Institutionen för systemteknik

Transkript

1 Institutionen för systemteknik Department of Electrical Engineering Examensarbete Svårigheter med att beskriva tidskontinuerliga styckvis affina system med tidsdiskreta system Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping av David Gasslander LITH-ISY-EX--07/3996--SE Linköping 007 Department of Electrical Engineering Linköpings universitet SE Linköping, Sweden Linköpings tekniska högskola Linköpings universitet Linköping

2

3 Svårigheter med att beskriva tidskontinuerliga styckvis affina system med tidsdiskreta system Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping av David Gasslander LITH-ISY-EX--07/3996--SE Handledare: Examinator: Johan Sjöberg isy, Linköpings universitet Jacob Roll isy, Linköpings universitet Linköping, 7 juni, 007

4

5 Avdelning, Institution Division, Department Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Linköpings universitet SE Linköping, Sweden Datum Date Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport ISBN ISRN LITH-ISY-EX--07/3996--SE Serietitel och serienummer Title of series, numbering ISSN URL för elektronisk version Titel Title Svårigheter med att beskriva tidskontinuerliga styckvis affina system med tidsdiskreta system Difficulties when modelling continuous-time piecewise affine systems as discretetime systems Författare Author David Gasslander Sammanfattning Abstract Many people do not think of the problems continuous-time piecewise affine systems could cause if they are not treated with caution. In most cases you want to use computer power to handle your system which means that you have to perform sampling, and hence find a discrete-time model of the system. What is usually done today is to just discretize each mode separately. When this is done, the behaviour of the discete-time system could in some cases differ from the one of the continuous-time system. In this thesis, errors made today and some difficulties while modelling discretetime systems are investigated. Requirements that make it possible to find a discrete-time model are also investigated. Three kinds of algorithms and a fully explained procedure to find a discrete-time model for a piecewise affine system without errors are also explained in this thesis. Nyckelord Keywords svårigheter, sampla, styckvis affina system

6

7 Abstract Many people do not think of the problems continuous-time piecewise affine systems could cause if they are not treated with caution. In most cases you want to use computer power to handle your system which means that you have to perform sampling, and hence find a discrete-time model of the system. What is usually done today is to just discretize each mode separately. When this is done, the behaviour of the discete-time system could in some cases differ from the one of the continuous-time system. In this thesis, errors made today and some difficulties while modelling discretetime systems are investigated. Requirements that make it possible to find a discrete-time model are also investigated. Three kinds of algorithms and a fully explained procedure to find a discrete-time model for a piecewise affine system without errors are also explained in this thesis. Sammanfattning Vad många inte tänker på då de har ett relativt avancerat olinjärt system som de linjäriserat till ett tidskontinuerligt styckvis affint system är att det inte är helt självklart och enkelt att hantera detta system. Eftersom vi i de flesta fall vill kunna hantera ett angivet system med datorkraft, och därmed måste sampla systemet, behöver vi kunna beskriva ett samplat tidskontinuerligt styckvis affint system med ett tidsdiskret system. Vid första anblicken av detta problem kan det verka ganska enkelt. Vad många gör är helt enkelt att skapa en tidsdiskret beskrivning för varje mod i det styckvis affina systemet var för sig och behålla de gamla modgränserna. Detta visar sig dock kunna ge ett felaktigt uppförande hos systemet. Vad som gås igenom i denna rapport är krav som ställs på det styckvis affina systemet för att det ska gå att ta fram en tidsdiskret beskrivning för det, svårigheter som finns samt de fel som idag görs vid framtagandet av en tidsdiskret beskrivning. Hur framtagandet av tidsdiskreta beskrivningar för styckvis affina system går till samt algoritmiska lösningar till tre typer av styckvis affina system gås även igenom. v

8

9 Tack Jag vill till att börja med tacka min handledare Johan Sjöberg för sitt stora engagemang och intresse för mitt examensarbete och för att han alltid varit så positiv och drivande. Jag vill även tacka honom för hans hjälp utanför examensarbetets ramar och för att han i ett inledande skede gav mig mycket bra styrning på examensarbetet. Jacob Roll, min examinator, vill jag tacka för att jag har fått möjligheten att göra detta intressanta examensarbete, för hans stora intresse och för att han hjälpt till att söka efter relevant litteratur samt med svårare tekniska frågor. Simone Paoletti som i ett tidigt skede av examensarbetet delade med sig av sina tankar inom området. Gustaf Heby för stor hjälp med Latex på expertnivå. Mina två opponenter Magnus Dalin och Stina Måhl för att jag fått möjlighet att opponera på deras examensarbete och för de kommentarer dem gav på mitt vilket gav mig möjlighet att skriva ett ännu bättre examensarbete. Jag vill slutligen tacka min nästan alltid lika förståe fästmö Pernilla Lundell som trots mina tidvis starka aggressioner mot problem med examensarbetet alltid stått vid min sida och hjälpt mig att se livet ur nya perspektiv. vii

10

11 Innehåll Inledning. Frågeställning Målsättning Avgränsningar Styckvis affina system 5. Traditionell beskrivning av ett PWA-system Exempel som påvisar problem 3. Att skapa en tidsdiskret beskrivning Olinjäriteter hos det tidsdiskreta systemet PWA-system som roterar kring en ickestationär punkt Olika perspektiv på den tidsdiskreta beskrivningen 7 4. Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet Moder i diskret tid kontra modsekvenser i kontinuerlig tid Modgränsernas utsee i det tidsdiskreta systemet Samplingstidens inverkan Moder i diskret tid för icke existerande sekvenser Tidsdiskret beskrivning av PWA-system med komplexa egenvärden Glidande mod sliding mode Parallella modgränser PWA-system som skapats från linjäriseringar Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system Att hitta alla tänkbara sekvenser i ett PWA-system Söka sekvenser med hjälp av fasplanet i de enskilda moderna Söka sekvenser med hjälp av systemets hela rörelsemönster 4 5. Algoritmisk framtagning av tidsdiskret beskrivning Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i en dimension Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i två dimensioner med samma A = ai i alla moder ix

12 x Innehåll 6 PWA-system med zenobetee Zenofenomenet Cykliska uppträdanden i ett tidskontinuerligt PWA-system Uppbrytning av zenopunkter Extra moder som omsluter zenopunkten Systembeskrivning för extramoden Resultat och förslag till fortsatt arbete Resultat Förslag till fortsatt arbete A Konvexa mängder och polyedrar 67 B Lösningar till beräknade exempel 68 B. Exempel B. Exempel B.3 Exempel B.4 Exempel B.5 Exempel B.6 Exempel B.7 Exempel C Matlabkod till samplingsalgoritmerna 85 C. En-dimensionellt system med konstant a-värde C. Godtyckligt en-dimensionellt system C.3 Två-dimensionellt system med konstant A-matris

13 Inledning Denna rapport syftar till att gå igenom en del av de svårigheter som finns med att beskriva tidskontinuerliga styckvis affina system med tidsdiskreta system. Rapporten börjar med att beskriva vad styckvis affina system är samt vilka svårigheter som tas upp i rapporten. Efter denna kortare genomgång behandlas ämnet mer på djupet med exempel, diskussioner kring olika aspekter samt tidsdiskreta beskrivningar av vissa typer av tidskontinuerliga styckvis affina system. I slutet av rapporten ges slutsatser över de resultat som framkommit samt tankar om hur arbetet inom området kan fortskrida.. Frågeställning Huvudfrågan som undersöks i denna rapport är: För vilka tidskontinuerliga styckvis affina system blir den tidsdiskreta beskrivningen av systemet ett styckvis affint system med samma egenskaper? Med denna fråga som utgångspunkt kan man ställa ett antal mer specifika frågor: Vad händer med den tidsdiskreta beskrivningen då systemet rör sig mellan flera olika moder under en sampelperiod? Hur gör man i praktiken då man skapar en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt styckvis affint system idag och vilka fel gör man? Vilka krav kan ställas på det tidskontinuerliga styckvis affina systemet för att dess tidsdiskreta motsvarighet ska få en affin systembeskrivning i alla moder?

14 Inledning Finns det några kriterier som gör att framtagandet av den tidsdiskreta beskrivningen blir lättare respektive svårare? Finns det något man bör ha i åtanke då man skapar ett styckvis affint system, som kan underlätta framtagandet av den tidsdiskreta beskrivningen? Får den tidsdiskreta beskrivningen av ett visst styckvis affint system samma moduppsättning oavsett samplingstid? Går det att i någon mån automatisera framtagandet av en tidsdiskret beskrivning för ett tidskontinuerligt styckvis affint system? Finns det system som under vissa villkor inte går att skapa en tidsdiskret beskrivning för? Kan vi i så fall göra några mindre förändringar hos systemet som gör att det går att skapa en tidsdiskret beskrivning? För ett helt vanligt samplat tidskontinuerligt affint system, dvs. en enskild mod, har vi inga svårigheter att skapa en tidsdiskret beskrivning som är affin. Problemet blir vid själva övergången från det ena affina systemet till det andra, dvs. när det tidskontinuerliga systemet under en sampelperiod befinner sig i minst två olika moder. Vi behöver då några typer av extra moder som hanterar de fall då systemet under samplingstiden T rör sig mellan två eller fler moder. Problemet blir dels att avgöra om det går att definiera ett ändligt antal extramoder samt deras utsee och dels att se huruvida systembeskrivningarna i extramoderna blir affina eller ej.. Målsättning Huvudmålet med detta examensarbete är att utvärdera vilka tidskontinuerliga styckvis affina system som går att beskriva med tidsdiskreta styckvis affina system. Examensarbetet förväntas resultera i ett antal kriterier som avgör om det går att beskriva ett tidskontinuerligt styckvis affint system med ett tidsdiskret styckvis affint system. En annan del som ingår i huvudmålet är att ta fram ett antal exempel som tydligt beskriver en del av de fenomen som kan uppträda då man försöker hitta en tidsdiskret beskrivning till ett tidskontinuerligt styckvis affint system. Ytterligare mål med examensarbetet är att Utvärdera förenklande omständigheter vid beräkningen av en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt styckvis affint system. Utvärdera hur och av vad moder uppkommer i den tidsdiskreta modellen av systemet samt avgöra vilka vetskapskrav om systemet som ställs för att kunna beräkna en tidsdiskret beskrivning. Automatisera framtagandet av en tidsdiskret modell som beskriver det tidskontinuerliga styckvis affina systemet.

15 .3 Avgränsningar 3 Söka lösningar till fenomen som gör att ett tidskontinuerligt styckvis affina systemet inte går att beskriva med ett tidsdiskret system med ändligt antal moder. Titta på hur man beskriver tidskontinuerliga styckvis affina system med tidsdiskreta system idag och vilka fel som görs..3 Avgränsningar Styckvis affina system är ett relativt stort område, med många möjligheter och svårigheter. Denna rapport går bara igenom en liten del av området, nämligen problemet att beskriva ett tidskontinuerligt styckvis affint system med ett tidsdiskret system. En del arbete har redan gjorts inom området styckvis affina system, särskilt gällande reglering av styckvis affina system, men det fortfarande finns en mängd problem att reda ut. Mer specifika avgränsningar är att rapporten, då det gäller att beskriva ett tidskontinuerligt styckvis affint system med ett tidsdiskret system, i huvudsak ast går in på system där A-matrisen är samma i alla moder som tillhör samma disjunkta delsystem i det styckvisa affina systemet. System där tillståndsvektorn beror av insignalen undersöks heller inte i någon större utsträckning, dvs. B-matrisen är i de flesta fall noll. Anledningen till dessa avgränsningar framgår tydligt i kapitel 3. Styckvis affina system där moderna bestäms av insignalen u undersöks heller inte i någon större utsträckning. Eftersom vi då får stora svårigheter att säga något över huvudtaget om systemets modsekvenser, i och med att u ast påverkas av en extern källa. Ytterligare en avgränsning är att utsignalen y inte nämns, detta eftersom y är en linjärkombination av x och u och således ast påverkas direkt av hur systemets tillstånd uppför sig. Det är alltså tillståndsvektorn x som bidrar till de svårigheter som finns.

16

17 Styckvis affina system Styckvis affina/linjära system eller på engelska piecewise affine systems kommer i fortsättningen att förkortas med PWA-system är system som beskrivs med ett antal affina delsystem. De affina delsystemen är avgränsade från varandra med hjälp av ett antal olika kriterier på tillstånden x och insignalen u. Ett PWA-system kan i grunden exempelvis vara ett olinjärt system som man linjäriserat i ett antal olika arbetspunkter tillsammans med ett antal gränser, vilka anger området i vilket respektive linjärisering gäller. På nästa sida följer ett exempel på ett PWAsystem med ett tillstånd. Exempel.: Tidskontinuerligt PWA-system x < 5, u < 3 ẋ = A i x + B i u + b i, i = x 5, u < 3 3 u 3 y = C i x + D i u + d i A = B = 4 b = 0 C = D = 0 d = A = 4 B = 7 b = C = D = d = 0 A 3 = 5 B 3 = b 3 = 0 C 3 = 4 D 3 = 0 d 3 = 0 Vad i är och således även vad A i, B i, C i, D i, b i och d i är bestäms alltså av vilka värden x och u för tillfället har. Den allmänna formeln för ett tidskontinuerligt PWA-system ges enligt Paoletti 5

18 6 Styckvis affina system m.fl. 007 av ẋ = A i x + B i u + b i y = C i x + D i u + d i x om χ u i, i =,..., s där x R n, u R och y R är tillstånd, insignal respektive utsignal, n antalet tillståndsvariabler och s antalet affina delsystem. χ i R n+ förutsätts vara konvexa polyedrar, se appix A, vilka beskrivs av χ i = { x u : H i x } u [i] 0 där H i R µi n+, i =,..., s och µ i är det antal linjära olikheter som definierar polyeder i. Olikheten [i] är en vektor med dimensionen µ i. Vektorn består av olikheterna < och där valet av olikhet beror på om de enskilda hyperplanen som gränsar till polyedern tillhör polyedern eller ej. Anledningen till att detta varierar är att varje hyperplan ast kan tillhöra en av de polyedrar som hyperplanet gränsar till. Skillnaden mellan utseet på modellen för ett tidskontinuerligt och ett tidsdiskret PWA-system är inte stor. Den allmänna formeln för ett tidsdiskret PWAsystem ges enligt Paoletti m.fl. 007 av x k + T = A i xkt + B i ukt + f i ykt = C i xkt + D i ukt + g i xkt om χ ukt i, i =,..., s där xkt R n, ukt R och ykt R är tillstånd, insignal respektive utsignal. χ i R n+ förutsätts vara konvexa polyedrar vilka beskrivs av χ i = { xkt ukt : H i xkt ukt [i] 0 där H i och [i] ges på samma sätt som för det tidskontinuerliga PWA-systemet. Ett annat sätt att, i denna kontext, benämna polyedrar är med moder vilket i huvudsak kommer att användas i denna rapport. För att tydliggöra hur moder och modgränser kan se ut, kan vi med figur. nedan grafiskt beskriva moder i två dimensioner. Figur. har valts så att tillståndsvariabel x samt insignalen u tillsammans bestämmer vilken mod vi befinner oss i. Då vi tittar på större system, där valet av mod bestäms av fler än tre variabler, får vi naturligtvis svårigheter att representera detta grafiskt. }

19 . Traditionell beskrivning av ett PWA-system 7 u mod mod3 mod mod5 mod4 x Figur.. Grafisk representation av moder hos ett PWA-system. Traditionell beskrivning av ett PWA-system Det vanligaste sättet att ta fram en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt PWA-system på idag är att för varje mod behålla de ursprungliga modgränserna och ta fram en tidsdiskret beskrivning av det affina systemet i den enskilda moden. Enligt Glad m.fl. 003 tas en tidsdiskret beskrivning av ett affint system fram på följande sätt ger den tidsdiskreta beskrivningen där ẋt = Axt + But yt = Cxt x k + T = F xkt + GukT ykt = HxkT T F = e AT, G = e AT Bdt, 0 H = C Så länge vi har ett system som aldrig rör sig över modgränserna ger detta sätt att ta fram en tidsdiskret beskrivning på ett helt korrekt utsee på det tidsdiskreta systemet. Problem inträffar då systemet rör sig mellan två eller flera moder under en sampelperiod, dvs. i en sekvens av moder. Om vi vid ett sådant

20 8 Styckvis affina system fall beskriver det tidskontinuerliga PWA-systemet på traditionellt sätt kommer det tidsdiskreta systemet röra sig enligt första moden i varje modsekvens under hela sampelperioden. Detta innebär att det tidsdiskreta systemet följer fel systembeskrivning för alla moder i modsekvensen förutom den första. Det tidsdiskreta systemet blir således inte en exakt beskrivning av det tidskontinuerliga PWAsystemet. Detta skulle kunna resultera i att systemet får ett helt annat betee, för vissa initialvärden, än det ursprungliga tidskontinuerliga PWA-systemet hade. Exempel. är ett exempel på ett system som skulle ändra uppförande för vissa initialtillstånd då vi beskriver det tidskontinuerliga PWA-systemet med ett tidsdiskret system på traditionellt sätt. Exempel.: Skillnad mellan traditionell och exakt beskrivning Vi startar med följande tidskontinuerliga PWA-system 0 4 x + om x < 0 3 ẋ = 0 x + om x 0 3 Om vi beskriver detta system med ett tidsdiskret system på traditionellt sätt får vi följande resultat e T 0 4 e T x k + T 0 e T xkt + 3 = om x kt < e T e T 0 e T 0 e T xkt + 3e T om x kt Om vi vid beräkningarna istället utgår från alla sekvenser i systemet får vi följande olinjära tidsdiskreta system x k + T = e T 0 0 e T xkt + om x kt < e T e x T kt 4 x kt 4 e T 3 e T + e T x kt 4 x kt om e T x kt < e T 0 e T 0 e T xkt + 3e T om x kt + 4 x kt + 3 Initialtillstånd som för detta system skulle ge stora skillnader hos systemets rörelse för de olika sätten att beskriva ett tidskontinuerligt PWA-system på är

21 . Traditionell beskrivning av ett PWA-system 9 xkt = ε 3+ε där εi > 0 och periodtiden T tillräckligt stor för att den traditionella beskrivningen ska göra att systemet hinner röra sig förbi x = 3 under en sampelperiod med avsee på ε i. Ett exempel som skulle ge stora skillnader är initialtillståndet xkt = 5 och T = ln. Om vi använder det traditionella sättet att beskriva ett tidskontinuerligt PWAsystem på får vi följande resultat x0 = 5,5 xt =,375 4 xt =,75 7 x3t = 0,5 3 x4t = Då vi istället beskriver det tidskontinuerliga PWA-systemet genom att beakta alla modsekvenser som kan uppkomma i systemet får vi följande resultat vilket även överensstämmer med det som det kontinuerliga systemet ger x0 = 5 xt = xt = x3t = x4t = ,33 3,07 3,67 3,5 6,67 3,30,67 3,59 Vi ser här att vi i fallet med traditionell beskrivning får att x blir mindre ju längre fram vi går i tiden. I det tidsdiskreta system som är beskrivet exakt efter det tidskontinuerliga systemets rörelse får vi att x blir större ju längre fram vi går i tiden. I figur. visas systemets rörelse samt de kurvor som sampelpunkterna för de olika tidsdiskreta systemen följer. De mörka punkterna är sampelpunkter för det exakt beskrivna systemet, de ljusa är sampelpunkter för det traditionellt sett beskrivna systemet.

22 0 Styckvis affina system Figur.. Skillnaden mellan traditionell och exakt beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system Anledningen till att vi får det problem vi får i exempel. är att det tidsdiskreta systemet som fås av den traditionella beskrivningen inte hinner uppfatta att vi rör oss i den del av andra moden som gör att systemet får ett ökande x.

23 3 Exempel som påvisar problem Detta kapitel tar upp ett antal exempel som beskriver hur framtagandet av en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt PWA-system går till samt en mängd olika svårigheter och fenomen som kan uppkomma i samband med detta. 3. Att skapa en tidsdiskret beskrivning Detta avsnitt syftar till att beskriva hur processen för att skapa en tidsdiskret beskrivning av ett tidskontinuerligt PWA-system går till. För att inte få så stor beräkningsprocess och för att enkelt kunna beskriva hur framtagandet av den tidsdiskreta beskrivningen går till, utan att missa några väsentligheter, undersöks här ett envariabelt system med tre moder. Exempel 3.: Att skapa en tidsdiskret beskrivning Systemet som ska undersökas är följande: x + 5 om x <, mod ẋ = x + 3 om x <, mod x om x, mod 3 Om vi utgår från hur man beskriver ett tidskontinuerligt affint system med ett tidsdiskret system och bara tittar på de fall då vi har enkla affina system, dvs. då

24 Exempel som påvisar problem systemet ast rör sig inom en mod får vi följande: mod : x k + T T = e T xkt + e t 5dt = e T xkt + 5e T xkt <, 0 x k + T < x k + T = e T xkt + 5e T < xkt < 3e T 5 < mod blir alltså krympt så att den begränsas av att xkt < 3e T 5. mod : x k + T T = e T xkt + xkt <, x k + T < 0 e t 3dt = e T xkt + 3e T x k + T = e T xkt + 3e T xkt e T 3 < x k + T = e T xkt + 3e T < xkt < 5e T 3 T > ln 5 5e T 3 < T < ln 5 5e T 3 > mod blir alltså krympt så att den begränsas av att xkt < 5e T 3 då T < ln 5, om T > ln 5 så kommer den ursprungliga mod att försvinna. mod 3 : x k + T T = e T xkt + xkt, x k + T 0 e t dt = e T xkt e T x k + T = e T xkt e T xkt e T + mod 3 kommer alltså att behålla sitt utsee som xkt. Vad som nu återstår att titta på är vad som händer då systemet rör sig från en mod till en annan. Om vi börjar med att titta på modsekvensen mod mod och antar tiden t

25 3. Att skapa en tidsdiskret beskrivning 3 som tiden då själva modövergången sker får vi följande: mod : xt = e t kt xkt + 5e t kt = e kt t = 3 xkt x k + T = e k+t t xt + 3e k+t t = e kt t e T 3 = = 3 et xkt et 3 xkt <, x k + T < x k + T = 3 et xkt et 3 xkt 3e T 5 < x k + T = 3 et xkt et 3 < xkt < 5e T 5 T > ln 5 5e T 5 < T < ln 5 5e T 5 > mod kommer alltså att begränsas av 3e T 5 xkt < då T < ln 5 och 3e T 5 xkt < 5e T 5 då T > ln 5. Om vi nu går vidare och tar modövergången mod mod 3 får vi följande: mod 3 : xt = e t kt xkt + 3e t kt = e kt t = 5 xkt x k + T = e k+t t xt e k+t t = e kt t e T + = = 5 et xkt et + xkt <, x k + T x k + T = 5 et xkt et + xkt 5e T 3 < T > ln 5 5e T 3 < T < ln 5 5e T 3 > mod 3 kommer alltså att begränsas av 5e T 3 xkt < då T < ln 5 och xkt < då T > ln 5. Den sista möjliga modsekvensen i systemet är då vi rör oss från mod via mod till mod 3. Då tiden t är tidpunkten då vi går över gränsen mod mod och tiden t är den tidpunkt då vi går över gränsen mellan mod mod 3, beräknas

26 4 Exempel som påvisar problem den tidsdiskreta moden enligt följande: mod 3 : xt = e t kt xkt + 5e t kt = e kt t = xkt xt = e t t xt + 3e t t = e t t = 5 ekt t = xkt x k + T = e k+t t xt e k+t t = = e T e kt t + = 5 et xkt xkt <, x k + T x k + T = 5 et xkt + 3 et + xkt 5e T 5 T > ln 5 5e T 5 < T < ln 5 5e T 5 > mod 3 kommer alltså att begränsas av 5e T 5 xkt < då T > ln 5 och vara obefintlig då T < ln 5. Sammantaget får vi följande tidsdiskreta PWA-system för olika värden på samplingstiden T : T > ln 5 : mod : e T xkt + 5e T om xkt < 3e T 5 mod : x k + T 3 et xkt et 3 om 3e T 5 xkt < 5e T 5 mod 3 : = 5 et xkt om 5e T 5 xkt < mod 3 : 5 et xkt et + om xkt < mod 3 : e T xkt e T om xkt

27 3. Att skapa en tidsdiskret beskrivning 5 T < ln 5 : mod : e T xkt + 5e T om xkt < 3e T 5 mod : x k + T 3 et xkt et 3 om 3e T 5 xkt < mod : = e T xkt + 3e T om xkt < 5e T 3 mod 3 : 5 et xkt et + om 5e T 3 xkt < mod 3 : e T xkt e T om xkt Figur 3. förklarar det tidskontinuerliga PWA-systemets utsee figur 3. a samt efter de tidsdiskreta beskrivningarna av det, dels med en samplingstid T = ln 0 > ln 5 figur 3. b och dels med T = ln < ln 5 figur 3. c. x 0 mod mod mod3 a: Tidskontinuerligt PWA-system mod mod mod 3 mod 3 mod3 mod mod mod mod 3 mod3 x x 4,7 3,5 0 3,5 0,5 0 b: Tidsdiskret beskrivning med T = ln 0 > ln 5 c: Tidsdiskret beskrivning med T = ln < ln 5 Figur 3.. Modernas utsee hos det tidskontinuerliga PWA-systemet samt dess tidsdiskreta motsvarighet Redan i ett sådant exempel som exempel 3. kan vi se flera intressanta fenomen. Vi får här olika uppsättningar moder i det tidsdiskreta systemet beroe på om vi väljer ett T som är större eller mindre än ln 5.

28 6 Exempel som påvisar problem Om vi nu går upp en dimension till ett två-dimensionellt system så blir framtagandet av den tidsdiskreta beskrivningen avsevärt mycket mer beräkningskrävande. Därför presenteras ast lösningen här, där samplingstiden T valts till ln. Den fullständiga beräkningen finns presenterad i appix B. Exempel 3.: Tidsdiskret beskrivning i två dimensioner Vi utgår från följande tidskontinuerliga PWA-system: { x om x 0 ẋ = x + om x < 0 { x + 3 om x < 0 ẋ = x + om x 0 Då vi samplar detta system med en periodtid T = ln fås följande tidsdiskreta PWA-system De krympta originalmoderna ges av: x k + T = 0 xkt xkt xkt xkt + 0 om x kt < 0, x kt 0 om x kt, x kt 0 om x kt <, x kt < 3 om x kt 0, x kt <

29 3. Att skapa en tidsdiskret beskrivning 7 Extramoderna som bildas av systemets sekvenser ges av: x k + T = 0 xkt xkt xkt + xkt + xkt + xkt + xkt om 0 x kt <, x kt 0 om x kt < 3 x kt, 3 x kt < 0 om x kt < 0, x kt < x kt om x kt 0, x kt < 0, x kt x kt om x kt 0, x kt < x kt < 0 om x kt < 0, x kt x kt x kt x kt om x kt < 0, x kt < x kt x kt < 3 x kt I figur 3. finns moderna grafiskt representerade. Moderna är numrerade enligt ordningen ovan, där varje mod kommer av följande sekvenser: I: mod II: mod III: mod 3 IV: mod 4 V: mod VI: mod 3 VII: mod 3 4 VIII: mod 4 IX: mod 4 X: mod 3 4 XI: mod 3 4 För att ytterligare beskriva systemets rörelse jämfört med de diskreta moderna har fasplanet för det tidskontinuerliga PWA-systemet införts i figur 3.. Både exempel 3. och 3. visar oss att relativt enkla tidskontinuerliga PWAsystem resulterar i ganska komplexa tidsdiskreta beskrivningar av systemet. Notera även att beräkningsarbetet blir stort då vi tittar på ett litet system så som det i exempel 3. och avsevärt mycket större då vi går upp en dimension till systemet i exempel 3..

30 8 Exempel som påvisar problem Figur 3.. Grafisk representation av det tidsdiskreta PWA-systemet 3. Olinjäriteter hos det tidsdiskreta systemet Detta avsnitt beskriver exempel på olinjära fenomen som kan uppstå hos den tidsdiskreta beskrivningen av vissa typer av tidskontinuerliga PWA-system. De följande två exemplen ger olinjära systembeskrivningar i de diskreta moderna, beroe på skillnader i A-matriserna. Exempel 3.3: Olika A-matriser i moderna Då vi har ett system med olika A-matriser hos de olika moderna enligt följande: { a x + b, om x < 0 ẋ = a x + b, om x 0 a i, b i > 0 får vi följande tidsdiskreta system: x k + T = e at xkt b a e at om xkt < b a e at a b a e at a a b xkt + b a om b a e at xkt < 0 e at xkt b a e at om xkt 0

31 3. Olinjäriteter hos det tidsdiskreta systemet 9 Exempel 3.4: Olika diagonalelement i A-matrisen Vi utgår från följande system jämför med exempel 3.. { a x b om x 0 ẋ = a x + b om x < 0 { a x + b 3 om x < 0 ẋ = a x + b 4 om x 0 a i, b i > 0 Vi börjar nu med att ta fram grundmoderna i det tidsdiskreta systemet. Dvs. de moder som under en samplingsperiod stannar kvar i samma originalmod. Dessa moder kommer alltid att ge affina systembeskrivningar så länge vi startar med ett PWA-system. x k + T = e at 0 0 e at xkt + e at 0 0 e at e at 0 0 e at e at 0 0 e at xkt + xkt + xkt + b a e at b3 a e at b a e at b4 a e at b a e at b3 a e at b a e at b4 a e at om x kt < 0, x kt 0 om x kt 0, x kt b a e at om x kt < b a e at, x kt < b3 a e at om x kt 0, x kt < b4 a e at Om vi sen tittar närmre på en sekvens som kan uppkomma i systemet, mod 4 så får vi följande tidsdiskreta systembeskrivning i moden: a x k + T = e at a x kt + b b + b a a a b 4 x kt b a x k + T = e at x kt b 4 + b 4 b 3 a x kt b a a a x kt + a a b b b 4 + a a + b 3 a

32 0 Exempel som påvisar problem Här ser vi tydligt att vi, då a a, får olinjäriteter i det tidsdiskreta systemet. Om vi vidare tittar på hur modgränserna till denna mod ser ut får vi följande resultat. x kt 0 x kt < 0 x kt b a a a a x kt b 4 a a a a x kt x kt b b 4 b b e at e at x kt + b b a + b a x kt b 4 a + b 4 b 3 a + a a + b 3 a 0 a + b + b b x kt b 4 a x kt b b b a a a a b < 0 a a a a x kt + b 4 Vissa av dessa gränser kommer för vissa värden på parametrarna b i och a i att tas ut av att andra gränser är mer begränsande. Detta fenomen syns tydligt i exempel 3. och inträffar även i exempel 3.. Modgränserna som bildas för denna mod blir helt klart olinjära vilket resulterar i att vissa moder i de tidsdiskreta systemet blir icke-konvexa. Detta ses i figur 3.3. En annan typ av system som ger olinjära systembeskrivningar är då tillstånden varierar med insignalen, dvs. B-matrisen 0. Exempel 3.5: Tidskontinuerligt PWA-system med insignal ẋ = { u + b, om x < 0 u + b, om x 0 b i > 0 För att kunna skapa en tidsdiskret beskrivning för detta system antar vi att u är styckvis konstant, dvs. ut = ukt, t [kt, k + T. Det tidsdiskreta systemet blir då följande

33 3. Olinjäriteter hos det tidsdiskreta systemet Figur 3.3. Fasplanet till det tidskontinuerliga PWA-systemet xkt + T ukt + b om xkt < 0, xkt + T ukt + b < 0 xkt + T ukt + b om xkt 0, x k + T xkt + T ukt + b 0 = T + xkt ukt +b ukt + b om xkt < 0, T + xkt ukt +b ukt + b 0 T + xkt ukt +b ukt + b om xkt 0, T + xkt ukt +b ukt + b < 0 Ovan syns tydligt att vi dels får olinjära systembeskrivningar i moderna och dels såvida modgränserna delvis bestäms av insignalen u att vi får olinjära modgränser till moderna. Exempel 3.3, 3.4 och 3.5 är exempel då vi i det tidsdiskreta systemet inte lyckas åstadkomma affina systembeskrivningar i övergångsmoderna. Vi kan i exempel 3.3

34 Exempel som påvisar problem se att om vi inte har samma A-matris i alla moder, som systemet rör sig genom under en viss sekvens, leder det till att vi får en olinjär systembeskrivning i övergångsmoden. Exempel 3.4 beskriver ett liknande fenomen, men här har vi istället gått upp en dimension och satt diagonalelementen i A-matrisen som är samma för alla moder i det tidskontinuerliga PWA-systemet till olika värden. Även i ett sådant system kommer dess tidsdiskreta beskrivning få olinjära systembeskrivningar i moderna samt ett olinjärt utsee hos modgränserna. I exempel 3.5 har vi istället stoppat in en styckvis konstant insignal som visar sig leda till att vi dels får en olinjär systembeskrivning i övergångsmoderna och dels en olinjär beskrivning av modgränsernas utsee. 3.3 PWA-system som roterar kring en ickestationär punkt I detta avsnitt undersöks exempel där vi har system som kan hamna i ett läge där de aldrig slutar röra sig kring en ickestationär punkt. Detta resulterar i att antalet modövergångar ökar ju närmre systemet rör sig punkten. Eftersom punkten inte är stationär kommer antalet modövergångar att bli oändligt under en ändlig tid. Exempel 3.6: ẋ riktad mot modgräns från de angränsande moderna I detta exempel undersöks ett system med en tillståndsvariabel x som rör sig mot modgränsen från de båda angränsande moderna utan att derivatan ẋ = 0 i gränsen, dvs. systemet stannar aldrig helt vid gränsen. { x + b, om x < 0 ẋ = x b, om x 0 b i > 0 Det tidsdiskreta systemet skulle kunna beskrivas på följande sätt x k + T e T xkt b e T om xkt < b e T = 0 om b e T xkt < b e T e T xkt + b e T om xkt b e T Som nämns i exempel 3.6 ser vi att det tidskontinuerliga PWA-systemet aldrig kommer att stå helt stilla vid punkten x = 0 eftersom systemets derivata ẋ kommer att ändra värde oändligt snabbt i x = 0. Man skulle man kunna säga att x stannar i x = 0 för att där börja vibrera. Den tidsdiskreta beskrivningen av detta fenomen blir dock att sätta x = 0.

35 3.3 PWA-system som roterar kring en ickestationär punkt 3 Exempel 3.7: PWA-system roterandes kring origo Ett system som spiraliserar sig närmre och närmre origo utan att nå fram är följande: { x + om x 0 ẋ = x om x < 0 { x + om x < 0 ẋ = x om x 0 Detta system kommer att ge ett tidsdiskret system som får oändligt många moder varför ingen lösning presenteras här. Anledningen till att vi får oändligt många moder är att systemet kan ge oss oändligt många sekvenser. Detta kommer i sin tur av att systemet rör sig närmre och närmre origo samt får en kortare och kortare rotationstid ju närmre origo systemet rör sig. Detta kan ses genom att om systemet startar i punkten a 0 och rör sig i en sekvens som motsvarar ett varv a runt origo hamnar vi i punkten 4a+ efter tiden ln 4a +, där a > 0. 0 Fasplanet till systemet ses i figur 3.4. Figur 3.4. Fasplanet till det tidskontinuerliga PWA-systemet I exempel 3.7 har vi ett system som cirklar runt samtidigt som det rör sig närmre

36 4 Exempel som påvisar problem origo. Som nämnts kommer systemet dock aldrig att hamna eller stanna i origo. För ett tidskontinuerligt PWA-system som det i exemplet går det alltså inte att hitta ett motsvarande tidsdiskret PWA-system med ändligt antal moder. Fenomenet som uppstår i exempel 3.7 kan jämföras med det fenomen som uppstår i exempel 3.6, eftersom vi i båda fallen hamnar i ett läge där vi rör oss mot en punkt vilken vi aldrig kommer att stanna i. Man skulle även kunna tänka sig att ett sådant fenomen, som är beskrivet ovan, kan inträffa för vissa specifika starttillstånd, medan det inte inträffar för andra starttillstånd. Exempel 3.8 är ett exempel på ett sådant system, där systemet får ändligt många moder om vi garanterat startar i x > b, x > b vi förutsätter då att moderna som skulle bildas för x < b, x < b aldrig beräknas. Om vi däremot startar i x < b, x < b då vi måste beräkna moderna för x < b, x < b kommer vi att få oändligt många moder eftersom systemet rör sig in närmre och närmre origo utan att stanna. Exempel 3.8: Tidsdiskret beskrivning under vissa bivillkor ẋ = x + b 3 x + b 3 x + b x + b om x x < x om x < x x om x < x x om x x < x Om vi nu samplar detta system i området x > b, x > b för att inte få oändligt många moder får vi följande tidsdiskreta PWA-system. Notera att förutom de gränser som är benämnda gäller dessutom gränserna x > b, x > b för alla moder.

37 3.3 PWA-system som roterar kring en ickestationär punkt 5 De krympta originalmoderna ges av: x k + T = e T 0 xkt + b 0 e T e T e T xkt + b xkt + b xkt + b e T e T e T 3 e T 3 e T e T e T e T om x kt x kt, x kt < x kt 3b e T om x kt x kt, x kt + 4b e T < x kt om x kt x kt, x kt + 4b e T < x kt om x kt x kt, x kt < x kt 3b e T Extramoderna som bildas av systemets sekvenser ges av: x k + T = e T 0 xkt + b e T 3 xkt + b 0 e T 0 xkt + b 3 4 e T 3 0 xkt + b e T 3 e T 3 e T e T e T e T e T e T om x kt < x kt, x kt 3b e T x kt om x kt < x kt, x kt x kt + 4b e T om x kt < x kt, x kt x kt + 4b e T om x kt < x kt, x kt 3b e T x kt Om vi sätter b = och T = ln får lösningen ett utsee enligt figur 3.5. Där moderna benämns enligt följande I: mod II: mod III: mod 3 IV: mod 4 V: mod VI: mod 3 VII: mod 3 4 VIII: mod 4 I figur 3.5 har även fasplanet ritats in för det tidskontinuerliga PWA-systemet för att ge en bättre förståelse för hur moderna skapas.

38 6 Exempel som påvisar problem Figur 3.5. Grafisk representation av det tidsdiskreta PWA-systemet

39 Olika perspektiv på den tidsdiskreta beskrivningen 4 Detta kapitel går in närmre på vilka fel som ofta görs då tidskontinuerliga PWA-system beskrivs med tidsdiskreta system, vad utseet hos moderna i det tidsdiskreta systemet kommer av och saker man bör tänka på för att få ett tidskontinuerligt PWA-system som blir lättare att hitta en tidsdiskret beskrivning till. 4. Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet 4.. Moder i diskret tid kontra modsekvenser i kontinuerlig tid Då vi beskriver ett tidskontinuerligt PWA-system med ett tidsdiskret system kommer vi för varje modsekvens under ett samplingsintervall få en systembeskrivning i det tidsdiskreta systemet. Denna systembeskrivning kommer bero av alla systembeskrivningar hos de moder som ingår i den aktuella sekvensen. Anledningen till det är att varje mod vi besöker i sekvensen kommer att påverka hur systemet rör sig under den tid vi är i moden. Varje mod som skapas i det tidsdiskreta systemet kommer begränsas av ett antal funktioner. Dessa funktioner ges dels av krav på modtillhörigheter för xt vid modövergångarna och dels av krav som ställs på xkt och x k + T för att de ska ligga i startmoden respektive slutmoden för sekvensen. Det bildas alltså ett antal gränser som avgör utseet hos varje mod. För varje sekvens som uppkommer under ett samplingsintervall i det tidskontinuerliga PWA-systemet får vi 7

40 8 Olika perspektiv på den tidsdiskreta beskrivningen alltså en, och ast en, mod med en egen systembeskrivning i det tidsdiskreta systemet. 4.. Modgränsernas utsee i det tidsdiskreta systemet Hur modgränserna i det tidsdiskreta systemet ser ut beror till stor del av hur fasplanet ser ut, hur de ursprungliga modgränserna ser ut och vilken samplingstid vi har. För att det tidskontinuerliga PWA-systemet ska röra sig över en viss modgräns krävs till att börja med att systemet har rört sig fram till den aktuella modgränsen. Eftersom systemet rör sig utmed fasplanet måste systemet ha startat i någon punkt i moden och följt modens fasplan fram till den aktuella modgränsen. Vi får alltså nya modgränser som följer systemets fasplan. Vad som mer sätter gränser för moderna är hur lång samplingstid vi har, eftersom systemet även måste hinna röra sig ut ur moden under den tid som systemet har på sig. Utseet hos denna gräns följer i stort sett utseet hos den modgräns vi avser att överträda, medan avståndet från modgränsen bestäms av samplingstiden T. Om vi exempelvis har ett system, där en av moderna begränsas av x <, som har en systembeskrivning som ger fasplanet enligt figur 4.. Om vi sen har ytterligare en mod som begränsas av x, < x < 0 får vi nya modgränser, som gör att systemet rör sig över till denna mod, som följer fasplanet enligt figur 4.. Den i figuren utritade moden kommer även, som nämns ovan, att begränsas av den valda samplingstiden, vilken tillsammans med den modgräns som ska överträdas bildar ytterligare en begränsning för den nya moden. Dessa gränser avgör ast vilken mod systemet rör sig vidare till alternativt om systemet stannar i startmoden under samplingstiden. Hur moderna inuti denna begränsning ser ut beror på hur systemet rör sig vidare genom andra moder. Detta utsee är dock inte lika starkt kopplat till fasplanets utsee även om det naturligtvis finns en koppling Samplingstidens inverkan Det tidsdiskreta systemets moder beror delvis på samplingstiden T. Som vi såg i exempel 3. så fick vi inte samma moduppsättning för T < ln 5 och T > ln 5. Detta fenomen bör även kunna inträffa i andra system. Om vi väljer ett väldigt litet värde på T verkar det som att de flesta moder i det tidsdiskreta systemet ges av korta modsekvenser. Systemet hinner inte röra sig över de längre sekvenser som finns. Om vi istället väljer ett stort värde på T verkar det som att de moder som ges av kortare sekvenser försvinner. Anledningen till det är den omvända. Då systemet tar en viss maximal tid t på sig att fullständigt röra sig genom två efter varandra följande moder i en sekvens och samplingstiden T > t får vi aldrig någon mod i diskret tid som kommer av den sekvens där ast dessa två moder ingår. För moderna i det tidsdiskreta systemet verkar det som att en kortare samplingstid ger att den diskreta moden krymper mot den modgräns som systemet först går över i sekvensen. Om vi istället väljer en längre samplingstid utvidgas troligen moden från den modgräns som systemet först rör sig över i sekvensen. Om

41 4. Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet 9 Figur 4.. Utsee hos en mod i det tidsdiskreta system vi tittar på lösningen till exempel 3. i appix B ser vi att just detta inträffar då värdet på T ändras. Vi kan alltså dra slutsatsen att T verkar ha en stor inverkan på vilken moduppsättning vi får samt hur moderna ser ut Moder i diskret tid för icke existerande sekvenser Eftersom det i tidskontinuerliga PWA-system är svårt att hitta alla sekvenser som uppkommer under en sampelperiod T i hela systemet är det av intresse att veta vad som händer då vi försöker beräkna en mod i diskret tid som kommer från en sekvens som inte kan uppträda i det tidskontinuerliga PWA-systemet under en sampelperiod T. Låt oss börja med att titta på problemet med en sekvens som aldrig kan uppkomma oavsett samplingstiden T. Vi utgår från systemet i figur 4. som ges av

42 30 Olika perspektiv på den tidsdiskreta beskrivningen 0 5 x x ẋ = om x < mod om x < mod om x,3 x mod 3 om x,x < 3 mod 4 Vi kan i figur 4. se att systemet kan röra sig i följande sekvenser: mod mod mod 3 mod 4 mod mod 3 mod 4 mod 3 Kurvan i mod i figur 4. är lösningen för att systemet ska gå över från mod till gränsen mellan mod 3 och mod 4. Systemet måste således starta nedanför denna kurva för att komma till mod 4. Om vi vidare tittar på lösningens sträckning in i mod ser vi att systemet, då det startar under kurvan, inte kan röra sig från mod till mod. Sekvensen mod 4 kan alltså inte uppkomma i detta system. Då vi försöker beräkna en mod i diskret tid för sekvensen mod 4 får vi två x-värden vid övergångarna att ta hänsyn till. x vid modövergången mod 4 säger att systemet måste ligga under den inritade lösningskurvan. x vid modövergången mod måste dock ligga över 5, vilket även är över den inrita lösningskurvan, för att övergången ska ske. Det verkar således som att den lösning vi får för denna beräkning ger en mod i diskret tid som begränsas så att den inte existerar. Figur 4.. Tidskontinuerligt PWA-system med fyra moder Det verkar alltså vara så att alla sekvenser som inte kan uppträda i ett system ger moder i diskret tid som begränsas bort totalt, i och med att modövergångarna

43 4. Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet 3 ger motsägande begränsningsvillkor. Om man ska kunna säga något som är säkert och gäller generellt angåe detta måste man dock göra fler undersökningar. Det andra alternativet som kan göra att en sekvens inte kan uppkomma under samplingstiden T är att T helt enkelt är för liten alternativt för stor för att en viss sekvens ska kunna uppkomma. Ett exempel på ett system där detta fenomen uppträder är exempel 3.. Som vi kan se i exempel 3. får vi, då vi beräknar en mod för en sekvens som inte uppträder på grund av storleken på T, villkor på xkt som gör att moden helt begränsas bort. De villkor som ställs på x k + T för att det ska ligga i sekvensens slutmod ger villkor på var xkt ska ligga, dvs. var sekvensen ska starta. Om samplingstiden T är för liten eller för stor för sekvensen verkar det som att villkoren på xkt ger att xkt måste ligga utanför startmoden för sekvensen. Detta ger oss villkor som aldrig går att uppfylla samtidigt vilket ger en tom mod i diskret tid, dvs. den mod som skulle skapats har begränsats bort helt och hållet. Slutsatsen blir således att vi troligen får en mod vars gränser ger tomma mängden om vi försöker skapa en mod i det tidsdiskreta systemet för en sekvens som aldrig kan uppkomma. Vi kan troligtvis alltså utan att få några fel hos det tidsdiskreta systemet beräkna moder för sekvenser som aldrig uppkommer Tidsdiskret beskrivning av PWA-system med komplexa egenvärden En annan typ av system som kan ge skillnader mellan om man skapar en exakt tidsdiskret beskrivning jämfört med på traditionellt vis är system där A-matrisen har komplexa egenvärden med negativ realdel. Ett sådant system ger enligt Glad och Ljung 003 ett stabilt fokus i fasplanet. Om vi nu skapar ett system med två moder som har varsitt stabilt fokus enligt följande ẋ = x + B i 3 B = B = x mod om x x mod om x < får vi två stabila fokus, i punkten 3,4, för mod och i punkten,4 0, för mod. Gränserna för om systemet stannar kvar i sin ursprungsmod eller rör sig över till den andra moden ges av kurvorna i figur 4.3. För mod ser vi i fasplanet att systemet måste ligga innanför den översta inritade kurvan som går igenom punkten x = 7 5,8 i moden för att systemet ska stanna kvar i mod. För mod däremot måste systemet ligga innanför den nedersta inritade kurvan som går igenom punkten x =, i moden för att

44 3 Olika perspektiv på den tidsdiskreta beskrivningen Figur 4.3. Fasplan för system med komplexa egenvärden till A-matrisen systemet ska stanna i mod. Om vi startar utanför dess kurvor kommer systemet att så småningom röra sig ut ur sin startmod. Då vi beskriver detta system med ett tidsdiskret system på traditionellt sätt kommer vi även att en liten bit utanför kurvorna stanna kvar i startmoden. Systemet rör sig således till startmodens fokuspunkt och inte till den andra modens fokuspunkt, vilket systemet gör i det kontinuerliga fallet. Anledningen till detta är återigen att det tidsdiskreta systemet som ges av den traditionella beskrivningen inte hinner uppfatta att det har gått över till den andra moden. Den traditionella beskrivningen av systemet följer helt enkelt startmodens systembeskrivning över modgränsen för att innan samplingstiden är slut återvända till startmoden igen. Ett annat liknande problem som uppstår då vi vill beskriva ett system av denna typ med ett tidsdiskret system är de fall då vi rör oss i längre modsekvenser, vi får nämligen längre och längre modsekvenser ju längre från ett stabilt fokus vi startar. För varje modövergång i en sådan modsekvens riskerar vi att i den traditionella beskrivningen eftersom det tidsdiskreta systemet då följer fel systembeskrivning under en del av samplingsintervallet påverka x så att systemet till slut stannar i fel fokuspunkt. I figur 4.4 visas en sådan modövergång som kan ge problem. Om systemet startar precis ovanför den övre kurvan i mod kommer systemet att med traditionell beskrivning hamna innanför den övre kurvan efter modövergången mod och således sluta i fokuspunkten i mod. Det tidskontinuerliga systemet däremot hamnar i fokuspunkten i mod eftersom systemet följer precis utanför den övre kurvan hela vägen och ger ytterligare en modövergång, nämligen mod vilket kan ses i figur 4.4.

45 4. Moder i det tidsdiskreta PWA-systemet 33 Figur 4.4. Fasplan för system med komplexa egenvärden till A-matrisen 4..6 Glidande mod sliding mode Ett fenomen som kan inträffa hos ett tidskontinuerligt PWA-system är glidande mod, eller på engelska sliding mode. Vad som händer då är att systemet rör sig från varsin mod mot en och samma modgräns. Dessutom krävs att systemet har en förändringsfaktor i minst ytterligare en riktning. Vi måste alltså ha minst ett tvådimensionellt system. Figur 4.5 visar ett tvådimensionellt system med glidande mod. Figur 4.5. Fasplan för system med glidande mod

46 34 Olika perspektiv på den tidsdiskreta beskrivningen Som vi kan se i figur 4.5 kommer systemet att röra sig in mot modgränsen för att sen glida utmed själva modgränsen. Denna glidning kommer att fortgå ända till någon av systembeskrivningarna i de angränsande moderna får systemet att röra sig ut från modgränsen, som i figur 4.6 b. Ett annat alternativ som gör att systemet slutar glida är om båda modernas systembeskrivningar vid samma punkt ger en derivata hos systemet som är noll i den riktning som modgränsen har, se figur 4.6 a. Detta skulle resultera i samma typ av uppträdande som i exempel 3.6. a: Glidningen stannar upp b: Glidningen går över i en mod Figur 4.6. Fasplan vid avbrott av glidning för system med glidande mod Om vi här gör jämförelsen mellan traditionell och exakt beskrivning av systemet kommer den traditionella beskrivningen ge upphov till ett system som plar över modgränsen med pelrörelser som ges av storleken på samplingstiden T, se figur 4.5. Dessa rörelser kommer att bli avsevärt mycket större än de pelrörelser som bildas för det tidskontinuerliga systemet som rör sig utmed modgränsen samtidigt som de oändligt snabba förändringarna hos derivatan ẋ gör att systemet vibrerar. Då vi istället tittar på den exakta beskrivningen och relaterar till exempel 3.6 kommer vi få ett system som ligger och glider exakt på modgränsen. Då vi tittar på det fall då systemet går ur sin glidning, enligt figur 4.6 b, kan den traditionella beskrivningen ge en viss förskjutning på var systemet slutar glida jämfört med det tidskontinuerliga systemet, för vissa initialtillstånd. Om vi får en förskjutning eller ej beror på var den sista sampelpunkten i glidningen ligger. Om den ligger exakt på modgränsen som i fallet med exakt beskrivning får vi samma utsee hos det tidsdiskreta systemet som hos det tidskontinuerliga systemet, i annat fall blir det en förskjutning hos det tidsdiskreta systemet. Om vi nu tittar på ett sådant fall där systemet stannar upp på modgränsen, som i figur 4.6 a, så kommer den traditionella beskrivningen göra att systemet börja pla över modgränsen, utan att någonsin stanna, vid just denna punkt. En exakt beskrivning skulle däremot stanna i punkten då vi förenklar det på samma sätt som i exempel 3.6. För den intresserade läsaren finns mer information om hur man kan gå tillväga för att hitta en tidsdiskret beskrivning till ett tidskontinuerligt PWA-system med

47 4. Parallella modgränser 35 glidande moder i Schwarz m.fl Parallella modgränser Eftersom xt i = e Aiti ti xt i + A i e A it i t i I B i ges det a beroet mellan två modövergångar xt i och xt i i en modsekvens av uttrycket e Aiti ti. Om detta uttryck kan förenklas så får vi också ett enklare uttryck för x k + T som funktion av xkt. Om vi tittar på ett tvådimensionellt PWA-system och beskriver detta med ett tidsdiskret system för en sekvens får vi xt = e A M t kt xkt + A M e A M t kt I xt i = e A M i t i t i xt i + A M i e A M i t i t i I B M B Mi x k + T = e A Mm k+t tm xt m + A M m e A Mm k+t tm I B Mm där M i är mod nr. i i sekvensen. Om vi vidare antar att alla modgränser är parallella, dvs. Cxt i = g i, och att A i = d i I notera att e Ait = e dit I där e dit är en skalär får vi följande uttryck när vi skapar en tidsdiskret mod för en viss sekvens xt = e d M t kt xkt + d M e d M t kt B M g = e d M t kt CxkT + d M C e d M t kt B M = = e d M t kt C xkt + d M B M d M CB M e d M kt t = C xkt + d M B M g + d M CB M xt i = e d M i t i t i xt i + d M i e d M i t i t i B Mi 4. g i = e d M i t i t i g i + d M i e d M i t i t i CB Mi = 4. = e d M i t i t i g i + d M i CB Mi d M i CB Mi e d M i t i t i = g i + d M i CB Mi g i + d M i CB Mi x k + T = e d Mm k+t tm xt m + d M m e d Mm k+t tm = e d Mm k+t tm xt m + d M m e d Mm k+t tm B Mm = B Mm Med hjälp av detta kan vi uttrycka xt i och e d M i kt t i som direkta funktioner av xkt vilket ger att x k + T går att uttrycka som en direkt funktion av xkt. Det som huvudsakligen gör den stora förenklingen här är övergången

48 36 Olika perspektiv på den tidsdiskreta beskrivningen mellan raderna 4. och 4. i ekvationen ovan, där vi kan byta ut Cxt i och Cxt i mot konstanter. Det som gör att ett PWA-system med ovan nämnda villkor är relativt enkelt att ta fram en tidsdiskret beskrivning för är alltså att vi ast får ett konstant beroe mellan de olika tillstånden vid modövergångarna. Vad som mer är värt att notera är att om vi vill ha ett tidsdiskret PWA-system som beskrivning av det ursprungliga tidskontinuerliga PWA-systemet måste modernas A-matriser vara identiska, dvs. d i = d. 4.3 PWA-system som skapats från linjäriseringar Många PWA-system är i grunden olinjära system som man linjäriserat i flera arbetspunkter och på så sätt fått olika moder för de olika linjäriseringarna. Vad man dock bör tänka på i ett läge då man linjäriserar ett olinjärt system till ett PWA-system är att det kan vara idé att fundera över hur man bör linjärisera för att PWA-systemet ska bli lätt att ta fram en tidsdiskret beskrivning för. Eftersom utseet hos moderna i det tidsdiskreta systemet till stor del beror av fasplanets utsee i de tidskontinuerliga moderna kan man genom sin linjärisering påverka hur pass olinjärt utseet på moderna i det tidsdiskreta systemet är. Om vi exempelvis gör en linjärisering där vi får många moder med komplexa egenvärden kan vi se i figur 4.3 och 4.4 att vi kommer få moder i det tidsdiskreta systemet vars gränser har ett olinjärt bågformat utsee. För att få systembeskrivningarna i de tidsdiskreta moderna mer linjära bör man, om det är möjligt, linjärisera på ett sådant sätt att A-matrisen i moderna blir så lika varandra som möjligt. Om det finns möjlighet bör man även försöka få A- matriserna att likna ai, där a är en konstant, så mycket som möjligt. Anledningen till detta är att den typ av system i två dimensioner som i diskret tid alltid beskrivs med ett tidsdiskret PWA-system är just tidskontinuerliga PWA-systemet där A = ai för alla moder. I exempel 3.7 hade vi ett system som spiraliserade sig in mot origo utan att stanna där. Om ett sådant system i grunden är ett olinjärt system som linjäriserats i fyra moder finns det fall där man med fördel skulle kunna gå över i r, φ-planet och linjärisera där för att även ta fram en tidsdiskret beskrivning för det PWA-system som bildas i r, φ-planet. På så sätt slipper man problemet med oändligt många moder. Ett annat exempel på ett system som spiraliserar sig in mot origo är följande: Exempel 4.: oändligt många moder i oändligheten ṙ = ar d dt r φ = a + ε i r d dt r φ = ṙ φ + r φ

49 4.3 PWA-system som skapats från linjäriseringar 37 där modgränserna ges av att H i r φ 0 ai [i] 0 där H i =. 0 b i Om vi nu gör variabelbytet får vi följande system där ε i > 0 bestäms av varje mod. r = y, φ = y, φ = y3 y = ay y = y 3 y 3 = a + ε i + ay 3 Skillnaden mellan systemet i exempel 3.7 och exempel 4. är att i exempel 4. minskar den tangentiella hastigheten hos systemet snabbare än vad radien minskar. Det innebär att varje varv som systemet rör sig tar längre och längre tid ju närmre origo vi kommer. Detta innebär i sin tur att vi, då moderna strålar samman i origo, kommer att få färre och färre modövergångar ju närmre systemet kommer origo. Å andra sidan kommer systemet att få fler och fler modövergångar ju längre ifrån origo vi kommer. Jämfört med exempel 3.7 kommer vi alltså att få våra oändligt många moder i oändligheten istället för i origo. Om däremot detta system ast är ett delsystem där övriga moder i systemet alltid ger ändligt många modsekvenser får vi ett tidsdiskret system med ändligt många moder. Systemet i exempel 4. skulle vi alltså kunna överföra till ett system i x, x - planet, linjärisera detta i ett antal moder för att sen skapa en tidsdiskret beskrivning för detta system. Vad som dock skulle vara att föredra i ett sådant fall är att behålla systemet i y, y, y 3 -planet eftersom vi då får ett enklare system att hitta en tidsdiskret beskrivning till samt undviker de fel som skulle kunna skapas vid den linjäriseringen som annars skulle behöva göras.

50

51 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system 5 Framtagandet av en tidsdiskret beskrivning för ett tidskontinuerligt PWAsystem skulle kunna sägas sker i två faser. Till att börja med måste man utvärdera det ursprungliga tidskontinuerliga PWA-systemet för att få fram en lista över alla sekvenser som kan uppkomma i systemet. Enligt avsnitt 4..4 kan denna lista även innehålla sekvenser som aldrig uppkommer i systemet utan att det leder till några problem. Den andra fasen innebär att man går igenom listan med sekvenser och skapar en tidsdiskret mod för varje sekvens. Genom att göra det får man fram dels en mängd moder som är tomma och dels alla de moder som faktiskt existerar. I detta kapitel undersöks hur man kan göra för att söka sekvenser. Här ges även två algoritmiska lösningar till problemet med att ta fram tidsdiskreta beskrivningar till PWA-system i en respektive två dimensioner som ger tidsdiskreta PWA-system som resultat. Det ges även en algoritm för att beskriva ett godtyckligt PWA-system utan insignal i en dimension med ett tidsdiskret system. 5. Att hitta alla tänkbara sekvenser i ett PWAsystem I detta avsnitt undersöks två typer av algoritmer som kan användas för att hitta alla sekvenser som kan uppträda i ett PWA-system. 39

52 40 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system 5.. Söka sekvenser med hjälp av fasplanet i de enskilda moderna Som nämns i både Roll 003 och Einarsson 000 så kan man med hjälp av fasplanet i varje mod sätta upp en riktad graf över hur systemet skulle kunna röra sig genom moderna. Detta görs genom att om fasplanet i mod A ger att systemet kan röra sig till mod B så dras en båge från mod A till mod B. När vi gjort detta för alla moder har vi en riktad graf för hur systemet skulle kunna komma att röra sig. Vi kan nu utifrån denna graf lista alla sekvenser som kan uppkomma i systemet. Detta sätt att bestämma systemets rörelse på ger en relativt kraftig överskattning, eftersom det för varje sekvens av minst tre moder inte är säkert att systemet kan röra sig enligt grafen. Anledningen till det är att det kan finnas krav på var på modgränserna övergångarna sker för att en viss sekvens ska kunna uppträda. Om vi exempelvis tittar på systemet i figur 4. så skulle en riktad graf för det systemet se figur 5. säga att vi kan röra oss i sekvensen mod 4 vilket vi enligt figuren i själva verket inte kan. Figur 5.. Riktad graf för systemet i figur 4. Eftersom vi enligt avsnitt 4..4 troligen inte får några problem om vi försöker räkna på sekvenser som inte existerar borde denna överskattning inte ge några fel i beräkningarna. Ett problem som kan inträffa är om vi i den riktade grafen får cykler. För att inte få oändligt många sekvenser att hantera måste vi på något sätt bestämma hur många varv i cykeln systemet hinner röra sig under periodtiden T. Ett alternativ att lösa detta på skulle vara att utifrån en mod i cykeln räkna på större och större sekvenser i cykeln till det att vi, efter första icke tomma moden, får en mod som är tom. Detta skulle nämligen innebära att systemet inte hinner röra sig hela sekvensen under periodtiden T.

53 5. Att hitta alla tänkbara sekvenser i ett PWA-system 4 Ett annat problem med cykler i en sådan graf är huruvida de existerar eller ej. För att inte börja räkna på en cykel som aldrig kommer att ge någon tidsdiskret mod måste vi kontrollera så att det är periodtiden T som avgör om en mod skapas eller ej i cykeln och inte någon kombination av modgränser i cykeln. Ett tredje problem med cykler är om tiden för varje varv går mot noll, som i exempel 3.7. Detta problem kan lösas genom att man efter grafen skapats går igenom varje cykel för sig och kontrollerar så att ett sådant fenomen inte inträffar. Mer om detta finns att läsa i kapitel 6. Detta sätt att ta fram sekvenser på i ett PWA-system är relativt enkelt men ger som sagt en överskattning. Vad som kan ge problem med överskattningen är att man måste beräkna moder för sekvenser som sen visar sig inte existera, vilket i vissa fall kan vara tidsödande. 5.. Söka sekvenser med hjälp av systemets hela rörelsemönster Ett annat sätt att söka efter sekvenser på är genom att studera systemets hela rörelsemönster genom alla moder för varje sekvens. Detta sätt ger mindre överskattning men mycket mer avancerade beräkningar än det i avsnitt 5... För att kunna göra detta krävs att vi kan utläsa systemets rörelsemönster från givna starttillstånd. I Einarsson 000 beskrivs detta med hjälp av uppnåeliga tillstånd genom att st, x 0 är lösningen till systemet ẋt = fxt, t 0 vid tidpunkten t med starttillståndet x 0. Rt, X 0 = {x R n x = st, x 0, x 0 X 0 } R[t, X 0 ] = {x R n x Rτ, X 0, τ [0, t]} R[X 0 ] = {x R n x Rτ, X 0, τ 0} För ändamålet att ta fram en algoritm som hittar alla sekvenser som existerar under sampeltiden T ligger algoritmen Bad States, eller på svenska ogiltiga tillstånd algoritm 5., i Einarsson 000 nära till hands. Algoritm 5.: Ogiltiga tillstånd Givet: En hybrid modell, initialtillstånd X 0 som alla tillhör mod i samt de ogiltiga tillstånd som ska undvikas. Sökt: Ett positivt eller negativt svar till frågan om systemet inte hamnar i de tillstånd som ska undvikas, med de specificerade starttillstånden. Om svaret är negativt fås även ett motexempel.. Beräkna uppnåeliga tillstånd från initialtillstånden, R i [X 0 ]. Lägg till modgränsytorna T ij som överträds till listan med ytor.. Om systemet inte rör sig in i någon ny mod listan med ytor är tom, gå tillbaka till den mod systemet kom från i sekvensen. Om ingen sådan mod existerar, avsluta med ett positivt svar, upprepa annars detta steg för den mod systemet kom från i sekvensen.

54 4 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system 3. Plocka ut en av ytorna ur listan med överträdda ytor. Utöka modgrafen med moderna på andra sidan de överträdda ytorna och kontrollera om något tillstånd som ska undvikas blivit uppfyllt. Om det inträffat, avsluta med ett negativt svar och ett motexempel. 4. Beräkna de nya starttillstånden X 0 som skärningen mellan de uppnåeliga tillstånden som beräknades i steg och modgränsytan som valdes i steg 3. Om detta initialtillstånd är en delmängd av tidigare beräknade uppnåeliga tillstånd för den moden vilket kan inträffa om systemet varit i moden tidigare under algoritmens gång, gå till steg. Om inte, byt aktiv mod till moden på andra sidan den valda modgränsen och gå till steg. Vad denna algoritm gör är att den börjar med ett antal starttillstånd och en uppsättning tillstånd som inte får inträffa. Algoritmen tittar sen på hur systemet rör sig samt var på varje modgräns överträdelserna sker utifrån hela starttillståndsområdet. Under hela denna beräkningsprocess kontrolleras hela tiden om något av de ogiltiga tillstånden inträffar. En typisk genomgång av algoritmen skulle kunna vara följande, där modnumren ses i figur 5... Starttillståndet är hela mod nummer.. Beräkning av uppnåeliga tillstånd ger att systemet kan röra sig in i mod och 3. Inga tillstånd som ska undvikas har blivit uppfyllda. 3. Vi väljer mod och beräknar nya uppnåeliga tillstånd vilket ger att systemet inte kan röra sig ut ur mod. Inga tillstånd som ska undvikas har blivit uppfyllda. 4. Eftersom systemet inte kan röra sig ut ur mod går vi tillbaka till mod. 5. Vi väljer mod 3 och beräknar nya uppnåeliga tillstånd vilket ger att systemet kan röra sig in i mod 4. Inga tillstånd som ska undvikas har blivit uppfyllda. 6. Vi väljer mod 4 och beräknar nya uppnåeliga tillstånd vilket ger att systemet inte kan röra sig ut ur mod 4. Inga tillstånd som ska undvikas har blivit uppfyllda. 7. Eftersom systemet inte kan röra sig ut ur mod 4 går vi tillbaka till mod Eftersom vi har gått igenom alla modövergångar här så går vi tillbaka till mod. 9. Eftersom vi har gått igenom alla modövergångar här och det inte finns någon tidigare mod att gå till avslutas algoritmen med ett positivt svar. Figur 5.3 från Einarsson 000 illustrerar ett steg i algoritmen. För ett positivt svar som utgång ur denna algoritm krävs att hela systemet gås igenom. Eftersom den algoritm vi söker ska gå igenom hela systemet och svara med ett antal sekvenser kan vi således använda denna algoritm i grunden men avsluta ast då vi kommer tillbaka till startmoden. Om vi sen genomför detta för varje

55 5. Att hitta alla tänkbara sekvenser i ett PWA-system 43 Figur 5.. Genomgång av algoritm 5. mod i systemet kommer vi kunna få fram alla tänkbara sekvenser i systemet. Eftersom vi ast är intresserade av sekvenser inom en viss tid T räcker det att i steg beräkna R i [T, X 0 ] där X 0 till att börja med ges av alla tillstånd i den mod vi väljer att starta i. För att vi ska kunna gå runt i algoritmen behöver vi inte bara beräkna nya starttillstånd X 0 utan även nya tider T som den längsta återståe tid systemet har på sig. Detta görs genom att man från det tidigare värdet på T tar bort den kortaste tänkbara tid systemet sperar i den mod systemet rör sig genom. Det nya T -värdet ges då av T = T gammal t där t ges av den kortaste tiden som systemet tar på sig att röra sig från starttillståndet X 0 till den modgränsyta som överträds. Då vi i steg två går tillbaka till föregåe mod måste vi även tänka på att också gå tillbaka till föregåe tid T. De sekvenser systemet kan röra sig i får vi fram genom att undersöka den modgraf som algoritmen bildar. Ett problem med algoritm 5. är att det finns en risk att den aldrig stannar. Om algoritmen hamnar i en cykel där tiden systemet sperar i varje mod är oändligt kort kommer algoritmen aldrig kunna ta sig ur den. Detta kan lösas med en extra punkt i den algoritm som ska hitta alla sekvenser i systemet. Denna punkt är uppdelad i fyra steg där ett negativt svar i något av de tre första stegen gör att vi går vidare till nästa punkt i algoritmen.. Har vi under denna sekvens redan besökt moden som är på andra sidan modgränsytan?. Finns det någon gemensam punkt för alla moder systemet besökt sen det

56 44 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system a: Beräkning av uppnåeliga tillstånd b: Den nuvarande modgrafen c: Skärning mellan uppnåeliga tillstånd och modgränsytor d: Den utökade modgrafen Figur 5.3. Visualisering av algoritm 5.

57 5. Att hitta alla tänkbara sekvenser i ett PWA-system 45 besökte moden förra gången? 3. Är ẋt 0 i denna gemensamma punkt? 4. Töm listan med ytor och gå till punkt i algoritmen. Varför detta löser problemet ges förklaring till i kapitel 6. Tillsammans med algoritm 5. kan det som sagts sammanfattas till en algoritm vilken tar fram alla modsekvenser under tiden T som kan uppkomma i ett system, se algoritm 5.. Notera att sekvenserna som returneras av denna algoritm är en överskattning av de sekvenser som faktiskt kommer att kunna inträffa i systemet. Orsaken till denna överskattning är att vi alltid drar bort den kortaste tiden från T som systemet sperar i en mod. Detta kan i sin tur ge ett T i algoritmen som i vissa fall är större än det verkliga värdet som återstår av samplingstiden. Vi kan således få fram sekvenser som i själva verket behöver en längre samplingstid än vad som är bestämt. Algoritm 5.: Sekvenser i ett PWA-system Givet: Ett PWA-system och en samplingstid T. Sökt: En mängd sekvenser som kan uppkomma i systemet. För varje mod i systemet gör följande. välj en startmod och sätt X 0 till alla tillstånd i denna mod.. Beräkna uppnåeliga tillstånd från initialtillstånden under tiden T, R i [T, X 0 ]. Lägg till modgränsytorna T ij som överträdes till listan med ytor. 3. Om systemet inte rör sig in i någon ny mod listan med ytor är tom, gå tillbaka till den mod systemet kom från i sekvensen och sätt T = T gammal + t, där t ges av kortaste tiden systemet sperar i den mod systemet kom från i sekvensen. Om ingen föregåe mod existerar, avsluta med modgrafen som svar. 4. Plocka ut en av ytorna ur listan med överträdda ytor. Utöka modgrafen med moderna på andra sidan de överträdda ytorna. 5. Om någon av de tre första punkterna ger negativt svar, gå vidare till 6. Har vi under denna sekvens redan besökt moden som är på andra sidan modgränsytan? Finns det någon gemensam punkt för alla moder systemet besökt sen det besökte moden förra gången? Är ẋt 0 i denna gemensamma punkt? Töm listan med ytor och gå till steg Beräkna ett nytt T = T gammal t där t är den kortaste tiden systemet sperar i den mod som systemet befinner sig i. Beräkna nytt starttillstånd X 0 för nästa mod som skärningen mellan de uppnåeliga tillstånden som beräknades i steg och modgränsytan som valdes i steg 4. Om detta initialtillstånd är en delmängd av tidigare beräknade uppnåeliga tillstånd för den moden vilket kan inträffa om systemet varit i moden tidigare

58 46 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system under algoritmens gång, gå till steg 3. Om inte, byt aktiv mod till moden på andra sidan den valda modgränsen och gå till steg. 5. Algoritmisk framtagning av tidsdiskret beskrivning I detta avsnitt undersöks tre algoritmiska lösningsmetoder för att ta fram tidsdiskreta beskrivningar till olika typer av tidskontinuerliga PWA-system. De två första systemen är imensionella PWA-system, först undersöks ett allmänt PWA-system där värdet på a inte nödvändigtvis behöver anta samma värde i alla moder. Vidare undersöks specialfallet då vi har samma a i alla moder, vilket ger ett tidsdiskret PWA-system som resultat. Det andra systemet är ett tvådimensionellt PWA-system där A-matrisen är identisk för alla moder och på formen A = ai. Matlab-kod för dessa algoritmer finns under appix C. 5.. Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i en dimension Ett tidskontinuerligt PWA-system i en dimension kan beskrivas på följande sätt ẋ = a i x + b i om c i < x d i där i =,..., s och s är antal moder i det tidskontinuerliga PWA-systemet. Vi får således { } x χ i = x: H i [i] 0 där H i = c i d i. Om vi nu tittar på en enskild modsekvens under tiden T i systemet och väljer tiden för modövergång i till t i och t 0 = kt får vi följande uttryck för xt i xt i = e a M i t i t i xt i + a M i e a M i t i t i b Mi 5. där i =,... m och M anger sekvensen där M i är den i:te moden i sekvensen. b Mi och a Mi är b respektive a för mod nummer i i den aktuella sekvensen och m antal moder. Eftersom vi har ett imensionellt system kan vi även säga att xt i = e i {c Mi, d Mi } vilket ges av den sekvens som vi söker en tidsdiskret modbeskrivning till. Detta innebär dock att vi måste försäkra oss om att sekvensen kan inträffa, vilket vi gör genom att kontrollera att systemets derivata ẋ har samma tecken vid båda modgränserna. Vi kan nu med hjälp av att xt i = e i samt 5.

59 5. Algoritmisk framtagning av tidsdiskret beskrivning 47 bestämma följande uttryck för e a M i t i t i. xt i = e i = e a M i t i t i e a M i t i t i = xt i + bmi a Mi b Mi = a Mi + e i xt i + b M i a Mi b M i a Mi b Mi a Mi + e i b Mi 5. a Mi + e i där t 0 = kt och xkt = e 0. Vi kan nu med hjälp av 5. uttrycka x k + T som funktion av xkt x k + T = e a Mm k+t tm xt m + a M m e a Mm k+t tm b Mm = = e a Mm T e a Mm kt tm xt m + b M m a Mm b M m a Mm = = e a Mm T e a Mm kt t e a Mm t t e a Mm tm tm e m + b M m b M m = a Mm a Mm a Mm m b Mi a = e a Mm T e a Mm kt t a Mi + e Mi i b Mi e m + b M m b M m = i= a Mi + e i a Mm a Mm = e a Mm T xkt + b a bmi+ a Mm a Mm m a M M a Mi+ + e Mi+ i a M bmi b M m a i= a Mi + e Mi a Mm i 5.3 För att detta ska ge oss en fullständig algoritm till problemet att ta fram en tidsdiskret beskrivning till ett tidskontinuerligt PWA-system i en dimension måste vi även ta fram en metod som hittar de tidsdiskreta modernas modgränser. Detta gör vi genom att titta på vilka gränser som finns att uppfylla för starttillståndet xkt och för sluttillståndet x k + T. Vi vet att följande två uttryck måste vara uppfyllda för en tidsdiskret mod: xkt H M [M] 0 x k + T fxkt H Mm = H Mm [Mm] 0 Dessa uttryck ger oss ett antal gränser som begränsar den nya moden. För att få ut de exakta gränserna måste vi utvärdera uttrycket för att se vilket eller vilka gränser som är mest begränsande. Vi kan nu formalisera beräkningarna ovan i en algoritm för att ta fram en tidsdiskret beskrivning för ett tidskontinuerligt PWA-system med en variabel, se algoritm 5.3.

60 48 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system Algoritm 5.3: Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i en dimension För att ta fram systembeskrivning och modgränser för de moder som bildas i det tidsdiskreta PWA-systemet gör följande för varje sekvens som kan uppkomma i det tidskontinuerliga PWA-systemet:. Kontrollera så att modsekvensen kan existera genom att a Mi c Mi + b Mi och a Mi d Mi + b Mi, där i =,... m, har samma tecken. Om så inte är fallet försök skapa en diskret mod för nästa modsekvens i systemet.. Beräkna funktionen som ger x k + T för moden på följande sätt: x k + T = fxkt = e a Mm T xkt + b a Mm a M M a M m i= bmi+ a Mi+ + e i a Mi+ bmi a a Mi + e Mi i a Mm b M m a Mm där a Mi och b Mi ges av a respektive b för mod i i sekvensen och m antalet moder i sekvensen. e i ges av gränsen mellan mod i och i + i sekvensen. 3. Beräkna modgränserna för den diskreta moden genom att i följande ekvationer utvärdera vilka gränser som ger de starkaste begränsningarna av moden: xkt H M [M] 0 H Mm fxkt [Mm] 0 4. Skapa därefter en ny H-matris som beskriver den nya modens gränser på följande sätt: xkt H M [M ] 0 Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i en dimension med konstant a Om vi nu tittar på specialfallet där a är samma i alla moder får vi ett tidsdiskret PWA-system som resultat. Om vi stoppar in a i = a i 5.3 får vi följande uttryck för x k + T. x k + T = e at xkt + b M a m i= bmi+ a b Mi a + e i + e i b M m a = a d xkt + b d

61 5. Algoritmisk framtagning av tidsdiskret beskrivning 49 Beräkningen av de faktiska gränserna till en sådan mod kan sedan göras genom följande ekvationer xkt H M [M] 0 x k + T ad xkt + b H Mm = H d Mm [Mm] 0 H M [ ] a d H ad b d cxkt [M] M m 0 [Mm] Den första av de två mest begränsande rader i 5.4 är den rad med i första kolumnen av den tillfälliga H-matrisen och störst värde i andra kolumnen, eftersom xkt +g < 0 xkt < g ger starkast begränsning då g är så stort som möjligt. Den andra är den rad med i första kolumnen och störst värde i andra kolumnen, eftersom xkt + g < 0 xkt > g ger starkast begränsning då g är så stort som möjligt. Om vi nu formaliserar framtagandet av en tidsdiskret beskrivning av ett PWAsystem, i en dimension, med konstant a får vi algoritm 5.4. Algoritm 5.4: Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i en dimension med konstant a För att ta fram systembeskrivning och modgränser för de moder som bildas i det tidsdiskreta PWA-systemet gör följande för varje sekvens som kan uppkomma i det tidskontinuerliga PWA-systemet:. Beräkna a d och b d för den diskreta moden genom: m bmi+ a d = e at a + e i b Mi i= a + e i b d = e at b m bmi+ M a + e i a + e i i= b Mi a b M m a Där a Mi och b Mi ges av a respektive b för mod i i sekvensen och m antalet moder i sekvensen. e i ges av gränsen mellan mod i och i + i sekvensen. Systembeskrivningen för den nya moden blir då x k + T = a d xkt + b d. Beräkna modgränserna för den diskreta moden genom att först beräkna H M a d H ad b d M m 0 Ta därefter ut den rad där första kolumnen är om sådan finns och andra kolumnen är så stor som möjligt. Ta även ut den rad där första kolumnen är om sådan finns och andra kolumnen är så stor som möjligt. Spara dessa rader i en ny matris H d

62 50 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system 3. Om vi har full rang i matrisen H d dvs. båda raderna i ovanståe punkt existerade, antag H d = g g sätt då matrisen Hd = 0 om g < g 5.. Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i två dimensioner med samma A = ai i alla moder För att få ett tidsdiskret system med linjära systembeskrivningar i moderna krävs enligt exempel 3.4 att vi har en A-matris som är en konstant a multiplicerat med enhetsmatrisen I. Vi får då följande uttryck för det tidskontinuerliga PWAsystemet: ẋ = ax + B i { x x x: H i } [i] 0 Med detta som bakgrund och t i som den tid då en modövergång inträffar kan vi skriva följande uttryck för en sekvens i systemet xt i = e ati ti xt i + a B M i a B M i 5.5 x k + T = e ak+t tm xt m + a B M m a B M m 5.6 där i =,..., m, t 0 = kt och m är antalet moder i den sekvens vi tittar på. Då vi vet att ett av elementen i vektorn H xti Mi är noll, väljer vi att benämna värdena i denna rad så att c i x t i + d i x t i + g i = 0. Antag vidare att inga par av modgränser, som ligger efter varandra i sekvensen, är parallella. Då kan vi göra basbytet y i t = ci d i c i d i xt + g gi i = U i xt + W i så att y i t i = 0. Med detta som bakgrund kan vi skriva om 5.5 enligt följande y i t i = U i e ati ti xt i + a B M i 0 a B M i + W i = 5.7 där i =,..., m, t 0 = kt och m är antalet moder i den sekvens vi tittar på. Vi kan nu använda första raden i 5.7 för att få fram ett uttryck för e ati ti på följande sätt: c i, d i e ati ti xt i + a B Mi a B Mi + g i = 0 e ati ti = c i, d i B Mi ag i a c i, d i xt i + c i, d i B Mi 5.8 där i =,..., m, t 0 = kt och m är antalet moder i den sekvens vi tittar på. För att x k + T till fullo ska gå att beräkna behöver vi även ta fram ett uttryck för xt i. Det fås genom att utnyttja definitionen av y i t som xt i = U i y i t i W i = U i c g i y i, t i g i 5.9

63 5. Algoritmisk framtagning av tidsdiskret beskrivning 5 där y,i är andra elementet i y-vektorn i. Det bestäms i sin tur av y i, t i = e ati ti g i + c i, d i a B M i c i, d i a B M i + g i 5.0 för i =,..., m. Uttrycket för xt kan beräknas på följande sätt y t = U xt + W = U e at kt xkt + a B M = 0 y, t y, t = c 0, d 0 a B M + W = e at kt xkt + a B M a B M + g 0 5. xt = U g c 0, d 0 e at kt xkt + a B M a B M 5. Vi kan nu skriva e ti ti = L i + P i e ati ti genom där L i och P i bestäms enligt följande y i, t i = Q i + R i e ati ti gi Q i g i xt i = U i e ati ti a = c i, d i B Mi ag i c i, d i U i + e ati ti 0 R i e ati ti c i, d i U i 0 R i + gi + Q i g i a B M i = L i + P i e ati ti Vi kan utifrån detta formulera ett uttryck för e akt ti på följande sätt e akt ti = e akt ti e ati ti = e akt ti L i + P i e ati ti = = L i e akt ti + P i e akt ti 5.3 där i = 3,..., m. För i {, } fås e akt ti på följande sätt: e akt t = L e akt t + P 5.4 e akt t = a c, d xkt + c, d B M c, d B M + ag 5.5 Ett krav som nämndes för att det ovan beskrivna skulle gälla var att två efter varandra följande modgränser i varje sekvensen inte fick vara parallella. Nu ska vi titta närmre på vad som gäller om vi har två efter varandra följande modgränser som är parallella.

64 5 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system Om vi väljer att titta på en mod M i i en sekvens där in-gränsen är parallell med ut-gränsen ur moden fås att c i = c i, d i = d i. Då kan vi formulera ett enklare uttryck för e ati ti på följande sätt xt i = e ati ti xt i + a B M i a B M i g i = e ati ti g i + c i, d i a B M i c i, d i a B M i e ati ti = c i, d i B Mi ag i c i, d i B Mi ag i 5.6 xt i = c i, d i B Mi ag i c i, d i B Mi ag i xt i + a B M i a B M i Har vi ett läge där två efter varandra följande modgränser är parallella sätter vi alltså P i = 0 och L i = ci, dib M i ag i c i, d ib Mi ag i, vilket ges av 5.6. Ytterligare en aspekt som måste beaktas då man har två parallella modgränser efter varandra är hur L i och P i skapas eftersom U i inte har någon invers matris. Vad vi gör då är att använda U i r och W i r istället för U i och W i där r ges av att rangen av U i+ j < j [, r] och rangen av U i r =. Vi kan med denna förändring sätta upp xt i på samma sätt som tidigare genom att beräkna y i, t i på följande sätt y i, t i = c i r, d i r xt i + g i r = = c i r, d i r e xt ati ti i + a B Mi a B Mi + g i r = = c i r, d i r e xt ati ti i + a B Mi a B M i + + e ati ti BMi B Mi + g i r = a e xt ati ti r i r + a B Mi r = c i r, d i r r + e ati ti j BMi+ j B Mi j a a B M i + g i r = j= = e ati ti r g i r + c i r, d i r a B M i r + r j= e ati ti j c i r, d i r BMi+ j a B M i j c i r, d i r a B M i + g i r där e ati ti j antar konstanta värden för alla j [, r]. Om r skulle anta värdet i, vilket är det största värdet r kan anta, fås istället en lösning liknande den i

65 5. Algoritmisk framtagning av tidsdiskret beskrivning y i, t i = c 0, d 0 j= e ati kt xkt + a B M i + e ati ti j BMi+ j B Mi j a a B M i + g 0 Vi kan med hjälp av detta skriva om ekvationen för e ati ti som e ati ti = L i + P i e ati ti r i, där r i ges enligt ovan. Av detta fås följande uttryck för e akt ti : e akt ti = L i e akt ti + P i e akt ti r i, i r i = 3,..., m För i r i [, ] fås e akt ti enligt 5.4 och 5.5. Vi kan nu med hjälp av lösningen till e akt ti lösa rekursivt vad x k + T blir x k + T = e ak+t tm xt m + a e ak+t tm B Mm = = e ak+t tm xt m + B M m a B M m a = e ak+t tm xt m + B M m a = e at e akt t xt + B M a + e akt tm B M m B Mm B M m = a a = e at xkt + B m M + a i= = + e ak+t tm B M m B Mm = a + eakt t B M 3 B M + a e akt ti B M i+ B Mi a BM m a där e akt ti beräknas enligt 5.3, 5.4 och 5.5. På samma sätt fås även ett uttryck för xt i enligt följande xt i = e ati kt xkt + B M a i + r= e akt tr B M r+ B Mr BM i a a 5.7 För att kunna bestämma utseet hos de nya modgränserna behöver vi dels titta på var modövergångarna sker och dels på start- och sluttillstånd för sekvensen. För modövergångarna gäller enligt 5.7 att xt i = e ati kt A xkt + B B Mi a. Vi vet även att modgränserna hos moden innan och moden efter den gräns vi går över i sekvensen måste gälla. H xti Mi [i] 0 och H xti Mi+ [i+] 0

66 54 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system gäller alltså. Det nya H för en viss modövergång i en viss sekvens fås som xti H Mi,i+ [,i+] 0 H, M i,i+ A xkt + B [,i+] e akt ti a H, M i,i+ B Mi HM 3 i,i+ H, M i,i+ A e x a H, M i,i+ B Mi H 3 M i,i+ xkt + H, M i,i+ B e c a H, M i,i+ B Mi H 3 M i,i+ [,i+] 0 H ny = H Mi,i+ A B e x e c a BMi 0 e x, e c där H a,b HMi är kolumn a och b i matris H, H Mi,i+ = H Mi+ och e x, e c ges av att e akt ti = e x xkt + e c. H-matrisen för den tidsdiskreta moden skapas alltså genom att samla alla dessa H-matriser för varje modövergång i en och samma matris. Om vi nu tittar på gränserna som start- respektive sluttillstånden skapar fås xkt H M [M] 0 x k + T H Mm [M] 0 x k + T Ad B = d xkt 0 Ad B H d xkt Mm 0 [M] 0 Dvs. matriserna H M och H Ad B d Mm 0 måste läggas till den tidsdiskreta modens H-matris. På grund av detta tillkommer en mängd modgränser till den tidsdiskreta moden där vissa av gränserna förmodligen kommer att begränsa bort andra gränser. Det som beskrivits i detta avsnitt kan nu sammanställas till en algoritm som ger en tidsdiskret beskrivning av ett tvådimensionellt tidskontinuerligt PWA-system med A = ai för alla moder till ett tidsdiskret tvådimensionellt PWA-system, se algoritm 5.5. Algoritm 5.5: Tidsdiskret beskrivning av ett PWA-system i två dimensioner För att ta fram systembeskrivningar och modgränser för de moder som bildas i det tidsdiskreta PWA-systemet gör följande för varje sekvens som kan uppkomma i det tidskontinuerliga PWA-systemet:. Bestäm alla U i = ci d i c i d i där c i x t i + d i x t i = g i ges av modgränsen vid utträde ur mod i i sekvensen och c i x t i + d i x t i = g i ges

67 5. Algoritmisk framtagning av tidsdiskret beskrivning 55 av modgränsen vid inträde i mod i i sekvensen. För U väljs c 0 = c, d 0 = d ochg 0 = g.. Beräkna L i och P i i [, m ] på följande sätt: Om U i har full rang: r i ges av att rangen av U i j < j [, r i ], om rangen av U i = r i = 0 a P i = c i, d i U 0 i r c i, d i B Mi + ag i i R i a L i = c i, d i c i, d i B Mi + ag i U gi ri i r i + a Q i g B Mi i ri r i Q i = e ati ti j c i ri, d i ri BMi j B Mi j a j= c i ri, d i ri a B M i + g i ri för i r i =,..., m R i = g i ri + c i ri, d i ri a B M i ri för i r i = 3,..., m R i = c 0, d 0 xkt + a B Mi ri Om U i inte har full rang: Multiplicera andra raden i U samt g i med en konstant så att c i = c i och d i = d i. P i = 0 L i = c i, d i B Mi ag i c i, d i B Mi ag i 3. Beräkna uttryck för e akt ti i [, m ] som är linjärt beroe av xkt genom att följande uttryck gäller: e akt ti = L i e akt ti akt ti + P i e i = 3,..., m För i {, } fås e akt ti på följande sätt: e akt t = L e akt t + P + DxkT e akt t = a c, d xkt + c, d B M c, d B M + ag

68 56 Tidsdiskret beskrivning av tidskontinuerliga PWA-system 4. Beräkna därefter följande ekvation, vilken kommer att resultera i en funktion på formen A d xkt +B d där A d och B d är systemmatriserna i det tidsdiskreta PWA-systemet för den mod som den sekvens vi tittar på skapar. x k + T = e at xkt + b M a + m i= e akt ti b M i+ b Mi a bmm a 5. Ta fram de nya modgränserna för varje sekvens genom att beräkna en ny H-matris på följande sätt: För varje modövergång i sekvensen lägg till följande matris till den nya H- matrisen. H ny = H Mi,i+ A B e x e c a BMi e 0 x, e c HMi Där H Mi,i+ = H Mi+, i anger vilken modgräns i sekvensen vi tittar på, e x, e c ges av att e akt ti = e x xkt + e c och A, B ges av xt i = e ati kt A xkt + B B M i a. Lägg även till H M och H Ad B d Mm 0 till den nya H-matrisen.

69 6 PWA-system med zenobetee I detta kapitel undersöks zenofenomenet som i ett PWA-system gör att oändligt många modsekvenser kan skapas. Detta betee har vi tidigare i denna rapport stött på, både i kapitel 3 och Zenofenomenet Zenofenomenet beskrivs genom att vi under en ändlig tid kan få oändligt många modövergångar. Detta leder i förlängningen till att vi kan få oändligt många modsekvenser vilket i sin tur ger oändligt många moder i det tidsdiskreta systemet. Ett sådant betee kan uppenbart inte inträffa i ett fysikaliskt system av den enkla anledningen att fysiska kroppar inte kan röra sig en sträcka på oändligt kort tid. Beteet kan dock inträffa i våra modeller, eftersom de ofta inte tar hänsyn till alla delar som ingår i ett systemet. Zenofenomet skulle kunna jämföras med Zenons paradox om Akilles och sköldpaddan som springer ikapp, där Zenon menar att Akilles aldrig hinner ikapp sköldpaddan då den fått ett försprång. Anledningen till detta är enligt Zenon att sköldpaddan alltid hinner röra sig en viss sträcka under den tiden det tar för Akilles att ta sig fram till den plats där sköldpaddan tidigare var. Ett exempel på en PWA-modell av ett fysikaliskt system där modellen ger ett zenobetee kan ses i exempel 6. vilket kommer från Zhang m.fl

70 58 PWA-system med zenobetee Exempel 6.: Två vattentankar som ger zenobetee Antag att vi har ett system med ett inflöde w som kan flöda in antingen i tank A eller i tank B, ett utflöde ur tank A som är v och ett utflöde ur tank B som är v. Vi vill att nivåerna i tankarna ska hålla sig över en viss höjd, h för båda tankarna. Om maxv, v < w < v + v då nivån för båda tankarna är större än h bör vi fysikaliskt sätt inte kunna hålla nivåerna över höjden h eftersom utflödet är större än inflödet. Om vi modellerar detta som ett styckvis affint system får vi: ẋ = w v ẋ = v } om x h, x h ẋ = v ẋ = w v } om x h, x h } ẋ a ẋ b = w v a = v b om x a x b Med en sådan modell får vi ett system som till slut byter mod oändligt ofta, dvs. oändligt många gånger under en ändlig tid. Om vi tittar på detta exempel fysikaliskt ser vi att ett sådant system inte går att skapa eftersom tiden som en modövergång tar, aldrig kan vara noll i detta fysikaliska system. Det system som påverkar om inflödet ska gå till tank A eller tank B kan fysikaliskt aldrig göra denna förändring på tiden noll. Vår modell av systemet gör dock denna övergång på tiden noll, vilket leder till att modellen får ett uppförande av zenotyp. Ett annat fysikaliskt exempel för vilket zenobetee uppkommer är en studsboll. Om vi modellerar systemet som att höjden studsbollen studsar upp ast beror av den höjd studsbollen hade som högst vid föregåe studs, så fås en boll som aldrig slutar studsa. En av anledningarna till detta är att vi inte betraktar bollens storlek, för vad händer då bollen studsar upp en lägre höjd än dess radie? Som nämnts tidigare kommer ett zenobetee aldrig kunna inträffa i ett fysikaliskt system. Problemet är dock att fenomenet kan uppträda i de modeller som skapas av verkligheten. I Zhang m.fl. 00 diskuteras detta fenomen mer i detalj och följande slutsatser om huruvida systemet är av zenotyp eller ej presenteras. Sats 6. Ett styckvis affint system är inte av zenotyp om vi för varje cykel i systemet: inte har någon gemensam punkt där alla moder i cykeln går samman. har en derivata ẋ som är noll i den punkt där alla moder i cykeln går samman.

71 6. Cykliska uppträdanden i ett tidskontinuerligt PWA-system 59 Vi kan med andra ord säga att vi kan ha en zenopunkt då derivatan ẋ inte är noll i den punkt där alla moder i cykeln går samman. 6. Cykliska uppträdanden i ett tidskontinuerligt PWA-system En cykel i ett tidskontinuerligt PWA-system uppkommer då systemet utgår från en mod A, rör sig vidare till en annan mod B för att till slut återkomma till startmoden A igen. Vad vi är intresserade av i detta läge är att avgöra om vi har någon cykel som kan ge upphov till ett zenobetee. Vi måste således först avgöra vilka cykler som finns i systemet för att därefter utvärdera vilka av dessa cykler som har en gemensam punkt för alla ingåe moder. För att hitta alla zenopunkter i systemet, alternativt dementera att sådana punkter finns, behöver vi granska hela systemet genom att för varje mod söka efter cykler där just denna mod ingår. För att kunna göra detta krävs att vi kan utläsa systemets rörelsemönster från givna starttillstånd. Detta har i avsnitt 5.. beskrivits som en algoritm för att hitta alla sekvenser i ett system. För att även hitta alla zenocykler hos systemet kan vi använda denna algoritm och ast lägga till följande rad i steg 3, sista punkten: Spara den sekvens som startar i moden på andra sidan den aktuella gränsen och slutar i den mod vi befinner oss i, som en zenocykel. Vi kan även enligt avsnitt 5. sätta upp en riktad graf och med kända metoder utvärdera om systemet har cykler, för att därefter utvärdera om de funna cyklerna enligt sats 6. ger upphov till ett zenobetee. 6.3 Uppbrytning av zenopunkter Om vi i ett PWA-system hittar en cykel som ger upphov till ett zenobetee och fortfarande vill hitta en tidsdiskret beskrivning med ändligt många moder till systemet måste vi på något sätt bryta upp zenopunkten. Ett alternativ att göra detta på är genom att skapa nya moder som tillsammans omsluter zenopunkten, för att i dessa moder ändra på systembeskrivningen så att derivatan ẋ = 0 i den punkt som tidigare var zenopunkt. På så sätt får vi enligt sats 6. inget zenobetee kring den punkt som tidigare var en zenopunkt.

72 60 PWA-system med zenobetee 6.3. Extra moder som omsluter zenopunkten I exempel 3.7 skulle vi exempelvis kunna skapa en ny mod på följande sätt för att bryta zenopunkten: x om x + x < ẋ = x + om x 0, x +x x om x < 0, x x x om x + x < ẋ = x + om x < 0, x + x x om x 0, x + x Vad man använder sig av i det fallet är att själva systemet innanför den extra moden inte har någon stationäritet i någon riktning i någon av ursprungsmoderna. Detta ses enklast genom fasplanet i figur 6.. Innanför den extra moden rör sig systemet alltså aldrig mot ett tillstånd där derivatan i någon av basvektorriktningarna är noll. Figur 6.. Fasplanet för systemet i exempel 3.7 Ett alternativ för att bryta upp ett zenobetee i ett system är alltså att söka rätt på de punkter där vi har viss stationäritet och som gränsar mot en annan mod i cykeln. Efter det dras nya modgränser mellan dessa punkter och en ny

73 6.3 Uppbrytning av zenopunkter 6 systembeskrivning skapas som inte ger ett zenobetee i den mod som omsluter zenopunkten i cykeln. Ett annat alternativ för att ta fram en mod som bryter upp en zenopunkt är genom att använda sig av tiden. Enligt avsnitt 6. approximeras ibland tidsfördröjningar bort i modellen av ett system. Vad man då kan göra är att man tillfälligt lägger till en tidsfördröjning på varje modövergång, se figur 6.. Detta kan man även se som att man förutsätter att systemet sperar en viss minimaltid i varje mod. På så sätt kommer det alltid att ta en viss tid att röra sig i en modsekvens. Figur 6.. Visualisering av tidsfördröjning och minimaltid Då systemet befinner sig tillräckligt nära sammanstrålningspunkten av moderna i modcykeln kommer tiden som systemet sperar i den aktuella moden vara mindre än den bestämda minimaltiden. För att undvika detta kan en ny mod skapas beståe av de två ursprungliga modgränserna samt en gräns som dras mellan två punkter en på varje ursprunglig modgräns som gör att systemet befinner sig den tid som minimaltiden anger. Vi får då följande problem att lösa för att skapa en extra mod för en viss mod i modcykeln: xt = e At xt + A e At I B g c, d A e At I B = c, d e At xt 6. C e At xt = g + c, d e At A e At I B 6. där t är den minimala tid som systemet får spera i en mod. Tiderna t och t är de tidpunkter då systemet rör sig in respektive ut ur den aktuella moden. Vektorerna c, d och c, d anger utseet på de modgränser som systemet rör sig över då det rör sig in respektive ut ur moden. g och g är de konstanter som bestämmer var modgränserna ligger. Den rad i H-matrisen som bestämmer

74 6 PWA-system med zenobetee modgränserna vi tittar på är alltså c i, d i, g i, i {, }. Vi har då enligt 6. och 6. fyra ekvationer och fyra obekanta vilket enkelt kan lösas. Hur den extra moden ska se ut kan nu väljas på två olika sätt. Ett enklare alternativ som garanterar konvexitet hos båda moderna som bildas dels den extra moden och dels den krympta ursprungsmoden är om vi helt enkelt drar en rak gräns mellan punkterna xt och xt, vilken ger den nya modgränsen. Det andra alternativet är att följa fasplanet mellan punkterna xt och xt vilket skulle ge en konvex och en icke-konvex mod i de flesta fall Systembeskrivning för extramoden Efter vi har skapat alla moder som krävs för att sammanstrålningspunkten ska omslutas av nya extramoder måste vi på något sätt ta fram nya systembeskrivningar för dessa moder. Dessa systembeskrivningar måste enligt Zhang m.fl. 00 ha en derivata som är noll i zenopunkten för att vi ska bli av med zenobeteet. Därför måste systembeskrivningarna vara, ẋ = A x p, där p är zenopunkten och A är matrisen för den nya moden. De nya systembeskrivningarna bör även i någon mån spegla de ursprungliga modernas systembeskrivningar. Ett alternativ, som användes i början av detta avsnitt, är att helt enkelt bara behålla den ursprungliga A-matrisen genom att låta ẋ = A i x p. Ett annat alternativ är att i tyngdpunkten av extramoden se till så att systemet uppför sig som originalsystemet. ẋ = Ax + b = A x p 6.3 där x är tyngdpunkten i extramoden. Av 6.3 får vi två ekvationer och fyra obekanta vilket ger en mängd lösningar. För att få systemet att i viss mån likna originalsystemet ytterligare kan vi då sätta diagonalelementen i A och A lika. Ytterligare ett sätt att hitta en systembeskrivning som tar bort zenobeteet men ändå behåller systemets uppförande i viss mån är att använda sig av minsta kvadratmetoden för ẋ. min Ax + b A x p dx A v där v anger det område som den nya moden omsluter. Vi får då ett A som i minsta kvadratmening minimerar felet mellan originalsystemet och det nya systemet.

75 Resultat och förslag till fortsatt arbete 7 Syftet med detta examensarbete var att påvisa några av de problem som kan uppstå då man söker en tidsdiskret beskrivning för ett tidskontinuerligt PWAsystem. Vad examensarbetet har resulterat i är en upplysning om att det finns problem samt vilka en del av dessa problem är och hur de uppkommer. Det har även resulterat i en mängd förklarande exempel samt tre algoritmer för framtagandet av tidsdiskreta beskrivningar för olika typer av tidskontinuerliga PWA-system. I detta kapitel diskuteras dels några av de resultat som har uppnåtts och dels förslag på vad ett fortsatt arbete inom området skulle kunna innehålla. 7. Resultat De resultat som framkommit påvisar hur svårt det faktiskt är att ta fram en tidsdiskret beskrivning till ett tidskontinuerligt PWA-system, en del av de många problem som finns med att göra detta på traditionellt sätt och omständigheter som gör att framtagandet av en tidsdiskret beskrivning underlättas. det inte går att ta fram en tidsdiskret beskrivning. det ast går att ta fram en tidsdiskret beskrivning under vissa bivillkor. För den exakta tidsdiskreta beskrivningen av ett PWA-system har det även konstaterats att 63

76 64 Resultat och förslag till fortsatt arbete samplingstiden påverkar utseet och moduppsättningen. nya moder med nya modgränser skapas. Examensarbetet har även resulterat i en mängd exempel som visar att en stor del av de problem som beskrivs i rapporten faktiskt kan uppkomma. Det har även under detta examensarbete tagits fram tre algoritmer för att ta fram den tidsdiskreta beskrivningen för olika typer av PWA-system. För PWAsystem med en tillståndsvariabel och samma a i alla moder. en tillståndsvariabel och godtyckligt a. två tillståndsvariabler och samma A-matris i alla moder, där A = ai. Två algoritmer för att hitta sekvenser i PWA-system har även tagits upp. Ytterligare resultat som har härletts i denna rapport är de upplösningsidéer av zeno-punkter i PWA-system. Dessa idéer har varken testats eller granskats på djupet. 7. Förslag till fortsatt arbete Om man vill fortsätta att fundera kring olika aspekter hos PWA-system som inte har betraktats i detta examensarbete kan man undersöka fler typer av PWAsystem och söka efter ytterligare algoritmer för att ta fram tidsdiskreta beskrivningar för dessa typer av system. Man kan även gå in djupare i problemet med att hitta sekvenser och cykler i det ursprungliga tidskontinuerliga PWA-systemet. Problemet med zenopunkter är ytterligare något som bör undersökas närmre. Detta kan göras genom att utvärdera hur bra de upplösningsidéer som finns i denna rapport fungerar och om det finns andra sätt som ger bättre resultat.

77 Litteraturförteckning Einarsson, V. Model Checking Methods for Mode Switching Systems. Doktorsavhandling, Linköpings Universitet, 000. ISBN Glad, T. och Ljung, L. Reglerteori, Flervariabla och olinjära metoder. Studentlitteratur, utgåvan, 003. ISBN Glad, T., S., Gunnarsson, Ljung, L., T., McKelvey, A., Stenman, och J., Löfberg. Digital Styrning Kurskompium. Linköpings Universitet, 003. Holmberg, K. Kombinatorisk optimering med linjärprogrammering. Linköpings Universitet, 003. Paoletti, S., Roll, J., Garulli, A., och Vicino, A. Equivalence of piecewise affine models in state space and input-output form. Under granskning, 007. Roll, J. Local and Piecewise Affine Approaches to System Identification. Doktorsavhandling, Linköpings Universitet, 003. ISBN Schwarz, M., Kiencke, U., Hodrus, T. E., och Krebs, V. Time discretization of piecewise affine systems with sliding modes Proceedings of IFAC World Congress, Prag. Zhang, J., Johansson, K. H., Lygeros, J., och Sasty, S. Zeno hybrid systems. 00. Int. J. Robust Nonlinear Control 00; :

78

79 A Konvexa mängder och polyedrar En konvex mängd beskrivs i Holmberg 003 som en mängd där alla par av punkter i mängden kan förbindas med ett rakt linjesegment. Alla dessa linjesegment som skapas skall då ligga i mängden. Detta formaliseras i Holmberg 003 på följande sätt: Definition A. En mängd X är konvex om λx + λx X för alla x X, x X, 0 λ. Konvexa och ickekonvexa mängder kan grafiskt representeras på följande sätt: a: konvex mängd b: ickekonvex mängd Figur A.. En konvex och en ickekonvex mängd En polyeder är enligt Holmberg 003 en mängd som begränsas av ett ändligt antal linjära bivillkor. Således gäller alltså att en polyeder alltid är en konvex mängd. 67