5. Tillsåndsåerkoppling 5. Tillsåndsåerkoppling E linjär idskoninuerlig resp. idsdiskre (.ex. sampla) sysem kan som bekan beskrivas med en illsåndsmodell av formen x () = Ax() + Bu() y() = Cx() + Du() resp. Här anas för enkelhes skull a dödid saknas. x( k + 1) = Fx( k) + Gu( k) y( k) = Cx( k) + Du( k) (5.0.1a,b) En illsåndsmodell är en allmännare sysembeskrivning än en beskrivning med överföringsfunkioner, efersom den förra i mosas ill den senare kan inkludera icke-syrbara och icke-observerbara komponener (s.k. moder). En annan skillnad är a illsåndsmodellen gäller i idsplane, vilke beyder a vi ine behöver använda (Laplace-)ransformeori (vilke dock ine nödvändigvis är en fördel). Om e sysem, som skall regleras, är beskrive med en illsåndsmodell, är de illalande a då göra regulaordesignen (eller -synesen) direk ugående från illsåndsmodellen. Men hur? Efersom sysemes illsåndsvekor innehåller all relevan informaion om sysemes illsånd, förefaller de naurlig a unyja denna i regulaorn. Reglereknik II Tillsåndsmeoder (419301) 5 1
5.1 Polplacering 5.1 Polplacering De uppenbara är a åerkoppla illsåndsvekorn. Vi skall här illusrera dea för en idskoninuerlig illsåndsbeskrivning, men behandlingen är hel analog för en idsdiskre beskrivning. En idskoninuerlig linjär illsåndsåerkoppling har formen u( ) = ur ( ) Kx( ) (5.1.1) där u r ( ) är en referenssignal, som kan användas för a definiera e börvärde x r ( ) för illsåndsvekorn ( u r ( ) = Kxr ( ) ). Vid analys och regulaordesign anas ofa u r ( ) = 0. Dynamiken för e sysem på illsåndsform besäms av sysemmarisens A egenskaper, speciell dess egenvärden eller poler. Genom insäning av reglerlagen i illsåndsekvaionen kan vi sudera hur illsåndsåerkopplingen förändrar sysemes egenskaper. Vi får x () = ( A BK) x() + Bur () (5.1.) där A BK är de reglerade sysemes sysemmaris. Med hjälp av åerkopplingsmarisen K kan man således (åminsone i princip) placera de reglerade sysemes poler. 5. Tillsåndsåerkoppling 5
5.1 Polplacering 5.1.1 Illusraion av polplaceringsmeodiken 4Exempel 5.1. Sabilisering genom polplacering. Beraka syseme x () = Ax() + Bu() A = 0 1, B = 1 1 0 0 Dea sysem har polerna (dvs egenvärdena) 1 och + 1 och är således insabil. Vi önskar sabilisera syseme genom linjär illsåndsåerkoppling och, om möjlig, ge båda polerna för de reglerade syseme värde 1. Vi har en insignal och vå illsånd. Därmed har illsåndsåerkopplingen formen och de sluna syseme blir [ k k ] x( ) u( ) = ur ( ) Kx( ) = ur ( ) 1 0 1 1 x () = 1 [ k ] 1 1 1 1 k () u () k k () () 1 0 0 0 r x + = x + u 1 0 0 r 5. Tillsåndsåerkoppling 5 3
5.1.1 Illusraion av polplaceringsmeodiken De sluna sysemes poler fås ur lösningen ill den karakerisiska ekvaionen 1 1 de( ( )) de k1 k de λ + k1 + k λi A BK = λi = 1 0 1 λ = ( λ + k ) λ + ( k 1) = λ + k λ + k 1 = 0 1 Efersom vi önskar polerna λ = λ = 1, vill vi ha karakerisiska ekvaionen vilke erhålls med 1 = ( λ + 1) 0 λ + λ + 1 = 0 k 1 = och = 1 k 3 En inressan fråga är om man allid kan placera e sysems poler på önska sä genom en illsåndsåerkoppling. Såsom näsa exempel visar är svare nej. 5.1 Polplacering 5 4
5.1.1 Illusraion av polplaceringsmeodiken 4Exempel 5.. En icke-realiserbar polplacering Beraka syseme som har polerna 1 och 1 x () = 1 0 x() + 1 u() 0 1 0 + och således är insabil. Tillsåndsåerkopplingen har samma form som i föregående exempel och den karakerisiska ekvaionen blir 1 1 de( ( )) de k1 k de λ + + k1 k λi A BK = = λi 0 1 0 λ 1 = ( λ + 1+ k )( λ 1) = 0 Polerna för de reglerade syseme är således λ 1 = 1 k1 och λ = 1. 1 Såsom framgår kan polen λ = 1 ine påverkas och syseme därmed ine sabiliseras genom illsåndsåerkoppling; endas den andra polen kan placeras godycklig. 3 Vad beror dea på? 5.1 Polplacering 5 5
5.1 Polplacering 5.1. När kan e sysems poler placeras godycklig? Sysemes x () = Ax() + Bu() (5.1.3) poler kan placeras godycklig (men komplexa poler måse givevis förekomma som komplexkonjugerade par) med illsåndsåerkopplingen u( ) = ur ( ) Kx( ) (5.1.4) om och endas om sysemes syrbarhesmaris har full rang, dvs n 1 Γ c B AB A B A B (5.1.5) rang( Γ c) = n, då A är en n n maris. Märk a behove a kunna placera polerna godycklig kan vara onödig resrikiv. I prakiken vill man ine placera polerna så a de reglerade syseme blir insabil. Om ev. icke-syrbara illsånd är sabila, är de ändå möjlig a placera polerna relaerade ill de syrbara illsånden godycklig i de komplexa alplanes vänsra halva. 5. Tillsåndsåerkoppling 5 6
5.1 Polplacering 5.1.3 Var skall sysemes poler placeras? Som umregel kan man säga a man skall placera polerna i de sreckade område i de komplexa alplane i figuren för idskoninuerlig sysem diagramme ill vänser (men i allmänhe undviks område nära origo) idsdiskre sysem diagramme ill höger (men i regel undviks område nära punken (1,0)) För e koninuerlig sysem mosvarar de sreckade område egenvärden av formen λi = μi ± jωi, där μ i < 0, 0 ωi μi (5.1.6) Mosvarande område och egenvärden för e idsdiskre sysem är λ h μ h± jω h μ h ± jω h μ h ( ω h ω h ) i i i i i i e = e = e e = e cos( ) ± jsin( ) (5.1.7) där h är samplingsinervalle. Obs a ω > π / h ine är illalande pga aliaseffeken. i i i 5. Tillsåndsåerkoppling 5 7
5.1.3 Var skall sysemes poler placeras? Hur påverkas sysemes egenskaper av polernas placering? För e koninuerlig sysem kan man allmän säga följande: Polernas (egenvärdenas) avsånd från origo avgör sysemes snabbhe e längre avsånd mosvarar en mindre idskonsan och därmed snabbare respons. Komplexa poler medför segsvar med översläng och/eller oscillerande beeende. Om de reglerade syseme (approximaiv) är av andra ordningen fås de vackrase segsvare ofa med relaiva dämpningen ζ 0,7. Dea beyder a man bör välja 1 ωi = μi = ωn 0,7ωn, där ω n är de reglerade sysemes naurliga frekvens (egenfrekvens). Dea ger en dryg 4 % sor översläng. För sysem av högre ordning besäms de dominerande egenskaperna av polerna närmas origo. Poler lång från origo ger snabbhe, men också sora insignaler i början av e ransiensvar. Ovansående innebär a kompromisser (ingenjörsmässiga avvägningar) vanligvis måse göras och resulae konrolleras genom simulering. 5.1 Polplacering 5 8
5.1 Polplacering 5.1.4 Polplacering genom segsvarsspecifikaioner Ofa vill man a de reglerade syseme skall bee sig ungefär som e lä underdämpa andra ordningens sysem. Genom specificering av de reglerade sysemes relaiva översläng M och (.ex.) dess sigid r kan sysemes överföringsfunkion beräknas och därmed också dess poler. Man kan visa a för e andra ordningens sysem med överföringsfunkionen ωn + ζωns+ ωn Gs () = (5.1.8) s gäller ln( M ) π arcan( β / ζ ) ζ =, ω π n =, β = 1 ζ (5.1.9) + ln ( M ) β r där M = ( y max / y ) 1, y max är försa överslängens maximala värde, y är börvärdesförändringens sorlek och r är iden ills segsvare för försa gången passerar y. När ζ och ω n är kända kan sysemes poler enkel beräknas. 5. Tillsåndsåerkoppling 5 9
5.1.4 Polplacering genom segsvarsspecifikaioner 4Exempel 5.3. Segsvarsspecifikaioner för elekrisk servomoor. Dynamiken för en elekrisk servomoor med lämplig normerade variabler beskrivs av sambande 1 Y ( s) = U ( s) s( s + 1) där insignalen är pålagd spänning och usignalen moorns vridningsvinkel. Syseme har illsåndsbeskrivningen där idsenheen är sekunder. ( ) = 0 1 x( ) + 0 u( ) 0 1 1 x, y( ) = [ 1 0] ( ) Vi vill genom en linjär illsåndsåerkoppling placera de reglerade sysemes poler så a syseme får en relaiv dämpning ζ 0, 7 och en sigid r 0, 8 sekunder. Dessuom önskar vi ingen saionär regleravvikelse mellan usignalen och dess börvärde. Vi noerar a ζ = 0, 7 0, 7 ω. β och r = 0, 8 n 4, 17 x 5.1 Polplacering 5 10
5.1.4 Polplacering genom segsvarsspecifikaioner Vi väljer en linjär illsåndsåerkoppling av formen [ ] u () = kr () k k x () r 1 där r () är usignalens börvärde. Obs a denna reglerlag ine är ekvivalen med en åerkoppling av enbar usignalen ) ) = ( ( ) (. Insäning i modellen ger y (, u( k r y )) 0 1 0 x () = 0 0 1 0 [ k1 k] () kr () () () 0 1 1 1 r x + = x + kr k1 1 k 1 r Laplaceransformering ger för de reglerade sysemes överföringsfunkion G r ( s) = Y ( s) R( s) = [ 1 0] si 0 k 1 1 1 k 1 1 0 k r = s + k r (1 + k ) s + k 1 Specifikaionerna innebär a vi skall välja k = ω 18 och k = ζω 1 5 sam k = k 18 Polerna är 1 n n n n n n r 1 = λ = ζω ± jω ζ 1= ζω ± βω j 3± 3j 5.1 Polplacering 5 11
5.1.4 Polplacering genom segsvarsspecifikaioner Den heldragna kurvan ( ) i figuren ill höger visar hur usignalen y () förändras för en segförändring av börvärde från r = 0 ill r = 1. Som jämförelse visas med den sreckade kurvan ( ) resulae om man lägger båda polerna i λ = 18, vilke erhålles med k 1 = 18, k = 18 1 och k r = k1 = 18. Dea mosvarar e kriisk 1 dämpa sysem med vå lika sora idskonsaner T = ( 18) = 1 0, 4 sekunder.3 n 6 5.1 Polplacering 5 1
5.1 Polplacering 5.1.5 Några nackdelar med polplacering Designmeoden förefaller illalande, men den är i verkligheen relaiv oprakisk och har också eoreiska begränsningar. Tillsåndsåerkoppling ger normal en regulaor av PD-yp, efersom illsånden ofa represenerar usignalen och derivaor av den. I exemple ovan erhölls ingen regleravvikelse pga vale k r = k1, men generell sä kan man räkna med regleravvikelse med en regulaor av denna yp. Tillsåndsåerkopplingen påverkar ine sysemes nollsällen. E koninuerlig ickeminimumfassysem har nollsällen i högra halvplane, vilke medför besvärliga dynamiska egenskaper, men dessa kan ine flyas ill vänsra halvplane genom polplacering. Vanligvis kan man ine mäa alla illsånd, vilke illsåndsåerkoppling förusäer. I prakiken är man vungen a esimera eller rekonsruera illsånden med hjälp av processmodellen och mäningar av usignalerna. 5. Tillsåndsåerkoppling 5 13
5. Tillsåndsåerkoppling 5. Linjärkvadraisk reglering Vad är linjärkvadraisk reglering? Med polplacering kan man specificera de reglerade sysemes poler, men man har ingen egenlig konroll över in- och usignalers sorlekar. Bl.a. dea försöker man lösa genom linjärkvadraisk reglering. De linjärkvadraiska reglerprobleme är e opimeringsproblem, där man minimerar en kvadraisk förlusfunkion under bivillkore a man har en linjär illsåndsmodell som beskriver sambande mellan sysemes variabler (insignaler, illsåndsvariabler, usignaler). Fördelen med a ha en linjär modell men en kvadraisk förlusfunkion är a opimeringsprobleme har en (implici) analyisk lösning, vilke är av sor fördel för en sysemaisk behandling av reglerprobleme. De linjärkvadraiska reglerprobleme kan lösas både för idskoninuerliga och idsdiskrea sysembeskrivningar på hel likara sä. Vissa dealjskillnader förekommer dock, och vi skall börja med a behandla de idskoninuerliga falle. Reglereknik II Tillsåndsmeoder (419301) 5 14
5. Linjärkvadraisk reglering 5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Vår sysem beskrivs av illsåndsekvaionen x () = Ax() + Bu() (5..1) där variablerna definieras så, a de önskade illsånde är x= 0. Anag a vid iden = 0 gäller x(0) = x0 0. Vi önskar genom reglering eliminera denna avvikelse från noll på e opimal sä så a förlusfunkionen minimeras. Här är Q x är posiiv semidefini och x() 0 och T x T T x u 0 J = ( x( ) Q x( ) + u( ) Q u ( ))d (5..) Q x och u Q är posiiv defini. Dea beyder a u Q = Q 0 och x T Q symmeriska vikmariser sådana a u() Q u () > 0oberoende av u() u T u Q = Q > 0. u 5. Tillsåndsåerkoppling 5 15 T x() Q x () 0oberoende av x 0. Maemaisk kan dea skrivas Termerna i förlusfunkionen kan olkas så a man vikar kvadraen på variablernas avvikelser från de önskade illsånden noll.
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Under förusäning a syseme över huvudage är sabiliserbar, dvs a de exiserar en maris Κ sådan a alla egenvärden ill marisen A BK har negaiv realdel, kan man visa a den opimala lösningen är u() = Kx (), där P är en symmerisk posiiv defini maris (dvs enydiga lösningen ill den algebraiska Riccaiekvaionen T 1 T x u 1 T K = Q u B P (5..3) 5. Linjärkvadraisk reglering 5 16 T P= P > 0) som erhålles som den A P+ PA+ Q PBQ B P= 0 (5..4) Såsom sambande u() = Kx () visar, är den opimala lösningen a alla illsånd skall åerkopplas. Tyvärr exiserar ine någon allmän explici lösning för P, vilke beyder a P för sysem av högre ordning än vå i prakiken måse besämmas numerisk. De fakum a man i förlusfunkionen inegrerar från 0 = ill = gör a marisen P, och därmed även Κ, blir konsana mariser. Ifall inegraionen uförs ill en ändlig id blir dessa mariser idsberoende, dvs reglerlagen blir idsvarian.
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id 4Exempel 5.4. Linjärkvadraisk reglering av en dubbelinegraor. En srömsyrd liksrömsmoor kan modelleras som en dubbelinegraor, vars illsåndsmodell är x () = Ax() + Bu() 0 1 0, A = 0 0, B = 1 Man önskar syra moorn så, a förlusfunkionen T T 4 0 J = ( x( ) Qxx( ) + u( ) Quu ( ))d, Q x = 0 0, Q u = 1 0 minimeras. Med beakande av a u här är en skalär fås för de givna vikerna Q x och 0 1 J = (4 x + u )d Dea innebär a illsånde x (som mosvarar moorns vinkelhasighe) ine alls vikas, dess värde får m.a.o. vara godycklig. Däremo vikas x 1 (segmoorns vridningsvinkel) och u (srömsyrkan). 5. Linjärkvadraisk reglering 5 17 Q u
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Den opimala reglerlagen är u() = Kx (), där P fås som lösningen ill Riccaiekvaionen 1 T K = Q u B P T 1 T x u A P+ PA+ Q PBQ B P= 0 Av Riccaiekvaionen följer a P måse ha samma dimension som A. Efersom P är symmerisk, måse marisen ha formen p11 p1 p11 p1 P = = p1 p p 1 p Insäning i Riccaiekvaionen ger 0 0 p p p p 0 1 4 0 p p 0 p p 1 [ 0 1 ] + + = 1 0 0 0 0 0 1 11 1 11 1 11 1 11 1 p1 p p 1 p p 1 p p1 p 0 0 0 p 11 4 0 p 1 1 1 [ 1 ] p p p + p p p 11 p 1 0 p + = = 1 0 0 p p1 p p 5. Linjärkvadraisk reglering 5 18
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Dea ger de fyra ekvaionerna 4 = p1 p11 = p1 p 11 = 1 1 = p p p p p varav re är oberoende. Den enda lösning som gör a P är posiiv defini är p =, p1 = p1 =, p =, dvs 11 4 Den opimala åerkopplingsmarisen är då [ ] [ ] 1 T K = Q 1 0 1 4 u B P = = 4 = P. och reglerlagen är u () = x1() x() eller u () = ( r x1()) x() där r är börvärde för x 1 ( x får ju variera godycklig). 5. Linjärkvadraisk reglering 5 19
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Vilka poler har de reglerade syseme? Vi har, A BK [ ] x = Ax+ Bu = ( A BK) x 0 0 1 1 de λ λ 0 λ = = λ+ λλ ( + ) + = λ + λ+ = 0 λ = 1 ± ( 1) = 1± j dvs de reglerade syseme är sabil och polerna är i enlighe med rekommendaionerna för polplacering. Figuren visar e segsvar för de reglerade syseme. 0 1 0 0 1 = = 0 0 1 3 3 5. Linjärkvadraisk reglering 5 0
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Inegrerande verkan Den ovan härledda regulaorn är opimal för a föra syseme från e begynnelseillsånd x 0 0 ill sluillsånde x = 0. Probleme som löss är egenligen e servoproblem (även kalla följereglering), där illsåndsvariablerna väljes som avvikelser från de i verkligheen önskade sluillsånde. Evenuella sörningar beakas ine alls och regulaorn klarar ine heller av a eliminera deras inverkan på sysemes illsånd inegrerande verkan saknas. För processreglering är de s.k. regulaorprobleme (även kalla konsanreglering) vanligvis av sörre beydelse. I dea fall vill man hålla usignalerna vid sina referensvärden (börvärden) ros inkommande sörningar. För dea krävs inegrerande verkan. Regulaorn klarar även av följereglering. Vi skall här modifiera problembeskrivningen så a vi erhåller en opimal regulaor som innehåller inegrerande verkan sam får usignalen y a följa e börvärde r ros inkommande sörningar d. I härledningen av lösningen anas a börvärde och sörningarna är konsana, men regulaorn fungerar (men kanske ine opimal) även om dessa krav ine uppfylls. 5. Linjärkvadraisk reglering 5 1
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Tillsåndsmodellen med beakande av en konsan sörning d kan skrivas x () = Ax() + Bu() + Md () = () + () + Vi definierar en ny variabel y Cx Du Ed 0 (5..5) q() = ( y() r )d (5..6) där r är börvärde för usignalen y (). Tidsderivaan av den nya variabeln kan skrivas q () = y() r = Cx() + Du() + Ed r (5..7) Då vi deriverar denna ekvaion sam illsåndsekvaionen en gång ill fås x() = Ax () + Bu () x() A 0 x () B eller = + () q () = Cx () + Du () () () u q C 0 q D (5..8) 5. Linjärkvadraisk reglering 5
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Med definiionerna x () w() = q(), v() = u (), ˆ A 0 A = C 0, ˆ B B = (5..9) D kan dea skrivas w () = Aw ˆ () + Bv ˆ () (5..10) Minimering av förlusfunkionen T T w v 0 ger i analogi med idigare lösning reglerlagen J = ( w( ) Q w( ) + v( ) Q v ( ))d (5..11) v() = Kw (), K Q Bˆ P (5..1) 1 T = v där P är den symmeriska posiiv definia maris som saisfierar ekvaionen Aˆ P+ PAˆ + Q PBQ ˆ Bˆ P= 0 (5..13) T 1 T w v 5. Linjärkvadraisk reglering 5 3
5..1 Linjärkvadraisk reglering i koninuerlig id Med pariioneringen = [ ] K K K sam idigare variabeldefiniioner fås 1 u () = K x () K q () = K x () + K ( r y()) (5..14) 1 1 Inegrering från = 0 ill ger med begynnelseillsånden x(0) = 0 och (0) = 1 0 u 0 u() = K x() + K ( r y ())d (5..15) som är en mulivariabel reglerlag med inegrerande verkan så a () 5. Linjärkvadraisk reglering 5 4 y r. En förusäning för a denna reglerlag skall sabilisera syseme ( AB, ) är a de är syrbar (dvs syrbarhesmarisen har full rang) sam a marisen A B har full rang. C D Q 0 I förlusfunkionen har vikmarisen Q w i prakiken formen 1 Qw =. Dea innebär 0 Q a Q 1 vikar x (), dvs rörelserna hos x (), Q vikar regleravvikelsen r y () och Q v vikar rörelserna hos u (). Q avgör därmed hur mycke inegrerande verkan som fås.
5. Linjärkvadraisk reglering 5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id En idsdiskre illsåndsekvaion har som bekan formen ( + 1) = ( ) + ( ) och en kvadraisk idsdiskre förlusfunkion har formen x k Fx k Gu k (5..16) T T x u k= 0 J = ( x( k) Q x( k) + u( k) Q u ( k)) (5..17) Minimering av förlusfunkionen ger den opimala reglerlagen ( ) = ( ) = ( + ) u k Kx k, u T 1 T K Q G PG G PF (5..18) där den symmeriska marisen P ges av den diskrea Riccaiekvaionen T T T 1 T ( u ) P = F PF F PG Q + G PG G PF + Q (5..19) Lösningen ill de linjärkvadraiska reglerprobleme är således någo mer komplicerad i diskre id än i koninuerlig id. x 5. Tillsåndsåerkoppling 5 5
5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id Inegrerande (summerande) verkan En idsdiskre illsåndsmodell med beakande av en konsan sörning kan skrivas x( k+ 1) = Fx( k) + Gu( k) + Nd (5..0) y( k) = Cx( k) + Du( k) + Ed Vi definierar en ny variabel k 1 q( k) = ( y( i) r ) q( k+ 1) = q( k) + y( k) r (5..1) i= 0 där r är börvärde för usignalen y ( k). Vidare inför vi beeckningarna Δ x( k) = x( k) x ( k 1), Δ q( k) = q( k) q ( k 1), Δ u( k) = u( k) u ( k 1) (5..) med vilkas hjälp vi kan skriva Δ x( k+ 1) = FΔ x( k) + GΔu( k) Δ q( k+ 1) =Δ q( k) + CΔ x( k) + DΔu( k) Δ x( k + 1) F 0 Δx( k) G = + Δ ( k) Δ ( k+ 1) Δ ( k) u q C I q D (5..3) 5. Linjärkvadraisk reglering 5 6
5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id Med definiionerna Δx( k) w( k) = Δ ( k), v( k) = Δu ( k), q ˆ F 0 F =, C I ˆ G G = (5..4) D kan dea skrivas w( k + 1) = Fw ˆ ( k) + Gv ˆ ( k) (5..5) Minimering av förlusfunkionen T T w v k = 0 J = ( w( k) Q w( k) + v( k) Q v ( k)) (5..6) ger i analogi med idigare lösning reglerlagen v( k) = Kw ( k), ˆ T ˆ 1 ˆ T ˆ K = ( Q + G PG) G PF (5..7) där den symmeriska marisen P ges av den diskrea Riccaiekvaionen ˆT ˆ ˆT T 1 T ( ) ˆ v v P= F PF F PGˆ Q + Gˆ PGˆ Gˆ PF+ Q (5..8) w 5. Linjärkvadraisk reglering 5 7
5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id Med pariioneringen = [ ] eller Efersom K K K sam idigare variabeldefiniioner fås 1 Δ u( k) = K Δx( k) K Δq ( k) (5..9) 1 u( k) u( k 1) = K ( x( k) x( k 1)) K ( q( k) q ( k 1)) (5..30) 1 u( k 1) u( k ) = K ( x( k 1) x( k )) K ( q( k 1) q( k )) 1 (5..31) u(1) u(0) = K ( x(1) x(0)) K ( q(1) q(0)) 1 ger summering med beakande av a begynnelseillsånden är noll u( k) = K x( k) K q( k) = K x( k) + K ( r y ( i)) (5..3) k 1 1 1 i= 0 som är en mulivariabel diskre reglerlag med inegrerande verkan så a y( k) r. 5. Linjärkvadraisk reglering 5 8
5.. Linjärkvadraisk reglering i diskre id Modifikaion för srik proper sysem Ovan kunde endas en reglerlag med summering ill k 1 härledas pga ermen Du ( k) som direk påverkar y ( k). Om D= 0, dvs för e srik proper sysem, kan man använda definiionen k q( k) = ( y( i) r ) q( k+ 1) = q( k) + y( k+ 1) r (5..33) i= 0 där summeringen görs ill k. Dea ger Δ q( k+ 1) =Δ q( k) +Δ y( k+ 1) =Δ q( k) + CΔ x( k+ 1) =Δ q( k) + CFΔ x( k) + CGΔu ( k) som med de modifierade definiionerna (5..34) ˆ F 0 F = CF I, ˆ G G = (5..35) CG ger samma formella lösning som ovan frånse a summeringen nu ger u( k) = K x( k) K q( k) = K x( k) + K ( r y ( i)) (5..36) 1 1 i= 0 5. Linjärkvadraisk reglering 5 9 k
5. Linjärkvadraisk reglering 5..3 Val av viker i förlusfunkionen Allmängiliga rekommendaioner för hur vikerna skall väljas för a ge bra reglering kan yvärr ine ges. Följande kan dock konsaeras: Man har sor frihe a vika precis vad man vill. De modifikaioner som inegrerande verkan medförde i förlusfunkionen är väl moiverade. Om man.ex. vill vika enbar usignaler, ine hela illsåndsvekorn, kan man välja a vika enbar de illsånd som mosvarar usignaler (vanligvis finns sådana). Vikningen av syrsignalen medför a man undviker bang-bang reglering (vanligvis vill man undvika sora syrsignaler). Vid konsanreglering som syfar ill sörningseliminering vikas u () (eller Δu ( k) ) i sälle för u () (eller u ( k) ). Dea är rimlig, efersom x = 0 kräver u 0 när man har en icke övergående sörning. Vikningen av q () = y() r (eller Δq ( k)) viss robushe mo modellfel. ) medför föruom inegrerande verkan, en 5. Tillsåndsåerkoppling 5 30
5. Tillsåndsåerkoppling 5.3 Tillsåndsrekonsrukion Resulae av både polplacering och den linjärkvadraiska reglereorin är a alla illsånd skall åerkopplas (i princip). Meoderna är mycke illalande för reglering av sysem med flera insignaler och flera usignaler, efersom de direk löser de mulivariabla probleme så a kopplingar mellan de olika variablerna beakas på rä sä. Haneringen av mulivariabla sysem som en helhe medför dock ine enbar fördelar i prakiken vill man ofa använda enkla regulaorer som unyjar informaion från endas en mäning och juserar endas en syrsignal. I e mulivariabel sysem har man då flera sådana regulaorer. Korskopplingarna mellan olika variabler i syseme bör beakas separa. E anna problem med åerkoppling av illsånden är a alla illsånd sällan är kända vi får direk informaion endas om sådana illsånd som är direk mäbara. E sä a lösa dea problem är a esimera eller rekonsruera illsånden ugående från illgängliga mäningar med hjälp av en processmodell. I reglerlagen ersäs den verkliga illsåndsvekorn då med den rekonsruerade illsåndsvekorn. Reglereknik II Tillsåndsmeoder (419301) 5 31
5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5.3.1 Tidskoninuerlig illsåndsrekonsrukion Beraka den idskoninuerliga sysembeskrivningen x () = Ax() + Bu() y() = Cx() + Du() (5.3.1) x(0) = x. Anag a mariserna A, B, C och D är kända sam a y med iniialvärde 0 (och u) kan mäas. E sä a uppskaa x vore a simulera syseme xˆ () = Axˆ() + Bu(), ˆ(0) = ˆ 0 med hjälp av den verkliga insignalen u (). x x (5.3.) Efersom de verkliga iniialillsånde x 0 ine är kän i prakiken, kommer x 0 och ˆx 0 ine a vara lika och därmed kommer de simulerade illsånde (dvs skaningen) x ˆ( ) ine heller a överenssämma med de verkliga illsånde x (). I denna simulering unyjas ingen informaion om den mäbara usignalen y (). Kunde man på någo sä förbära simuleringen genom a använda denna informaion? 5. Tillsåndsåerkoppling 5 3
5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion Skaningen x ˆ( ) kan användas för a uppskaa usignalen y () enlig yˆ() = Cxˆ() + Du () (5.3.3) Skillnaden y() yˆ() = y() Cxˆ() Du () (5.3.4) är därför e må på hur väl x ˆ( ) skaar x (). Efersom y() y ˆ() är e skaningsfel, förefaller de rimlig a reglera skaningen av x () genom åerkoppling av dea skaningsfel ill skaningen av x (). Vi får då xˆ () = Axˆ() + Bu() + H y() Cxˆ() Du() (5.3.5) ( ) där H är en åerkopplingsmaris. Om syseme har endas en usignal, är denna maris givevis en kolonnvekor. Dea dynamiska sysem kallas en (illsånds)observaör för de ursprungliga syseme med x () som illsåndsvekor. Märk a kombinaionen illsåndsregulaor + observaör endas unyjar mävärde () för a (på e ganska komplicera sä) generera reglersignalen u (). Hur bra är observaören, vilka dynamiska egenskaper har den? 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 33 y
5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion Lå oss beeckna skaningsfele av x () med δ x() = x() x ˆ() (5.3.6) Derivering och insäning av urycken för () x och xˆ( ) ger δ x () = x () xˆ () = Ax() + Bu() Axˆ() Bu() H( y() Cxˆ() Du() ) = A x() xˆ() H Cx() Cxˆ() = ( A HC) x() xˆ() = ( A HC) δx() ( ) ( ) ( ) Skaningsfele beskrivs allså av differenialekvaionen (5.3.7) δ x() = ( A HC) δ x() Om alla egenvärden ill marisen ( A HC ) har negaiv realdel är observaören sabil och esimeringsfele kommer a gå mo noll. Snabbheen med vilken esimeringsfele går mo noll besäms av egenvärdena ju mer negaiv realdel, deso snabbare konvergens mo noll. Observaörens egenvärden kan placeras godycklig med hjälp av H om syseme (, ) AC är observerbar. Men är de rimlig a försöka göra konvergensen oändlig snabb? 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 34
5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion 4Exempel 5.5. Tidskoninuerlig observaörsdynamik Den idigare berakade elekriska servomoorn har illsåndsbeskrivningen x() = 0 1 x() + 0 u() 0 1 1, y( ) = [ 1 0] ( ) där idsenheen är sekunder. Om illsånden ine kan mäas, använder vi en observaör Sysemmarisen ( A ) vars lösning ger observaörens egenvärden. 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 35 x ( [ ] ) x ˆ 0 1 ˆ 0 h () = () + u() + 1 y() 1 0 ˆ() 0 1 x 1 h x HC för observaörens skaningsfel blir 0 1 h 1 h [ ] 1 1 A HC = 1 0 = 0 1 h h 1 som har den karakerisiska ekvaionen h1 1 λ h1 1 de λ + I λ (1 h1) λ h1 h 0 h 1 = = + + + + = h λ + 1
5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion I vidsående diagram visas hur väl observaören rekonsruerar illsånde x (som ju ine mäs) för vå olika val av observaörsegenvärden. Som begynnelsevärde har använs x ˆ (0) = 0 medan de verkliga begynnelsevärde är x (0) = 1. I de övre diagramme är observaörspolerna 4± 4j, vilke erhålles med h = och h = 5. 1 7 I de nedre diagramme är observaörspolerna 15 15j med h 1 = 9 och h = 41. ±, vilke erhålles Observaörspoler längre ill vänser i de komplexa alplane ger således här bäre rekonsrukion. 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 36
5.3.1 Tidskoninuerlig rekonsrukion Hur väl gäller ovansående i prakiken? Anag a mäsignalen y () innehåller högfrekven brus, exempelvis så a y () = x() + 0,05sin(50) 1 Diagrammen ill höger visar de resula som då fås med samma vå observaörer som ovan. Här är de klar a den långsammare observaören är a föredra. Anmärkning. Vid konsrukionen av observaören har vi ine beaka a illsånde x 1 fakisk mäs; de borde räcka ill a esimera enbar x. En sådan observaör kallas reducerad (Luenberger) observaör. 3 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 37
5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5.3. Tidsdiskre illsåndsrekonsrukion Om man har en idsdiskre sysembeskrivning och en idsdiskre illsåndsregulaor bör man för illsåndsrekonsrukion givevis ha en idsdiskre observaör. Vi har den idsdiskrea modellen k x( + 1) = Fx( k) + Gu( k) y( k) = Cx( k) + Du( k) På samma sä som ovan kan vi härleda observaören ( ) (5.3.8) xˆ( k+ 1) = Fxˆ( k) + Gu( k) + H y( k) Cxˆ( k) Du ( k) (5.3.9) sam den ekvaion som beskriver esimeringsfele δ x( k + 1) = x( k + 1) xˆ ( k+ 1) = ( F HC) δ x ( k) (5.3.10) Observaören är då sabil om marisen ( F ) HC har alla egenvärden innanför enhescirkeln i de komplexa alplane. Ju närmare origo egenvärdena ligger, deso snabbare är observaörens konvergens. Egenvärdena kan placeras godycklig genom lämplig val av H om de diskrea syseme (, ) FC är observerbar. 5. Tillsåndsåerkoppling 5 38
5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Dead-bea rekonsrukion Enlig Cayley-Hamilons sas saisfierar varje maris sin egen karakerisiska ekvaion. Då marisen A har den karakerisiska ekvaionen n n 1 de( λi A) = λ + a1λ + + an 1λ+ an = 0 (5.3.11) så gäller även n n 1 A + a A + + a A+ a I= 0 (5.3.1) 1 n 1 Anag a man i illsåndsrekonsrukionen placerar alla egenvärden för marisen ( F HC ) i origo. Om anale illsånd är n har marisen dimensionen n n och dess karakerisiska ekvaion med alla egenvärden lika med noll blir n λ = 0 (5.3.13) Därmed gäller även n ( F HC) = 0 (5.3.14) vilke innebär a n δx( n) = ( F HC) δx( n 1) = ( F HC) δx( n ) = = ( F HC) δx(0) = 0 (5.3.15) dvs rekonsrukionsfele är noll efer (max) n samplingar. Dea är den snabbase rekonsrukion som kan uppnås, men också den mes sörningskänsliga. 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 39 n
5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Srik propra sysem I den allmänna formuleringen av den idsdiskrea illsåndsrekonsrukionen ovan uppsår en idsfördröjning lika med e samplingsinervall mellan mävärde y ( k) och de esima x ˆ( k + 1) som mävärde ger. För e sysem med D= 0, dvs e srik proper sysem, kan denna idsfördröjning undvikas. Efersom y( + 1) = Cx( + 1) = CFx( ) + CGu ( ) (5.3.16) kan man använda observaören k k k k ( ) xˆ( k+ 1) = Fxˆ( k) + Gu( k) + H y( k+ 1) CFxˆ( k) CGu ( k) (5.3.17) I dea fall ges rekonsrukionsfele av δ x( k+ 1) = x( k+ 1) xˆ ( k+ 1) = ( I HC) Fδ x ( k) (5.3.18) Marisen ( I HC) F avgör observaörens sabilie och liksom idigare kan dess poler placeras godycklig om syseme ( FC, ) är observerbar. 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 40
5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Tillsåndsesimae x ˆ( k) ger esimae yˆ( k) = Cx ˆ( k) av usignalen. Efersom y ( k) mäs, borde dea esimeringsfel i princip vara noll. Vi kan härleda δ y( k+ 1) = y( k+ 1) yˆ ( k+ 1) = Cδx( k+ 1) = C( I HC) Fδx( k) = ( I CH) CFδx ( k) (5.3.19) vilke beyder a esimeringsfele δ y( k + 1) = 0 om CH = I (5.3.0) Om marisen C har full rang, dvs rang( C ) = p n, där p är anale usignaler och n anale illsåndsvariabler, är de allid möjlig a välja marisen H så a CH = säkersäller därmed a yˆ( k) = y ( k). I. Man Yerligare en fördel är a man kan a bor p sycken ekvaioner ur observaören, efersom man ine längre behöver esimera de illsånd som ger esimae yˆ( k) = Cx ˆ( k). 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 41
5.3. Tidsdiskre rekonsrukion 4Exempel 5.6. En idsdiskre observaör Den samplade dubbelinegraorn har illsåndsrepresenaionen x 1 ( 1) T ( ) T / k+ = k + u( k) 0 1 x T, y( k) = [ 1 0 ] x ( k) där T beecknar samplingsinervalle. Dynamiken för en observaör uan idsfördröjning mellan e mävärde och dess esima besäms av marisen 1 0 h1 ( I HC) F = 1 [ 1 0 T 0 1 h ] 0 1 Om vi önskar yˆ( k) = [ 1 0 ] x ˆ( k) = xˆ1 ( k) = y( k) krävs CH = I, dvs här [ 1 0 h ] 1 = h 1 h 1 = 1 Då fås 1 0 1 ( I HC) F = 1 0 0 1 0 0 [ 1 0 T T 0 1 h ] = = 0 1 h 1 0 1 h 1 ht 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 4
5.3. Tidsdiskre rekonsrukion Anag a vi önskar en dead-bea rekonsrukion. Vi skall då välja marisen ( I HC) F så a dess båda egenvärden blir noll. Dea sker genom vale 1 ht= 0 dvs h = 1/ T Vi får då observaören ( ) xˆ( k+ 1) = Fxˆ( k) + Gu( k) + H y( k+ 1) CFxˆ( k) CGu( k) 1 T ˆ ( ) T / ( ) 1 ( 1) 1 [ 1 0 T T = x k + u k y k ] ˆ( k) u( k) 0 1 T + 1/ T + x 0 1 = 0 0 xˆ( k) + 0 u( k) + 1 y( k+ 1) 1/ T 0 T / 1/ T dvs xˆ ( k+ 1) = y( k+ 1) xˆ ( k 1) x( k) uk ( ) yk ( 1) ( yk ( 1) yk ( )) uk ( ) 1 + = 1 ˆ T 1 1 T T 1 + + + = + + T T Endas den sisa ekvaionen behöver användas för illsåndsrekonsrukion efersom den försa ges direk av mävärde yk+ ( 1). 3 5.3 Tillsåndsrekonsrukion 5 43