Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé 2: Representera signaler i frekvensdomänen, dvs med frekvens i stället för tid som oberoende variabel. Mer kraftfull analys! Båda idéerna förverkligas med Fourieranalys! 2 Basfunktioner för LTI-system Skriv insignalen som en linjärkombination av basfunktioner (kernels) 3 1
Egenfunktioner för LTI-system Vi vill nu hitta en uppsättning basfunktioner som producerar som utsignal skalade versioner av samma basfunktioner, dvs Då får vi in- och utsignalen på samma form: 4 Egenfunktioner för LTI-system Men basfunktionen denna egenskap! hade ju Komplexa exponentialfunktioner är alltså egenfunktioner till LTI-system Sinusfunktioner går att skriva på exponentialform! 5 Fourierserien Alla periodiska signaler kan skrivas som en summa av harmoniska signaler Denna representation kallas för Fourierserien Fourierserien säger att reella periodiska signaler kan skrivas som en summa av skalade reella sinusar 6 2
Fouriertransformen Fourierserien fungerar bara för periodiska signaler Aperiodiska signaler kan sägas ha en period som går mot oändligheten vilket ger infinitesimala (kontinuerliga) frekvenser Vi får då en integralrepresentation i stället för en serie Denna kallas för Fouriertransformen 7 Viktiga begrepp Amplitud- och fasspektrum Faltning i tidsdomän motsvaras av multiplikation i frekvensdomän Samplingsteoremet 8 Frekvenssvar Bodeplott Viktiga begrepp Fouriertransformering av linjära diferentialekvationer med konstanta koefficienter 9 3
Frekvenssvar för LTI-system Utsignalen till ett LTI-system ges av insignalen faltad med systemets impulssvar: y(t) = h(t) * x(t) Eftersom faltning i tidsdomän motsvaras av multiplikation i frekvensdomän fås: Y(jω) = H(jω)X(jω) H(jω) kallas för systemets frekvenssvar 10 Frekvenssvarets betydelse Om vi använder en komplex sinus som insignal så fås den transformerade utsignalen vilket i tidsdomänen blir 11 Frekvenssvarets betydelse Eftersom H(jω 0 ) är en komplex konstant så är alltså utsignalen en sinus med samma frekvens som insignalen men med ändrad amplitud och fas Ett LTI-system påverkar alltså varje frekvenskomponent i insignalen enbart på två sätt: Amplitudskalning Fasvridning 12 4
Frekvenssvarets betydelse Märk också att utsignalens amplitudspektrum ges av eller i log-form och dess fasspektrum av 13 Bodeplott Bodeplott = plott av både amplitud- och fasspektrum Man använder oftast log-skala på frekvensaxeln och db-skala för amplitudspektrat Bodeplott av en biografhögtalare 14 Ex. Frekvenssvar för tidsskift Tidsskift-operationen utgör ett enkelt LTIsystem beskrivet av impulssvar: frekvenssvar: Utsignalen blir Amplitudspektrum: Fasgång: 15 5
Grupplöptid Grupplöptiden fås genom att derivera fasgången m.a.p frekvensvariabeln Den säger hur mycket varje frekvenskomponent fördröjs av systemet En linjär fasgång innebär således en konstant grupplöptid och att alla frekvenskomponenter fördröjs lika mycket 16 Samplingsteoremet Kan vi sampla en signal utan att någon information förloras? Ja, om samplingsfrekvensen är minst dubbelt så hög som signalens bandbredd Annars tolkas höga frekvenser som låga frekvenser (vikningsdistorsion, aliasing) 17 Samplingsteoremet Om den ursprungliga signalen inte uppfyller kriteriet måste den först lågpassfiltreras (vikningsfilter / antialiasing filter) Rekonstruktion av den kontinuerliga signalen sker genom lågpassfiltrering Samplingsteoremet kallas ofta Nyquistkriteriet och halva samplingsfrekvensen för Nyquist-frekvensen 18 6
Linjära differentialekvationer De flesta kontinuerliga LTI-system kan skrivas som en linjär differentialekvation: Överföringsfunktionen för ett sådant system ges av 19 Exempel Ett allmänt första ordningens system har således frekvenssvaret 20 Undersök följande fall: 1. 2. 3. 4. Exempel Vilken funktion fyller de olika fallen? 21 7
Filter Filter = system som är konstruerat för visst ändamål Enkla typer av filter är lågpass, högpass, bandpass och bandstopp (notchfilter) Ideala filter kräver oändliga impulssvar LP HP BP BS Exempel på ideala filter 22 Laplacetransformen Komplexa exponentialfunktioner är egenfunktioner till LTI-system Om argumentet är rent imaginärt s=jω så fås Fouriertransformen Låter vi s anta godtyckliga komplexa värden så fås Laplacetransformen 23 Poler och nollställen Man kan ofta skriva en Laplace-transform som en kvot mellan två polynom: där B(s) och A(s) är polynom av ordning M respektive N. De M rötterna till B(s) kallas nollställen De N rötterna till A(s) kallas poler 24 8
Differentialekvationer igen! Ett system på formen har Laplace-transformen 25 Poler och nollställen Vid en pol blir H(s) oändlig och vid ett nollställe blir H(s) noll Om en pol befinner sig på jω-axeln i s- planet så blir förstäkningen oändlig vid den frekvensen, dvs systemet blir instabilt. På motsvarande sätt ger ett nollställe på jω-axeln total utsläckning av den frekvenskomponenten. 26 Poler och nollställen Faktoriserar vi H(s) fås jω Amplitudsvaret blir då H(jω0 ) ω 0 φ(jω 0 ) = arg(h(j ω 0 )) σ α Varje term i produkten kan ses som en vektor i s-planet Ett system bestående av en pol vid s= α beskrivet i s-planet 27 9
Stabilitetsvillkor Ett kontinuerligt kausalt LTI-system är stabilt om alla dess poler ligger i det vänstra halvplanet. jω σ 28 Butterworthfilter Ett N:e ordningens Butterworthfilter har amplitudsvaret Med andra ord är 29 Butterworthfilter Butterworthfiltrets poler ligger till vänster om jω-axeln jämnt ustpridda på en halvcirkel med radie ω b och centrum i origo Butterworthfiltret har minst rippel av alla filter 30 10
Chebyshev-filter Om man flyttar polerna i ett Butterworthfilter in mot jω-axeln så att de hamnar på en ellips i stället för en cirkel fås ett Chebyshev-filter Snabbare övergång från passband till spärrband Mer rippel (Chebyshev typ I: rippel i passband, typ II: rippel i spärrband) 31 Besselfilter Målet är maximalt linjär fasgång Priset är en långsammare övergång från passband till spärrband 32 11