Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Vi har sett hur ett LTI-system kan ges en komplett beskrivning av dess impulssvar. Genom att falta insignalen med impulssvaret erhålls systemets utsignal. Vi noterade också i förra avsnittet att vi i princip kan välja en annan basfunktion än impulsen för att representera in/ut-sambandet. Detta är grunden till transformmetoderna. 1
Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé 2: Representera signaler i frekvensdomänen, dvs med frekvens i stället för tid som oberoende variabel. Mer kraftfull analys! Båda idéerna förverkligas med Fourieranalys! 2 Hittills har vi representerat alla signaler i tidsdomänen, dvs med tid som oberoende variabel. För omkring 200 år sedan började man fråga sig om det inte fanns andra former att skriva signalerna på som kunde förenkla analysen och kanske i viss mån beskriva signalen i ett annat perspektiv, ett perspektiv där signalers (eller systems) egenskaper tydligt framträdde utan att behöva lösa krångliga differentialekvationer. I problem relaterade till vågrörelser och värmeledning härleddes så kallade transformbaserade metoder. Leonard Euler och den franske baronen Joseph Fourier gjorde här banbrytande insatser, vars resultat i dag används i nästan alla ingenjörsämnen och naturvetenskaper. Två idéer som verkar intressanta är följande: 1. Kan vi skriva in- och utsignaler som en linjärkombination av samma basfunktion? Då skulle vi få in- och utsignaler på samma form, vilket rimligen underlättar den fortsatta analysen. 2. Kan vi skriva signalerna med frekvens som oberoende variabel? I så fall kan vi tolka signalers egenskaper i termer av frekvensinnehåll. Som vi visade under förra föreläsningen så hade komplexa exponentialfunktioner den första egenskapen. Detta visas på tavlan. Vi går också igenom vilka signaler som kan skrivas som en linjärkombination av exponentialfunktioner och vi noterar att det finns tre varianter på denna idé: Fourierserien, Fouriertransformen och Laplacetransformen. 2
Basfunktioner för LTI-system Skriv insignalen som en linjärkombination av basfunktioner (kernels) 3 3
Egenfunktioner för LTI-system Vi vill nu hitta en uppsättning basfunktioner som producerar som utsignal skalade versioner av samma basfunktioner, dvs Då får vi in- och utsignalen på samma form: 4 Funktioner med dessa egenskaper kallas egenfunktioner. 4
Egenfunktioner för LTI-system Men basfunktionen denna egenskap! hade ju Komplexa exponentialfunktioner är alltså egenfunktioner till LTI-system Sinusfunktioner går att skriva på exponentialform! 5 Eftersom en sinus kan skrivas i termer av exponentialfunktioner får vi både ett enkelt in/ut-samband och en fysikalisk tolkning som säger hur systemet påverkar frekvens- och fasegenskaperna hos insignalen. 5
Fourierserien Alla periodiska signaler kan skrivas som en summa av harmoniska signaler Denna representation kallas för Fourierserien Fourierserien säger att reella periodiska signaler kan skrivas som en summa av skalade reella sinusar 6 En mer formell beskrivning av Fourierserien ges på tavlan där ovanstående punkter visas och exemplifieras. Vi diskuterar också konvergensvillkor. 6
Fouriertransformen Fourierserien fungerar bara för periodiska signaler Aperiodiska signaler kan sägas ha en period som går mot oändligheten vilket ger infinitesimala (kontinuerliga) frekvenser Vi får då en integralrepresentation i stället för en serie Denna kallas för Fouriertransformen 7 Övergången från Fourierserien till Fouriertransformen för aperiodiska signaler gås igenom på tavlan. 7
Viktiga begrepp Amplitud- och fasspektrum Faltning i tidsdomän motsvaras av multiplikation i frekvensdomän Samplingsteoremet 8 Begreppen gås igenom på tavlan. 8
Frekvenssvar Bodeplott Viktiga begrepp Fouriertransformering av linjära diferentialekvationer med konstanta koefficienter 9 9
Frekvenssvar för LTI-system Utsignalen till ett LTI-system ges av insignalen faltad med systemets impulssvar: y(t) = h(t) * x(t) Eftersom faltning i tidsdomän motsvaras av multiplikation i frekvensdomän fås: Y(jω) = H(jω)X(jω) H(jω) kallas för systemets frekvenssvar 10 10
Frekvenssvarets betydelse Om vi använder en komplex sinus som insignal så fås den transformerade utsignalen vilket i tidsdomänen blir 11 11
Frekvenssvarets betydelse Eftersom H(jω 0 ) är en komplex konstant så är alltså utsignalen en sinus med samma frekvens som insignalen men med ändrad amplitud och fas Ett LTI-system påverkar alltså varje frekvenskomponent i insignalen enbart på två sätt: Amplitudskalning Fasvridning 12 12
Frekvenssvarets betydelse Märk också att utsignalens amplitudspektrum ges av eller i log-form och dess fasspektrum av 13 13
Bodeplott Bodeplott = plott av både amplitud- och fasspektrum Man använder oftast log-skala på frekvensaxeln och db-skala för amplitudspektrat Bodeplott av en biografhögtalare 14 Amplitudspekrat beräknas oftast som 20log( Y(jω) / X(jω) ), varför man egentligen borde säga effektspektrum. En fördel med db-formen är att man då (pga logaritmeringen) kan addera ihop insignalens amplitudspektrum med LTI-systemets för att få utsignalens amplitudspektrum. 14
Ex. Frekvenssvar för tidsskift Tidsskift-operationen utgör ett enkelt LTIsystem beskrivet av impulssvar: frekvenssvar: Utsignalen blir Amplitudspektrum: Fasgång: 15 Observera att lutningen på faskurvan är lika med tidsfördröjningen. Denna observation kan generaliseras till godtyckliga LTI-system: Derivatan av fasgången (deriverad m.a.p frekvensvariabeln) är lika med fördröjningen som systemet bidrar till. Derivatan kallas därför grupplöptid. Plottar man systemets grupplöptid som funktion av frekvens ser man alltså hur mycket olika frekvenskomponenter fördröjs av systemet. Således innebär en linjär fasgång (en kurva med konstant lutning) att systemet fördröjer alla frekvenskomponenter lika mycket. Hur inverkar då en olinjär fasgång på t ex ljudkvaliteten i en högtalare eller på blidskärpan i en kamera? 15
Grupplöptid Grupplöptiden fås genom att derivera fasgången m.a.p frekvensvariabeln Den säger hur mycket varje frekvenskomponent fördröjs av systemet En linjär fasgång innebär således en konstant grupplöptid och att alla frekvenskomponenter fördröjs lika mycket 16 16
Samplingsteoremet Kan vi sampla en signal utan att någon information förloras? Ja, om samplingsfrekvensen är minst dubbelt så hög som signalens bandbredd Annars tolkas höga frekvenser som låga frekvenser (vikningsdistorsion, aliasing) 17 17
Samplingsteoremet Föreläsning 3-5 Om den ursprungliga signalen inte uppfyller kriteriet måste den först lågpassfiltreras (vikningsfilter / antialiasing filter) Rekonstruktion av den kontinuerliga signalen sker genom lågpassfiltrering Samplingsteoremet kallas ofta Nyquistkriteriet och halva samplingsfrekvensen för Nyquist-frekvensen 18 18
Linjära differentialekvationer De flesta kontinuerliga LTI-system kan skrivas som en linjär differentialekvation: Överföringsfunktionen för ett sådant system ges av 19 Härledningen av överföringsfunktionen (som följer direkt från Fouriertransformen för en derivata) ges på tavlan. 19
Exempel Ett allmänt första ordningens system Föreläsning 3-5 har således frekvenssvaret 20 20
Undersök följande fall: 1. 2. 3. Exempel 4. Vilken funktion fyller de olika fallen? 21 Vi undersöker exemplen på tavlan och bestämmer deras frekvensgång. I samband med detta belyser vi begreppen dekad- och oktavdämpning, gränsfrekvens, passband och stoppband. 21
Filter Filter = system som är konstruerat för visst ändamål Enkla typer av filter är lågpass, högpass, bandpass och bandstopp (notchfilter) Ideala filter kräver oändliga impulssvar LP HP BP BS Exempel på ideala filter 22 Genom att inverstransformera det ideala filtrets frekvenssvar fås dess impulssvar. Eftersom de ideala filtren består av skalade och skiftade rektangelfunktioner så blir motsvarande impulssvar i form av sincfunktionen som ju har oändlig utbredning. Detta betyder att ideala filter är icke-kausala och har oändliga impulssvar. 22
Laplacetransformen Komplexa exponentialfunktioner är egenfunktioner till LTI-system Om argumentet är rent imaginärt s=jω så fås Fouriertransformen Låter vi s anta godtyckliga komplexa värden så fås Laplacetransformen 23 Genom att låta s anta godtyckliga komplexa värden så får vi en transform som kan representera en större klass av signaler. Däremot har överföringsfunktionen H(s) inte längre en naturlig fysikalisk tolkning som frekvenssvaret H(jω). I bland kallas s för komplex frekvens. Vi går igenom Laplacetransformen på tavlan och visar hur Laplacetransformen alltid kan tolkas som en fouriertransform av den ursprungliga signalen multiplicerad med en faktor exp(-σt). Vi förklarar begreppen nollställen och poler och visar hur pol-nollställediagram kan användas för att snabbt bestämma systemets ungefärliga amplitud- och fasspektrum. 23
Poler och nollställen Man kan ofta skriva en Laplace-transform som en kvot mellan två polynom: där B(s) och A(s) är polynom av ordning M respektive N. De M rötterna till B(s) kallas nollställen De N rötterna till A(s) kallas poler 24 24
Differentialekvationer igen! Ett system på formen har Laplace-transformen 25 Resultatet är analogt till motsvarande fall för Fouriertransformering. 25
Poler och nollställen Vid en pol blir H(s) oändlig och vid ett nollställe blir H(s) noll Om en pol befinner sig på jω-axeln i s- planet så blir förstäkningen oändlig vid den frekvensen, dvs systemet blir instabilt. På motsvarande sätt ger ett nollställe på jω-axeln total utsläckning av den frekvenskomponenten. 26 26
Poler och nollställen Faktoriserar vi H(s) fås Föreläsning 3-5 jω Amplitudsvaret blir då H(jω 0 ) α ω 0 φ(jω 0 ) = arg(h(jω 0 )) σ Varje term i produkten kan ses som en vektor i s-planet Ett system bestående av en pol vid s= α beskrivet i s-planet 27 27
Stabilitetsvillkor Föreläsning 3-5 Ett kontinuerligt kausalt LTI-system är stabilt om alla dess poler ligger i det vänstra halvplanet. jω σ 28 Vi går igenom stabilitetsvillkoret på tavlan och ägnar övrig tid åt filtrering, vidare tolkningar av pol/nollställe-diagram samt systemkonstruktion. 28
Butterworthfilter Föreläsning 3-5 Ett N:e ordningens Butterworthfilter har amplitudsvaret Med andra ord är 29 DC-förstärkningen är 0 db. Förstärkningen vid gränsfrekvensen är 3dB (definitionsmässigt). Asymptotiskt är förstärkningen 20Nlog(ω b ) 20Nlog(ω) db, dvs 20N db per dekad, eller - 6dB per oktav. 29
Butterworthfilter Butterworthfiltrets poler ligger till vänster om jω-axeln jämnt ustpridda på en halvcirkel med radie ω b och centrum i origo Butterworthfiltret har minst rippel av alla filter 30 Filtrets egenskaper gås igenom närmare på tavlan. 30
Chebyshev-filter Om man flyttar polerna i ett Butterworthfilter in mot jω-axeln så att de hamnar på en ellips i stället för en cirkel fås ett Chebyshev-filter Snabbare övergång från passband till spärrband Mer rippel (Chebyshev typ I: rippel i passband, typ II: rippel i spärrband) 31 31
Besselfilter Målet är maximalt linjär fasgång Priset är en långsammare övergång från passband till spärrband 32 32