GÖTEBORGS UNIVERSITET Fysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 mars 1998 Distanskurs

Transkript

1 GÖTEBOGS UNIVESITET Fysska nsttutonen aprl 98 Hans Lnusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januar 99 FY 400 mars 998 Dstanskurs LEKTION Delkurs 4 STATISTISK MEKANIK TANSPOTFENOMEN I detta häfte ngår övnngsuppgftersom Du skall lösa och sända n för rättnng. Lösnngar tll uppgfterna A-F 8.5 och Ö.9 skall vara kursledaren tllhanda senast

2 (4) Kaptel 7 Statstsk mekank Detta brev omfattar "bara" två kaptel läroboken, vlket kanske är en lättnad efter allt som kom med det förra. Därutöver tllkommer en utvdgnng om kvantstatstk och något lte extra om värmelednngsekvatonen. Strångslagarna återkommer v tll lte längre fram delkursen! 7. Introdukton Läs genom. 7. Statstsk jämvkt Betrakta ett solerat system med ett stort antal partklar N vlket varje partkel har möjlghet tll flera energtllstånd E, E, E,... Vd en vss tdpunkt har n partklar energn E, n partklar har energn E etc. Totala antalet partklar är N n + n nn nj (7.) Systemets totala energ U är j U ne + ne + ne +... n j E j (7.) j Detta förutsätter att partklarna nte växelverkar, vlket sn tur betyder att varje partkels energ endast beror på dess läge. Om systemet är solerat blr U konstant. Om man har gvna fyskalska vllkor för ett partkelsystem (dvs antalet partklar, totala energn etc.) så fnns det en vss fördeng som är mest sannolk. Vd denna fördeng har man statstsk jämvkt. Den statstska mekanken går ut på att fnna denna, mest sannolka, fördeng. äkna genom exempel Maxwell-Boltzmann fördengen. Läs genom sdorna som på ett enkelt sätt beskrver hur man statstskt kan behandla ett tänkt system bestående av dentska partklar. Den s.k. tllståndssumman Z defneras ekvaton (7.4) på sdan 48: FY400, Dstanskurs, brev

3 (4) Z g e βe (7.4) där g degeneratonsgraden, som beskrver att energtllstånden har olka nre sannolkheter. Storheten ekvatonen har, som v kommer att se kaptel 7.4, med temperaturen hos partkelsystemet att göra. Du kommer tll slut fram tll den s.k. Maxwell-Boltzmann fördengen, dvs n N Z g e E (7.5) Uttrycket för medelenergn hos en partkel är också vktgt, dvs d E ave Z d ( ) (7.8) Läs genom exemplen 7. och Not. 7. så att Du får en känsla för hur den bakomlggande fysken fungerar. 7.4 Statstsk defnton av temperaturen I detta kaptel defneras den absoluta temperaturen hos ett partkelsystem jämvkt utgående från Maxwell-Boltzmanns fördengslag. V utgår från defntonen av medelenerg hos en partkel förra avsnttet: E ave U N d dβ ( Z) (7.8) Efter en kort dskusson kommer boken fram tll att en lämplg defnton av absolut temperatur bör vara kt (7.9) Detta betyder, att Maxwell-Boltzmanns fördengslag kan skrvas n N Z g e E kt (7.0) och dfferenterng av (7.9) ger d kt dt vlket medför, att FY400, Dstanskurs, brev

4 4 (4) E ave d dβ ( Z) kt d dt ( Z) (7.) Lägg märke tll hur Maxwell-Boltzmannfördengskurvan ändras för olka temperaturer (fgur 7.)! äkna genom exempel 7. och 7.4. Lägg vkt vd Not 7., som vsar hur man kan beräkna värmekapactvteten hos ett krstalt ämne (en metall) utgående från Maxwell-Boltzmannfördengen! 7.5 Energ- och hastghetsfördeng hos molekylerna en deal gas Studera detta avsntt noga, och lägg på mnnet hur man får fram ekvatonerna (7.4) och (7.5) Du skall också kunna genomföra härlednngar som exempel (7.5) och (7.6) samt dessutom härlednngen av v rms v Eftersom boken nte tar upp denna, härleds den nedan: Beräknng av v rms v Enlgt defnton är < v > N v dn För en deal gas är dessutom 0 dvs E mv < v > m N Edn m E ave 0 Enlgt exempel 7.6 är dvs och E ave kt < v > m E ave m v rms v kt m kt kt m,5 v mp FY400, Dstanskurs, brev

5 5 (4) V skall nu gå genom lösnngarna tll problemen 7. och 7.5 läroboken, men gör gärna ett försök själv först! 0.: a) Beräkna v rms, v ave och v mp hos syremolekyler vd temperaturen 00 K. b) beräkna v mp för syremolekyler vd följande temperaturer: 00, 00, 000 och 0000 K. Lösnng: Enlgt bokens och våra härlednngar gäller, med sedvanlga betecknngar v rms kt m,5 v mp v ave 8kT πm, v mp v mp kt m a) Temperaturen T 00 K Molvkten M 6 kg/kmol. I formlerna ovan ngår stället massan m hos en enda molekyl, och v skall nu beräkna denna: m m N M N A M k dvs v mp kt m kt Mk och v ave, v mp, m/s v rms, 5 v mp, m/s (man kan naturlgtvs räkna på andra sätt också!) T M 8, m/s b) v mp T M 8, 0 T,8 T T 00 K ger v mp, 8 T, m/s T 00 K ger v mp, 8 T, m/s T 000 K ger v mp, 8 T, m/s T 0000 K ger v mp, 8 T, m/s FY400, Dstanskurs, brev

6 6 (4) 0.7 Beräkna den andel av molekylerna en deal gas som har hastgheter mellan v ave och,v ave utgående från ekvaton (7.5), a) genom att sätta v v ave och dv 0, v ave och b) genom att sätta v, v ave och dv 0, v ave Lösnng: V utgår från ekvaton (7.5): dn 4πN m πkt a) Det v söker är: dn N 4π m πkt v e mv v ave och v vet sedan tdgare, att v ave 8kT πm Insättnng ekvatonen ovan, ger dn N 4π m 8kT πkt πm kt dv e mv ave m kt 0, v ave 4π πkt e m kt 8 kt π m 0, v ave e mv ave kt 0, dn N 4π 4 4 e π 0, π 0, 80 0, 0,8 π b) I detta fall gäller stället, att v, v ave och dv 0, v ave vlket medför, att dn N 4π 4, e 4 π π, 0,, 0, 4 0, 0,85 π Andelen molekyler nom det angvna hastghetsntervallet påverkas alltså något! 7.6 Expermentell bekräftelse på Maxwell-Boltzmanns fördengslag Läs genom. FY400, Dstanskurs, brev

7 7 (4) 7.7 Termsk jämvkt Läs genom kursvt. Lägg dock termodynamkens nollte huvudsats på mnnet, dvs det spärrade stycket på sdan 45. Läs också Not 7. Statstsk analys av arbete och värme 7.8 Entrop Detta är ett vktgt avsntt, men bara kvaltatvt behandlat. Lägg formel (7.6) på mnnet och även dess tolknng ord! 7.9 Entroplagen Även detta är ett mycket vktgt, om än bara kvaltatvt, avsntt. äkna genom exempel 7.7 så att Du förstår prncpen bakom räknngarna. Läs också genom Not 7.4 System långt från jämvkt. Den ger ntressanta nblckar varför det nte alltd är möjlgt att förutsäga framtden oavsett hur stor datorkraft som står tll buds. Det är nte bara stora, komplexa system som uppträder oförutsägbart! Försök att hnna med att öva på ett par exempel ur övnngskompendet (termodynamk, statstsk mekank) t.ex. Ö.,.8,.9 Det ssta talet är en nsändnngsuppgft. Kvantstatstk Som Du redan sett på sdan 46 behandlar författarna nte statstktyperna Ferm- och Bose- Enstenstatstk. De är vktga och en genomgång av dem stora drag följer här. Ferm-Dracs fördengslag V betraktar ett system av dentska partklar som är omöjlga att sklja åt. Partklarna följer därtll Pauls uteslutnngsprncp (mer om denna senare). Sådana partklar kallas fermoner (efter Enrco Ferm, ) och beskrvs av antsymmetrska vågfunktoner (mer om sådana längre fram). Alla elementarpartklar med spn / är fermoner. För dessa partklar kommer den nneboende (ntrnsska) sannolkheten (degeneratonsgraden) g att ange det största antalet partklar som kan befnna sg på en och samma energnvå utan att strda mot Paulprncpen. Om man skall placera ut n partklar på energnvån E så kan man lägga ut den första på g olka sätt. Den andra partke kan hamna på någon av de återstående g - ställena osv. Totala antalet olka sätt att placera ut partklarna blr då FY400, Dstanskurs, brev

8 8 (4) g ( g )( g ) K( g n + ) som kan skrvas g! ( g n )! Eftersom partklarna är omöjlga att sklja åt kommer alla de konfguratoner som uppstår genom att permutera de n partklarna mellan deras nbördes lägen att vara lkvärdga. Permuterngarna kan ske på n! olka sätt. Antalet olkvärdga fördengar av de n dentska partklarna på de g olka nvåerna med energn E blr därför mndre, dvs g! n!( g n )! V kan nu beräkna totala antalet cke lkvärdga sätt att fördela n, n, n K partklar bland energnvåerna E, E, E K genom att multplcera motsvarande uttryck med varandra. Parttonssannolkheten blr alltså P g! g! g! K n!( g n )! n!( g n )! n!( g n )! g! n!( g n )! Man erhåller den mest sannolka fördengen genom att söka maxmum för (P). Om man gör detta, så erhåller man Ferm-Dracs fördengslag: n e g + E + Parametern β har samma betydelse som Maxwell-Boltzmannstatstk, dvs kt Den andra parametern, α, bestäms av att n N, och är för det mesta negatv. Man brukar defnera den s.k. Fermenergn som F kt vlket, nsatt ekvatonen ovan ger Ferm-Dracfome FY400, Dstanskurs, brev

9 9 (4) n e g ( E F )/ kt + Fermenergn är för det mesta postv och stort sett oberoende av temperaturen. Ekvatonen vsar, att för T 0 är alla energtllstånd upp tll E F besatta (n g ) medan alla tllstånd med E > F är tomma (n 0) Orsaken tll detta är (jämför fguren), att lm e (E ε F )/ kt 0 för (E ε F )/ kt < 0 T 0 för (E ε F )/ kt > 0 I Maxwell-Boltzmann statstk däremot skulle för T 0 alla partklar befnna sg grundtllståndet. Detta är nte möjlgt Ferm-Dracstatstk pga Paulprncpen, och vd T 0 är alla tllgänglga låga nvåer upp tll fermenergn F besatta. Vd högre temperaturer börjar tllstånd med energer högre än fermenergn att bl besatta genom att partklar övergår från lägre nvåer. För temperaturer sådana att kt << är det stort sett bara tllstånd med energer mycket nära F som påverkas. F Elektrongasen Det mest typska systemet som består av fermoner är lednngselektronerna en metall. De uppför sg på ett sätt som påmnner om en "elektrongas". Man kan vsa, att antalet dn/de av fra elektroner per energenhet är dn de 8πV(m ) E h e (E ε F )/ kt + Fguren vsar en graf över denna ekvaton för olka temperaturer. Eftersom ntegralen av denna funkton över alla energer skall ge totala antalet elektroner N lednngsbandet kan man beräkna fermenergn för T 0 : ε F h N 8m πv Man kan expermentellt bestämma antalet lednngselektroner per volymsenhet, N/V, och ur detta resultat och forme ovan kan man beräkna fermenergn. Några sådana värden fnns nedanstående tabell: FY400, Dstanskurs, brev

10 0 (4) Metall: Fermenerg (ev) L 4,7 Na, K,4 Cu 7,04 Ag 5,5 Au 5,54 Bose-Enstens fördengslag Det fnns också system av dentska partklar som nte går att sklja från varandra och som nte följer Paulprncpen. I dessa fnns ngen gräns för hur många partklar som kan befnna sg samma kvanttllstånd. Vågfunktonen som beskrver sådana system är symmetrsk (mer om detta senare). Sådana partklar kallas bosoner Alla elementarpartklar med spn 0 eller är bosoner, lkaså He 4 och H molekyler, trots att t.ex. He 4 består av 4 fermoner. Om man gör motsvarande överläggnng som för fermonerna tdgare så kommer man så smånngom fram tll att den mest sannolka fördengen är n e g + E Bose-Enstens fördengslag. Som Du ser av fguren t.h. påmnner fördengsfunktonen ytlgt om Ferm-Dracfördengen, men förändrngen från ett plus- tll ett mnustecken nämnaren har stor betydelse för tolknngen av forme. Konstanten β har samma betydelse som där, dvs kt Även denna gång bestäms konstanten α av vllkoret n N men den har ngen särskld fyskalsk tolknng. Fördengsfunktonen är upprtad fguren för två olka temperaturer. Bose- Enstenstatstken betonar de lägre energnvåerna mera än vad Maxwell-Boltzmannstatstken gör. FY400, Dstanskurs, brev

11 (4) Fotongas Den kanske mest betydelsefulla användnngen av Bose-Enstenstatstk är för analys av elektromagnetsk strång en kavtet som är termsk jämvkt med hålrummets väggar, s.k. svartkroppsstrång. Vd jämvkt har strångens spektrum en väldefnerad energfördeng. Mot varje frekvens svarar en strångsntenstet som beror av väggarnas temperatur men nte av dess materal. Man fnner att strången vd jämvkt uppträder som en fotongas. Antalet fotoner "gasen" är dock nte konstant, eftersom de kan både absorberas och emtteras av väggarna. Detta får tll följd att parametern α nte har någon nnebörd utan kan ts bort från fördengsfunktonen. Dessutom kan energspektrum betraktas som kontnuerlgt om kavteten är stor jämförelse med fotonernas (medel)våglängd. Efter lte räknngar kommer man fram tll en formel för energtätheten E(v), dvs energn per volymsenhet som svarar mot strång frekvensntervallet v tll v + dv E(ν) 8πhν c e h ν kt Detta är den välkända Plancks strångslag. Eftersom denna stämmer utmärkt med experment är detta ett mycket starkt stöd för teorn att fotonerna följer Bose-Enstenstatstk. Kaptel 8 Transportfenomen 8. Introdukton Läs genom 8. Molekylär dffuson. Fck`s lag Läs genom noga och lägg ekvaton (8.) på mnnet. Dffusonskoeffcenten D är ofta (mer eller mndre) koncentratonsberoende. Den är dessutom temperaturberoende. 8. Statonär dffuson När ett dffusonsförlopp fått pågå under lång td, t.ex. en stav, så nträder ett statonärt tllstånd. Om dffusonskoeffcenten är konstant kommer då koncentratonen att varera järt längs staven (fgur 8.4). FY400, Dstanskurs, brev

12 (4) äkna exempel 8. och 8. Det senare vsar, att dffusonsekvatonen nte bara kan tllämpas på molekyler t.ex. gaser och vätskor utan även på andra system, t.ex. termska neutroner. äkna också ett övnngsexempel, Värmelednng: Fourers lag 8.5 Statonär värmelednng I en klasssk svensk fyskkurs på denna nvå brukar alltd ngå en ordentlg behandg av värmelednngsekvatonen med exempel på lösnngar av olka specalfall. Som Du ser av läroboken gör författarna en annorlunda avvägnng. Studera avsntten ordentlgt, och lägg ekvaton (8.) på mnnet. En annan vktg lag, Newtons avkyngslag, förekommer bara mplct texten, men har som Du ser prncp samma form som ekvaton (8.4). äkna genom exempel 8. för att sätta Dg n hur denna typ av beräknngar kan gå tll. Här följer en lösnng tll ett annat värmelednngsproblem, som behandlar värmetransport genom solatonen tll ett varmvattensrör: Du kan för Dn del öva på ett par enklare problem, 8.4 och 8.5 (som är en av nsändnngsuppgfterna). Demonstratonsuppgft: I ett kopparrör med nnerdametern 9,0 mm och ytterdametern,0 mm flyter 70-gradgt varmvatten. öret går genom en tank med 0-gradgt vatten. Värmelednngsförmågan för koppar är 400 W/m K. a) Beräkna hur mycket effekt som avges tll vattentanken per meter av röret b) Beräkna effektmnsknngen om röret omges av ett 0,5 mm tjockt skkt av PVC-plast med värmelednngsförmågan 0,6 W/m K Lösnng: a) Enlgt ekvaton (8.) gäller dt j E dx vlket kan skrvas, eftersom j E P A där P är effekten och A den yta som energn leds genom P A dt dx I detta fall har v den extra komplkatonen att värmelednngen sker radellt, dvs ytan A beror av avståndet r från rörets mtt. Om v nför detta och betraktar sträckan L av röret blr ekvatonen FY400, Dstanskurs, brev

13 P (4) rl dt (värmelednngen sker r-led) dr Separaton av varablerna ger P dr L r dt Om v antar att rörets nner- och ytterrader är resp och motsvarande temperaturer T och T får v lösnngen genom att ntegrera: P L ( T T ) Den sökta effekten per längdenhet blr alltså P L ( T T ) 400( 70 0) ,, W / m 4, 5 vlket är en hel del! (V har antagt att tllflödet av värme tll rörets nnersda och avflödet från dess yttersda är så stort att temperaturerna hos ytorna är desamma som vätskorna.) b) Om röret omges av ett plasthölje med låg värmelednngsförmåga kommer förstås värmeförlusterna att mnska betydlgt. Om temperaturen gränsytan koppar-plast är T och gränsytan plast-vatten beskrvs av T och så kan man ställa upp lösnngen för värmetransporten genom de två skkten resp. Pb c ( T T ) L Pb p( T T ) L Eftersom flera av data dessa två ekvatoner är gemensamma kan v med fördel dvdera dem med varandra Pb L Pb L c p ( T T ) ( T T ) förenklat c p ( T T ) ( T T ) FY400, Dstanskurs, brev

14 4 (4) eller, efter en del räknngar T c T c + + p T p , + 0, 6 9, 6, 0 4, , + 0, 6, 6, 0 4, 5 4, 9 K som naturlgtvs är en alldeles för hög sffernoggrannhet, men den vsar ett vktgt resultat: Nästan hela temperaturfallet hamnar plasthöljet, eftersom det är detta som värmeflödet hndras mest. Effektförlusten per längdenhet kan beräknas med vlken som helst av ekvatonerna, och v tar den för plasthöljet P b L πκ (T T ) p π 0,6(4 9) 7, 5 6,0, 5 W m En kraftg mnsknng, eller hur? 8.6 Vskostet Tll sklad från värmelednngsfenomenet brukar vskosteten få dålg plats en fyskkurs, trots att den matematska behandgen är lkvärdg. V kommer nte att genomföra några stora kvanttatva beräknngar här heller, men Du skall ha god kännedom om fenomenets fyskalska bakgrund. Läs genom avsnttet. äkna genom exempel 8.4 och studera fgur 8.5 Det kan också vara lämplgt att räkna ett övnngsexempel, 8.8. Poseulles lag, som används där, är vktg att känna tll och kunna använda! 8.7 Fra medelväglängden och kollsonsfrekvensen Studera avsnttet, även Not 8. Samband mellan fra medelväglängden och molekylernas rade en gas. Du skall känna tll betydelsen av dessa begrepp och även kunna räkna fram (8.0) 8.8 Molekylär teor för transportfenomen Detta är ett prncpellt vktgt avsntt, som tyvärr nte fått plats denna kurs. Läs genom kursvt. Not 8. Transport genom konvekton och turbulens beskrver de transportprocesser som domnerar över t.ex. dffuson de flesta fall. Insändnngsuppgfter tll detta brev är A-F 8.5 och Ö.9 som skall vara kursledaren tllhanda senast det datum som står på försättsbladet. FY400, Dstanskurs, brev