Övningstentamen i MA Tillämpad Matematik I,.hp Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betgsgränser se kursens hemsida. ösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. cka till! Bertil Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.. Beräkna arg z z, då z och z betder komplekonjugat. (p) ösningsförslag: Vi har w z z, så arctan b a Π arctan Π Π om w z z.z Arg w Π Π Π. Går lika bra att svara. Π arctan Π Π Π. Beräkna abs. (p) ösningsförslag: r abs z z a b 6. Abs 6 6. Bestäm värdemängden V f till funktionen f cos,, Π. (p) ösningsförslag: Eftersom vi har, Π kommer cos att genomlöpa hela sin värdemängd V cos, ma f och min f V f,. Plot Cos,,, Π, Aesabel "", ""............,,,, Rätt svarsalternativ: d. ös ekvationen 6. (p) ösningsförslag: Potenslagar! 6 6 6. Solve 6,
. ös ekvationen ln ln ln. (p) ösningsförslag: Övning på logaritmlagar, ln ln ln ln ln 8 eller. Här är falsk rot med hänsn till kravet ovan, t logaritmlagen ln a ln ln gäller ju bara om a och b. Detta vet naturligtvis Mathematica Solve og og og, 6. åt f ln. Bestäm f '. (p) ösningsförslag: ln Regler pot.lagar ln SD. dfd D og, dfd. Rätt svarsalternativ: e. åt f. Bestäm f '. (p) ösningsförslag: Kvotregeln. dfd D, Simplif dfd. Rätt svarsalternativ: e 8. åt f sin cos. Bestäm f ' Π. (p) ösningsförslag: sin cos KR Sätt u cos u sin u cos Konst.regeln u sin u cos SD cos u sin Bt tillbak cos cos sin Cos jämn fkn. cos cos sin. dfd D Sin Cos, Simplif sin cos cos dfd. Π Rätt svarsalternativ: d. Sök tangentens ekvation till kurvan cos i den punkt på kurvan som har Π. (p) ösningsförslag: Först funktionen och dess derivata f : Cos
f' sin Kanske är det av intresse att kolla dessa i punkten Π. f Π,f' Π, Tangentens riktningskoefficient är värdet av derivatan i punkten, så med direkt omlastning av enpunktsformeln till k m får vi Solve f Π f' Π Π, EpandAll Π Rätt svarsalternativ: e Π Π Π Π. Sök i punkten, på kurvan. (p) ösningsförslag: Derivera implicit och lös ut. Dt, impl D, dd Solve impl, ' First Slutligen numeriskt i den önskade punkten. dd., 6. Betrakta den stckvis konstanta funktionen i figuren. Beräkna sedan f. p f ösningsförslag: Dela upp integrationsområdet så att integranden är konstant k i varje intervall, då är a b k k a b k b. f. 66. Beräkna. (p)
ösningsförslag: Vi får ln ln ln ln. log ln ln. Bestäm 6. (p) ösningsförslag: uktar lite variabelsubstitution. Sätt u, så har vi u, med gränserna u u u och ö u ö. Nu är det bara att meka ihop det hela 6 u 6 u u 8. 6 8 6 8 6 6. Integrera Π Π sin u u. (p) ösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt u, så har vi u, med gränserna u u Π u Π och u ö Π ö Π Π. Så Π Π sin u u Π Π Π sin cos Π cos Π cos Π. Π Sin u Π u Rätt svarsalternativ: e. Bestäm volmen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av aeln, linjerna och samt grafen till, roterar ett varv kring aeln. p z ösningsförslag: Direkt med "formel" V b a Π Π Π Π Π Π. Π Π Π 6 Π Π Π Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica. 6. Genom punkten, drages en rät linje, som tillsammans med de positiva koordinatalarna begränsar en triangel. Sök den triangel som har minst area.
6. Inför i problemtetens figur sträckan a på aeln från till linjens skärningspunkt. Inför på motsvarande sätt sträckan b på aeln. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer arean A och. (p) ösningsförslag: Rita och inför sträckorna a och b enligt recept. Då har vi triangelns area och likformiga trianglar. b a ekv A, b a A a b, b a ekv A, b a ekv A, b a ekv A, b a ekv A, b a. ös ut A och ur ekv med Solve. Spara som regler i AÅb. (p) ösningsförslag: Följ rådet. AÅb Solve ekv, A, First A a a, b a a Rätt svarsalternativ: d AÅb Solve ekv Solve ekv AÅb AÅb Solve ekv, A, AÅb Solve ekv, A, 8. Rita A, a,, i rött med Plot. Pnta alarna på lämpligt sätt! (p) ösningsförslag: Alltid bra att pigga upp sig med en liten bild över situationen som vi ska optimera. Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" A 6.... a Plot AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A" Plot A. AÅb, a,,, PlotStle Red, Aes "a", "A" Plot A AÅb, a,,, PlotStle Red, Aesabel "a", "A". Sök a som minimerar A med D och Solve. Spara som regel i a. (p) ösningsförslag: Ser ut att vara ett minimum i figuren ovan, som sig bör, eftersom A både då a och a. Sök nu det som minimerar arean, det vill säga lös ekvationen A. a dada D A. AÅb, Simplif
a a Solve dada, a, a a Solve D A. AÅb,, a Solve D A. AÅb,, a Solve D A. AÅb,, a Solve D AÅb,,. Bestäm minimalt A. Tänk på att det kan vara flera lösningar på a. (p) ösningsförslag: Här duger bara sista lösningen. Slutligen svaret på den brännande frågan. På köpet får vi också den andra hjälpvariabeln. Problemtetens figur återspeglar denna optimala situation. AÅb. a A, b AÅb. a Solve a, A Solve AÅb.a, A a. AÅb. Minimalt A, ännu en gång, nu med en direkt numerisk lösare. (p) ösningsförslag: Det är bara att skedmata FindMinimum. FindMinimum A. AÅb, a,., a. Rätt svarsalternativ: e FindMinimum AÅb, FindMin A. AÅb, a, Min A. AÅb, a, FindMinimize A. AÅb, a, 6. I en smal rak stång med längden m är densiteten Ρ kg m proportionell med k mot kvadratroten ur avståndet till stångens ena ände. Stångens totala vikt är M kg. Ρ ma Ρ. Definiera densiteten som en funktion i Mathematica, Ρ[]. (p) ösningsförslag: åt, vara längskoordinat i stången räknat från "ena" ändpunkten. Enligt uppgift varierar densiteten som Ρ k. Definiera den som en funktion. Ρ : k Ρ : k Ρ : k Ρ : k Ρ k. Samla nu tillräckligt med samband i ekv som bestämmer k och Ρ ma. (p) ösningsförslag: Massan för en liten bit vid blir m Ρ. Dessutom vet vi hur mcket alla småbitar väger tillsammans, M M m. Nu är det bara att samla de önskade sambanden ekv Ρ ma Ρ, M Ρ Ρ ma k, M k ekv Ρ ma Ρ, M Ρ ekv Ρma Ρ, M Ρ ekv Ρ ma Ρ, M Ρ ekv Ρma Ρ, M Ρ 6
. ös ut Ρ ma och k. Spara dem som regler i rååk. (p) ösningsförslag: Passar bra att använda Solve. rååk Solve ekv, Ρ ma,k First Ρ ma M, k M Rätt svarsalternativ: d rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k rååk Solve ekv, Ρ ma, k. Bestäm stångens tngdpunkt G ur ekvationen m G m. (p) ösningsförslag: Vi har att lösa ekvationen m G m G Ρ. Dessutom måste vi meka in k. Solve G Ρ. rååk, G G Rätt svarsalternativ: e Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G Solve G Ρ. rååk, G 6. Bestäm stångens masströghetsmoment J m r m då den roterar runt aeln. (p) ösningsförslag: Det är bara att meka in m Ρ i definitionen. Dessutom måste vi meka in k. Ρ. rååk M Ρ. rååk Ρ. rååk r Ρ. rååk r Ρ. rååk. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trcket från vattnet som varierar enligt p ΡgN m, där är djupet under vattentan.. Strimla luckan i led,. Bestäm strimlans bredd b vid med lämligt geometrisamband. Spara b som regel. (p) ösningsförslag: Snegla på problemtetens figur, så har vi direkt med likformiga trianglar strimlans bredd b på djupet, se figur till höger. bav Solve b 6 8, First 8
b Rätt bav Solve b 6 bav Solve b 6 8 8 bav Solve b 6 8, 8 bav Solve b 6 8, 8, 8 svarsalternativ: c 8. Bestäm trckkraften på den lilla strimlan vid djupet. (p) ösningsförslag: På djupet har vi den lilla rektangelarean A på vilken den lilla trckkraften F p A verkar. p da. da b d, p Ρg. bav Rätt d g Ρ p da. da b d, p Ρg. bav p da. bav. da b d; p Ρg p da. da b d, p Ρg. bav p da. da b d, p Ρg. bav svarsalternativ: c. Bestäm trckkraften F på luckan. (p) ösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan. F F 8 d F g Ρ F 8 F d F 8 F F 8 F d F 8 F d. Bestäm vridmomentet M kring en ael i luckans plan vid vattentan som orsakas av vattentrcket. (p) ösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M F över dammluckan. M M 8 d M 68 g Ρ F 8 F d M 8 F M 8 M d M 8 M d 8