Ρ k. Definiera den som en funktion. Ρ : k Ρ : k Ρ : k Ρ : k Ρ k. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer k och Ρ ma. (p) ösningsförslag: Massan för en liten bit vid blir m Ρ. Dessutom vet vi hur mcket alla småbitar väger tillsammans, M M m. Nu är det bara att samla de önskade sambanden ekv Ρ ma Ρ, M Ρ Ρ ma k, M k ekv Ρ ma Ρ, M Ρ ekv Ρma Ρ, M Ρ ekv Ρ ma Ρ, M Ρ ekv Ρma Ρ, M Ρ 6

. ös ut Ρ ma och k. Spara dem som regler i rååk. (p) ösningsförslag: Passar bra att använda Solve. rååk Solve ekv, Ρ ma,k First Ρ ma M, k M Rätt svarsalternativ: d rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k. Bestäm stångens tngdpunkt G ur ekvationen m G m. (p) ösningsförslag: Vi har att lösa ekvationen m G m G Ρ. Dessutom måste vi meka in k. Solve G Ρ. rååk, G G Rätt svarsalternativ: e Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G 6. Bestäm stångens masströghetsmoment J m r m då den roterar runt aeln. (p) ösningsförslag: Det är bara att meka in m Ρ i definitionen. Dessutom måste vi meka in k. Ρ. rååk M Ρ. rååk Ρ. rååk r Ρ. rååk r Ρ. rååk. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trcket från vattnet som varierar enligt p ΡgN m, där är djupet under vattentan.. Strimla luckan i led,. Bestäm strimlans bredd b vid med lämligt geometrisamband. Spara b som regel. (p) ösningsförslag: Snegla på problemtetens figur, så har vi direkt med likformiga trianglar strimlans bredd b på djupet, se figur till höger. bav Solve b 6 8, First 8

b Rätt bav Solve b 6 bav Solve b 6 8 8 bav Solve b 6 8, 8 bav Solve b 6 8, 8, 8 svarsalternativ: c 8. Bestäm trckkraften på den lilla strimlan vid djupet. (p) ösningsförslag: På djupet har vi den lilla rektangelarean A på vilken den lilla trckkraften F p A verkar. p da. da b d, p Ρg. bav Rätt d g Ρ p da. da b d, p Ρg. bav p da. bav. da b d; p Ρg p da. da b d, p Ρg. bav p da. da b d, p Ρg. bav svarsalternativ: c. Bestäm trckkraften F på luckan. (p) ösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan. F F 8 d F g Ρ F 8 F d F 8 F F 8 F d F 8 F d. Bestäm vridmomentet M kring en ael i luckans plan vid vattentan som orsakas av vattentrcket. (p) ösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M F över dammluckan. M M 8 d M 68 g Ρ F 8 F d M 8 F M 8 M d M 8 M d 8