STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT

Transkript

1 MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT HÄFTE MITTELUNGEN AUS DER FORSTLICHEN VERSUCHS ANST AL T SCHWEDENS 24. HEFT REPORTS OF THE SWEDISH INSTITUTE OF EXPERIMENT AL FORESTRY N:o 24 BULLETIN DE L'INSTITUT D'EXPERIMENT ATION FORESTIERE DE LA SUEDE N:o 24 CENTRALTRYCKERIET STOCKHOLM 1928

2 REDAKTÖR: PROFESSOR DR HENRIK HESSELMAN

3 INNEHÅLL: RoMELL, LARsGUNNAR: studier över kosyrehushåningen i moss= rik taskog... Studien ii ber den Kohensäurehaushat in moosreichem Kiefernwad 3 5 En nitritbakterie ur svensk skogsmark S 7 U n ferment nitreux forestier Markuftsanayser och markuftning Soi Air and Soi A eratian TIREN, LARs: Einige Untersuchungen u ber die Schaftform I Några undersökningar över stamformen I S o Ti frågan om tastammens avsmaning och voymberäkning S 3 To the Question of Tapering and Vo u me Cacuation of Pin e Trunks I 6o PETRINI, SvEN: sektionskuberingens noggrannhet... I64 Die Genauigkeit der sektionsweisen Kubierung I 8 I En närmeforme för kubering av träd...:... I87 Eine Näherungsforme fir Stammkubierung... 2 I 2 SPESSIVTSEFF, PAUL: Studier Över de SVenska barkborrarnas bioogi särskit med hänsyn ti generationsväxingen. Sid. De I r Studien i.i.ber die Bioogie der Borkenkäfer Schwedens mit besonderer Beri.i.cksichtigung der Generationsfrage. Erster Tei MALMsTRöM, CARL: V åra torvmarker ur skogsdikningssyn punkt... 2 s I O ur P e at Areas from the Point of.forestdraining s 2 Redogörese för verksamheten vid statens skogsförsöksanstat under år (Bericht tiber die Tätigkeit der Forstichen Versuchsanstat Schwedens im J ah re I ; Report on the Work of the Swedish Institute of Experimenta Forestry). Amän redogörese av HENRIK HESSELMAN I. Sk o g s a v dening en (Forstiche Abteiung; F o restry division) av HENRIK PETTERSON II. Naturvetenskapiga avdeningen (Naturwissenschaftiche Abteiung; BotanicaGeoogica division) av HENRIK HEsSELMA N 379 III. skogsentomoogiska avdening~n (Forstentomoogische Abteiung; EntomoogicaJ division) av IvAR TRÄGÅRDH 38o IV. Avdeningen för föryngringsförsök i Norrand (Abteiung fir die Verjtingungsversuche in N arrand; Division for Afforestation Probems in Norrand) EDVARD WJBECK r Sammanfattning av arbetsprogrammet för åren Zusammenfassung des Arbeitsprogrammes ftir die J ahrc I 9 27r 93 I

4 ====S==V==E=N===P==E==T==R==I=N==I===~ EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD. Band de ekvationer, som bivit använda för att återge trädens stamkurva, intager HÖJERs forme en rangpats. Det är framför at dess användning för kubering och aptering med JONSONs tabeer, som gjort denna ekvation så vä känd i Sverige och på senare tid även utomands. De kassiska stereometriska rotationskropparna, parabooiderna, äro icke uppbyggda på samma sätt som skogsträdens stammar, och HöJERs ekvation betyder därför ett stort framsteg. Såsom förf. har visat (I 921) kan man med en parabooid av typen g = ah", där g är grundytan på avståndet h från toppen, a och JJ konstanter, mycket vä representera trädstammens nedre dear. Det är framför at i topp sektionerna som avvikeserna bi stora. En noggrannare anays av de parabooidiska kropparna i jämförese med HöJERS ekvation ger emeertid vid handen, att en systematisk avvikese uppträder även emean de båda. formkassbestämmande diametrarna, som tänkas föragda mitt på stammen och vid basen. Om formkassen har samma värde för en kropp som föjer formen g = ahv och för en HÖJERsk stam, föröper nämigen den förra kurvan innanför, d. v. s. paraboaiden är i sin nedre häft smäckrare än vad HöJERs ekvation anger. Avvikesen är dock ringa, men den gör sig ikvä gäande vid voymsberäkningen för de ägre formkasserna. Paraboaiden har i de högre formkasserna atid större voym än den HöJERska kroppen, beroende på att den är drygare i toppen. Ju ägre formkassen bir, desto mindre bir emeertid denna skinad, och då framträder i stäet effekten av paraboaidens negativa avvikese inom nedre stamha van, så att parahaoidens voym bir mindre än den HÖJERska, då samma basgrundyta, höjd och formkass förutsättas. Den punkt, där voymerna äro ika, igger vid omkring formkass o, 56. En beräkning a v differensen mean voymerna inom oika formkasser har givit de värden, som meddeas i ta b. I, där siffrorna ange paraboaidens positiva, resp. negativa avvikese från HöJERs stamkropp, beräknat i procent av paraboaidens egen voym.r I Beräkningarna ha; utförts med hjäp av absouta formtaet för HÖJERs ekvation, och jämföreserna. ha verkstäts mean voymen TV= G H F och voymen V= G H. J + I

5 188 SVEN PETRINI GH Tabe r. Kubering med HÖJERS ekvation och med formen. v + r... GH Kubierung nach HöJERs Ge1chung und mit der Forme v + Formkass... ~ o,so o,ss o,6o o,6s O,]o 0,75 Formkasse. Differens i %... 1 ±o o,o75 + o,3rs + o,986 +, , ,776 Differenz in %. Av tabeen framgår att skinaderna äro mycket små för formkasser ägre än o,6o, varför man inom dessa åga formkasser utan oägenhet kan använda den enka parabooidekvationen för kuberingsändamå, om basgrundytan är känd. Förägges däremot mätpunkten på ett annat stäe av stammen än vid basen, viket är rege, inträda större skinader, utom i det faet att man mäter mitt på stammen, då förutsättningarna äro ika som förut. Ligger mätpunkten ovanför mitten, måste atjämt under förutsättning att formkassvärdet är fixerat parahaoidens voym biva mindre än vad som anges av siffrorna i Tab. I, ty i de högre stampartierna föröper paraboaidemas stamkurva utanför den motsvarande HöJERska kroppens. Räknar man med paraboaidens forme ut den basgrundyta, som svarar emot det uppmätta värdet, bir denna grundyta mindre än den som HöJERs ekvation ger med samma utgångsvärde. Ett motsatt förhåande måste göra sig gäande då mätpunkten befinner sig nedom stammens mitt, då kubering efter parabooidformen atid måste ge en högre. kubikmassa än HöJERs ekvation, I Tabe 2 nedan angivas siffror för beysande av denna sak. Beteckningen z i Tabe 2 anger måttstäet för diametern, räknat i procent av stamängden nedifrån. 1 Siffrorna. i Tabe 2 ange såunda de fe, som uppstå inom oika formkasser, då på en HöJERsk stamkropp mätes en diameter på den reativa höjden z nedifrån basen och kuberingen verkstäes enigt ekvationen för parabooiderna. Taen äro uträknade i procent av parahaoidens voym. och pustecknet anger att paraboaidens voym är större. r GH Enigt HöJERs ekvation är voymen W= GHF och enigt parabooidformen V= _z W G varför V = Gz F(v + r). o,8o )J+ I' Ligger måttstäet a m från basen och trädet är H m ångt, är z=..'!... Med PETTERSONs beteckning~r är för den HöJERska kroppen G= [ (g (og Xb ) 2, H og Xbz(xbI)) då g är grundytan vid måttstäet z; och för paraboaiden är Gr = g_.. (I z)" W (og Xb )2 (r z) F(v+I) V [og (x b z (x b 1))] 2 Såedes är

6 Tabe 2. EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD 189 Fekubering av en kropp, uppbyggd efter HÖJERS ekvation, kuberad efter formen V = G H, i procent av den senare formens resutat. ~ + I GH Prozentuee Feher bei Kubierung einer Höjerschen Körper mit Hife der Forme V= ~+I Formkass... Formkas se. o,ss o,6o o,65 0,70 Z= o,4 z= 1 /3 z= 'h Z= 'Is Z= O,t + o,88 + I 1 I5 + I 1t6 + I,o6 + 0,6o + I,73 + 2,u +z,,. + I,gs + I, g + z,so ,8g , n + 2,6g , o~ + 2,64 + 3,,. Som synes äro avvikeserna samtiga pos1t1va, d. v. s. paraboaiden bir ~ såsom förut var sagt större, och procentsiffrorna äro avsevärda. Endast inom formkass o, 55 äro skinaderna någonsin ägre än 1 % för de måttstäen, som kunna anses komma i fråga. Måttstäet rh från basen stäher sig särskit ogynnsamt. Vi man atså konstruera en närrueforme för kubering, bir resutatet avsevärt oika, om man begagnar sig av den ena eer den andra matematiska funktionen för stamkurvan. I vaet mean de två anförda ekvationerna finnes ingen anedning ti tvekan, eftersom HöJERS ekvation har dokumenterats vara betydigt överägsen. Emeertid ha på senare tid framkommit nya former för stamkurvan, och det kan vara skä i att granska dem för att se om de kunna ge en noggrannare överensstämmese med naturiga stammar är HöJERs ekvation. Beträffande taen har redan JONSON (191 r) karagt behovet av en modifikation' i HÖJERS forme, och PETTERSON har i sina Studier över stamformen (1926) framagt jämföreser mean sin sammansatta stamkurva, där origo föragts ti trädets topp, och ett stort naturigt materia av tastammar. År 1922 har TrRtN framstät en ekvation, avsedd att passa särskit för taen. Denna ekvation yder: y= p og (:t: + V~ 2 + x 2 ). där y är. diametern eer radien, x är det procentiska avståndet ti måttstäet från toppen räknat, och P och k äro konstanter, oika för oika formkas~er. År 1928 har TIREN meddeat en voymsforme för ifrågavarande ekvation: '"{~2~1 ~2+1 ) W = z ~ (og 2.~ + 2 M 2 ) ~ 2 M og~ J då~=xt.+v'r+z/

7 190 SVEN PETRINI För beräkning av dimensionerna anges ekvationen i föjande förenkade form: y= og (x+ V I + X 2), och formkassen bestämmes av basabskissan x 6 (jfr Tabe 3) i ikhet med PETTERSONs uppstäning. Trädets topp igger i origo. I voymsformen har y antagits betyda radien, ej diametern. Vidare har BEHRE år 1923 pubicerat en mycket enke forme för stammens avsmaning, viken nyigen prövats på norskt granmateria d av LANGSJETER (I927). BEHRES ekvation yder =, där d och D a+ b D äro diametrar, är det procentiska avståndet från trädets topp ti d, och a och b äro konstanter, som få oika värden för oika formkasser. LANGSJETER har funnit, att för den norska granen ger BEHRES forme en bättre överensstämmese än HöJERs ekvation. 1 Nedan ska redogöras för de resutat som erhåits vid en prövning av de oika formerna på det av PETTERSON ( 1927) framagda tamateriaet. Härvid har basabskissan x 6 använts som formuttryck för HÖJERS ekvation, varvid trädets topp igger i punkten x = I, då diametern är = og x. I Tabe 3 ha sammanförts de oika konstanterna för skida d c+ former inom 7 formkasser. För HÖJERS ekvation, C og, D c x.+ I og 0 2 I är formkassen (!) = för paraboaiden är (!)n = 1 og x 6 2 eer (!) = = (+f2 då v är formexponenten, och n är exponenten i formen h (~)" Värdena på xb C och c äro beräknade av PETTERSON H \D; (1925), konstanterna a och b i BEHRES ekvation ha bestämts av LANG SJETER (I927), F och xb i TIRENS ekvation av TIREN (I928), under det att n, v och F (HöJER) ha beräknats av förf. F är absouta formtaet och har för HöJERs ekvation uträknats efter ÖSTLINDS forme (1925). Som synes igga de absouta formtaen enigt TIRENS ekvation något ägre är HöJERs för de högre formkasserna. Med formkass menas här förhåandet mean tvenne diametrar så beägna, att den ena igger dubbet så ångt från trädets topp som den andra. Då intet annat angives betyder detta att den övre diametern igger mitt på stammen och den undre vid trädets bas. Basdiametern kan av praktiska skä ej mätas direkt, men den kan beräknas ur andra diametervärden. Brösthöjdsformkassen är atid något ägre än basformkassen för hea stammen, I BEHRES senaste avhanding (1927) har kommit mig tihanda så sent, att jag ej kunnat taga hänsyn ti.hans där framagda resutat.

8 EN NÄRMEFORVLEL FÖR KUBERING AV TRÄD 191 Tabe 3 Värden på n, v, c, C, x 6, F, a och b inom oika formkasser. Die Werte von n, v, c, C, x 6, F, a und b fur verschiedene Formkassen. Formkass... o,so Formkasse. o,ss o,6o o, o 0,75 o,so n... I ' 1594 r,3569 I,6ogo,9434 2,4094 3, T063!.~.. 2 I,7250 I, ,2430 I,ozgr 0,8301 0, co 20I,7 78,4' 38,58 19, ,905 c... co 5 >7I8 2,8or I,Sar I,279 o, o2 x b (HÖJER}... I I,4959 2,2754 3,5gr8 6,o;6o I I > ,6rao F (HÖJER) 0, , , ,44!44 0, , ,59!44 a I o,8r82 0,6667 0,5385 0,4286 0,3333 0,2500 o o,r8:::8 o, I5 o,s7r4 0,6667 0,7500 ~b. (i~;~~~ i: ::.::: ::::: o I,oss I,Srg 2, ,572. I 5,755 F (TIREN)... 1 o,,333 0,3684 0,4033 0,4401 0,4810 0,5288 o,s872 1 då HöJERs ekvation gäer och rotansväningen är eiminerad. ÖsTLIND (1926) har för höjder med 3 m:s interva beräknat de värden på basformkvoten. som motsvara vissa brösthöjdsformkvoter. I Tabe 4 meddeas med en omvänd uppstäning viken brösthöjdsformkvot som svarar emot vissa angivna basformkvoter. Beräkningarna av brösthöjdsformkvoten sc' ha gjorts med hjäp av den ätt häredda formen og ( %6 + I () 2 j so'=~= og (xb o) Tabe 4 Brösthöjdsformkvotsvärden en!. HÖJERS ekvation för oika bas" form kasser. Brusthöhenformquotienten fitr verschiedene Basaformkassen. Trädängd i meter Baumänge in Metern Basformkvot Basaformkasse o,so 0,55 o,6o o,65 o,7o 0,75 O,So 3 o,so 0,531 o,567 o,6og o,6s8 o, 7II 0,770 5 o,so 0,539 o,s82 0,628 0,678 0,73o o,785 ro O,so 0,545 o,sgx 0,640 o,6go 0,741 o,793 I5 o,so o,s46 o,594 0,643 0,693 0,744 0, o,so 0,547 o,s96 0,645 o,695 0,746 0,797 o, o,so o,548 o,597 0, o,so o,548 o,s97 o,647 0,697 0,747 0,798 0,747 o,797 I. Prövning av oika stamkurveekvationer. Det av PETTERSON (I926, sid. I 1819) använda tamateriaet består av sammanagt r 043 enmeterssektionerade provstammar, fördeade i 6 höjdkasser, inom vika avvikesen i höjd endast uppgår ti ±o, r 5 m.

9 192 SVEN PETRINI Inom varje höjdkass igga såunda de tagna diametermåtten även på samma reativa höjd på aa träd med så små variationer att dessa kunna försummas. Medetaen för de oika måttstäena ha ej utjämnats utan utgöras direkt av de uträknade siffrorna. Såsom PETTERSON sjäv framhåer torde inom detta materia sådana stammar, som företrädesvis faa vid garing av taskog, vara överrepresenterade. Å andra sidan är att märka, att inga tydigt abnorma träd av försöksanstaten uttagits ti provstammar, vika i ikhet med dessa använts för beräkning a v det efter garing kvarvarande beståndets kubikmass a. Ä ven om det såunda är möjigt att man med ett annat materia av svensk ta i sutna bestånd skue ha kommit ti något annorunda resutat, måste det ikvä anses, att sannoikheten för mycket stora avvikeser är ganska ringa. En annan fråga är i viken grad man från dessa stora medeta kan suta sig ti c;et enskida faet, vare sig man därmed menar enskida träd eer mindre grupper. Detta fordrar naturigtvis särskida undersökningar. Men om det gäer att pröva viken av ett ferta ekvationer som bäst motsvarar de naturiga trädens form, torde ifrågavarande uttryck för medeformen böra anses utgöra en god grundva för jämföreserna, och detta är at som åsyftas med föreiggande undersökning. I Tabe 5 nedan ha sammanförts resutaten av de utförda beräkningarna över stammarnas dimensioner, varvid fem oika ekvationer använts. Avvikeserna ha räknats från medetaen av de naturiga stammarna och angivas i procent av diametern vid måttstäet närmast mitten på varje medestam. Då de med hjäp av de oika ekvationerna uträknade värdena äro högre än materiaets medeta, har detta angivits med positivt tecken, och på samma. sätt anger minustecknet att de beräknade värdena äro mindre än materiaets. r Differenserna för PETTERSONs egen utjämning ha avskrivits från hans förut citerade uppsats. I fråga om TIRENS, BEHRES, HÖJERS och paraboaidens ekvation ha beräkningar av dimensionerna vid de oika måttstäena utförts av förf. Härvid har basformkassen för hea trädet varje gång bestämts med hjäp av tvenne diametervärden, som tagits från materiaet. Dessa diametrar vades så, att de voro beägna så nära som möjigt vid punkterna 20 % och 6o % av stamängden nedifrån. Basformkassvärdet har för paraboaiden direkt använts för beräkning av n och för TIRENs ekvation ti bestämning av basabskissan. I fråga om HÖJERS ekvation ha diametervärdena begagnats ti bestämning av basabskissan och beträffande BEHRES ekvation direkt ti uträkning av a och b. Av Tabe 5 framgår, att samtiga ekvationer med förde kunna användas för utjämning av den nedre stamhavan, om man frånser från De resp. funktionernas avsmaningsserier erh.as, om differenser med + tiäggas, differenser med : fr.ndragas det naturiga materiaets värden.

10 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING A V TRÄD 193 rotansväningen. Dock kan den. observationen göras, att paraboaiden här genomgående igger något för ågt, under det att de övriga ekvationerna uppvisa omväxande positiva och negativa avvikeser. Där paraboaiden undantagsvis är grövre än det naturiga materiaet, är avvikesen mycket iten i de nedre partierna av stammen. Skinaderna framträda emeertid skarpare då det gäer att utjämna den övre deen av starnkurvan. Här visar sig paraboaiden fukomigt oanvändbar. Även HÖJERs ekvation ger positiva avvikeser av en storeksordning som menigt inverkar på resutatet av en aptering. Gäier det kubering, äro feen emeertid av mindre betydese, därför att de ängst upp beägna diametrarna på grund av sin ringa storek föga inverka på voymen av hea trädet. Beträffande de övriga funktionerna framgår det av siffrorna i.tabe 5, att PETTERSONs och TIRENS måste anses vara bättre än BEHRES, under det att de aa tre för taen ge noggrannare överensstämmese än HöJERS ekvation. Differensernas medevärden äro beräknade med hänsyn tagen ti tecken. Diametrarna, som innesuta rotansväning, ingå ej. (Jfr nedan.). År 1926 har förf. framdeducerat en närmeforrne för kubering av trädstammar, byggd på HöJERs ekvation. Då avsikten var att göra formen så enke som möjigt, konstruerades den efter mönster av HOSSFELDS gama forme, med viken den även företer stor ikhet. Det är utan vidare kart, att en på rnatematisk väg konstruerad forme först måste prövas på verkiga trädstammar, innan dess användbarhet i praktiken kan bedömas. Vid tiden för pubicerandet av formen fanns emeertid ej ämpigt materia i tiräckig omfattning, varför jag vid detta tifäe inskränkte mig ti att behanda den teoretiska sidan av probemet. Det igger i sakens natur, att en kuberingsforme, som bygger på ett enda diametermått, viket tages ett stycke upp på stammen, ej kan förutsättas gäa för stammens totaa voym, inkusive rotansväningen, så änge vi endast ha att väja på starnkurveekvationer, gäande för starnkroppen utan rotansväning. Endast genom en yckig tifäighet skue detta vara möjigt, om exempevis parabooidernas stamkurva på grund av överdimensioneringen i toppsektionerna av träden råkade ge en agom kompensation för stammens överdimensionering nedti. Prövningarna av en kuberingsforme av ifrågavarande sag böra såunda i första hand avse stamkroppen befriad från rotansväning.. Liknande synpunkter göra sig gäande med avseende på barken, i synnerhet då det rör sig om tae,n, där barktjockeken varierar mycket starkt, såvä på oika träd som inom oika dear av ett och samma träd.

11 SVEN PETRINI Tabe s. PETTERSONs stamkurvemateria för ta, Kiefernmateria von PETTER&ON, mit Hife Måttstäen Messpunkte o,s I,s 2,s 3.s 4.s 5.s 6,s 7,s 8,s 9,s IO,s I I,s I2,5 N a turigt materia I47,s I30,31 126,91 I24,,1 I2I 41 I I8,g II5,81 II2,61 I09,s Io6,g I03,81 IOO NatUriches \1ateria PETTERSON,Diff... I 7,7 2,6 I,3 0,8 0,4 0,4 + o,, + o,s + o,3 + o,, 0~2 ±o + o,. TIREN, Diff.... I7,4 1,7 I,, 0,6 0,3 0,3 + o,. + o,s + 0,4 + o,, o,z ±o + o,. BEHRE, Diff. I8,. 2,8 I,3 o,s ±o + o,. + 0,8 + I,3 + I,3 + I,, + 0,8 + I,o + I, HÖJER, Diff... I7,3 2,3 I,r 0,6 0,4 0,4 ± o + 0,4 + o,. ±o 0,3 + o + o,3 Parabooid, Diff... I7, 2,4 I >4 I,I I,3 I,o 0,7 0,3 o,4 o,s o,s ±o + o, Naturigt materia I44 1I I30,61 I26,r I22 1SI I20 1I I.I6,31 II2,81 Io8,81 104,5 IOO 95.4 Natiiriches Materia 90,I 84,3 PETTERSON, Diff... I4,g o I,I I >7 I,o o,g o,s o,r + o,, ±o +o,, ±o TIREN, Diff... I2,s ~ 1, o,s 0,3 + o,r o,x ±o + o,r ± o o,4 0,6 o,9 BEHRE, Diff. I4,2.311 I,I o,z o,, ±o + o,r + 0,4 + 0,6 + 0,7 + 0,4 + 0,2 ±o HöJER, Diff.... r2.,s 1,8 0,2 + 0,3 o,s o,z 0,3 0,2 ±o + o o,z 0,2 o,x Parabooid, Diff... I2,3 1,9 o,s 0,2 I,I o,8 o,g o,, 0,4 :± o + o,. + o,g f I,8 Naturigt materia I38,21 I27,31 I22,61 II8,81 II4,91 IIO,s I05,41 N atiiriches Materia IOO 94,4188,, 8o,. 70,81 59,6 PETTERSON, Diff... 9,2 I,s[ 0 1 I ±o ± o + 0 1I + o,s + 0,7 + 0,4 ±o ±o +o 1.10,4 TIREN, Diff.... 8,s O,g + O, + 0,2 ±o O,I ± o ± o o,s I,o.J,o o,7. o,4 BEHRE, Diff.... I01c 2 1o 0,4 ± o + o,, + 0,3 + 0,7 + 0,8 + o,s ±o ± o T 0,2 + 0,3 HÖJER, Diff.... 8,4 o,g + O,I ±o o,z 0,3 o,r ± o 0,3 o,s ±o + I,o + 2,3 Parabooid, Diff... 8, ,3 o,s 0,8 0,8 0,4 ±o + 0,3 + o,g + 2,s + 5,o + 8,3 Naturigt materia I34 71 I23,71 II8,31 II2,g I07,o IOO 9I 91 82,s 7 I,o 56,o 36,, I2,s Naturiches Materia PETTERSON, Diff TIREN, Diff.... 6,c + 0,4 + 0,7 + o,s + 0,1 ±o O,I 0,4 o,s I,, + o,g BEHRE, Diff. 7,8 0,8 ±o + o,. + o,r +o,.. + 0,2 ± o o,r + o,s 1 2,3 + 2,2 HÖJER, Diff ,3 + 0,6 + 0,3 ±o +o + 0,2 + 0,41 + I,, + 2,8 + 5,s Parabooid, Diff o,, + o,, 0,2 0,4 ±o + o,g + 2, I5,9 + I9, ,7 o,r ± o o,r ±o + o,r 0,2 0,7 I,Y + o,4 + I,3 Naturigt materia I29,61II9,81 III,g roo 187,o 169,s I6, 1 NatUriches Materia PETTERSON, Diff....:..._ 2 1 o + 0,2 o,g + 0,3 01t o,s + 0,6 + I,6 TIREN, Diff.... 1,4 + 0,4 I,o ± o 0,3 + 0,3 + I,s + I, BEHRE, Diff.... 2,3 ±o I,o + 0,2 ±o + 0,8 + 2,7 + 2,9 HÖJER, Diff. I >3 + 0,3 I,t ± o + 0,2 + I,g + 5,o + 5,3 Parabooid, Diff... I,o ± o I,s ±o + I, I2,4 + I 7,8 Naturigt materia 124,, IOO 68,g25,81 N atiiriches Materia PETTERSON, Diff... + O, I + I,2 + 0,3 + I,3 TIREN, Diff o,. ±o I,t I,o ~ BEHRE, Diff. ± o + o,, ±o + I, HÖJER, Diff o,s ±o + o,. + I,g i Parabooid, Diff ,4 ±o + 2,s + 8,7

12 utjämnat med hjäp av oika ekvationer. verschiedener Geichurigen ausgegichen. I3,s I4,s I 5,s EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD 195 I6,s I 7,si I8,s 92,21 88,o 182,s 76,2169,g 62,6 0,4 o,g.0,7 0,3 0,7 ~ r,z 0,3 0,8 0,3 + 0,3 + 0,3 + o,s + o,s ±o + 0,3 + 0,8 + 0,6 + 0,7 O,I o,3 + 0,4 + I,s + I,g + 2,7 + o,s + I, 1 + 2,6 + 4,s + 6,, + 8, ,31 6I 50,6137,81 22,s o,z 0,6 o,s o,7 + 0,3 + 2,2 I,I 1,4 ~ I,z o,s ± o + I,4 0,2 o,s O,I + o,4 + I ,2 + o,, 0,4 + I,s + 2,7 + 4.s + 6,2 + 3,, >3 + I0,7 + I4,g + I9,s ,g 9,7 o,x + I,r + >4 + o,. + O,g + 0,7 + I,s + 2, I + 4,, + 5, I2,g + I8,r + I9,4 I9,s 2o,s 2I,s 22,s 23,s 54. s I,si I9,s 6,g J Mede ta Mitte Anmärkningar Bernerkungen Ta 24 m. Kiefer 24 m. I,7 I,I + I,, + I,2 + o,6 0,22 Ant. provstammar: ,4 + I,, + 2,7 + I,g + 0,6 + 0,30 Anzah der Probestämme. + 0,6 + I,4 + 3,4 + 3,o + I,3 + o,g ,o + 7,4 + 6,g + 3,s + I,so Basformkass: 0, ,7 + I4,3 + I9, + 2I,3 + I 9,,1 + 4,go1Basaformkasse. s,, Ta 20 m. Kiefer zo m. + o,g 0,24 Ant.provstammar: I43 + o,, 0,27 Anzah der Probestämme. + I >3. + 0, I,o> Basformkass: 0,734 + I7,6 + 4,.'J 11Basaformkasse. Ta x6 m. Kiefer r6 m. + 0,23 Ant.provstammar: 256 o, n Anzah der Probestämme. + 0,62 + I,I6 Basformkass: 0,739 Basaformkasse. + 4,6r Ta 12 m. Kiefer 12 m. O,Io An t. provstammar: ,24 Anzah der Probestäm:Je 0,44 + 1,46 Basformkass: 0,734 Basaformkasse. + 4,76 Ta 8 m. Kiefer 8 m. o,ro An t. provstammar: I 72 o,og Anzah der Probestämme. o, 4, ~ 1, g Basformkass : o,7n. + 4 Basaformkasse.,3I[ Ta 4 m. Kiefer 4 m. + 0,73 An t. provstam mar: I 68 0,48 Anzah der Probestämme. + 0,33 o,os Basformkass: 0,633 i Basaformk1 ass e. + 2,go

13 196 SVEN PETRINI Det vore opraktiskt att från början införa stora och okontroerbara variationer i resutaten, som därigenom kunde adees äventyras. Jag anser det såedes vara tämigen sjävkart, att närmeformen bör prövas på vedkroppen enbart och att rotansväningen bör eimineras. Kan man därvid få fram några säkra resutat, är det sedan möjigt att modifiera dessa genom införandet av de från början uteämnade faktorerna.. Det är då troigt, att modifikationerna endast kunna få en oka tiämpning, under det att huvudformen får en större amängitighet. Med anedning av de goda överensstämmeser med det naturiga materiaet som de i Tabe 5 framagda resutaten visa för. såvä PETTER SONs stamkurvekombination som för TIRENS och BEHRES ekvationer, har jag ansett det vara av intresse att även undersöka noggrannheten av de närmeformer, som kunna konstrueras med hjäp av dessa funktioner under samma förutsättningar, som ågo ti grund för utarbetandet av närmeformen enigt HöJERs ekvation. Formerna skoa gäa inom ett formkassområde, där de naturiga stammarna vanigast uppträda, och jag utgår därför ifrån att de skoa ge exakt resutat för formkass o,6o och formkass o, 70, då resp. funktion antages gäa för stamkurvans hea föropp. Med HöJERs ekvation får närmeformen utseendet VI = 0,73 go, 34 H, och man behöver känna grundytan vid 34 % från basen samt trädets ängd, för att kunna beräkna voymen. Enigt den metod som framagts i förf:s tyska avhanding (1926) sättes vid beräkningen av närmeformen. resp. ekvationers voymsformer ika med r.x. gz H för formkasserna o,6o och o, 70, varvid tvenne ekvationer erhåas för bestämmande av konstanten a och mätpunkten z. d. Fö'r BEHRES ekvation är= och voymen enigt LANGSJETER (1927) D a+ b W= r.:dz. H 4 b2 Närmeformen har utseendet [ 2 a r r.. og+ bm a r.:dz. z2 VI= agxh, och gx =, 4 (a + bz) 2. då z räknas från toppen och i procent av stammens höjd H. För formkass o,6o är a= o,6667 och b= o,3333, för formkass o,7o äro motsvarande värden o, 4 z86 och o,57i4. Om Vr sättes = fif! för de två nämnda formkasserna erhåas tvenne ekvationer:

14 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING A V TRÄD 197 Efter division och rotutdragning är ' = I,0940I o,4z86 + o, ,3333 z 0,5714 z Sättes z = o,678 erhåer bråket värdet I,o9399 Måttstäet kan såunda sättas vid 32,2 % från marken. Insättes värdet på z bir a= o,699z, viket värde ämpigen avrundas ti o, 7o. Fiir TIR:ENs ekvation stäer sig anaysen på föjande sätt. 7r J.;z_ I.;z+ I Voymen är W= ;.; (og 2.; + 2 M 2 ),.; z M og ;:}, och radien är y = og (x +V I + x 2 ). Närrueformen ger voymen VI = a 11: r. 2 H, då H är = x6. För. formkass o,7o är xb = 4,430 och.; = 8,97147, för formkass o,6o är xb = I 18I9 och.; = 3, Radien vid måttstäet z är Yz =og (4,43 z+ V I + 19,6249 z 2 ), då formkassen är o,7o, och för formkassen o,6o r z = og ( I,Si9 z + V r + 3,3o876 z 2 ). Då vi iksom förut sätta W= VI för de båda nämnda formkasserna, och dividera ekvationerna, bir efter rotutdragning og (4,43 z+ V I+ I9,6249 z 2 ) ::~;======::::;: = I og (I,8I9 z+ V I + 3,3088 z 2 ) För z = o,66z bir bråkets värde = I,764o och för z = o,663 erhåes I,76Iz, varför värdet på z antages vara o,663, då mätstäet är beäget vid 33,7 % från basen. På samma sätt som förut bestämmes a ti o,717. Ä ven för PETTERSONs kurvekom birration för taen kan en närrueforme beräknas. För översta deen av stamkurvan, från origo ti x = 4, använder PETTERSON ekvationen y = 2 og (r + : ), där vi åta y betyda diametern. För de ängre bort från origo beägna dearna av kurvan gäer ekvationen y og x. Trädets topp befinner sig i origo. Trädets voym W sammansättes av tvenne dear, av vika toppvoymen är konstant, då vi räkna i koordinatsystemets måttenheter. Kaas toppdeens voym W 1 så är För underättande av integrationen skriva vi u = r + ~. då 4 I =. dx = 4 du. 4 o du dx

15 198 SVEN PETRINI Integrationsgränserna ändras, då vi införa u 1 stäet för x, så att när x= o bir u = I, och då x = 4 är u = 2. Såedes bir 2 2 W 1 = 4 7f.W 2 J og 2 11 du = 4 7rM 2 J u [(eog 11 7r f y2 11:M2f På samma sätt beräknas W 2 = 4 dx = 4 og 2 x dx. 4 Efter integrationens genomförande fås.xb 11: M 2 {. [(og xb 0, ) 2 J. W2 = Xb 4 0, Trädets voym W är ika med summan av W, och W 21 11:. ger voymen V, = a. x 6 [og zx 6]>. 4.xb + I. 4, J och närmeformen För formkass o,6o bir, då trädets topp igger i origo, x 6 = 5,6569 och för formkass o,7o x 6 = IO,o794. Med användande av resp. x6värden sätta vi V 1 = W 1 + W 2 för formkasserna o,6o och o,7o, varefter på vanigt sätt erhåes a [og 5,6569 z]>= { a. [og I o,o794 z]> = 0, Divisionen ger oss efter rotutdragning og I o,o794 z og 5,6569 z Insättes här z = o,683, får bråket värdet I 14z 74, och för z = o,684 bir det I,4z69. Måttstäet kan såunda föräggas vid 3I,6% från basen i detta fa. Konstanten a öses ur ekvationerna ti o,687 De erhåna närmeformerna kunna ämpigen prövas på det av PETTER SON framagda tamateriaet. Rätta värdet på voymen kan sättas = det värde som erhåes vid I m:s sektionering av diametermåtten, varvid dock är att märka, att de kortaste träden biva för ågt kuberade (Jmfr PETRINI, 1928). Då det gäer att förskaffa sig diametervärdena för de resp. närmeformernas måttstäen, kunna två oika förfaringssätt komma i betraktande. Det enkaste är otviveaktigt att ägga upp medestammarna grafiskt och jämna ut kurvorna mean de på I m:s avstånd beägna kända punkterna. Emeertid kan det befaras, att härvid något subjektivt fe kan insmyga sig, och det vore därför bättre att räkna ut.värdena efter någon objektiv metod, i viket fa man också kan skaffa sig mera än en säker decima. Jag har ansett det vara av ett visst intresse att här jämföra resutaten

16 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD 199 av de oika förfaringssätten. Då det gäer stamkurvor för enskida stammar i fa som det föreiggande, bir stammens avsmaning ej säkert bestämd i de enskida mätpunkterna. Det stäer sig därför mera praktiskt att begagna den grafiska metoden för utjämning, då man genom att taga hänsyn ti ett ~erta punkter i föjd ofta torde kunna påräkna en säkrare utjämning än med matematiskt beräknade värden mean tvenne näriggande punkter. Vidare måste man då det rör sig om enskida stammar atid undersöka ett stort anta, varför de beräkningar som skoa utföras för var och en måste begränsas. Då det nu däremot endast är fråga om 6 medestammar, kan det öna sig att göra ti och med ganska omständiga beräkningar, och de skinader som framkomma vid jämföresen kunna bi av vägedande betydese genom att underätta bedömandet av den grafiska metodens tiföritighet. Jag har därför förfarit på så sätt, att jag först grafiskt agt upp PET TERSONs medevärden på avsmaningen inom de oika höjdkasserna och för samtiga tidigare beräknade måttstäen för de oika närrueformerna aväst resp. diametervärden. Därefter har jag för de fem viktigaste former som ingå i undersökningen matematiskt beräknat samma diametervärden. Härvid har jag i varje fa utgått ifrån de två av grundmateriaets måttstäen mean vika samtiga närrueformers mätpunkter infaa. Utjämningen har i ett enda fa behövt utsträckas ti 2 m, för aa övriga medestammar är det mean två näriggande punkter på I m:s inbördes avstånd som denna matematiska beräkning begränsats. Uträkningen har verkstäts med hjäp av funktionen y = og x med trädets topp föragd i origo. Föregående undersökningar ha visat, att denna funktion synnerigen vä ansuter sig ti tastammen, och jag har ansett denna kurva vara den påitigaste för de dear av stammen omkring 1 / 3 från roten som det här är fråga om. Vid måttstäet 34 % från roten erhöos föjande värden: Trädängd 24 m Grafisk utjämning... I I0,7 5 Beräknad diameter... I 10,77 20 m I I I,6 III,55 16 m I 10,8 I ro, 7 s 12 m För de övriga närrueformernas mätpunkter stäer det sig på iknande sätt. Överensstämmesen är i amänhet mycket god för de ängre träden. För de två kortaste ängderna uppträda däremot ätt fe, och dessa gå samtiga i sådan riktning, att man ti synes på dessa småträd riskerar att med grafisk. utjämning få för åga diametervärden. Detta torde sammanhänga med att I m:s avstånd mean måttstäena bir ångt i reativt mått, då stammen är kort, varför man vid en grafisk utjämning gör kurvan atför fack.

17 200 SVEN PETRINI Då samtiga former avse vedkroppen utan rotansväning, bör medestammarnas rotansväning eimineras. Detta har utförts med användning av PETTERSONs värden för de tre nedersta sektionsmåtten i fråga om 24 m:s och 2o m:s träden, för de två nedersta måtten i fråga om 16 m:s trädet och för det nedersta måttstäet för r 2 m:s. trädet. Å 8 och 4 m:s träden har ingen rotansväning ansetts böra fråndragas. Voymen av rotansväningsvirket utgör, då det beräknas på nyss angivet sätt, för 24 m:s trädet 2,7 %, för 20 m:s trädet 3,o %, för r6 m:s trädet 2,o % och för 12 m:s trädet r,s % av resp. medeträds totaa voym inom bark. I Tabe 6 meddeas resutaten av de utförda kuberingarna. Under varje forme anges differensen mean kuberingsresutatet med formen och med r m:ssektioneringen i procent av det senare värdet. Under a är detta uträknat med rotansväningen fråndragen, under b har totaa voymen medtagits, inkusive rotansväningen. Siffrorna inom parentes avse grafiskt utjämnade diametervärden, de övriga äro beräknade på ovan angivet sätt. Förutom de ovannämnda närrueformerna ha även prövats den av förf. (1926) enigt parabooidekvationen beräknade och den samtidigt för JONSONs taekvation häredda samt HOSSFELDS gama forme. De sju använda formerna äro såedes: Forme : PETRINI en!. HöJERs ekvation: VI= 0,73go,34 H Forme II: ))» TIRENS )) VI = 0,7 I 7 g0,?;37h Forme III: )) )) BEHRES VI= 0,7og0, 3,H 25 Forme IV: )) parabooidekvationen: VI= go'jj H )) 32, Forme V: HossFELD» )) VI= 3/4gih H Forme VI: PETRINI )) PE'J:'TERSONS stamkurvekombination: VI= 0,687 g0, 3, 6H Forme VII: ))» J ONSONS modifierade taekvation: V= 0,71 go,?/3 H Det bör observeras, att samtiga måttstäen igga mycket ~ära tredjedeen av stamängden från basen räknat, och att det atså huvudsakigen är konstanten a som bir oika för de oika funktionerna. Enigt av förf. verkstäd utredning (r928) ger sektionsmätning vid kubering så gott som atid för ågt resutat. Med så många sektioner som här kommit ti användning för de ängre träden spea dessa fe ingen nämnvärd ro, men f~r 4 m:s trädet finnes det i varje fa anedning att taga hänsyn härti. Med formkass o, 6 3 och 4 sektioner skue feet uppgå ti ungefär 0,7 %, och rätteigen böra atså differenserna i Tabe 6minskas

18 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD 201 Tabe 6. Prövning av närmeformer för kubering. a == utan rotansväning, b = med rotansväning. Priifung der Nährungsformen fiir Kubierung. a = ohne Wurzeanauf, b = mit Wurzeanauf. Stamängd m Stammänge m Differens i % av I m:ssektionerad voym Differenz in % von dem mit I m angen sektionen erhatenen Votumen. Forme I a Forme II b a b I I Forme III a b I I Forme IV o,8(r,a) 3,s 2,3(2,4) 4,8 2,8(2,9) 5.4 ( + 3,s) ( + o,s) o,s( +o,9) 2,2 o,6(o,4) 3,s o,9 (o,7) 3.9 ( + 4,9) (+ I,8) r6... +o,4( +o,4) 1,6 r,o(r,o) J,o r,s (r,6) 3,4 ( + 4,s) ( + 2,s)' r o,s(+o,8) 1,3 o,9(o,7) 2,7 1,4(I,z) 3,, ( + s,,j r+ 3,z) J(+r,8) +I,o.(+o,3) +o,9(+o,s) ( + 4,6) ,3(+r,9) +r,,(+o,9)1 II+I,s(+r,,) ~I ( + s,s) stamängd m Stammänge m Differens i % av I m:ssektionerad voym Differenz in % von dem mit 1 m angen Sektionen erhatenen Vournen a Forme V b~ Forme VI a b a Forme VII ( + 2,4) (o,3) 4,o ( 4,o) 6,s 2,4 ( 2,s) s,o ( + 4,s) ( + I,s) 2,o( I,9) s,o o,4 ( o,s) 3,q r6... ( + 4,,) ( + 2,o) 2,6 (2,6) 4,5,I ( I,z) 3,o I ( + 4.4) ( + 2,5) 2,5 ( 2,o)! 4,2 I,o ( 0,7) 2,] 8... ( + s,,j + o,o ( 0,3) +r,,(+ o,4) 4... ( + 6,3) I+ I,, ( + o,s), I+ I,6(+ I,z) med detta beopp. Därigenom nedgå feen för 4 m:s trädet ti + 1,6 % för Forme I, + 0,4 % för Forme II, + r,r % för Forme III etc. Jämföra vi i Tabe 6 de på grundvaen av grafiskt uttagna diametervärden (inom parentes) uträknade voymdifferenserna med dem som beräknats efter funktionen y = og z, framgår det att man genomgående har fått ägre voym i fråga om de korta träden, då det grafiska förfaringssättet kommit ti användning. För de ängre träden däremot innebär den direkta grafiska diameterutjämningen ingen risk, då variationerna des biva små och des gå än åt positiva än åt negativa sidan. Den observation som därnäst är att göra, gäer rotansväningen. Det var a priori tydigt, att de båda parabooidformerna borde ge för höga värden för stamkroppen, då denna är befriad från rotansväning. Anedningen ti att dessa former det oaktat medtagits i undersökningen var den, att man möjigen kunde vänta sig en kompensation av rotansväningen hos de ängre träden. Detta synes här vara faet endast i fråga om 24 m:s trädet. För övrigt erhåas genomgående atför höga värden, även då rotansväningsvirket medräknas. Förväntningarna i detta av I4. Meddd..fdbt Statens Skogsförsöksanstat. Häft. 24. a b b

19 202 SVEN PETRINI seende ha såunda ej infriats, och därmed förfaer det skä som kunde förefinnas för användning av parabooidekvationen. Beträffande de övriga fem formerna kan man icke vänta sig att rotansväningen ska kunna medräknas utan att ett för ågt kuberingsresutat ska bi föjden. Då rotansväningen eiminerats, ger Forme I synnerigen goda överensstämmeser utom i fråga om de korta träden, där ett något för högt resutat erhåes. De korta träden måste emeertid anses vara mätta med mindre säkerhetsgrad än de övriga, och för att kargöra huru noggrann formen är för kubering i detta fa erfordras särskida undersökningar, varvid täta mått böra tagas, så att verkigt påitiga värden på trädvoymerna kunna erhåas. Lämna vi de korta träden (under ro m) ur räkningen, har Forme I visat sig vara de andra formerna tydigt överägsen. Samtiga former utom denna ha givit genomgående för åga värden på den från rotansväning befriade tastammen under bark. Då nu de undersökningar, som verk stäts med Forme I på enskida stammar och ti vika vi senare återkomma, visa, att man även med Forme I snarare riskerar negativa än positiva avvikeser vid kubering av taen, finnes det atså ingen anedning att byta ut Forme I mot någon av de andra, då det gäer detta trädsag. Vi man söka en förkaring ti feens tecken för Forme I, finnas tre faktorer att taga hänsyn ti. En av dem är det förhåandet, att HöJERs ekvation genomgående ger något för fyiga toppsektioner för taen, viket verkar i riktning mot ett positivt fe vid kubering efter Forme I. Om sedan den aktuea stamkurvan uppvisar en oka insvängning eer utbuktning vid måttstäet, ger detta en tendens ti negativt resp. positivt fe. sutigen beror det erhåna feet på trädets formkass, tyäven om stamkroppen exakt föjer HöJERs. ekvation, stämmer formen exakt endast för formkass o,6o och formkass o,7o. Se vi exempevis på medeträdet av 24 m:s ängd, hade vi att vänta ett negativt fe av nära 1, 7 %, beroende på att formkassvärdet igger nära o, 7 s, för viken formkass detta fevärde gäer. Vidare är stamkurvan vid måttstäet (Se Tabe 5) något smäckrare än den enigt HöJERS ekvation skue vara, varför man kunde vänta sig ett större negativt fe än 1,7 %. Emeertid kompenseras detta devis av att HöJERs ekvation ger toppen fyigare dimensioner, varför det resuterande kuberingsfeet bir o, s %. Det är givet, att såvä gynnsamma som ogynnsamma kombinationer uppträda i naturen, och det är därför endast genom tarika exempe möjigt att skaffa sig en uppfattning om huru formen verkar. I avdening III av detta arbete ska meddeas siffror över vika variationer som erhåits vid de på enskida stammar utförda prövningarna av Forme I.

20 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING A V TRÄD 203 II. Grafisk häredning av Forme I. Sedan förf. pubicerat den i föregående avdening av detta arbete behandade Forme I, framkom i den norska fackpressen år rgz6 en avhanding av SKINNEMOEN, devis behandande samma frågor, dock endast med användande av parabooidekvationen vid beräkningarna. Vidare har ÖsTLIND (I gz6) i en avhanding upptagit dessa probem och därvid utveckat vissa nya synpunkter, begagnande sig av HöJERS ekvation såsom grundva för sina beräkningar. Båda de nyssnämnda arbetena beröra emeertid företrädesvis tiväxtprocentens bestämmande, varför de förbigås i detta sammanhang. En. särskid uppmärksamhet fordrar emeertid ERIK LöNNROTHs avhanding av år 1927 i Acta ForestaHa Fennica, då denne författare. Fig. I. Kurvan y = og x (efter PETTERSON). Die Kurve y= og x (nach PETTERSON). direkt syssesätter sig med kuberingsformerna. För enkehets sku begagnar jag mig här av LöNNROTHs beteckningar. LöNNROTH, som vid sina beräkningar utesutande använder stamekvationen för parabooiderna, har föjande probemstäning. Kuberingsformen skrives Vr = Fa Go. H, där H är totaa ängden, a Ga är grundytan vid måttstäet a, da a = a H och a mätes nedifrån basen. Fa är formta~t, d. v. s. den konstant, varmed produkten Go. H ska mutipiceras för att voymen ska erhåas. Fa bir oika inom oika formkasser och för oika värden på a. Om man såedes på förhand bestämmer sig för ett visst måttstäe, i reativt mått ika beäget på aa stammar, kan man räkna ut Pa inom de oika formkasserna, och genom att fixera genomsnittsvärden på formtaet, F o.k, kan man kon struera hur många kuberingsformer som hest,. gäande för oika mått.

21 204 SVEN PETRINI stäen. Dessa former kunna därefter prövas på verkiga stammar, och därmed får man besked om vika som äro de bästa band försagen. Det är tydigt att ett mycket stort och vä kontroerat materia behövs för att man ska kunna våga draga några sutsatser av de praktiska proven. LöNNROTH har emeertid använt sig av endast 24 (tjugofyra) taprovstammar, vika äro uppmätta i enmeters sektioner på bark, och om \'ika uppgift saknas angående vika. formkasser de tihöra. Då det kan anses vara av intresse att genomföra en anays av faktorn F a för oika värden på a då HöJERs ekvation antages gäa, har j.ag utfört dyika beräkningar, vikas resutat framgå av fig. 2 och tabe 7 En forme för Fa angives nedan med begagnande av samma beteckningar som i det föregående (jfr fig. r). Stammens ängd är=.r6 r.. ~ och basdiametern är= og.rb. Såedes är basgrundytan Go = ~ (og.rb) 2 4 ~ och grundytan vid måttstäet a är Ga = ~ (og (.r 6 a)r. Då a =. 4 = a(.r 6 1), W= Go H.Fo och närrueformens voym Vr = GaH.Fa, bir atså, då Vr sättes ika med W: Fo. (og.rb) 2 F=~~~ a [og {.r b a (.rb r)}j> Fo, d. v. s. absouta formtaet, jämte motsvarande värden på.rb finnes angivet för vissa formkasser i tabe 3. Med användande av ovanstående forme ha siffrorna i tabe 7 uträknats. Härvid behövde ett par hjäptabeer upprättas för underättande av räkningarna. Dessa hjäptabeer förbigås här. Tabe 7. Värdet af Fa för oika måttstäen. HöJERs ekvation. Fa bei verschiedenen Diametermessungssteen. HöJERS Geichung. ~~,:,~~s~!s......~o,ss o,6o o,6s j. o,7o 0,75 o,so a= 0,1:.... 0,438 o,466 0,498 0,535 0,578 a = '/s.... 0,534 o,ssx 0,573 o,6oo 0,634 a = '/ o,s96 o,6os o,6ig o,64o 0,668 a= 0,3.... o,671 o,669 0,674. 0,686 O,JOJ a= 'h.... o,73o O,JI9 o,7r7 0,]22 0,736 a= 0, ,743 0,]30 0,]26 o,73o 0,]42 a= 0, ,878 o,s43 0,820 o,sos o,8o6 o,63o o,6n 0,705 0, o 0,]65 o,srs Vid en grafisk uppäggning av värdena framgår det tydigt vika måttstäen man har att väja på, då man vi sammanföra fera formkasser under en gemensam forme (se fig. 2). Vid de måttstäen som igga

22 EN N ARMEFORMEL FÖR KUBERING A V TRAD 205 'P= O.oo '{JoQ65.P=080 '{Jo0.70 '{J=07S? / / / O.<,OL;0,'.IO,Q;;.LI5;:;0.LI1.0:Q.L.2_5 ::0,.L..:\OY:'3 ':0,.1.35~ '< >(X Fig. 2. Fa för oika måttstäen och formkasser (HÖJERS ekvation). F a fiirverschiedene :i\iessungssteen und Formkassen thöjers Geichung).

23 206 SVEN PETRINI nära basen är spridningen mycket stor inom samtiga formkasser. Vid a = 0,3 finna vi en koncentration av de ägsta formkasserna omkring ett värde på F a a v ungefär o, 6 7, och de högsta formkasserna då hänsyn ej tages ti:u o,so uppvisa en motsvarande koncentration omkring värdet Fa = o, 78 vid en mätpunkt beägen något ägre än vid 38 % från basen. Redan härav är det tydigt att den ämpigaste mätpunkten ska vara beägen ungefår vid en tredjede av stamängden nedifrån. Undersökes saken närmare, visar det sig att 34 % nedifrån är ett något bättre måttstäe, då man inriktar sig på att få bästa möjiga resutat för meanformkasserna. skinaden mean a= 0,34 och a= 1 /3 är dock ej av nämnvärd betydese. Den efter LöNNROTHs metod utförda undersökningen ger såunda såsom var att vänta samma resutat som min matematiska anays i Tharandter forst. Jahrbuch Men LöNNROTHs metod är betydigt arbetsammare, och jag måste dessutom anse, att den av mig använda uppstäningen ger ett mera generet grepp på probemet, om man avser att häreda den noggrannaste formen i varje särskit fa. III. Prövning av närmeformen på enskida stammar. Det återstår nu att pröva närmeformen för kubering av enskida stammar för att variationerna skoa kunna karäggas. Härvid inskränka vi oss i detta sammanhang ti att undersöka noggrannheten vid kubering av taen. LöNNROTH (1927) har på 11ina tjugofyra tastammar jämte en mängd andra kuberingsformer prövat även den ifrågavarande och funnit att den ger så dåiga resutat, att han ej tvekar att förkara den vara missyckad. Det är då att märka, att frånsett att prövningsmateriaet är för itet kuberingarna ha verkstäts på bark och att rotansväningen ingår i den sektionerade kubikmassan men ej i den voym som anges av formen. Det är under sådana förhåanden sjävkart, att formen ska ge avsevärt för åga resutat, då såvä den grova tabarken i de nedre stampartier~a som även rotansväningen förstora den sektionsmätta voymen. Samtiga prövningar av formen som verkstäts av förf. hänföra sig ti voymen utan bark. Vid mätning å enskida stammar är det emeertid synnerigen arbetskrävande att utföra reduktion för rotansväning, varvid avsmaningskurvan för varje stam måste utjämnas. Detta har. skett endast i fråga om ett bestånd, nämigen försöksytan 473 i Västerbotten. De år 1918 utfäda 53 provstammarna å denna yta hade näm

24 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING A V TRÄD 207 igen år I92 I bivit uppagda grafiskt och rotansväningen hade eiminerats för materiaets användning vid en föregående undersökning (jfr PETRINI I92I). För erhåande av grundvoymen av stammarna, befriade från rotansväning, ha de resp. stamkurvorna indeats i 10 ika ånga sektioner, vika kuberats efter det avästa diametervärdet vid mitten av varje sektion. Enigt förf. (1928) reduceras därvid kuberingsfeet ti en negigeabe kvantitet. Diametervärdet för varje stam vid 34 % av ängden nedifrån har ikaedes avästs på de uppritade stamkurvorna, varefter kubering enigt närmefor'\en har bivit utförd. Voymdifferenserna ha uträknats i procent av den sektionsmätta voymen. Det övriga materiaet som kommit ti användning utgöres av sammanagt 226 I m:s sektionerade taprovstammar, fäda vid I925 års revisioner å sex försöksytor, beägna i vitt skida dear av andet. Å dessa träd har diametern vid 34 % nedifrån kavats i skogen, varvid barken fråndragits sedan den bivit uppmätt med skogsförsöksanstatens barkmätare (se fig. 3, PETRINI 1921). Grundvoymen, med viken för varje träd den genom närmeformen erhåna voymen har jämförts, utgöres direkt av den med I m:s sektioner mätta voymen under bark. I dessa siffror ingår atså rotansväning, varför man har anedning vänta sig ett systematiskt negativt fe med formen. De erhåna siffrorna äro framagda i. tabe 8 nedan. Tabe 8. Prövning av närmeformen på tastammar. Priifung der Näherungsforme auf Kiefernstämmen. Yta Nr V ersuchfäche Nr Beägenhet Lage Åder Ater Jahre Anta Systema prov tiskt fe stammar i % Anzah Systemader Pro tischer bestämme Feher in % Medefe per stam i % Mitterer Feher in% Beräknat medefe för medetaet i % Mitterer F eher fiir den Mittewert Götaströ m, Småand 28: IIII... Grön bo, Västmanand 3 : II Lappand... 3:III...,... 3: IV... >>.... S: IIIII.. Jämtand Västerbotten... 6o so ,74 1,64 2JI9 2,23 3,42 4,49 + o,or ± ,r8 + 4,58 ± 3,43 + 3,38 ± s,29 ± 3 4' 0,97 0,66 o,6s 0,63 0,62 + 0,84 ± 0,47 Vid beräkningen av medefeet för den enskida stammen har det systematiska feet eiminerats. I genomsnitt för hea materiaet erhåes medefeet = + 4,38 %. Det i samtiga fa utom i fråga om ytan 473 uppträdande systematiska negativa feet torde få anses bero på rotansväningen, och detta styrkes synnerigen kraftigt därav, att en så utomordentigt god baans

25 208 SVEN PETRINI mean de pos1t1va och de negativa feen inträder för provstamsmateriaet från ytan 473, där rotansväningen eiminerats. De utförda undersökningarna synas atså ge vid handen att goda mätningsresutat stå att vinna med den nya formen, då rotansväningen ämnas ur räkningen. Medefeet för en enskid stam är ganska ågt, varför feet på medetaet snabbt reduceras med 'växande stamantal Emeertid får man icke gömma:, att det kan finnas beståndstyper, där systematiska fe uppträda, beroende på att stamkurvans föropp avviker från den ogaritmiska funktionen. Det är såunda knappast troigt att hea det ti 4,5 % uppgående systematiska feet hos stammarna från försöksytan 5 får skyas på rotansväningens inverkan. Enigt vad PETTERSONs materia synes giva vid handen skue rotansväningen vid 1 m:s sektionering ej förstora voymen med mera än högst 3 %, och då det här rör sig om för norrandsförhåanden ung skog, är det föga sannoikt att rotansväningen uppgår ti särskit höga beopp. Resutaten å såvä denna yta som å ytan 3 tyda därför på att då dyika avvikeser från den förutsatta funktionen förekomma bir resutatet av närmeformen gärna något för ågt. Någon anedning att söka korrigera formen genom höjning av konstanten föreigger dock ej med edning av de vid undersökningen vunna resutaten. Såsom redan förut har understrukits kräves det ett mycket stort materia för att man ska kunna känna sig. säker på huru formen verkar på enskida träd. Här föreigger nu en undersökning som omfattar bortåt 300 träd, och de resutat som framgå därav, sedda i sammanhang med de föregående prövningarna på medeträden, för vikas beräknande använts mer än r ooo stammar, torde böra timätas en viss beviskraft. Därvid framträder som en svaghet, att rotansväningen ej kontroerats för fem av de undersökta ytorna. För den sjätte ytan 473 där ansväningen eiminerats, har emeertid en utomordentig god noggrannhet uppnåtts. Variationerna för de enskida stamrnarna får ej sägas vara avskräckande. Sedan de systematiska avvikeserna eiminerats igger medevariationen som förut nämnts föga högre än 4 %. Formen torde därför vara vä användbar för en de ändamå, särskit då det gäer att på ett ättvindigt sätt kubera fåcia träd, men även för att utföra tiväxtprocentundersökningar. I det senare faet behöver det ej förutsättas att formkassen varit konstant under hea den tid som undersökningen omfattar, utan endast att förändringarna under var och en av de använda deperioderna varit. så små att de kunna försummas. En de undersökningar av formens noggrannhet för dyika ändarnå ha utförts av TIREN ( 1926).

26 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD 209 En fråga som återstår att besvara gäer emeertid närmeformens användbarhet för kubering av korta träd.. Vid den prövning, som verkstädes å PETTERSONs medestammar, visade det sig, att formen gav högre värden än sektionskuberingen för de korta trädängderna, i fråga om vika det förutsattes att ingen rotansväning kom med i voymberäkningen då I m ånga sektioner användes. Vidare gav den i detta sammanhang utförda prövningen av grafisk utjämning av diametrarna i jämförese med matematiskt utförd interpoation enigt ekvationen y = og x det resutatet, att den.grafiska utjämningen vi bi behäftad med ett systematiskt negativt fe för trädängderna under IO m, beroende på att mått som tagits med I m:s. meanrum komma att igga reativt sett atför gest, då den totaa trädängden är iten. Sutigen påverkas sektionskuberingens noggrannhet mycket ofördeaktigt av att sektionernas anta är itet, varvid ett avsevärt negativt fe uppstår vid beräkning av grundvoym en. På grund av aa dessa ogynnsamma omständigheter är det en mycket otacksam uppgift att med hjäp av skogsförsöksanstatens kortare provstammar söka karägga den uppstäda frågan. I stäet framträder behovet av ett på särskit noggrant sätt uppmätt undersökningsmateria vid vars insamande även ett diametermått för närmekubering bivit taget ute i skogen. I sjäva verket föreigger ett aktuet behov av en dyik undersökning, som ej får göras i atför iten skaa. Vid kuberingen av försöksytorna är det atid svårt att beräkna de minsta trädens kubiktnassa, exempevis då det gäer granunderväxten i ett bestånd av annat trädsag. Man kan icke fäa provstammar utan att göra sådana ingrepp som ej äro önskvärda, och en mätning på de stående småträden stäer sig för kostsam i förhåande ti betydesen av den kubikmassa det gäer att uppskatta, såvida icke en enke och tiräckigt noggrann metod kan utarbetas. Å andra sidan kan man icke frångå kravet på att en uppskattning göres. även av de små stammarnas voym. Det är därför önskigt att en undersökning en gång för aa utföres för dessa smådimensioner, så att goda erfarenhetsta kunna åstadkommas. Det är högst troigt, att dessa småträd i medeta icke variera avsevärt från vissa standardvärden, men vid en undersökning bör man naturigtvis från början särskija materiaet så att exempevis åderns och beståndsformens infytande kunna studeras. Resutatet kan tänkas komma att föreigga i form av kuberingsta efter brösthöjdsdiameter och höjd, såsom en serie formhöjds eer formkassvärden eer också som en enke kuberingsforme av något sag.

27 210 SVEN PETRINI Då en undersökning av detta sag troigen kommer att utföras inom ej atför ång tid, torde vid detta tifäe även en prövning av huru det stäer sig med.mätning vid r/3 av stamängden vara på sin pats, och det finnes såedes anedning att tis dess uppskjuta bedbmandet av denna fråga. J ag vi därför inskränka mig ti att anföra de siffror varti jag kommit vid ett prov med närmeformen på provstamsmateri.aet från en enda yta i taungskog, nämigen försöksytan 470, beägen nära Lycksee i Lappand. Ytan 470 är utagd år I9I8 i soårig, <sjävsådd, vä suten taskog å avrik, torr mark av ungefär Bon. VII. Ett anta av 24 st. provstammar med en aritmetisk medeängd av 8,3 m bevo år 1924 I m:ssektionerade, och förutom de ordinarie sektionsmåtten har diametern. på och under bark även mätts vid o,zs, 0,75, I,o, 2,o och 3,o meter från roten. Tack vare dessa täta mått i nedre dearna av stammen är det ingen svårighet att grafiskt utjämna. stamkurvan så högt upp som ti en tredjede av dess ängd nedifrån, och den förut konstaterade tendensen ti för åga diametervärden vid den grafiska metodens användning för de korta träden bortfaer. Däremot bir den utjämnade stamkurvan osäker i toppsektionerna, varför en formkassbestämning stäer sig osäker iksr>m även en sektionskubering medest kurvans uppdeande i IO ika ånga sektioner. Grundvoymen har därför utan någon ändring satts ika med resutatet av den på marken utförda enmeterssektioneringen, viken på grund av att sektionerna äro få ti antaet tydigen måste vara behäftad med ett negativt fe, om också med ett reativt obetydigt sådant.. I genomsnitt för samtiga 24 stammar gav närmeformen o, 74 % högre kubikmassa än 1 m:ssektioneringen. Feet vid sektionsmätningen kan i varje fa förmodas ha uppgått ti så mycket att endast o, 5 % bör räknas vara avvikesen för formen. Sedan den genomsnittiga avvikesen eiminerats uppgår medefeet för enskid stam ti ± 4,47 %. Resutatet av kuberingen med närmeformen måste sägas vara mycket noggrant, fastän det här rör sig om korta träd. Emeertid finnes det anedning tro, att stamkurvan hos norrandsta bättre än hos taen söderut föjer HöJERs ekvation, och dessutom är resutatet från ett enda bestånd naturigtvis bott att anse såsom ett exempe, viket ej i och för sig är. beviskraftigt men som dock ger ett stöd, då det visar möjigheten av att kubera även smådimensionerna tifredsstäande med hjäp av närmeformen.

28 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD 211 En kort sammanfattning av de viktigaste praktiska reutat som framgått av de utförda undersökningarna skue kunna formueras på föjande sätt. HöJERs ekvation är icke den bästa stamkurvefunktionen för taen, och då det gäer aptering eer i övrigt uppskattning av stammens dimensioner på oika höjd över marken, böra here PETTERSONs eer TIRENs avsvmaningsfunktioner begagnas. För kuberingsändamå kan dock även den oförändrade Hö JERS ekvation göra god tjänst, och den närmeforme, som konstruerats med hjäp av denna, synes ti och med ge bättre resutat än dem som erhåas med former vika deducerats efter de andra prövade stamkurvefunktionerna. Litteraturförteckning. M = Meddeanden från Statens skogsförsöksanstat Skf = Svenska skogsvårdsföreningens tidskrift. BEHRE, C. EDWARD, Preiminary notes on studies of tree form. Journa of Forestry., FormCass Taper Curves and Voume Tabes and Their Appication. Journa of Agricutura Research, Vo. 35 No. 8. JoNsoN, ToR, Taxato~iska undersökningar om skogsträdens form. I: Granen. Skf., 19II.» I: Taen » '' III: Formbestämning å stående träd. Skf., stamformprobemet (Das Schaftformprobem). M. LANGSJETER, A., Om granens stammekurve innenfor bark. (Formuas for the taper of trees. Norway spruce inside bark). Meddeeser fra det norske skogfors0ksvesen. LÖNNROTH, ERIK, Uber Stammkubierungsformen. Acta Forestaia Fennica 31. MATTSSON, L., Formkasstudier. (Eine Studie iiber die Formkassen der dichtgeschossenen Kiefernbestände). M. PETRINI, SVEN, Formpunktsmetoden (The method of obtaning the formcass and voume of singe trees by the use of formpoint). M., Stamformsundersökningar. (Stem form investigations). M., Formen fir Stammkubierung. Tharandter forstiches Jahrbuch., sektionskuberingens noggrannhet. (Die Genauigkeit der sektionsweisen Ku bierung). M. PETTERSON, HENRIK, Sambandet mean kronan och stamformen. Skf., Studier över stamformen. (Studien iiber die Stammform). M. N:o 23: SKINNEMO~~N, KNUT A., Samhåndet meem den prosentiske fate og voum0kning hos stammer med forskjeig form og vekst. Tidskrift for Skogbruk. TIREN, LARs, Om en ekvation för stamkurvan. Skf., Formen fiir Stammkubierung. Referat Skf., Ti frågan om tastammens avsmaning och voymberäkning. (To the Question of Tapering and Voume Cacuation of Pine Trunks). M. ÖSTLIND, JosEF, Trädens kubikmassa enigt HöJERs stamkurva. Skf., Trädens kubikmassa och tiväxt enigt HöJERs stamkurva. Skf.

29 212 SVEN PETRI:N"I RESUMEE. Eine Näherungsforme fiir Stammkubierung. Die Formkasse eines Baumstammes wird bestimmt durch das prozentuae Verhätnis zwischen zwei Durchmesserwerten, wovon der erste an der Häfte des Abstandes des zweiten, vom Gipfe aus gerechnet, beegen ist. Gewöhnich wird hier vorausgesetzt, dass dieser zweite Durchmesser an der Basis des Eaumes iegt, und wir rechnen dann mit Basaformkassen. Die Basaformkasse ist bei einem naturichen Baum grösser as die Brusthöhenformkasse, wennr der Wurzearrauf eiminiert wird. Bei einem Parabooid wird die Formkasse imrner geich, wenn man es von der Basis aus abstumpft. Mit HöJERs Stammkurvengeichung erreicht man dagegen Ubereinstimmung mit dem Baumstamm in dieser Hinsicht. In Tabee 4 sind fiir verschiedene Schaftängen die Werte der Brusthöhenformkassen angegeben, weche auftreten, vorausgesetzt dass die HöJER'sche Geichung gtitig ist, und dass die Basaformkasse o,ss, o,6o etc. ist. In dem voriegenden Aufsatz werden fiinf verschiedene Schaftkurvengeichungen besprochen. 1;o: Die Formen der Parabooide: ;. (;), g= ah", wo II den Abstand vom Gipfe zu dem Durchmesser an der Basis D, h den Abstand vom 7r d2 Gipfe zu dem Durchmesser d, g =, J den Formexponent and a eine 4 K anstante b e d eutet. D as V o umen eines soc h en K örpers 1st. V = GH!J + I. d c+ 2:o: Die HöJER'sche Ge1chung: = Cog, wo der Abstand vom D c Gipfe zu d ist, in Prozenten von H ausgedriickt, und C und c Konstanten sind, die fiir jede Formkasse verschiedene Werte bekommen (Tabee III). Die HöJER'sche Geichung kann auch mit den Bezeichnungen PETTERSONs (I925,I926)beschrieben werden, wo in der Funktiony=ogxydenDurchmesser bedeutet und der Gipfe des Eaumes in dem Punkt x = I beegen ist. Die Formkasse ist dann durch die Basaabszisse X 0 definiert, denn D = X 0 + I og xb + I (J 2 =og x 0 und a= og 2, aso die Formkasse!p= D== og X 0 Das Voumen.eines HÖJER'schen Körpers ist W= GHF, wo F die absoute Formzah bedeutet. Nach ÖsTLIND (I925) ist 3:o: :_ Xf> ( 0, ) I ( o) F I + 2 xb I og X 0 2 og X 0 PETTERSON (1926).hat fiir die Kiefer eine Stammkurvenkombination aufgestet, wo der Gipfe des Eaumes in den Ursprung (x = o, y = o) veregt worden ist, und die obersten Partien der Stammkurve von x = o bis x = 4 durch die Geichung y = 2 og (I + ~), die iibrigen von x = 4 ~is

30 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD 213 x ; oo durch die Geichung y = og x repräsentiert werden. Eine Voumenforme kann man auch aus dieser Kurvenkombination erhaten, nämich W= = w + ~. WO w das konstante Voumen der aberen Partien bis x = 4, W 2 das Voumen von den Partien zwischen x = 4 und x = x 6 bedeutet. Wir rechnen hi er n ur mit reativen Einheiten und er haten w;_ = ITM2 o, und }. ITM 2 { [(og x b w2 = o, ) J 2 xb +I 4, 'wo M=o, \ 0, Ftir diese Forme ist x 6 nicht dassebe wie iegt der Gipfe in dem Punkt x = o, y = o. in der HöJER'schen, denn hier Ftir eine gewisse Formkasse X!J og z 'f! kann man x6 nach fagender Forme berechnen: rp = og x; 4:o: TIREN {I922, I928) hat eine neue Stammkurvengeichung aufgestet: r= og (x + y I + x 2), wo r den Radius bezeichnet. Der Gipfe des Eaumstammes iegt auch hier in dem Ursprung, und tibereinstimmend mit den Bezeichnungen PETTERsoNs wird die Form durch die Basaabszisse x 6 charakterisiert. Die Formkasie ist so mit <p = og [.:; + v~~ J. Das Vouog (x6 +VI + x6 2 ) men wird in reativen Einheiten mitteist fagender Forme ausgedrtickt: W= ;t2 ~ I (og 2 ~ + 2M 2 ) _.e_; I 2M og~}. wo~= x 6 + yr+ x 6 2 s:o: BEHRE( I 92 3, I )hat geichfas eine neuestammkurvengeichung pubiziert: Ii = 1, wo diesebe Bedeutung hat wie in HöJERs Geichung, D a+ b a und b Konstanten sin d. Diese Konstanten sin d von LANGS.<ETER (I 9 27) ftir verschieden e Formkassen berechnet worden. LANGSJETER (I 9 27) hat ansserdem fogende Votumenforme angegeben: w= ITD 2 H[ I~. og_!_+ a], wo j);[= 0, b 2 b1 a Bevor ich zu einer Priifung dieser fiinf Ausdrticke fiir die Stammform tibergehe, stee ich einige Vergeiche zwischen den Veurnina der Paraboaide und der entsprechenden HöJER'schen Körper an. Wir setzen voraus, dass die Formkasse und die Basagrundfäche eines Stammes bekannt sind. Das Voumen fät aber verschieden aus, wenn wir den Stamm as ein Parabooid betrachten, und wenn wir ihn nach der oga GN rithmischen Funktion kubieren. Im ersteren Fa ist das Voumen V= v+ r iin anderen W= GHF. Fur verschiedene Werte des Basaformquotienten ge W staten sich die prozentuaen Differenzen verschieden. Setzen wir v= F(v +r), so kann daraus eicht berechnet werden, wievie grässer oder keiner die Kubikmasse des Paraboaids ist, in Prozenten von V ausgedrtickt. Die Tabe e

31 214 SVEN PETRINI. 1 gibt die Resutate einer sochen Anayse wieder. Das positive Vorzeichen bedeutet hier, dass das Parabooid ein grösseres Voumen hat, was im agemeinen der Fa ist infoge der stärkeren Dimensionen des Parabooids in den Gipfesektionen. In der unteren Häfte des Körpers veräuft jedoch die Kurve des Paraboaids innerhab der ogarithmischen Kurve. In den höheren Formkassen uberwiegt die Tendenz der Gipfesektionen, in den niedrigsten Formkassen aber macht sich die negative Tendenz der unteren Häfte mehr getend, so dass das Parabooid eine geringere Kubikmasse erreicht. Bei einem Basaformquotienten von ungefähr o,s6 werden die Voumen der beiden Körper geich. Die Differenzen sind fur Formkassenwerte unter o,6o sehr gering, und man kann beiebig die eine oder die andere Forme anwenden, wobei man höchstens eine Differenz von 1/ 3 % riskiert, wenn die Berechnung von der Basagrundfäche ausgeht. Wird aber der Messpunkt an eine andere Stee veregt, so vergrössert sich der Feher. Unter der Voraussetzung, dass der Schaft der HöJER'schen Geichung fogt, und dass man die Grundfäche bei z von der Basis aus gemessen hat, werden die prozentuaen Feher, die man GH.bei einer Kubierung nach der Forme V= erhät, die Werte der Ta J.I+ bee 2 in verschiedenen Basaformkassen annehmen. Wie aus Tabee 2 ersichtich ist, werden ae Abweichungen positiv, d. h. das Parabooid hat ein grösseres Voumen, und die Prozentziffern sind beachtenswert gross. Wi man aso eine Näherungsforme fir Kubierung konstruiere!, so muss das Resutat ganz verschieden ausfaen, fas man die eine oder die andere Funktion verwendet. I. Pri.ifung der verschiedenen Stammkurvengeichungen auf naturichem Materia. PETTERSON ( ) hat ein grosses Materia von Kiefernstämmen in 6 Höhenkassen untersucht, und die prozentuae Verjungung der Mittestämme in seiner Tabee 3 mitgeteit. Dieses Materia hat den grossen Vortei, nicht ausgegichen zu sein. J eder Durchmesserwert ist a so ein rein arithmetisches Mitte, in Prozenten des Durchmessers der Messungsstee in der Nähe von der Stammmitte ausgedruckt. In Tabee 5 finden sich die Resutate der Ausgeichungen, die mit den oben erwähnten funf verschiedenen Stammkurvenfunktionen erreicht sind. In dieser Tabee sind zuerst innerhab jeder Höhenkasse die Durchschnittszahen der reativen Verjungung der Stämme nach PETTERSON wiedergegeben, und darnach die Differenzen in Prozenten des Durchmessers an der Stammmitte, erhaten mitteist der verschiedenen Geichungen. Die Zahen der Kurvenkombination von PETTERSON hat er sebst angegeben (r 9 2 6) bezugich des fragichen Materias. Fur TIRENs, BEHRES, HöJERs und die Parabooidengeichung hat Verf. die Differenzen berechnet, wobei die Basaformkasse fir den ganzen Stamm zuerst mit Hife zweier Durchmesserwerte berechnet worden ist. Diese Durchmesserwerte, dem naturichen Materia entnommen, sind so gewäht, dass zwei Messpunkte benutzt wurden, die ungefähr bei 2 o % und 6o % der Stammänge von unten aus beegen sind. Aus der Tabe!Je. 5 geht hervor, dass ae finf Geichungen ganz gut die

32 EN NÄRMEFORMEL FÖR KUBERING AV TRÄD 215 untere Stammhäfte ausgeichen können. Jedoch ist zu bemerken, dass das Parabooid durchgehends etwas zu niedrige Werte aufweist. Betreffs der oberen Stammpartien treten die Verschiedenheiten der Formen deuticher hervor. Das Parabooid muss hier as ganz unverwendbar bezeichnet werden, wei sehr grosse positive Differenzen auftreten. Es ist aber mögich, bessere Ubereinstimmung zu erreichen, wenn wir zwei Paraboaide zusammensetzen woen (vg. PETRINI 1921 und 1926). Kein socher Versuch ist in diese111 Zusammenhange gepriift worden. Von den iibrigen Geichungen sind ae in den Gipfesektionen mit geringeren Fehern behaftet as die HöJER'sche Forme. PETTERSONs und TIRENs Forme haben das beste Resutat geiefert, aber BEHRES Geichung erweist sich auch as gut. Diese Tatsachen gehen aus den Mittewerten der Differenzen deutich hervor, Bei dieser Berechnung sind die vom Wurzeanauf beeinfussten Durchrnesserwerte ausgeschossen worden, und der Mittewert ist berechnet mit Beachtung der Vorzeichen. In T harandter forstiches J ahrbuch, H. r, 2 und 3 r hat Verf. eine Näherungsforme pubiziert: V 1 = o,73 go, 34 H. Das Voumen eif\es Stammes so biernach ermittet werden können mit Hife der Grundfäche bei 34 % der Schaftänge von unten. Diese Forme ist auf die HöJER'sche Schaftkurvengeichung gegriindet. In dem oben genannten Aufsatz ist die Frage nur theoretischmatematisch behandet worden. Wi man eine praktische Priifung ansteen, muss man sich zuerst die Voraussetzungen der Forme kar machen. Es ist ohne weiteres vöig'kar, dass eine Kubierungsforme, die sich direkt auf eine Stammkurvengeichung stiitzt, sich nicht auf den Wurzeanauf beziehen kann, wenn dies nicht bei der urspriingichen Geichung sebst der Fa ist. Daher ist es verständich, dass man eine Priifung an Materia, bei dem der Wurzeanauf eiminiert warden ist, ansteen muss. In geicher W eise ist es wenigstens fiir die Kiefer notwendig, die systematischen Abweichungen der Rinde zu eiminieren, wenn man sich einen Eegriff von der Genauigkeit der Forme zu verschaffen wiinscht. Zeigt es sich dann, dass die Forme gut ist, so kann man eventue weitergehen und Modifikationen durchfiihren, warnit eine Ubereinstimmung auch fiir andere Voraussetzungen as die zunächst getenden geschaffen werden kann. Das von PETTERSON pubizierte Materia erbietet gute Mögichkeiten, eine orientierende Untersuchung der Genauigkeit der Forme fiir die Kiefer anzusteen. Geichzeitig habe ich auch die anderen obengenanoten Stammkurvenfunktionen. in dieser Hinsicht priifen woen. Daher habe ich auch fiir sie Näherungsformen berechnet, und zwar mit denseben Voraussetzungen wie vorher (vg. PETRINI 1926). Ae Näherungsformen ergeben sarnit exaktes Resutat fiir das Voumen des betreffenden Körpers, wenn die Formkasse die Werte o,6o und o,7o hat. Werden die jeweiigen Voumenformen der verschiedenen. Schaftkurvengeichungen der Näherungsforme V 1 = agz H fi.ir die genannten zwei Formkassenwerte geichgesetzt, so erhät man fiir jeden Fa zwei Geichungen, woraus a und z bestimmt werden können. Auf diese Weise erhaten wir die neuen Näherungsformen fiir PETTERSONS, TrR:ENs und BERREs Funktionen. Dazu kommen noch die von mir friiher nach HöJERs Geichung, nach der von JONSON mit Hife einer» bioogischen Konstanten» modifizierten HöJER'schen Geichung fiir die Kiefer, und nach der Parabooidgeichung