Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt är konstnt.. Cirkelns ekvtion Cirkeln med entrum i, oh rdien hr ekvtionen Cirkelns ekvtion på prmeterform: p os t q sin t, där 0 t * Anmärkning : Med hjälp v "trigonometrisk ettn " ser vi tt punkter definierde med * uppfller p q os t sin t dvs p q som är ekvtionen för irkeln med rdien oh entrum i punkten p,q. Anmärkning : Cirkelns ekvtion definierr två epliit funktioner oh därmed två funktionskurvor som vi får genom tt lös ut ur ovnstående ekvtion: q p q p Övre hlvirkeln ges v q p medn q p är ekvtionen för nedre hlvn Härledning v irkelns ekvtion: Låt P, vr en punkt på irkeln med entrum i, oh rdien. Eftersom vståndet melln P oh C är lik med hr vi: p q. Om vi kvdrerr åd leden får vi p q. v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Anmärkning 3. Endst en punkt 0,0 stisfier ekvtionen 0 Anmärkning. Ingenn punkt stisfierr ekvtionen. De inre punkter med rndpunkter uppfllerr villkoret För de ttre punkter med rndpunkter gäller Uppgift. Rit irkeln. Lösning: Vi kvdrtkompletterr 9 Om vi jämför med irkelns ekvtion, ser s vi tt,, 9 eller,, 3 Alltså C, är entrum oh =3 är irkelns rdie. =3 C-,, - O Uppgift. Rit följnde punktmängd i plnet A= {, R : + 9 } v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Svr: A D 3 Uppgift 3. Rit följnde kurvor givn i prmeterform. os t, sin t, os t, sin t, os t, sin t, d os t, sin t, e os t, sin t, f os t, sin t, där 0 t där 0 t / där / t där / där / där / t t 3 / 5 / t 9 / Tips: Kurvorn eskriver en irkel eller en del v irkeln. Svr: Cirkeln med rdien r= oh entrum i origo. d e f Noter tt kurvn i f är smm som s den i e men punktenn, genomlöper kurvn två gånger. 3 v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Uppgift. Rit följnde kurvor givn i prmeterform. ost, sin t, där / t ost, sint, där / t os3t, sin3t, där / t d ost, Lösning: sint, där / t Betekn v t. Ekvtioner lir då os v, sin v. Om / t då gäller v. Därmed får vi nednstående kurv Betekn v 3t. Ekvtioner lir då os v, sin v. Om / t då gäller 3 / v 3. Därmed får vi nednstående kurv v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor d Betekn v t. Ekvtioner lir då os v, sin v. Om / t då gäller v. Därmed får vi hel irkeln ======= =========== =========== =========== ========== ========== ====. ELLIPS Definition. En ellips är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till två givn punkter, rännpunktern, hr en konstnt summ. Ellipsen med entrum i origo 0,0 oh hlvlrn, hr ekvtionen. Om Om 0 får vi. 0 får vi. Aren v en ellips vrs hlvlr är oh är A. Om F,0 oh F,0 är ellipsens rännpunkter då gäller 5 v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor 6 v 6 Anmärkning 5: Ellipsen med entrum i origo,, kn nges med två ekvtioner på prmeter form: t os t sin, där 0 t ** Med hjälp v "trigonometrisk ettn " ser vi tt sin os t t dvs punkter som uppfller ** stisfierr ellipsens ekvtion Anmärkning 6: Ekvtionen definierr två epliit funktioner: + teken för övre hlvn Härledning v ellipsens ekvtion: Vi etrktr en ellips som hr rännpunktern F, 0 oh F, 0 som estår v de punkter vrs smmnlgd vstånd till två rännpunktern, hr en konstnt summ d + d =. Låt P, vr en punkt på ellipsen. Från d + d = hr vi Vi flttr en rot till den vänstr sidn oh kvdrerr åd sidor : Efter förenkling hr vi Vi delr med oh igen kvdrerr åd leden för tt eliminer roten oh därefter förenklr ekvtionen :
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor 7 v 6 ] [ ] [ Vi inför etekningen oh får ellipsens ekvtion Om vi delr med hr vi ellipsens ekvtion på formen. Därmed hr vi härlett ellipsens ekvtion. Anmärkning 7: Ett sätt tt få ekvtion för en ellips är tt i irkelns ekvtion gör vrielte /, / med ndr ord ändrr vi skln på respektive eln. Vi får. Anmärkning 8: Om ellipsens entrum ligger i punkten Cp,q då hr ellipsen följnde. Smm ellipsen kn skrivs på prmeterform: t p os t q sin, där 0 t *** Med hjälp v "trigonometrisk ettn " ser vi tt sin os t t q p dvs punkter som uppfller *** stisfierr ellipsens ekvtion q p Anmärkning 9: Endst en punkt0,0 stisfierr ekvtionen 0 Anmärkning 0: Ingen punkt stisfierr ekvtionen. Uppgift 5. Rit elipsen vrs ekvtion är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Lösning: För tt skriv ellipsen på formen oh får delr vi med ekvtionen 3 3 som vi kn skriv på följnde sätt / 3 Om vi jämför med får vi: oh / 3 / 3 Alltså hr ellipsen hlvlrn oh / 3. 5. o Uppgift 6. Rit följnde kurvor givn i prmeterform. ost, sin t, där 0 t ost, sin t, där 0 t / Svr Elipsen med hlvlr = oh =. Svr. 8 v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Uppgift 7. Bestäm tngenten till elipsen vrs ekvtion Lösning: Vi sustituerr = i ellipsens ekvtion: är 3 i punkten P=, där >0. 3. Eftersom, enligt ntgnde >00 tr vi. Vi deriverr åd leden i impliitt definierdee funktionen 3 oh får 0. I punkten P=, hr vi P. Tngentens ekvtion lir: eller efter förenkling 3. Svr: 3 Uppgift 8. Vis tt ellipsen hrr ren A. Lösning: Från får vi två epliit funktioner. Vi estämmer ren v fjärde delen v ellipsen som ligger i först kvdrnten. A / 0 / 0 0 d sin osv osv dv v osv dv Sustitutionen ger d os vdv sin v där Gränser: 0 sinn v 0 v 0 0 v sin v sin v v / 0 os v dv / 0 oss v dv sinv / [ v ] 0 9 v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor sin sin0 / 0 / 0 0 0. Från A hr vi A vilket skulle eviss. Uppgift 9. Rit följnde punktmängd i plnet M {, R : } Svr: Området egränss v ellipsen. Från oh får vi hlvlrn oh. Uppgift 0. Rit följnde punktmängder i plnet M {, R : } M {, R : } M 3 {, R : } d M {, R :, 0} e M 5 {, R :, 0} 0 v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor f M 6 {, R :, 0} Svr: Rndpunkter tillhör inte mängden M d B o C A e B o C f B o C A A ================================================================ Uppgift. En ellips hr den horisontell hlveln 5 oh rännpunkter F 3,0 F 3,0. Bestäms ellipsens ekvtion. Tips: nvänd smndet oh F, 0. där, är hlvlrn oh rännpunktern ges v F, 0 oh Lösning: Från smndet hr vi 5 9 6. Ellipsens ekvtion lir då 5 6 Svr: 5 6 v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor 3.HYPERBEL Definition. En hperel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till två givn punkter, rännpunkter hr en konstnt skillnd. Ekvtionen för en hperel härleder vi på liknnde sätt som för en ellips. Två oft förekomnde är följnde ekvtioner: hr skärningspunkter med eln oh. hr skärningspunkter med eln Anmärkning : Ekvtionen definierr två epliit funktioner: + teken för övre hlvn. Härv får vi definitionsmängden 0 dvs, ] [, oh två sned smptoter enligt formlern: T e för oh hr vi k lim f lim lim n lim f k lim lim lim lim konstnt. lim 0 nämnren går mot, täljren = Därmed är 0 en sned smptot till då. v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor På smm sätt får vi tt är en vänster smptot till då. På liknnde sätt visr vi tt oh är sned smptoter vänster respektive höger till nedre delen v hpereln. Om F,0 oh F e,0 är hperelns rännpunkter då gäller Anmärkning. Ekvtionen 0 kn fktorisers oh skrivs som 0. oh därmed punkter som stisfierr ekvtionen ligger på två linjer 0 0. Uppgift. Rit hpereln 8 8. Lösning: För tt estämm oh skriver vi ekvtionen på formen. Vi delr ekvtionen 8 8 med 8 oh får. Därför är hperelns smptoter. Vi ritr smptoter oh, 3 v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor med hjälp v en rektngel se ilden, skisserrr vi hpereln. ======= =========== =========== =========== ========== ========== =========. PARABLER Här är två oft förekomnde ekvtioner: Eempel 3. där 0 oh där 0 ======= =========== =========== =========== ========== ========= Definition. En prel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given linje, strlinje direktris oh en given punkt rännpunkt är lik. Anmärkning 3: Prelns verte, toppunkt ligger i mitten v vinkelrät sträkn från rännpunkten till direktrisen. Q d P M Q d d = d V d M V F F d P v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor Den red linjen i figuren ovn är prelns strlinje, F eteknr rännpunkt fokus oh V är prelns verte toppunkt Uppgift 3. Bestäm ekvtionen för den prel vrs vstånd till linjen F, 0 är lik. oh punkten Lösning: Låt P, vr en punkt på preln. Avståndet melln P oh direktrisen strlinjen är d medn vståndet melln P oh rännpunkten är d. Från d d kvdrer åd leden Svr: Uppgift. Bestäm ekvtionen för den prel som hr rännpunkten F,5 oh verte V.6. Lösning: Genom rännpunkten F,5 oh verte V.6 går prelns smmetrilinje medn direktrisen strlinjen skär vinkelrät smmetrilinjen i den punkt D som uppfller krvet tt vståndet melln D oh V är lik med vståndet melln V oh F. Direktrisens ekvtion är därmed 7. Se figuren. 5 v 6
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor 6 v 6 För en punkt P, på preln hr vi 5 7 d d kvdrer åd leden 5 0 9 5 7 3 3 Svr: 3