EXAMENSARBETE. Algodoo som ett verktyg vid undervisning av kinetisk gasteori

Transkript

1 Algodoo som ett verktyg vid undervisning av kinetisk gasteori Stina Ostlund Handledare: Bor Gregorcic Projekt i fysik och astronomi, 15 hp VT 2018 EXAMENSARBETE Institutionen f or fysik och astronomi, Fysikens didaktik

2

3 Abstract It has been showed that simulations are a useful tool in physics education, especially in parts of physics that are hard to observe. Since kinetic gas theory is one of those parts, it has in this project been investigated how Algodoo can be used to simulate thermodynamic processes and to study what happens in a gas. Isobaric, isochoric and adiabatic processes turned out to be useful to simulate in Algodoo, where it is easy to visualize how for example the particles kinetic energy, the volume of the container and the pressure changes in these processes, while isothermal processes were partly limited in the performance. When simulations of gases are made in Algodoo an oscillation arise and the system turns out to correspond to a Helmholtz resonator. The equation of Helmholtz resonance frequency, which is made for ideal gases in three dimensions, is rewritten to match the two dimensional Algodoo. This equation is then used to examine how the parameters of the equation influence the system. The ideal gas law is also rewritten to match a two-dimensional system and calculations are made to examine how values in Algodoo matches theoretical calculated values. The errors in the calculations using values from Algodoo mostly are because of that gases in Algodoo not are completely ideal because of the sizes of the particles. Sammanfattning Simuleringar har visat sig vara ett användbart hjälpmedel inom fysikundervisningen, främst inom områden som är svåra att observera. Eftersom kinetisk gasteori är ett sådant område har det i den här uppsatsen undersökts hur användbart programmet Algodoo är för att simulera termodynamiska processer och på så sätt studera vad som sker i en gas. Det visade sig att isobara, isokora och adiabatiska processer är meningsfulla att simulera i Algodoo, där det tydligt går att visualisera hur bland annat partiklarnas kinetiska energi, volymen av behållaren och trycket förändras i dessa processer, medan en isoterm process var något begränsad i utförandet. När simuleringar av gaser genomförs i Algodoo uppstår en svängningsrörelse och systemet visar sig motsvara en Helmholtz resonator. Ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens, som utgår från ideala gaser i tre dimensioner, skrivs om för att passa det tvådimensionella Algodoo, för att sedan användas till att undersöka hur de olika parametrarna i ekvationen påverkar systemet. Även den ideala gaslägen skrivs om för att passa ett tvådimensionellt system och beräkningar utförs även här för att undersöka hur väl värden i Algodoo stämmer överens med teoretisk beräknade värden. Den största felkällan vid beräkningar med värden från Algodoo visar sig vara det faktum att gaser som simuleras i programmet inte är helt ideala med avseende på att partiklarna inte är punktpartiklar utan upptar en viss volym. 1

4 Innehåll 1 Inledning 4 2 Bakgrund Algodoo Termodynamik Termodynamikens fyra huvudsatser Ideal gas Tillståndsstorhet Processtorhet Termodynamik i Algodoo Tidigare forskning om simuleringar i fysikundervisningen Simulerade processer Isobar process Teori Simulering Isokor process Teori Simulering Isoterm process Teori Simulering Adiabatisk process Teori Simulering Beräkningar och observationer i Algodoo Ideala gaslagen i 2D Helmholtz resonator Beräkningar Beräkningar av Helmholtz resonansfrekvens Diskussion av beräkningar av Helmholtz resonansfrekvens Beräkningar av frekvensens beroende av bredden på behållaren Frekvensens beroende av antalet partiklar i behållaren Beräkningar med ideala gaslagen Partiklarnas storleks inverkan på beräkningarna

5 5 Diskussion Diskussion av simuleringar Diskussion av Algodoo i undervisningen Nästa steg 34 7 Slutsats 34 A Härledning Helmholtz resonansfrekvens 37 B Tabeller och figurer 39 B.1 Tabeller Helmholtz resonansfrekvens B.2 Tabeller över höjden vid varierande bredd B.3 Tabeller och figurer över höjden vid varierande antal partiklar B.4 Tabeller över höjd och energi vid beräkning med ideala gaslagen B.5 Tabeller vid beräkningar av höjden vid varierande storlek på partiklarna

6 1 Inledning Algodoo är ett användbart simuleringsprogram inom fysik, framförallt inom områden som är svåra att observera som exempelvis astronomi [1]. Däremot har det aldrig undersökts hur detta simuleringsprogram kan användas inom gasteori. Syftet med den här uppsatsen är därför att undersöka just detta, eftersom gasteori är ett område inom fysiken som är svårt att observera och laborera på. Det undersöks bland annat hur och vilka av de fyra termodynamiska processerna (isobar, isokor, isoterm och adiabatisk process) som kan simuleras i Algodoo. Observationer av fenomen som uppstår i simuleringar studeras närmare och diskuteras utifrån om de förhåller sig till verkliga fenomen eller inte för att på så vis dra slutsatsen om Algodoo är användbart inom simuleringar inom termodynamik och gasteori. Forskarfrågorna lyder: Hur kan man använda simuleringar i Algodoo inom kinetisk gasteori? På vilka sätt är Algodoo användbart inom undervisning av kinetisk gasteori? 2 Bakgrund I det här avsnittet introduceras programmet Algodoo och grundläggande teori inom termodynamik och gasteori. Därefter diskuteras hur termodynamik kan simuleras i Algodoo och tidigare forskning av hur simuleringar kan användas och komma till nytta i undervisningen. 2.1 Algodoo Algodoo ( är ett tvådimensionellt datorprogram från Algoryx Simulations AB där man kan skapa simuleringar inom naturvetenskap med hjälp av olika former, rep, fjädrar, motorer och mycket annat. I programmet kan man studera hur fysikaliska objekt interagerar med både varandra och omgivningen och dessutom undersöka hur dessa interaktioner påverkas och förändras beroende på faktorer som exempelvis massa, densitet, friktion, gravitation och luftmotstånd. När en simulering körs i programmet kan man undersöka hur exempelvis krafter, energier och hastigheter förändras genom att studera grafer som programmet återger i realtid med uppspelningen av simuleringen. Det går även att ändra objektens egenskaper under tiden simuleringen körs för att på så vis visualisera hur olika parameter påverkas av objektens egenskaper, luftmotstånd eller gravitationskraften. I programmet kan man antingen skapa simuleringen i en ny tom scen eller använda sig av en redan befintlig scen från Algodoos bibliotek med över färdiga scener [2]. Algodoo skiljer sig från andra simuleringsprogram inom fysik, som till exempel PhET ( eftersom Algodoo tillåter användaren att skapa egna scener och är därmed mindre begränsad, vilket ger användaren möjlighet att exempelvis kombinera och undersöka flera fysikaliska fenomen i en och samma simulering. Andra simuleringsprogram och färdiga simuleringar är oftast begränsade till ett visst fenomen och användaren har endast möjlighet att ändra några få utvalda egenskaper på ett, eller ett fåtal, objekt i simuleringen, medan dessa begränsningar inte finns i Algodoo. Algodoo är ett interaktivt program som möjliggör förändringar i simuleringen 4

7 i och med att nya idéer och funderingar dyker upp [3]. Programmet utmanar elevernas kreativitet och tillåter dem att experimentera inom naturvetenskapliga ämnen och passar därför bra inom fysikundervisningen. Programmet kan fungera som ett komplement till observationer i klassrummet och laborationer, främst inom områden som är svåra att göra riktiga experiment i, som exempelvis astronomi men även inom gasteori. 2.2 Termodynamik Termodynamik behandlar läran om energi och energiöverföring mellan olika system i form av värme och arbete. Inom den klassiska termodynamiken studeras hur makroskopiska parametrar som temperatur, volym och tryck förändras när ett system genomgår olika termodynamiska processer. Termodynamiken bygger på fyra lagar som kallas för termodynamikens fyra huvudsatser [4]. I det här avsnittet formuleras först de fyra huvudsatserna, följt av definitioner för termodynamiska parametrar Termodynamikens fyra huvudsatser Nollte huvudsatsen Om två system (A och B) är i termisk jämvikt med ett tredje system (C), så är de två systemen (A och B) även i termisk jämvikt med varandra [5]. Första huvudsatsen Energi kan endast omvandlas mellan olika former och aldrig förintas eller skapas [5]. Detta uttrycks matematiskt enligt U = Q + W (1) där U är systemets inre energi, Q är tillförd värme till systemet och W är arbete som utförs på systemet. (Energi i form av värme eller arbete som förs från systemet definieras i ekvationen som negativa (-Q respektive -W)) [6]. Andra huvudsatsen Det finns flera olika formuleringar av termodynamikens andra huvudsats. Clausius formulerade den som Det är omöjligt att konstruera en anordning som verkar i en cyklisk process och inte producerar någon annan effekt än värmeöverföring från ett kallare till ett varmare system [4] eller med andra ord att värme inte spontant kan flöda från ett kallare till ett varmare system. Tredje huvudsatsen Entropin hos en perfekt kristall vid den absoluta nollpunkten är exakt noll [4]. 5

8 2.2.2 Ideal gas En ideal gas är en teoretisk gas som består av punktpartiklar som endast interagerar genom elastiska kollisioner. En gas upptar en volym genom att partiklarna rör sig inom ett utrymme, men partiklarnas egna volym är försumbar i jämförelse med behållarens volym. Det finns inte några verkliga ideella gaser men under normala förhållanden (temperaturer nära rumstemperatur och tryck nära normalt lufttryck) beter sig reella gaser på liknande sätt, vilket medför att en ideal gas är en god approximation [5]. Ideala gaser har en tillståndsekvation som beskrivs enligt pv = NkT (2) där p är trycket, V är volymen, N är antalet partiklar, k är Boltzmanns konstant (k=1, J/K) och T är temperaturen [5] Tillståndsstorhet Ett termodynamiskt tillstånd är ett unikt tillstånd där systemet beskrivs av bestämda värden på storheterna, så kallade tillståndsstorheter eller termodynamiska parametrar. Om värdena på tillståndsstorheterna ändras, så ändras även det termodynamiska tillståndet. Tillståndsstorheterna beror inte på vilken process systemet genomgått för att komma fram till sitt tillstånd, utan beskriver endast det momentana tillståndet systemet befinner sig i. Inre energi (U ), volym (V ), tryck (p) och temperatur (T ) är exempel på tillståndsstorheter [4]. Tryck Trycket, p, definieras som kraft (F ) per areaenhet (A) och ges i enheten Pascal (Pa) (1 Pa = 1 N/m 2 ). Trycket i ett system uppkommer från elastiska partikelkollisioner med behållarens väggar då partiklarna reflekteras och väggen tar upp en viss rörelsemängd. Trycket beror dessutom på behållarens totala volym och hur många partiklar som finns i behållaren och kan uttryckas som p = 1 N 3 V m v2 (3) där p är trycket i Pa, N är partikelantal, V är volymen i m 3, m är partiklarnas massa i kg och v 2 är medelvärdet av partiklarnas kvadrerade hastigheter i m/s [5]. På grund av gravitationskraften så avtar lufttrycket med höjden från jordytan eftersom mängden luftpartiklar ovanför, som utgör en nedåtriktad kraft på grund av gravitationen, minskar. Detta är en förklaring till varför trycket i atmosfären blir lägre ju länge från jordytan man befinner sig [4]. Om gasen därmot befinner sig i en liten behållare och inte är väldigt komprimerad så kan denna tryckskillnad försummas och man kan anta att trycket är detsamma i hela behållaren [7]. 6

9 Temperatur I vardagligt språk pratar vi om temperatur, T, gällande hur varmt ett föremål känns. Vi lär oss dessutom att om två föremål av olika temperatur kommer i kontakt med varandra så sker det en värmeöverföring från det varmare till det kallare föremålet. Två föremål sägs ha samma temperatur när det inte sker någon värmeöverföring dem emellan [4]. Vår egna känsel för temperatur är dock inte pålitlig, då vi exempelvis upplever en metallbit som kallare än en plastbit trots att båda befinner sig i rumstemperatur, vilket beror på att metallen har en bättre värmeledningsförmåga [5]. Från ekvipartitionsprincipen är temperaturen i en ideal gas direkt proportionell mot partiklarnas genomsnittliga kinetiska energi, där varje frihetsgrad ger energibidraget 1 2kT (k=1, J/K). I en ideal monatomisk gas kan partiklarna röra sig i tre rörelseriktningar vilket medför att antalet frihetsgrader är tre. Den genomsnittliga kinetiska energin för partiklarna i en monatomisk gas beskrivs därmed enligt E k = 3 kt (4) 2 där E k är den genomsnittliga kinetiska energin hos partiklarna i gasen i Joule (J), k är Boltzmanns konstant (k=1, J/K) och T är temperaturen i systemet i Kelvin (K) [5]. Inre energi Inre energi, U, är den energi som systemet innehåller, det vill säga summan av partiklarnas kinetiska och potentiella energi. Den inre energin beror inte på kinetisk eller potentiell energi från yttre påverkningar, det vill säga var systemet befinner sig eller om det rör på sig. Den potentiella energin i systemet beror av kraftverkan mellan molekylerna och rotations- och vibrationsenergier inom molekylen. I system där växelverkan mellan partiklarna är försumbar, vilket gäller i en ideal gas, beror den inre energin endast på partiklarnas kinetiska energi och alltså systemets temperatur [4]. I ett sådant system kan den inre energin skrivas som U = N E k = 3 NkT (5) 2 där U är systemets inre energi i Joule (J), N är partikelantalet, k är Boltzmanns konstant (k=1, J/K) och T är temperaturen i Kelvin (K) [5]. Den inre energin är en tillståndsstorhet och beskriver ett unikt termodynamiskt tillstånd. Den inre energin i ett system kan ändras genom en värmeöverföring eller ett arbete som uträttas (se Ekv. 1) och då ändras även det termodynamiska tillståndet hos systemet [5] Processtorhet I motsats till termodynamiskt tillstånd så beskriver termodynamisk process den förändring som systemet genomgår för att komma fram till ett nytt termodynamiskt tillstånd. Termodynamiska processer beskrivs av så kallade processtorheter, som exempelvis arbete (W ) och värme (Q). 7

10 I vissa termodynamiska processer hålls parametrar konstanta. En isobar process sker med konstant tryck, en isokor process med konstant volym, en isoterm process med konstant temperatur och i en adiabatisk process tillförs eller avges ingen värme (se Avsnitt ). Arbete Inom termodynamik definieras arbete, W, som den energi som transporteras från eller till systemet från makroskopiska faktorer i systemets omgivning, det kan exempelvis vara gravitationskrafter, elektromagnetiska krafter eller andra mekaniska krafter, som i sin tur förändrar systemets volym [4]. Om en gas innesluten i en behållare med rörlig kolv expanderar så uträttas ett arbete enligt dw = pdv (6) där p är trycket i gasen och dv är volymökningen av behållaren [6]. Arbete som uträttas på systemet definieras som positiv medan arbete som uträttas av systemet definieras som negativt. Positivt arbete används med andra ord då energi transporteras till systemet (motsatt definition används i vissa böcker och artiklar, se exempelvis [4, 5]). Arbete är vägberoende vilket betyder att arbetet är beroende av vilken process som systemet genomgår eller vilken väg processen följer i ett pv-diagram (pressure-volume diagram, dvs tryck-volym-diagram). För två system som befinner sig i samma begynnelse- och sluttillstånd men genomgår olika processer för att nå sluttillståndet så skiljer sig arbetet åt i det olika processerna [5]. Värme Värme, Q, får inte förväxlas med temperatur, vilket vi ofta gör i vardagligt språk, utan definieras som den energi som transporteras till eller från ett system på grund av en temperaturskillnad [4]. På samma sätt som med arbetet så definieras värme som transporteras till systemet som positivt medan den värme som transporteras från systemet definieras som negativt [5]. Man talar endast om värme i samband med processer och en överföring av energi mellan system, ett system kan alltså aldrig innehålla värme. Värme flödar från ett varmare till ett kallare system tills termisk jämvikt infinner sig, det vill säga tills de båda systemen har samma temperatur [4, 8]. Värme är, precis som arbete, vägberoende och är beroende av vilken process som systemet genomgår för att nå ett sluttillstånd. En process där det inte sker någon värmeöverföring kallas för en adiabatisk process [4]. 2.3 Termodynamik i Algodoo Enligt Algodoos hemsida rekommenderas det inte att använda sig av Algodoo inom fysikaliska fenomen som är mindre än längdskalan en centimeter, då programmet är begränsat när det gäller fysikaliska fenomen som sker under väldigt kort tid och på små skalor. Detta är något som trots 8

11 detta ändå testas i den här uppsatsen, men är något som bör tas i beaktning när problem stöts på i simuleringarna. Simuleringar i Algodoo bygger på en mängd ekvationer som beräknar vad som ska ske med objekten härnäst, där skaparna varnar för att dessa ekvationer kan innehålla fel och inte ger exakta värden. Den mängd ekvationer som programmet löser är mycket krävande för datorn vilket kan medföra att scener innehållande många objekt spelas upp i ett långsammare tempo [9]. 2.4 Tidigare forskning om simuleringar i fysikundervisningen Forskning inom tillämpningar av Algodoo i undervisningen har genomförts tidigare. Gregorcic och Bodin [3] återger flera användningsområden av Algodoo inom undervisningen. Algodoo kan användas både till visuella representationer av fysikaliska fenomen, vilket hjälper eleverna att få levande bilder av fenomenet som i sin tur kan hjälpa dem i deras inlärningsprocess. Visualiseringen kan dessutom fungera som en metod att närma sig ett problem för att på så vis kunna ställa upp en problemlösningsstrategi. Genom grafiska representationer av exempelvis krafter och energier i Algodoo kan man få en tydligare bild över hur problemet ser ut och är uppbyggt. Algodoo kan även användas till att undersöka fysikaliska fenomen och processer som man inte tidigare mött, vilket är speciellt användbart inom områden som är svåra att observera eller göra riktiga experiment av, som exempelvis astronomi. Gregorcic och Bodin rekommenderar framförallt användning av Algodoo tillsammans med interaktiva pekskärmar som exempelvis en interactive whiteboard (IWB), vilket bidrar till en mer praktiskt lagd klassrumsundervisning. Vidare finns redogörelser för tillämpning av Algodoo inom bland annat kaströrelse [10], Arkimedes princip [11], Keplers lagar [1] men däremot ingenting inom termodynamik och kinetisk gasteori trots att det är ett fysikaliskt fenomen som är svårt att studera på partikelnivå genom riktiga experiment. Studier av undervisning i termodynamik med andra simuleringsprogram har genomförts, som exempelvis undervisning med hjälp av Physlets ( Cox et al. [12] framhåller simuleringsprogrammens betydelse för undervisning inom termodynamik då de bidrar till en visuell representation av de abstrakta koncept som finns inom området. De menar dessutom på att problemlösning med hjälp av simuleringar driver eleverna till en djupare konceptuell förståelse, till skillnad från den ofta använda metoden att sätta in siffror i en formel. Physlet har vissa likheter med Algodoo då det finns goda möjligheter att använda programmen inom de flesta områden inom fysiken och båda programmen tillåter dessutom användaren att undersöka effekter av att vissa parametrar ändras. Skillnaden mellan Physlet och Algodoo är främst möjligheten att skapa egna setups, då Physlet består av färdiga setups inom ett visst område, medan Algodoo tillåter användaren att skapa egna setups och dessutom kombinera flera områden inom fysiken i en och samma setup. I Physlet finns å andra sidan tillgång till fler grafiska representationer som är användbara inom termodynamik, som exempelvis pv-diagram. Även Junglas [13] redogör för hur man kan använda simuleringar inom undervisningen av termodynamik. Han menar på att simuleringar hjälper elever att förstå de abstrakta koncepten inom 9

12 termodynamik och bidrar dessutom till en bättre förståelse av relationer mellan statiska variabler och energier i termodynamiska processer i ideala gaser. Junglas använder sig i sin studie av fyra olika program (Java-applets) för att visualisera pv-diagram i termodynamiska processer. Programmen är, i likhet med de flesta andra simuleringsprogram, begränsade till att användaren endast har möjlighet att ändra värdet på vissa utvalda parametrar. Junglas poängterar dessutom att eleverna som medverkade i hans studie hade en positiv inställning till simuleringar i undervisningen inom termodynamik och att eleverna intog en mer aktiv inställning under lektionerna [13]. 3 Simulerade processer Samtliga simuleringar utgår från samma basuppsättning av en gas som består av 200 cirklar, med radien 0,03 m och densiteten 2,0 kg/m 2, som innesluts i en behållare (se Fig. 1). Samtliga ytor och objekt har friktion 0 och restitution 1, vilket bidrar till helt elastiska kollisioner. Kolven som sluter behållaren är en låda med massan 100 kg med en drivande motor med kraften 5 N som motsvarar ett konstant tryck på systemet. Kolven rör sig friktionsfritt och har en betydligt större massa än partiklarna för att efterlikna en ideal gas. Både gravitationen och luftmotståndet har avlägsnats i simuleringen och på partiklarna har även pennverkyget, som ritar ut hur partiklarna rör sig, applicerats för att enklare kunna studera partiklarnas rörelsebanor. I simuleringen som används är behållarens bredd 2,5 m och kolvens storlek 2,5 m x 1,25 m. Figur 1: En simulerad ideal gas i Algodoo. Partiklarna har radien 0.03 m och densiteten 2.0 kg/m 2. Kolvens vikt är 100 kg och motorn har kraften 5 N. Partiklarnas kinetiska energi kan ritas i en graf genom att markera samtliga partiklar och högerklicka för att komma till menyn där visa graf väljs. Markera därefter Kinetisk energi (summa) för y-axeln. När simuleringen startas kommer en pendlingsrörelse av kolven att uppstå (se Avsnitt 5.1 för vidare diskussion av det här fenomenet). Denna kan bromsas genom att fixera kolven med hjälp av verktyget Fixera när den befinner sig i jämviktsläget för att därefter släppa lös kolven igen och upprepa detta ett antal gånger. En viss pendlingsrörelse kommer däremot alltid att finnas kvar, något som kan liknas med en Helmholtz resonator (se Avsnitt 4.2). Den kinetiska energin för partiklarna kommer pendla i takt med pendlingsrörelsen hos kolven, 10

13 vilket kan göra grafen något otydligt, framförallt eftersom det inte är möjligt att välja skala på y-axeln i grafer i Algodoo. Det här problemet går att komma runt genom att även markera Rotationsenergi för y-axeln i grafen, vilken kommer vara noll och tvingar därmed skalan på y-axeln att öka. Notera att rotationsenergin inte behöver ritas i grafen trots att den är vald, då den fortfarande kan bockas ur (se Fig. 2). Figur 2: Bild av samma graf av den kinetiska energin hos partiklarna med olika skala för y-axeln. Genom att markera både Kinetisk energi (summa) och Rotationsenergi för y-axeln kan man undgå problemet med att det inte är möjligt att välja skalan av y-axeln i Algodoo. Notera att Rotationsenergin är urbockad så att den inte visas i grafen. Även kolvens position kan ritas i en graf genom att markera kolven, gå in i visa graf och välja Position (y) för y-axeln. För att undvika problem med att partiklarna går genom väggarna kan Simulationfrekvensen höjas under Inställningar. I samtliga simuleringar har Simulationfrekvensen 1200 Hz använts. 3.1 Isobar process Teori I en isobar process hålls trycket, p, i systemet konstant. I ett slutet system kan man åstadkomma detta genom att behållaren sluts med en kolv som kan röra sig fritt [14]. På så sätt kan volymen expandera eller komprimeras för att neutralisera den tryckförändring som orsakas av värmeöverföring. Eftersom både trycket och substansmängden hålls konstant (på grund av att det är ett slutet system) så är förhållandet mellan volymen och temperaturen konstant V T = konstant (7) från ideala gaslagen (Ekv. 2), det vill säga att temperaturen och volymen för systemet ökar eller minskar proportionellt [5]. Isobar expansion En isobar expansion i ett slutet system sker genom att systemet värms upp genom en värmeöverföring från omgivningen. Partiklarna får en högre kinetisk energi i och med värmetillförseln men samtidigt har volymen möjlighet att expandera i samma takt vilket i sin tur medför att trycket i 11

14 systemet hålls konstant. I det här fallet tillförs värme (Q) till systemet, som i sin tur uträttar ett arbete (-W ) på omgivningen [14]. Förändringen av systemets inre energi beskrivs då som U = Q W I en isobar expansion kommer systemets inre energi och därmed även systemets temperatur att öka i och med att systemets volym ökar, vilket kan utläsas ur Ekv. 7. Isobar kompression På motsvarande sätt sker en isobar kompression genom att systemet kyls ned genom en värmeöverföring från systemet till omgivningen. Partiklarna får nu lägre kinetisk energi men eftersom volymen har möjlighet att komprimeras i samma takt så behålls på så sätt ett konstant tryck i systemet. I det här fallet uträttar omgivningen ett arbete på gasen som samtidigt förlorar värmeenergi i form av en värmeöverföring från systemet till omgivningen [14]. Förändringen av systemets inre energi beskrivs som U = W Q I en isobar kompression kommer systemets inre energi och därmed även systemets temperatur att minska i och med att systemets volym minskar, vilket kan utläsas ur Ekv Simulering Utgå från basuppsättningen (se Avsnitt 3). En isobar process kan skapas genom att en motor sätts på kolven, för att behålla en konstant kraft och därmed ett konstant tryck på systemet. För att skapa en isobar expansion i Algodoo kan man utnyttja möjligheten att öka restitutionen på behållarens botten och därmed öka den kinetiska energin i systemet. Den tillförda värmeenergin kommer bidra till att systemets volym expanderar i och med att systemet utövar ett arbete på omgivningen. Från ideala gaslagen kan man utläsa att temperaturen och volymen för systemet båda kommer öka, vilket även observeras i simuleringen. På motsvarande sätt kan en isobar kompression visualiseras genom att restitutionen av behållarens botten sänks vilket i sin tur minskar den kinetiska energin hos partiklarna och behållarens volym komprimeras. I den här processen minskar därmed både systemets temperatur och dess volym. 12

15 Figur 3: Youtube-klipp på en skärminspelning av en simulerad isobar expansion i Algodoo. Se en isobar expansion HÄR och en isobar kompression HÄR. 3.2 Isokor process Teori I en isokor process hålls volymen, V, konstant. Eftersom arbetet som uträttas beror på en förändring av systemets volym medför en isokor process att inget arbete uträttas i processen, varken av systemet eller på systemet. Detta medför i sin tur att förändringen av den inre energin endast beror på värmeöverföring. Från ideala gaslagen (Ekv. 2) kan man få fram förhållandet mellan temperaturen och trycket i en isokor process, vilket beskrivs som p T = konstant (8) En isokor process åstadkoms genom att kolven som sluter behållaren fixeras så att volymen varken kan expandera eller komprimeras. Vid en isokor uppvärmning av gasen tillförs värme till systemet, vilket leder till en ökning av partiklarnas kinetiska energi och systemets temperatur vilket medför ett högre tryck i behållaren (se Ekv. 8) [15]. Den inre energin vid en isokor uppvärmning ökar enligt U = Q Vid en isokor nedkylning av ett system sker på motsvarande sätt det omvända, gasen får en lägre temperatur och trycket i systemet minskar. Den inre energin minskar enligt U = Q Simulering Utgå från basuppsättningen (se Avsnitt 3) och fixera kolven med hjälp av verktyget Fixera. På så vis låses kolven så att volymen hålls konstant. Nu kan temperaturen höjas eller sänkas i systemet genom att höja eller sänka restitutionen av bottenytan för att simulera att värmeenergi förs till 13

16 eller från systemet. Om värmeenergi tillförs, genom att höja restitutionen, kommer partiklarnas kinetiska energi att öka och därmed även systemets inre energi. Låt systemet värmas upp endast under en kort stund för att undvika att partiklarna får för hög kinetisk energi så det skapas problem med beräkningarna i programmet och partiklarna rymmer från behållaren. Från ideala gaslagen kan det utläsas att trycket i systemet ökar proportionellt med temperaturen (se Ekv. 8). Tryckförändringen i behållaren kan visualiseras genom att släppa lös kolven efter restitutionen återställts till 1 och då se hur volymen expanderar. Trycket har ökat under uppvärmningen i och med att partiklarnas rörelseenergi och därmed deras hastigheter har ökat. Skillnaden mellan det lägre yttre trycket och det nu högre inre trycket i systemet leder därmed till att volymen för systemet ökar. Notera dock att det inte är en isokor process som sker i det här läget, utan att det nu sker en adiabatisk process (se Avsnitt 3.4). På motsvarande sätt kommer värmeenergi föras från systemet om restitutionen istället sänks, vilket medför att partiklarnas kinetiska energi och systemets inre energi även de kommer att minska. Den tryckminskning som nu sker i systemet kan visualiseras genom att restitutionen återställs till 1 och kolven släpps fri, vilket kommer medföra att en adiabatisk kompression sker (se Avsnitt 3.4). Figur 4: Youtube-klipp på en skärminspelning av en simulerad isokor process i Algodoo. Se en isokor nedkylning HÄR och en isokor uppvärmning HÄR. 3.3 Isoterm process Teori I en isoterm process hålls temperaturen, T, i systemet konstant. I ett slutet system sker detta genom att en expansion eller kompression av systemet sker i samma takt som värmeöverföringen till eller från systemet. Eftersom den inre energin i ett slutet system innehållande en monatomisk gas endast beror på partiklarnas kinetiska energi så medför en isoterm process att även systemets inre energi hålls konstant [16]. 14

17 I en isoterm process kan relationen mellan volymen och trycket beskrivas som pv = konstant utifrån ideala gaslagen (se Ekv. 2). Det vill säga när trycket minskar måste volymen öka, och vice versa, för att temperaturen i systemet ska hållas konstant [16]. Isoterm expansion I en isoterm expansion sker en ökning av behållarens volym samtidigt som temperaturen och den kinetiska energin hålls konstant. Eftersom temperaturen hålls konstant så hålls därmed även den inre energin konstant, vilket i sin tur medför att Q = -W, det vill säga den tillförda värmen till systemet måste vara lika stor till beloppet som det uträttade arbetet av systemet på omgivningen [16], det vill säga U = 0 Isoterm kompression På liknande sätt sker en isoterm kompression med skillnaden att volymen minskar i takt med att en värmeöverföring sker från systemet till omgivningen. Arbetet uträttat på systemet från omgivningen är lika stort som den mängd värmeenergi som förs från systemet till omgivningen. På så vis hålls den inre energin konstant och därmed även den kinetiska energin hos partiklarna och temperaturen i systemet [16] Simulering En isoterm process är svår att simulera i Algodoo eftersom all tillförd värmeenergi övergår till att utföra ett arbete (vid isoterm expansion) utan att ändra den inre energin i systemet. Detta medför att i ett verkligt scenario måste denna process ske väldigt långsamt så systemet kan bibehålla samma temperatur genom värmeöverföring i och med att systemets volym ökar eller minskar. Detta leder i sin tur till att det i en simulering i Algodoo krävs att värmeöverföringen gradvis måste öka med volymen (vid isoterm expansion). Ett sätt att simulera en isoterm expansion kan vara genom att minska trycket på systemet, för att på så vis få volymen att expandera. Samtidigt som expansionen sker måste då en värmeöverföring ske till systemet, för att partiklarna ska behålla sin kinetiska energi och systemet sin temperatur. På grund av att värmetillförsel endast kan ske genom bottenytan (för att undvika att kolven också får tillförd värmeenergi) så måste restitutionen ökas gradvis i och med att det sker färre kollisioner med bottenytan ju större volymen blir. 15

18 Figur 5: Youtube-klipp på en skärminspelning av en simulerad isoterm process i Algodoo. Se en isoterm expansion HÄR. 3.4 Adiabatisk process Teori I en adiabatisk process sker ingen värmeöverföring varken till eller från systemet, man säger att systemet är isolerat. De flesta processer som sker under ett kort tidsintervall kan ses som adiabatiska, det vill säga processer som sker snabbare än värmeledningen till eller från omgivningen. Eftersom Q = 0 i en adiabatisk process beror förändringen av den inre energin endast på det uträttade arbetet. Observera att detta inte betyder att temperaturen hålls konstant, då den inre energin och därmed partiklarnas kinetiska energi även beror på det arbete som uträttas [5, 17]. Adiabatisk expansion I en adiabatisk expansion uträttar systemet arbete på omgivningen och den inre energin minskar enligt U = W Det uträttade arbetet medför i sin tur en minskning av partiklarnas kinetiska energi och systemets temperatur [17]. Adiabatisk kompression Vid en adiabatisk kompression uträttar omgivningen ett arbete på systemet som i sin tur får en ökning av sin inre energi enligt U = W Ökningen av systemets inre energi medför därmed en ökning av partiklarnas kinetiska energi och systemets temperatur [17]. 16

19 3.4.2 Simulering En adiabatisk process sker i ett isolerat system, något som är svårt att skapa i verkligheten men enkelt att skapa i Algodoo. Låt alla väggar i behållaren ha friktionen 0 och restitutionen 1 så har du skapat ett helt isolerat system, där ingen värmeenergi överförs mellan systemet och omgivningen. Genom att utgå från basuppsättningen (se Avsnitt 3) kan sedan en adiabatisk kompression simuleras genom att kraften på motorn ökas vilket leder till att ett arbete uträttas på systemet. Detta medför i sin tur att den inre energin i systemet ökar och därmed även partiklarnas kinetiska energi och temperaturen i systemet. För en adiabatisk expansion minskas istället kraften på motorn, vilket leder till att systemet uträttar ett arbete på omgivningen och på så sätt minskar dess inre energi och därmed partiklarnas kinetiska energi och systemets temperatur. Figur 6: Youtube-klipp på en skärminspelning av en simulerad adiabatisk process i Algodoo. Se en adiabatisk kompression HÄR och en adiabatisk expansion HÄR. 4 Beräkningar och observationer i Algodoo 4.1 Ideala gaslagen i 2D I tre dimensioner kan tryck, volym, antalet partiklar och temperaturen i en ideal gas (se Avsnitt 2.2.2) beskrivas enligt pv = NkT (9) där p är trycket, V är volymen, N är antalet partiklar, k är Boltzmanns konstant och T är temperaturen. Eftersom Algodoo endast är ett tvådimensionellt program krävs en omskrivning av denna ekvation för att kunna använda den i beräkningar utifrån värden från en simulering i programmet. 17

20 Figur 7: Rektangulär behållare av en ideal gas, i tre dimensioner respektive två dimensioner, som påverkas av kraften F. Behållaren har bredden x, höjden h och bottenarean A. Både trycket och volymen måste nu skrivas om till ett tryck och en volym i två dimensioner, vi kallar dessa p och Ṽ och får pṽ = NkT (10) Eftersom trycket i tre dimensioner kan beskrivas som kraft per area kan trycket, p, i två dimensioner, för en rektangulär behållare (se Fig. 7), istället beskrivas som p = F x där x är bredden på behållaren och F är kraften som utövas på systemet. Volymen kan i tre dimensioner beskrivas som arean på behållarens bottenyta multiplicerat med höjden (V = Ah) medan volymen, Ṽ, istället kan beskrivas som en area, enligt Ṽ = x h där x är bredden på behållaren och h är höjden på behållaren. Temperaturen i en ideal gas kan uttryckas från ekvipartitionsprincipen, enligt vilken varje frihetsgrad ger ett energibidrag på 1 2 kt (se Avsnitt 2.2.3) [5]. Antalet frihetsgrader, f g, är relaterat till antalet rörelseriktningar som atomen kan röra sig i. För en enatomig gas i tre dimensioner gäller därför att f g = 3 [5]. Eftersom Algodoo är ett tvådimensionellt program gäller därmed att f g = 2 och den genomsnittliga kinetiska energin uttrycks därmed E k = 2 1 kt = kt 2 där E k är den genomsnittliga kinetiska energin hos partiklarna i gasen i Joule (J), k är Boltzmanns konstant (k=1, J/K) och T är temperaturen i systemet i Kelvin (K) Vi får därför T = E k k (11) 18

21 Insättning av detta i Ekv. 10 ger pṽ = Nk E k k Efter förenkling får vi ekvationen för en ideal gas i två dimensioner där p = F x pṽ = N E k (12) och Ṽ = x h, för en rektangulär behållare med bredden x, höjden h och en kraft F som utövas på systemet. 4.2 Helmholtz resonator Helmholtz resonator är ett fenomen där luft oscillerar i ett hålrum med en cirkulär öppning (se Fig. 8), som exempelvis när man blåser i en flaska och får en ton. En Helmholtz resonator kan betraktas som en oscillerande massa i en fjäder, där man föreställer sig att luften som befinner sig i halsöppningen är den oscillerande massan som får sin svängningsrörelse från trycket i hålrummet. När massan åker ned och komprimerar luften i hålrummet så ökar trycket och massan trycks uppåt varvid en minskning av trycket i hålrummet uppstår vilket medför att en svängningsrörelse uppstår. Denna process är adiabatisk, då oscilleringen sker så snabbt att ingen värmeöverföring hinner ske [18]. Figur 8: En Helmholtz resonator bestående av ett hålrum med en cirkulär halsöppning [19]. Hermann von Helmholtz kom fram till en formel som beskriver resonansfrekvensen (f ) för en sådan uppsättning f = c A 2π V L där c är ljudets hastighet, A är tvärsnittsarean på halsöppningen, V är hålrummets volym och L är halsöppningens längd [18]. Eftersom uppsättningarna av gasbehållaren i Algodoo inte har precis dessa egenskaper så krävs en omskrivning av ekvationen innan den kan appliceras. I Algodoo simuleras en rektangulär gasbehållare innehållande en enatomig gas, och inte tvåatomig gas som luften till största del består av, och massan som oscillerar är av en annan, mycket högre densitet, än gasinnehållet i hålrummet (se Fig. 9). (13) 19

22 Figur 9: En behållare med höjden h, innehållande en ideal enatomig gas, är försluten med en låda med massan m. Systemet påverkas av kraften F och lådan oscillerar med Helmholtz resonansfrekvens. Med omskrivning (se härledning i Appendix A) kan Helmholtz resonansfrekvens beskrivas enligt f = 1 γf 2π mh (14) där γ är värmekapacitetskvoten, F är kraften som utövas på systemet, m är den oscillerande massan och h är höjden på behållarens ursprungliga volym (det vill säga när massan befinner sig i jämviktsläget). Värmekapacitetskvoten, γ, är relaterat till antalet frihetsgrader (f g ) [5], enligt γ = f g (15) I och med att antalet f g = 2 för en monatomisk gas i två dimensioner blir värmekapacitetskvoten därmed γ = = 2 (16) 4.3 Beräkningar För samtliga beräkningar bestäms kolvens höjd, h, (se Fig. 10) på följande sätt. Figur 10: En behållare med höjden h, innehållande en ideal enatomig gas, är försluten med en låda med massan m och längden L i y-led. Systemet påverkas av kraften F. Kolvens position kan visas i Algodoo genom att välja Visa graf när kolven är markerad och därefter bestämma att y-axeln ska visa kolvens position i y-led. Det som visas i grafen är därmed 20

23 positionen för objektets masscentrum medan det i beräkningarna är av intresse var kolvens bottenyta befinner sig, i och med att det motsvarar höjden på behållaren. Utifrån denna position kan höjden, h, beräknas enligt h = ȳ L 2 (17) där ȳ är medelvärdet för massans lägsta respektive högsta punkt, det vill säga jämviktsläget för massan, och L är lådans längd i y-led (se Fig. 10). I samtliga simuleringar används samma längd i y-led på kolven, därav gäller att L=1,25m för samtliga beräkningar. Jämviktsläget för kolven beräknas genom att låta kolven oscillera 10 gånger för att sedan beräkna medelvärdet av positionen genom att ta medelvärdet av 10 av kolvens högsta position och 10 av kolvens lägsta position. Även beräkningar av det relativa felet mellan teoretiskt beräknade värdet och de värde som visas experimentellt i Algodoo har gjorts, vilket beräknades enligt Relativtfel = x teoret. x experim. x teoret. (18) där x symboliserar det uppmätta värdet av exempelvis frekvensen eller kinetisk energi och x teoret. betecknar det teoretiskt beräknade värdet medan x experim. betecknar det experimentellt uppmätta värdet i Algodoo Beräkningar av Helmholtz resonansfrekvens Massan 100 kg och kraften 5 N m = 100kg och F = 5N Figur 11: Lådan med massan 100 kg och kraften 5 N svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 7 i bilaga B.1) får vi h = ȳ L 2 = 7, 129 1, 25 2 = 6, 5039 m Beräkningar med ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) ger f teoret. = 1 γf 2π mh = , 0197 Hz (19) 2π 100 6,

24 Utifrån grafen över massans position (se Fig. 11) kan vi beräkna den reella frekvensen från tiden mellan 10 svängningar, vilket ger t 1 = 826, 73 s och t 2 = 1314, 18 s t = 1314, , 73 = 487, 45 s f experim. = 1 = 10 t t = 10 0, 0205 Hz (20) 487, Detta ger ett relativt fel på ungefär 4 % (se Ekv. 18) vilket visar att lådan verkar svänga med Helmholtz resonansfrekvens, se avsnitt för vidare diskussion. Massan 30 kg och kraften 5 N m = 30kg och F = 5N Figur 12: Lådan med massan 30 kg och kraften 5 N svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 8 i bilaga B.1) får vi h = ȳ L 2 = 8, 073 1, 25 2 = 7, 4475 m Beräkningar med ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) ger f teoret. = 1 γf 2π mh = , Hz (21) 2π 30 7, 4475 Utifrån grafen över massans position (se Fig. 12) kan vi beräkna den reella frekvensen från tiden mellan 10 svängningar, vilket ger t 1 = 126, 74 s och t 2 = 416, 98 s t = 416, , 74 = 290, 24 s f experim. = 1 = 10 t t = 10 0, Hz (22) 290, Detta ger ett relativt fel på ungefär 2 % (se Ekv. 18) vilket visar att lådan verkar svänga med Helmholtz resonansfrekvens, se avsnitt för vidare diskussion. 22

25 Massan 100 kg och kraften 8 N m = 100kg och F = 8N Figur 13: Lådan med massan 100 kg och kraften 8 N svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 9 i bilaga B.1) får vi h = ȳ L 2 = 5, 123 1, 25 2 = 4, 4975 m Beräkningar med ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) ger f teoret. = 1 γf 2π mh = , Hz (23) 2π 100 4, 4975 Utifrån grafen över massans position (se Fig. 13) kan vi beräkna den reella frekvensen från tiden mellan 10 svängningar, vilket ger t 1 = 159, 8 s och t 2 = 480, 14 s t = 480, , 8 = 320, 34 s f experim. = 1 t 10 = 10 t = 10 0, Hz (24) 320, 34 Detta ger ett relativt fel på ungefär 4 % (se Ekv. 18) vilket visar att lådan verkar svänga med Helmholtz resonansfrekvens, se avsnitt för vidare diskussion Diskussion av beräkningar av Helmholtz resonansfrekvens Beräkningarna som gjorts visar på ett lågt relativt fel mellan värdet som uppmätts för svängningen i Algodoo och det teoretiska värdet för Helmholtz resonansfrekvens. Detta visar i sin tur att svängningen som uppstår kan jämföras med Helmholtz resonator då svängningsfrekvensen kan beräknas med hjälp av formeln för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14). Felet som uppstår mellan värdena kan komma från bland annat avrundningar i Algodoo och vid beräkningen av höjden (h) eftersom en ungefärlig höjd måste beräknas utifrån svängningsrörelsen. Notera även variationen av kolvens högsta position i svängningsrörelsen vilket även bidrar som felkälla till beräkningen av 23

26 höjden. Gasen som simuleras i Algodoo är inte heller en helt ideal gas eftersom partiklarna både är relativt stora och få till antalet, vilket även det bidrar till en felkälla. Beräkningar visade även att när kolven befinner sig på en högre medelhöjd så var det relativa felet mellan svängningsrörelsen och det beräknade värdet av Helmholtz svängningsfrekvens mindre vilket förmodligen beror även det på partiklarnas storlek. I och med att partiklarna i simuleringen inte är punktpartiklar och deras egna volym inte är försumbar i jämförelse med behållarens volym så blir gasen mer lik en ideal gas vid större volym på behållaren, vilket bidrar till värden som närmar sig det teoretiskt beräknade värdet (se Avsnitt B.5). Det bör även nämnas att oscilleringen bör hållas relativt liten, det vill säga med en höjdskillnad på ungefär 10% av den högsta höjden. Detta beror på att kolven endast är begränsad nedåt men inte uppåt, vilket leder till oscilleringar som inte är helt harmoniska vid stora svängningar Beräkningar av frekvensens beroende av bredden på behållaren Enligt ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) bör svängningsfrekvensen vara oberoende av bredden, vilket har undersökts om det stämmer överens med simuleringar i Algodoo. Samtliga simuleringar utgick från basuppsättningen (se Avsnitt 3) i vilken bredden på behållaren ändrades medan massan och kraften på kolven hölls konstant. Simuleringarna visade att höjden på kolven blev lägre och att den kinetiska energin för partiklarna ökade. Detta beror på att trycket i behållaren minskar i och med att volymen på behållaren ökar. Detta leder i sin tur till att kolven åker nedåt och ett arbete utövas av omgivningen på systemet vilket höjer dess inre energi och därmed partiklarnas kinetiska energi (se Fig. 14 och 15). Figur 14: Graf över kolvens position där bredden på behållaren ökas från 2,5 m till 8 m. Kolven fixeras innan bredden ändras, vilket syns i figuren som ett horisontellt streck. 24

27 Figur 15: Graf över partiklarnas kinetiska energi när bredden på behållaren ökas från 2,5 m till 8 m. Kolven fixeras innan bredden ändras, vilket syns i figuren som ett horisontellt streck. Med värden från simuleringar i Algodoo (se Tabell i bilaga B.2) gjordes beräkningar av höjden (se Ekv. 17). Frekvensen beräknades därefter från tiden för 10 svängningar. Resultatet visas i Tabell 1 där det är tydligt att frekvensen näst intill hålls konstant. Vid en bredd som är mer än tredubbla ursprungsbredden har frekvensen endast ändrats med knappt 5 %. Däremot, från ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) bör en lägre höjd medföra en större frekvens, men simuleringarna visar å andra sidan det omvända (se Tabell 1). Ju större bredden på behållaren är desto lägre blir höjden för kolven och desto lägre blir dessutom frekvensen. Detta skulle kunna bero på felkällor i Algodoo som exempelvis att kolven blir mer instabil ju bredare behållaren blir eftersom i samtliga simuleringar användes endast en motor som placerades i mitten av kolven. Det gjordes även försök där bredden ökades ytterligare men då blev kolven så instabil och började vibrera så att partiklarna kunde fly ur behållaren. Ytterligare en felkälla skulle kunna vara att gasen blir mer lik en ideal gas i och med att volymen ökas, vilket bidrar till att värdena närmar sig det teoretiskt beräknade värdet, som är lägre än de värden som uppmätts i Algodoo. Bredd [m] Höjd [m] Frekvens [Hz] Frekvens (beräknad) [Hz] Relativt fel 2,5 1,5697 0,0469 0,0402 0,17 3,75 1,5063 0,0464 0,0410 0,13 5 1,4775 0,0454 0,0414 0,10 6,25 1,4550 0,0450 0,0417 0,08 8 1,4198 0,0446 0,0422 0,06 Tabell 1: Tabell över hur höjden av kolven och svängningsfrekvensen förhåller sig till bredden av behållaren. I samtliga simuleringar hade kolven massan 100 kg, kraften var 5 N och antalet partiklar var 200 stycken. Med höjden menas positionen för kolvens bottenyta. Ytterligare ett försök gjordes för att undersöka hur frekvensen förändras med bredden när höjden eftersträvas hållas konstant. Detta gjordes genom att höja restitutionen på behållarens bottenyta 25

28 efter att bredden vidgats, för att på så vis få kolven att höja sig till det tidigare läget från den högre temperatur som skapas i behållaren. Det visade sig vara svårt att tillföra lagom mängd energi till systemet för att nå samma höjd som innan bredden vidgades. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell 15 och Tabell 16 i bilaga B.2) beräknades höjden och frekvensen. Resultatet kan ses i Tabell 2 där det kan utläsas att frekvensen minskade trots att höjden var näst intill densamma. Värdet närmar sig dock det teoretiskt beräknade värdet för den givna höjden och det relativa felet blev därmed mindre vid en större bredd. Bredd [m] Höjd [m] Frekvens [Hz] Frekvens (beräknad) [Hz] Relativt fel 2,5 1,571 0,0470 0,0399 0,17 5 1,588 0,0432 0,0401 0,08 Tabell 2: Tabell över hur höjden av kolven och svängningsfrekvensen förhåller sig till bredden av behållaren när höjden är näst intill konstant. I samtliga simuleringar hade kolven massan 100 kg, kraften var 5 N och antalet partiklar var 200 stycken. Frekvens (beräknad) är beräknad utifrån Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14). Det relativa felet mellan det uppmätta värdet i Algodoo och det teoretiskt beräknade värdet visas också i tabellen. Med höjden menas positionen för kolvens bottenyta. Att värdena närmar sig de teoretiskt beräknade värdena tyder på att de oväntade värdena på frekvensen kan komma från att gasen blir mer lik en ideal gas vid en större volym Frekvensens beroende av antalet partiklar i behållaren I ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) går det inte att utläsa hur antalet partiklar i behållaren påverkar svängningsfrekvensen av kolven, vilket därmed har undersökts. Från ideala gaslagen i två dimensioner (se Ekv. 12) kan vi förvänta oss att höjden bör minska proportionellt med reducerandet av antalet partiklar, om temperaturen och kraften på behållaren hålls konstant. Samtliga simuleringar utgick från basuppsättningen (se Avsnitt 3) i vilken antalet partiklar i behållaren ändrades medan bredden på behållaren och massan och kraften på kolven hölls konstant. Simuleringarna visade att när antalet partiklar i behållaren reduceras så minskar höjden på kolven, i och med att trycket i behållaren minskar. Detta medförde i sin tur en högre svängningsfrekvens vilket även går att utläsa ur ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens. Med värden från simuleringen i Algodoo (se Tabell i bilaga B.3) gjordes beräkningar av höjden genom Ekvation 17. Frekvensen beräknades därefter från tiden för 10 svängningar. Frekvensen jämfördes därefter med det teoretiskt beräknade värdet utifrån ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens. 26

29 Antalet partiklar Höjd [m] Frekvens [Hz] Frekvens (beräknad) [Hz] Relativt fel 200 1,570 0,0469 0,040 0, ,388 0,0490 0,043 0, ,075 0,0547 0,049 0, ,741 0,0642 0,058 0,10 Tabell 3: Tabell över hur höjden av kolven och svängningsfrekvensen förhåller sig till antalet partiklar i behållaren. Frekvens (beräknad) är beräknad utifrån Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14). Det relativa felet mellan det uppmätta värdet i Algodoo och det teoretiskt beräknade värdet visas också i tabellen. Med höjden menas positionen för kolvens bottenyta. Från Tabell 3 ses att frekvensen förhåller sig relativt bra till det beräknade värdet och det visar sig att det relativa felet mellan det uppmätta värdet i Algodoo och det teoretiskt beräknade värdet blir mindre ju färre partiklar som finns i behållaren. Det beror på att den relativa volymen av behållaren blir större i och med att antalet partiklar blir en fjärdedel så många medan höjden, och därmed Ṽ, endast blir hälften så stor och simuleringen blir därmed mer lik en ideal gas. Det visar sig alltså att reducerandet av antalet partiklar inte förhåller sig proportionellt mot minskningen av höjden här. Det beror på att i och med att höjden på kolven minskar så utövas ett arbete på systemet som i sin tur ökar dess inre energi och partiklarnas kinetiska energi. Temperaturen i systemet hålls därmed inte konstant i dessa simuleringar. Ytterligare en simulering gjordes där temperaturen hölls konstant, för att undersöka om simuleringen i Algodoo visar det som förväntas utifrån ideala gaslagen, nämligen att höjden på kolven minskar proportionellt med antalet partiklar. Partiklars kinetiska energi är proportionell mot temperaturen i systemet (se Avsnitt 2.2.3) och avgörs därmed inte av antalet partiklar i systemet. För att hålla temperaturen konstant ska därmed partiklarnas hastigheter hållas konstant. En ny simulering med 400 partiklar skapades, för att på så vis kunna sätta en hastighet på partiklarna som programmet och datorn klara av att beräkna utan att simuleringen ska bli oregelbunden och samtidigt kunna hålla kolven på en relativt hög höjd så den har möjlighet att minska i och med reducerandet av partiklar. Samtliga partiklar gavs hastigheten 5,5 m/s medan kolven placerades på positionen 6,4 m (positionen för kolvens masscentrum). När sedan antalet partiklar reducerades till hälften hölls kolven fixerad och hastigheten på de kvarvarande partiklarnas sattes återigen till 5,5 m/s. När sedan kolven minskade i höjd fixerades kolven ett antal gånger för att på nytt sätta hastigheterna på partiklarna till 5,5 m/s, för att på så vis hålla partiklarnas kinetiska energi konstant (se Fig. 18 och 19 i Appendix B.3). 27

30 Antalet partiklar Höjd [m] E k 400 5,775 0, ,875 0,0627 Tabell 4: Tabell över hur antalet partiklar i systemet förhåller sig till höjden när trycket och temperaturen hålls konstant. Med höjden menas positionen för kolvens bottenyta och E k är partiklarnas genomsnittliga kinetiska energi. Simuleringen visar därmed att en halvering av antalet partiklar ger ungefär en halvering av höjden på kolven (se Tabell 4). Partiklarnas kinetiska energi lyckades inte hållas helt konstant, vilket bidrar som en felkälla i simuleringen Beräkningar med ideala gaslagen Beräkningar gjordes för att undersöka hur väl värden i Algodoo stämmer överens med teoretiskt beräknade värden från den ideala gaslagen i två dimensioner. Simuleringar i Algodoo genomfördes utifrån basuppsättningen (se Avsnitt 3) i vilken sedan massan på kolven och kraften som utövas på systemet ändrades. Därefter gjordes försök när kolven hölls på en högre höjd, vilket gjordes genom att öka den kinetiska energin hos partiklarna genom att höja restitutionen på behållarens bottenyta under en kort tid. Värdet av partiklarnas kinetiska energi beräknades med hjälp av ekvationen för ideala gaslagen i två dimensioner (se Avsnitt 4.1) där p = F x pṽ = N E k (25) och Ṽ = x h, för en rektangulär behållare med bredden x, höjden h och en kraft F som utövas på systemet. N är antalet partiklar vilket är 200 stycken i samtliga simuleringar. Omskrivning ger därmed F x x h = N E k F h = N E k E k = F h N Värdet på den kinetiska energin som hämtats från Algodoo togs fram genom att markera samtliga partiklar och välja "Visa graf", där sedan Kinetisk energi (summa) valdes för y-axeln. Det som nu visas i grafen i Algodoo är den sammanlagda kinetiska energin för samtliga partiklar varför detta värde sedan dividerades med 200, vilket är antalet partiklar i simuleringen. Beräkningarna i Tabell 5 visar att värdet på partiklarnas kinetiska energi i Algodoo stämmer relativt bra överens med det beräknade värdet utifrån Ekv. 26. På samma sätt som i beräkningar för Helmholtz resonansfrekvens (se Avsnitt 4.3.2) så blir det relativa felet mindre för högre höjder på kolven vilket beror på att simuleringen i Algodoo blir mer lik en ideal gas vid större volym (se Avsnitt B.5). (26) 28

31 m [kg] F [N] h [m] E k [J] E k (beräknad) [J] Relativt fel ,570 0,028 0,039 0, ,255 0,196 0,206 0, ,230 0,040 0,062 0, ,241 0,291 0,312 0, ,716 0,182 0,193 0,06 Tabell 5: Tabell över den kinetiska energin från Algodoo (E k ) jämfört med den beräknade kinetiska energin genom den ideala gaslagen i två dimensioner (E k (beräknad)), vid olika massa på kolven (m), kraft som utövas på systemet (F ) och höjden på kolven (h) Partiklarnas storleks inverkan på beräkningarna Samtliga simuleringar visade att ju högre höjden på kolven är, desto mindre blir det relativa felet mellan beräknade värden och uppmätta värden i Algodoo. I en ideal gas är partiklarnas volym försumbar jämfört med behållarens volym, vilket kan vara anledningen till varför värdena i Algodoo blir bättre vid högre höjd och därmed större volym ( volym i två dimensioner, det vill säga Ṽ ) på behållaren (notera att volym används i resterande del av uppsatsen, med vilket menas volym i Algodoo som i två dimensioner snarare är en area, det vill säga Ṽ ). Ju större behållarens volym blir, desto mer lik blir simuleringen en ideal gas, eftersom partiklarnas volym blir mindre i förhållande till behållarens totala volym. För att undersöka om det kan vara fallet gjordes simuleringar där radien på partiklarna ändrades medan volymen på behållaren hölls näst intill konstant. Basuppsättning användes men med endast 100 partiklar för att rymma partiklar med större radie i behållaren. Partiklarnas radie sattes till 0,03 m, 0,06 m, 0,09 m samt 0,18 m medan massan på partiklarna, massan på kolven och kraften som utövas på systemet hölls konstant. Höjden på kolven beräknades utifrån värden från Tabell i Appendix B.5 och Ekvation 17 medan den uppmätta frekvensen bestämdes utifrån tiden mellan ett antal svängningar och den teoretisk beräknade frekvensen bestämdes utifrån ekvationen för Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14). Resultatet (se Tabell 6) visar en tydlig ökning av det relativa felet utifrån partiklarnas radie och hur stor del av behållarens volym som tas upp av partiklarna. Skillnaden i hur stor del av behållarens volym som tas upp av partiklarna mellan radien 0,03 m och radien 0,18 m visas i Figur 16. Att gasen blir mer lik en ideal gas ju mindre del av volymen som tas upp av partiklarna verkar därmed vara en rimlig förklaring till varför värdena blir bättre vid högre höjd på kolven. 29

32 Figur 16: Figur över två olika simuleringar där partiklarnas radie är 0,03 m respektive 0,18 m medan storleken på behållaren är konstant. Radie [m] Höjd [m] Frekvens [Hz] Frekvens (beräknad) [Hz] Relativt fel 0,03 9,719 0,0167 0,0161 0,0337 0,06 9,554 0,0170 0,0163 0,0466 0,09 9,975 0,0172 0,0159 0,0775 0,18 9,668 0,0271 0,0162 0,6768 Tabell 6: Tabell över hur partiklarnas storlek påverkar det relativa felet mellan den beräknade frekvensen utifrån Helmholtz resonansfrekvens (se Ekv. 14) och den uppmätta frekvensen i Algodoo. Med höjden menas positionen för kolvens bottenyta. 30

33 5 Diskussion 5.1 Diskussion av simuleringar Algodoo visar sig vara användbart på många sätt inom termodynamik och visualisering av gaser. Det är tydligt i simuleringar hur partiklarna i en ideal gas rör sig och hur de interagerar med varandra och omgivningen. För att skapa en ideal gas krävs det att flera partiklar med liten radie skapas, som endast interagerar med varandra genom elastiska kollisioner. Helt elastiska interaktioner mellan partiklarna och med väggarna är okomplicerat att göra i Algodoo medan begränsningen snarare ligger i att för stort antal partiklar bidrar till att simuleringsfrekvensen måste sänkas och leder till att simuleringen blir oregelbunden och inte lika jämn som vid färre antal partiklar. Vid simuleringar innehållande väldigt små partiklar gäller det dessutom att partiklarna kan rymma från behållaren, mellan väggen på behållaren och kolven trots att dessa ligger precis intill varandra. Det här leder till en begränsning i hur små och hur många partiklar som simuleringen kan innehålla, vilket även beror på vilken dator som används vid simuleringen eftersom en mer kraftfull dator klarar av en högre simuleringsfrekvens. I den här uppsatsen valdes därmed radien 0,03 m och antalet 200 stycken som lämpligt. För att skapa ett system som är så lik en ideal gas som möjligt valdes en scen utan gravitation och luftmotstånd vilket i sin tur bidrog till att trycket som utövas på systemet representerades av en kraft från en motor i och med avsaknaden av gravitation. Det som sker i dessa simuleringar är dock att en pendlingsrörelse uppstår som visar sig likna fenomenet Helmholtz resonator, där kolven betraktas som en massa som oscillerar i en fjäder. Här är det gasen i behållaren som orsakar oscilleringen och kan därmed betraktas som fjädern. Detta bidrar i sin tur till att konstruktionen med ett konstant tryck utifrån en konstant kraft som utövas på systemet inte är helt lämplig i och med att det inte bidrar till ett konstant tryck i behållaren. Trycket i behållaren kommer att öka när kolven rör sig nedåt och minska när kolven rör sig uppåt. Det visar sig dock att det går att åstadkomma en väldigt liten oscillation som inte stör simuleringarna anmärkningsvärt och det är tydligt vad som sker i samtliga simuleringar av de termodynamiska processerna trots detta. Det här fenomenet är även ett intressant diskussionsområde i en undervisningssituation där det både går att diskutera vilka krafter som utövas, vilket arbete som uträttas och hur trycket förändras i behållaren. Även simuleringen av en isobar process är användbar trots det här problemet, där förändringen i trycket i behållaren inte stör simuleringen vid en expansion eller en kompression. Det är endast när systemet bör befinna sig i ett jämviktsläge som det här fenomenet uppfattas, det vill säga att det inte är möjligt att få systemet att befinna sig i ett visst tillstånd om inte kolven fixeras med hjälp av fixeringsverktyget. Istället för att placera en motor på kolven för att påverka systemet med en kraft har ytterligare sätt att simulera trycket i behållaren utförts. I en uppsättning utnyttjades det att gravitationens påverkan på kolven leder till att systemet påverkas av en kraft. I Algodoo kan lager skapas, för att på så vis välja vilka föremål som ska påverkas av gravitationskraften. Därmed kan en scen skapas 31

34 där endast kolven påverkas av gravitationen. Det visade sig dock att även i den här uppsättningen så kommer det, på samma sätt som med motorn, att uppstå en svängningsrörelse. Utifrån detta togs beslutet att använda motorn som representation av tryck i och med att det ansågs vara en tydligare representation av att systemet påverkas av en kraft och därmed ett tryck, än uppsättningen med gravitationen. Expansion och kompression i en isobar process sker genom värmeöverföring som representeras av att restitutionen av en yta höjs eller sänks, vilket är en bra representation av värme i och med att partiklarna upptar respektive förlorar energi vid kollisioner av den ytan. Problemet med det här sättet att representera värme är att det i simuleringen endast går att ändra restitutionen på bottenytan, för att inte även kolven ska påverkas av ändringen. Detta leder i sin tur till att det tar längre tid för energin att breda ut sig i hela systemet, det vill säga så att samtliga partiklar får en högre energi, än om värmeöverföringen hade skett från behållarens samtliga väggar. Det här ger dock främst en effekt vid större volymer. Medan visualiseringen av värme är tydlig i Algodoo så kräver förståelsen av vad som sker med systemets temperatur i de olika processerna kunskapen att temperaturen är proportionell mot partiklarnas kinetiska energi, eftersom det är den kinetiska energin som kan visas i en graf i Algodoo. Vid förståelse av detta är det tydligt i Algodoo hur systemets temperatur och inre energi förändras utifrån grafen över partiklarnas kinetiska energi. Utifrån den här grafen kan man föra intressanta diskussioner om termodynamikens första huvudsats och diskutera vilket arbete eller värmeöverföring som sker i processer och hur det påverkar systemets inre energi och därmed partiklarnas kinetiska energi. Samtliga processer utom isoterm process visar sig vara meningsfulla att simulera, medan en isoterm process är komplicerad att simulera i Algodoo. En verklig isoterm process sker väldigt långsamt så värmeenergin har möjlighet att överföras i takt med att systemet expanderar eller komprimeras. I en sådan process sker den värmeöverföringen naturligt i och med termodynamikens andra huvudsats som säger att värme spontant flödar från ett varmare till ett kallare system. Det här sker däremot inte i Algodoo och för att simulera en isoterm process krävs det att värmeöverföringen från en ändring av bottenytans restitution sker i samma takt som expansionen eller kompressionen, vilket visade sig vara svårt att genomföra. Däremot är en adiabatisk process och ett isolerat system okomplicerat att simulera i Algodoo, något som i verkligheten är svårt att åstadkomma. 5.2 Diskussion av Algodoo i undervisningen Algodoo visar sig fungera att använda i undervisningen genom att simulera olika processer för att tydligare visualisera vad som sker i systemet vid dessa processer genom att observera partiklarna i gasen och grafisk representation av partiklarnas kinetiska energi. Programmet är också användbart för att studera vad som sker med olika parametrar i ekvationer, trots att dessa parametrar inte direkt finns inskrivna i ekvationen men att de påverkar andra parametrar som i sin tur finns inskrivna i ekvationen. Algodoo kan även användas till att testa matematiska modeller experimentellt 32

35 och se om beräkningarna överensstämmer med observationerna av ett fenomen, som exempelvis gjordes när fenomenet för Helmholtz resonator upptäcktes. Det som bör tas in i beaktning är att programmet är tvådimensionellt vilket bidrar till att de ekvationer som används för beräkningar även de måste vara definierade för två dimensioner för att kunna användas utifrån värden från simuleringar. Samtliga beräkningar av både Helmholtz resonansfrekvens och beräkningar utifrån den ideala gaslagen i två dimensioner gav värden med någorlunda låga relativa fel. De relativa fel som simuleringarna gav kommer förmodligen från svårigheten att skapa en helt ideal gas i och med begränsningen av antalet och storleken på partiklarna. Det visade sig dessutom i samtliga beräkningar att det relativa felet blev mindre i och med en större volym av behållaren. Det här kommer förmodligen från att systemet blir mer lik en ideal gas vid större volym i och med att man i en ideal gas räknar med att partiklarnas volym är försumbar i jämförelse med behållarens volym. Begränsningen i Algodoo är därför att partiklarnas radie inte går att göra väldigt liten eftersom partiklarna då kan rymma ur behållaren mellan kolven och behållarens väggar trots att dessa verkar ligga precis intill varandra. En begränsning gällande beräkningar som finns i Algodoo är beräkningen av systemets temperatur. Beräkningar av temperaturen utifrån partiklarnas kinetiska energi (se Ekv. 11) ger en orimligt hög temperatur på storleksskalan vilket beror på partiklarnas stora massa i Algodoosimuleringen jämfört med partiklarnas massa i en riktig gas. Däremot går det bra att tolka temperaturförändringen utifrån grafen för den kinetiska energin, där det är tydligt om temperaturen i systemet ökar eller minskar i processerna. Algodoo är användbart inom undervisningen för att simulera isobara, isokora och adiabatiska processer och studera vad som sker i systemet och med partiklarnas kinetiska energi i dessa processer. I vissa avseenden är andra simuleringsprogram mer användbara, som exempelvis Physlet som innehåller fler grafiska representationer av termodynamiska processer som exempelvis pv-diagram, eller PhET där det är tydligare och bättre värden som visas av exempelvis tryck och temperatur i processer. Fördelarna med Algodoo är däremot att valmöjligheterna är otaliga och möjligheten att skapa en egen scen bidrar till att eleverna kan utforska termodynamikens lagar på egen hand och ändra massor, krafter och mycket annat i scenen. Programmet kan även användas till att undersöka och testa matematiska modeller som även gjordes i den här uppsatsen. I Algodoo kan parametrar ändras med en viss faktor och på så sätt undersöka om beräkningar och observationer överensstämmer. Utifrån det här kan tolkningar av matematiska modeller, simuleringar i programmet och verkliga processer diskuteras. Det är däremot viktigt att observationer inom processer i Algodoo diskuteras utifrån termodynamikens lagar och vad som sker i verkliga processer. I Algodoo kan det vara ännu viktigare att fokusera på att fånga upp observationer och problem som kan uppstå i programmet jämfört med om andra simuleringsprogram används, eftersom de programmen oftast är designade för att passa för just termodynamik. Det här blir även framförallt viktigt i och med att Algodoo inte är designat för att användas på längdskalor under en centimeter. 33

36 6 Nästa steg Det har fortfarande inte undersökts hur Algodoo fungerar i praktiken i undervisningen inom termodynamik och kinetisk gasteori vilket därmed är ett naturligt nästa steg i arbetet. Ett förslag är att förbereda ett undervisningsmoment inom området där Algodoo används och sedan genomföra undervisningsmomentet med en grupp elever. Man kan dessutom komplettera det här med en intervju av deltagarna för att undersöka hur de själva upplevde undervisningstillfället, för att sedan tillsammans med en analys av undervisningsmomentet dra slutsatser angående på vilket sätt Algodoo kan bidra till en bättre inlärning. 7 Slutsats Simuleringsprogram, som exempelvis Physlet, har i tidigare forskning visat sig vara ett användbart hjälpmedel vid undervisning inom termodynamik och kinetisk gasteori i och med att det är ett område inom fysiken som är svårt att observera. Algodoo är ett simuleringsprogram med mindre begränsningar än exempelvis simuleringsprogrammen PhET och Physlet i och med att användaren skapar sina egna scener i programmet och kan ändra dessa efter sina egna önskemål. Programmet visade sig vara användbart inom termodynamik och kinetisk gasteori trots att programtillverkarna inte rekommenderar att använda programmet för att simulera fysikaliska fenomen på en längdskala mindre än en centimeter. Det fungerade framförallt bra att simulera isobara, isokora och adiabatiska processer medan Algodoo inte är direkt användbart för att simulera en isoterm process. Programmet kan däremot bidra till bra diskussioner angående vad som sker i en verklig isoterm process och varför det är svårt att simulera i programmet. I och med att simuleringar i Algodoo kan ändras utifrån användarens önskemål kan det även användas för att tolka och undersöka matematiska modeller av fysikaliska fenomen. På så sätt kan programmet användas för att testa hur ändringen av olika parametrar påverkar systemet och jämföra dessa observationer med de beräknade värdena utifrån ekvationen. Den största felkällan till de beräknade värdena visade sig komma från att partiklarna i simuleringen, till skillnad från partiklarna i en ideal gas, tar upp en viss del av volymen. Det här gav i sin tur en liten påverkan när beräkningar gjordes utifrån ekvationer som förutsätter att gasen är ideal. Sammanfattningsvis är Algodoo på många sätt användbart vid undervisning av kinetisk gasteori med vissa begränsningar, där dessa begränsningar dock kan bidra till intressanta diskussioner. Användarens valmöjligheter när en simulering skapas är Algodoos främsta fördel och en anledning till varför det här programmet i vissa fall kan vara mer användbart än andra simuleringsprogram vid undervisning av termodynamik. 34

37 Referenser [1] Bor Gregorcic. Exploring kepler s laws using an interactive whiteboard and algodoo. Physics Education, 50(5):511, URL [2] Algoryx Simulations AB. Algodoo, URL Hämtad [3] Bor Gregorcic and Madelen Bodin. Algodoo: A tool for encouraging creativity in physics teaching and learning. The Physics Teacher, 55(1):25 28, doi: / URL [4] Richard Edwin Sonntag and Gordon John Van Wylen. Introduction to thermodynamics. John Wiley & Sons, [5] Olof Beckman, Bengt Kjöllerström, and Tage Sundström. Energilära. Liber, [6] C. Nordling and J. Österman. Physics Handbook for Science and Engineering. Lund: Studentlitteratur, [7] Walter Kauzmann. Kinetic Theory of Gases. Dover Books on Chemistry Series. Dover Publications, ISBN URL gkup-tsllz4c. [8] Andrew Zimmerman Jones. How physicists define heat energy, 10 aug URL http: //thoughtco.com/heat-energy-definition-and-examples Hämtad [9] Algoryx Simulations AB. Algodoo faq, URL Hämtad [10] Samir L. da Silva, Rodrigo L. da Silva, Judismar T. Guaitolini Junior, Elias Gonçalves, Emilson R. Viana, and João B. L. Wyatt. Animation with algodoo: a simple tool for teaching and learning physics, arxiv: [11] Harun Çelik, Uğur Sari, and Untung Nugroho Harwanto. Evaluating and developing physics teaching material with algodoo in virtual environment: Archimedes principle. International Journal of Innovation in Science and Mathematics Education, 23(4):40 50, [12] Anne J Cox, Mario Belloni, Melissa Dancy, and Wolfgang Christian. Teaching thermodynamics with physlets in introductory physics. Physics Education, 38(5):433, URL stacks.iop.org/ /38/i=5/a=309. [13] Peter Junglas. Teaching thermodynamics using simulations, [14] Andrew Zimmerman Jones. Isobaric process, 10 aug URL isobaric-process Hämtad

38 [15] Andrew Zimmerman Jones. The isochoric process, 26 nov URL com/isochoric-process Hämtad [16] Andrew Zimmerman Jones. What is an isothermal process in physics?, 27 nov URL Hämtad [17] Andrew Zimmerman Jones. Thermodynamics: Adiabatic process, 18 sep URL http: //thoughtco.com/adiabatic-process Hämtad [18] Joe Wolfe. Helmholtz resonance, (u.å.). URL Helmholtz.html. Hämtad [19] Wikipedia Commons. Helmholtz resonator [figur], URL org/wiki/file:helmholtz_resonator.jpg. (CC BY SA 2.5). Hämtad

39 A Härledning Helmholtz resonansfrekvens Figur 17: Figur över en adiabatisk kompression av en behållare med volymen V och trycket p. Behållaren stängs med en kolv med massan m och bottenarean A. Kolven påverkas av en konstant yttre kraft F out som orsakas av en motor i Algodoo-simuleringen och en inre kraft F in som orsakas av trycket från partiklarna i behållaren. Den svängningsrörelse som uppstår i gasbehållaren i Algodoo kan liknas med en harmonisk rörelse där det varierande trycket i behållaren kan jämföras med en fjäderkraft. Den återdrivande kraft, F res, är alltid riktad i motsatt riktning från massans förflyttning och beräknas enligt F res = ΣF = F in F out Notera att innan kompressionen gäller F out = F in och efter kompressionen gäller F out < F in, där F out är en konstant kraft genom hela processen. En tryckförändring på grund av en volymförändring i en adiabatisk process [5] beskrivs enligt p p V = γ V där γ = c p c v När kolven oscillerar och komprimerar volymen så sker en volymförändring V = Ax där A är kolvens bottenarea och x är kolvens nya position. Detta ger i sin tur en tryckförändring enligt p p Ax = γ V Kraftpåverkan förhåller sig till tryckförändringen i behållaren enligt p = γ Ap V x (27) ΣF = pa 37

40 Från Newtons andra lag får vi då där d 2 x dt 2 = ΣF m = pa m (28) Insättning av Ekv. 27 i Ekv. 28 ger ΣF = F res Eftersom d 2 x dt 2 = γ A2 p mv x (29) så kan vi skriva om Ekv. 29 enligt V = Ah och p = F out A d 2 x dt 2 = γ A2 F out ma 2 h x = γ F out mh x Jämför nu detta med ekvationen för harmonisk rörelse: d 2 x dt 2 = k m x där f = 1 k 2π m vilket i vårt fall ger att kraftkonstanten, k, kan beskrivas enligt vilket ger resonansfrekvensen k = γ F out h [18] f = 1 γfout 2π mh Notera att det inte spelar någon roll att simuleringarna i Algodoo endast är i två dimensioner då den tredje dimensionen försvinner i beräkningarna för en rektangulär behållare. (30) 38

41 B Tabeller och figurer B.1 Tabeller Helmholtz resonansfrekvens y max [m] y min [m] 7,585 6,669 7,583 6,681 7,548 6,746 7,483 6,785 7,433 6,798 7,429 6,853 7,424 6,798 7,456 6,767 7,509 6,733 7,448 6,850 ȳ = 7,129 t 1 [s] t 2 [s] 826, ,18 Tabell 7: Tabell över kolvens masscentrums position när den svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. y max [m] y min [m] 8,940 7,288 8,907 7,157 8,994 7,202 8,928 7,222 8,850 7,251 8,918 7,352 8,782 7,242 8,849 7,343 8,877 7,240 8,917 7,191 ȳ = 8,073 t 1 [s] t 2 [s] 126,74 416,98 Tabell 8: Tabell över kolvens masscentrums position när den svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Kolven har massan 30 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. 39

42 y max [m] y min [m] 5,384 4,888 5,338 4,897 5,352 4,913 5,365 4,848 5,366 4,865 5,376 4,874 5,383 4,878 5,351 4,876 5,306 4,950 5,321 4,919 ȳ = 5,123 t 1 [s] t 2 [s] 159,8 480,14 Tabell 9: Tabell över kolvens masscentrums position när den svänger med Helmholtz resonansfrekvens. Kolven har massan 100 kg och kraften 8 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. B.2 Tabeller över höjden vid varierande bredd y max [m] y min [m] 2,234 2,164 2,240 2,146 2,228 2,164 2,236 2,148 2,238 2,146 2,236 2,156 2,220 2,170 2,224 2,168 2,228 2,156 2,246 2,146 ȳ = 2,195 t 1 [s] t 2 [s] 194,38 407,5 Tabell 10: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren har bredden 2,5 m. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. 40

43 y max [m] y min [m] 2,225 2,035 2,230 2,040 2,230 2,045 2,225 2,030 2,225 2,040 2,230 2,025 2,230 2,035 2,230 2,025 2,230 2,030 2,235 2,030 ȳ = 2,131 t 1 [s] t 2 [s] 23,51 238,98 Tabell 11: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren har bredden 3,75 m. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. y max [m] y min [m] 2,220 1,980 2,240 1,940 2,260 1,970 2,240 1,970 2,220 1,990 2,220 1,970 2,240 1,970 2,240 1,970 2,230 1,995 2,225 1,960 ȳ = 2,102 t 1 [s] t 2 [s] 24,19 244,46 Tabell 12: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren har bredden 5 m. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. 41

44 y max [m] y min [m] 2,22 1,94 2,23 1,93 2,22 1,94 2,21 1,96 2,19 1,96 2,21 1,96 2,20 1,99 2,18 1,98 2,17 1,97 2,18 1,96 ȳ = 2,08 t 1 [s] t 2 [s] 22,38 244,62 Tabell 13: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren har bredden 6,25 m. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. y max [m] y min [m] 2,116 1,965 2,154 1,939 2,158 1,944 2,150 1,955 2,138 1,950 2,126 1,971 2,086 1,982 2,124 1,965 2,117 1,948 2,130 1,978 ȳ = 2,045 t 1 [s] t 2 [s] 90,53 314,88 Tabell 14: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren har bredden 8 m. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. y max [m] y min [m] 2,256 2,132 2,257 2,146 2,240 2,155 2,246 2,135 2,261 2,131 ȳ = 2,196 t 1 [s] t 2 [s] 5,63 111,93 Tabell 15: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren har bredden 2,5 m. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter fem svängningar. 42

45 y max [m] y min [m] 2,293 2,138 2,297 2,120 2,315 2,122 2,320 2,099 ȳ = 2,213 t 1 [s] t 2 [s] 374,39 490,09 Tabell 16: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren har bredden 5 m där höjden eftersträvas hållas konstant när bredden ökades. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter fem svängningar. B.3 Tabeller och figurer över höjden vid varierande antal partiklar y max [m] y min [m] 2,234 2,164 2,240 2,146 2,228 2,164 2,236 2,148 2,238 2,146 2,236 2,156 2,220 2,170 2,224 2,168 2,228 2,156 2,246 2,146 ȳ = 2,195 t 1 [s] t 2 [s] 194,38 407,5 Tabell 17: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren innehåller 200 partiklar. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. 43

46 y max [m] y min [m] 2,200 1,820 2,210 1,815 2,205 1,815 2,210 1,825 2,210 1,820 2,205 1,800 2,220 1,805 2,220 1,805 2,220 1,800 2,220 1,825 ȳ = 2,013 t 1 [s] t 2 [s] 21,75 225,74 Tabell 18: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren innehåller 150 partiklar. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. y max [m] y min [m] 1,744 1,658 1,736 1,663 1,728 1,670 1,724 1,686 1,720 1,674 1,734 1,672 1,728 1,664 1,730 1,670 1,728 1,672 1,742 1,648 ȳ = 1,700 t 1 [s] t 2 [s] 53,34 236,23 Tabell 19: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren innehåller 100 partiklar. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. 44

47 y max [m] y min [m] 1,410 1,314 1,415 1,315 1,405 1,320 1,415 1,305 1,455 1,295 1,435 1,295 1,430 1,285 1,455 1,275 1,440 1,305 1,435 1,305 ȳ = 1,365 t 1 [s] t 2 [s] 263,9 419,74 Tabell 20: Tabell över kolvens masscentrums position när behållaren innehåller 50 partiklar. Kolven har massan 100 kg och kraften 5 N verkar på systemet. I tabellen finns värden för kolvens högsta position (y max ) respektive lägsta position (y min ) i svängningen samt medelvärdet för kolvens position ȳ. t 1 och t 2 visar tiden vid första svängningen respektive tiden efter tio svängningar. Figur 18: Graf över kolvens position (det vill säga positionen av kolvens masscentrum) när antalet partiklar reduceras från 400 till 200 stycken. Figur 19: Graf över summan över partiklarnas kinetiska energi när antalet partiklar reduceras från 400 till 200 stycken. 45