Kap P. P0. (A) Rita följande kurvor a. = + = c. = [ + ], där [a] betecknar heltalsdelen av talet a d. sgn( ), där sgn(a) betecknar tecknet av talet a. P0. (B) För vilka reella gäller + + + 4? P0. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a + b a d P04. (A) a. Summera + 4 + 7 + 0 + + 0. (A) Vilken är summan av alla tresiffriga tal som slutar på en :a? (A) c. Beräkna produkten a a a a n där n är ett heltal > 0. (B) d. Summera + n + (n ) + (n ) + + (kn k + ) + + (n n + ) P05. (A) Visa, att om en geometrisk serie med kvoten k har a som första och b som sista term, så är seriens summa a bk k. P06. (A) a. Summera 9 + + 9 + 0. (A) Summera + 4 8 + + ( ) k + + n. (B) c. Förenkla uttrcket ( + ( + ) + ( + ) + + ( + ) n + + + ( ) + ( ) + + ( ) n ).
P07. (A) Låt f() = +. Skriv följande funktioner på formen p() q() och q är polnom: a. f() + f( + ) c. f() d. f e. f () f. f() f() g. f f() h. f() f() i. f( + )(f() f( + )) där p P08. (A) a. Skissera kurvan = f() = då 0 0 då > eller < 0 och sedan kurvorna = f() c. = f(/) d. = f( + ) P09. (A) Låt f() = ( + ). Visa att f( + ) + f( ) = f()f(). P0. (A) Bestäm de sammansatta funktionerna f f, g g, f g och g f om f() = och g() =. P. (A) Undersök vilka av följande funktioner som är udda, jämna eller varken udda eller jämna. a. f() = f() = ( ) + ( + ) c. f() = a + a, a > 0 d. f() = ln +, < < e. f() = ln( + + ) f. f() = + P. (A) Vilka av följande funktioner är periodiska? Ange periodlängden i förekommande fall. a. f() = cos( ) + sin( ) f() = sin P. (B) Avgör om funktionen f() = tan tan är periodisk.
P4. (B) Bestäm en funktion f(t) för vilken a. f( + ) = +, för alla f = + +, för alla 0 c. f + = +, för alla 0 P5. (C) Avgör om följande funktioner är periodiska: a. f() = sin f() = cos{( + )} cos{( )} P6.(A) Beräkna eakt a. sin π sin 5π 6 + cos 4π + cos 7π 6 5π + tan 5π + tan 6 sin π 4 P7. (A) Skriv nedanstående uttrck som en summa av en eller flera termer av formen a, b cos α, c sin β, där a, b och c är konstanter a. sin sin cos 4 sin 4 c. (sin + cos ) d. sin cos P8. (A) Lös ekvationerna a. sin = sin cos 5 = sin 7 c. tan 5 = tan d. sin = cos P9. (A) Lös ekvationerna a. sin = cos cos = tan + 5 c. sin 4 + cos 4 = d. cos = cos e. 4 cos = cot P0. (B) Lös ekvationerna a. sin cos = sin 5 + cos 5 = P. (B) Det berättas om ett av världens sju underverk arkitekten Sostratos frtorn i Faros utanför Aleandria (79 f. Kr. c:a 00 e. Kr.) att man vid klart väder kunde se c:a 0 km ut till havs. Beräkna frtornets ungefärliga höjd, under förutsättning att ljuset går rätlinjigt.
Ledningar till uppgifterna P0 P. P0. a, Observera att kurvorna är sammanhängande och sammansatta av räta linjestcken. "Brtpunkterna" svarar mot de värden för vilka uttrcken inom beloppstecknen är = 0. c. Utgå från kurvan i a. För definition av heltalsdelen [ ], se sid 9. d. För definition av sgn, se sid 8. P0. Skissera först kurvan = + + +. P0. Obs att om n är antalet termer, så är b = a + (n )d. Uttrck med hjälp av detta n i a, b och d samt använd formeln för en aritmetisk series summa. P04. Resultatet i föregående uppgift kan med fördel användas. a. Aritmetisk serie med differens, första och sista termerna är resp 0. Aritmetisk serie med differens 0, första och sista termerna är 0 resp 99. c. Använd att a b a c = a b + c. d. Aritmetisk serie med differens n, första termen och sista termerna är resp. n n +. P05. Obs att om n är antalet termer, så är b = ak n. Uttrck med hjälp av detta k n i a, b samt använd formeln för en geometrisk series summa. P06. Resultatet i föregående uppgift kan med fördel användas. a. Geometrisk serie med kvot, första och sista termerna är 9 resp. 0 Geometrisk serie serie med kvot, första och sista termerna är resp. n. c. Uttrcket inom de större parenteserna är summan av två geometriska serier med kvoterna + resp.. 4
P08. a. Använd definitionen av absolutbeloppet; man får att 0 då < 0 då 0 f() = då 0 då > Kurvan = f() är en i aelled hoptrckt variant av kurvan = f(). Se principskiss i figuren här bredvid (som dock visar en annan kurva än den i uppg a.) (,f()) = f() (,0) (,0) (,f()) c. Jämför det är istället fråga om en töjning i aelled. d. Kurvan = f( + ) är kurvan = f() förskjuten åt vänster längdenhet. Se principskiss i figuren här bredvid. (,f( + )) = f( + ) (,0) ( +,0) = f() ( +,f( + )) = f() P09. Använd potenslagarna. P0. Jämför E 4 på sid 7. P. a. f. Jämför definition på sid. d. Använd att ln a = ln a e. Använd att ( + + )( + ) = P. Använd att sin t och cos t är periodiska och har periodlängd π. Utnttja i omskrivningen sin = ( cos )/ P. Sätt /6 = t och använd att tan t och tan t enligt additionssatsen för tan-funktionen är av tpen g(tan t), där g är någon funktion. P4. a. Sätt + = t Sätt / = t. Obs att t = t = (sgn t) t. c. Sätt + / = t. Obs att t = + / + 5
P5. a. Använd t e att det för en periodisk funktion måste gälla: Om d är avståndet mellan två succesiva nollställen så måste det finnas oändligt många andra par av succesiva nollställen som också ligger på avståndet d ifrån varandra. (Om funktionen nämligen har perioden T och 0 och 0 + d är två succesiva nollställen så är också 0 + nt och 0 + nt + d succesiva nollställen får alla heltal n.). Nollställena till den givna funktionen är nπ, n naturligt tal, och avståndet mellan två succesiva nollställen, (n + )π π nπ =, avtar då n väer. n + + n Beräkna först alla nollställen till funktionen, de är = nπ och = mπ/, där n och m är godtckliga heltal. Visa sedan t e att nollställena = π och = π/ är de enda som ligger på avståndet d = ( / )π ifrån varandra. (Funktionen kan då inte vara periodisk om nämligen T 0 vore dess periodlängd så skulle talen + T och + T vara två andra nollställen som också skulle ligga på avståndet d ifrån varandra). För att visa detta, verifiera att om två andra nollställen i och j skulle ligga på avståndet d ifrån varandra så skulle vara ett rationellt tal (dvs = kvoten mellan två heltal). P6. a. Använd definitionerna av de trigonometriska funktionerna och förhållandena mellan sidorna i en 0 60 90 -triangel. Använd att π 4 = 4 π 6, att α sin = cos α, att cos α = + cos α och att cos π/6 kan beräknas eakt. P7. a. Använd att sin a sin b = (cos(a b) cos(a + b))/. Använd konjugatregeln, trigonometriska ettan och att cos sin = cos. c. Använd trigonometriska ettan och att cos sin = sin. d. Använd t e att sin a = ( cos a)/, cos a = ( + cos a)/ och att cos a cos b = (cos(a b) + cos(a + b))/. P8. a. sin a = sin b a = b + nπ a = π b + nπ, n heltal cos a = sin(π/ a) och sambandet i ledningen till a. c. tan a = tan b a = b + nπ, n heltal. Obs att tan nπ/ är odefinierat för udda n. d. sambanden i ledningarna till a. och till 6
P9. a. Dividera med cos. cos = + tan c. Använd trigonometriska ettan för att uttrcka cos 4 som en funktion av sin, sätt sedan sin = t. d. cos = cos, sätt sedan cos = t. e. cot = cos sin P0. Skriv om vänsterleden på formen A sin( α) resp. A sin(5 α). Alternativ i a.: Uttrck sin och cos i tan. P. Visa, genom att använda Pthagoras sats, att om R är jordradien, h frtornets höjd över havet och s den distans ut till havs varifrån frtornet kunde ses, så gället att s Rh. Jordens omkrets är 4 000 mil. 7
Svar till uppgifterna P0 P. P0. a. = = = = = = = c. = / = d. P0. 5 4 P04. a. 5 5 49 40 n(n + ) c. a (n + )(n d. n + ) = n + n + P06. a. 7 P0 4 c. ( + ) n ( ) n n + + 8
P07. a. + d. + e. g. + + h. + + + c. f. i. + ( + ) P08. a. c. 0.5 d. 4 P0. f f() = 4, g g() =, f g() =, g f() = P. a, d och e är udda; b och c är jämna; f är varken udda eller jämn. P. Funktionerna är periodiska. Periodlängden är π i a. och π i P. Funktionen är periodisk. (Periodlängd 6π.) P4. a. f(t) = t 5t + 6 f(t) = ( + (sgn t) + t )/t c. t P5. Funktionerna är inte periodiska. P6. a. 9 + 4 + 9
P7. a. cos cos 5 cos c. + sin d. 4 4 cos + 4 cos 8 cos ( ) cos ( +) 8 P8. a. = nπ eller = (n + )π/, n godtckligt heltal. = π/4 + nπ eller = (4n + )π/p04, n godtckligt heltal. c. = nπ, n godtckligt heltal. d. = (4n + )π/8 eller = (4n )π/4, n godtckligt heltal. P9. a. = π/ + nπ, n godtckligt heltal. = arctan 4 + nπ eller = π/4 + nπ, n godtckligt heltal. c. = nπ/, n godtckligt heltal. d. = ± arccos 7 4 + nπ, n godtckligt heltal. e. = π/ + nπ, = π/ + nπ eller = 5π/ + nπ, n godtckligt heltal. P0. a. = π/4 + nπ eller = π/4 + arcsin / 5 + nπ (= arctan + nπ), där n är ett godtckligt heltal. = π/60 + nπ/5 eller = π/ + nπ/5, n godtckligt heltal. P. C:a 70 m 0