STUDIER ÖVER SIAMFORMEN

Transkript

1 Medföjer skogsvårdsföreningens Tidskrift 1927, h. 2. STUDIER ÖVER SIAMFORMEN STUDIEN OBER DIE STAMMFORM AV HENRIK PETTERSON MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFöRSöKSANSTALT HÄFTE 23 N:r 2 CENTRALTRYCKERIET, STOCKHOLM 1926

2 MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT HAFTE MITTELUNGEN AUS DER FORSTLICHEN VERSUCHS ANST AL T SCHWEDENS 23. HEFT REPOR TS OF THE SWEDISH INSTITUTE OF EXPERIMENT AL FORESTRY N:o 23 BULLETIN DE L'INSTITUT D'EXPERIMENTATION FORESTIERE DE LA SUEDE N:o 23 CENTRALTR \'CK ER! ET STOCKHOLM 19 27

3 REDAKTÖR: PROFESSOR DR HENRIK HESSELMAN

4 INNEHÅLL: Anmärkning av redaktören... ENEROTH, O.: studier över risken vid användning av tafrö av för orten främmande proveniens r A study on the risks of using in a particuar district pine-seed from other sources S 9 PETTERSON, HENRiK: Studier Över stamformen Studien iiber die Stammform TRÄGÅRDH, IvAR: Entomoogiska anayser av torkande träd Entomoogica anaysis of dying trees... 2 J 3 WIBECK, EDVARD: Vår= eer höstsådd. Redogörese för jämförande såddförsök, utförda av Statens skogsförsöksanstat under tidsperioden Spring or autumn sowing TIREN, LARs: Om barrytans storek hos tabestånd... 29S (Jber die Grösse der Nadefäche einiger Kiefernbestände HESSELMAN, HENRIK: Studier ÖVer barrträdspantans utvecking i råhumus. I. Betydesen av kvävemobiiseringen i råhumustäcket för ta- och granpantans första utvecking Studien iiber die Entwickung der Nadebaumpfanze in Rohhumus. I. Die Bedeutung der Stickstoffmobiisierung in der Robhumusdeeke fiir die erste Entwickung der Kiefem- und Fichtenpfanze 4 r 2 MELIN, ELIAS: studier över barrträdspantans utvecking i råhumus. II. Mykorrhizans utbidning hos tapantan i oika råhumusformer Studien iiber die Entwickung der Nadebaumpfanze in Rohhumus. II. Die Ansbidung der Mykorrhiza bei der Kiefernpfanze in verschiedenen Robhumusformen JoNsoN, ToR: Stamformsprobemet. Några synpunkter och siffror ti dess beysning... 49S Das Schaftformprobem. Einige Gesichtspunkte und Ziffern zu seiner Beeuchtung s 8 I Redogörese för verksamheten vid Statens skogsförsöksanstat under femårsperioden jämte försag ti arbets~ program. (Bericht iiber die Tätigkeit der Forstichen Versuchsanstat Schwedens während der Periode I ; Account of the Work at the Swedish Institute of Experimenta Forestry in the Period I 92 2,-1926.) I. Gemensamma angeägenheter (Gemeinsame Angeegenheiten: Common Topics) av HENRIK HEssELMAN... s87 II. skogsavdeningen (Forstiche Abteiung; Forestry division) av HENRIK PETTERSON... S90 III. Naturvetenskapiga avdeningen (Naturwissenschaftiche Abteiung; Botanica-Geoogica division) av HENRIK HEssELMAN S97 Sid. II

5 II IV. skogsentomoogiska avdeningen (Forstentomoogische Abteiung; Entomoogica division) av IvAR TRÄGÅRDH... 6o7 V. Avdeningen för föryngringsförs ök i N arrand (Abteiung fir Verjtingungsversuche in N arrand; Division for Afforestation in Norrand) av EDVARD WIBECK... 6r3 Redogörese för verksamheten vid Statens skogsförsöksanstat under år rg26. (Bericht tiber die Tätigkeit der Forstichen Versuchsanstat Schwedens im J ahre ; Report on the Work of the Swedish Institute of Experimenta Forestry). Amän redogörese av HENRIK HESSELMAN I. Skogsavdeningen (Forstiche Abteiung; Farestry division) av HENRIK PETTERSON II. Naturvetenskapiga avdeningen (Naturwissenschaftiche Abteiung; Botanica-Geoogica divison) av HENRIK HEssELMAN 634 III. skogsentomoogiska avdeningen (Forstentomoogische Abteiung; Entomoogka division) av IvAR TRÄGÅRDH IV. Avdeningen för föryngringsförsök i Norrand (Abteiung ftir die Verjtingungsversuche in Norrand; Division for Afforestation probems in Norrand) av EDVARD WIBECK Sid. Anmärkning av redaktören: Då i föreiggande häfte av skogsförsöksanstatens Meddeanden förekommer en avhanding av professor HENRIK PETTERsoN, som behandar stamformsprobemet från devis nya synpunkter och som i vissa punkter kritiserar den hos oss mest i praktiken använda metoden för stamformsuppskattningar,. har jag, för att få frågan asidigt beyst, öppnat skogsförsöksanstatens Meddeanden även för en avhanding om stamformsprobemet av professor ToR JoNsON, som hittis mer än någon annan svensk forskare arbetat med denna fråga. HENRIK HESSELMAN.

6 ===H=E=~=N=R==I=K===P=E=T==T=E==R==S=O=N===~ STUDIER ÖVER ST AMFORMEN. FÖRETAL. Då jag sommaren 1925 titrädde överassistentbefattningen å skogsförsöksanstatens skogsavdening, bev jag av skogsavdeningens dåvarande föreståndare, framidne professor GUNNAR SCHOTTE tidead arbetsuppgiften att ur anstatens rikhatiga provstamsmateria söka utvinna ökad kunskap om taens stamform. Detta materia, som insamats under edning av anstatens förste föreståndare, jägmästaren A. MAASS (rgoz-rgo8) samt därefter av professor ScHOTTE (r gog-r925), hade haft ti huvuduppgift att igga ti grund för kuberingen av anstatens försöksytor. I detta avseende var materiaet redan utnyttjat. Emeertid uttaade professor ScHOTTE ofta den förhoppningen, att detta stora materia dessutom skue kunna användas för ett sådant karäggande av formfrågan, att försöksytornas kubering i framtiden kunde komma att ske med stöd av stående provstammar. Som av det föjande framgår torde denna uppgift nu få anses vara i princip öst, även om en de detajarbeten återstå. Det är för mig en tifredsstäese, att de förväntningar, som i detta avseende hystes av min bortgångne vän och chef, såunda kunnat infrias. Då jag anser det vara av synnerig vikt, att man går ti behandingen av denna fråga under fut medvetande av de behov, som skoa genom undersökningen tifredsstäas, har jag i kap. I sökt karägga min uppfattning härom. I kap. II diskuteras de hos oss vid praktiska undersökningar använda metoderna på området. Kap. III-V innehåa det för min undersökning grundäggande matematiska resonemanget. Detta har visserigen vuxit fram så småningom under syssandet med materiaet, men jag har ansett, att översiktigheten vunnit på dess framäggande i ett sammanhang. Sutigen ämnas i kap. VI-VIII redogörese för materiaet, bearbetningen och de därvid vunna resutaten. De vidyftiga arbetena med materiaets gruppering och uträkningen av gruppmedetaen ha utförts av t. f. assistenten, jägmästaren E. LUNDH 5. fedde..fr&n Statens Skogs.försöksanstat. Häft. 23.

7 HENRIK PETTERSON [2] med hjäp av skogsbiträdena H. DARNALD och G. NORSTEDT samt räknebiträdet fröken R. MELLSTRÖM. Tabeerna I och II ha utarbetats av fröken M. ÖSTLIND. Kurvorna ha ritats av fröken E. HOGNER. Ti samtiga dessa medhjäpare får jag här uttaa ett hjärtigt tack. Experimentafätet i oktober r926. HENRIK PETTERSON.

8 [3] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 65 KAP. I. Skogsförsöksanstaten och formfrågan. För att kunna ösa sina oika arbetsuppgifter bearbetar skogsförsöksanstaten stamformsprobemet från vitt skida synpunkter. En undersökningsinje går ut på att karägga orsakerna ti trädstammens utformning. Detta studium bedrives genom precisionsundersök~ ningar å ett fåta vada stammar och kan i gynnsammaste fa kontroeras. genom experiment. Denna kausaforskning måste stödas och kompetteras genom statistiska undersökningar över oika stamtypers förekomst i bestånd av oika typer. Härvid eftersträvas icke bott frekvenssiffror för hea beståndet utan en överbick över sättet för stamtypernas uppträdande, t. ex. deras fördening på oika kronskikt Vid dyika beståndsanayser erfordras en norm för stamformernas kassificering. Som sådan har man i vårt and änge använt JONSONs absouta formkass. Då emeertid denna icke är något yckigt uttryck för formen (jfr s. 7I ), utgör finnandet av en ämpig kassificeringsnorm ett viktigt önskemå för skogsförsöksanstaten. Den sida av stamformsfrågan, som för närvarande i främsta rummet påkaar anstatens uppmärksamhet, är emeertid den taxatoriska. Det gäer att finna en tifredsstäande metod för uppskattning av kubikmassa och tiväxt å försöksytorna. Härvid bereda formvariationerna den största svårigheten. Vid försöksytornas uppskattning använder den svenska skogsförsöksanstaten, iksom, såvitt jag vet, aa utändska försöksanstater, subjektivt vada provstammar. I ett par fa (Schweiz, Wiirttemberg), ha dessa provträd undersökts stående genom sektionering, men i övrigt utväjas de band garingsvirket eer ti en mindre de utanför försöksytan. Enigt hos oss gäande bestämmeser skoa provträden representera försöksytans efter garingen kvarvarande bestånd. Härifrån har dock det undantaget gjorts, att verkigt skadade, krokiga, kykvuxna eer i övrigt abnorma stammar utesutits. Så vada provstammar kunna givetvis ej biva asidigt representativa för ytan. De ha endast betydese för kuberingen. För detta ändamå

9 66 HENRIK PETTERSON [4] är det tiräckigt, om i varje diameterkass de genom kurvor utjämnade värdena å provträdens medehöjd och medeformta överensstämma med förhåandena i beståndet. Vid provträdsvaet har uppmärksamheten koncentrerats på höjden, och erhåarrdet av rätt medeformta har väsentigen varit beroende på förutsättningen, att i samma bestånd träd med ika diameter och medehöjd också ha samma medeformtal Att närmare diskutera frågan, i viken mån dessa uppskattningar överensstämma med verkigheten, igger utom ramen för denna avhanding. På grund av metodens subjektiva karaktär kan resutatets säkerhet icke beräknas med stöd av de utförda observationerna. I ett fa, nämigen vid nedäggande av försöksytan n:o I 54: II ä Skarhuts kronopark, kunde metoden kontroeras genom sektionering av beståndets aa stammar. Härvid visade uppskattningen I,6 % ägre resutat än sektioneringen, viket i betraktande av de med metoden förenade svårigheterna måste anses som ett synnerigen vackert resutat. Andra erfarenheter giva vid handen, att en avvikese på 5 % icke är utesuten. At hänger här på förrättningsmannens vana och skickighet. De utändska försöksanstaterna torde arbeta med iknande uppskattningsfe, kanske snarare större än våra, på grund av att de i rege använda färre provstammar. För Schweiz, där provträden, när så erfordras, sektioneras stående, uppger FL URY (1907) ett genomsnittigt fe av 2 %. Sannoikt har här fördeen av det fria provstamsvaet motvägts av det mindre antaet undersökta stammar. Dessa metoder härstamma från en tid, då det betraktades som försöksanstaternas främsta uppgift att genom undersökning av ett stort anta provytor bestämma kubikmassan per hektar i s. k. normabestånd av oika åder och bonitet samt att på grundvaen av sådana uppskattningar utarbeta produktionstabeer. Fe av den angivna storeksordningen hade då ringa betydese. Denna uppgift kvarstår ännu, men den igger i andra panet. N u gäer det framför at att efter förmåga söka besvara skogsskötsens frågor angående beståndens rätta vård och föryngring. Beståndsvårdens probem studeras i första rummet genom jämförande garingsförsök Vad som därvid mest intresserar är icke kubikmassan, utan tiväxten, atså skinaden mean två uppskattningar. Om ett bestånd växer med t. ex. 2 % om året betyder ett uppskattningsfe om 2 % ett års tiväxt. För en observationstid av fem år motsvarar ett fe av + 2 % vid första uppskattningen och -2 % vid den andra 40 % av tiväxten. Då de oika garingsformernas produktionssiffror kanske avvika med mindre än 10 %, kunna, så änge ett dyikt fe riskeras, inga säkra sutsatser

10 f5] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 67 om behandingsmetodernas verkningar dragas förrän efter många års föropp. För praktiken, som kräver snabb vägedning angående beståndens rätta behanding, är en så ång väntan en mycket stor oägenhet. Men även vetenskapigt verkar det ytterst ogynnsamt, om resutatet av ett garingsförsök kan aväsas först efter decennier. För försöksanstaten finnes det säkerigen endast en väg ti garingsfrågornas ösning, nämigen genom intimt samarbete mean de naturvetenskapiga och skogiga krafterna. Botaniska undersökningar, markanayser, temperaturbestämningar och många andra observationer måste utföras paraet med de skogsstatistiska försöken. Men att erhåa sådana observationer, som äro representativa för tiståndet i en försöksyta under tiotas år, möter mycket stora svårigheter (jfr HESSELMAN, 1925, s. 344). Atså är det en nödvändighet att at göres som göras kan för att nedbringa observationstidens ängd. Detta kan endast ske genom säkrare bestämning av beståndets kubikmassa och tiväxt. Första viikoret härför är att vi erhåa statistiskt representativa provträd. I stäet för den gama metodens kumpsummor få vi med dyika provträd en överbick över variationen inom beståndet. Det bir möjigt att beräkna uppskattningens sannoika fe, varigenom antaet provträd kan avpassas efter behovet. Sutigen befrias vi från den överhängande risken, att garingsformen får infytande på provträdsvaet, varigenom ett farigt systematiskt fe kan insmyga sig i de jämförande garingsförsöken. Emeertid är de statistiskt representativa provträdens betydese ingaunda begränsad ti uppskattningen. Det förhåer sig snarare så, att denna reform kommer att verka ännu mer befruktande på bearbetningen av de probem, som faa inom skogsskötsens område. Genom att med hjäp av statistiskt representativa provträd studera variationen hos sådana faktorer som höjd, kronförhåande, kronform och kronskikt få vi överbick över individernas stäning ti varandra och konkurrensen dem emean. Härigenom öppnas ett arbetsfät, som kan genomforskas i aa riktningar under sökande efter de agar, som bestämma beståndets iv. statistiskt representativa provträd på försöksytor kunna emeertid i amänhet icke fäas, utan att garingsförsöket snedvrides. Detta önskemå innebär atså, att provträden skoa uppskattas stående. Ett dyikt framtidsmå har tydigen redan tidigt föresvävat Scr-IOTTE. I hans avhanding»om garingsförsök» (r9r2, s. 232) äses:»sjäva uppskattningen av den stående skogen måste därför närmast anses som

11 68 HENRIK PETTERSON (6] en beräkning, tis man kommit därhän att fut objektivt kunna uppskatta eer uppmäta stående stammar». Att detta må ej reaiserats har med säkerhet berott på professor SCHOTTES övertygese, att vi ännu ej haft någon för dyika ändamå användbar metod att uppskatta stående träd. Enigt min mening måste denna ståndpunkt anses berättigad. I varje fa kan det förfaringssätt,.som under tiden efter 1912 hos oss använts inom praktiken, nämigen }ONSONS kombinerade formpunkts- och formkassmetod, icke komma i fråga vid uppskattning av försöksytor. Skäen för detta omdöme skoa framäggas i nästa kapite. I det föregående har jag framhåit de stora fördear, som skue åtföja en övergång ti statistiskt representativa provträd. Då dessa måste uppskattas stående är det av vikt, att vad som å ena sidan vinnes genom provträdens bättre representativa egenskaper ej å andra sidan går förorat genom sämre formbestämning av varje enskit provträd. Vid bedömandet av en metod från denna synpunkt måste man skija på systematiska och tifäiga fe. De subjektivt vada provträdens bristande representation medför en risk för systematiska ft>, medan däremot uppskattningen av varje enskid fäd stam är förträffig. Med objektivt vada provträd igger så gott som hea risken i uppskattningen av de enskida stående träden. Det är då av synnerig betydese, att denna senare uppskattning så ångt det är möjigt befrias från systematiska fe. Detta sker genom ängre driven uppdening på typer, atså vid direkt mätning genom fera mått. På grund härav är det möjigt, att den vunna fördeen av små systematiska fe måste köpas med ökad känsighet för tifäiga avvikeser. En sådan svaghet hos metoden har emeertid mindre betydese, eftersom den kan neutraiseras genom att använda ett större anta provträd. Om det kunde yckas att het bortarbeta det systematiska feet skue uppskattningens säkerhet endast begränsas av arbetskostnaden och försöksytans storek, atså ytterst övervägande av kostnaden. Vi ha i det föregående sett, viken genomgripande betydese det har, både praktiskt och vetenskapigt, att ett garingsförsöks resutat kan aväsas inom rimig tid. Enda vägen ti detta må är att göra uppskattningen säkrare. Man får då mot varandra väga fördearna av tidsvinsten och oägenheten av ökad kostnad, samt därefter rätta antaet provträd. Sannoikt bir resutatet av ett sådant övervägande, att vissa ämpiga ytor uppskattas särskit noggrant och att de miturvetenskapiga paraeförsöken koncentreras dit. För att denna förmåga att anpassa arbetsmetoden efter behovet ska kunna vinnas är det nödvändigt, att det systematiska feet vid uppskatt-

12 [7]. STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 69 ning av enskida stående träd bir itet. Vid mitt sökande efter en ämpig metod för sådan uppskattning har jag därför uppstät föjande krav: I :o. De systematiska feen skoa nedbringas så mycket som möjigt även med risk att de tifäiga feen ökas. z:o. Inom ramen för den typindening, som föranedes av punkt I, ska känsigheten för tifäiga avvikeser nedbringas så mycket som möjigt genom ämpig föräggning av mätpunkterna. KAP. II. Tor Jonsons formbestämningsmetod. Innan vi söka nya utvägar för vetenskapigt tifredsstäande bestämning av formen hos stående träd torde det vara ämpigt att kritiskt granska det förfaringssätt, som i vårt and amånt användes vid praktiska undersökningar med samma syfte, nämigen ToR fonsons form~ bestämningsmetod. JONSON häreder formen och voymen ur formkassen (formkassmetoden). För att kunna använda detta förfarande på stående träd bestämmer han formkassen med stöd av en punkt i kronan (formpunktsmetoden). Dessa båda ed i beräkningen kunna med förde betraktas var för sig. Formkassmetoden. Utgångspunkten för JONSONs arbeten på detta område var det av HöJER ( 1903) påvisade förhåandet, att diametrarna hos ett av LOVEN beräknat medeträd mycket nära föjde funktionen d D c+ - = C og-, (r) vari C och c äro konstanter, d diametern meter från toppen och D diametern vid basen. I detta uttryck insatte JONSON (1910, 191 r) de konstantvärden, som motsvarade sex formkasser o, s s-o, so, och erhö på så sätt sex kurvor, vika vid jämförese med på naturigt granmateria formkassvis beräknade medediametrar visade god överensstämmese. Då denna bev mindre god för taen, ändrades ekvationen för detta trädsag genom tifogande av en s. k. bioogisk konstant ti d c+-z,s -=C og---- D c c (r a) Det bör tiäggas, att JONSON vid användandet av HÖJERS ekvation övergick ti reativa ta, så att d uttrycktes i procent av basdiametern

13 70 HENRIK PETTERSON [8] och i procent av ängden från toppen ti basen. Som bas vades i konsekvens med JONSONs absouta formkasser icke stubben, utan brösthöjden. Formkassbegreppet infördes i vårt and av MAASS ( 1908), i ansutning ti SCHUBERG, KUNZE och SCHIFFEL. Formkassen definierades genom formkvoten, d. v. s. förhåandet mean trädets diameter på mitten och brösthöjdsdiametern. JONSON påvisade (1910), att denna formkvot påverkades av trädets höjd, varför han i anaogi med RINIKERS (I 873) absouta formta övergick ti absouta formkasser, vika karakteriserades av kvoten mean diametern på mitten av stamdeen ovan brösthöjd och brösthöjdsdiametern. Därmed vanns ett uttryck, som definierade formen hos stamdeen ovanför brösthöjd, oberoende av trädets höjd. För praktiskt bruk kunde detta vara tifyest. Om man däremot vie få ett grepp på hea trädets form, viken vid aa bioogiskt betonade formundersökningar är det enda som intresserar, så kvarstod emeertid det besöjande infytandet av höjden. För vetenskapiga ändamå måste man fordra, att träd i samma formkass också ha samma medeform, viken höjd de än hava. Detta må nås endast genom äkta formkasser, som bestämmas av kvoten mean reativt ikabeägna diametrar, t. ex. vid 50 % och ro % av ängden från marken räknat. Beträffande den absouta formkassen har JONSON sjäv framhåit (1910, s. 308 X), att den icke säan på ett besvärande sätt påverkas av rotansväning, som når ovanför brösthöjd. Den är även beroende av, huruvida den övre mätpunkten faer inom eer under kronan. I sjäva verket finnes det ingen anedning att förmoda, att stamkurvan inom kronan ska sammanhänga med kurvan under kronan. Särskit på övträd är det motsatta förhåandet ofta påtagigt. Det kan icke nog betonas, att den stamkurva, som för en viss formkass erhåes med HöJERs ekvation, endast betecknar en av många stamtyper med samma formkvot, vika var för sig äro fut definierade och inbördes avvika rätt betydigt. Här frånses het och hået de variationer inom formkassen, som uppkomma genom att övre mätpunkten faer inom kronan eer att undre mätpunkten beröres av rotansväning. Likaedes frånses aa smärre, mera okaa avvikeser, såsom kvistknöar, spår av skador m. m., vika ännu mer öka formens växingar. Att formvariationen inom formkassen trots denna begränsning kan vara betydande framgår av exempet i fig. r. De båda stamkurvorna A och B representera två träd i formkass o, 70. Stammarna tänkas inagda i ett koordinatsystem med ängden efter x axen. Ordinatorna beteckna diametrar. Endast stamdeen ovanför brösthöjd tages i betraktande.

14 [9] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 71 Å biden synes omedebart, att de två stammarna ha het oika form. Härav inses, att den absouta formkassen är ett dåigt formuttryck Däremot ger den en rätt god förestäning om formtaet, viket, då basdiametern och höjden äro givna, bestämmer kubikmassan. Det absouta fonntaet är nämigen för trädet A 0,4 94 och för trädet B o, Med H ÖJERS ekvation erhåes i formkass o, 7 o absouta formtaet 0,484. Genom att använda sistnämnda värde bestämmer man atså A:s kubikmassa 2,oz procent för ågt och B:s kubikmassa r,68 procent för högt. Fig. I. Reativa formen hos två träd A och B i formkass o,7a. Ordinatorna äro proportionea med trädens diametrar. - (Die reative Form von zwei Stämmen A und B in der Formkasse o,7o. Die Ordinaten sind den Durchmessern proportiona). Vid metodens tiämpning på bestånd sker en viss utjämning, som ytterigare minskar dessa fe. Då det visat sig, att typen A övervägande förekommer hos träd med högt sittande kronor, medan typen B dominerar hos träd med åga kronor (se s. r 30) kunna vi ikvä icke vänta oss fu feutjämning i beståndsmedetaen. Det är snarare sannoikt, att man vid kubering med stöd av HöJERs ekvation måste räkna med systematiska fe, som i vissa beståndstyper äro positiva och i andra äro negativa. Dessa fe kunna dock knappast uppnå en sådan storeksordning, att de

15 72 HENRIK PETTERSON [ OJ få betydese vid praktiska uppskattningar av hea bestånds kubikmassa. För noggrannare bestämningar är det emeertid önskvärt, att typvariationen inom varje använd formgrupp begränsas genom formkassens uppdening på undertyper. Detta kan ske genom att man utöver de två formkassbestämmande diametrarna mäter ännu en ämpigt beägen diameter. Det är en dyik metod jag använt i det föjande, ehuru jag därvid gjort mig het oberoende av formkassen. För undvikande av at missförstånd bör det betonas, att de nyss angivna fesiffrorna på intet vis få betraktas som mått på säkerheten vid kubering enigt HÖJERS ekvation. Därvid spea nämigen tifäiga avvikeser en så betydande ro, att frågan om ferisken i ett givet fa ej kan utredas genom ett så amänt hået resonemang som det förestående. Det är här endast fråga om de systematiska fe, vika förorsakas av agbunden typvariation inom formkassen. Såsom vi funnit äro dessa systematiska fe ej så stora, att de behöva utgöra något hinder mot användandet av HÖJERS ekvation vid kuberingar för praktiskt bruk och, vi kunna tiägga det, för en de vetenskapiga ändamå. Det var därför ett gott grepp, då JONSON vie underätta ett sådant förfarande genom att upprätta en matematisk hjäptabe, där kubikmassan angavs för oika kombinationer av diameter, höjd och formkass. Tyvärr har emeertid denna avsikt reaiserats på ett sätt, som från vetenskapig synpunkt är mindre tifredsstäande. Ifrågavarande tabe har utgivits under titen ToR JoNsON,»Massatabeer för träduppskattning» (I918). Den i och för sig enka uppgiften att kubera en kropp med ifrågavarande profikurva har här inveckats i sådan grad, att en prövning av tabeen måste bi rätt omständig. Ti grund för tabeen igger J ONSONS för ta inom bark avsedda modifikation av HöJERs ekvation (se forme I a, s. 69). Att så är förhåandet framgår av redogöresen i JONSONs uppsats om»taens stamform» ( I9I I, s. 3 I 7 X), varifrån även övriga uppgifter om tabeens konstruktion äro hämtade. Såsom jag förut visat (r9z5) och här ängre fram (s. 91) närmare utveckar är HöJERs ekvation ett speciafa av kurvan d= Q og x,..... (z) där d är diametern x måttenheter från origo och Q är en konstant. Det för HöJER utmärkande är att trädets topp atid igger i punkten % = I. Kurvan (z) representerar aa formkasser, varvid träd, som tihöra en viss formkass, representeras av kurvan inti en viss basabskissa xb. Ju ängre kurvan utdrages åt höger, desto högre bir formkassen (jfr fig. 3, s. 89). I enighet härmed kan den kurva, som för en viss formkass hos stamdeen ovan brösthöjd erhåes med HöJERs ekvation, utdragas förbi bröst-

16 [11] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 73 höjden ti stubbskäret. Härigenom fås för hea trädet en högre formkass än den, som bestämts för deen ovanför brösthöjd. Även }ONSONS takurva är ett speciafa av kurvan (2). Kurvan är densamma, men toppens äge i koordinatsystemet färskjutes genom tifogaodet av den s. k. bioogiska konstanten så ångt åt vänster, att dess avstånd från punkten z= I bir 2, s procent av stamängden ovanför brösthöj d. Då denna kurva utdrages ti högre formkasser fyttas toppen atmera åt vänster. För ett och samma träd, vars stamkurva utdrages förbi brösthöjden ti stubben, måste emeertid toppen kvarigga i det äge, som betingas av formkassen ovanför brösthöj d. Toppens avstånd t från punkten z = I förbir såunda vid en dyik utdragning konstant. Då stamängden därvid ökas måste den bioogiska konstanten, som betecknar avståndet t, uttryckt i procent av stamängden, samtidigt minskas. Detta förhåande har :JONSON ej observerat (I9II, s. 3I5 x). Han utdrager sin takurva ti stubbskäret och uträknar sedan genom insättning i taekvationen hea trädets absouta formkass. Så ångt är beräkningen riktig. Men därefter ingår han med denna formkass i den kurva, som anger reationen mean formkass och formta hos träd med bioogiska konstanten 2, s, och aväser där hea trädets absouta form ta. Detta formta bir tydigen oriktigt, eftersom hea trädets bioogiska konstant är mindre än z,s., Innan vi närmare studera verkningarna av detta fe måste vi ägna någon uppmärksamhet åt det av JONSON införda stubbavdraget. JONSON mäter aa ängder på iggande träd från stubbskäret och på stående träd från en tänkt stubbe. Undantag härifrån göres för brösthöjden, som atid är 1,3 meter över marken. Vid tabeernas utarbetande har antagits, att stubbhöjden är I % av stamängden ovanför stubben. Ett träd, som i tabeen upptages med 30 meters höjd, är atså 30,3 meter högt över marken. Då brösthöjden igger I,3 meter över marken, är föjaktigen brösthöjdens avstånd från toppen = (30,3-1,3) = 29 meter och dess avstånd från det beräknade stubbskäret = I meter. Enigt min mening är denna beräkning onödigt inveckad. Naturigast vore vä, att aa ängder iksom brösthöjden mättes från marken. Om man sedan i tabeerna vie göra ett avdrag för stubben, så vore ju detta en enke sak. Vi återvända nu ti de absouta formtaen. Hos ett 5 m högt träd bir med JoNSONs beräkningssätt brösthöjdens avstånd från toppen = (5,os- I,3o) = 3,7S meter. Stubbskärets avstånd från toppen är 5 meter. Punkten z= I, där den ogaritmiska stamkurvan skär trädets ängdaxe, igger enigt }ONSONS förutsättning z, s procent av 3,7 s meter

17 74 HENRIK PETTERSON [12] = 0,094 meter under toppen. Detta avstånd utgör I,9 procent av hea stamängden 5 meter. Den bioogiska konstanten för hea trädet är atså icke 2,5, såsom JONSON antagit, utan I,9. Enigt JONSONs tafunktion är stammen en rotationskropp med stubbskäret som bas och med toppen i punkten x = I. Antag, att denna kropps absouta formta är = F. Om trädets höjd är = H och den bioogiska konstanten är = 2,5, så är rotationskroppens höjd= (r -o,oz5) H = o, 975 H. Då är trädets voym W= G o, H F= G H o, F. Atså är trädets formta 50,, 5 = o, 975 F. Om däremot den bioogiska konstanten är = I, 9 fås på samma sätt trädets formta 50I, 9 =(I- o, or 9) F= 0,98 r F. I fråga om 5 meter höga träd är, såsom vi nyss sett, värdet 50I, 9 det riktiga. JONSON har däremot använt värdet 50 2, 5 Hans absouta formta i denna höjdkass böra därför korrigeras genom mutipikation med faktorn 50I, 9 0,981 F = r,oo ,s o,97 5 F Vi beräkna på samma sätt korrektionsfaktorerna för oika höjdkasser och erhåa: för IO m träd 1,oo3r, för 20m träd r,oor4 och för 30 m träd I,ooo8. Dessa faktorer korrigera de fe, som JONSON begått geu'om att på hea trädet ovanför stubben tiämpa den bioogiska konstanten 2, 5. Korrektionen skue ge rätta värden, om JONSONs med användning av sistnämnda konstant beräknade funktion mean formkass och formta vore riktig. Så är emeertid icke förhåandet. För bestämning av de absouta formta, vika igga ti grund för ifrågavarande funktion, har JONSON vat en säregen metod (I9IO, s. 313 X, I 9 I 1, s. 3 I 2 X). Med undvikande av integrering har han först beräknat reativa diametern vid varje tionde av stammen ovan brösthöjd och sedan härett formtaet 50 enigt formen n z - + dr 2 + dz d = IO D 2 där D är brösthöjdsdiametern och dn diametern n tiondear från brösthöjden. Formen innebär, att varje mean två mätpunkter beägen stamde kuberas enigt uttrycket V=~. g, +g n+ I'..... (3) 10 2

18 [13] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 75 där v är voymen, L trädets ängd ovan brösthöjd och gn grundytan n tiondear från brösthöj den. Denna forme är riktig för en he eer stympad kvadratisk parabooid, d. v. s. för stamdear, där diametrarnas kvadrater bida en aritmetisk serie. Hos stammar, som äro formade enigt den generea ogaritmiska funktionen (forme (2), s. 72), varav såvä HöJERs som JoNSONs stamekvationer utgöra speciafa, äro diametrarnas kvadrater proportionea med 1.0 O. a o o (og x) 2 JONSONS / v nzunk LA n e?unk t v v v v B g 10 Fig. 2. Kurvan z = (og x)2 Vi kunna atså kargöra tiämpigheten av forme (3) på enigt taekvation byggda stammar genom att studera funktionen z = (og xy (4) Denna funktion har uppritats i fig. 2. Kurvan är en s-formigt böjd inje som uppåt först är konkav och sedan konvex. För att finna vändpunktens äge derivera vi och erhåa / / z f x 2M 2 (r -nx) z" = ---'---- xz z" bir = o för n x = r och ändrar tecken vid passerandet av punkten x = x. Atså har funktionen z = (og x) 2 en vändpunkt vid x= 2, 7 I 8. I I JONSONs tafunktion (forme 1 a, s. 69) är C=--, då xb är basens og xb abskissa (jfr PETTERSON, 1925, s. 40 och 46). Då xb igger i vändpunkten. I x = 2, 7 I 8 är föjaktigen C= ---- = 2,3 o 2. Detta värde på C motog 2,7I8 svarar närmast J ONSONS taformkass o, 6 I.

19 76 HENRIK PETTERSON 4] Då en kvadratisk parabooid vid grafisk uppäggning av diametrarnas kvadrater tecknas med en rät inje är det tydigt, att forme (3) måste giva för höga resutat för sektioner, som igga på den konkava deen av kurvan (4), atså ti vänster om punkten x = 2, 7 I 8, och för åga resutat för sektioner, som igga på kurvans konvexa de, atså ti höger om x= 2,7 I 8. Hos träd i formkass 0,6 I eer ägre formkasser igga aa sektioner på den konkava deen och biva såunda samtiga för högt kuberade. I meanformkasserna faa en de sektioner på den konkava och en de på den konvexa kurvan, varför här en utjämning av feen äger rum. Hos träd i de högsta formkasserna överväger tendensen ti för åg kubering. För att få en förestäning om sektioneringsfeets storek jämföra v1 1 formkasserna o,6o och o,8o de voymer, som för de nio nedersta sektionerna erhåas des med sektionering och des genom integrering. Det visar sig, att sektioneringen i formkass o,6o ger o,zo % för högt värde, medan den i formkass o,8o uppskattar voymen O,I9% för ågt. Vid denna jämförese har den översta toppsektionen utesutits, emedan densamma är behäftad med ett särskit fe. Enigt forme (3) kuberas toppsektionen med fu ängd såsom en he kvadratisk parabooid, d. v. s. med absouta formtaet o, so. Ett så högt formta i denna sektion är ytterst säsynt, varför toppsektionen i rege bir mycket för högt kuberad. Enigt J ONSONS tafunktion skär stamkurvan trädets ängdaxe 2, 5 procent under toppen. På grund av denna kurvas onaturiga karaktär bir det atid en konventione fråga, hur toppsektionen ska kuberas. Då det gäer att upprätta en matematisk tabe, som ska innehåa de mot tafunktionen svarande voymerna, synes det dock riktigast, att även toppsektionen beräknas enigt denna funktion. I så fa ger JONSONS kubering av toppsektionen 95 % för högt värde i formkass o,6o och 54 % för högt värde i formkass o,8o. Detta fe medför, att hea stamdeen ovanför brösthöjd kuberas o,o9 % för högt i formkass o,6o och 0.36 % för högt i formkass o,8o. I formkass o,6o adderar sig detta fe ti sektioneringsfeet, så att sammanagda kuberingsfeet uppgår ti + o,z9 %. I formkass o,8o motverka feen varandra, varigenom ku betingsfeet nedgår ti + o, I 7 %. Genom invertering finna vi motsvarande korrektionsfaktorer, nämigen 0,997 I för formkass o,6o och 0,9983 för formkass o,8o. Vid tiämpning på en viss kombination av formkass och höjd skoa dessa faktorer mutipiceras med de korrektionsfaktorer, som vi å s. 74 funno nödvändiga på grund av den bioogiska konstantens minskning vid stamkurvans utdragning förbi brösthöjden. Den sutiga korrektionsfaktorn får då föjande värden:.

20 [ IJ5 J STUDIER ÖVER STAMFORMEN n Höjd Formkass meter o,6o o,so 5 I,o o 3 3 1,0045 O I,ooo2,o o I ,9985 0, ,9979 0,999 I Förestående korrektionsfaktorer avse JONSONs absouta form ta_ för hea stammen ovanför stubbskäret. Genom att mutipicera dessa formta med kvoten mean grundytorna vid stubben och vid brösthöjd har JoNSON beräknat de brösthöjdsformta, som igga ti grund för hans tabeer. Brösthöjdsformtaen ha i sin tur mutipicerats med. produkten av brösthöjdsgrundytan och höjden, varigenom de i massatabeerna införda kubikmassorna erhåits. Härav framgår, att såvä brösthöjdsformtaen. som kubikmassorna böra mutipiceras med samma korrektionsfaktorer som vi funnit erforderiga för de absouta formtaen. Vi återkomm.a str:ax ti en diskussion av dessa korrektioners betydese... Frågan om massatabeerna.s konstruktion är emeertid ännu ick~_ 1;1ttömd. Vi ha hittis endast syssesatt oss m,ed formk<~-ssen o,6o och högre formkasser. För de ägre formkasserna här JONSON utan tvingande skä använt het andra principer. I dessa kasser stödas beräkningarna på formkass 0,5o. Denna skue utan svårighet ha kunnat behandas på samma sätt som de övriga. F?rmkassen o, 5o erhåes nämigen, om man i tafunktionen insätt~r konstantvärdena C= 22,5 och c = 904,7 9 I stäet har JONSON här gått ifrån både tafunktionen och sektioneringsmetoden och betraktar stammarna. I som koner, vika kuberas med det matematiskt riktiga absouta formtaet -. 3 I sin motivering ti sektionsmetoden (1910, s. 313 x) har JONSON.anfört, att han väjer denna för att få mera överensstämmese med den metod, som i praktiken användes för att noggrant bestämma ett Jiggande träds. massa. Detta motiv skjutes emeertid åt sidan, så snart det gåer att kubera en kropp, vars absouta formta är känt. Om sektio,neringst. metoden hade tiämpats på konen, skue dennas absouta formta ha bivjt 0;335~ Formkasserna 0,525, 0,55 o.ch 0,575. ha beräknats geno:m interpoation emean de efter het oika principer häredda värdena i formkasserna o;s:o och o,.6o. Om vi betrakta behandingen av denna meangrupp som uttryck för en enhetig princip, så kunna. vi atså: fastså, att JONSONS. massatabeer. äro ut~rbetade på grundvaen av tre skijaktiga principer, som tiämc

21 78 HENRIK PETTERSON [16} pats på var sin formkassgrupp. Inom den viktigaste gruppen, i formkasserna o,6o och däröver, ha resutaten i sin tur framkommit under irraytaode av tre teoretiska fe, vika omväxande utjämna eer förstärka varandra. Av tabån å s. 77 se vi, att feen i sutresutatet för de där förekommande kombinationern:1 ingenstädes överskrider en hav procent. Det är tydigt, att fe av denna storeksordning icke ha nagon betydese vid tabeernas praktiska tiämpning. Icke förty medför JONSONs förfaringssätt stora oägenheter, men dessa igga på ett annat pan än frågan om resutatens praktiska användbarhet. Dessa oägenheter beysas bäst av det sakförhåandet,. att denna ånga utredning behövts för att åtminstone i vissa huvuddrag karägga de begagnade metodernas verkningar. Vid en korrekt behanding av den matematiska uppgift, som här föreegat, hade at detta resonerande varit överfödigt. Det är just fördeen med en matematisk tabe, att man 'erhåer bestämt besked om de resutat, ti vika vissa kart formuerade förutsättningar eda. I ett givet fa kan då prövningen inskränkas ti ett bedömande, huruvida dessa antagna förutsättningar äro tiämpiga. Genom de metoder, som JONBON tigripit, har denna matematiska karaktär hos tabeerna gått förorad. Läsaren måste i stäet ita på författarens auktoritet. Vid behandingen av iknande uppgifter kan man ofta bi tvungen att ersätta en matematiskt korrekt, men inveckad metod med ett enkare närmeseförfarande. Gränsen för vad som i detta avseende kan tiåtas be;;tämmes av resutatets användbarhet. Men att väja ett inveckat och oöverskådigt närrueseförfarande framför en mindre arbetskrävande, enke och korrekt metod, måste anses mindre yckigt, även om resutatet skue bi användbart. Vi ha emeertid sett att JONSONS formkassmetod, trots otifredsstäande teoretisk utformning, kan eda ti praktiskt användbara resutat. Förutsät'tningen för en sådan användbarhet är. att formkassen kan bestammas utan störande infytande av des kronan och rotansväningen sa,mt des formvariationen inom formkassen. Detta är möjigt på iggande tr,iid, där så många diametrar kunna uppmätas, att stamkurvan kan överbickas och eventuet grafiskt utjämnas. För kubering av iggande träd behövs emeertid icke denna metod, eftersom dessa ättare kunna uppskattas genom sektionering. Formkassmetodens värde för praktiska uppskattningar är därför beroende av möjigheten att bestämma formkassen på stående träd. 'Den utväg,. som JONSON anvisat för detta ändamå, är formpunktsmetoden, Vi skoa strax övergå ti ett studium av denna. Dessförinnan

22 [17] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 79 torde det dock vara ämpigt att i ansutning ti det här ovan förda resonemanget söka bida oss en förestäning om utsikterna att på stående träd bedöma formkassen och formtaet genom mätning av två diametrar. Beträffande träd, som äro byggda i fu överensstämmese med HöJERS ekvation eer JONSONs tafunktion, är det kart, att formkassen kan bestämmas genom kvoten mean diametern vid t. ex. 6 m och brösthöjdsdiametern. JONSON omnämner detta förfaringssätt och har i sina tabeer framagt några siffror ti edning för en sådan formbestämning, men han reserverar sig bestämt mot metodens användning (1912, s. 237 X) och förkarar den vara avgjort sämre än formpunktsmetoden (rgr8, s. g). Som skä för denna avvisande håning anföres band annat, att varje iten femätning eer oregebundenhet vid måttstäet medför en avsevärd febestämning av formkassen, speciet hos ångväxt skog. Detta är otviveaktigt riktigt. Då det gäer beståndsuppskattning torde emeertid, såsom jag förut framhåit (s. 68), verkningarna av tifäiga fe ej böra överskattas, eftersom dessa kunna utjämnas genom ett större anta provträd. Emeertid inverkar här ofta ett systematiskt fe, som uppkommer genom att stamkurvan agbundet avviker från HÖJERS ekvation, respektive }ONSONS tafunktion. För att studera denna företeese återvända vi ti fig. r. Vi funno att träden A och B, som båda tihöra formkassen o,7o, avvika mycket med avseende på formen. Deras formta äro dock tämigen ika, nämigen för A 0,494 och för B 0,476. Antag nu, att 6-metersmåttet faer vid den streckade injen, mitt emean brösthöjden och mitten av stamdeen ovan brösthöjd. Diametern i denna punkt är för trädet A 86,o 7 % av brösthöjdsdiametern, viket enigt HöJERs ekvation motsvarar formkassen o,68r och absouta formtaet 0,468. Hos trädet B är diametern i nyssnämnda punkt % av brösthöjdsdiametern, viket enigt HöJERS ekvation motsvarar formkassen o, 727 och absouta formtaet o,sro. Trädet A, som i verkigheten har högre formta än trädet B, får atså genom denna formkassbestämning ägre formta än B. Feet är för A=-- 5,26 % och för B= + 7,14 %. I överensstämmese med vad som framhös å s. 7 r ha dessa fe en tendens att endast devis utjämnas vid beståndsuppskattningar. På grund härav torde vid dyika uppskattningar formkassens bestämning genom kvoten mean diametrarna vid 6 m och vid brösthöjd få anses som en åtminstone under vissa förhåanden riskabe metod, såvida den icke kompetteras med en kontroerande observation av t. ex. kronförhåandet eer en tredje diameter. Då emeertid någon sådan metod hittis ej framagts, kan 6 meters mätningen för närvarande icke tirådas vid beståndsuppskattningar. För 6. Meddd..fdm staetts Skogs.försöksanstat. Häft. 23.

23 80 HENRIK PETTERSON [18] bestämning av formkassen på stående träd återstår då endast formpunktsmetoden. Formpunktsmetoden. JONSONs formpunktsmetod bygger på METZGERS bekanta hypotes (r893, r8g4, r895), att' stammens form bestämmes genom tipassning ti vindtryckets böjande kraft. Under hänvisning ti kända mekaniska agar söt METZGER härav, att stammen under kronan borde ha formen av en kubisk parabooid, vars topp vore föragd ti vindtryckets angreppspunkt, Han påvisade också på undersökta granstammar, att en dyik stamform existerade och att jämföreseparabooidens toppunkt därvid hade ett sådant äge i kronan, att den mycket vä kunde antagas utgöra vindens tryckcent rum. Då JONSON fick den utmärkta iden att kombinera METZGERs hypotes med HÖJERS ekvation, möttes han av vissa svårigheter. För METZGER, som utgick från att stammen hade formen av en kubisk parabooid, var det en naturig sak att söka dennas toppunkt genom den bekanta konstruktionen med stöd av diametrarnas kuber. JONSON däremot var övertygad om, att stamkurvan föjer HöJERs ekvation, atså en ogaritmisk kurva, som endast devis företer ikhet med en kubisk parabe. För honom gäde det därför att i den ogaritmiska kurvan inpassa en kubisk parabe, viken kunde representera METZGERS stamparabooid. Emeertid kan man på ett ogaritmiskt format träd av viss formkass inpassa hur många parabooider som hest med oika toppunktsägen. Här uppstod atså en fråga om vaet av jämföreseparabooid. JONSON vade i varje formkass den parabooid, som med exakt överensstämmese vid basen syntes honom bäst ansuta sig ti stammens nedre dear (r 9 r 2, s. 247 X ). Sättet för denna ansutning har icke kart definierats och föjer icke någon bestämd ag. Förfarandet är subjektivt och undandrar sig därigenom objektiv kritik. De så bestämda parabooidtopparna kaar JONSON först tryckcentra (1912, s. 247 x), men på grund av deras formbestämmande karaktär ger han dem sedan namnet formpunkt. Genom vissa korrektioner, som i det föjande skoa omnämnas, frångår han emeertid formpunktens identitet med stamparabooidens topp, och avser med formpunkt vindtryckets angreppspunkt. Denna vackande terminoogi har skapat ganska mycken oreda. Enigt min mening borde man ha reserverat den förträffiga termen formpunkt för den punkt, viken, om METZGERs grundäggande hypotes håer streck, vanigen. bestämmer formen, nämigen toppunkten hos en på något

24 [19] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 81 entydigt sätt definierad stamparabooid. framgår av nedanstående resonemang. Hur sambandet då skue bivit Hos ett fristående träd kan vindtryckets angreppspunkt, som jag kaat tryckpunkt, närmesevis anses föragd ti kronans under hänsynstagande ti bad- och grenytans fördening beräknade tyngdpunkt. Om trädet stått så änge fristät att det hunnit komma i jämvikt, bör, därest METZ GERS hypotes är riktig, stamparabooidens toppunkt, atså med den föresagna terminoogin formpunkten, faa i samma punkt. I ett bestånd däremot höjer sig på grund av skyddet från kringstående träd tryckpunkten över tyngdpunkten. Formpunkten bör fortfarande vara föragd ti tryckpunkten, men vi veta icke var denna igger. Genom sådana undersökningar som TIRENS (r924, 1926) kan visserigen i enstaka fa tryckpunktens sannoika äge med rätt stor säkerhet bestämmas, och med edning därav kan man skaffa sig en förestäning om, var tryckpunkten är föragd i kronor av oika form och stäning i förhåande ti omgivningen. Ändamået med tryckpunktsbestämningen är ikvä i detta sammanhang endast att fastså formpunktens äge. Detta må kan man nå direkt genom att på fäda stammar ur dessas form häreda formpunkten. Det är därvid möjigt, att en korrekt. bestämd formpunkt får ett sådant äge, att den icke kan förutsättas vara tryckpunkt. Då formpunktsbestämningen hittis icke haft tiräckig stadga, sakna vi säker kännedom om förekomsten av sådana undantag. Sutigen återstå de fa, då stammens form icke ens närmesevis överensstämmer med någon kubisk parabooid. Man kan då icke taa om någon formpunkt, men vä om en tryckpunkt. I denna fråga har TIREN (1926, s. Sr) företrätt en annan ståndpunkt. Han önskar reservera begreppet formpunkt för kronans tryckcentrum. För att undvika meningsskijaktigheter om en annans terminoogi begagnar jag för eget bruk termerna tyngdpunkt, tryckpunkt och stampunkt, med viket sistnämnda begrepp förstås toppen av en på visst sätt definierad stamparabooid (se s. 108). Vid de undersökningar över formpunktsmetoden, som utförts av MATTS SON-MÅRN (1917) och PETRINI (rgr8), har tyngdpunkten betraktats som formpunkt, varigenom skinaden mean tyngdpunkt och tryckpunkt kommit att framstå som fe hos metoden. Vi återvända nu ti JONSONs ur de vid basen inpassade stamparabooiderna häredda formpunkter, vika jag här betecknar som primära. Jag motiverar ängre fram (s. ros) min åsikt, att denna inpassning vid basen icke är ratione. Om den utföres agbundet med tangerande kurvor eder den säkert ti för högt beägna formpunkter. En tendens i samma

25 82 HENRIK PETTERSON [20] riktning gör sig gäande även då parabooiderna inpassas efter ögonmått, såsom JONSON gjort. Beträffande en formkass, nämigen o,so, har detta förhåande stått kart även för JONSON. Där fö paraboaidens toppäge 7 % ovanför trädets topp. I syfte att råda bot harför sänktes formpunkten godtyckigt ti 98 % av stammen från basen räknat. För utjämning av den kurva, som angav funktionen mean formkass och primär formpunkt, ändrades dessutom formpunktshöjden i formkass 0,6 5 från 61 % ti 62% och i formkass 0,75 från 87% ti 85 %. Därmed var i tre formkasser av sju formpunktens samband med den inpassade parahaoidens topppunkt upphävt. För de oika formkasserna hade nu formpunktshöjderna föjande värden: Tab. I. Formkass... 0,5o 0,55 Formpunktshöjd... 0,33 0,42 o,6o 0,65 0,7o 0,75 0,51 o,62 0,73 o,85 o, so 0,98 Formpunktshöjderna äro angivna med stamängden över marken som enhet. Formkasserna avse hea trädet. Nu vie emeertid JONSON karägga sambandet mean absouta formkassen för stamdeen ovan brösthöjd och hea trädets formpunktshöjd. Då JONSONS formbestämning utesutande är baserad på stamdeen ovanför brösthöjd hade det varit från hans synpunkt naturigast, att han också vid jämföreseparabooidens inpassning betraktat brösthöjden som bas. För formpunktshöjden ovanför brösthöjd hade då de i tab. 1 angivna värdena varit omedebart gitiga. Deras omföring ti procent av hea trädets ängd hade sedan kunnat ske enigt formen: (H-1,3) + 1,3 F= H... (5) där F är trädets sökta formpunktshöj d, formpunktshöjden ovanför brösthöjd enigt tab. 1 och H trädets höjd. Emeertid har JONSON vat en annan väg. Han utdrager den mot formkassen ovanför brösthöjd svarande stamkurvan ti marken och beräknar därefter hea trädets formkass. Sedan aväser han å den kurva, som utjämnar värdena i Tab. I, trädets formpunktshöjd. Om det antagna sambandet mean formkass och formpunkt existerade, skue detta förfaringssätt ge samma resutat som inpassning vid brösthöjd och tiämpning av forme (5). Enigt JoNSONs förutsättningar är nämigen formpunkten identisk med vindtryckets angreppspunkt, och dennas äge i kronan kan icke ändras genom att en större eer. mindre

26 (21) STUDIER ÖVER STAMFORMEN 83 de av stammen tages i betraktande. Emeertid ämna dessa båda beräkningar icke samma resutat, viket bäst beyses genom ett exempe. Ett 5 meter högt träd, vars absouta formkass ovanför brösthöjd är 0,6o, får vid stamkurvans utdragning ti marken formkassen 0,62. För denna formkass erhåes genom interpoation i Tab. I formpunktshöjden 0,5 5 Samma träds formpunktshöjd ovanför brösthöjd är enigt Tab. I 0,5 r. Genom insättning av detta värde i formen (5) fås för hea trädet formpunktshöjden 0,64. Denna motsättning visar, att METZGERS hypotes icke kan kombineras med HöJERs ekvation på det av JONSON använda sättet. Huvudfeet i J ONSONS system igger utan tvive däri, att jämföreseparabooiderna inpassats vid basen. Emeertid har JONSON icke stannat härvid. För att underätta här~ edningen av hea trädets formpunktshöjd ur den absouta formkassen ovanför brösthöjd och dessutom, enigt uppgift, göra det möjigt för taxatorn sjäv att ur den bedömda formpunkten exakt räkna sig ti formkvoten konstruerade han en ny empirisk funktion mean formpunktshöjd och absout formkass av föjande utseende (I912, s. 255 X) - 0,70 q=o,tz6 VF +o,o8r- -,-- P /t-1,3, där FP är formpunktshöjden, q formkvoten och h höjden. Denna forme har, sannoikt genom feskrivning, bivit oriktig. Om vi tiämpa den på det nyss anförda exempet fås för ett 5 meter högt träd med en absout formkass ovanför brösthöjd av o,6o formpunktshöjden 0,95. Då JONSONs Tabe III (I912, s. 263 X) för denna höjd och formkass upptager formpunktshöjden o, 55 undersöka vi forme (6) och finna, att tabeens värden äro beräknade enigt ekvationen 0,07 )2 FP= ( q-o,o8r + h-i, 3 r,sg6... (7) Genom denna empiriska funktion (7) har ett nytt osäkerhetsmoment fukomigt onödigt införts i det redan förut svåröverskådiga förfaringssättet. För att fut kontroera funktionens verkningar vore det nödvändigt att räkna om JONSONs Tab. III enigt de förutsättningar, som denne sökt tifredsstäa genom funktionen. Så mycket arbete är ikvä icke saken

27 84 HENRIK PETTERSON [22] värd. I en formkass, nämigen o,so, kunna vi emeertid se funktionens verkningar omedebart. Stammarna äro här koner ovanför brösthöjd och de förbi koner vid utdragning ti marken. Deras formpunktshöjd ska såunda enigt Tab. 1 atid vara 0,33, medan den i JONSONs tabe III varierar mean 0,34 och 0,36. De på så sätt beräknade formpunkterna återfinnas å varje tabesida av JONSONs»Massatabeer för träduppskattning» (1918), Av det förestående torde framgå, att sambandet mean dessa formpunktshöjder och METZGERS hypotes är synnerigen svagt. Metoden att inpassa jämföreseparabooiderna vid basen, det subjektiva sättet för inpassningens genomförande, de vid framstäningen av Tab. 1 verkstäda korrektionerna och de ytterigare korrektioner, som bivit en föjd av den empiriska funktionens användning, ha förenade så uppuckrat det eftersträvade sambandet, att man ej kan taa om en tiämpning av METZGERS tankegång. Det föregående resonemanget är byggt på förutsättningen att stamkurvan föjer HöJERS ekvation. Emeertid ha vi förut sett (s. 70) att HöJERs kurva endast är ett speciafa band många förekommande stamkurvor. På grund härav varierar formen starkt inom en och samma formkass. Vi kunna vid praktiska undersökningar bortse från den härmed sammanhängande formtasvariationen. Däremot måste vi taga. hänsyn ti det infytande, som formens växingar inom formkassen ha på kombinationen med METZGERS hypotes. Ett formpunktsäge, som bestämts med stöd av HöJERS kurva, gäer endast i fråga om så formade träd, atså för de undantagsfa, då en enskid stam föjer kurvan, eer närmesevis för medeträd av ett bandat materia, där formvariationen inom formkassen utjämnats. Enär METZGERS hypotes är mest styrkt i fråga om de vanigaste stamtyperna torde atså en kombination av de båda hypoteserna ha största utsikten att yckas, då det gäer medeformen hos ett bandat materia, vars medeformkass icke atför mycket avviker från den vanigaste. Detsamma måste i princip gäa för JONSONs formpunktsmetod. Vid dennas utarbetande ha, såsom vi nyss sett, fera avsteg gjorts. från en konsekvent tiämpning av METZGERS hypotes. Särskit betydesefu är i detta sammanhang jämföreseparabooidernas inpassning vid t'rädets bas. Det fe, som härigenom uppkommer, är minst i meanformkasserna (jfr s. 106), viket ytterigare begränsar metodens tiämpighet ti detta område. Vid ett bedömande av JONSONs formpunktsmetod gör man kokast i att bortse från METZGERS hypotes och betrakta de framagda form-

28 [23] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 85 punktshöjderna såsom fristående hypoteser. De få värde först i den mån som de bekräftas av direkta iakttageser. Sådana äro emeertid svåra att utföra, därför att vi i rege icke veta var vindtryckets angreppspunkt igger. Varje avvikese från JONSON_S funktion mean formpunkt och formkass kan då också uppfattas som ett bevis på att formpunkten febedömts. Under sådana förhåanden rör sig kontroen i en cirke, och metoden kan sitta i orubbat bo, även om den är adrig så feaktig. En dyik tendens kan spåras i utformningen av metodens detajer. När någon trädtyp upptäckts, hos viken den mot JoNSONs funktion svarande formpunkten icke kunnat accepteras som sannoik angreppspunkt för vindtrycket, så har kritiken icke vänts mot funktionen, utan mot formpunktsbestämningen. Metoden har då kompetterats med någon bioogisk hjäphypotes, som gjort det möjigt att pacera formpunkten i det äge, där den enigt JONSONS funktion borde igga. Som ett taande exempe härpå kan hjäphypotesen om grenvinkens infytande tjäna (jfr PETTERSON, 1925, s. 68). Särskit hos övträd med ågt ansatta grova grenar.avtager stammen hastigt inom kronan. Denna krontyp utmärkes ofta av snett uppåtriktade grenar. J u spetsigare grenvinken är, dess ängre ned på stammen i förhåande ti den gröna kronan igger understa grenansättningen, där övergången sker ti den starkare avsmaningen. Då grenarna gå så djupt, att de nå under den övre formkassbestämmande diametern, bir formkassen i dyika fa åg och JONSONs funktion ger vid norma formpunktsbedömning för hög formkass. Detta fe beror på, att stamkurvan avviker från HöJERS kurva, viket i sin tur innebär, att JONSONs funktion icke är tiämpig. JONSON uppfattar emeertid feet som ett utsag av oriktig formpunktsbedömning, och han söker en anedning att fytta ned formpunkten under vindtryckets angreppspunkt. Han framhåer (1912 s. 267 X, 1918, s. 8) att det är i grenarnas fästpunkter, som vindtrycket överföres ti stammen, varför formpunkten bör sänkas ungefär så mycket som fåstpunkterna i medeta igga ägre än respektive grenars vindfångande övmassa. Detta resonemang strider mot mekanikens enkaste agar, enär vindtryckets inverkan på ett tvärsnitt av stamdeen under kronan bestämmes av tryckpunktens avstånd från detta tvärsnitt och är oberoende av sättet för grenarnas anknytning ti stammen. Men åtgärden att sänka formpunkten verkar i rätt riktning, om man eftersträvar en med verkigheten överensstämmande formkassbedömning. Korrektionen bir större, ju spetsigare grenvinken är, viket med samma förbehå också är i vaniga fa riktigt. Däremot är det sannoikt, att bestämningen av formen hos stamdeen under kronan bir sämre genom den korrigerade formpunkten än med den direkt

29 86 HENRIK PETTERSON [24) uppskattade. Vi håa oss emeertid för tifäet endast ti formkassen och konstatera, att JONSON genom ett feaktigt resonemang gjort sin funktion praktiskt användbar inom ett område, där funktionen är oriktig och såunda, om formpunkte) bedömdes korrekt, icke skue kunna tiämpas. Även andra hjäphypoteser finnas. De bygga i rege icke på uppenbart feaktiga, utan snarare på obestyrkta bioogiska förutsättningar. Om JONqONS funktion fordrar en formpunkt, som är högre beägen än vindtryckets sannoika angreppspunkt, bortförkaras motsättningen genom antaganden om en mot toppen avtagande vedstyrka. I fråga om»vargar» händer det ofta, att funktionen kräver.en påfaande åg föräggning av formpunkten. Detta förhåande anses bero på stark kvistrensning, varför kronan före formpunktbedömningen rekonstrueras nedåt. Att avvikesen kan bero på, att stamkurvan ej föjer HöJERS ekvation, har icke tagits i betraktande. Viktigast av aa korrektioner är dock den höjning av formpunkten från kronans tyngdpunkt ti vindens tryckpunkt, som enigt METZGERS hypotes måste företagas i fråga om träd i bestånd. En tendens i samma riktning gör sig gäande även vid tiämpning av JONSONs funktion. Här finnes ett vidsträckt fät för subjektivt bedömande, kontroerat genom undersökningar på fäda stammar. Genom de av JONSON föreskrivna korrektionerna har formpunktsmeden redan från början fått ett starkt empiriskt insag. Detta förstärkes under metodens användning genom tiskott ur taxatorns egen erfarenhet. En skickig taxator är sig så småningom att med ganska stor säkerhet bestämma det formpunktsäge, som vid tiämpning av JONSONs funktion ger närmesevis rätt formkass. Fe i funktionen inverka härvid endast på så sätt, att de försvåra sammanhåandet av taxatorns iakttageser. På detta subjektiva bedömande grundas ti stor de formpunktsmetodens praktiska värde. Det kan emeertid ifrågasättas, om det icke vore ika ätt att ära sig uppskatta formkassen direkt. Formpunktsmetodens subjektiva karaktär medför, att en kontroundersökning närmast bir en mätare på taxatorns skickighet. Först genom att jämföra fera taxatorers uppskattningar av samma objekt får man en förestäning om metodens verkningar. Någon sådan undersökning har mig veterigt icke pubicerats. De kontroundersökningar, som verkstäts av MATTSSON-MÅRN (1917) och PETRINI (r9r8), röra nämigen strängt taget något annat, eftersom dessa forskare med formpunkt förstå kronans tyngdpunkt. De erhöo så gott som ingen korreation mean tyngdpunkt och formkass hos.enskida träd. Då emeertid JONSONs funktion innebär ett visst samband mean tryckpunkt och formkass,

30 [25) STUDIER ÖVER STAMFORMEN 87 kan denna brist på korreation ej rimigtvis äggas formpunktsmetoden ti ast. Sammanfattning. Det igger i sakens natur, att förestående granskning icke kan ämna några håpunkter för bedörnan~et av det praktiska värdet hos JONSONs formbestärnningsmetod. I sin praktiska tiämpning är förfarandet nämigen starkt subjektivt, viket i hög grad försvårar en objektiv kritik. Enigt en utbredd amän mening ger metoden i en skickig taxators hand goda resutat, då det gäer att faststäa medeformtaet hos ett bandat materia, t. ex. vid taxering av större, någorunda normat bevuxna skogsområden. Vi ha för närvarande ingen anedning att betviva denna uppfattnings riktighet. Den fråga, som här skue besvaras, var emeertid, huruvida JONSONs formbestämningsmetod kan tjäna som hjäpmede vid skogsförsöksanstatens undersökningar. Vid en dyik användning måste man eftersträva att så mycket som möjigt ersätta det subje}<tiva bedömandet med objektiva observationer och objektiva korrektionsnormer. Det vore tänkbart, att materia härför kunde insamas genom precisionsundersökningar å representativa provträd i oika beståndstyper. Man skue på detta sätt skaffa sig erfarenhet om var i kronorna formpunkten under oika förhåanden behöver paceras för att den med formpunkts- och formkassmetoden bestämda kubikmassan ska biva den riktiga. Utsikterna att komrna fram på denna arbetskrävande och kostsamma väg äro ikvä icke stora. Metodens devis feaktiga teoretiska konstruktion måste nämigen komrna förefintiga bioogiska samband att framstå som ännu mer inveckade än de i verkigheten äro. Av en vetenskapig metod fordras, att man ska kunna kart och redigt diskutera dess fernöjigheter. En sådan diskussion är ett ivsvikor för at vetenskapigt arbete. Utan den stenar arbetsmetoden ti schabon och utveckingen på området avstannar. Denna fordran tifredsstäes icke av JONSONs forrnbestärnningsmetod. På grund av fe och okarheter i den teoretiska konstruktionen kan man i ett givet fa icke bedöma, i viken mån en avvikese i resutatet beror på materiaet eer på en särskid kombination av metodens fe. Därför kan JONSONs metod, hur användbar den än må vara i den stora praktiken, icke äggas ti grund för vetenskapiga undersökningar. För att tifredsstäa vetenskapiga anspråk måste hea detta probem uppäggas efter karare injer än hittis. Vi kunna därvid med förde anknyta resonemanget ti JONSONs två utgångspunkter, nämigen HöJERS ekvation och METZGERS hypotes.

31 88 HENRIK PETTERSON [26] KAP. III. Den ogaritmiska kurvan. Som förut framhåits (s. 69), visade HöJER ( 1903), att diametrarna hos ett av LOVEN beräknat medeträd kunde med små fe bestämmas genom formen d c+ D= C og -c-... (8) Härigenom uppstod frågan, i viken mån formen (8) kunde generaiseras. JONSON besvarade detta spörsmå genom att för sex formkasser söka de värden å konstanterna C och c, som gåvo ett rätt förhåande mean de formkassbestämmande diametrarna. De för en viss formkass funna konstanterna insattes i formen (8), varefter diametern beräknades vid varje tionde av stammens ängd ovanför brösthöjd. Dessa diametrar visade i amänhet god överensstämmese med formkassvis beräknade medeta av på bandat naturigt materia uppmätta diametrar. De erhåna feen voro dock större hos taen än hos granen. Med denna erfarenhet kunde man för de festa praktiska behov åta sig nop. Ur vetenskapig synpunkt var dock probemet fortfarande oöst. Man visste, att avsmaningen hos ti samma formkass hörande enskida träd kunde variera betydigt. Denna variation ät sig ej behärskas med HöJERS ekvation (forme 8). Å andra sidan visste man icke, i viken mån de enskida stammarnas variation utjämnades i medetaen av ett sorterat materia, exempevis i medeta för bestånd. Det är här som jag satt in mina undersökningar. Då det icke var utesutet, att det av HöJER och JONSON påvisade sambandet ägde en mera genere natur än som framgick av HöJERs ekvation, inriktade jag först mitt arbete på att kargöra innebörden av denna forme. Ifrågavarande utredning, som återfinnes i uppsatsen»sambandet mean kronan och stamformen» (r 925 ), är grundäggande för den nu framagda undersökningen, varför jag här devis upprepar densamma. I nyss angivna syfte betrakta vi den enkaste ogaritmiska funktionen, nämigen y=og x. Denna funktion har uppritats i fig. 3, varvid samma måttenhet vats för båda axarna. Emedan og I är= o och ogaritmerna för mindre ta än I äro negativa, skär kurvan x-axen i punkten x= 1. För större värden på x bir kurvan utomordentigt fack, men den stiger oavbrutet och får för im x= oo oändigt stora ordinator. Antag nu, att kurvans de ovan x-axen representerar ett träd med ängden efter x-axen och toppen i punkten x= 1. Ordinatorna antagas förestäa stammens diametrar. Abskissan för trädets bas, som kan igga på va-

32 [27) STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 89 / ~ Fig. 3 Kurvan y = og x. rierande avstånd från origo, betecknas i det föjande atid med xb. Om basen är beägen i punkten x= 2, bir basdiametern =og 2 och mittdiametern o og r,s o =og r,s, atsa formkassen= --- =o,sss. I tabe 2 aterfinnas de formog 2 kasser, som erhåas genom basens utfyttande ti högre x-värden. Vi finna att formkassen oavbrutet stiger, så att den t. ex. för xb=4o utgör o,srg. 00 Förägges basen ti x.= oo, bir formkassen = -, ett obestämt uttryck, 00 som genom differentiering visas vara= r. För x b= r erhåes sutigen formo kassen -, som på samma sätt bestämmes ti o,s. o Genom att förägga basen på ämpigt avstånd från origo kunna vi såunda ur en och samma kurva, representerande den enka funktionen y = og x, erhåa aa formkasser mean o,s och r. Tab. 2. x Basens y= og x Formkass o,soo o,ooo 2 o,3oi o,sss 4 o,6o2 o,66i 6 o, 77s o,699 8 o,9o3 o,723 IO I,ooo o,74o 20 I,3oi 0, ,477 o,sa6 40 r,6o2 O,Srg r,ooo Eftersom trädets topp atid igger i punkten x= r, är totaa trädängden = x b- r. Om v1 i tab. 2 jämföra detta uttryck för ängden med basens ordinata, som enigt antagandet förestäer basdiametern, så finna vi, att ordinatorna överat äro större i förhåande ti (x b- r) än som motsvarar basdiameterns förhåande ti ängden hos naturiga träd. På grund härav

33 90 HENRIK PETTERSON [28J kunna vi ej upprätthåa vårt antagande att kurvans ordinator förestäa diametrar hos verkiga träd. Vi undersöka emeertid, huruvida funktionen y= og x riktigt återger den reativa avsmaningen, d. v. s. förhåandet mean diametern d i en godtyckig punkt x på stammen och basdiametern D. För detta förhåande ha vi uttrycket d og x D ogxb... (9) Beteckna vi _I- og x 6 med C, bir d jj=cogx... (Io) I ett koordinatsystem är abskissan för en punkt på x-axen = punktens avstånd från. origo, uttryckt z' måttenhetp-r. Antag nu, att den i :fig. 3 tiämpade måttenheten är a meter samt att den givna punkten x på stammen igger z meter från toppen. Punktens avstånd från origo är då = (a + z) meter = a+z måttenheter, varav abskissan a z X=I+.... (II) a Antag vidare, att z är = % av trädets absouta ängd L och att a är = c% av L, så fås Om detta värde insättes z a c ek v. (I I) erhåes c+ X=I +-=--, c c varav genom insättning ek v. ( 1 o) d c+ n= Cog-c-, viket är HöJERs ekvation, sådan denna tiämpats av JoNsoN. Funktionen y = og x ger atså, då trädets topp förägges ti punkten x = I, samma förhåande mean diametrarna som HöJERs ekvation och utvisar såedes, vid denna pacering av toppen, naturiga träds reativa avsmaning i samma grad som HöJERs ekvation. Funktionen y =og x har den fördeen, att en enda kurva representerar avsmaningen hos aa träd, varvid träd, som tihöra en viss formkass, representeras av kurvan inti en viss abskissa xb. Den omständigheten att aa formkasser framstäas genom samma kurva möjiggör en bekväm och noggrann bestämning av avsmaningen hos ett obegränsat anta formkasser. Hos JoNSON däremot är avsmaningen uträknad en gång för aa endast för ett fåta formkasser, medan dess bestämning för meaniggande formkasser förutsätter en vidyftig beräkning eer en rätt osäker interpoation. Den enka ogaritmiska funktionens överägsenhet igger emeertid framför at däri, att den är mera genere än HöJERs ekvation. Vi sågo,

34 [29] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 91 att de båda uttrycken gåvo identiska bestämningar av stammens reativa diametrar endast under förutsättning att trädets topp förades ti punkten x= I. HÖJERS ekvation överensstämmer såunda med ett speciafa av funktionen y= og x. Insikten härom ger oss anedning att överväga, om denna pacering av toppen under aa förhåanden är den mest ämpiga. I den nyss citerade uppsatsen (1925) har jag provisoriskt försökt pacera toppen i origo, varvid för }ONSONS materia bättre överensstämmese erhös än med HöJERs ekvation. Emeertid är även denna föräggning av toppen endast ett speciafa. Vi skoa nu undersöka, vika möjigheter den ogaritmiska kurvan har att återge naturiga stamformer, om toppens äge i koordinatsystemet får variera fritt. Så snart toppen paceras annorstädes än i punkten x = r kan den ogaritmiska kurvan ej representera hea trädets reativa avsmaning, eftersom ordinatan i nämnda punkt atid är = o. Vi begränsa därför den föreiggande uppgiften ti att omfatta endast stamdeen under kronan. Att finna ett ämpigt uttryck för stamformen inom kronan bir en senare fråga. Dessutom utesutes här, iksom vid aa dyika undersökningar, den med rotansväning behäftade nedersta stamdeen. Vi antaga atså, att stammens diametrar under kronan och ovanför rotansväningen äro proportionea med den ogaritmiska kurvans ordinator, d. v. s. med ogaritmerna för mätpunkternas abskissor. Härvid förutsättes, att toppens äge i koordinatsystemet icke är känt. Vi skoa först utreda konsekvenserna av vårt antagande och därefter genom jämföreser med naturigt materia söka bekräftese på dess riktighet. Det gjorda antagandet kan, med användande av samma beteckningar, som definierats å sid. 69, uttryckas genom ekvationen d og x D=ogxb (Iz) Om vi, iksom förut, I beteckna -- med og x 6 d= CD og x C, bir Vi beteckna i det föjande CD med Q, varav.... (I 3) d= Q og x (r4) Q uttrycker atså förhåandet mean basdiametern och basordinatan. För att ytterigare beysa innebörden av denna konstant dividera vi båda eden i ekv. (I4) med måttenheten a, varvid erhåes Q d -=-og x a a

35 92 HENRIK PETTERSON [30] B etec k na v1-.q me droco, sa 1as a d -=R og z a d är diametern i en given mätpunkt, uttryckt i måttenheter. Om a vi i vårt koordinatsystem (fig. 3, s. 89) önska inägga ett naturigt träds stamkurva, måste föjaktigen, under de givna förutsättningarna, aa ordinator mutipiceras med den konstanta faktorn R. Av det föregående framgår, att konstanten Q är en produkt av denna reduktionsfaktor R och måttenheten a. I ekv. (r4) är z den givria mätpunktens abskissa, varmed förstås punktens avstånd från origo, uttryckt i måttenheter. En mätpunkts absouta avstånd från origo, beteckna vi i det föjande med, därvid frångående bokstavens betydese vid häredningen av HÖJERs forme. Vi få Z=- a Ekvationen ( 14) får då föjande utseende: d= Q og För tre mätpunkter på avstånden r, z och 3 från origo fås a r dr= Q oga z dz =Q og a 3 d3 =Q oga' ( z r) z varav dz- dr = Q og --;; -- og a =Q og-. r och d3-d2 = Genom att dividera 13 =Q og-. z uttrycket (r6) med uttrycket (r7) erhåes: z ogfr og 2 - og r og 3 - og z. (r6) (I 7). (r 8)

36 [31] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 93 Då de tre mätpunkternas inbördes avstånd kan direkt uppmätas innehåer ekvationen ( 1 8) endast en obekant, nämigen en av mätpunkternas absouta avstånd från origo. Vi äro föjaktigen i stånd att ur kvoten mean två diameterdifferenser häreda äget för origo. Denna viktiga kvot kaar jag i det föjande differenskvoten (p). För metodens tiämpning på stående träd utgå vi från en diameter D, vars avstånd från origo antages vara A meter. Denna mätpunkt, som kan igga var som hest på stammen, benämnes i det föjande den undre mätpunkten. Därefter utmärka vi m meter ovanför den undre mätpunkten en meersta mätpunkt och m meter ovanför denna en övre mätpunkt. Vi väja i ekv. (18): z =A-m r =A-2m. Samtidigt uttrycka vi aa ängder i mätpunktsavståndet 111, saköst kan göras, eftersom t. ex. z z :m -är=- r r :m viket p= Ekv. (18) får då föjande utseende: A-m A-2m og -og--- A A-m og--og-- m m ). Om vi beteckna - med r. så fås: m og (!_ - 1) - og (~ - z) m m (r ) ;., A 9 og - -og f- - 1 ) m \m og (r- r) - og (r- z) p = og r -og (r- r)... (zo) Ekv. (zo) kan icke ösas direkt. Vi insätta därför ett anta värden på r och beräkna motsvarande differenskvoter. Dessa avstickas i ett koordinatsystem, varefter de erhåna punkterna sammanbindas med en kurva, på viken man för varje differenskvot kan aväsa motsvarande värde å T De så funna värdena kontroeras genom insättning i formen (zo). Då undre mätpunkteris avstånd från origo är A = m r. fås sedan ifrågavarande mätpunkts absouta avstånd från origo genom att mutipicera r med mätpunktsavståndet m.

37 94 HENRIK PETTERSON [32] I tab. I, som införts å s. 142 i sutet av denna avhanding, återfinnas på så sätt. för oika differenskvoter beräknade värden å r jämte mot mätpunktsavstånden 0,5, 2 och 3 meter svarande värden å A. Vi återvända nu ti formen (20). Då A betecknar undre mätpunktens absouta avstånd från origo och m är avståndet mean två närbeägna - vi o k / 2 II--~ - v v---~ - / v i_ v--- ~ 3 Y-2 Y-1 --u. -- y u.. ( Fig. 4 Vid förskjutning av kurvan y = og x fr.n I ti II bir differenskvoten ~ oföru ändrad, men måttenheten minskas. (Bei Verschiebung der Kurve y = og x von I bis II beibt der Differenzenquotient ~ geich, während die Achseneinheit keiu ner wird)...1 mätpunkter, så representerar r, som är = -, undre mätpunktens abskissa m i ett system, vars måttenhet är ika med mätpunktsavståndet m. (r-i) representerar meersta mätpunktens abskissa och (r-z) övre mätpunktens abskissa i samma system. De ogaritmiska termerna beteckna ordinator ti en i detta system dragen kurva av formen y = og%. För att åskådiggöra sambandet mean denna kurva och den sökta stamkurvan upprita vi den förstnämnda i fig. 4 (se kurvan I). Differen-

38 [33] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 95 sen og r -og(r-r) betecknas med u och differensen og (r-r) -og (r-z) med v. Härav fås differenskvoten v p=~... (zr) u Den i fig. 4 uppritade kurvan I är endast undantagsvis den sökta stamkurvan, eftersom måttenheten m är godtyckigt vad. Vi önska nu övergå ti stammens verkiga måtten.iet a, utan att därvid förändra differenskvoten. Detta sker genom att förskjuta kurvan I paraet med y-axen. Vid en sådan förskjutning förbiva differenserna v och u oförändrade,. varför ej heer differenskvoten ändras. Men kurvans skärningspunkt med x-axen rycker exempevis vid förskjutning i )'-axens positiva riktning at närmare origo, viket innebär, att måttenheten minskas. Antag, att måttenheten a uppnås, då kurvan intager äget II å fig. 4 Om den nya måttenheten a uttryckes i figurens ursprungiga måttenhet, a som är m, bir den -. Förskjutningens storek är k ursprungiga måttm enheter. Vi få då: a.-k = og-, varav m m k= og-. a Ekvationen för kurvan II är i det ursprungiga systemet: y= og-+ k, m varav genom insättning av det i (22) funna värdet å k.... (zz) m y= og-+ og-= og-, (23) m a a viket är ekvationen fcir kurvan II i det nya systemet. Å ett stående träd känna vi emeertid icke måttenheten a. Vi måste därför skaffa oss ett hjäpmede för att kunna bestämma densamma. Av fig. 4 framgår att differensen u i undre mätpunkten förbir oförändrad under förskjutningen, medan däremot ordinatan i samma punkt ändras. Kurvans nya äge är, förutom av differenskvoten, fut definierat genom kvoten mean dessa båda storheter. Enigt den grundäggande förutsättningen för detta resonemang förhåa sig diametrarna i undre och meersta mätpunkten d 3 och d2 ti 7. Medde. frt'tn Statens Skogsforsöksa,.stat. Häft. 23.

39 96 HENRIK PETTERSON [34] varandra som motsvarande ordinator y 3 och yz systemet med måttenheten a. Härav fås d3-d2 y 3-yz --- = (24) d3 Y3 Vi beteckna diameterdifferensen (d3-dz) med U och diametern i undre mätpunkten d3 med D. Ordinatornas differens (y3-yz) har redan förut betecknats med u. Om x, är den undre mätpunktens abskissa i systemet med A måttenheten a, så är x, = - och y 3 = og x,. Genom insättning av a dessa beteckningar i ekv. (24) fås u u... (25) D og x, Denna kvot kaar jag avsmaningskvoten. Den uttrycker reativa avsmaningen på m meter närmast ovanför undre mätpunkten. För att erhåa enkare räkningar användes emeertid i det föjande avsmaningskvotens inverterade värde, som kaas avsmaningstaet (a). Atså är D ogx, O'= u=-u-, varav og x,= u a. (26).... '.... (27) Men u är = og r- og (r- I). Denna faktor är såunda en funktion av differenskvoten, varför den kan tabeföras med differenskvoten som ingång. Detta har skett i Ta b. I. För att finna og x, ha vi atså endast att på trädet bestämma differenskvoten, därefter i Tab. I söka motsvarande värde på u och sutigen mutipicera detta värde med det på trädet funna avsmaningstaet. Sedan x, bestämts erhåes måttenheten a genom reationen a= (28) Iband kan det även vara fördeaktigt att beräkna a direkt med förbigående av x,. Vi ha a=, x, varav og a= og A -og x,..... (29) Men og x, är enigt ekv. (27) = u a, atså og a= og A- u a.... (30)

40 [35] STUDIER ÖVER ST AM FORMEN 97 Vidare fås av ekv. (25) D u D u og x, og xu är enigt ekv. (14), s. 91 =Q. Atså är u Q= (31) u D Det är oftast ämpigt att beräkna Q ur Men för vissa ändamå og x, önskar man erhåa Q direkt med förbigående av xu. I sådana fa kan formen (3 I) rekommenderas såsom en enke utväg. En kurva av formen y = og x är entydigt definierad genom äget för origo och måttenheten. Det innebär därför ett fuständigt utnyttjande av kurvans möjigheter att återge den reativa avsmaningen hos stamdeen under kronan, om 'man vid jämföresen åter både origoäget och måttenheten variera fritt. Så har här kunnat ske med hjäp av de nya begreppen differenskvot och avsmaningstal Skue mot förmodan den uppnådda tipassningen visa sig vara otiräckig, så återstår intet annat än att söka nya, säkerigen mera inveckade jämföresefunktioner. Emeertid synes den här utveckade metoden tifredsstäa mycket högt städa anspråk. Vi återkomma ti denna fråga i kap. VIII. KAP. IV. Bestämning av voymen. Ordinatorna ti kurvan y= og x utgöra reativa mått på diametrarna. Vi önska nu betrakta motsvarande profikurva, vikens ordinator äro reativa mått på radier. Profikurvans ekvation kan skrivas ~gx.. z=-, (33) 2 M varav z= -nx 2 M z och Z 2 = - (n x)" (34) 4. Profikurvan, x-axen och den mot en abskissa x svarande ordinatan innesuta en yta A. Vi söka nu voymen w hos den kropp, som uppkommer genom att ytan A vrides kring x-axen. Som bekant är

41 98 HENRIK PETTERSON [36] "' w= Jr.z 2 dz, 7r.i1if 2 -" varav enigt (34) w=-- J (!n x) 2 dx.... {35) 4 I Emeertid är J (!nz) 2 dz =z ( (n x) 2-2n z + z], x varav J(nz) 2 dz =z [ (nz)"- zn z+ z]-z... (36) Genom insättning i formen (35) fås w= 7r7 {x[ 2 (n z) 2 --znz +z]- z}= =~{x[(ogzy-:zmogx+zm2]-zm 2 } (37) Detta är den. förut definierade rotationskroppens voym, uttryckt i kurvans måttenhet. För att erhåa den verki.ga voymen W, uttryckt i kubikmeter, hos ett träd med samma reativa form, reducera vi kroppens grundyta och ängd ti absouta mått. Vi utgå därvid från någon på trädet uppmätt diameter, i detta fa bekvämast från undre mätpunktens diameter D. Trädets grundyta är r.dz 7r här--. Motsvarande grundyta hos rotationskroppen är- (og z,) Reduktionsfaktorn för grundytan är därför ( og zu Längdreduktionen ska ske genom förhåandet mean två mot varandra svarande ängder. Vi väja härför ämpigast undre mätpunktens avstånd från origo, som i absout mått är A och i måttenheter är zu. A Reduktionsfaktorn för ängden bir då-. z, Genom att mutipicera rotationskroppens voym w med de båda reduktionsfaktorerna få vi trädets voym D Då 1 ---är= Q (se ekv. og zu -yiket uttryck i vissa fa är att föredraga. ) 2 D 2 Aw w= ( ) (38) ogzu z,. A 14, sid. 91) och - är= måttenheten a, så är z, W=Q 2 aw,.... (39)

42 [37] STUDER ÖVER STAMFORMEN 99 För den arbetsmetod, som här nedan ska utveckas, använda vi formen D 2 aw W= (og.:rjz'..., (40) Emeertid har ett naturigt träd endast undantagsvis i hea sin ängd samma reativa form som rotationskroppen. Vi ha därför tisvidare begränsat vår uppgift ti ett studium av stamdeen under kronan och ovanför rotansväningen. Från den senare kunna vi bortse vid beräkning av voymen. Kuberingen ska därför omfatta den starnde, som är beägen mean krongränsen och en ämpigt vad bas. Vi förbigå i detta resonemang frågan om stubbavdrag (se sid. 73) och utsträcka den i beräkningen indragna stamdeen ända ti marken. Ifrågavarande stamde motsvaras på rotationskroppen av den de, som är beägen mean krongränsens abskissa.:r k och basens abskissa.:r b. Denna des voym finna vi genom att i formen (37) först insätta basens abskissa.:rb> varigenom hea rotationskroppen wb inti denna abskissa erhåes. Därefter insättes i forme (37) krongränsens abskissa.:rk, viket ger oss voymen wk inti sistnämnda abskissa. Den mot stamdeen under kronan svarande deen ws av rotationskroppen är då = wb - wk. Denna kropp reduceras ti absouta mått med hjäp av samma reduktionsfaktorer som förut. Om VV, är verkiga voymen av stamdeen under kronan få vi i överensstämmese med formen (40) D 2 a (wb- wk) w. = ( ) (41) og X'u z Ti detta uttryck kunde vi ha kommit mera direkt genom att integrera mean gränserna.:r=.:r k och.:r= X' b. Termen - z M" i formen (37) hade då bortfait. För uppstäande-t av en hjäptahe är emeertid den här vada vägen ämpigare. Det återstår nu att behanda stamdeen inom kronan. Såsom förut framhåits (s. 70) finnes det ingen bioogisk grund för ett antagande att denna stamde formas efter samma kurva som stammen i övrigt. J ag har därför vat att studera den adees fristående. Då kronstammen i rege är oåtkomig för mått äro vi vid dess kubering beroende av erfarenhetstal Detta område har emeertid hittis förbivit så gott som oberört av forskningen. Vi kunna därför ej vänta, att denna stamdes formfråga ska kunna fuständigt karäggas på en gång. Sannoikt bir det ti en början nödvändigt att bygga på medevärden för bestånd av oika typer. För beräknande-t av sådana medevärden ägnar sig emeertid icke det nu föreiggande materiaet, eftersom de däri in gående- provträden ej äro statistiskt representativa för bestånden. Genom

43 100 HENRIK PETTERSON (38] stickprov, ti vika vi senare återkomma (s. 132), har dock utrönts, att de absouta formtaen hos stamdeen inom kronan för taen vanigen röra ~ig inom.rätt snäva gränser omkring värdet 0,40. Vi godtaga därför provisoriskt detta värde. Kronängden kan uppmätas. Däremot kan diametern vid krongränsen, som erfordras för bestämning av grundytan därstädes, endast undantagsvis åtkommas med direkt mätning. Den måste beräknas, viket kan ske med edning av stamformen under kronan. Sedan origoäget och måttenheten bestämts med hjäp av differenskvoten och avsmaningstaet kunna vi ätt beräkna krongränsens abskissa zk och undre mätpunktens abskissa zu. Om dk är diametern krongränsen och D som förut diametern i undre mätpunkten, så är varav grundytan d k D krongränsen... (42) 7r D 2 (og x.. ) 2 gk =... (43) 4 (og zu) 2. Om kronans ängd är K och absouta formtaet hos stamdeen inom kronan är 9', så är voymen av denna stamde 7r D 2 (og z k) 2 K 9' wk = (... (44) 4 og zu)2 För erhåande av trädets voym ska Wk adderas tr voymen hos stamdeen under kronan (formen 4 I). Då vi ur summan önska utn 7r bryta - betecknas i formen (41) w med - w. I formen (37) är såunda w, uttrycket inom den största parentesen. Med denna beteckning är enigt formerna (41) och (44) hea trädets voym 1r D 2 a (w b- w 1J 1r D 2 (og x.. ) 2 K 9' W= + = 4 (og z,y 4 (og z,) 2 =D " 2 ) [a (wb-wk) +K(!) (og zk) 2 ] (45) 4 (og x, z, Ti hjäp vid voymberäkning enigt denna forme önska vi upprätta tabeer. För att underätta dessas användande även av dem som ha svårt att sammanhåa formens enskidheter, införa vi några nya beteckningar. I tabe II (s. 145) är a = (og z) 2 (46) " f3 = 4 (og z)2 (47) w = z [(og x) 2-2 M og z + 2 M 2 ]-2M 2 (48)

44 (39) STUDIER ÖVER STAMFORMEN 101 Dessa uttryck ha i tabeen beräknats för ett anta värden å z. För att angiva vid viket z-värde man ska ingå i tabeen tifogas ti a, p och w i formen (49) här nedan ett index, nämigen k, u eer b. Index k betyder, att ingång ska ske vid det z-värde, som uttrycker krongränsens abskissa. Index u anger ingång vid z = undre mätpunktens abskissa och index b ingång vid z = basens abskissa. Med dessa beteckningar få vi trädets voym W= D 2 Pu [a (rob- ruk) +K tp ak].... (49) Här erinras, att W är trädets voym, D diametern i undre mätpunkten, a måttenheten, K kronans ängd och 9' absouta formtaet hos stamdeen inom kronan. W är uttryckt i kubikmeter, D, a och K äro uttryckta i meter. KAP. V. Mekaniska synpunkter. Vi övergå nu ti en diskussion av METZGERS hypotes och dess tiämpning på träd, vikas stamkurva föjer funktionen y = og z. Antag, att en homogen bjäke med cirkerunda tvärsnitt är inspänd i den ena ändan, medan den andra är fri. Den fria ändan påverkas av en mot bjäkens ängdaxe vinkerät kraft P. Enigt en känd mekanisk närmeseforme är då I Pz=- s 7Cd3, 32 _(so) där z är avståndet från den böjande kraften P:s angreppspunkt ti ett givet tvärsnitt, s normaspänningen i detta tvärsnitts yttersta fiber och d diametern hos samma tvärsnitt. Formen (so) viar på vissa förutsättningar, som icke atid äro uppfyda. Inom tekniken anser man dock, att formen i amänhet eder ti praktiskt användbara resutat. Denna forme önska vi tiämpa på trädstammar. Vi bortse härvid från den ingaunda oviktiga omständigheten, att en stam i verkigheten icke är homogen. Hänsyn härti skue i fera avseenden väsentigt kompicera beräkningen. Vid tiämpning av formen (so) på stående träd utgöres den böjande kraften P av vindens tryck på kronan. Om för ett givet träd P och s förutsättas konstanta, så utsäger formen, att diameterkuberna skoa vara proportionea med avstånden från vindtryckets angreppspunkt. För att en stam vid ett visst vindtryck ska erhåa samma normaspänning i aa tvärsnitts yttersta fibrer, bör den föjaktigen ha formen av en kubisk

45 102 HENRIK PETTERSON [40] parabooid med toppen i vindens tryckpunkt. Under de förutsättningar, som igga ti grund för formen (5o), innebär en dyik stamform, att brottrisken vid böjningsspänningar bir ika i aa tvärsnitt. Härav föjer, att en viss säkerhet mot brott genom vindens böjande inverkan uppnås med största möjiga materiabesparing, om stammen under kronan är formad som en kubisk parabooid, vars topp igger i vindtryckets angreppspunkt. Detta är innebörden av METZGERfi hypotes, ehuru framstäningen agts något annorunda för att förmeda övergången ti det föjande. Av METZGERS och andras undersökningar har det framgått att träden ofta ha en sådan stamform, som hypotesen fordrar. Hur åter denna erfarenhet förena sig med vårt här gjorda antagande, att stammens reativa form återges av kurvan y = og z? I min förut åberopade uppsats (I 925, s. 7 I) beräknade jag genom att studera differenset:na mean kuberna på den ogaritmiska kurvans ordinator, att den kubiska parabe, som mest ansuter sig tiogaritmkurvan, skär z-axen i eer nära punkten z= 2,462. Vi skoa nu gå denna fråga närmare. Den ogaritmiska kurvans ekvation är y= og z varav z = y3 = (og z)3 (5 I)... (52) En i den ogaritmiska kurvans koordinatsystem dragen kubisk parabe har ekvationen y= C(z-b)3. varav z = y3 = C3 (z-b) (53). (54) där C är en tisvidare obekant konstant och b abskissan för parabens skärningspunkt med z-axen. Om kurvan (53) vid vissa värden å b och C tangerar kurvan (51) i 'en punkt med abskissan -;, så måste tydigen motsvarande kurva (54) tangera kurvan (52) i en punkt med samma abskissa. Men kurvan (54) är en rät inje. För att få en överbick över vikoren för tangering mean kurvorna (51) och (53) behöva vi atså endast studera de rätiniga tangenterna ti kurvan (52). Vi derivera funktionen z = (og z)3 och erhåa 3M3 (nz) 2 z'=----- (56) 3 M 3 n x- samt z" = (2-n z) (57) z2

46 [41] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 103 z" bir = o för n:; = 2 och ändrar tecken vid passerandet av punkten x= x. Atså har funktionen z = (og x)3 en vändpunkt vid x = Enigt (56) är vändtangentens stigning 3M3 (n :;) 2 12M3 z'= = (58) x Samma storhet kan uttryckas genom förhåandet mean ordinatan i vändpunkten och dennas avstånd från tangentens skärningspunkt med x-axen, atså, /113 (n ;p 8 M3 z=---=-- o o o o o o o o o o (59) x-b b Härav fås (6o) Den genom. kubering av ordinatorna ti den kubiska paraben (53) erhåna räta injen (54) har stigningen C3, och den skär x-axen i punkten x = b. Om vi insätta de för vändtangenten funna värdena för stigningen (58) och skärningspunktens abskissa (6o) fås vändtangentens ekvation: 12M3 z= --(x- 2,463) = 0,13303 (x--2,463)... (6r) 7,3 89 Vi sätta enigt (54) z = y 3 och få I I I - - y= 0, (x- 2,463)3 =o, s 1048 (x- 2,463) 3 (62) Kurvan (62) är en kubisk parabe, som skär X-axen i punkten x = = 2,463. Den tangerar och skär kurvan y= og x på exakt tredubba avståndet från origo, eer i punkten x= För denna parabe är konstanten C i ekv. (53) = 0,51o48. Vändtangenten (6r) ansuter sig närmare ti kurvan z = (og x)3 än vad faet är med någon annan tangent. Härav kunna vi draga den sutsatsen, att den kubiska paraben (62) mer än någon annan kubisk parabe ansuter sig ti kurvan y = og x. En rät inje, viken som hest, som tangerar kurvan :J = (og x)3 i en punkt med abskissan :;, har stigningen

47 104 HENRIK PETTERSON [42], 3M3 (nxy z = ,=--- x-b _ ~nx varav x - b = -- 3 X"(3 -tnx) och b=..... (63) 3 där b är abskissan för tangentens skärning med z-axen. Vi derivera och få I - I _ b' = - (3 -!n x - I) = - ( 2 -- n x) 3 3 samt b" = - Av förestående derivator bir b' =o för!n x= z. Då dessutom b" är negativ har b ett maximum för!n x= z. Vi ha förut funnit, att detta vikor uppfyes av vändtangenten (6I), som tangerar iz= 7,389 och skär.x-axen i z= z,463. Sistnämnda värde betecknar atså den största förekommande abskissarf b för skärningspunkten mean z-axen och en tangent ti kurvan z= (og z)3. Vi kunna härav suta, att ingen kubisk parabe, som tangerar kurvan y = og x, skär z-axen ti höger om punkten z= Z,463. Av (63) framgår, att b bir = I för X" = I och approximativt för x= I6,8. För det meaniggande värdet X" = 7,389 uppnår b sitt maximum, viket nyss befunnits vara = z,463. En parabes skärningspunkt med z-axen kaas i det föjande parabens utgångspunkt. Dennas abskissa är såunda = b. Då utgångspunkten igger mean z = I och z = Z,463 finnas atid två kubiska paraber, av vika den ena tang~rar kurvan y= og z mean z= I och z= 7,389 och den andra tangerar sammakurva mean z= och z= I6,8. Om utgångspunkten paceras ti vänster om z = 1 försvinner den vänstra av dessa två tangeringspunkter från ogaritmkurvans positiva de, så att endast en tangeringspunkt återstår, viken vid utgångspunktens fortgående förfyttning åt vänster atmera färskjutes åt höger. Den ogaritmiska kurvan tangeras såunda av oändigt många kubiska paraber med oika utgångspunkter. Då vi önska tiämpa METZGERS hypotes på ogaritmiskt formade träd gäer det föjaktigen att i varje särskit fa utväja en av dessa paraber som jämföreseparabel Det har ti och med ifrågasatts, att man för vinnande av minsta möjiga medeavvikese mean de båda kurvorna ska kunna avstå från kravet på att kurvorna skoa tangera varandra. I_. 3X

48 [43] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 105 Vid ett ståndpunktstagande i denna fråga måste man fasthåa, att den ogaritmiska kurvan icke är någon kubisk parabe. Om stamkurvans reativa form, såsom här antagits, överensstämmer med kurvan y = og x, kan föjaktigen den av METZGER påvisade ikheten med en kubisk parabe icke vara fuständig. Förutsätta vi med METZGER, att en tipassning ti böjningspåkänningar äger rum och att denna tipassning har en tendens att giva stammen formen av en kubisk parabooid, så måste vi också förutsätta, att andra orsaker framtvinga en agbunden avvikese från parabooidformen. Att utreda, huruvida denna avvikese beror på variationer i virkets beskaffenhet i oika dear av stammen, om den framkaas av andra mekaniskt verksamma orsaker eer om den het enket beror på bristande mekanisk tipassning, är at frågor, som igga på ett annat pan än den nu förevarande undersökningen. Med de synpunkter, som här anagts, är det avgörande, om en avvikese faktiskt kan påvisas. Vi ha tisvidare antagit, att så är faet och skoa ängre fram pröva detta antagande. Här är det endast fråga om att utreda vårt antagandes konsekvenser. Enigt förestående syn på saken är det icke as vår uppgift att söka den parabe, vars medeavvikese från den ogaritmiska kurvan är ett mmunum. Vi söka fastmer den parabe, efter viken vi kunna antaga att stammen skue formats, därest den nyss framhåna avvikesen icke funnits. Om vi fortfarande antaga, att stammens reativa form överensstämmer med kurvan y= og x, så kan ur ett träd av hög formkass, t. ex. med basabskissan 32, genom successiv kapning från roten framstäas en serie träd med faande formkasser. Genom denna kapning kan vindtryckets angreppspunkt i kronan icke fyttas. Den hypotetiska tryckpunktens äge måste därför bestämmas genom hänsynstagande ti den ogaritmiska kurvan i dess hehet. oberoende av basabskissan. Med andra ord, tryckpunkten måste igga sti i koordinatsystemet, då ogaritmkurvan utdrages ti oika basabskissor, d. v. s. för träd i oika formkasser. För den, som i ikhet med JONSON och mig antager, att stammens reativa form föjer den ogaritmiska kurvan, är det därför icke rationet att, såsom JONSSON gjort, söka tryckpunktens äge genom att hos träd i oika formkasser inpassa paraber från basen Paraber, som inpassas så att de tangera vid basen, få i aa formkasser med större basabskissor än x= 7,389 oika utgångspunkter (s. 104). Om paraberna däremot ej tangera ogaritmkurvan eer på annat agbundet sätt bindas vid densamma, bir inpassningen godtyckig och resutatet intetsägande. Vid sökandet efter tryckpunktens sannoika äge böra vi tigodogöra oss

49 106 HENRIK PETTERSON [44] den erfarenhet, som vunnits genom METZGERs och andras undersökningar, nämigen att toppunkten hos en utefter hea stammen mean kronan och rotansväningen inpassad parabooid ofta igger på ett stäe i kronan, viket efter yttre bedömande kan godtagas som vindtryckets angreppspunkt. I syfte att kargöra innebörden av denna iakttagese upprita vi i fig. 5 kurvan z= (og x)3. För att den å sid. 103 berörda vändningen ska tydigare framträda utdraga vi kurvan åt vänster ända ti punkten.:r= I, ehuru stamkurvan hos verkiga träd i sektionerna kring denna punkt ej föjer funktionen y og.:r. Kurvan har åt höger utdragits ti basabskissan 32, viken, om origo igger i trädets topp, motsvarar formkassen o,so. Å fig. 5 representerar atså den s-formigt böjda injen B kurvan z= (og.:r)3. Den räta injen A representerar denna kurvas vändtangent (se forme 61), vars ordinator utgöra kuberna på ordinatorna ti den kubiska parabe, som skär z-axen i x= 2,463 och tangerar kurvan y =og x i.:r= Om man på ett ogaritmiskt format träd genomför den av METZGER använda metoden med grafisk uppäggning av diametrarnas kuber fås en kurva av formen B. Kan kurvan för en viss stamde utjämnas genom en rät inje (METZGERS»konstruktionsinje»), så är denna stamde närmesevis en kubisk parabooid med toppen i konstruktionsinjens skärningspunkt med.:r-axen. Hos de vanigast förekommande stamformerna igger origo nära trädets topp och basabskissan har ett värde av ungefär IO. Om kronförhåandet är o,4o bir för ett dyikt träd krongränsens abskissa = 4 Genom att ägga en inja å fig. 5 kunna vi övertyga oss om, att den konstruktionsinje, som mean x= 4 och.:r= 10 utjämnar kuberna på den o-. garitmiska kurvans ordinator, mycket nära sammanfaer med vändtangenten A. Eftersom kurvan B skär vändtangenten A, bör i det antagna faet även konstruktionsinjen skära A, ehuru under mycket spetsig vinke. Beträffande träd med basabskissan IO kunna vi därför vänta, att METZ GERS konstruktion ska eda ti en tryckpunkt, viken igger tätt ti vänster om punkten x = 2,463, där vändtangenten skär x-axen. I fråga om dyika vanigt förekommande träd ger atså METZGERS konstruktion tryckpunkter, som igga mycket nära punkten x= 2,463. Den erfarenhet, som i sådana fa vunnits rörande överensstämmese mean konstruktionens resutat och tryckpunktens efter yttre bedömande sannoika äge, kan såunda även tigodoräknas uppfattningen, att tryckpunkten igger i eer nära punkten.:r = 2, 463. I samma mån som basabskissan utfyttas ängre åt höger, atså för träd i högre formkasser, förskjutes emeertid den med M:ETZGERS metod

50 [45] STUDIER ÖVER STAMFORMEN ,~ ~ "'-"' --< c c ~ - -g " :0 2 ",. 'i OJ) 6..,.. o:,.. ~ > \2 O") :, ~ 00 r:- ~ "',;., bn ~ U) L-----~ --~~~~ NL L ~o0

51 108 HENRIK PETTERSON [46] beräknade tryckpunkten atmer åt vänster, tis den sutigen kommer ti vänster om (å trädet ovanför) trädets topp. När man kommit så ångt bir det uppenbart, att metoden ger oriktiga resutat på ogaritmiskt formade träd. Då övergången skett successivt kunna vi draga den sutsatsen, att METZGERS konstruktion även för meaniggande basabskissor ger tryckpunkter, som igga för ångt åt vänster. Detsamma bör gäa i fråga om den för träd med basabskissan IO nyss konstruerade tryckpunkten. Från punkter ti höger om x= 2,46 3 utgå inga tangenter ti kurvan B (se s. 104). Något skä att bygga tryckpunktsbestämningen på en skärande konstruktionsinje från någon ti höger om x = 2,46 3 beägen punkt torde icke kunna angivas. Då den för träd med basabskissan 10 bestämda tryckpunkten, som åg tätt ti vänster om punkten x= 2,463 bör förfyttas åt höger, men å andra sidan intet skä finnes att förägga den ti höger om sistnämnda punkt, betrakta vi punkten x= 2,46 3 som ifrågavarande tryckpunkts mest sannoika äge. Förut har framhåits (s. ros), att tryckpunktsbestämningen bör ske under hänsynstagande ti hea den ogaritmiska kurvan och oberoende av basabskissan. Vi ha dänned kommit fram ti föjande uppfattning. (råga CLm träd, vikas reativa stamform mean krongränsen och rotansväningen uttryckes genom funktionen y= og x, kan den av METZGER påvisade överensstämmesen med en kubisk parabooid icke vara fuiständig. Förutsätta vi med METZ GER, att en ti p assnio g ti böjningspåkänningar äger rum och att denna tipassning har en tendens att giva stammen formen av en kubisk parabooid, så måste vi också förutsätta, att andra orsaker framtvinga en agbunden avvikese från parabooidformen. För ett mean krongränsen och rotansväningen efter den ogaritmiska kurvan format träd kan vindtryckets sannoika an grepp s punkt tifredsstä and e b e stä mm as genom den a v METZGER använda konstruktionen endast då det gäer de vanigast förekommande formkasserna. I fråga om höga och åga formkasser äro vi hänvisade ti den för aa formkasser användbara metoden a t t först bestämma den ogaritmiska kurvans origo och måttenhet samt därefter pacera den hypotetiska tryckpunkten 2,463 måttenheter från origo. För att understryka, att den på sistnämnda sätt bestämda punkten häretts med stöd av stammens dimensioner, kaas den i det föjande stampunkten. Dess sammanfaande med vind-

52 [47) STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 109 tryckets angreppspunkt är tisvidare hypotetiskt. Endast då vindens angreppspunkt beräknas med stöd av kronans ytfördening och vindhastigheten vid oika höjder eer då den o kuärt be dömes under hänsyn ti dessa faktorer, kaas den i det föjande tryckpunkten. Vi anknyta atså våra mekaniska betrakteser ti den kubiska parabe, som skär x-axen i punkten x= 2,463 och tangerar kurvan y= og x i punkten x= 7,389. Genom att för oika värden på x jämföra parabens ordinator med og x finner man, att parabens avvikese från den ogaritmiska kurvan är mindre än I % för abskissor mean 4,5 och I5,8, mindre än 0,5 % för abskissor mean 4,9 och 13,2 samt mindre än O,I % för abskissor mean 5, 7 och I o, 1. Förståendet av dessa siffror underättas, om man erinrar sig, att, då origo igger i trädets topp, basabskissan för formkass o, i o är 10, I och för formkass o, 75 I 6,o.. Kronans undre gräns igger i stort medeta för det nu undersökta materiaet i punkten X=4.9 Hos ett träd med origo i trädets topp och basabskissan 32, motsvarande formkass o,8o, antages kronförhåandet vara o, I 5 Krongränsens abskissa är då 4,8. I detta fa understiger atså avvikesen mean stamkurvan och paraben I % på hea sträckan mean krongränsen och ungefår trädets mitt. Nedom mitten ökas avvikesen, så att den vid basen, i punkten x= 32, uppgår ti 4,84 %. Hea det hittis förda resonemanget har utgått från förutsättningen, att stammens reativa form exakt uttryckes genom kurvan y =og x. I verkigheten förekommer adrig en så fuständig överensstämmese, utan stamkurvan uppvisar större eer mindre avvikeser från ogaritmkurvan. Särskit i medeformkasserna kunna dessa avvikeser ofta uppgå ti större beopp än de nyss anförda differenserna mean den kubiska paraben och ogaritmkurvan. Man kan då icke med bestämdhet avgöra, om stammen övervägande föjer den ena eer den andra kurvan. Det bir i sådana fa en smaksak, om man vi bestämma den hypotetiska tryckpunkten med hjäp av METZGERS konstruktion, som är riktig; om,stamkurvan är en kubisk parabe, eer enigt den för stampunktens häredning här ovan angivna metoden, viken får förutsättas ämna rätt resutat för ogaritmiskt byggda stammar. Vi övergå nu ti att behanda de absouta dimensionerna hos stammar, vikas reativa form överensstämmer med kurvan y = og x. I det föregående har förutsatts, att den reativa formen uppkommer under tipassning ti böjningspåkänningar, varvid stammen ikvä av andra orsaker hindras att fut antaga den kubiska paraboaidens form. Frågan gäer

53 11 o HENRIK PETTERSON 48] nu, om en dyik tendens ti anpassning kan spåras även beträffande de absouta dimensionerna. Detta spörsmå måste göras ti föremå för särskida undersökningar. I detta sammanhang ska endast utredas, hur en sådan undersökning kan anknytas ti de här utveckade synpunkterna. En dyik tipassning är ångt ifrån osannoik. Redan den omständigheten, att träd över huvud existera, bevisar förekomsten av en tipassning, som uppbringar trädens grovek ti vissa, för håfasthet mot normat vindtryck erforderiga minimidimensioner. Vad som ska utredas är såunda närmast, huruvida aa träd äro i samma grad rustade att motstå extraordinära böjningspåkänningar. Även här måste vi skija på tipassningstendensen och resutatet. Ett pötsigt fristät träd kan icke genast erhåa den grovek, som svarar mot dess nya, för vinden mera utsatta stäning. I fråga om sedan änge fristående träd med avsutad höjdtiväxt finnes en gräns för kronans storek, som icke kan överskridas. Då trädet fortsätter att öka sin grovek, så änge det ever, bi dyika träd ofta överdimensionerade. För att få en förestäning om de absouta dimensionernas tipassning utförde jag för två år sedan en undersökning i oika tabestånd. Därvid erhös ett påfaande samband mean barrmängd och grovek, båda uttryckta i beståndsmedeta per träd. Denna undersökning har ännu ej pubicerats, då jag först vie avvakta den nu föreiggande utredningen rörande stammens reativa form. Frågans teoretiska behanding överensstämde emeertid i huvudsak med efterföjande resonemang. En ogaritmisk stamkurvas ekvation kan skrivas: d= Q og x,.. o o o o o (64) där Q är förhåandet mean diametern och ordinatan en åtkomig mätpunkt (jfr formen (14} å s. 91). I tangeringspunkten x= 7,389 med den kubiska paraben från x=2,463 är atså diametern O'= Q og 7,389, varav, med omvändning av häredningen å s. 103, o= 2 MQ... (65) Denna diameter är basdiametet: ti en kubisk parabooid, vars topp igger i punkten x= 2,463. Diametern o:s avstånd z från paraboaidens topp är atså = (7,389-2,463) a= 4,926 a, där a är den ogaritmiska kurvans måttenhet. Genom insättning av dessa värden å o och z i formen (50) s. 101 fås I P 4, 9 z 6 a = - s 7r 8 M3 Q3, 32

54 [49) STUDIER ÖVER STAMFORMEN 111 p Q3 varav----=~. o,or3o6s a (66) där P är den böjande kraften och s normaspänningen den yttersta fibern i tvärsnit t et vid x = 7, De absouta dimensionernas tipassning ti vindtrycket måste anses innebära, att stammen vid en viss böjande kraft P erhåer sådana dimensioner, att normaspänningen s bir konstant. Nu är ett träd under den ånga tid, då grovekstiväxten pågår, utsatt för ytterst växande böjningspåkänningar. Om en direkt tipassning äger rum torde denna böra upp fattas såsom knuten ti medepåkänningen. För att trädet ska håa vid extraordinära vindhastigheter måste atså den normaspänning, vars uppnående förutsättes som tipassningens må, igga väsentigt under prottspänningen. Vi betrakta atså den under medeförhåanden uppträdande normaspänningen s såsom konstant för aa träd och ersätta i formen ( 66) uttrycket med konstanten k. Formen får då föjande utseende O,OI306 s Q3 k P=-.... (67) a 03 Uttrycket ~ kan bestämmas genom undersökning av formen hos ena skida träd. Under förutsättning att de här gjorda antagandena om de absouta dimensionernas tipassning ti vindtrycket äro riktiga få vi härigenom ett reativt mått på det av trädet uppfångade vindtrycket. Denna storhet kan summeras för aa träd i ett bestånd, varvid, om hypotesen är riktig, en viss agbundenhet bör framträda i summorna per hektar. Vi erhåa Q3 k 1: p= 1: ~.... (68) a Den böjande kraften P utgör en produkt av det uppfångade vindtrycket T per kvadratmeter och kronans sammanagda bad- och grenyta B. I ett mycket gest bestånd bir T stort, men 1: B iten. 2' P bir då iten. Ju sutnare beståndet bir, dess mer minskas T och ökas 1: B. Det är möjigt, att 1: P har ett maximum vid gesare stäning än fu sutenhet, viket för bedömande av garingens verkningar skue vara av stort intresse. Så änge detta förhåande ej karagts kunna vi emeertid utgå ifrån att 1: P uppnar maximum vid fu sutenhet. Det är i varje fa sannoikt, att en utgesning av beståndet inom de vid vanig garing förekommande gränserna ej påverkar 1: P särdees mycket. 8. Medde. fr/i" statens Skogsförsöksanstat. Häft. 23.

55 112 HENRIK PETTERSON [50] I aa händeser bör vid ika sutenhet, definierad genom badytan per hektar, };P vara närmesevis konstant. Naturigtvis kunna här oika krontyper uppvisa vissa skijaktigheter, men så änge dyika ej påvisats, torde man vara fut berättigad att provisoriskt göra ett sådant antagande. Enigt formen (68) bör då i bestånd av samma sutenhet, som kommit i jämvikt efter föregående garingar, }; Q 3 per hektar vara närruesea vis konstant, oberoende av stamantaet. För ett fuständigt uppkarande av den absouta formens samband med vindtrycket fordras noggranna speciaundersökningar, iknande dem som verkstäts av TIREN (1924, 1926). Sådana studier kunna ikvä endast genomföras i ett fåta fa. De böra därför kompetteras med statistiska undersökningar, som utreda formförhåandena i ett större anta bestånd. Under förutsättning att stammarnas reativa form bäst återgives av den ogaritmiska kurvan erbjuder formen (68) därvid ett gott hjäpmede. }; Q 3 för ett bestånd kan nämigen ätt bestämmas genom undersökning a av ett anta representativa provträd. Det gäer sedan att studera denna storhets samband med sutenheten och stamantaet. Genom en dyik statistisk behanding av probemet torde konturerna av ifrågavarande samband kunna på kort tid i stora drag karäggas. Om den uppfattning jag fått genom hittis utförda undersökningar därvid bekräftas bör en sådan. insikt kunna nyttiggöras järnvä vid upprättandet av produktionstabeer för oika garingsgrader. Vi få nämigen härigenom ett grepp på sambandet mean stamantaet och kubikmassan i bestånd med samma sutenhet. Ändamået med det i detta kapite förda resonemanget har varit att utreda konsekvensenserna av en kombination mean METZGERS hypotes och antagandet, att stamkurvan mean kronan och rotansväningen föjer funktionen y = og x. Med detta har någon ståndpunkt icke tagits ti frågan, huruvida det ena eer det andra antagandet är berättigat. Vad METZGERS hypotes, beträffar har jag redan förut framhåit (1924, s. 169), att en direkt tipassning ti vindtrycket enigt min mening är föga.sannoik. Men å andra sidan synes det troigt, att denna hypotes innehåer en kärna av sanning, som vi kunna tigodogöra oss genom att provisoriskt acceptera hypotesen. Vad stamkurvan beträffar finnas utan tvive många fa, då formen ej kan återges med den ogaritmiska kurvan. Oftast är det dock möjigt att använda ogaritmkurvan för detta ändamå. I fråga

56 [51 J STUDIER ÖVER STAMFORMEN 113 om båda antagandena måste man atså ständigt erinra sig, att de bott gäa inom vissa gränser och där endast giva en ungefärig bid av verkig~ h eten. Från dessa synpunkter skoa vi nu studera ämpiga dear av skogs~ försöksanstatens stamformsmaterial KAP. VI. Materiaets sovring och gruppering. skogsförsöksanstatens materia av enmeterssektionerade tastammar uppgår ti 2 I, 154 stycken, för vika diametern inom och på bark, förutom vid I,3 m, antecknats vid 0,5 m från marken och därefter på varje meter. Band dessa stammar hava I 3,583 stycken diametermätts även vid 0,25, 0,75, I,ao, 2,oo och 3,oo meter. Vid den nu föreiggande bearbetningen frånsorterades först aa träd, som voro tagna före I9I7, då en de förändringar vidtogos i instruktionen och i banketternas uppstäning. Därefter återstodo I3,583 stycken fuständigt uppmätta träd jämte I,627 stycken under år I925 tagna provträd, för vika måtten å 0,25, 0,75, I,oo, 2,oo och 3,oo meter saknades. Summan av träd, som kommo i betraktande för undersökningen, utgjorde atså I5,2IO stycken. För att vid bearbetningen kunna beräkna medediametrar av ika ånga träd inskränktes undersökningen ti att omfatta isoerade höjdkasser. Härti vades höjderna 4, 8, I 2, I 6, 20 och 24 m. Vid kassbidningen tiäts en avvikese av I dm, så att t. ex. ti I6 m fördes aa träd, vika protokoförts med ängderna I5,9, I6 och I6,1 m. Då vid uppmätningen aa höjdmått avrundats uppåt och nedåt ti he decimeter innebar detta, att höjdkassen I 6 m kom att omfatta träd om I 5,s 5 ti I6, 14 m höjd. Om sådana höjdkasser hade bidats kring varje he meter skue materiaet atså ha bivit utnyttjat ti c: a 30 %. Nu sammanfördes endast träden kring var fjärde meter ti höjdkasser, varför ungefär 7,5 % av materiaet kommit ti användning. Genom utesutning av en de granrika barrbandbestånd, där taarnas uppsökande skue våat oskäig tidsutdräkt, nedbringades antaet ytterigare något, så att summa I,043 träd ingått i undersökningen. Efter denna gruppering föreåg atså materiaet uppdeat på sex höjdkasser, vika tisvidare måste bearbetas var för sig. Inom varje höjdkass voro ängderna så nära ika, att på samma absouta avstånd från marken mätta diametrar kunde anses igga på samma avstånd från toppen.

57 114 HENRIK PETTERSON [52] För studium av formvariationen inom höjdkasserna var det önskvärt att omföra aa diametrar ti reativa mått. Då jag vie undersöka formen hos toppen och den nedre stamdeen utan inbördes sammanbandning vades härvid som enhet den mätta diameter dz, viken åg närmast under trädets mitt. För varje av de I,043 stammarna utskrevs ett kort, där diametrarna inom och på bark angåvos i procent av de så bestämda enhetsdiametrarna. Dessutom gjordes på korten en de anteckningar om beståndet och provstammen, av vika föjande tagits i bruk för denna undersökning. Under rubriken»ras» angavs med stöd av SYLVENS karta (Igi6, s. 2I2) om provträdet härstammade från utbredningsområdet för nordsvensk ta (I), övergångsområdet (z) eer området för sydsvensk ta (3). Vidare antecknades diametern inom bark vid 2, 5 m från marken, ådern, kronskiktet enigt ScHOTTES schema samt kronans ängd i meter. Detta materia har tisvidare endast bearbetats med hänsyn ti den reativa stamformen inom bark. Det gäde därvid att sortera materiaet så, att stamformens växingar karades i stora drag. I sådant syfte fördeades korten först med edning av reativa diametern d3 vid 2,5 m från marken. Härvid fördes ti huvudgrupp roo träd med diametrar från IOO inti I05, ti huv1,1dgrupp 105 träd med diametrar från 105 inti I ro o. s. v. Därefter uppdeades korten i varje sådan huvudgrupp i toppgrupper efter reativa diametern d, vid det måttstäe, som åg närmast under mitten mean toppen och den i mätpunkten närmast under trädets mitt beägna enhetsdiametern d~. Ti toppgrupp 50 fördes såunda träd med reativa diametrar di från 50 inti 55 o. s. v. Vid denna sortering, som endast genomförts för höjdkasserna 8-24, ågo de för grupperingen bestämmande diametrarna på föjande höjder över marken: höjd över marken i meter för höjdkass... di d2 d , , ,5 r6 I I, , I4, ,5 24 r7,5 I I 1 5 2,5 Det hade givetvis varit önskvärt, att de för gruppindeningen avgörande diametrarna d,, d 2 och d 3 hade egat på ika reativa höjder inom aa höjdkasser. De bidade grupperna hade då varit direkt jämförbara från höjdkass ti höjdkass. Nu voro emeertid inga mått tagna på reativt ika höjder och here än att tigripa interpoationer, som ätt

58 [53) STUDIER ÖVER STAMFORMEN 115 kunnat förvanska materiaets vittnesbörd, har jag vat den nyss beskrivna utvägen. Dock kan man diskutera ämpigheten av att i aa höjdkasser förägga den undre diametern d 3 ti 2, 5 m. Därest ägre trädhöjder skoa indragas i undersökningen bir det nödvändigt att för dessa v_äja en ängre ned beägen undre diameter. Någon principie betydese har ikvä icke denna sak. Sedan inom aa höjdkasser materiaet sorterats på huvudgrupper och toppgrupper nedsummerades för varje gruppkombination de reativa diametrarna i förekommande mätpunkter, v~refter medediametrarna därstädes uträknades. Beträffande mätpunkterna o,zs, 0,75, I,oo, 2,oci och 3,oo m, som icke förekomma hos aa träd, dividerades vid medetasuträkningen summan med antaet i punkten mätta träd. Dessutom beräknades för varje gruppkombination medeta av rasindex, diameter inom bark vid 2,5 m över marken, ådern, kronskiktindex och kronans ängd. KAP. VII. Bearbetningen. Vid materiaets bearbetning använde jag i första hand de metoder, som närmare utveckats i min uppsats»sambandet mean kronan och stamformen» (I925, s. 53 ff.) Förfaringssättet karakteriseras därav, att materiaets avsmaningsserier jämföras med kurvan y=og x, varvid origo förägges ti trädets topp. Då y bir =o för x= I, atså ett måtta v stånd från toppen, kan denna forme ej återge hea trädets form. På grund härav har jag kombinerat huvudkurvan ( 6g) med en tangerande toppkurva, som föjer funktionen k+x y=k og -k-, vari K och k äro konstanter (ib. s. 59, forme 7). Hos JONSONs tamedeträd befanns tangeringspunkten mean de båda kurvorna igga 3 ti 4 måttenheter från toppen. För det sista värdet bir K=2 och k=4 Toppkurvans ekvation kan då skrivas (70) y=2 og (I+~), (7!) viken forme använts vid denna undersökning. Det bör framhåas, att toppkurvan ej nödvändigt behöver tangera huvudkurvan. Denna utväg tigrep jag I925 därför att kronansättningens äge ej var känt för mitt då använda materia. Sker ansutningen

59 116 HENRIK PETTERSON [54] under kronan är ju den jämnare övergången ti en tangerande toppkurva mest sannoik. Kan däremot de båda kurvornas beröringspunkt föräggas ti kronans undre gräns finns intet hinder att åta dem skära varandra. Mået bör då vara att finna en ogaritmisk kurva, viken så nära som möjigt föjer stamdeen under kronan, medan toppen behandas för sig. Särskit i fråga om övträden bir ett sådant förfarande oftast nödvändigt. Vid undersökning av ett naturigt materia är det fördeaktigt att använda ett koordinatsystem med ogaritmisk gradering av z-axen och miimeterindening av y-axen. Aa punkter, som äro beägna på en ogaritmisk kurva med origo i trädets topp, komma då att igga i en rät inje. Denna inje skär z-axen i punkten %= 1, atså ett måttavstånd från toppen. Detta förfarande medför den fördeen, att man kan använda diametrar, som äro beägna var som hest på stammen. Beträffande såvä ängder som diametrar arbetar man ika bekvämt med absouta som med reativa mått. Man utmärker het enket de oika mätpunkternas avstånd från toppen på den ogaritmiskt graderade z-axen och avsätter diametrarna som ordinator. Därefter undersökes om dessa diameterpunkter i någon de av stammen igga i rät inje. Det kan därvid inträffa, att denna räta injes amänna riktning är påtagig, ehuri en eer fera punkter igga utom den. Man kan då undgå dessa punkters infytande på resutatet, viket varit svårare, om formen beräknats med hjäp av en diameterkvot, vari någon av ifrågavarande diametrar ingått som faktor. Sedan den räta injens äge bestämts, utdrages den ti z-axen, och skärningspunktens äge aväses på den ogaritmiska skaan. Man får då systemets enhet a, uttryckt i det använda absouta eer reativa måttet. Genom att dividera trädets totaa ängd med måttenheten a erhåes sutigen basens abskissa zb, viken jag begagnat som formuttryck Med hjäp av den nyss beskrivna konstruktionen är det även ätt att bestämma var stamkurvan vid gång mot toppen ämnar den ogaritmiska huvudkurvan och övergår i toppkurvan. Detta sker i den punkt, där diameterpunkterna upphöra att igga i rät inje. Vid behanding av den föreiggande uppgiften visade sig denna metod vara ett yckigt grepp. De svårigheter, som måttagningen på absouta ängder skue våat, om formen hade bestämts genom en diameterkvotmetod, bortföo nu het. Dessutom erhös på detta sätt en inbick i materiaets egendomigheter, som man annars knappast hade uppnått. Arbetets gång var föjande. Först utfördes den nyssnämnda konstruktionen och systemets måttenhet, uttryckt i meter, avästes på z-axens ogaritmiska skaa. Genom att dividera mätpunkternas avstånd från toppen med måttenheten erhöos mätpunkternas abskissor, varefter mot-

60 [551' STUDIER ÖVER STAMFORMEN 117 svarande ordinator beräknades enigt forme (69) för punkter på huvudkurvan och forme (71) för punkter på toppkurvan. För jämförese med materiaet borde därefter dessa ordinator reduceras ti procent av enhetsdiametern. Den härvid använda reduktionsfaktorn a vades så, att reativa diametern i enhetsdiameterns mätpunkt bev ika med det genom den räta injen utjämnade värdet m, som oftast något avvek från 100. Om enhetsdiameterns abskissa var x bev atså a=m: og.x, under förutsättning, att ifrågavarande mätpunkt åg på huvudkurvan. sutigen mutipicerades aa ordinator med a, varigenom en serie beräknade reativa diametrar erhös, som kunde jämföras med de observerade värdena. Å de grafiska tabåerna har överat utmärkts den på fyra måttavstånd från toppen beägna punkt, där huvudkurvan och toppkurvan antagits tangera varandra. Här ska atså materiakurvan vid gång mot toppen ämna den räta injen. Så sker också i amänhet. Möjigen kunde man å en de kurvor vara frestad att förägga tangeringspunkten något närmare toppen än i punkten X=4 Då emeertid hea denna kombination mean en huvudkurva och en tangerande toppkurva måste uppfattas som en tämigen grov statistisk utjämning har jag föredragit den mera avrundade och därför mindre anspråksfua bestämningen x=4. Höjdkassernas avsmaningsserier. De som medeta för varje höjdkass erhåna avsmaningsserierna ha sammanförts i ta b. 3. Vi se, att rotansväningen gör sig starkt gäande i aa höjdkasser. Den kan, särskit i 20 meterskassen, spåras högre än vid 10 % av ängden, men något större fe uppstår ej, om man anser denna punkt igga på huvudkurvan. I toppen ha aa kasser ett negativt fe. Detta skue ha minskats, om tangeringspunkten fyttats ti x= 3,6. Särskit i den översta sekej fut föjer HöJERs ekva tiopen beror emeertid feet på att toppen tion, scim igger ti grund för toppkurvan. På kubikmassan har detta fe ytterst ringa infytande. Hea den övriga deen av stammen återgives fut tifredsstäande av den använda kurvkombinationen. Om man jämför feen med dem, som erhöos vid min bearbetning av }ONSONS materia, böra föjande synpunkter håas i minnet. Å ena sidan är det nya materiaet större, varför bättre feutjämning var att vänta. Men å andra sidan hade JONSON ur sitt materia, vid vars insaming påfaande abnorma träd säkerigen undvikits, utsorterat nära 22 % oregebundna träd. Även här ha visserigen de mest abnorma stammarna utesutits redan vid provträdsvaet

61 HENRIK PETTERSON [56] Tao. J, Dia- meter vid Höjdkass Kro- 2,s m Skikt n ans meter Anta Ras inom Åder ängd bark Kro An m. Höhen Anzah Rasse Ater n en- Kro- kass e Durch schich t neomesser änge m be i :z,s m ohne Rinde 42 2,31 Jämförese mean materiaets reativa medediametrar Vergeich zwischen den reativen.durchmessern des Materias (a) und Reativ diameter Reativer Durchmesser o,so I,so 2,so 3.5 4,;o s,so 6,so 24,61 II6 I a I47,s I30,3 126,g I24,I I2I,4 I I8,g II5,8 II2,6 b I29,B I27 7 I25,6 123,3 I2I,o I I8,s IIS,g I I3,I Differens + I7,7 + 2,6 + 1,3 + 0,8 + 0,4 + o,4 - O,t - o,s I43 2,23 I8,g go 1,_12 6,s 256 I,8g I4,8 86 I 720 5o3S 262 I ,2 71 I oss 3,g8 I72 2,28 6,6 51 I,76 3,16 I68 2,86 2,6 27 I,83 2,44 a. 144,1 130.Ji I26,I I22,s 120,1 116,3 f2,8 b 129,!26,7 124,1 12I,4 118,4 115,3 I I,g Differens +. 14, ,o + J o I + I,7 + I,o + o,g + o,s a I38,. 127,3 122,6 I I8,8 II4,9 IIO,s I05,4 b I2g,o 125,8 I22,s II8,8 I 14,9 II0,6 I05o9 Differens +g,. + I,s + O,I ± o,o ± o,o -O,t -o,s a I34o7 I23,7 I 18,3 I 12,9 I07,o IOO,o gi,9 b 127,4 I23,o II8,o II2,g 106,9 IOO,o 92,o Differens ,7 + O,I + o o + O,I - ' ± o,o -O,t - a I29,6 II9,8 I I I,9 IOO,o 87,o 6g,s 45.9 b I27,6 1207o I I,o 100,3 86,g 6g,o 46,s Differens + 2,o - 0,_2 + o,9-0,3 + O,I + o,s -0,_6-1,6 a J24 0I IOO,o 68,9 25,8 b I24, 101,2 6g,. 27oi Differens!- o, - 1, 1- o,31- I;3 (se s. 65), men därefter har ingen kassering ägt rum. Dessutom inverkar det på jämföresen, att feen beträffande JONSONs materia angivits i prpcent av brösthöjdsdiametern, medan de vid denna undersökning hänföra sig ti en diameter. nära trädets mitt. Det materia, soq~: igger ti grund för de nu beräknade avsmaningsserierna, härstammar från många oika bestånd i andets aa dear. Det är sannoikt, att sådana stammar, som företrädesvis faa vid garing av taskog, bivit överrepresenterade, men i övrigt torde. materiaet få betraktas som representativt för ett stort anta utan va tagna träd av yiss.höjd. 7,so Io8,s I08,3 IOO,o I00,7-0,7 82,s 82,3 +o,. I6,o I7,8

62 [57] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 119 (a) och de beräknade diametrarna (b) i oika höjdkasser. den berechneten Durchmessern (b) in verschiedenen Höhenkassen. inom bark vid mäthöjden ohne Rinde in der Messhöhc! 8,so 9,so Io,so I,so IZ,so IJ,so 14,so I5,so r6,so I 7,so r8,so I9,so 20,so 2I,so 22,so 23,so 109,8 ro6,9 103,8 IOO,o 95,g 92,2 88,o S2,s 76,2 69,9 62, ,8 19,8 6,g I ,o 103,6 IOO,o 96,, 91,8 87,, 81, ,2 61,4 52, ,g 2I,o 7,s -0,3 -o,:r + 0,2 ± o,o -0,2 + 0,4 + o,9 + 0,7 + 0,3 + 0,7 + 1,2 + I >7 + I ' - I,:r - 1,21-0,6 104,5 IOO,o ,1 84, '70,3 ' 6!,2 50,6 37,8 22,5 s,, 104,4 IOO,:r , s 69,7 6o, ,, 24,7 9,o +o,. - o,:r ± o,o -o,:r ± o,o -0,2 + o,6 + 0,8 + 0,7-0,] -2,2 - O,g ,, 8o,o 70,8 59,6 45,8 28, ,8 88,, So,z 70, ,o I I, r -0,4 ± O,o ± o,o ± o,o + 0,4 + o,, - I,:r - 1,4 71,o s6,o 36,, 12,5 70.J ,s 13,8 + 0,7 + ' -0,4-1,3 Av undersökningen framgår, att medeformen hos ett dyikt materia kan med stor noggrannhet återges med hjäp av den föresagna kombinationen av två ogaritmiska kurvor, om bott systemets måttenhet är känd. Under förutsättning att ett medeträds stamkurva fukomigt överensstämmer med de kombinerade kurvorna kan tydigen måttenheten exakt bestämmas genom kvoten mean två diametrar. Är överensstämmesen bott ungefärig bir en på detta sätt häredd måttenhet endast närmesevis riktig. A försiktighet måste då iakttagas, om användbara resutat skoa uppnås. För att minska infytandet av tifäiga fe böra de två

63 120 HENRIK PETTERSON (58) diametrarna tagas så ångt ifrån varandra som möjigt. Den undre diametern kan på grund av rotansväningen ej gärna igga ägre än vid 10% av trädets höjd. Då det gäer stamformen inom bark å stående träd måste den övre diametern tagas så ågt, att den bir åtkomig för en barkundersökning. Om man härvid använder en stege kan i de festa fa diametern på 30 % av trädets ängd över marken bekvämt undersökas. Endast i fråga om träd över 20 m höjd kan det vara ändamåsenigt att sänka den övre mätpunkten ti 2 5 eer 20 %. Vid tiämpning av en dyik metod torde emeertid måttagning vid 10 % och 30 % av ängden kunna betraktas som det normaa. Eftersom hea resonemanget här avser medeträd skoa atså medediametrarna i dessa mätpunkter äggas ti grund för formbestämningen. Om båda mätpunkterna igga på huvudkurvan kunna vi häreda basens medeabskissa.x- 6 ur ekvationen d 90 og 0,9.z- 6 d 70 =og 0,7.z- 6 ' där d 90 är medediametern 90 % av ängden från toppen ( 10 % från marken) och d 70 är medediametern 70 % från toppen (30 % från mar- ken). (Se PETTERSON, 1925, s. 53 ) För de festa ändamå kan basabskissan direkt användas som formuttryck Måttenheten erhåes, om så önskas, genom reationen L a=-, x b där a är måttenheten och L basens avstånd från toppen. Denna formbestämning förutsätter, att stammen ovanför rotansväningen och upp ti 30 % av höjden föjer den ogaritmiska huvudkurvan. Så är faet beträffande höjdkassernas medeträd av ett bandat materia. Huruvida metoden kan användas för medeträd i bestånd är tisvidare en öppen fråga. Å det nu bearbetade materiaet har vindtryckets angreppspunkt icke uppskattats. Vi kunna därför ej använda detsamma som kontro på formpunktsmetoden. Däremot ger tab. 4 vissa uppysningar om möjigheten att ur kronans ängd häreda stammens form. Som synes rör sig kronansättningens abskissa, d. v. s.. kronans ängd, uttryckt i måttenheter, inom rätt snäva gränser. Vid vägning med antaet träd i varje höjdkass bir kronansättningens medeabskissa för hea materiaet 4,9r. Förut har jag visat (s. 108), att den med en ogaritmiskt formad stam mest överensstämmande kubiska paraboaiden har sin topp 2,463 måttenheter från origo,.. som i detta fa föragts ti. trädets topp.

64 [59] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 121 Tab. 4- Höjdkass Ras Skikt Krona i mått- Krona Måttenhet enheter = kron- Kranenänge Achseneinheit ansättningens Höhenkasse Ras se Kronenschicht Abszisse des m m abskissa. Krooenansatzes 24 2,31 I 103 7,42,so 4,9S 20 2,23,12 6,s2 I ,22 I6 I,Sg I,2o 5,3S I,oo 5,3S I2 I 192,ss 3,g8 o,sx 4,9I 8 2,28 I I6 0,69 4,s8 4 2,86 I,83 2,44 o,s7 4,28 Paraboaidens toppunkt, viken antagits sammanfaa med vindtryckets angreppspunkt, igger såunda hos detta materia i stort medeta nära nog exakt mitt i kronan. Tab. 4 visar, att materiaet i de oika höjdkasserna företer rätt betydande oikheter med avseende på såvä ras som skikt. Rasindex är ägst i höjdkass r6, viket innebär, att materiaet där är mer nordsvenskt än i de övriga höjdkasserna. Skiktindex är ägst i höjdkass z4, det stiger oavbrutet med faande höjd, viket betyder att de ägre höjdkasserna omfatta träd av genomsnittigt ägre skikt. Vid bedömande av skiktets infytande på formen bör det emeertid observeras, att ScHOTTES skiktindening, som här föjts, ger ett grepp på kronornas inbördes stäning endast inom samma eer ika bestånd. Om man däremot jämför bestånd med oika sutenhet eer oika kronförhåanden hos de härskande träden, utgör skiktindex icke något mått på kronans stäning. SCHOTTES skiktindening bestämmes som bekant av trädens höjd, så att träd, vikas toppar icke nå upp ti 5/6 av de härskande trädens höjd, hänföras ti andra skiktet, de som icke nå upp ti 2 / 3 utgöra tredje skiktet, och de som ej nå de härskande trädens hava höjd tiföras fjärde skiktet. Antag nu, att i två ika sutna bestånd A och B de härskande trädens kronförhåande är i A o, 3 o och i B o, 7 o. Ett träd, som når upp ti mitten av de härskande trädens kronor, får i A reativa höjden o, s s och hänföres atså enigt SCHOTTES schema ti första skiktet, medan ett dyikt träd i B får reativa höjden 0,6 5 och föres ti tredje skiktet. Ehuru båda trädens kronor med avseende på jus, yttre transpirationsbetingeser och vindtryck äro närmesevis ika beägna, få de atså het oika skiktbeteckning. Så änge det endast rör sig om ika sutna bestånd kan denna svårighet undvikas genom att grunda skiktindeningen på de behärskade kronornas stäning i förhåande ti de härskande trädens kronor. Men i bestånd med oika sutenhet bir förhåandet mer kompicerat. Om i

65 122 HENRIK PETTERSON [60] ett tätare bestånd C och ett gesare bestånd D de härskande trädens kronförhåande är ika, erhåa träd, som nå ti mitten av de härskande trädens kronor, i båda bestånden samma skiktbeteckning även med den förändrade indeningsgrunden, ehuru ifrågavarande träd i beståndet D onekigen ha en friare stäning än i beståndet C. På grund av dessa svårigheter har LöNNROTH (1925, s. 92) föresagit, att man vid dyika arbeten ska använda en subjektiv skiktindening. Här är icke patsen att taga stäning ti detta försag. Dock synas fördearna av objektiva arbetsmetoder inom försöksverksamheten vara så stora, att man i det ängsta bör eftersträva en tifredsstäande objektiv metod. Här skue emeertid endast framhåas, att man icke kan vänta något starkt samband mean skiktindex i tab.,4 och kronansättningens abskissa. Som ett uppsag ti fortsatta undersökningar kan det dock förtjäna beaktande, att kronansättningens abskissa kan tänkas erhåa de värden, som framgå av tab. 4, om sydigare ras och ägre skikt ha en tendens att minska densamma. Då den hypotetiska tryckpunkten (stampunkten) igger 2,463 måttenheter från trädets topp, skue detta förhåande innebära, att vindtryckets angreppspunkt igger ägre i kronorna hos träd av sydigare ras och ägre skikt., Båda desss sutsatser stå i samkang med METZGERS hypotes. Under i övrigt ika förhåanden bör vindens tryckpunkt igga ägre i södra Sveriges mer koniska takronor än hos norrandstaens ofta mer cyindriska krona. Och hos härskande träd, vikas topp är utsatt för avsevärt större vindhastighet än kronans ägre partier, måste i rege tryckpunkten igga högre i kronan än hos behärskade träd, där kronans övre och nedre dear påverkas av mindre avvikande vindhastigheter. I fråga om starkt behärskade träd tikommer, att tryckcentrum ytterigare nedfyttas genom inverkan av vindar, som framgå under de härskande trädens krontak I betraktande av de små avvikeserna hos de i tab. 4 redovisade värdena å kronansättningens abskissa synes det antagigt, att denna storhet ska i medeta för bestånd variera rätt obetydigt. Om så är förhåandet, viket förtjänar att undersökas, erbjuder sig här ett enket sätt att kubera bestånd. Vi antaga tisvidare, att beståndsmedetaen för kronansättningens abskissa röra sig med små :'!-Vvikeser kring samma medeta, som erhåits i det föreiggande materiaet, nämigen 4, gr. Om K är kronornas och L stammarnas medeängd samt x 6 basens abskissa, bir då X,; L -- === -, 4,gr K varav x 6 = 4, gr gånger inverterade kron förhåandet.

66 [61] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 123 Eftersom i detta materia de behärskade stammarna sannoikt bivit överrepresenterade, synes det dock sannoikt att beståndsmedevärdet för kronansättningens abskissa är något högre än 4, 9 r, så att den försagsvis kan antagas i runt ta utgöra 5. För noggrannare bestämningar behöver denna faktor säkerigen justeras, framför at för sutenhet och ras. Detta kan emeertid endast ske genom beståndsanayser. Att en sådan metod ska kunna biva användbar för vetenskapiga undersökningar ifrågasättes ikvä icke. Huvudgruppernas avsmaningsserier. Vi övergå nu ti de inom varje höjdkass bidade huvudgrupperna (jfr s. I 14) och väja som exempe den stamrikaste höjdkassen 12 meter (tab. s). I denna höjdkass igga de för huvudgrupperingen bestämmande diametrarna 2, 5 och 5,5 meter från marken. Det faer genast i ögonen, att just dessa måttstäen uppvisa materiaets största avvikeser från de beräknade värdena, om vi i detta sammanbang bortse från rotansväningen. De å 2,5 m erhåna feen i huvudgrupperna roo ti 140 utgöra i ordning föjande: -7,7, - 4,3, - I,S, +o,z, + 1,4, + 3,9, + 5,2, +8,o, +8,o. Motsvarande fe å 5,5 m äro: +4.o, +3,o, + I,S, +o,6, - r,z,- 2,o, - 3,7, - 5,o, - 8,3. Däremot äro feen vid det meaniggande måttstäet 3,5 m: +o,6, -o,s,-o,6, +r,o, ±o, +o,7,-o,6,-o,z, -6,3. Gruppen roo, som representerar den minsta avsmaningen, företer atså ett stort negativt fe å 2, 5 m och ett stort positivt fe å 5, 5 m. Vid gång mot grupper med större avsmaning minskas båda feen, så att de uppnå minimivärden i gruppen r r 5, som innesuter största stamantaet. Om vi fortsätta ti grupper med ännu större avsmaning ökas feen åter, men med ombytta tecken, så att i gruppen 140 finnes ett stort positivt fe å 2,5 m och ett stort negativt fe å 5,5 m. Feen å 3,5 m sakna däremot en dyik gång och de äro för övrigt numeriskt mindre. För att rätt förstå denna företeese torde det vara nödvändigt att diskutera begreppet normaform. Därmed avsåg JONSON (1910, s. 305) en stamform, som överensstämde med HöJERS ekvation. Här accepteras begreppet, men med såtivida förändrad innebörd, att därmed förstås stamformer, som kunna återges med den föresagna kombinationen av två ogaritmiska kurvor. Träd av normaform kunna såunda ha oändigt växande reativ form. För att definiera denna behöves ytterigare en bestämning, nämigen av basens abskissa xb.

67 124 HENRIK PETTERSON [62] Tao. $. Jämförese mean materiaets reativa medediameter (a) Vergeich zwischen den reativen Durchmessern des Materias (a) Huvud- Toppgrupp grupp Haupt- Gipfe- Anta gruppe gruppe Anzah OOd3 IOOdr d2 d2 Diameter vid 2,5 m Kronans Ras inom bark Åder Skikt ängd Rasse Kron en- Durchmesser Ater schich t Kron en... bei 2 15 m änge ohne Rinde ; Anm O,!o o-8o 15 IIO ss-8o 57 II5 sc-8o 8g I20 5S-8o 59 I o 23 I II IJ I40 75 I 2,40 8,g 63 I 16o 3,2S a 126,3 b 119,6 Differens + 6,7 I,93 9,4 68 I,6o 3,65 a 128,7 b 121,2 I,9s 10,2 73,ss 3,74 I,Sg 10,2 72 I,53 4,oS I,SS 10,3 72 I,58 3,Sg I,7S IO,s 66 I 148 4,47 2,oo I I,4 65 I,55 4,20 3,oo g,g 42 I,s 4,75 I 9, ,so Differens + 7,s a 128,7 b 122,g Differens + s,s a I34,2 b I25,S Differens + 8,4 a I37,7 b I30,4 Differens + 7,3 a I42,3 b I3J,8 Differens + 8,s a I45,6 b I38,o Differens + 7,6 a I 51,4 b I40,s Differens + Io,g a I 61,8 b 147,S Differens. + I4,o

68 [63] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 125 och de beräknade diametrarna (b) i höjdkassen 12 meter. und den berechneten Durchmessern (b) in der Höhenkasse 12 m. Reativ diameter inom bark vid mäthöjden Reativer Durchmesser ohne Rinde in der Messhöhe I,so z,so 3,so 4,so 5,so 6,so 7,so S,so 9,so IO,so I,so r rs,s 104,o 107,7 102,7 IOO,o SS,6 So,2 71,o I I 5,g I I,7 107,r ror,g 96,o S9,r So,s 70,4 + 2,c -7,7 + 0,6 + o,s + 4,o -o,s -0,6 + 0,6 I I 7,2 ros,s 107,6 I02,g I001o 90,r Sr,s 70,4 I7,3 I 13,r ros,4 103,r 07,o S9,g Sr,4 70,S -O,r -4,3-0,8-0,2 + 3,o + 0,2 + 0,4-0,4 IIS,7 I I2,S 109,2 I04,g IOO,o 91,g 82,s 72,2 r r8;g I 14,6 ro9,s 104,4 9S,2 91,o 82,3 7 I,s -o,z -1,8-0,6 + o,s + r,s + o,9 + o,s + 0,7 121,6 I 7,2 I!2,8 ro6,s IOO,o 92,o 82,s 7 I,o I 2!,6 I I 7,o I I I,8 ro6,o 99,4 91,7 S2,4 70,7 ±o + 0,2 + I,b + o,s + 0,6 + 0,3 + o,r + o,3 I27,4 I22,x I 14,9 ro8,6 IOO,o gr,s 82,s 71,r I25,S!20,7 I 14,9 ros,s IOI,z 92,7 S2,4 69,s + 1,6 + 1,4 ±o + o,r -1,2 -o,g + 0,4 + 1,6 I32,g 127,o I I 7,6 ro9,s IOO,o 93,21 Sr,9 69,2 I2S,7 123,r rr6,g I IO,o 102 1o 92,7 Sr,s 67,g + 4,2 + 3,9 + 0,7-0,2 - z,o + o,s + 0,4 + 1,3 136,7 13 I,7 II9,3 I I I,r 00 1o g2,o Sr,s 69,4 132,6 r26,s ug,9 2,3 103,7 93,7 Sr,6 67,6 + 4,r + 5,2 --0,6 - I,z -3,7 -I,] -0,3 + r,s 131,z 136,6!2 I,s r r6,s IOO,o 93,r 83,4 67,g 134,8 128,6 12 I,7 I I3,g ros,o 94,6 S2,2 68,r -3,6 + 8,o - O,z + 2,9 - S,o - r,s + I,2-0,2 56,2 37,s II,6 56,4 3S,2 I4,S -0,2-0,7-3,2 56,2 34,6 I I,S s6,s 38,2 14,7-0,3-3,6-2,9 57,6 37,9 12,6 57,o 38,4 14,S + 0,6 -o,s ~2,2 55,s 35,6 I2,g 55,6 37,2 14,, -o,r - r,6 - I,z 56,o 35,S 12,2 54,o 35,7 13,3 + 2,o + o,r - I,r 54>5 36,3 I2 1o 52,4 34,3 12,6 + 2,r + 2,o -0,6 54,2 33,S I3,g 5 I,g 33,7 12,3 + 2,3 + o,:r + I,6 56,3 32,o 7,g 52,r 33,S 12,3 + 4,2-1,8-4,4 148,s 142,6 120,6 II6,2 IOO,o 97,r So,9 75,o 141,s 134,6 126,g ros,2 ros,3 g6,7 S3,s 6S,s + 7,o + S,o -6,3-2 1o -S,3 + o,4-2,6 + 6,, 6o,3 39,7 13,2 52,4 33,S 12,2 + 7,9 + s,g -t~ I,o

69 126 HENRIK PETTERSON [64] Emeertid igger det i sakens natur att en så sammansatt organism som ett träd icke kan fuständigt överensstämma med en matematiskt bestämd normaform. Det är ett faktum av stort intresse, att medeta av många träd närma sig ti en sådan normaform, men i varje mätpunkt förete de i medetaet ingående enskida träden tarika avvikeser i både positiv och negativ riktning. Om man sorterar ett sådant materia med edning av kvoten mean en nedre och en övre diameter, så måste i den kass, som representerar den största kvoten, samas sådana träd, vika ti sin amänna form äro starkt avsmanande och som därti utmärkas av en positiv avvikese från denna form i den nedre diametern och av en negativ avvikese i den övre diametern. När sedan medeta uträknas av gruppens medediametrar i oika mätpunkter, kunna de ensidiga avvikeserna i de båda för sorteringen använda diametrarna icke utjämnas, medan variationerna i övriga diametrar mer eer mindre taga ut varandra. På grund härav angives gruppens normaform bäst av de vid sorteringen icke använda diametrarna. Ti detta förhåande har den här använda metoden tagit hänsyn. Om man däremot beräknar en grupps formkass enbart med edning av en diameterkvot, så bir föjden ofrånkomigt, att formens extremer rätt betydigt överdrivas. Vi övergå nu ti en detajgranskning av huvudgruppernas medeserier i höjdkass 12 (tab. 5). Å de grafiska tabåerna ser man, iksom fa:et var i fråga om medetaen för hea höjdkasser, att rotansväningen icke fut upphört vid 10 % av ängden från marken räknat. Det negativa fe, som i sammandraget över höjdkasserna överat återfanns i toppen, uppträder här i den yttersta toppsektionen i 7 huvudgrupper av 9 Redan i den näst yttersta toppsektionen är feet negativt endast i 5 huvudgrupper av 9 Denna omständighet gör det mindre inbjudande att söka undvika detta fe genom en justering av toppkurvan. Om vi på grund av rotansväningen bortse från mätpunkten o, 5 m samt ävenedes frånse de två översta toppsektionerna och de vid sorteringen använda mätpunkterna vid 2, 5 och 5, 5 m, så återstå 7 mätpunkter, varest överensstämmesen med normaformen är tämigen god. Det i varje huvudgrupp för dessa 7 mätpunkter utan hänsyn ti tecken uträknade genomsnittiga feet uppgår, om huvudgrupperna tagas i ordning från 100 ti 140, ti föjande siffror: o,s, 0,3, 0,6, 0,4, I,r, 1,3, 1,7, z,o och 4,6 procent av enhetsdiametern. Det är sannoikt, att det ringa antaet träd i de från medeavsmaningen mest avvikande grupperna ökat dessas genomsnittiga fe. Men dessutom synes en tydig tendens ti ökning av feen vid gång mot grupper med större avsmaningskvot, d. v. s. med ägre formkass. Det förefaer antagigt, att orsaken härti devis

70 [65] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 127 bör sökas i en störra individue variation hos träd i åga formkasser. Därjämte inverkar säkerigen ett systematiskt fe, som framträder karare vid huvudgruppernas uppdening på toppgrupper. Vi skoa ängre fram se (s. 130), att detta fe kan minskas genom fyttning av origo. Med undantag för de mest extrema grupperna måste emeertid överensstämmesen anses så god, att normaformen kan äggas ti grund för kubering av huvudgruppernas medeträd. Det gäer atså att finna en för varje huvudgrupp ämpig variant av normaformen. I sådant syfte måste vi bestämma måttenheten eer basabskissan. Möjigheten att häreda basabskissan med hjäp av kvoten mean två medediametrar är här i princip densamma som i fråga om höjdkassernas medeträd. Skinaden bir endast att beräkningen i detta fa bir osäkrare, därför att överensstämmesen med den ogaritmiska huvudkurvan är sämre. Däremot ger ett försök att med edning av kronans ängd bestämma stamformen hos huvudgruppernas medeträd negativt resutat. Vid granskning av de upprättade tabeerna finner man, att såvä kronans medeängd som skiktindex varierar utan tydigt samband med formen hos stammens nedre häft. Det ringa sambandet mean kronängd och huvudgrupp beyses av tab. 6, som för höjdkassen 16 m utvisar stamantaets fördening på oika kombinationer av dessa två bestämningar. I var och en av de fem kronängdskasserna mean 2,5 m och 7,4 m äro med ett enda undantag aa huvudgrupper representerade. stamantaet i varje sådan kronängdskass grupperar sig tämigen symmetriskt kring samma medehuvudgrupp, nämigen I 20. Man får av tab. 6 intrycket, att stammar- Kronans ängd Tab. 6. stamantaets fördening i höjdkass x6 m. Die Verteiung der Stammzah in der Höhenkasse 16 m. H u v u d g r u p p Hauptgruppe Kranenänge m. ros I O 1!5! S:a I,s- 2,4 - I I 2,5-3.4 I ' 5 IO 3 2 I 25 2,5-4,4 I 8 IO I o 5,5-6.4 I 3 II 30 I 7 I 64 6,5-7,4-2 7 IO 8 4 I 32 7,5-8, I 3 I - 8 8,5-- 9, ,5-Io, I - - I Summa zs6 g. Medde!. fr!i:.jt Statens Skogsförsöksnnstat. Häft. 23.

71 128 HENRIK PETTERSON [66] nas fördening på huvudgrupper är i det närmaste oberoende av kronans ängd. För samma höjdkass I 6 m har i ta b. 7 (s. I 3 I) redovisats kronängdkassernas medediameter vid 2,5 m, uttryckta i procent av enhetsdiametern. Med undantag för den första och de två sista kronängdskasserna, som å s. I 3 r närmare diskuteras, röra sig dessa medediametrar inom gränserna I2I,3 och 123,5. De äro såunda praktiskt taget ika, viket innebär, att aa kronängdskassernas medeträd tihöra i det närmaste samma huvudgrupp. I medeträdet för en he höjdkass sammanföras atså medeta av kronängder. och stam former, som hos de enskida träden variera utan nämnvärt inbördes samband. Det är då förvånande, att dessa medeträd kunna uppvisa ett så agbundet förhåande mean kronängd och stamfnrm, som de faktiskt göra (s. I2I). Detta resutat är besäktat med MATTSSON-MÅRNS (1917) och PETRINIS (I 9 r 8) erfarenhet, att hos enskida stammar korreationen mean kronans tyngdpunkt och fe>rmkassen är svag eer ingen, medan däremot ett agbundet samband mean dessa faktorer synes äga rum, då det gäer stora medeta. Den nu utförda undersökningen behöver ika itet som MATTSSON MÅRNS och PETRINIS tokas som ett bevis mot METZGERS hypotes, eftersom denna är knuten ti vindtryckets angreppspunkt, vars äge i de festa fa är okänt. Träd med små kronor tihöra vanigen ägre skikt, och i enighet härmed kan man förvänta, att deras tryckpunkt i medeta ska igga ågt i kronan (jfr s. I22). Å andra sidan äro träd med stora kronor oftast härskande, och de hava därför sannoikt tryckpunkten högt beägen. Hos ett anta träd av samma höjd bör därför tryckpunkthöjden variera mindre än kronängden. I den här undersökta höjdkassen I 6 m skue emeertid tryckpunkten för att tifredsstäa METZGERS hypotes ha ungefär samma absouta medehöjd i aa kronängdskasser. Detta är, om man bortser från de mest extrema kasserna, visserigen tänkbart, men det förefaer ingaunda sannoikt. Det är snarare troigt, att den okända bioogiska reaitet, som METZGERS hypotes är avsedd att uttrycka, icke fut täckes av hypotesen. Måhända formas stammen under infytande av en mångfad orsaker, som oftast äro så kombinerade, att de framkaa en ungefärig tipassning ti vindtrycket, medan i mindre vaniga fa andra orsakskombinationer ge upphov ti stamformer, som mer eer mindre avvika från den av vindtryckshypotesen fordrade formen.

72 [67] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 129 Toppgruppernas avsmaningsserier. Såsom förut framhåits (s. I I4) ha stammarna i varje huvudgrupp sorterats i toppgrupper, vika benämnts efter reativa diametern på ungefår hava avståndet mean enhetsdiametern och toppen. Även för denna sortering gäer vad som å s. 126 anförts rörande uppdeningen på huvudgrupper, nämigen att tifäiga fe i de gruppbestämmande diametrarna överdriva formens extremer. I de mest extrema grupperna har dessutom det ringa trädantaet och jämvä andra orsaker våat, att de % av enhet..rd,ametq.rn 1~ B Fig ö. 9 O 11 12m Reativ form hos medestammarna ti höjdkass I2, huvudgrupp I r s, toppgrupperna 6o (A) och 75 (B). (Reative Form der Mittestämme der Gipfegruppen 6o (A) und 75 (B) in der Höhenkasse rz, Hauptgruppe rr5). erhåna stamkurvorna bivit skäigen oregebundna. På grund härav har jag inskräpkt mitt studium av toppkurvorna ti en jämförese i varje huvudgrupp mean den. högsta och den ägsta toppgrupp, som innesuter minst tio procent av huvudgruppens stamantal Resutatet är ti sin riktning fukomigt enahanda i aa höjdkasser och huvudgrupper. Det beyses genom ett exempe i fig. 6, som utvisar stamkurvorna i höjdkassen I 2, huvudgruppen I r 5 samt toppgrupperna 6o och 75. Fig. 6 ämnar den viktiga uppysningen, att de ti samma huvudgrupp hörande toppkurvorna skija sig från varandra redan omedebart ovanför enhetsdiametern. Kronans nedre gräns igger i båda faen väsentigt över enhetsdiameterns mätpunkt. Man kan atså ej framstäa toppgruppernas stamkurvor genom att åta oika kronstamkurvor vid undre krongränserna ansuta sig ti en för hea huvudgruppen gemen-

73 130 HENRIK PETTERSON [68] sam huvudkurva. Vi måste finna någon utväg att inom en huvudgrupp, atså i princip hos träd i samma formkass, variera stamkurvan under kronan. Med vår grundförutsättning, att stammen under kronan föjer funktionen y = og x, är en sådan variation möjig, endast om äget för origo ändras. Genom studium av toppgrupperna komma vi såunda ti insikt om, att origopaceringen i trädets topp endast är att uppfatta som en medetasföreteese. Om äget för origo icke är bestämt fordras tre punkter på den ogaritmiska kurvan för att definiera densamma. Vid användande av HöJERS ekvation utgör det kända toppäget i punkten x = I en av dessa punkter, varför endast två diametrar behöva mätas. Därvid möjiggöres emeertid ingen variation inom formkassen. På grund härav och för vinnande av bättre överensstämmese med naturen önska vi frigöra toppen från äget x = I. För den ogaritmiska huvudkurvans bestämning erfordras då tre diametrar. Vi ha härigenom kommit fram ti den formbestämningsmetod, som utveckats i kap. III. Dess tiämpning ska närmare diskuteras i nästa kapite. I fråga om sambandet mean kronan och stamformen se vi å fig. 6, att den undre krongränsen igger högre i toppgrupp 75 än i toppgrupp 6o. För att studera detta samband väja vi som exempe höjdkassen I 2 och inom denna den stamrikaste huvudgruppen I I 5. Vid gång från den ägsta toppgruppen 50 ti den högsta toppgruppen So finna vi föjande kronängder: 4,70 (ett träd), 8,3o, 5,rr, 4,o5, 4,or, 3,32 och 2,65. Motsvarande skiktindex äro I,5 (ett träd), 1,oo, I,29, I,42, I,ss, I,73 och 2,oo. Dessa siffror äro typiska för vad som förekommer även i övriga höjdkasser, huvudgrupper och toppgrupper. Med undantag för stamfattiga extrema grupper, som kunna avvika från regen, åtföjes en ökad toppkvot överat av mindre reativ kronängd och större ski\tindex, d. v. s. ägre skikt. I samma höjdkass och huvudgrupp är atså ett itet kron förhåande en indikator på växtfyig topp. Någon agbunden variation av rasindex har här ej kunnat spåras. För att ytterigare beysa sambandet mean kronförhåande, skikt och stamform har i varje höjdkass hea materiaet sorterats på toppgrupper, utan hänsyn ti huvudgrupper. I höjdkass 12 visa för dessa toppgrupper uträknade medeta vid gång från toppgrupp 50 ti toppgrupp So föjande kronängder: 4,7o (ett träd), 5,36, 5,r 3, 4,22, 3,7 s, 3d3 och 2,8o. Motsvarande skiktindex äro: r,oo, 1,2o, I,3r, 1,46, r,ss, 1,73 och I, 9 o. Rasindex variera oregebundet.

74 [69] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 131 Med undantag för toppgrupp 50, som endast representeras av ett träd, åtföjes atså toppkvotens ökning överat av faande kronängder och stigande skiktindex. Enhetsdiametern å 5,5 m är i aa toppgrupper 100. Medediametern vid 2, 5 m är vid gång från toppgrupp 50 ti toppgrupp 8o föjande: II5,r (ett träd), Ir7,9, 1I9,7, 118,9 117,7, I17,9 och 118,6. Medeavsmaningen mean 2,5 m och 5,5 m är föjaktigen praktiskt taget ika i aa toppgrupperna. De nyss anförda kronängderna utgöra gruppvis beräknade medeta. För att kontroera de så erhåna resutaten har hea materiaet i höjdkassen 16 sorterats efter kronängder, varefter medediametern vid 2,5, 9,5 och I I,5 m uträknats. Därvid ha de siffror framkommit, som återfinnas i ta b. 7. Kronans ängd Kroneoänge Anta träd Stammzah Tab. 7. Reativ diameter vid Reativer Durchmesser bei m 2,5 m 7,5 m 9,5 m,5 m 1,s- 2,4... I IIJ,3 JOO,o 90,2 76,g 2,5-3, I 2 J,3 IOQ,0 88,, 73,6 3,5-4, I 2 I,6 IOO,o 89,o 74>3 4,5- $ o 122,9!OO,o 88,8 72,2 5.5~ 6, ,8 100,0 87,g 68,8 6,5-7, I 23,5 IOO,o 87,:. 68,r 7,5-8, ,8 IOO,o 86,4 63,r 8,s ,7 IOO,o ,4 9, / 126,3 IOO,o 74, Av diametrarna å 2,5 m är diametern i gruppen I,5-2,4 tydigen abnorm. Detta träd håer vid både 2 och 3 meter II 7, 5 procent av enhetsdiametern. I kasserna 8,5-9,4 och g,s-1o,4 igger den vid 7,5 m beägna enhetsdiameter i krongränsen eer inom kronan, viket förkarar de höga reativa diametrarna vid 2,5 m. För aa övriga kronkasser är avsmaningen mean 2,5 m och 7,5 m ungefär densamma. Mätpunkten 9,5 m igger under kronan endast i de fem första kronkasserna. I dessa kasser är diametervariationen mycket obetydig. Så snart mätpunkten faer inom kronan minskas diametern med titagande kronängd, viket förkaras av att mätpunktens reativa äge i kronan därvid förskjutes mot toppen. Mätpunkten I r, 5 m, som igger ti grund för sorteringen på toppgrupper inom höjdkassen 16 meter, faer bott i de tre första kronkasserna under kronan. Variationen är här oregebunden och, om man bortser från kassen I, 5-2,4 m, som endast representeras av ett träd,

75 132 HENRIK PETTERSON [70] obetydig. I de övriga kron kasserna, där mätpunkten r I, 5 m igger inom kronan, minskas diametern med titagande kronängd på samma sätt som nyss framhåits beträffande diametern vid 9, 5 m. Av sorteringen på kronängdskasser synes framgå, att kronans ängd icke har något nämnvärt infytande på avsmaningen nedanför trädets mitt, såvida denna igger under kronan. I detta avseende råder fu samstämmighet med de resutat, som erhöos vid sortering i huvudgrupper och i toppgrupper. Beträffande stammens övre ~äft äro resutaten i viss mån motsägande. Vid sorteringen i toppgrupper erhös ett påtagigt samband mean kronans medeängd och formen hos hea denna stamde, medan ett sådant samband vid sorteringen i kronängdskasser endast kommit ti synes i fråga om diametrarna inom kronan. Denna motsättning är av stort intresse, därför att den beyser de risker, som äro förenade med formstudier å medeträd. Antag, att det förhåer sig så, som resutatet av kronängdsorteringen synes utvisa, nämigen att kronornas stamkurvor vid krongränserna ansuta sig ti en och samma huvudkurva. I så fa kommer medekurvan för en toppgrupp att skija sig från huvudkurvan i den punkt, där den i gruppen förekommande ängsta kronan har sin undre gräns, atså ångt under krongränsen~ för gruppen beräknade medeäge. Den omständigheten, att toppgruppernas medekurvor skija sig från varandra ångt under kronan, behöver såunda icke innebära, att de i dessa grupper ingående enskida träden ha stammar, som under kronan föja oika huvudkurvor. Vi funno å s. I 30 att de ti samma huvudgrupp hörande toppgruppernas medeträd icke kunde ha huvudkurvor med samma origoäge. Nu se vi, att huvudgruppens samtiga enskida träd detta oaktat kunna ha samma huvudkurva med samma origoäge. Detta förhåande bör utgöra en maning ti försiktighet vid anäggande av bioogiska synpunkter på stamformen hos medeträd. Avsmaningen inom kronan. För att få någon överbick över stammens avsmaning inom kronan har den absouta formkassen för denna stamde beräknats i aa ti höjdkassen I 2 m hörande topp grupper. Dessa formkassvärden ha sammanförts i tab. 8, som atså innehåer kvoter mean diametern vid kronans mitt och diametern i krongränsen. Som synas röra sig medeformkasserna i tab. 8 praktiskt taget inom gränserna o, 55 och o, 6 5. Härifrån göra endast tre värden undantag.

76 [71] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 133 Tab. 8. Absouta formkasser, uttryckta i tusendear, för stamdeen inom kronan hos 12 m höga taar, fördeade i huvudgrupper och toppgrupper. Absoute Formkassen des Stammteis innerhab der Krone in I/Iooo angegeben, bei 12 m hohen Kiefern verschiedener Hauptgruppen und Gipfegruppen. T o p p g r u p p Huvudgrupp Gipfegruppe Hauptgruppe so 55 6o o o7 - ros o2 56! o I I ! so oo s so oo - För det på kronängdskasser fördeade materiaet i höjdkass 16m ha de kronformkasser erhåits, som redovisats i tab. 9 Tab. g. Absouta formkasser för stamdeen inom kronan hos 16 m höga taar med oika ånga kronor. Absoute Formkassen des Stammteis innerhab der Krone bei 16 m hohen Kiefern verschiedener Kronenängen. Kronans ängd Kranenänge Anta träd Stammzah Kronformkass Kronenformkasse I,s- 2, ,s- 3, ,s- 4, ,s o s,s- 6, ,5-7, ,s- 8, ,s- 9, r 9,s-I0,4... -~~~~;;~;~ ,545 o 576 o,s87 o,6o6 0,6o8 o,633 0,599 o,6ro O,soo 0,6o2 Även här röra sig kronformkasserna kring ett medevärde av ungefär o,6o. Om man undantager första och sista gruppen, som vardera representeras av endast ett träd, bir ägsta kronformkassen o, 57 6 och den högsta o, Medetaet för hea höjdkassen utgör o, 6 o 2. För att få en förestäning om infytandet av ras och skikt har en kronängdkass, nämigen 2,5-3,4 m, av höjdkassen 8 m, sorterats med edning av dessa bestämningar, varefter medeformkassen för stamdeen inom kronan uträknats i varje grupp. Resutatet framgår av tab. 10.

77 134 HENRIK PETTERSON [72] Tab. Jo. Absouta formkasser för stamdeen inom kronan hos 8 m höga taar med z,s-3,4 m ånga kronor. Absoute Formkassen des Stammteis innerhab der Krone bei 8 m hohen Kiefern, deren Kronen 2,s-3,4 m ang sind. R a s R a s s e s k i k t Kronenschicht 2 3 I Nordsvensk Cnordschwedische) Övergångszonens (der Ubergangszone) Sydsvensk (siidschwedische) ,57.1 o,sgs 0,574 0,623 o,637 0,6oo o,sgg o,63i o,ssg Som synes igger övergångszonen högst i aa skikt, därefter kommer den nordsvenska rasen och sist den sydsvenska. Inom aa rasområden har andra skiktet högsta medeformkassen, därefter kommer tredje skiktet och sist det första. Medeformkassen för samtiga träd är o,6oo. Av största intresset i denna sammanstäning är medeformkassens maximum i övergångszonen och i andra skiktet. Denna kumination i en meanzon och ett meanskikt förringar ganska mycket värdet av de för hea höjdkasser och kronängdskasser uträknade medetaen av ras- och skiktindex. I övrigt kunna några ängre gående sutsatser icke dragas av de nyssnämnda siffrorna, eftersom inga garantier finnas, att de observerade provträden statistiskt representera ifrågavarande raser och skikt. Av betydese är emeertid den ständigt återkommande erfarenheten, att medeformkassen för stamdeen inom kronan rör sig inom trånga gränser kring ett värde av ungefär 0,6o. Under förutsättning att kronans stamkurva föjer HöJERS ekvation motsvarar denna formkass ett absout formta av något mer än 0,4o. Vi kunna provisoriskt använda sistnämnda siffra vid kubering av stående träd. Så småningom bör det vara möjigt att genom undersökning å representativa provträd erhåa noggrannare medeformta för stamdeen inom kronan, gäande i bestånd av oika typer. Kap. VIII. Metod för uppskattning av försöksytor. Med stöd av den här förut gjorda utredningen kunna föjande riktinjer uppdragas för uppskattningen av försöksytor. r. Uppskattningen bör om möjigt ske med hjäp av statistiskt representativa provträd, vika undersökas stående. 2. Då det gäer medeta av ett stort anta utan va tagna träd synes ett visst samband otviveaktigt existera mean kronan och stam-

78 [73] STUI)IER ÖVER STAMFORMEN 135 formen. Det är emeertid outrett i viken mån ett sådant samband kan förutsättas hos bestånd av oika typer. På grund härav kan det nu icke ifrågasättas, att uppskattningen av försöksanstatens garingsytor ska ske med stöd av observationer rörande kronans äge och form. 3 Beträffande stamdeen inom kronan (kronstammen) har det visat sig, att det absouta formtaet i förhåande ti grundytan i krongränsen hos taen rör sig inom snäva gränser kring värdet o,4o. Då denna stamde i rege utgör en rätt ringa de av trädets kubikmassa inverkar ett mindre fe i bestämningen av dess absouta formta endast obetydigt på sutresutatet. Det synes därför berättigat att provisoriskt använda medeformtaet o,4o vid uppskattning av kronstammarnas kubikmassa i hea bestånd. Metoden kan sedan så småningom förfinas genom att medevärdet 0,40 ersättes med erfarenhetsta från oika beståndstyp~r, vunna vid undersökning av fäda representativa provträd. 4 I övrigt måste kuberingen ske genom direkt mätning. Beståndet kavas vid brösthöjd, varefter representativa stammar uttagas efter någon objektiv metod, enkast genom att väja vart n:te träd i stamnummerängden. Å provträden mätes med ämpigt instrument toppens och krongränsens höjd över marken, och resutatet utjämnas på vanigt sätt genom höjdkurvor. Skinaden mean de två höjdkurvorna anger i varje diameterkass kronans ängd. Då kronstammarnas medeformta förutsättes vara känt återstår för deras kubering endast att bestämma grund~ ytan i krongränsen. Denna bestämning sker med edning av stamkurvan under kronan. Vi återkomma härti under punkt 9 5 För kubering av stamdeen under kronan fordras kännedom om dess profikurva. Vi förutsätta härvid att stamdeens diametrar äro proportionea med ordinatorna ti kurvan y= og x. Något annat antagande göres icke. Det ämnas öppet, huruvida toppen igger i punkten x= r (HöJERS ekvation), om den igger i origo eer om den är på annat sätt pacerad i stamkurvans koordinatsystem. Skue något av nyssnämnda speciafa vara för handen ger sig detta förhåande tikänna vid användning av den mera generea kurvan. 6. Vid en dyik fri pacering av punkterna x = o och x= r måste tre diametrar mätas för att den ogaritmiska jämföresekurvan ska vara bestämd. Därvid är det önskvärt, att de båda yttersta måtten tagas så ångt ifrån varandra som möjigt, emedan härigenom det störande infytandet av tifäiga avvikeser minskas. Det meersta måttet bör för enkare räkning hest tagas mitt emean de båda yttersta. 7 Då det gäer bestämning av kubikmassan med bark kan den övre mätpunkten föräggas ti krongränsen och den undre så ågt som möjigt ovanför rotansväningen. Hos en de stamtyper igger stamkurvans

79 136 HENRIK PETTERSON [74] vändpunkt så högt, att man knappast han beteckna den konkava nedre deen som rotansväning. Även i sådana fa måste emeertid aa tre diametermåtten tagas på stamkurvans från ängdaxen konvexa de. Vid dyik föräggning av mätpunkterna måste oftast den övre diametern observeras med något optiskt instrument, t. ex. Lijenströms dendrometer. 8. Då det är fråga om uppskattning av kubikmassan inom bark måste i rege aa tre diametrarna föräggas så, att de biva åtkomiga för en barkundersökning. Vid provyteundersökningar erbjuder det inga större svårigheter att för detta ändamå medföra en ätt stege, med vars hjäp diametern och barktjockeken bekvämt kunna undersökas på 6 m höjd över marken. Beträffande den undre diametern gäer även i detta fa vad som sagts i punkt Sedan de tre diametermåtten erhåits, uträknas differenskvoten och avsmaningstaet, varefter jämföresekurvans origo och måttenhet bestämmas enigt de anvisningar, som givits i Kap. III. Därmed äro såvä grundytan i krongränsen som kubikmassan hos stamdeen under kronan bestämda. Hea trädets kubikmassa kan erhåas direkt genom formen 49 a S. IOI. IO. Även om man söker förägga den undre mätpunkten ovanför stamkurvans vändpunkt kan man icke vara fut säker på att detta yckats. J; sådant avseende ger differenskvoten en viss anvisning, eftersom endast mätpunkter, vikas differenskvot är större än I, kunna igga på den ogaritmiska kurvan. Denna kontro är emeertid icke tifyest. Det är högst önskvärt, att den ur tre mätpunkter häredda ogaritmkurvan kontroeras genom ännu en mätpunkt eer hest fera.. Ti en början, innan tiräckig erfarenhet vunnits om hithörande förhåanden, böra därför diametrarna uppmätas i så många mätpunkter som möjigt, försagsvis å 2, 3, 4, 5 och 6 m från marken. I I. En formbestämning efter denna inetod är givetvis ytterst känsig för tifäiga avvikeser. Vid metodens tiämpning på enskida träd bör därför a omsorg nedäggas på att förminska dessa. Endast sådana diametrar böra mätas, vika för ögat framstå som fria från fe. Likvä uppkommande ojämnheter utjämnas grafiskt innan differenskvoten och avsmaningstaet beräknas. Särskit då man önskar studera sambandet mean stamformen och oika bioogiska faktorer måste mätning och feutjämning verkstäas med största möjiga noggrannhet. 12. Vid kubering av bestånd kan emeertid den nödvändiga utjämningen i amänhet uppnås på mycket enkare sätt. Om krongränsen igger ungefär ika högt i samtiga diameterkasser tänker man sig aa provträden i hea beståndet sammanförda ti en enda soid kropp,

80 [75] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 137 viken sedan behandas på samma sätt som nyss beskrivits för enskida träd. Då denna metod användes böra diametermåtten tagas på ika höjder hos aa träd. För varje mätpunkt summeras diametrarnas kvadrater, varefter kvadratroten ur summan anger den sökta kroppens diameter i mätpunkten. I bestånd, där undre krongränsen varierar avsevärt med diametern, indeas provträden i grupper med ungefär ika krongränsägen. Därefter genomföres i varje grupp samma beräkning som i förra faet kom ti användning för hea beståndet. Det är på intet vis sjävkart, att en genom dyik sammansagning bidad kropp ska hava en profikurva av formen y= og x. Man kan emeertid ätt undersöka om så är faet i fråga om de åtkomiga mätpunkterna. Om de där erhåna diametrarna åta sig,utjämnas genom en ogaritmisk kurva bör man vara berättigad att utdraga denna ti krongränsen. För den händese att nöjaktig överensstämmese med ogaritmkurvan ej uppnås torde i rege en ytterigare uppdening på grupper vara att tiråda. I varje fa har man i sin hand att med stöd av materiaet bedöma, om metoden är tiämpig. Det är möjigt, att undantagsförhåanden finnas, då intet annat återstår än att kubera beståndet efter den förut använda subjektiva metoden. Detta kan särskit bi nödvändigt, då något större anta stammar ha vändpunkten abnormt högt beägen. Vid behanding av sådana ytor gör man därför kokt i att tisvidare uttaga provstammar jämvä efter den subjektiva metoden. I 3. För att göra det nya förfarandet fu rättvisa borde detsamma kontroeras på statistiskt representativa provträd. Då några sådana för närvarande ej stå mig ti buds har jag för ändamået använt 39 st. sektionsmätta provstammar, vika tagits ur garingsvirket vid revision år I925 av försöksytan N:o 40, Bispgården. Vid en dyik jämförese böra rotansväning och stubbavdrag ej få inverka på resutatet. På grund härav har vid kuberingen endast stamdeen över 2 m:s höjd tagits i betraktande. Enigt sektioneringen utgör kubikmassan hos denna stamde i summa för samtiga provstammar 3,44 77 kbm, viken voym atså ska jämföras med den beräknade. Provstammarnas medehöjd är I5,67 m, och krongränsen igger i medeta 9,90 m över marken. Diameterkvadraternas summa är vid 2,5 m höjd o,6r3727, vid 4,5 m 0, och vid 6,5 m 0, I enighet härmed är differenskvoten = I, r och avsmaningstaet = I 4, 7 o r är= 9,225 och u= o,o4983o5. Härav erhåes origoavståndet A från undre mätpunkten = I8,45 m och måttenheten a= 3,4r32 m. Med stöd av dessa siffror fås enigt formen (49) den sökta kubik-

81 138 HENRIK PETTERSON [76) massan = 3,4558 kbm, atså 0,23 procent för högt. Emeertid har därvid kronstammarnas medeformta antagits vara o,4o. I detta fa, då det gäer fäda provstammar, kan ifrågavarande formta kontroeras. Det uppgår enigt sektioneringen ti 0,42. Om detta värde insättes i forme (49) bir kubikmassan = 3,4827 kbm, viket resutat överstiger sektioneringens med I,o2 procent. Vi få en förestäning om denna avvikeses natur genom att jämföra provstamkroppens beräknade diameterkvadrater D 2 med summorna av de mätta diametrarnas kvadrater d 2 (ta b. I I). Tab. II. Höjd över marken D2 J:d2 M esshöhe 9,5... o,3r5755 o,3o6686 8,5... o,36og64 o, ,5 0, o,399i72 6,5... 0, , ,5 o,49q26 0A8397I 4,5... O,S33I04 0, , ,57386] 0,5]3260 2,5... o,6r37:19 o,6r3727 Då den ogaritmiska kurvan agts genom punkterna 2,5, 4,5 och 6,5 m skue därstädes fu överensstämmese ha uppnåtts, om beräkningen utförts med tiräckigt många decimaer. Feen vid 3,5, 5,5, 7,5 och 8,5 m synas vara av tifäig natur och skue sannoikt ha kunnat minskas genom ökning av antaet provstammar. Däremot!orde feet vid 9, 5 m, viket är det största av de observerade feen, ti väsentig de vara systematiskt. Medan mätpunkten 8, 5 m igger inom kronan eneast hos 8 % av provstammarna faer nämigen mätpunkten 9, 5 m i kronan hos 40 %. Diametern i denna punkt är därför starkt påverkad av kronans i rege diameterminskande infytande, viket våar att det utan hänsyn ti kronan beräknade värdet bir för högt. Av samma anedning har även den för krongränsens medehöjd 9,9 m beräknade grundytan en teneens att bi större än summan av de enskida provträeens krongränsgruncytor. Krongränshöjdens variation medför såunda en tendens ti för hög kubering av stamdearna såvä över som uneer krongränsens medehöjd. Detta fe kan tydigen motverkas genom materiaets uppdening på grupper med närmesevis ika krongränshöjd. Provstammarna från ytan N:o 40 ha eneast anförts som ett exempel Först då vi erhåa representativa provstammar från ett tiräckigt anta försöksytor i oika beståndstyper bir det möjigt att underkasta den

82 (77] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 139 nya metoden en effektiv kontro. I detta exempe har emeertid ett resutat erhåits, som i och för sig måste betecknas som tifredsstäande. Goda grunder finnas dessutom för antagandet, att detta resutat skue kunnat ytterigare förbättras genom större anta provträd och dessas uppdening på grupper med närmesevis samma krongränshöjd. 14. Särskit för gran med djupt gående kronor kan det bi nödvändigt att för~gga en eer fera mätpunkter inom kronan. Det är då ämpigt att kubera stamstycket ovanför övre mätpunkten på samma sätt som här använts för kronstammen. Den övre deens formta beräknas ätt ur det för hea kronstammen antagna formtaet. I 5. Hos den föresagna metoden är det en stor styrka, att inom ett bestånd eer eventuet en stamgrupp aa diametermått kunna tagas på samma absouta höjder. Härigenom förenkas mätningsarbetet i hög grad. Å andra sidan medför det inga svårigheter att i varje bestånd förägga mätpunkterna på de för beståndet ämpiga höjderna. sutigen bör det framhåas, att vid summering av diameterkvadraterna varje diameter med sin rätta vikt påverkar provstamkroppens form. 16. Särskit vid tiväxtundersökningar är det en stor förde att måtten ej behöva tagas på bestämda reativa höjder. På tre ika ångt från va;andra beägna stamskivor kan man bekvämt studera ett träds tiväxt ända från det år, då krongränsen nådde den översta skivan. Hittis har man vid dyika probems ösning varit hänvisad ti grafisk bearbetning av fuständiga stamanayser. I vaniga fa bir en sådan metod atför omständig, och man har då tigripit den otifredsstäande utvägen att undersöka endast brösthöjdsdiameterns och höjdens tiväxt. Formtiväxten har man ej kunnat beräkna, utan det har antagits, att formkassen förbivit oförändrad under utväxandet.

83 140 HENRIK PETTERSON [78] Litteratur. FLURY, PH., 1907, Ertragstafen fiir die Fichte und Buche der Schweiz, Mitteiungen der schweizerischen Centraanstat fiir das forstiche Versuchswesen. IX. Band. HESSELMAN, HENRIK, Studier över barrskogens humustäcke, dess egenskaper och beroende av skogsv~rden. Medd. fr~n Statens Skogsförsöksanstat, h. 22, N:r 5 HöJER, A. G., 1903, Taens och granens tiväxt. Biaga ti LOVEN, F. A., Om v~ra barrskogar. Stockhom. JONSON, ToR, 1910, Taxatoriska undersökningar om skogsträdens form. I. Granens stamform. Skogsv~rdsför. tidskr. --, 191 I, d:o d:o. II. Taens stamform. Skogsv~rdsfdr. tidskr. --, 19I2, d:o d:o, III. Formbestämning av st~ende träd. Skogsvhdsför. tidskr. --, 19I8. Massatabeer för träduppskattning, fjärde större uppagan, Stockhom. LÖNNROTH, ERIK, 1925, Untersuchungen iiber die innere struktur und Entwickung geichatriger naturnormaer Kiefernbestände, Acta ForestaHa Fennica 30 Hesinki_ MAASS, ALEX., I 908. Kubikinnehiet och formen hos taen och granen inom Särna socken i Daarna. Medd. fr~n Statens Skogsförsöksanstat, h. 5. MATTSSON-MÅRN, L., I917, Formkasstudier i fusutna tabest~nd. Medd. frin Statens Skogsförsöksanstat, h. 13, I4. METZGER, C., 1893, Der Wind as massgebender Faktor fiir das Wachstum der Bäume. Mtindener forstiche Hefte. H. 3. Berin. --, 1894, Studien iiber den Aufbau der Wadbäume und Bestände nach statischen Gesetzen. Miindener forst!. Hefte. H. 5, 6. Berin., 1895, d:o d:o. H. 7 Berin. PETRINI, SVEN,. I918, Formpunktsmetoden och dess användning för formkassbestämnjng och kubering. Skogsv~rdsför. tidskr. PETTERsoN, HENRIK, 1924, Naturforskning och skogiga försök som underag för best~ndsv~rden, Skogsv~rdsför. tidskr. --, 1925, Sambandet mean kronan och stamformen, Skogsvhdsför. tidskr. RINIKER, H., Uber Baumform und Bestandsmasse, Aarau. ScHOTTE, GUNNAR, 1912, Om garingsförsök Medd. frn Statens Skogsförsöksanstat, h. 9. SYLVEN, NILS, 1916, De svenska skogsträden, en skogsbotanisk handbok.. Barrträden. Stockhom. TIREN, LARs, 1924, Om en undersökning av vindhastigheten i skogsbest!.nd, Skogsv~rdsfdr. tidskr. --, 1926, N~gra undersökningar över stamformen, Skogsv~rdsför. tidskr.

84 [79] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 141 Tabeer för formbestämning och kubering av stående träd. Tabeen zur Bestimmung von Form und Inbat stehender Bäume. Tab. I. Tabeen ger för oika differenskvoter p (se sid. 93) motsvarande värde r å undre mätpunktens abskissa i ett system, vars måttenhet m är ika med avståndet mean två närbeägna mätpunkter. Undre mätpunktens absouta avstånd A från origo är = mr. Tabeen innehåer de origovstånd, som för varje differenskvot svara mot mätpunktsavstånden o,s, 2 och 3 meter. Om det för ett träds differenskvot i tabeen angivna värdet u mutipiceras med avsmaningstaet a (se sid. g6) fås og xu, där xu är undre mätpunktens abskissa i stamkurvans system. Dettas måttenhet a är = -. A X u Om undre krongränsens och basens absouta avstånd från origo divideras med a erhåes krongränsens abskissa xk och basens abskissa x~>. Die Tabee gibt fiir verschiedene Differenzenquotienten p entsprechende Werte r der Abszisse des unteren Messpunktes in einem Systeme, dessen Achseneinheit m dem Abstand zwischen zwei naheiegenden Messpunkten geich ist. Der Abstand A des unteren Messpunktes vom Nupunkt ist = mr. Die Tabee zeigt die Abstände vom Nupunkt, die fiir jeden Differenzenquotienten den Messpunktabständen o,s, 2 und 3 Meter entspricht. Wenn der fir den Differenzenquotienten eines Eaumes in der Tabee angegebene Wert u mit der Verjtingungszah a mutipiziert wird, bekommt man og xu, wo xu die Abszisse des unteren Messpunktes im System der Stammkurve ist. Die Achseneinheit a dieses Systemes ist = ~. X u Wenn die absouten Abstände vom Nupunkt bis zum Kronenansatz und bis zur Basis mit a dividiert werden, ergeben sich die Abszisse xk des Kronenansatzes und die Abszisse xb der Basis. Tab, II. Ett träds voym W erhåes genom formen W= D 2 f3u [a (mb- (Uk) + Kq;ak]. D är diametern i undre mätpunkten, a måttenheten, K kronans ängd och q; absouta formtaet hos stamdeen inom kronan. o f3u, mb, mk och ak fås i koumnerna f3, m och a av tab. II. Man går därvid in i tabeen vid de x-värden, som svara mot index u (undre mätpunkten), b (basen) eer k (krongränsen) Das Voumen eines Eaumes erhät man durch die Forme W= D 2 /3u [a(mb- mk) + Ksoak] D ist der Durchmesser im unteren Messpunkt, a die Achseneinheit, K die Kranenänge und q; die absoute Formzah des Stammteis innerhab der Krone. f3u, mb, m1, und ak findet man in- den Koumnen f3, m und a der Tabee II. Man geht dabei in die Tabee bei den x-werten ein, die dem Index u (unterer Messpunkt), b (Basis) oder k (Kronenansatz) entsprechen.

85 142 HENRIK PETTERSON [80] Tab. I. FormbestämningstabeL v p=-;; r u o,sy 3r I,or I 1o2 103 I 104,os I,o6 I 1o7,os I,og I02 S I,s 34,8 26,s 2 I,s I8,2 I S,S I4,o I2,6 II,s I0,6 9,ss 9,2r 8,66 8,19 7,77 7,41 7,os 6,79 o,oo42788 o,aossrss O,orz6625 o,or6j057 o,ozo JO o,ozs , , , o,o , O,o5328gr o,os6ssso o,os9s323 o,o62g6o2 O,o66r297 o,o6grg:rz S I,o 2S,75 I 7,fO I 3,25 I0,75 g,ro 7,go 7,oo 6,so s,75 S,3 4,925 4,6os 4,330 4,0 95 3,ss s 3,705 3,540 3, ,o I03,o 69,6 S3,o 43,o 36,4 3 I,6 28,o 2S,2 23,o 21,z I9,7o I8,f2 I 7,32 I6,3s I S,sf I4,S2 14,x6 I 3,sS 306,o I 54,5 I04,4 79,5 64,s S4,6 47,f 42,o 37,s 34,5 31,s 29,ss 27,63 2S,9S 24,57 23,31 22,23 21,24 20,37 6,53 6,29 6,oS s,ss S,7 s,54 5,3s s, 24 s,u 4,99 o,ojzr88r 0, o,o7s0399 o,osog575 o,o83777o o,os64539 o,o8g3o82 o,o o,og4579r 0 109JI2J6 3,z6s 3,145 3,040 2,g4o Z,Sso z, 77o 2,6go 2 16zo 2,sss 2,495 I3,o6 I2,sS I2,I6 I I,76 I,4o I,o8 I0,76 10,4S 10,22 9,gS I 9,59 I8,87 18,24 I 7,64 17,1o I6,62 I6,q I S,72 I S,33 I4,97 o,oggs8s1 o, o,ro46so8 o,w6g8zs o,rog420g 0 11.rr6842 O,II4D437 o,n6rg2o o, IJ84233 o,rz.j7426 2,440 2,3Ss 2,335 Z,zga 2,245 z,zos 2,x6s 2,130 z,ogs z,o6o 9,76 9,54 9,34 9,x6 8,gS 8,82 8,66 8,52 8,3s 8,24 I4,64 I4,31 I4,ox I3,74 I3,47 13,23 I2,99 12,7S I 2,s7 I2,36 o,rzz8o46 o, o,:r~7i4s9 o,:rzgosrs 0, , O,I35I2IO O,I37274I o,:r39047o O,Ifo8667 2,030 z,aoo I 1970 I,945 I,9rs I,Sgo I 187o I,845 I,Szs I,Sos I 2,x8 I2,oo I I,82 I I,67 I I,49 II,34 I,22 I I,o7 I0,9S 10,83 3,57 3,53 3,49 o,r o, o,i466z6r 7,If 7,o6 6,9s 10,71 Io,sg 10,47

86 [81] STUDIER. ÖVER STAMFORMEN 143 v p = ū r u o,sr 2r 3r I,53 3,46 o, ' ,730 6,92 I0,3S I,54 3>42 0, I502IO] I,]IO 6,s4 10,26 I, o,xsr8or8 I,695 6,]S I01x7 I,56 3,36 0 1IS342J3 I,68o 6,]2 IO,o8 I, o,xssoss3 I,66s 6,66 9>99 I,ss 3>3 o,xs6]s6x I,6so 6,6o 9>90 I,59 3> 27 o,xss5219 I,635 6,s4 g,sx I,6o I I,6zs 6,so 9>75 I 16r 3,22 o, r6rsozg I,6to 6,44 g.66 I 162 3> 19 o,x I 1s9s 6,3s 9.57 I,63 3> 17 o,x I,sss 6,34 g,sx I 164 3,xs o, :r6s872i I,S75 6,30 9,+5 I,6s 3 1I2 o,r6]srs] r,s6o 6,24 9,36 I,66 3,ro o,:r6gr42 4,sso 6,zo 9,30 I,67 3,os 0, ,540 6,x6 g, I,6S 3,o6 O,I]I8542 1,530 6,rz g,rs I, o, ' r,szo 6,oS 9 1I2 I,]o J,oz o, ' I,sro 6,o4 g,o6 I,]I J,oo O,I]60913,soo 6,oo 9,oo I 172 2, I]]55I 1,490 5,96 8,94 I >73 2,96 0,1] ,480 5,92 8,ss I,74 2,95 O,I797S74 I, ,ss I,75 2,93 o,rsijoj I,465 5,86 8,79 I 176 2,gz o,rszs596 1,455 5,Sz 8,73 I,n z,go o,rs ,450 5,So 8,]0 I,7S 2,SS o,x8s 347 1,440 5,76 8,64 I,79 2,S6 O, rs6s53r 1, S,ss I,Bo 2,ss 0,:~: , ,55 1,81 2,S4 o,rsssoos 1,420 5,68 8,sz,82 2,8z o,rgoi777 1,410 5,64 8,46 I 1S3 2 18r o,rgi0277 r,4os 5,62 8,43 I,S4 2,79 0, I,395 5,ss 8,37 I,ss 2,7S o,r93624s I,390 5,s6 8,34 I,S6 2,7] O,r945o6s I,3ss 5,54 8,3, I,s7 2,]6 o,r ,380 5,52 8,2S I,SS 2,]4 o, 19]2014 I,37o 5,4s 8,22 I,s9 2,73 o, rg8n6s I ,46 8,r9 I,go 2,]2 o, S I, ,x6 I,gr 2 1tr o, ' I ,x3 I,gz 2,]0 o,zoogqg 1, ,ro I,93 2,69 o,zor86s6 I,345 5,3s 8,o7 I,94 2,6S o,zoz8zss I,340 5,36 8,o4 I,95 2,6] 0,203794S I, ,or I,96 2,66 0, , ,9s I,97 2,65 0,2D5762o 1,325. 5,30 7,95 I,9S 2,64 O,zo6]6or 1,320 5,2S 7 >92 I,99 2,63 0,2o7768r I,3I5 5,z6 7,s9 2,oo 2,62 0,20S]863 I,3IO ,s6 2,os 2,57 0, I,zBs ,]1 2,xo 2,54 0, ,2]0 5,oS 7,62 z,rs 2,so 0, I,zso 5,oo 7,so 2,zo 2,47 o, I, ' 2,25 2,44 0, ,220 4,SS 7>32 IO, Medde. frin Statens Skogsförsöksanstat. Häft. 23.

87 144 HENRIK PETTERSON [82] p v " r u o,5r 2r 3r 2,30 2,41 0, ,2o5 4, ,35 2,39 0,235383I I,I95 4,78 7 II7 2,40 2,36 0,239373I,I8o 4>72 7,os 2,45 2,34 0,242IIII I,I]O 4,68 7,o2 z,so 2,32 0, I,16o 4,64 6,96 2,55 2,31 0, I,xss 4,6z 6,93 2,6o 2,29 0, I,qs 4,5s 6,87 2,65 2,27 0,2$22222 I,I35 4,54 6,8I 2,70 2,26 0, ,13o 4,52 6,78 2,75 2,25 0, I,125 4,5o 6,75 2,8o 2,23 0, I,II$ 4,46 6,69 2,85 2,22 0, I,:no 4,44 6,66 2,go 2,21 0,2616o6g I,:ros 4,42 6,63 2,95 2,20 0, I,Ioo 4,40 6,6o 3,oo 2, I I,o95 4,38 6,s7 3,xo 2,17 0, I,oBs 4,34 6,si 3,20 2,t6 0, ,o8o 4,32 6,48 3,30 2,14 0, I,o70 4, 8 6,42 3,40 2,13 0,2753o:I2 I,o65 4,26 6,39 3,5o 2,12 0,277II79,o6o 4> 24 6,36 4,oo 2,o8 0, I,o4o 4 1I6 6,24 4,5o 2,os 0, I,ozs 4,ro 6 1 I5 s,oo 2,o4 0, I,o2o 4,o8 6,12

88 [83] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 145 Tab. II. Kuberingstabe!. x a (3 w x a (3 w I,x 0)00IJI3 458,4 o,oooos86 6,o o,6oss I,297 I,464 I, I'25,3 o,ooo4372 6,, 6167 I,273 I,525 I,3 o,or2g8 6o,49 o,ooi384 6, I,251 I,S87 I > ,78 0, , I,229 I,6sx I,s 310J: 25,33 o,oo5698 6, I,2o8 I,715 I, I8,ss o,oo9324 6,s 66o8 I,rSg I,78r I,7 53 H I4,79 o,oi406 6,6 67!7 I 1169 I,847 I,S 6sx6 I2,as o,orgg7 6, I,:rsr I,grs I, IO,n O,o27Ir 6,8 6931,133 I,984 6, I,:n6 2,053 2,o go62 8,667 0,03552 z,, O,ID38 7,56s 4S24 7,o JI42 I,roo 2,124 2, ,698 S629 7 ' 7 46 I,o84 2,196 2,3 ~308 6,oo I 1o69 2,269 2,4 '446 5, , I,os4 2,343 z,s , ! 7.4 7S56 I,o39 2,418 2,1i :C.J22 4,56' o,rq:r 7, I,o26 2,494 2,7 r86r 4, , I,o12 2,572 2, ,928 I S9 0,9994 2,6so 2,9 21:38 3,673 IJ20 7,8 79S , Sos ,8o9 3,o ,4SO I9{I 3,1 24I4 3, 53 2I76 8,o 8xs6 g630 2,8go 3, ,, sx6 2,972 3, ,g2x 2686 s, S 3,oss 3.4 z8zs 2, , > s ,6s , ,6 309S 2,538 35S4 8,s , , , , ,336 4'99 8, , ,248 4S4 8,8 8g2o S73 8, '4 3,663 4,o 36 s 2, SS 2,092 s z,o22 s649 4,3 4DI3 I,9S I,897 64S2 4.s 4267 I,84I , I, >7 45'7 I, ,8 464I I,692 82o I, ,o gro6 86zs 3.7S3 9,, 9x98 8S39 3,84S SS ,o3I ,125 9.s ,220 9, If0 4> o66 4>4I3 9,8 982s ,5n ' ,6xo s,o 4886 I,6o8 9x6r IO,o I,oooo ,709 s,x 5007 r, IO,r I,oog ,8xo s. 5I2J 1,532 I,or6 10,2 I,or ,gn I >497 I,o68 I0,3 I,o ,oi I,464 I 1r2r Io,4 i,o s,u I I,433 I,r75 ro,s I, I 5,220 5, ,403 I,Z3:t I0,6 I,os:r 747I 5, I3 I,375 I,287 I0,7 I,o6o 74I2 5,430 5, I >348,34S Io,s I,o , S942 I,322 I,4o4 IO,g I,o ,644

89 146 HENRIK PETTERSON [84] x a (i w II,o,o84 0,7242 5,752 15,5 1,4'7 0,5543 I I,41 I J,x I,o ,861 15,6 1,424 55'7 II,55 I I 12 I,xox 7'34 5,970 15,7 1, II,69 11,3 I,zog 7o82 6,o8I 15,8 1, I,83 II,4 I,:n7 7031" 6,I92 15,9 1, u,98 I,s I,xas 698o 6,304 II,6 ' ,4'7 r6,o 1,450 54'7 12,u: II,7 I,I4I , , ,6o II,8 ' , ,576 49S4 I5,I5,9 1,157 67S9 6, , ,76 I2,o I,I , , ,42 IZ,x I,I , I,74S ,:r4 12,2 r,x8o ,ut 22 1,8o ,92 12,3 I,,ss , , ,74 I2,4,,g , ,9o5 4I23 25,62 12,5 r,ao , , ,55 I2,6 12n , ,oo ,53 I2,7 I,ax ,71I 27 2, I,56 12,8 I , ,og ,63 12, , ,' x a (i w 13,o I ,o8o I3,I 1, ,204 13,2 1, ,329 13,3 I, ,455 13,4, ,s82 13,5, ,709 13,6 1,285 6n2 8,838 13,7 1,292 6o78 8,966 13,8 1,299 6o45 9,o96 13,9,3o6 6o:rz 9, ,t82 36oO , ,u 32 2, ,3o , , , , , , , > ,496 3'47 56,6s 39 2,531 3I03 59,r6 14,o I,3I ,567 3o6o 6I ,, I, ,489 so 2, I 89,o2 14,2 1, ,621 6o 3, ,3 I4,3 I, , ,2 I4,4 I,342 ;853 9,888 8o 3, ,3 I4,s I >349 s823 IO,o2 go 3,8r ,6 I, I01r ,ooo ,6 14,7, , ,295 I ,8 I, , ,, ,z 14,9 I > I 0, ,771 n6o 954,8 soo 7, ,3 I 5,o 1, ,7I 6oo 7,7I ,o I 5,, 1, so 10, ,og5 o,og7o ,o I5,2 1, I0,98 8oo 8, o26,s 15,3 1, : , ,5 15,4 I,4IO 5569 II,26 1ooo g,ooo I,r

90 (85] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 147 RESUMEE. Studien iiber die Stammform. Vorwort. As ich im Sommer 1925 die Oberassistentenstee an der Forstabteiung der Forstichen Versuchsanstat antrat, wurde mir von dem damaigen Vorsteher dieser Abteiung, dem verstorbenen Professor GuNNAR ScHOTTE, die Aufgabe zugewiesen, zu untersuchen, inwieweit sich auf Grund des reichhatigen Probestammmaterias der Anstat unsere Kenntnis von der Stammform der Kiefer erweitern iesse. Dieses Materia, das unter Leitung des ersten Vorstehers der Anstat, Jägmästare A. MAASS (r9o2-19o8), und danach Professor ScHOTTE's (r9oqr 9 2 5) eingesamrhet worden war, war hauptsächich da zu bestimmt gewesen, der Kubierung der Probefächen der Anstat zugrunde zu iegen. In dieser Hinsicht war das Materia bereits ausgenutzt. Indessen gab Professor ScHOTTE oft der Hoffnung Ausdruck, dass dieses grosse Materia ansserdem zu einer sochen Karsteung der Formfrage verwendet werden köinte, dass die Kubierung der Probefächen sich in Zukunft unter Zugrundeegung stehender Probestämme bewerksteigen iesse. Wie aus dem Fagenden hervorgeht, diirfte diese Aufgabe nunmehr as im Prinzip geöst anzusehen sein, wenn auch einige Detaiarbeiten noch zu eredigen sind. Die Erwartungen, die in dieser Beziehung von meinem dahingeschiedenen Freunde und Chef gehegt wurden, haben sich somit erfiit. Kap. I. Die Forstiche Versuchsanstat und die Formfrage. Bei der Schätzung der Probefächen wendet die Forstiche Versuchsanstat Schwedens, wie auch meines Wissens ae ausändischen Versuchsanstaten, subjektiv gewähte Probestämme an. In einigen Fäen (Schweiz, Wiirttemberg) hat man diese Probestämme stehend mitteist sektionsweiser Kubierung untersucht, im iibrigen aber werden sie unter dem Durchforstungsmateria oder zu einem geringeren Teie ausserhab der Probefäche ausgewäht. Nach den bei uns getenden Bestimmungen soen die Probestämme den nach der Durchforstung iibrigbeibenden Bestand der Probefäche repräsentieren, wobei jedoch wirkich beschädigte, krumm oder gabeig gewachsene oder sonst abnorme Bäume ausgeschossen werden. Derartig ausgewähte Probestämme können natiirich nicht aseitig repräsentativ fiir die Fäche sein. Sie haben nur Bedeutung fiir die Kubierung. Fiir diesen Zweck geniigt es, wenn in jeder Durchmesserkasse die durch Kurven ausgegichenen Werte der mittieren Höhe und der mittieren Formzah der Probestämme mit den Verhätnissen im Bestande iibereinstimmen. Bei der Auswah von Probestämmen ist die Aufmerksamkeit hauptsächich der Höhe zugewandt worden, und die Erangung einer richtigen Mitteformzah ist wesentich von der Voraussetzung abhängig gewesen, dass in dem-

91 148 HENRIK PETTERSON [86] seben Bestande Bäume geichen Durchmessers und geicher Mittehöhe auch diesebe Mitteformzah haben. Die Frage näher zu erörtern, inwieweit diese Schätzungen mit der Wirkichkeit ubereinstimmen, iegt ausserhab des Rahmens dieser Arbeit. Infoge des subjektiven Charakters der Methode kann die Sicherheit des Resutats nicht an der Hand der ausgefihrten Beobachtungen berechnet werden. In einem Fae, nämich bei Aufhebung der Probefäche Nr. I 54=II in der skarhuter Staatsforst, konnte die Methode durch Sektionskubierung der sämtichen Stämme des Bestandes kontroiert werden. Hierbei zeigte die Schätzung ein um 1,6 % niedrigeres Resutat as die Sektionskubierung, was mit Rucksicht auf die mit der Methode verkniipften Schwierigkeiten as ein sehr schönes Resutat angesehen werden muss. Andere Erfahrungen ergeben, dass eine Abweichung um 5 % nicht ausgeschossen ist. Aes hängt hier von der Ubung und Geschickichkeit des Taxators ab. Die ausändischen Versuchsanstaten durften mit ähnichen Schätzungsfehern arbeiten, vieeicht sogar noch grässeren as unseren, da sie der Rege nach eine geringere Anzah Probestämme benitzen. Fur die Schweiz, wo die Probestämme, wenn nötig, stehend sektionsweise kubiert werden, gibt FLURY (1907) einen durchschnittichen Feher von 2 Y. an. Wahrscheinich ist hier der Vortei der freien Probestammwah durch die geringere Anzah untersuchter Stämme aufgewogen worden. Diese Methoden stammen aus einer Zeit her, wo es as die wichtigste Aufgabe der Versuchsanstaten betrachtet wurde, durch Untersuchung einer grossen Anzah Probefächen die Kubikmasse pro Hektar in sog. Normabeständen verschiedenen Aters und verschiedener Bonität zu bestimmen und auf Grund socher Schätzungen Ertragstafen auszuarbeiten. Feher der angegebenen Grössenordnung hatten da geringe Bedeutung. Diese Aufgabe besteht noch fort, aber sie kommt erst in zweiter Linie in Betracht. Nun git es vor aem, nach Mögichkeit zu versuchen, die wadbauichen F r agen betreffs der richtigen Pfege und V erjungung der Bestände zu beantworten. Die Probeme der Bestandspfege werden in erster Linie durch vergeichende Durchforstungsversuche studiert. Was dabei am meisten interessiert, ist nicht die Masse, sondern der Zuwachs, aso der Unterschied zwischen zwei Schätzungen. W enn ein Bestand beispiesweise einen Zuwachs von 2 % im J ahre hat, so bedeutet ein Schätzungsfeher von 2 % den Zuwachs eines J ahres. Fur eine Beobachtungszeit von finf J ahren entspricht ein Feher von + 2 Y. bei der ersten Schätzung und - 2 % bei der zweiten 40 % des Zuwachses. Da die Ertragsziffern der verschiedenen Durchforstungsformen vieeicht um weniger as 10 % voneinander abweichen, so können, soange die Gefahr eines derartigen Fehers voriegt, sichere Schusse betreffs der Wirkungen der Behandungsmethoden erst nach V erauf vieer J ahre gezogen werden. Fur die Praxis, die rasche Orientierung uber die richtige Behandung der Bestände verangt, bedeutet eine so ange Wartezeit einen sehr grossen Ubestand. Aber auch wissenschaftich wirkt es äusserst ungunstig, wenn das Resutat eines Durchforstungsversuchs erst nach J ahrzehnten abgeesen werden kanri. Fur die Versuchsanstat gibt es sichedich nur einen Weg zur Lösung der Durchforstungsfragen, nämich den einer intimen Zusammenarbeit der naturwissenschaftichen und der forstichen Kräfte. Botanische Untersuchun-

92 [87] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 149 gen, Bodenanaysen, Temperaturbestimmungen und viee andere Beobachtungen mussen parahe mit den forststatistischen Versuchen ausgeftihrt werden. Derartige Beobachtungen zu erhaten, die uber den Zustand einer Versuchsfäche während J ahrzehnten Auskunft ge ben, stösst in dessen au f sehr grosse Schwierigkeiten. Es ist somit notwendig, seine Bestrebungen darauf zu richten, die Länge der Beobachtungszeit zu reduzieren. Dies kann nur durch eine sichrere Bestimmung der Kubikmasse und des Zuwachses des Bestandes geschehen. Die erste Bedingung. hierfiir ist die, dass wir statistisch repräsentative Probestämme erhaten. Statt der Panschsummen der aten Methode erhaten wir mitteist derartiger Probestämme einen Uberbick uber die Variation innerhab des Bestandes. Es wird mögich, den wahrscheinichen Feher der Schätzung zu berechnen, wodurch die Anzah der Probestämme je nach Bedarf gewäht werden kann. Schiessich entgehen wir darnit der drahenden Gefahr, dass die Durchforstungsform Einfuss auf die Wah der Probestämme ausubt, wodurch sich ein gefähricher, systematischer Feher in die vergeichenden Durchforstungsversuche einscheichen kann. Indessen ist die Bedeutung der statistisch repräsentativen Probestämme keineswegs auf die Schätzung beschränkt. Es verhät sich eher so, dass diese Reform noch befruchtender auf die Bearbeitung derjenigen Probeme wirken wird, die in das Gebiet des Wadbaues faen. Dadurch, dass wir mit Hife statistisch repräsentativer Probestämme die Variation socher Faktaren wie Höhe, Kronenverhätnis, Kroneoform und Kronenschicht studieren, erhaten wir einen Uberbick uber die Steung der Individuen zueinander und die Konkurrenz zwischen ihnen. Es eröffnet sich hierdurch ein Arbeitsfed, das in aen Richtungen im Hinbick auf die Feststeung der Gesetze, weche das Leben des Bestandes bestimmen, durchforscht werden kann. Statistisch repräsentative Probestämme auf Versuchsfächen können jedoch im agemeinen nicht gefät werden, ohne dass der Durchforstungsversuch gestört wird. Der Wunsch, dies zu vermeiden, fihrt aso zu der Notwendigkeit, die Probestämme stehend abzuschätzen. Ein derartiges Zukunftszie hat offenbar schon fruhzeitig SCHOTTE vorgeschwebt. In seiner Abhandung»Om garings försök» (» Uber Durchforstungsversuche»), I9I2, S. 232 sagt er:»die Abschätzung sebst des stehenden W ades muss daher zunächst as eine Berechnung angesehen werden, bis man dahin gekommen ist, stehende Stämme vöig objektiv schätzen oder messen zu können». Dass ein soches Verfahren bisher nicht eingefihrt worden ist, beruhte mit Sicherheit auf Professor ScHOTTE's Uberzeugung, dass keine fiir derartige Zwecke anwendbare Methode, stehende Bäume abzuschätzen, vorag. Meines Erachtens ist dieser Standpunkt as berechtigt anzusehen. Jedenfas kann das Verfahren, das während der Zeit nach I 9 I 2 bei uns in der Praxis zur Verwendung gekommen ist, nämich J ONSON's kombinerte Form punkt- und Formkassenmethode, bei der Abschätzung von Versuchsfächen nicht in Betracht kommen. Die Grunde fir dieses Urtei werden im nächsten Kapite dargeegt werden. Ich habe oben auf die grossen Vorteie hingewiesen, die ein Ubergang zu statistisch repräsentativen Probestämmen mit sich bringen wurde. Da diese stehend geschätzt werden mussen, so ist es wichtig, dass was einerseits durch die besseren repräsentativen Eigenschaften der Probestämme gewonnen wird, nicht andererseits durch schechtere Formbestimmung jedes einzenen Probe-

93 150 HENRIK PETTERSON [88] stamms vedoren geht. Bei der Beurteiung einer Methode von diesem Gesichtspunkt aus muss man zwischen systematischen und zufäigen Fehern unterscheiden. Die mangehafte Repräsentativität der subjektiv gewähten Probestämme bringt eine Gefahr systematischer Feher mit sich, während dagegen die Schätzung jedes einzenen gefäten Stammes vortreffich ist. Bei objektiv gewähten Probestämmen iegt die Gefahr so gut wie ausschiessich in dem Feher, der der Schätzung der einzenen stehenden Stämme anhaftet. Es ist da von besonderer Bedeutung, dass diese etztere Schätzung soweit as mögich von systematischen Fehern befreit wird. Dies geschieht durch eine weiter getriebene Einteiung in Typen, aso bei direkter Messung durch Bestimmung einer grösseren Anzah Durchmesser. Infogedessen ist es mögich, dass der gewonnene Vortei keiner systematischer Feher durch eine erhöhte Empfindichkeit gegen zufäige Abweichungen erkauft werden muss. Eine soche Schwäche der Methode ist indessen von geringerer Bedeutung, da sie durch die Verwendung einer grösseren Anzah Probestämme neutraisiert werden. kann, Könnte es geingen, den systematischen Feher ganz zu beseitigen, so wi.irde die Sicherheit der Schätzung nur durch die Arbeitskosten und die Grösse der Versuchsfäche, aso etzthin i.iberwiegend durch die Kosten beschränkt werden. Wir haben oben gesehen, von wech durchgreifender Bedeutung, sowoh praktisch as wissenschaftich, es ist, dass das Resutat eines Durchforstungsversuchs innerhab angemessener Zeit abgeesen werden kann. Der einzige Weg zu diesem Ziee ist der, die Schätzung sicherer zu gestaten. Man muss dabei die Vorteie des Zeitgewinns und den Ubestand erhöhter Kosten gegeneinander abwägen und danach die Anzah der Probestämme bemessen. W ahrscheinich wird das Resutat einer sochen Erwägung sein, dass gewisse geeignete Fächen besonders genau geschätzt, und dass die naturwissenschaftichen Paraeversuche auf sie konzentriert werden. Darnit diese Mögichkeit, die Arbeitsmethode dem Bedi.irfnis anzupassen, erreicht werden könne, ist es notwendig; dass der systematische Feher bei der Schätzung einzeb:er stehender Stämme kein wird. Bei meinem Suchen nach einer geeigneten Methode zu einer sochen Schätzung habe ich daher fogende Forderungen aufgestet: r) Die systematischen Feher mi.issen sovie as mögich reduziert werden, auch auf die Gefahr hin, dass die zufäigen Feher erhöht w er den. 2) Innerhab des Rahmens der Typeneinteiung, die durch Punkt r) veranasst wird, muss die Empfindichkeit gegen zufäige Abweichungen sovie as mögich durch geeignete Veregung der Messpunkte re d uziert werden. Kap. II. Tor Jonsons Formbestimmungsmethode. Bevor wir neue Auswege zu einer wissenschaftich befriedigenden Bestimroung der Form stehender Stämme suchen, di.irfte es angebracht sein, das Verfahren kritisch zu prufen, das in Schweden agemein bei praktischen Untersuchungen dieser Art benutzt wird, nämich ToR }ONSON's Formbestimmungsmethode. JoNSON eitet Form und Voimen aus der Formkasse ab (Formkassen-

94 [89] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 151 methode). Um dieses Verfahren auf stehende Stämme anwenden zu können, bestimmt er die Formkasse mit Hife eines Punktes in der Krone (Formpunktmethode). Es empfieht sich, diese beiden Gieder der Berechnung je ftir sich zu betrachten. Die Formkassenmethode. Der Ausgangspunkt fiir JoNSON's Arbeiten auf diesem Gebiete war der von HöJER (I9o3) nachgewiesene Umstand, dass die Durchmesser eines von LovEN berechneten Mittestamms sehr nahe der Funktion d c+ D= Cog-cfogten, wo C und c Konstanten, d der Durchmesser Meter vom Gipfe und D der Durchmesser an der Basis sind. In diesen Ausdruck setzte JONSON (r 9 r o, I 9 II) die Konstantenwerte ein, die sechs Formkassen o,ss-o,so entsprachen, und erhiet auf diese Weise sechs Kurven, die bei einem Vergeich mit an naturichem Fichtenmateria formkassenweise berechneten Mittedurchmessern gute Ubereinstimmung zeigten. Da diese weniger gut fiir die Kiefer ausfie, wurde die Geichung fiir diese Baumart durch Hinzufiigung einer sog. bioogischen Konstante abgeändert zu d c+-2,5 D= Cog c Hinzuzufiigen ist, dass JoNSON bei der Anwendung der HöJER'schen Geichung zu reativen Zahen iiberging, so dass d in Prozenten des Basisdurchmessers und in Prozenten der Länge von Gipfe zu Basis ausgedriickt wurden. As Basis wurde in Konsequenz mit JoNSON's absouten Formkassen nicht der Stock, sondem die Brusthöhe gewäht. Der Formkassenbegriff wurde in unserem Land e durch MAASS (I 9o8) eingefiihrt, im Anschuss an SCHUBERG, KuNzE und SCHIFFEL. Die Formkasse wurde durch den Formquotienten definiert, d. h. das Verhätnis zwischen dem Durchmesser des Eaumes an der Mitte und dem Brusthöhendurchmesser. J ON SON wies (I 9 I o) nach, dass dieser Formquotient durch die Hö h e des Stammes beeinfusst wiirde, weshab er in Anaogie mit RINIKER's (r 87 3) absauten Formzahen zu absouten Formkassen iiberging, die durch den Quotienten zwischen dem Durchmesser an der Mitte des Stammteis oberhab Brusthöhe und dem Brusthöhendurchmesser charakterisiert wurden. Betreffs der absouten Formkasse hat JoNSON sebst betont (I9Io, S. 308 X), dass sie nicht seten in ästiger Weise durch einen Wurzeanauf, der iiber Brusthöhe hinausreicht, beeinfusst wird. Sie ist auch davon abhängig, ob der obere Messpunkt in oder unter die Krone fät. In Wirkichkeit iegt kein Anass vor, zu vermuten, dass die Stammkurve innerhab der Krone mit der Kurve unterhab derseben zusammenhängen wird. Besonders an Laubbäumen ist das entgegengesetzte Verhätnis oft offensichtich. Es kann nicht genug betont werden, dass die Stammkurve, die fiir eine bestimmte Formkasse mitteist HöJER's Geichung erhaten wird, nur einen von vieen Stammtypen mit demseben Formquotienten bezeichnet, die j eder fiir sich vöig definiert sind und untereinander recht hedentend abweichen. Hier wird vaständig von den Variationen innerhab der Formkasse abgesehen, die dadurch entstehen, dass der obere Messpunkt in die Krone oder der

95 152 HENRIK PETTERSON [90] untere Messpunkt in das Gebiet des Wurzeanaufs fät. Desgeichen wird von aen keineren, mehr okaen Abweichungen abgesehen, wie Knorren, Spuren von Beschädigungen usw., die die Variationen der Form noch weiter vermehren. Dass die Formvariation innerhab der Formkasse trotz dieser Begrenzung bedeutend sein kann, geht aus dem Beispie in Fig. I hervor. Die beiden Stammkurven A und B steen zwei Stämme der Formkasse o,7o dar. Die Stämme denkt man sich in ein Koordinatensystem eingetragen, mit der Länge ängs der Abszissenachse. Die Ordirraten bezeichnen Durchmesser. Nur der Stammtei oberhab Brusthöhe wird in Betracht gezogen. Aus der Figur erhet ohne weiteres, dass die beiden Stämme ganz verschiedene Form haben. Es geht hieraus hervor, dass die absoute Formkasse ein schechter Formausdruck ist. Dagegen gewährt sie eine recht gute Vorsteiung von der Formzah, die, wenn Basisdurchmesser und Höhe gegeben sind, die Kubikmasse bestimmt. Die absoute Formzah ist nämich fiir den Stamm A o, 494 und fiir den Stamm B o, 476. Mitteist der HöJER'schen Geichung erhät man in Porrnkasse o,7o die absoute Formzah o,484. Durch Anwendung des etztgenannten Wertes bestimmt man demnach die Kubikmasse von A um z,oz % zu niedrig und die Kubikmasse von B um I,6s ;>/:zu hoch. Bei der Anwendung der Methode auf Bestände erfogt eine gewisse Ausgeichung, die diese Feher noch weiter vermindert. Da es sich gezeigt hat, dass der Typus A iiberwiegend bei Bäumen mit hoch sitzenden Kronen vorkommt, während der Typus B bei Bäumen mit niedrigen Kronen dominiert, so ässt sich geichwoh eine vaständige Feherausgeichung in den Bestandsmittezahen nicht erwarten. Es ist viemehr wahrscheinich, dass man bei Kubierung mitteist der HöJER'schen Geichung mit systematischen Fehern rechnen muss, die in gewissen Bestandstypen positiv und in anderen negativ sind. Diese Feher können jedoch kaum eine soche Grössenordnung erreichen, dass sie bei praktischen Schätzungen der Kubikmasse ganzer Bestände Bedeutung erangen. Fiir genauere Bestimmungen ist es indessen wiinschenswert, dass die Typenvariation innerhab jeder angewandten Formgruppe durch die Zeregung der Formkasse in Untertypen beschränkt wird. Dies kann dadurch geschehen, dass man ausser den zwei formkassenbestimmenden Durchmessern noch einen weiteren zweckmässig beegenen Durchmesser misst. Einer derartigen Methode habe ich mich im fagenden bedient, mit dem Unterschiede jedoch, dass ich mich dabei ganz unabhängig von der Formkasse gernacht habe. Um die Anwendung der Formkassenmethode zu ereichtern, hat JoNSON eine Sammung Hifstabeen:»Massatabeer för träduppskattning» (»Massentafen zur Baumschätzung») (I 9 I 8) ausgearbeitet. Die Tabeen iefem Auskunft iiber die Kubikmasse fiir verschiedene Kombinationen von Höhe, Brusthöhendurchmesser und absouter Formkasse. Diese Tabeen werden in der Abhandung einer eingehenden Kritik unterzogen, weche zeigt, dass sie vöig anwendbar fiir den praktischen Gebrauch sind. Die theoretische Hereitung aber ist unbefriedigend, was bei der Anwendung der Tabeen fiir wissenschaftiche Zwecke zu grossen Unzuträgichkeiten ftihrt. Die Voraussetzung fiir die praktische Anwendbarkeit der Tabeen ist, dass die Formkasse ohne störenden Einfuss teis der Krone und des Wurzean-

96 [91] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 153 aufs und teis der Formvariation innerhab der Formkasse bestimmt werden kann. Dies ist an iegenden Stämmen mögich, wo so viee Durchmesser gemessen werden können, dass die Stammkurve iiberbickt und eventue graphisch ausgegichen werden kann. Zur Kubierung iegender Stämme bedarf es indessen gar nicht dieser Methode, da diese eichter mitteist Sektionskubierung geschätzt werden können. Der Wert der Formkassenmethode fiir praktische Schätzungen hängt daher von der Mögichkeit ab, die Formkasse an stehenden Bäumen zu bestimmen. Der Ausweg, den JONSON zu diesem Zweck angewiesen hat, ist die Formpunktmethode. JoNsoN's Formpunktmethode stiitzt sich auf METZGER's bekannte Hypothese (r893, 1894, r895), dass die Form des Stammes durch Arrpassung an die biegende Kraft des Winddrucks bestimmt wird. Unter Hinweis auf bekannte mechanische Gesetze schoss METZGER hieraus, dass der Stamm unterhab der Krone die Form eines kubischen Paraboaids haben miisste, dessen Gipfe im Augriffspunkt des Winddrucks äge. Er wies auch an untersuchten Fichtenstämmen nach, dass eine derartige Stammform existierte und dass der Gipfepunkt des Vergeichsparabooids dabei eine soche Lage in der Krone hatte, dass er sehr woh as das Druckzentrum des Windes darsteend angenommen werden konnte. As JONSON auf den vortreffichen Gedanken kam, METZGER's Hypothese mit HöJER's Geichung zu kombinieren, stiess er auf gewisse Schwierigkeiten. Fiir METZGER, der davon ausging, dass der Stamm die Form eines kubischen Paraboaids habe, war es eine natiiriche Sache, den Gipfepunkt desseben durch die bekannte Konstruktion mit Hife der Kuben der Durchmesser zu suchen. JONSON dagegen war da von iiberzeugt, dass die Stammkurve der HöJER'schen Geichung foge, aso einer ogarithmischen Kurve, die nur tei weise Ähnichkeit mit einer kubischen Parabe aufweist. Fur ihn handete es sich somit darum, in die ogarithmische Kurve eine kubische Parabe ein zupassen, die METZGER's Starnmparabooid repräsentieren könnte. Indessen. assen sich auf einen ogarithmisch geformten Baum einer bestimmten Formkasse beiebig viee Paraboaide mit verschiedenen Gipfepunktagen einpassen. Hier erhob sich aso die Frage nach der Wah eines Vergeichsparabooids. JONSON wähte in jeder Formkasse dasjenige Parabooid, das dem Augenmass nach mit exakter Ubereinstimmung an der Basis sich am besten den unteren Teien des Stammes anschoss. Die Art dieses Ansebusses ist nicht kar definiert worden. Das Verfahren ist subjektiv und entzieht sich dadurch objektiver Kritik. Die so bestimmten Parabooidgipfepunkte nennt J ON SON Formpunkte. Durch gewisse im fagenden zu erwähnende Korrektionen ässt er indessen später wieder die Ideutität des Formpunktes mit dem Gipfe des Stammparabooids faen und versteht unter Formpunkt den Augriffspunkt des Winddrucks. Die Einpassung der Vergeichsparabooide an der Basis ist meines Erachtens nicht ratione. Wird sie gesetzmässig mit tangierenden Kurven ausgefiihrt, so ergibt sie sicher zu hoch geegene Formpunkte. Eine Tendenz in derseben Richtung macht sich auch getend, wenn die Paraboaide nach dem Augenmass eingepasst werden, wie JONSON es getarr hat. Beziigich einer Formkasse, nämich o,so, hat auch JoNsON dies erkannt.

97 154 HENRIK PETTERSON [92] Dort hatte der Gipfepunkt des Paraboaids eine Lage 7 ;Yo oberhab des Baumgipfes. Um diesem Ubestand abzuhefen, wurde der Formpunkt wikurich auf 98 %' des Stammes, von der Basis an gerechnet, gesenkt. Behufs Ausgeichung der Kurve, die die Funktion zwischen Formkasse und primärem Formpunkt angab, wurde ansserdem die Formpunkthöhe in Formkasse o,6s von 6r ;Yo zu 6z %und in Formkasse o, 7 s von 87 %zu ss % geändert. Darnit war in drei von sieben Formkassen der Zusammenhang des Formpunktes mit dem Gipfepunkt des eingepassten Paraboaids aufgehoben. Fur die verschiedenen Formkassen hatten nun die Formpunkthöhen fogende W erte: Ta b. I. Formkasse o,so o,ss o,6o o,6s o,7o o,75 o,so Formpunkthöhe... 0,33 o,4z 0,51 o,6z o,73 o,ss o,9s Die Formpunkthöhen sind mit der Stammänge uber dem Boden as Einheit angegeben. Die Formkassen beziehen sich auf den ganzen Baum. N un wote jedoch JONSON den Zusammenhang zwischen der absouten Formkasse ftir den Stammtei oberhab Brusthöhe und der Formpunkthöhe des ganzen Eaumes karsteen. Da JoNSON's Formbestimmung ausschiessich auf den Stammtei oberhab Brusthöhe basiert ist, so wäre es von seinem Gesichtspunkt aus am nattirichsten gewesen, wenn er auch bei der Einpassung des Vergeichsparabooids die Brusthöhe as Basis betrachtet hätte. Fur die Formpunkthöhe oberhab Brusthöhe wären dann die in Tab. I angegebenen Werte unmittebar gutig gewesen. Ihre Umsetzung in Prozente der Länge des ganzen Eaumes hätte dann nach der Forme geschehen können: j(h-r.3)+ r,3 F= H (S) wo F die gesuchte Formpunkthöhe des Baumes, f die Formpunkthöhe oberhab Brusthöhe nach Tab. I und H die Höhe des Eaumes ist. Indessen hat J ON SON einen anderen We g gewäht. Er zieht die der Formkasse oberhab Brusthöhe entsprechende Stammkurve bis zum Boden hin aus und berechnet danach die Formkasse des ganzen Baumes. Dann iest er an der Kurve, die die Werte in Tab. I ausgeicht, die Formpunkthöhe des Eaumes ab. Existierte der angenommene Zusammenhang zwischen Formkasse und Formpunkt, so wurde dieses Verfahren dassebe Resutat ergeben wie Einpassung bei Brusthöhe und Anwendung der Forme (s). Gemäss JoNSON's Voraussetzungen ist nämich der Formpunkt identisch mit dem Augriffspunkt des Winddrucks, und die Lage dieses etzteren in der Krone karm nicht dadurch geändert werden, dass ein grösserer oder geringerer Tei des Stammes in Betracht gezogen wird. Indessen iefem diese beiden Berechnungen nicht dassebe Resutat, was am besten durch ein Beispie eräutert wird. Ein s m hoher Baum, dessen absoute Formkasse oberhab Brusthöhe o,6o ist, erhät bei Ausziehen der Stammkurve bis zum Boden die Formkasse o,6z. Fur diese Formkasse wird durch Interpoation in Tab. I die Formpunkthöhe o,ss erhaten. Die Formpunkthöhe desseben Baums oberhab Brusthöhe ist nach Tab. I o,s1. Durch Einsetzen dieses Wertes in die Forme (S) wird ftir den ganzen Baum die Formpunkthöhe o,64 erhaten.

98 [93] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 155 Dieser Widerspruch zeigt, dass METZGER's Hypothese nicht mit HöJER's Geichung in der von JONSON angewandten Weise kombiniert werden kann. Der Hauptfeher in J ONSON' s System iegt zweifeos darin, dass die Vergeichsparabooide an der Basis eingepasst worden sind. Die so berechneten Formpunkte finden sich auf jeder Tabeenseite von JoNsoN's»Massatabeer för träduppskattning» (1918) wieder. Ans dem Obigen diirfte hervorgehen, dass der Zusammenhang zwischen diesen Formpunkthöhen und METZGER's Hypothese sehr schwach ist. Die Methode, die Vergeichsparabooide an der Basis einzupassen, die subjektive Art der Durchfiihrung der Einpassung, die bei der AMertigung von Tab. 1 vorgenommenen Korrektionen und weitere Korrektionen, die hier nicht beriihrt werden können, haben im Verein den erstrebten Zusammenhang derart geockert, dass man von einer Anwendung des METZGER'schen Gedankenganges nicht sprechen kann. Bei einer Beurteiung der JoNsoN'schen Formpunktmethode tut man am kiigsten, von METZGER's Hypothese abzusehen und die angegebenen Formpunkthöhen as freistehende Hypothesen zu betrachten. Sie erhaten Wert erst in dem Masse, wie sie durch direkte Beobachtungen bestätigt werden. Soche sind indessen schwer anzusteen, da wir in der Rege nicht wissen, wo der Angriffspunkt des Winddruckes iegt. Jede Abweichung von JoNsoN's Funktion zwischen Formpunkt und Formkasse kann dann auch as ein Beweis dafiir aufgefasst werden, dass der Formpunkt fasch beurteit worden ist. Unter sochen Verhätnissen geht die Kontroie in einem Kreise herum, und die Methode kann unangefochten beiben, auch wenn sie noch so feherhaft ist. Durch gewisse von JoNSON vorgeschriebene Korrektionen hat die Formpunktmethode schon von vornherein einen stark empirischen Einschag erhaten. Dies wird bei der Anwendung der Methode durch Zuschiisse aus der eigenen Erfahrung des Taxators noch verstärkt. Ein geschickter Taxator ernt amähich mit ziemich grosser Sicherheit diejenige Formpunktage bestimmen, die bei Anwendung der JoNSON'schen Funktion die annähernd richtige Formkasse gibt. Feher der Funktion wirken hierbei nur in der Weise ein, dass sie das Zusammenhaten der Beobachtungen des Taxators erschweren. Auf diese subjektive Beurteiung grundet sich grosseuteis der praktische W ert der Formpunktmethode. Es ässt sich indessen fragen, ob es nicht ebenso eicht wäre, die Formkasse direkt abschätzen zu ernen. Zusammenfassung. Es iegt in der Natur der Sache, dass die vorstehende Priifung keine Anhatspunkte zur Beurteiung des praktischen Wertes der JoNsoN'schen Formbestimmungsmethode iefem kann. In seiner praktischen Anwendung ist das Verfahren, wie gesagt, stark subjektiv, was in hohem Grade eine objektive Kritik erschwert. Einer agemein verbreiteten Meinung nach iefert die Methode in der Hand eines geschickten Taxators gute Resutate, wenn es git, die mittere Formzah bei einem gemischten Materia festzusteen, z. B. beim Taxieren grösserer, einigermassen norma bestandener Wadgebiete. Wir haben gegenwärtig keinen Anass, die Richtigkeit dieses Urteis zu bezweifen. Die Frage, die hier beantwortet werden sote, war indessen die, ob JoNso~'s Formbestimmungsmethode as Hifsmitte bei den Untersuchungen der Forstichen Versuchsanstat dienen kann. Bei einer derartigen Anwendung muss man danach streben, soweit as mögfch das subjektive Beurteien durch

99 156 HENRIK PETTERSON [94] objektive Beobachtungen und objektive Korrektionsnormen zu ersetzen. Es iesse sich denken, dass Materia hierzu durch Präzisionsuntersuchungen an repräsentativen Probestämmen in verschiedenen Bestandstypen eingesammet werden könnte. Man wtirde auf diese W eise Erfahrung dartiber gewinnen, wo in den Kronen der Formpunkt unter verschiedenen Verhätnissen angesetzt werden muss, darnit die mitteist der Formpunkt- und Formkassenmethode bestimmte Kubikmasse richtig ausfae. Die Aussichten, auf diesem vie Arbeit erfordemden und kostspietigen Wege vorwärtszukommen, sind jedoch nicht gross. Die teiweise feherhafte theoretische Konstruktion der Methode muss nämich dazu fihren, dass vorhandene bioogische Zusam.menhänge nach verwicketer erscheinen, as sie es in Wirkichkeit schon sind. Von einer wissenschaftichen Methode ist zu verangen, dass man ihre Fehermögichkeiten kar und reinich so diskotieren können. Eine soche Diskussion ist eine Lebensbedingung fiir ae wissenschaftiche Arbeit. Ohne sie erstarrt die Arbeitsmethode zur Schabone, und die Entwickung auf dem Gebiete stockt. Dieser Forderung genigt JoNSON's Formbestimmungsmethode nicht. Infoge von Fehern und Unkarheiten der theoretischen Konstruktion ässt sich in einem gegebenen Fae nicht beurteien, inwieweit eine Abweichung des Resutats auf dem Materia oder auf einer besonderen Kombination der Feher der Methode beruht. D ah er kann J ONSON's Methode, wie anwendbar sie auch in der grossen Praxis sein mag, nicht wissenschaftichen Untersuchungen zugrunde geegt werden. Um wissenschaftichen Ansprtichen zu genigen, muss dieses ganze Probem nach kareren Linien as bisher aufgestet werden. Wir können dabei mit Vortei unsere Uberegungen an JoNSON's zwei Ausgangspunkte, nämich HöJER's Geichung und METZGER's Hypothese, ankntipfen. Kap. III. Die ogarithmische Kurve. Wie oben erwähnt, zeigte HöJER (1903), dass die Durchmesser eines von Lov:EN berechneten Mittestamms mit keinen Fehern bestimmt werden konnten durch die Forme d D c + C og--... (8) c Es erhob sich die Frage, inwiefern die Forme (8) generaisiert werden könnte. An diesem Punkte setzten meine Untersuchungen ein. Da es nicht ausgeschossen war, dass der von HöJER und JONSON nachgewiesene Zusammenhang eine genereere Natur besass, as wie es aus HöJER's Geichung hervorging, so stete ich mir zunächst die Aufgabe, die Bedeutung dieser Forme karzusteen. Die fragiche Erörterung, die sich in dem Aufsatze Sambandet mean kronan och stamformen (»Der Zusammenhang zwischen Krone und Stammform») (1925) :findet, ist grundegend furdie hier vorgeegte Untersuchung, weshab ich sie hier teiweise wiederhoe. Zu dem eben angegebenen Zwecke betrachten wir die einfachste ogarithmische Funktion, nämich y= og x.

100 [95) STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 157 Diese Funktion ist in Fig. 3 graphisch dargestet, wobei diesebe Masseinheit fiir die beiden Achsen gewäht worden ist. Da og I = o ist und die Logarithmen fiir Zahen keiner as I negativ sind, so schneidet die Kurve die x-achse in dem Punkte x = r. Fiir grössere W erte von x wird die Kurve ausserordentich fach, sie steigt aber ununterbrochen an und erhät fiir im x = co unendich grosse Ordinaten. Angenommen nun, der Tei der Kurve oberhab der x-achse repräsentiere einen Stamm mit der Länge ängs der x-achse und dem Gipfe im Punkte x = r. Die Ordinaten mögen die Durchmesser des Stammes vorsteen. Die Abszisse fiir die Basis des Stammes, die in variierendem Abstand vom Nupunkt iegen kann, wird im fegenden stets mit xb bezeichnet. Ist die Basis im Punkte x = 2 beegen, so ist der Basisdurchmesser = og 2 und der Mit.ten-. og r,s durchmesser =og r,s, aso d1e Formkasse = --- = o,sss. In Tabee 2 og 2 sind die Formkassen angegeben, die durch die Veregung der Basis nach höheren x-werten erhaten werden. Wir finden, dass die Formkasse ununterbrochen steigt, so dass sie z. B. fiir xb = 40 o,sr 9 ist. 00 Wird die Basis nach x = oo veregt, so ist die Formkasse = -,emunoo bestimmter Ausdruck, der durch Differenzierung sich as = r erweist. Fiir x b = r wird schiessich die Formkasse <:._ erhaten, wecher Ausdruck auf dieo sebe Weise as o,s bestimmt wird. Durch Veregung der Basis in geeigneten Abstand vom Nupunkt können wir so mit aus einer und derse ben, die einfache Funktion y = og x darsteenden Kurve ae Formkassen zwischen o,s und r erhaten. Da der Gipfe des Eaumes stets im Punkte x = I iegt, so ist die Gesamtänge des Stammes = x b-1. Wenn wir in Tab. 2 diesen Ausdruck fiir die Länge mit der Ordinate der Basis, die der Annahme gemäss den Basisdurchmesser vorstet, vergeichen, so finden wir, dass die Ordinaten ibera grässer sind im Verhätnis zu (xb-r), as es dem Verhätnis des Basisdurchmessers zur Länge bei naturichen Bäumen entspricht. Infogedessen können wir nicht unsere Annahme aufrechterhaten, dass die Ordinaten der Kurve Durchmesser wirkicher Bäume darsteen. Wir untersuchen jedoch, ob die Funktion y = og x die reative Verjiingung, d. h. das Verhätnis zwischen dem Durchmesser d in einem wikurichen Punkt x am Stamme und dem Basisdurchmesser D, richtig wiedergibt. Fiir dieses Verhätnis haben wir den Ausdruck. d og x D= ogxb ( 9) Bezeichnen wir og xb mit C, so wird d D = C og x (r o) In einem Koordinatensystem ist die Abszisse fiir einen Punkt auf der x-achse = dem Abstand des Punktes vom Nupunkt, ausgedtiickt z'n Massez'nheiten. Nehmen wir nun an, dass die in Fig. 3 angewandte Masseinheit a

101 158 HENRIK PETTERSON [96] Meter sei, und dass der gegebene Punkt x auf dem Stamme z Meter vom Gipfe abäge. Der Abstand des Punktes vom Nupunkt ist dann = (a + z) Meter a+ z = --- Masseinheiten, woraus die Abszisse a z X= I+..(II) a N ehmen wir weiter an, z sei = % der absouten Länge L des Baumes, und a sei = c % von L, so erhät man z Wird dieser W ert m G. ( 1 I) eingesetzt, so ergibt sich woraus durch Einsetzen m G. (ro) a c c+ X= I+-=--, c c d c+ -=C og- D c ' weches HöJER's Geichung ist, wie diese von JoNSON benutzt worden ist. Die Funktion J' = og x ergibt aso, wenn der Gipfe des Eaumes in den Punkt x = I veregt wird, dassebe Verhätnis zwischen den Durchmessern wie HöJER's Geichung und zeigt demnach, bei dieser Pacierung des Gipfes, die reative Verjiingung naturicher Bäume in demseben Grade wie HöJER's Geichung. Die Funktion y = og x. hat den Vortei, dass eine einzige Kurve die Verjiingung bei aen Bäumen repräsentiert, wobei Bäume, die einer gewissen Formkasse angehören, von der Kurve bis zu einer gewissen Abszisse xb repräsentiert werden. Der U mstand, dass ae Formkassen durch diese be Kurve dargesteit werden, ermögicht eine bequeme und genaue Bestimmung der Verjiingung bei einer unbegrenzten Anzah Formkassen. Bei JoNSON dagegen ist die Verjiingung ein fiir aema nur fiir eine geringe Anzah Formkassen ausgerechnet, während ihre Bestimmung fiir dazwischeniegende Formkassen eine weitäufige Berechnung oder eine recht unsichere Interpoation voraussetzt. Die Uberegenheit der einfachen ogarithmischen Funktion iegt indessen vor aem darin, dass sie genereer ist as die HöJER'sche Geichung. Wir sahen, dass die beiden Ausdriicke identische Bestimmungen der reativen Durchmesser des Stammes nur unter der Voraussetzung ieferten, dass der Gipfe des Eaumes in den Punkt x= I veregt wurde. HöJER's Geichung stimmt aso mit einem Speziafa der Funktion y = og x iiberein. Diese Einsicht fiihrt uns dazu, zu erwägen, ob die genannte Pacierung des Gipfes unter aen Verhätnissen die zweckmässigste ist. In dem oben angefiihrten Aufsatz ( ) ha be ich provisorisch versucht, den Gipfe in den Nupunkt zu veregen, wobei fiir JoNsoN's Materia bessere Ubereinstimmung erhaten wurde as mit HöJER's. Geichung. Indessen ist auch diese Veregung des Gipfes nur ein Speziafa. Wir woen nun untersuchen, weche Mögichkeiten die ogarithmische Kurve hat, natiirichestammformen wiederzugeben, wenn die Lage des Gipfes im Koordinatensystem frei variieren darf.

102 [97) STUDIER ÖVER STAMFORMEN 159 Sobad der Gipfe anderswo as im Punkte x = 1 paciert wird, kann die ogarithmische Kurve nicht die reative Verjiingung des ganzen Eaumes darsteen, da j a die Ordinate in dem genannten Punkte stets = o ist. Wir begrenzen daher die voriegende Aufgabe dahin, dass sie nur den Stammtei unterhab der Krone umfasst. Einen geeigneten Ausdruck fiir die Stammform innerhab der Krone zu finden, beibt eine spätere Frage. Ansserdem wird hier, wie bei aen derartigen Untersuchungen, der mit Wurzeanauf behaftete unterste Stammtei ausgeschossen. Wir nehmen aso an, dass die Durchmesser des Stammes unterhab der Krone und oberhab des Wurzeanaufs den Ordirraten der ogarithmischen Kurve, d. h. den Logarithmen der Abszissen der Messpunkte, proportiona sind. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Lage des Gipfes im Koordinatensystem nicht bekannt ist. Die gemachte Annahme kann ausgedriickt werden durch die Geichung d og x D =og X 0 ' '.(r z) D Bezeichnen w1r --- durch Q, so erhaten w1r og X 0 d= Q og x... ( I4). In G. (I4) ist x die Abszisse des gegebenen Messpunktes, worunter der Abstand des Punktes vom Nupunkt, ausgedriickt in Masseinheiten, verstanden wird. Den absouten Abstand eines Messpunkts vom Nupunkt bezeichnen wir im fogenden mit, dabei von der Bedeutung des Buchstabens bei der Hereitung der HöJER'schen Forme abgehend. Wir erhaten X=-. a Die G. (I 4) erhät dann fogendes Aussehen: d= Q og a (IS) Fur drei Messpunkte m den Abständen 1, man 1 2 und 1 3 vom Nupunkt erhät 12 d 2 =Q oga d 3 =Q og_, a 12 woraus d 2 -d 1 = Q og T I und... ( I7) Durch Division des Ausdrucks (I 6) dur ch den Ausdruck ( I7) er hä t man: I I. Medde. frå~t Statens Skogsförsöksanstat. Häft. 23.

103 160 HENRIK PETTERSON [98]!2 orro r og _!2 og og r og / 3 - og ,..... (I 8) Da die gegenseitigen Abstände der drei Messpunkte direkt gemessen werden können, enthät die Geichung (r 8) nur eine Unbekannte, nämich den absouten Abstand eines der Messpunkte vom Nupunkt. Wir sind fogich imstande, aus dem Quotienten zweier Durchmesserdifferenzen die Lage des Nupunkts abzueiten. Diesen wichtigen Quotienten nenne ich im fagenden den Differenzenquotienten (p). Fur die Anwendung der Methode auf stehende Bäume gehen wir von einem Durchmesser D aus, dessen Abstand vom Nupunkt Å Meter sei. Dieser Messpunkt, der irgendwo am Stamme iegen kann, wird im fagenden der untere Messpunkt genannt. Danach markieren wir m Meter oberhab des unteren Messpunktes einen mittieren Messpunkt und m Meter oberhab dieses etzteren e in en o be ren Messpunkt. Wir wähen in G. (r 8):,= Å o 12 =Å-m r =Å-2m. Geichzeitig drucken wir ae Längen in dem Messpunktabstand m aus, was ruhig geschehen kann, da ja beispiesweise!2: m. --1st. /r: m Geichung (r 8) erhät dann fagendes Aussehen: Å-m.-2m og---og--- m m p = --~--~ ). J.-m og--og-- m m Bezeichnen Wr ). m mit r, so er haten Wir: og~ -og(~- r) m m og(r- r)-og (r- 2) P --:- og r -- og (r - r) ( 2 0 ) Geichung ( 2 o) kann ni ch t direkt geöst werden. Wir setzen d ah er eine Anzah Werte von r ein und berechnen die entsprechenden Differenzenquotienten. Diese werden in einem Koordinatensystem abgetragen, worauf die erhatenen Punkte durch eine Kurve verbunden werden, an wecher man fiir jeden Differenzenquotienten den entsprechenden Wert von r abesen kann.,die so gefundenen Werte werden durch Einsetzen in die Forme ( 2 o) kontroiert. Da der Abstand des unteren Messpunktes vom Nupunkt ). = m r ist, erhät man dann den absouten Abstand des fragichen Messpunktes vom Nupunkt dadurch, dass man r mit dem Messpunktabstand m mutipiziert. In Tab. I (auf S. 142) sind auf diese Weise fiir verschiedene Differenzen

104 99] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 161 quotienten berechnete Werte von r nebst den den Messpunktabständen o,s, 2 und 3 Meter entsprechenden Werten von A. angegeben. Wir kehren nun zu der Forme (zo) zuruck. Da A. den absouten Abstand des unteren Messpunktes vom N upunkt bezeichnet und m der Ab stand zwischen zwei benaebbarten Messpunkten ist, so stet r, das = ~ ist, die m Abszisse des unteren Messpunktes in einem System dar, dessen Masseinheit geich dem Messpunktabstande m ist. (r- I) stet die Abszisse des mitteren Messpunktes und (r- 2) die Abszisse des oberen Messpunktes in demseben System dar. Die ogarithmischen Ausdrucke bezeichnen Ordirraten einer in diesem System gezogenen Kurve von der Form y = og x. Um den Zusammenhang zwischen dieser Kurve und der gesuchten Stammkurve zu veranschauichen, zeichnen wir die erstere in Fig. 4 (siehe Kurve I) auf.. Die Differenz og r - og (r - I) bezeichnen wir mit u und die Differenz og (r- I) -og(r- 2) mit v. Hieraus er haten wir den Differenzenquotienten v p=-...,... (z r) u Die in Fig. 4 gezeichnete Kurve I ist nur ausnahmsweise die gesuchte Stammkurve, da ja die Masseinheit m wikurieb gewäht ist. Wir wunschen nun iu der wirkichen Masseinheit a des Stammes uberzugehen, ohne dabei den Differenzenquotienten zu verändern. Dies geschieht dadurch, dass wir die Kurve parahe der y-achse verschieben. Bei einer sochen Verschiebung beiben die Differenzen v und u unverändert, weshab auch der Differenzenquotient sich nicht ändert. Aber der Schnittpunkt der Kurve mit der x-achse ruckt beispiesweise bei Verschiebung in der positiven Richtung der y-achse dem Nupunkt immer näher, was geichbedeutend darnit ist, dass die Masseinheit abnimmt. Angenommen, die Mass_einheit a werde erreicht, wenn die Kurve die Lage II in Fig. 4 einnimmt. Wenn die neue Masseinheit a in der ursprungichen a Masseinheit der Figur, die m ist, ausgedruckt wird, so wird sie Die m Grösse der V erschiebung beträgt k ursprungiche Masseinheiten. Wir er haten dann: a - k = og -, woraus m m k= oga Die Geichung fi.ir die K urve II ist in dem ursprungichen System:. (2 z) y =og-+ k, m woraus wir durch Einsetzen des in (22) gefundenen Wertes von k erhaten: m y= og-+ og-= og-,.. (23) m a a weches die Geichung fi.ir die Kurve II in dem neuen System ist.

105 162 HENRIK PETTERSON [100] An einem stehenden Baume kennen wir indessen nicht die Masseinheit a. Wir miissen uns daher ein Hifsmitte verschaffen, um diese bestimmen zu könhen. Aus Fig. 4 geht hervor, dass die Differenz u im unteren Messpunkt während des Verschiebens unverändert beibt, während dagegen die Ordinate in demseben Punkt sich ändeit. Die neue Lage der Kurve ist, ausser durch den Differenzenquotienten, vöig detiniert durch den Quotienten dieser beiden Grössen. Gemäss der grundegenden Voraussetzung fiir diese Uberegung verhaten sich die Durchmesser im unteren und mittieren Messpunkt d 3 und d 2 zueinander wie die entsprechenden Ordinaten y 3 und y 2 in dem System mit der Masseinheit a. Hieraus erhät man: d3- d. -y, - Y2 d3 - y3... (24) Wir bezeichnen die Durchmesserdifferenz (d 3 - d 2 ) mit [J und den Durchmesser im unteren Messpunkt d 2 mit D. Die Differenz der Ordinaten (y 3 ~y 2 ) ist bereits vorher mit u bezeichnet worden. Ist xu die Abszisse des unteren A Messpunktes in dem System mit der Masseinheit a, so ist x,=- undy 3 = a =og xu. Durch Einsetzen dieser Bezeichnungen in G. (24) erhaten wir: [J D u og Xu o o (2 s) Diesen Quotienten nenne ich den Verjiingungsquotienten. Er driickt die reative Verjiingung auf m Meter geich oberhab des unteren Messpunktes aus. Zur Vereinfachung der Rechnungen ird indesseri im fogenden der invertierte Wert des Verjiingungsquotienten verwendet, den wir die Verjiingungszah (a) nennen. Es ist aso D og Xu O' = [J= --u-. woraus og Xu = ua.. Dieser Faktor ist somit eine Funktion des Differenzenquotienteri, weshab er mit dem Differenzenquotienten as Eingang tabeiert werden kann. Dies ist in Tab. I geschehen. Um og xu zu finden, haben wir aso nur an dem Baum den Differenzenquotienten zu bestimmen, darauf in Tab. I den entsprechenden Wert von u aufzusuchen und schiessich diesen W ert mit der an dem Baum gefundenen VerjiingU:ngszah zu mutipizieren. Nachdem xu bestimmt worden, erhät man die Masseinheit a durch die Beziehung Es ist aber u= og r- og (r- 1).... (28) Eine Kurve von der F orm y = og x ist eindeutig detiniert durch die Lage des N upunktes und die Masseinheit. Es bedeutet daher eine vonständige

106 [ o ] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 163 Ausniitzung der Mögichkeiten der Kurve, die reative Verji.ingung des stammteis unterhab der Krone wiederzugeben, wenn man bei dem Vergeich sowoh die Lage des Nupunktes as die Masseinheit frei variieren ässt. Das hat hier mit Hife der neuen Begriffe Differenzenquotient und Verji.ingungszah geschehen können. Sote wider Vermuten die erreichte Anpassung sich as unzureichend erweisen, so beibt nichts anderes i.ibrig, as neue, sicherieb verwicketere Vergeichsfunktionen aufzusuchen. ndessen scheint die hier entwickete Methode sehr hochgesteten Anspri.ichen zu geni.igen. Wir kommen auf diese Frage in Kap. VIII zuri.ick. Kap. IV. Bestimmung des Voumens. Die Ordinaten der Kurve y = og x steen reative Masse der Durchmesser dar. Wir wi.inschen nun die entsprechende Profikurve zu betrachten, deren Ordinaten reative Masse von Radien sind. Die Geichung der Profikurve kann geschrieben werden og x Z=--... (33) 2 Die Profikurve, die x-achse und die einer Abszisse x entsprechende Ordinate schiessen eine Fäche A ein. Wir suchen nun das Voumen w desjenigen Körpers, der dadurch zustande kommt, dass die Fäche A sich um die x-achse dreht. Bekanntich ist z w= f n-z 2 dx, woraus wrr, gemäss der Hereitung auf S. 98, erhaten: n w=- {x [(og x) 2-2 Mog x+ 2M 2 ]- 2M 2 }, (37} 4 wo M die Zah o,43429"45 ist. Dieses ist das Voumen des oben definierten Rotationskörpers, ausgedri.ickt in der Masseinheit der Kurve. Um das wirkiche Voumen W, ausgedri.ickt in Kubikmeter, eines Stammes von derseben reativen Form zu erhaten, reduzieren wir die Grundfäche und Länge des Körpers auf absoute Masse. Wir gehen dabei von einem am Baume gemessenen Durchmesser aus, in diesem Fae am bequemsten von dem Durchmesser D des unteren Messpunkn-Dz tes. Die Grundfäche des Eaumes ist hier --. Die entsprechende Grund- 4 fäche des Rotationskörpers ist?!_(og xu) 2 Der Reduktionsfaktor fiir die 4 n z Grundfäche ist daher ( ) ogxu 2 Die Längenreduktion muss durch das Verhätnis zwischen zwei einander entsprechenden Längen geschehen. Wir wähen hierzu am zweckmässigsten den Abstand des unteren Messpunktes vom Nupunkt, wecher Abstand in absoutem Mass A und in Masseinheiten xu ist. Der Reduktionsfaktor fiir die A Länge ist dann -. X u

107 164 HENRIK PETTERSON [102] Durch Mutipikation des Voumens w des Rotationskörpers mit den beiden Reduktionsfaktoren erhaten wir das Voumen des Stammes D.A Da--= Q und og Xu x, D 2 A.w W=---- (og Xu) 2 x, der Masseinheit a ist, so ist W= Q 2 aw,... (38) wecher Ausdruck in gewissen Fäen vorzuziehen ist. Fir die Arbeitsmethode, die nachstehend dargeegt werden so, bedienen wir uns der Forme: D 2 aw W= (og xu)z (4o) Indessen hat ein naturicher Baum nur ausnahmsweise seiner ganzen Länge nach diesebe reative Form wie der Rotationskörper. Wir haben daher voräufig unsere Aufgabe auf ein Studium des Stammteis unterhab der Krone und oberhab des Wurzeanaufs beschränkt. Von etzterer können wir bei Berechnung des Voumens absehen. Die Kubierung so daher den Stamm-. tei umfassen, der zwischen der Kronengrenze und einer zweckmässig gewähten Basis geegen ist. Wir ibergehen bier die Frage des Stockabzuges und assen den in die Berechnung einbezogenen Stammtei bis zum Boden reichen. Dem fragichen Stammtei entspricht am Rotationskörper derjenige Tei, der zwischen der Abszisse xk der Kronengrenze und der Abszisse xb der Basis iegt. Das Voumen dieses Teis finden wir dadurch, dass wir in Forme (3 7) zunächst die Abszisse x b der Basis einsetzen, wodurch wir den ganzen Rotationskörper w b bis zu dieser Abszisse er haten. Danach setzen wir in Forme (37) die Abszisse xk der Kronengrenze ein, wodurch das Voumen wk bis zu dieser etzteren Abszisse erhaten wird. Der dem Stammtei unterhab der Krone entsprechende Tei w, des Rotationskörpers ist dann = w wk. Dieser Körper wird auf absoute Masse mit Hife derseben Reduktionsfaktoren wie oben reduziert. Ist W., das wirkiche Voumen des stammteis unterhab der Krone, so erhaten wir in Ubereinstimmung mit Forme (4o) w. = D 2 a (wb- wk)... (41) (og x,) 2 Zu diesem Ausdruck hätten wir mehr direkt durch Integration zwischen den Grenzen.t'= xk und x= xb geangen können. Der Ausdruck -2M 2 in der Forme (3 7) wäre dann weggefaen. Fir die Aufsteung einer Hifstabee ist indessen der bier gewähte Weg geeigneter. Es eribrigt nun, den Stammtei innerhab der Krone zu behanden. Wie oben betont wurde, iegt kein bioogischer Grund fiir die Annahme vor, dass dieser Stammtei sich nach derseben Kurve wie der Stamm im ibrigen formte. Ich habe es daher fir angezeigt erachtet, ihn ganz fir sich zu studieren. Da der Kronenstamm in der Rege Messungen schwer zugängich ist, sind wir behufs Kubierung desseben auf Erfahrungszahen angewiesen. Dieses Gebiet ist jedoch bisher von der Forschung so gut wie unberihrt gebieben. Wir können daher nicht erwarten, dass die Formfrage dieses Stammteis auf

108 [103] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 165 einma so voständig kargestent werden können. Wahrscheinich wird es zunächst notwendig sein, sich an Mittewerte fiir Bestände verschiedener Typen zu haten. Zur Berechnung socher Mittewerte eignet sich indessen nicht das jetzt voriegende Materia, da ja die darin eingehenden Probestämme nicht statistisch repräsentativ fiir die Bestände sind. Durch Stichproben, auf die wir später zurtickkommen werden, ist jedoch festgestent worden, dass die absouten Formzahen bei dem Stammtei innerhab der Krone fiir die Kiefer sich gewöhnich innerhab recht enger Grenzen um den Wert o, 4o herum bewegen. Wir gehen daher provzson"sch von diesem Werte aus. Die Kronenänge kann gemessen werden. Dagegen ist der Durchmesser an der Kronengrenze, der zur Bestimmung der Grundfäche dasebst erforderieb ist, nur ausnahmsweise direkter Messung zugängich. Er muss berechnet werden, was unter Ausgehen von der Stammform unterhab der Krone geschehen kann. Nachdem die Nupunktage und die Masseinheit mit Hife des Differenzenquotienten und der Verjingungszah bestimmt worden sind, können wir eicht die Abszisse xk der Kronengrenze und die Abszisse xu des unteren Messpunktes berechnen. Ist dk der Durchmesser am unteren Messpunkt, so ist dk D og xk og Xu -=--,... (42) woraus sich die Grundfäche an der Kronengrenze ergibt: r. D 2 (og xk) 2 gk = 4 (og x,)z... (43) Bezeichnen wir die Länge der Krone mit K und die absoute Formzah des Stammteis innerha b der Krone mit cp, so ist das Voumen dieses Stammteis nrk = 77: D 2 (og xk) 2 K cp. yr; ( (44) 4 og xu) 2 Um das Voumen des Eaumes zu erhaten, muss Wk zu dem Voumen des Stammteis unterhab der Krone (Forme 41) addiert werden. Da wir aus der Summe ~ abzusondern winschen, bezeichnen wir in der Forme (41) w mit 4 n w. In Forme (3 7) ist somit w der in geschweifte Kammern eingeschos- 4 sene Ausdruck. Bei dieser Bezeichnung ist gemäss den Formen (41) und (44) das Voumen des ganzen Stammes W= D 2 ( 77: ) 2 [a (wb- wk) + K cp (og xk) 2 ] (45) 4 ogz,. As Hifsmitte zur Voumenberechnung nach dieser Forme winschen wir Tabeen aufzusteen. U m ihre Anwendung auch seitens derer zu ereichtern, denen es schwer fät, die Einzeheiten der Forme zusammenzuhaten, fihren wir einige neue Bezeichnungen ein. In Tabee II (S. 145) ist a= (og x) 2

109 166 HENRIK PETTERSON [I 04] w= x [(og x)z- 2M og x+ 2M 2 ]- 2M 2, Diese Ausdrticke sind in der Tabee ftir eine Anzah Werte von x berechnet worden. Um anzugeben, bei wechem x-wert man in die Tabee eingehen so, wird zu a, f3 und w. in Forme (49) bier unten ein Index hinzugeftigt, nämich k, u oder b. Index k bedeutet, dass bei dem x-wert einzugehen ist, der die Abszisse der Kronengrenze darstet. Index u gibt Eingang bei x = Abszisse des unteren Messpunktes und Index b Eingang bei x = Abszisse der Basis an. Bei Anwendung dieser Bezeichnungen erhaten wir das Voumen des Eaumes W= D 2 f3u [a (wb- w k) + K <p ak1 (49) Es sei bier daran erinnert, dass W das Voumen des Eaumes ist, D der Durchmesser am unteren Messpunkt, a die Masseinheit, K die Länge der Krone und rp die absoute Formzah des Stammteis innerhab der Krone. W ist in Kubikmeter, D, a und K in Meter ausgedrtickt. Kap. V. Mechanische Gesichtspunkte. Wir gehen nun tiber zu einer Diskussion der Hypothese METZGER's und ihrer Anwendung auf Bäume, deren Stammkurve der Funktion y = og x fogt. Angenommen, ein homogener Baken mit kreisrunden Querschnitten sei an dem einen Ende eingespannt, während das andere frei ist. Auf das freie Ende wirke eine zur Längsachse des Bakens senkrechte Kraft P ein. Nach einer bekannten mechanischen Näherungsforme ist dann I Pz =-s rr d3, wo z den Abstand von dem Augriffspunkt der biegenden Kraft P zu einem gegebenen Querschnitt bezeichnet, s die Normaspannung in der äussersten Faser dieses Querschnitts und d den Durchmesser desseben Querschnitts. Die Forme (so) ruht auf gewissen Voraussetzungen, die nicht immer erfit sind. In der Technik ist man jedoch der Ansicht, dass die Forme im agemeinen zu praktisch anwendbaren Resutaten fihrt. Diese Forme wtinschen wir auf Baumstämme anzuwenden. Wir sehen hierbei von dem keineswegs unwichtigen Umstande ab, dass ein Stamm in Wirkichkeit nicht homogen ist. Eine Berticksichtigung dieses Umstandes wtirde in mehreren Hinsichten die Berechnung wesentich kompizieren. Bei Anwendung der Forme (S o) auf stehende Bäume hesteht die biegende Kraft P aus dem Druck des Windes auf die Krone. Wenn fir einen gegebenen Baum P und s as konstant vorausgesetzt werden, so besagt die Forme, dass die Durchmesserkuben den Abständen von dem Augriffspunkt des Winddruckes proportiona seiri soen. Darnit ein Stamm bei einem gewissen Winddrnek diesebe Normaspannung in den äussersten Fasern aer Querschnitte erhaten so, muss er fogich die Form eines kubischen Paraboaids mit dem Gipfe im Druckpunkt des Windes haben. Unter den Voraussetzungen, die der Forme (so) zugrunde iegen, bedeutet einederartige Stammform, dass die Bruchgefahr bei Biegungsspannungen die geiche ist in aen Querschnitten. (so)

110 [105] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 167 Hieraus fogt, dass eine gewisse Sicherheit gegen Bruch durch die biegende Einwirkung des Windes bei grösstmögicher Materiaersparnis erziet wird, wenn der Stamm unterhab der Krone wie ein kubisches Parabooid geformt ist, dessen Gipfe im Augriffspunkt des Winddruckes iegt. Dies ist der Inhat der METZGER'schen Hypothese, obwoh die Darsteung hier etwas anders gestatet worden ist, um den Ubergang zum Fegenden zu vermitten. Aus METZGER's und anderer Untersuchungen hat sich ergeben, dass die Bäume oft eine soche Stammform haben, wie die Hypothese sie fordert. Wie ässt diese Erfahrung sich mit unserer hier gernachten Annahme vereinen, dass die reative Form des Stammes durch die Kurve y = og x wiedergegeben wird? Die Geichung der ogarithmischen Kurve ist y=ogx,. (sr) woraus z = y3 = (og x)3 (52) Eine in dem Koordinatensystem der ogarithmischen Kurve gezogene kubische Parabe hat die Geichung y= C(x-W, woraus z = y3 = C3 (x- b), wo C eine voräufig unbekannte Konstante und b die Abszisse fir den schnittpunkt der Parabe mit der x-achse ist. Wenn die Kurve (53) bei gewissen Werten von b und C die Kurve (sr) in einem Punkte mit der Abszisse x tangiert, so muss offenbar die entsprechende Kurve (54) die Kurve (52) in einem Punkt mit derseben Abszisse tangieren. Aber die Kurve (54) ist eine gerade Linie. Um einen Uberbick uber die Bedingungen fur eine Tangierung zwischen den Kurven (5 r) und (53) zu erhaten, brauchen wir aso nur die geradinigen Tangenten zur Kurve (52) zu studieren. Wir derivieren dje Funktion (52) und finden, dass die Funktion einen Wendepunkt bei x = 7,3s9 hat. Die Wendetangente schneidet die x-achse in d "h s.. h ( ) I 2 M 3 x= 2,463, un 1 re te1gung 1st nac 58 = ---. H" 1eraus er h ä t man 7,389 die Geichung (61) der Wendetangente. Wir setzen nach (54) z= y3 und er haten { 6 2 ). Die Kurve ( 62) ist eine kubische Parabe, die die x-a ch se im Punkte x= 2,463 schneidet. Sie tangie:rt und schneidet die Kurve y =og x im genau dreifachen Abstande vom Nupunkt, nämich im Punkte x = 7,389. Fur diese Parabe ist die Konstante C in G!. (53)= o,sro48. Die Wendetangente (6r) schiesst sich enger an die Kurve z= (og x)3 an, as es der Fa bei irgendeiner anderen Tangente ist. Hieraus können wir den Schuss ziehen, dass die kubisch e Parabe ( 6 z) mehr as irgendeine andere kubische Parabe sich an die Kurve y = og x anschiesst. Wenn eine beiebige gerade Linie die Kurve z = (og x)3 in einem Punkte mit der Abszisse ;;,;-- tangiert und die x-achse in x = b schneidet, so ist (53) (54)

111 168 HENRIK PETTERSON [ 06] x (3 -n x) b=... 3 Wir derivieren die Funktion (63) und finden, dass b ein Maximum fiir n x = 2 hat. Wir haben oben gefunden, dass diese Bedingung von der Wendetangente erfiit wird, die die x-achse in x= 2,463 schneidet. Letzterer W ert bezeichnet aso die grösste Vorkommende Abszisse b fiir den schnittpunkt zwischen der x-achse und einer Tangente der Kurve z = (og x)3. Wir können hieraus schiessen, dass keine kubische Parabe, die die Kurve y= og x tangiert, die x-achse rechts von dem Punkte x= 2,463 schneidet. Aus (63) geht hervor, dass b= I fiir x= r und approximativ fiir x= I6,s wird. Fur den zwischeniegenden W ert x = 7,389 erreicht b sein Maximum, das soeben as = 2, 46 3 befunden warden ist. Den Schnittpunkt e i ner Parabe mit der x-achse nennen wir im fagenden den Ausgangspunkt der Parabe. Da der Ausgangspunkt zwischen x = r und x= 2,463 iegt, so finden sich stets zwei kubische Paraben, von denen die eine die Kurve y = og x zwischen x =I und x= 713 s9 und die and er e diese be Kurve zwischen x= 7,3s9 und x= I 6,8 tangiert. Wird der Ausgangspunkt!inks von X= I paciert, so verschwindet der inke dieser beiden Tangierungspunkte aus dem positiven Tei der Logarithmenkurve, so dass nur ein Tangierungspunkt ubrig beibt, der bei fortschreitender Verschiebung des Ausgangspunktes nach!inks immer mehr nach re ch ts ruckt. Die ogarithmische Kurve wird somit von unendich vieen kubischen Paraben mit verschiedenen Ausgangspunkten tangiert. Da wir METZGER's Hypothese auf ogarithmisch geformte Bäume anzuwenden wunschen, so git es fogich in jedem Einzefae eine von diesen Paraben as Vergeichsparabe auszuwähen. Es ist sogar die Frage aufgeworfen worden, ob man nicht behufs Erzieung einer keinstmögichen mittieren Abweichung zwischen den beiden Kurven auf die Forderung verzichten könnte, dass die Kurven einander tangieren soen. Wi man zu dieser Frage Steung nehmen, so muss man daran festhaten, dass die ogarithmische Kurve keine kubische Parabe ist. Stimmt die reative Form der Stammkurve, wie hier angenommen worden, mit der Kurve y = og x uberein, so kann fogich die von METZGER nachgewiesene Ubereinstimmung mit einer kubischen Parabe nicht vaständig sein. Setzen wir mit METZGER voraus, dass eine Anpassung an Biegungsbeanspruchungen stattfindet, und dass diese Anpassung eine Tendenz hat, dem Stamme die Form eines kubischen Paraboaids zu geben, so mussen wir auch voraussetzen, dass andere Ursachen eine gesetzmässige Abweichung von der Parabooidform erzwingen. Ob diese Abweichung auf Variationen der Beschaffenheit des Hozes in verschiedenen Teien des Stammes beruht, ob sie durch andere mechanisch wirksame Ursachen hervorgerufen wird, oder o b sie ganz einfach auf mangehafter mechanischer Anpassung beruht, ae diese Fragen zu untersuchen iegt ausserhab des Rahmens der voriegenden Arbeit. Von den Gesichtspunkten aus, die hier angeegt worden sind, ist es entscheidend, o b eine Abweichung tatsächich nachgewiesen werden kann. Bei dem Suchen nach der wahrscheinichen Lage des Druckpunktes mussen wir die Erfahrung verwerten, die durch METZGER's und anderer Untersuchungen gewonnen warden ist, dass nämich der Gipfepunkt eines ängs dem ganzen Stamme zwischen Krone und Wurzeanauf eingepassten Paraboaids oft an

112 [107] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 169 einer Stee in der Krone iegt, die bei äusserer Eetrachtung as Augriffspunkt des Winddrucks angenommen werden kann. Um die Eedeutung dieser Eeobachtung kar.zusteen, zeichnen wir in Fi?;. s die Kurve z =(og. x)3. Darnit die W endung deuticher hervortrete, ziehen wir die Kurve inks bis zum Punkte x = I aus, obwoh die Stammkurve wirkicher Eäume in den Sektionen um diesen Punktherum die Funktion y=og x ni ch t fogt. Die Kurve ist rechts bis zur Easisabszisse 3 2 ausgezogen worden, die, wenn der Nupunkt im Gipfe des Eaumes iegt, der Formkasse o,so entspricht. In Fig. s stet aso die s-förmig gebogene Linie B die Kurve z = (og x)3 dar. Die gerade Linie A repräsentiert die Wendetangente dieser Kurve. Wenn man an einem ogarithmisch geformten Eaum die von METZGER angewandte Methode mit graphischer Abtragung der Kuben der Durchmesser durchfiihrt, so erhät man eine Kurve von der Form B. Kann die Kurve fiir einen gewissen Stammtei durch eine gerade Linie (METZGER's»Konstruktionsinie») ausgegichen werden, so ist dieser Stammtei annäherungsweise ein kubisches Parabooid mit dem Gipfe in dem Schnittpunkt der Konstruktionsinie mit der x-achse. Eei den gewöhnichst vorkommenden Stammformen iegt der Nupunkt nahe dem Gipfe des Eaumes, und die Easisabszisse hat einen Wert von ungefähr I o. Ist das Kronenverhätnis o, 4o, so ist fiir einen derartigen Eaum die Abszisse der Kronengrenze = 4 Durch Arregen eines Lineas an Fig. 5 können wir uns davon iiberzeugen, dass die Konstruktionsinie, die zwischen x = 4 und x = I o die Kuben der Ordirraten der ogarithmischen Kurve ausgeicht, sehr nahe mit der Wendetangente A zusammenfät. Da nun die Kurve B die Wendetangente A schneidet, so muss in dem angenommenen Fae auch die Konstruktionsinie A schneiden, obwoh in sehr spitzem Winke. Eetreffs Eäume mit der Easisabszisse 1 o können wir da her erwarten, dass METZGER's Konstruktion zu einem Druckpunkt fiihren wird, der geich inks von dem Punkt x = 2,463, wo die Wendetangente die x-achse schneidet, iegt. Eeziigich derartiger gewöhnich vorkommender Eäume ergibt aso METZGER's Konstruktion Druckpunkte, die sehr nahe dem Punkt x= 2, 46 3 iegen. Die Erfahrung, die in sochen Fäen betreffs einer Ubereinstimmung zwischen den Resutaten der Konstruktion und der nach äusserer Eeurteiung wahrscheinichen Lage des Druckpunktes gewonnen worden ist, kann demnach auch as Sttitze fiir die Auffassung betrachtet werden, dass der Druckpunkt in oder nahe dem Punkte x = 2,463 iegt. In demseben Masse, wie die Easisabszisse weiter nach rechts versehoben wird, aso fiir Eäume höherer Formkassen, rtickt indessen der mittejst METZ GER's Methode berechnete Druckpunkt mehr und mehr nach inks, bis er schiessich inks von dem Gipfe des Eaumes (oberhab des Gipfes) zu iegen kommt. Ist man so weit gekommen, so ist es kar, dass nunmehr die Methode unrichtige Resutate fiir ogarithmisch geformte Eäume gibt. Da der Ubergang sukzessiv geschehen ist, so können wir den Schuss ziehen, dass METZGER's Konstruktion auch fiir dazwischeniegende Easisabszissen Druckpunkte ergibt, die zu weit nach inks iegen. Das Geiche muss beztigich des fiir Eäume mit der Easisabszisse I o oben konstruierten Druckpunktes ge ten. Von Punkten rechts von x= 2,46 3 gehen keine Tangenten zur Kurve B hin aus. Ein Grund dafiir, die Druckpunktbestimmung auf eine schneidende

113 170 HENRIK PETTERSON [ 08] Konstruktionsinie von einem rechts von x= z,463 geegenen Punkte aus zu grunden, durfte nicht angegeben werden können. Da der fiir Bäume mit der Basisabszisse r o bestimmte Druckpunkt, der geich inks von dem Punk te x= z, 463 ag, nach rechts veregt werden muss, andererseits aber kein Grund vorhanden ist, ihn nach rechts von dem etztgenannten Punkt zu veregen, so betrachten wir den Punkt x = 2, as die wahrscheinichste Lage des fragichen Druckpunktes. Fur einen zwischen der Kronengrenze und dem Wurzeanauf nach der ogarithmischen Kurve geformten Baum kann der wahrscheiniche Augriffspunkt des Winddrucks in befriedigender Weise durch die von METZGER angewandte Konstruktion nur dann bestimmt werden, wenn es sich um die gewöhnichst vorkommenden Formkassen handet. In bezug auf hohe und niedrige Formkassen sind wir auf die fur ae Formkassen anwendbare Methode angewiesen, zuerst den Nupunkt und die Masseinheit der ogarithmischen Kurve zu bestimmen und dann den hypothetischen Druckpunkt 2,463 Masseinheiten vom Nupunkt entfernt zu pacieren. Um zu betonen, dass der auf etztgenannte Weise bestimmte Punkt unter Ausgehen von den Dimensionen des Stammes hergeeitet warden ist, nennen wir ihn im fagenden den Stammpunkt. Sein Zusammenfa mit dem Augriffspunkt des Winddrucks ist bis auf weiteres hypothetisch. Nur wenn der Augriffspunkt des Windes auf Grund der Oberfächenverteiung der Krone und der Windgeschwindigkeit in verschiedenen Höhen berechnet oder wenn er okuar unter Berucksichtigung dieser Faktaren beurteit wird, nennen wir ihn im fagenden den Druckpunkt. Unsere ganze bisher angestete Uberegung ist von der Voraussetzung ausgegangen, dass die reative Form des Stammes exakt durch die Kurve y = og x ausgedruckt wird. In Wirkichkeit kommt eine so vaständige Ubereinstimmung nie vor, sondem die Stammkurve weist grössere oder geringere Abweichungen von der Logarithmenkurve auf. Besonders in den mittieren Formkassen können diese Abweichungen oft grössere Beträge as die Differenzen zwischen der kubischen Parabe und der Logarithmenkurve darstee.n. Man kann dann nicht mit Bestimmtheit entscheiden, ob der Stamm uberwiegend der einen oder der anderen Kurve fogt. Es wird in sochem Fae eine Geschmackssache sein, ob man den hypothetischen Druckpunkt mit Hife von METZGER's Konstruktion, weche richtig ist, wenn die Stammkurve eine kubische Parabe ist, oder nach der fiir die Hereitung des Stammpunktes oben angegebenen Methode bestimmen wi, wech etztere, wie man vöraussetzen darf, ein richtiges Resutat fiir ogarithmisch gebaute Stämme iefert. Wir wenden uns nun der Behandung der absouten Dimensionen von Stämmen zu, deren reative Form mit der Kurve y = og x ubereinstimmt. Oben ist vorausgesetzt worden, dass die reative Form unter Anpassung an Biegungsbeanspruchungen entsteht, wobei der Stamm jedoch durch andere Ursachen gehindert wird, die Form des kubischen Paraboaids vaständig anzunehmen. Es fragt sich nun, ob eine derartige Tendenz zur Anpassung auch betreffs der absouten Dimensionen sich bemerkbar macht. Diese Frage muss zum Gegenstand besonderer Untersuchungen gernacht werden. In diesem

114 [ 09] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 171 Zusammenhange so nur dargeegt werden, wie eine soche Untersuchung an die hier entwicketen Gesichtspunkte angekntipft werden kann. Eine derartige Arrpassung ist durchans nicht unwahrscheinich. Schon der Umstand, dass Bäume tiberhaupt existieren, beweist das Vorkommen einer Anpassung, die die Durchmesserstärke der Bäume auf gewisse, zur Widerstandsfähigkeit gegen normaen Winddruck erforderiche Mindestdimensionen bringt. Zu untersuchen ist demnach zunächst, ob ae Bäume in demseben Grade gertistet sind, ausserordentichen Biegungsbeanspruchungen zu widerstehen. Die Geichung einer ogarithmischen Stammkurve kann geschrieben werden: d= Q og x,.... wo Q das Verhätnis zwischen dem Durchmesser und der Ordinate in emem zugängichen Messpunkt ist. In dem Tangierungspunkt x = mit der kubischen Parabe von x = 2, 463 aus ist a so der Durchmesser o= Q og 7>389, woraus sich. ergibt a=zmq... (65) Dieser Durchtnesser ist Basisdurchmesser eines kubischen Parabooids, dessen Gipfe im Punkte x = z, iegt. Der Abstand z des Durchmessers a von dem Gipfe des Paraboaids ist demnach = ( ,463) a= 4,9z6 a, wo a die Masseinheit der ogarithmischen Kurve ist. Durch Einsetzen dieser Werte von a und z in die Forme (so) erhät man p o,or3o6 s Q3 -,.... a ( 66) wo P die biegende Kraft und s die Normaspannung in der äussersten Faser des Querschnittes bei x= 7,389 ist. Die Arrpassung der absouten Dimensionen an den Winddruck muss aso bedeuten, dass der Stamm bei einer gewissen biegenden Kraft P soche Dimensionen erhät, dass die Normaspannung s konstant wird. Nun ist ein Baum während der angen Zeit, in wecher das Dickenwachstum vor sich geht, äusserst wechsenden Biegungsbeanspruchungen ausgesetzt. Findet eine direkte Arrpassung statt, so dirfte diese as an die mittere Beanspruchung gekntipft aufzufassen sein. Darnit der Baum ausserordentichen Windgeschwindigkeiten gewachsen sein so!, muss aso die Normaspannung, deren Erreichung as Zie der Arrpassung vorausgesetzt wird, wesentich unterhab der Bmchspannung iegen. Wir betrachten as o die unter mittieren Verhätnissen auftretende Normaspannung s as konstant fir ae Bäume und ersetzen in der Forme (66) den Ausdruck durch die Konstante k. Die Forme erhät dann fagendes o,o13o6 s Aussehen: Q3. kp=-.... (67) a Der Ausdruck Q3 a kann durch Untersuchung der Form einzener Bäume

115 172 HENRIK PETTERSON [11 OJ bestimmt werden. Unter der Voraussetzung, dass die hier gernachten Annahmen beztigich der Anpassung der absouten Dimensionen an den Winddrnek richtig sind, erhaten wir hierdurch ein reatives Mass fir den von dem Baum aufgefangenen Winddruck. Diese Grösse kann ftir ae Bäume eines Bestandes summiert werden, wobei, wenn die Hypothese richtig ist, eine gewisse Gesetzmässigkeit in den Summen pro Hektar hervortreten muss. Wir erhaten k }; p = ' Q 3. ( 6 8) a Die biegende Kraft P stet ein Produkt des aufgefangenen Winddrucks T pro Quadratmeter und der gesamten Bätter- und Astoberfiäche B der Krone dar. In einem sehr iebten Bestande ist T gross, 2,' B aber kein. ' P ist dann kein. Je geschossener der Bestand wird, um so mehr nimmt T ab und nimm t 2.' B zu. Es ist mögich, dass Z P ein Maximum bei geringerer as voer Bestockung hat, was fir eine Beurteiung der Wirkungen der Durchforstung von grossem Interesse sein wtirde. Soange dieses Verhätnis nicht kargesteit worden ist, können wir indessen da von ausgehen, dass }.'P sein Maximum bei voer Bestockung erreicht. Es ist wahrscheinich, dass eine Lichtsteung des Bestandes innerhab der bei gewöhnicher Durchforstung vorkommenden Grenzen 2' P nicht sonderieb beeinfiusst. J edenfas muss bei geichem Schuss, definiert dur ch die Bätteroberfiäche pro Hektar, Z P annähernd konstant sein. Nattirich können hier verschiedene Kranentypen gewisse Unterschiede aufweisen, soange aber soche nicht nachgewiesen worden sind, dtirfte man vöig berechtigt sein, provisorisch eme soche An.nahme zu machen. Gemäss Forme (68) muss dann in Beständen von geichem Schuss, die nach vorhergehenden Durchforstungen ins Geichgewicht gekommen sind, ~; Q 3 pro Hektar annähernd konstant sein, unabhängig von der Stammanzah. a Zu einer vaständigen Karsteung des Zusammenhanges der absouten Form mit dem Winddruck bedarf es genauer Speziauntersuchungen, ähnich den von TIREN (r924, 1926) ausgefihrten. Derartige Studien können jedoch nur in einer geringen Anzah von Fäen durchgeftihrt werden. Sie mussen daher durch statistische Untersuchungen ergänzt werden, die die Formverhätnisse in einer grösseren Anzah Beständen feststeen. Vorausgesetzt dass die reative Form der Stämme am besten durch die ogarithmische Kurve wiedergegeben wird, gibt die Forme (68) dabei ein gutes Hifsmitte an die Hand. }.' Q 3 fir einen Bestand kann nämich eicht durch Untersuchung einer a Anzah repräsentativer Probestämme bestimmt werden. Es git dann, den Zusammenhang dieser Grösse mit der Bestandesdichte und der Stammzah zu studieren. Durch eine derartige statistische Behandung des Probems dtirfte es mögich sein, die Konturen des fragichen Zusammenhangs in kurzer Zeit ihren grossen Zigen nach karzusteen. Wenn die Auffassung, zu der ich durch bisher ausgeftihrte Untersuchungen geangt bin, sich dabei bestätigt, muss eine soche Kenntnis sich auch fir die Aufsteung von Ertragstafen ftir verschiedene

116 [111] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 173 Durchforstungsgrade verwerten assen können. Es eröffnet sich auf diese Weise nämich die Mögichkeit, dem Zusammenhang zwischen der Stammzah und der Kubikmasse in Beständen geichen Schusses beizukommen. Kap. VI. Sichtung und Gruppierung des Materias. Von den oben entwicketen Gesichtspunkten aus woen wir nun geeignete Teie des Kiefernstammaterias der Forstichen Versuchsanstat studieren. Fi.ir dieses Materia ist der Durchmesser des Stammes ohne Rinde und mit Rinde, ansser bei I, 3 m bei o, s m vom Boden und danach bei jedem weiteren Meter verzeichnet worden. Um bei der Bearbeitung Mittedurchmesser geichanger Bäume berechnen zu können, wurde die Untersuchung auf isoierte Hö henkassen beschränkt. Hierzu wurden die Hö hen 4, 8, I 2, r 6, 2 o und 24 m gewäht. Bei der Kassenbidung wurde eine Abweichung von I dm zugeassen, so dass z. B. zu I 6 m ae Bäume gerechnet wurden, die mit den Längen IS,9, r6 und r6,r m pratakoiert warden waren. Fi.ir das Studium der Formvariation innerhab der Höhenkassen war es erwi.inscht, ae Durchmesser auf reative Masse umzurechnen. Da ich die Form des Gipfes und die des unteren Stammteis je fi.ir sich untersuchen wote, wähte ich hierbei as Einheit den gemessenen Durchmesser d 2, der nächst unterhab der Mitte des Eaumes ag. Fi.ir jeden der r 043 Stämme wurde eine Karte ausgeschrieben, auf der die Durchmesser des unberindeten und des berindeten Stammes in Prozenten der so bestimmten Einheitsdurchmesser angegeben wurden. Ansserdem wurden auf den Karten einige Vermerke tiber den Bestand und den Probestamm gemacht, wovon fogende fii.r diese Untersuchung benutzt wurden. Unter der Rubrik»Ras» (»Rasse») wurde unter Zugrundeegung von SYL VEN' s Kart e (I 9 I 6, S. 2 I 2) ange ge ben, o b der Pro bestam m au s dem V erbreitungsgebiet der nordschwedischen Kiefer (r), dem Ubergangsgebiet ( 2) oder dem Gebiet der sii.dschwedischen Kiefer (3) herstammte. Ferner wurden der Durchmesser ohne Rinde bei 2,5 m vom Boden, das Ater, die Kronenschicht nach SCHOTTE's Schema sowie die Länge der Krone in Meter angezeichnet. Dieses Materia ist voräufig nur hinsichdich der reativen Stammform ohne Rinde bearbeitet worden. Es gat dabei das Materia so zu sortieren, dass die Variationen der Stammform in grossen Zi.igen kargestet wurden. Zu diesem Zwecke wurden die Karten zunächst im Hinbick auf den reativen Durchmesser d 3 bei z,s m vom Boden verteit. Hierbei wurden der Hauptgruppe I o o Bäume mit Durchmessern von I o o bis I o s, der Hauptgruppe 1 o s Bäume mit Durchmessern von r o s bis I r o usw. zugewiesen. Darauf wurden die Karten in jeder sochen Hauptgruppe in Gipfegruppen nach dem reativen Durchmesser d 1 an der Messstee, die nächst unterhab der Mitte zwischen dem Gipfe und dem am Messpunkt nächst unterhab der Mitte des Eaumes geegenen Einheitsdurchmesser d 3 ag, gesondert. Der Gipfegruppe s o wurden so Bäume mit reativen Durchmessern d 1 von s o bis zu 55 usw. zugewiesen. Bei dieser Sortierung, die nur fi.ir die Höhenkassen 8-24 durchgefii.hrt warden ist, agen die fii.r die Gruppierung bestimmenden Durchmesser au fagenden Hö hen i.iber dem Boden:

117 174 HENRIK PETTERSON (112] Höhe iiber dem Boden in Meter fiir Höhenkasse... dr d2 d3 8 s,s 3,5 2,5 12 8,s s,s 2, ,5?,s 2, ,5 9,5 2,5 24 q,s 11,5 2,5 Nachdem innerhab aer Höhenkassen das Materia auf Hauptgruppen und Gipfegruppen verteit worden war, wurden mr jede Gruppenkombination die reativen Durchmesser an den vorkommenden Messpunkten summiert, worauf die Mittednrchmesser dasebst berechnet wurden. Ansserdem wurde fiir jede Gruppenkombination der Mittewert des Rassenindex, des Durchmessers ohne Rinde bei 2,5 m fiber dem Boden, des Aters, des Kronenschichtindex und der Länge der Krone berechnet. Kap. VII. Die Bearbeitung. Bei der Bearbeitung des Materias bediente ich mich in erster Linie der Methoden, die in meinem Aufsatz»Sambandet mean kronan och stamfarmen» {I925, S. 53 ff.) genauer dargeegt worden sind. Das Verfahren ist dadurch charakterisiert, dass die V erjungungsserien des Materias vergichen werden mit der Kurve y=og x, (69) wobei der Nupunkt in den Gipfe des Baumes veregt wird. Da y=o fir x= I ist, aso fir einen Massabstand vom Gipfe, so kann diese Forme nicht die Form des ganzen Baumes wiedergeben. Infogedessen habe ich die Hauptkurve (69) mit einer tangierenden Gipfekurve kombiniert, die der Funktion k+x r=kog-kfogt, worin K und k Konstanten sind (ebenda, S. 59, Forme 7). Bei J ONSON' s Kiefernmittestämmen erwies es sich, dass der Tangierungspunkt zwischen den beiden Kurven 3 bis 4 Masseinheiten vom Gipfe abag. Fir den etzten dieser Werte ist K 2 und k=4 Die Geichung der.gipfekurve kann dann geschrieben werden y= 2 og (I + ~), ( 71) weche Forme bei dieser Untersuchung angewandt worden ist. Es ist zu betonen, dass die Gipfekurve nicht notwendig die Hauptkurve zu tangieren braucht. Zu diesem Ausweg griff ich r 9 2 5, wei die Lage des Kronenansatzes mr mein damas angewandtes Materia nicht bekannt war. Geschieht der Anschuss unterhab der Krone, so ist ja der geichmässigere Ubergang in eine tangierende Gipfekurve am wahrscheinichsten. Kann dagegen der Beruhrungspunkt der beiden Kurven in die untere Grenze der Krone veregt werden, so besteht kein Hindernis, sie einander schneiden zu assen. Das Zie muss dann sein, eine ogarithmische Kurve zu finden, die so eng wie mögich sich dem Stammtei unterhab der Krone anschiesst, während

118 [ 113] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 175 der Gipfe fiir sich behandet wird. Besonders in bezug auf Laubbäume wird ein soches V erfahi:en meistens notwendig se in. Bei U ntersuchung eines naturichen Materias ist es vorteihaft, ein Koordinatensystem mit ogarithmischer Graduierung der x-achse und Miimetereinteiung der y-achse anzuwenden. Ae Punkte, die auf einer ogarithmischen Kurve mit dem Nupunkt im Gipfe des Eaumes geegen sind, kommen dann in einer geraden Linie zu iegen. Diese Linie schneidet die x-achse im Punkte X= r, aso eine Masseinheit von Gipfe entfernt. Mit Hife der eben besebriebenen Konstruktion ist es eicht, zu bestimmen, wo die Stammkurve im Verauf zum Gipfe hin die ogarithmische Hauptkurve verässt und in die Gipfekurve iibergeht. Dies geschieht in dem Punkt, wo die Durchmesserpunkte aufhören, in gerader Linie zu iegen. Der Gang der Arbeit war fogender. Zuerst wurde die ebengenannte Konstruktion ausgefiihrt und die Masseinheit des Systems, in Meter ausgedriickt, an der ogarithmischen Skaa der x-achse abgeesen. Durch Division der Abstände der Messpunkte vom Gipfe durch die Masseinheit wurden die Abszissen der Messpunkte erhaten, worauf die entsprechenden Ordinaten nach Forme (69) fiir Punkte der Hauptkurve und nach Forme (71) fiir Punkteder Gipfekurve berechnet wurden. Zum Vergeich mit dem Materia mussten dann diese Ordinaten auf Prozente des Einheitsdurchmessers reduziert werden. Der hierbei angewandte Reduktionsfaktor a wurde so gewäht, dass der reative Durchmesser im Mes s punkt des Einheitsdurchmessers geich dem durch die gerade Linie ausgegichenen Wert m wurde, der meistens von Ioo etwas abwich. War die Abszisse des Einheitsdurchmessers x, so war aso a=m: og x, unter der Voraussetzung, dass der fragiche Messpunkt auf der Hauptkurve ag. Schiessich wurden ae Ordinaten mit a mutipiziert, wodurch eine Serie berechneter reativer Durchmesser erhaten wurde, die mit den beobachteten Werten vergichen werden konnten. Die Verjiingungsserien der Hihenkassen. Die as Mitte fiir jede Höhenkasse erhatenen Verjiingungsserien sind in Tab. 3 zusammengestet. Wir sehen, dass der Wurzeanauf sich in aen Höhenkassen stark getend mach t. Er mach t sich, besonders in der 2 o-meterkasse, bis hö her as r o % der Länge hinauf bemerkbar, ein grösserer Feher entsteht aber nicht, wenn man diesen Punkt as auf der Hauptkurve iegend betrachtet. Im Gipfe haben ae Kassen einen negativen Feher. Dieser wäre verringert worden, wenn der Tangierungspunkt au f x= 3,6 veregt warden wäre. Besonders in der abersten Sektion beruht indessen der Feher darauf, dass der Gipfe nicht vaständig der HöJER'schen Geichung fogt, die der Gipfe~ kurve zugrunde iegt. Auf die Kubikmasse hat dieser Feher äusserst geringen Einfuss. Der ganze iibrige Tei des Stammes wird vöig befriedigend durch die angewandte Kurvenkombination wiedergegeben. Das Materia, das den nun berechneten Verjiingungsserien zugrunde iegt, stamrot aus vieen verschiedenen Beständen in aen Teien des Landes her. Es ist wahrscheinich, dass soche Stämme, die vorzugsweise bei Durchforstung von Kiefernwad faen, iiberrepräsentiert sind, im iibrigen aber diirfte 12. Medde. från statens Skogsförsöksanstat. Häft. 23.

119 176 HENRIK PETTERSON [ 114] das Materia as repräsentativ fiir eine grosse Anzah wahos entnommener Bäume von gewisser Höhe sein. Aus der Untersuchung geht hervor, dass die.l!itteform bei einem derartigen Materia mit grosser Genauigkeit mit Hife der vorgeschagenen Kombination zweier ogarithmischer Kurven wiedergegeben werden kann, wenn nur die Masseinheit des Systems bekannt ist. Vorausgesetzt, dass die Stammkurve eines Mittestaroms vokommen mit den kombinierten Kurven ubereinstimmt, kann offenbar die Masseinheit exakt durch den Quotienten zweier Durchmesser bestimmt werden. Ist die Ubereinstimmung nur eine ungefähre, so wird eine auf diese Weise hergeeitete Masseinheit nur annähernd richtig. Ae Vorsicht muss dann beobachtet werden, wenn anwendbare Resutate erziet werden soen. Um den Einfiuss zufäiger Feher zu vermindern, mussen die beiden Durchmesser so weit voneinander entfernt as mögich genommen werden. Der untere Durchmesser kann infoge des Wurzeanaufs nicht gut niedriger as bei 10 % der Baumhöhe iegen. Handet es sich um die Stammform ohne Rinde an stehenden Bäumen, so muss der obere Durchmesser so niedrig genommen werden, dass eine Rindenuntersuchung in dieser Höhe mögich ist. Bedient man sich hierbei einer Leiter, so kann in den meisten Fäen der Durchmesser bei 30 % der Länge des Eaumes uber dem Boden bequem untersucht werden. Da die ganze Uberegung hier sich auf Mittestärorne bezieht, so mussen aso die Mittedurchmesser in diesen Messpunkten der Formbestimmung zugrunde geegt werden. Wenn die beiden Messpunkte auf der Hauptkurve iegen, können wir die Mitteabszisse x 6 der Basis hereiten aus der Geichung d 90.og o,gx 0 -= d ' 70 og o, 7 x 6 wo d 90 den Mittedurchmesser go %der Länge vom Gipfe (1o.% vom Boden) entfernt und d 70 den Mittedurchmesser 70,% vom Gipfe (3o % vom Boden) entfernt bezeichnen. An dem nun bearbeiteten Materia ist der Augriffspunkt des Winddrucks nicht geschätzt worden. Wir können es daher nicht as Kontroie der Formpunktmethode anwenden. Dagegen iefert Tab. 4 gewisse At:skunfte uber die Mögichkeit, aus der Länge der Krone die Form des Stammes herzueiten. Wie man sieht, bewegt sich die Abszisse des Kronenansatzes, d. h. die Länge der Krone, ausgedruckt in Masseinheiten, innerhab recht enger Grenzen. Bei Berucksichtigung der Anzah Stämme in jeder Höhenkasse ergibt sich as Mitteabszisse des Kronenansatzes fiir das Gesamtmateria 4,gr. Oben habe ich gezeigt, dass das mit einem ogarithmisch geformten Stamm am besten ubereinstimmende kubische Parabooid seinen Gipfe 2, 46 3 Masseinheiten vom Nupunkt entfernt hat, der in diesem Fae in den Gipfe des Eaumes veregt worden ist. Der Gipfepunkt des Parabooids, der as mit dem Augriffspunkt des Winddrucks zusammenfaend angenommen worden ist, iegt demnach bei diesem Materia im grossen Mitte nahezu genau mitten in der Krone. Tab. 4 zeigt, dass das Materia in den verschiedenen Höhenkassen recht bedeutende Verschiedenheiten sowoh in bezug auf Rasse wie auf Kronenschicht aufweist. Der Rassenindex ist am niedrigsten in Höhenkasse 16, was besagt, dass das Materia dort mehr nordschwedisch ist as in den ubri-

120 [115] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 177 gen Höhenkassen., Der Schichtindex ist am niedrigsten in Höhenkasse 24, er steigt ununterbrochen mit faender Höhe, was besagt, dass die niedrigeren Höhenkassen Bäume von durchschnittich niedrigerer Kronenschicht umfassen. Bei Beurteiung des Einfusses der Kronenschicht auf die Form muss indessen beachtet werden, dass ScHOTTE's Kronenschichteinteiung, die bier zur Anwendung gekommen ist, einen Schuss auf die gegenseitige Steung der Kronen nur innerhab desseben Bestandes oder geicher Bestände zuässt. Vergeicht man dagegen Bestände mit verschiedenem Schussgrad oder verschiedenen Kronenverhätnissen bei den henschenden Bäumen, so gibt der Kronenschichtindex kein Mass ftir die Steung der Krone ab. Ftir ScHOTTE's Kronenschichteinteiung ist bekanntich die Höhe der Bäume bestimmend, so dass Bäume, deren Gipfe nicht bis zu 5/6 der Höhe der henschenden Bäume hinaufreichen, zur zweiten Schicht, diejenigen, die nicht bis zu 2 j 3 hinaufreichen, zur dritten Schicht und diejenigen, die nicht die habe Höhe der henschenden Bäume erreichen, zur vierten Schicht gerechnet werden. Angenommen nun, in zwei geich geschossenen Beständen A und B sei das Kronenverhätnis der henschenden Bäume in A o,3o und in B o,7o. Ein Baum, der bis zur Mitte der Kronen der herrschenden Bäume hinaufreicht, erhät in A die reative Höhe o,ss und wird aso nach ScHOTTE's Schema der ersten Schicht zugewiesen, während ein socher Baum in B die reative Höhe o,6s erhät und der dritten Schicht zugewiesen wird. Obwoh die Kronen der beiden Bäume in bezug auf Licht, äussere Transpirationsbedingungen und Winddruck annähernd geich geegen sind, erhaiten sie aso ganz verschiedene Schichtbezeichnung, Soange es sich nur um geich geschossene Bestände handet, kann diese Schwierigkeit dadurch vermieden werden, dass man die Schichteinteiung auf die Steung der beherrschten Kronen im Verhätnis zu den Kronen der herrsehenden Bäume grundet. Bei Beständen verschiedener Geschossenheit aber gestatet sich das Verhätnis kompizierter. Wenn in einem dichteren Bestande C und einem ichteren Bestande D das Kronenverhätnis der henschenden Bäume das geiche ist, erhaten Bäume, die bis zur Mitte der Kronen der henschenden Bäume hinaufreichen, in beiden Beständen diesebe Schicht.bezeichnung auch bei dem veränderten Einteiungsgrunde, obwoh die fragichen Bäume im Bestande D unbestreitbar eine freiere Steung haben as im Bestande C. W egen dieser Schwierigkeiten hat LöNNROTH (I 925, S. 9 2) vorgeschagen, bei derartigen Arbeiten eine subjektive Schichteinteiung anzuwenden. Es ist bier nicht der Ort, zu diesem Vorschage Steung zu nehmen. Doch erscheinen die Vorteie objektiver Arbeitsmethoden auf dem Gebiete der Versuchstätigkeit so gross, dass man soange as mögich eine befriedigend objektive Methode erstreben muss. Hier so jedoch nur betont werden, dass man einen starken Zusammenhang zwischen dem Schichtindex in Tab. 4 und der Abszisse des Kronenansatzes nicht erwarten kann. As eine Anregung zu fortgesetzten Untersuchungen verdient indessen vieeicht der Umstand Beachtung, dass es sich denken ässt, dass die Abszisse des Kronenansatzes die aus Tab. 4 ersichtichen Werte erhät, wenn sidichere Rasse und niedrigere Kronenschicht eine Tendenz haben, diesebe zu vermindern. Da der hypothetische Druckpunkt (der Stammpunkt) 2, 463 Masseinheiten vom Gipfe des Baumes entfernt iegt,

121 178 HENRIK PETTERSON [116] wiirde dies bedeuten, dass der Augriffspunkt des Win9drucks niedriger in den Kronen bei Bäumen siidicherer Rasse und niedrigerer Kronenschicht iegt. Diese beiden Schiisse stehen in Einkang mit METZGER's Hypothese. Unter sonst geichen Verhätnissen muss der Druckpunkt des Windes niedriger in den mehr konischen Kiefernkronen Siidschwedens iegen as bei der oft mehr zyindrischen Krone der norrändischen Kiefer. Und bei herrsehenden Bäumen, deren Gipfe beträchtich grösserer Windgeschwindigkeit as die niedrigeren Partien der Krone ausgesetzt ist, muss in der Rege der, Druckpunkt höher in der Krone iegen as bei beherrschten Bäumen, bei denen auf die oberen und unteren Teie der Krone weniger abweichende Windgeschwindigkeiten einwirken. Beziigich stark beherrschter Bäume kommt hinzu, dass das Druckzentrum noch weiter nach unten hin durch die Einwirkung von Winden versehoben wird, die unterhab des Kronendachs der henschenden Bäume hinstreichen. In Anbetracht der keinen Abweichungen bei den in Tab. 4 verzeichneten Werten der Abszisse des Kronenansatzes diirfte anzunehmen sein, dass diese Grösse im Mitte fiir Bestände recht unbedeutend variieren wird. Ist das der Fa, was untersucht zu werden verdient, so bietet sich bier ein einfaches Verfahren, Bestände zu kubieren. Wir nehmen voräufig an, dass die Be standsmittewerte fiir die Abszisse des Kronenansatzes sich mit geringen Abweichungen um dassebe Mitte herum bewegen, das fiir die Mittewerte des voriegenden Materias erhaten worden ist, nämich 4,9r. Ist K die mittere Länge der Kranen und L die der Stämme sowie x 6 die Abszisse der Basis, so ist dann xb L -- == -, 4,9I K woraus sich ergibt x 6 = 4,9r ma das invertierte Kronenverhätnis. Da in diesem Materia die beherrschten Stämme vermutieb iiberrepräsentiert sind, so diirfte es jedoch wahrscheinich sein, dass der Bestandsmittewert fiir die Abszisse des Kronenansatzes etwas höher as 4,9r ist, so dass er vorschagsweise as rund 5 angenommen werden kann. Zu genaueren Bestimmungen bedarf dieser Faktor sicheri'ch einer Justierung, vor aem fiir Schussgrad und Rasse. Dies kann indessen nur durch Bestandsanaysen geschehen. Dass eine soche Methode fiir wissenschaftiche Untersuchungen sote anwendbar werden können, so biermit jedoch nicht gesagt sein. Die Ve1J"iingungsserien der Hauptgruppen. Wir gehen nun zu den innerhab jeder Höhenkasse gebideten Hauptgruppen iiber und wähen as Beispie die stammreichste Höhenkasse 1 2 Meter (Tab. 5) In dieser Höhenkasse iegen die fiir die Hauptgruppierung bestimmenden Durchmesser 2,s und s,s Meter vom Boden ab. Es fät sogeich ins Auge, dass eben diese Messsteen die grössten Abweichungen des Materias von den berechneten Werten aufweisen, wenn wir in diesem Zusammenhange von dem Wurzeanauf absehen. Die bei 2,5 m erhatenen Feher in den Hauptgruppen 100 bis 140 zeigen der Reihe nach fogende Beträge: - 7,7, - 4.3, - r,s, + o,2, + 1,4, + 3,9, + 5,2, + 8,o, + 8,o. Die entsprechenden Feher bei

122 [117] STUDIER ÖVER STAMFORMEN 179 5,5 m sind: + 4,o, + 3,o, + I,B, + o,6, - I,z, - 2,o, - 3,7, - 5,o, - 8,3. Dagegen sind die Feher an der dazwischeniegenden Messstee 3,5 m: + o,6, - o,b, - o,6, + I,o, o, + 0,7, - o,6, - o,z, - 6,3. Die Gruppe Ioo, die die geringste Verji.ingung repräsentiert, weist aso einen grossen negativen Feher bei 2,5 m und einen grossen positiven Feher bei 5,5 m auf. Bei Fortgang nach Gruppen mit grösserer Verji.ingung hin nehmen beide Feher ab, so dass sie Mindestwerte in der Gruppe I I 5, die. die grösste Stammzah umfasst, erreichen. Gehen wir weiter zu Gruppen mit noch grösserer Verji.i.ngung, so nehmen die Feher wieder zu, aber mit umgekehrten Vorzeichen, so dass in der Gruppe I 40 ein grosser positiver Feher bei 2,5 m und ein grosser negativer Feher bei 5,5 m vorhanden ist. Die Feher bei 3,5 m zeigen dagegen keinen sochen Gang, und sie sind im tibrigen numerisch keiner. Um diese Erscheinung richtig zu verstehen, di.irfte es notwendig sein, den Eegriff Normaform zu diskutieren. JoNSON (I9Io, S. 305) verstand darunter eine Stammform, die mit HöJER's Geichung i.ibereinstimmte. Wir akzeptieren hier den Begriff, aber mit insofern veränderter Bedeutung, dass wir darunter Stammformen verstehen, die durch die vorgeschagene Kombination zweier ogarithmischer Kurven wiedergegeben werden können. Bäume von Normaform können demnach unendich wechsende reative Form haben. Um diese zu definieren, bedarf es einer weiteren Bestimmung, nämich der der Ab!'zisse x 6 der Basis. Indessen iegt es in der Natur der Sache, dass ein so zusammengesetzter Organismus wie ein Baum nicht voständig mit einer mathematisch bestimmten Normaform i.ibereinstimmen kann. Es ist eine Tatsache von grossem In- teresse, dass Mittewerte von vieen Bäumen sich einer sochen Normaform nähern, in jedem Messpunkt aber weisen die in den Mittewert eingehenden einzenen Bäume zahreiche Abweichungen sowoh in positiver wie in negativer Richtung auf. Sortiert man ein soches Materia unter Zugrundeegung des Quotienten eines niedrigeren und eines oberen Durchmessers, so mi.issen in der Kasse, die den grössten. Quotienten repräsentiert, soche Bäume vereinigt werden, die ihrer agemeinen Form nach sich stark verji.ingen, und die iberdies durch eine positive Abweichung von dieser Form bei dem unteren Durchmesser und durch eine negative Abweichung bei dem oberen Durchmesser ausgezeichnet sind. Wenn dann Mittewerte fi.ir die Mittedurchmesser der Gruppe an verschiedenen Messpunkten berechnet werden, können die einseitigen Abweichungen der beiden fi.i.r die Sortierung angewandten Durchmesser nicht ausgegichen werden, während die Variationen der i.ibrigen Durchmesser mehr oder weniger einander aufheben. Infogedessen wird die Normaform der Gruppe am besten durch die bei der Sortierung nicht angewandten Durch" messer angegeben. Auf diesen Umstand hat die hier verwendete Methode Ri.icksicht genommen. Berechnet man dagegen die Formkasse einer Gruppe nur unter Zugrundeegung eines Durchmesserquotienten, so ist die Foge unausbeibich die, dass die Extreme der Form recht bedeutend i.ibertrieben werden. Mit Ausnahme der extremsten Gruppen muss indessen die Ubereinstimmung as so gut angesehen werden, dass die N ormaform einer Kubierung der Mittestärorne der Hauptgruppen zugrunde geegt werden kann. Es git aso, eine fi.ir jede Hauptgruppe geeignete Variante der Normaform zu finden.

123 180 HENRIK PETTERSON [118] Zu diesem Zwecke miissen wir die Masseinheit oder die Basisabszisse bestimmen. Die Mögichkeit, die Basisabszisse mit Hife des Quotienten zweier Mittedurchmesser herzueiten, ist hier grundsätzich diesebe wie beziigich der Mittestämme der Höhenkassen. Der Unterschied ist nur der, dass die Berechnung in diesem Fae unsichrer wird, da die Ubereinstimmung mit der ogarithmischen Hauptkurve schechter ist. Dagegen iefert ein Versuch, unter Zugrundeegung der Länge der Krone die Stammform bei den Mittestämmen der Hauptgruppen zu bestimmen, negatives Resutat. Bei Priifung der aufgesteten Tabeen findet man, dass sowoh die Mitteänge wie der Schichtindex der Krone ohne deutichen Zusammenhang mit der Form der unteren Häfte des Stammes variiert. Der geringe Zusammenhang zwischen Kranenänge und Hauptgruppe wird durch T ab. 6 beeuchtet, die fiir die Höhenkasse r 6 m die Verteiung der Stammzah auf verschiedene Kombinationen dieser beiden Bestimmungen ausweist. In j eder der fiinf Kranenängen kassen zwischen 2, 5 m und 7, 4 m sind mit einer einzigen Ausnahme ae Hauptgruppen vertreten. Die Stammzah m jeder sochen Kronenängenkasse gruppiert sich ziemich symmetrisch um diesebe Mittehauptgruppe herum, nämich I 20. Man erhät aus Tab. 6 den Eindruck, dass die Verteiung der Stämme auf Hauptgruppen nahezu unabhängig von der Länge der Krone ist. Fiir diese be Höhenkasse I 6 m sind in T ab. 7 die Mittedurchmesser der Kronenängenkassen bei 2,5 m, ausgedriickt in Prozenten des Einheitsdurchmessers, verzeichnet. Mit Ausnahme der ersten und der beiden etzten Kranenängenkassen bewegen sich diese Mittedurchmesser innerhab der Grenzen I2I,3 und I23,5 Sie sind somit praktisch genommen geich, was besagt, dass die Mittestärorne aer Kronenängenkassen nahezu derseben Hauptgruppe angehören. In dem Mittestamm fiir eine ganze Höhenkasse werden as o Mitte w ert e von Kranenängen und Stammformen vereinigt, die bei den einzenen Bäumen ohne nennenswerten gegenseitigen Zusammenhang variieren. Es ist da erstaunich, dass diese Mittestämme ein so gesetzmässiges Verhätnis zwischen Kranenänge und Stammform aufweisen können, wie sie es tatsächich tun. Dieses Resutat ist verwandt mit MATTSSON-MÅRN's (r917) und PETRINr's (I 9 I 8) Erfahrung, dass bei einzenen Stämmen die Korreation zwischen dem Schwerpunkt der Krone und der Formkasse schwach oder geich Nu ist, während dagegen ein gesetzmässiger Zusammenhang zwischen diesen Faktoren stattzuhaben scheint, wenn es sich um grosse Mittewerte handet. Die hier angestete Untersuchung braucht ebensowenig wie die MATTSSON MÅRN's und die PETRINI's as ein Beweis gegen METZGER's Hypothese gedeutet zu werden, da diese ja an den Augriffspunkt des Winddrucks gekniipft ist, dessen Lage in den meisten Fäen unbekannt ist. Bäume mit keinen Kronen gehören gewöhnich niedrigeren Kronenschichten an, und in Ubereinstimmung hiermit kann man erwarten, dass ihr Drackpunkt im Mitte niedrig in der Krone iegen. wird. Andererseits sind Bäume mit grossen Kronen meistens herrschend, und sie haben daher wahrscheinich den Druckpunkt hoch beegen. Bei einer Anzah Bäume derseben Höhe muss daher die Druckpunkthöhe weniger variieren as die Kronenänge. In der hi er untersuchten Höhenkasse r 6 m miisste in dessen der Druck-

124 (119] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 181 punkt, um METZGER's Hypothese zu genugen, ungefähr diesebe absoute mittere Höhe haben in aen Kronenängenkassen. Dies ist, wenn man von den extremsten Kassen absieht, zwar denkbar, aber es ist keineswegs wahrscheinich. Eher ist anzunehmen, dass die unbekannte bioogische Reaität, fur die METZGER's Hypothese einen Ausdruck abgeben so, nicht vöig durch die Hypothese gedeckt wird. Vieeicht wird der Stamm unter Einfuss einer Menge von Ursachen geformt, die meistens so kombiniert sind, dass sie eine ungefähre Arrpassung an den Winddruck hervorrufen, während in weniger gewöhnichen Fäen andere Ursachenkombinationen zur Entstehung von stammformen fihren, die mehr oder minder von der durch die Winddruckhypothese geforderten Form abweichen. Die Very"iingungsserien der Gzpfegruppen. Die Stämme in jeder Hauptgruppe sind in Gipfegruppen sortiert worden, die nach dem reativen Durchmesser in ungefähr dem haben Abstande zwischen dem Einheitsdurchmesser und dem Gipfe benannt warden sind. Auch fur diese Sortierung git, was betreffs der Verteiung in Hauptgruppen angefihrt warden ist, nämich dass zufäige Feher bei den gruppenbestimmenden Durchmessern die Extreme der Form ubertreiben. In den extremsten Gruppen haben ansserdem die geringe Stammzah und auch andere Ursachen dahin gewirkt, dass die erhatenen Stammkurven recht uuregemässig ansgefaen sind. Infogedessen babe ich mein Studium der Gipfekurven auf einen Vergeich in jeder Hauptgruppe zwischen der höchsten und der niedrigsten Gipfegruppe, die mindestens zehn Prozent der Stammzah der Hauptgruppe umfasst, beschränkt. Das Resutat ist seiner Richtung nach vakommen das geiche in aen Höhenkassen und Hauptgruppen. Es wird beeuchtet durch ein Beispie in Fig. 6, die die Stammkurven in der Höhenkasse I 2, der Hauptgruppe I r s sowie den Gipfegruppen 6o und 7 s wiedergibt. Fig. 6 iefert die wichtige Auskunft, dass die zu derseben Hauptgruppe gehörenden Gipfekurven schon unmittebar oberhab des Einheitsdurchmessers sich voneinander trennen. Die untere Grenze der Krone iegt in beiden Fäen wesentich oberhab des Messpunktes des Einheitsdurchmessers. Man kann aso die Stammkurven der Gipfegruppen nicht dadurch darsteen, dass man verschiedene Kronenstammkurven an den unteren Kronengrenzen sich an eine fur die ganze Hauptgruppe gemeinsame Hauptkurve ansebiessen ässt. Wir mussen einen Ausweg finden, innerhab einer Hauptgruppe, aso im Prinzip bei Bäumen derseben Formkasse, die Stammkurve unterhab der Krone zu variieren. Bei unserer Grundvoraussetzung, dass der Stamm unterhab der Krone der Funktion y = og x fogt, ist eine soche Variation nur dann mögich, wenn die Lage des Nupunktes geändert wird. Durch das Studium der Gipfegruppen kommen wir aso zu der Erkenntnis, dass die Nupunktpacierung im Gipfe des Eaumes nur as eine Mittewerterscheinung aufzufassen ist. Ist die Lage des Nupunktes nicht bestimmt, so sind drei Punkte der ogarithmischen Kurve erforderich, um denseben zu definieren. Bei Anwendung der HöJER'schen Geichung bidet die bekannte Gipfeage im Punkte x = I einen von diesen Punkten, weshab nur zwei Durchmesser gemessen zu werden brauchen. Dabei wird indessen keine Variation innerhab der Formkasse mögich. Infogedessen und um beo.sere Ubereinstimmung mit

125 182 HENRIK PETTERSON [120) der Natur zu erhaten, winschen wir den Gipfe von der Lage x = 1 freizumachen. Zur Bestimmung der ogarithmischen Hauptkurve sind dann drei Durchmesser erforderich. Wir sind auf die se W e i se zu der Formbestimmungsmethode geangt, die in Kap. III dargeegt worden ist. hre Anwendung wird im nächsten Kapite eingehender erörtert werden. Bezigich des Zusammenhanges zwischen der Krone und der Stammform sehen wir in Fig. 6, dass die untere Kronengrenze höher in Gipfegruppe 7 s as in Gipfegruppe 6o iegt. U m diesen Zusammenhang zu studieren, wähen wir as Beispie die Höhenkasse I 2 und innerha b dieser die stammreichste Hauptgruppe 11s. Von der niedrigsten Gipfegruppe so zu der höchsten Gipfegruppe 8o hin finden wir fögende Kronenängen: 4,7o (ein Baum), 8,3o, s,xx, 4,o5, 4,ox, 3,32 und 2,65. Die entsprechenden Kronenschichtindizes sind I,5 (ein Baum), 1 1oo, 1,zg, 1,4z, 1,58, 1,73 und 2,oo. Diese Ziffern sind typisch fir das, was auch in den ibrigen Höhenkassen, Hauptgruppen und Gipfegruppen vorkommt. Mit Ausnahme stammarmer extremer Gruppen, die von der Rege abweichen können, geht ein erhöhter Gipfequotient ibera Hand in Hand mit keinerer reativer Kranenänge und grösserem Kronenschichtindex, d.~ h. niedrigerer Kronenschicht. In derseben Höhenkasse und Hauptgruppe ist aso ein keines Kronenverhätnis ein Indikator von vowichsigem GipfeL Eine gesetzmässige Variation des Rassenindex hat hier nicht wahrgenommen werden können. U m den Zusammenhang zwischen Kronenverhätnis, Kronenschi ch t und Stammform noch weiter zu beeuchten, ist in jeder Höhenkasse das ganze Materia auf Gipfegruppen verteit worden, ohne Ricksicht au f Hauptgruppen. In Höhenkasse 12 zeigen fir dies e Gipfegruppen berechnete Mittewerte von Gipfegruppe s o zu Gipfegruppe 8o hin fogende Kronenängen: 4,7o (ein Baum), s,36, s,i3, 4,zz, 3,75, 3,33 und 2,so. Die entsprechenden Kronenschichtindizes sind: r,oo,,zo, r,3r, 1,46, r,5s, r,73 und I,go. Die Rassenindizes variieren unregemässig. Mit Ausnahme von Gipfegruppe so, die nur durch einen Stamm repräsentiert ist, geht aso ein Steigen des Gipfequotienten ibera zusammen mit faenden Kranenängen und steigenden Kronenschichtindizes. Der Einheitsdurchmesser bei S,5 m ist in aen Gipfegruppen I o o. Der Mittedurchmesser bei 2,5 m ist von GipfegrupP-e so zu Gipfegruppe 8o hin fogender: IIS,r (ein Baum), II7,g, II9,7 II8,g, II7,7, II7,9 und II8,6. Die mittere Verjingung zwischen 2, 5 m und s, 5 m ist fogich praktisch genommen geich in aen Gipfegruppen. Die eben angefiihrten Kranenängen steen gruppenweise berechnete Mittewerte dar. U m die so er hatenen Resutate zu kontroieren, ist das ganze Materia der Höhenkasse r 6 nach Kranenängen sortiert worden, worauf der Mittedurchmesser bei 2,5, 9,5 und r 1,5 m berechnet wurde. Es haben sich dabei die Zahen ergeben, die in Tab. 7 wiedergegeben sind. Von den Durchmessern bei 2,5 m ist der Durchmesser in der Gruppe 1,5-2,4 offenbar abnorm. Dieser Stamm misst sowoh bei 2 wie bei 3 Meter IJ7,5 Prozent des Einheitsdurchmessers. In den Kassen 8,5-9,4 und 9,5 -ro,4 iegt der bei 7,5 m geegene Einheitsdurchmesser an der Kronengrenze oder innerhab der Krone, was die hohen reativen Durchmesser bei 2, s m er k ärt. F ir ae ibrigen Kronenkassen ist die. Verjingung zwischen ~2,5 m und 7,5 m ungefähr diesebe.

126 [121] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 183 Der Messpunkt 9,5 m 1iegt unterhab der Krone nur in den ftinf ersten Kronenk1assen. In diesen Kassen ist die Durchmesservariation sehr unbedeutend. Sobad der Messpunkt in die Krone fät, nimmt der Durchmesser mit zunehmender Kranenänge ab, was sich darans erkärt, dass die reative Lage des Messpunktes in der Krone dabei sich nach dem Gipfe zu verschiebt. Der Messpunkt II,5 m, der der Sortierung nach Gipfegruppen innerhab der Höhenkasse I 6 m zugrunde iegt, fät n ur in den drei ersten Kronenkassen unterhab der Krone. Die Variation ist hier unregemässig und, wenn man von der Kasse I,5-2,4 m absieht, die nur durch einen Stamm repräsentiert ist, unbedeutend. In den iibrigen Kronenkassen, bei denen der Messpunkt I I,5 m innerhab der Krone iegt, nimmt der Durchmesser mit zunehmender Kroneoänge in derseben Weise ab, wie soeben betreffs des Durchmessers bei 9,5 m erwähnt wurde. Aus der Verteiung auf Kronenängenkassen scheint hervorzugehen, dass die Länge der Krone keinen nennenswerten Einfuss auf die Verjiingung unterhab der Mitte des Stammes hat, sofern diese unterhab der Krone iegt. In dieser Hinsicht herrscht voe Ubereinstimmung mit den Resutaten, die bei Verteiung auf Hauptgruppen und auf Gipfegruppen erhaten wurden. W as die obere Häfte des Stammes betrifft, so sind die Resutate in gewissem Grade einander widersprechend. Bei der Verteiung auf Gipfegruppen wurde ein offensichticher Zusammenhang zwischen der Mitteänge der Krone und der Form dieses ganzen Stammteis erhaten, während ein socher Zusammenhang bei der Verteiung auf Kronenängenkassen nur beziigich der Durchmesser innerhab der Krone zutage getreten ist. Dieses gegensätziche Verhätnis ist von grossem Interesse, da es die Gefahren ins Licht stet, die mit Formstudien an Mittestämmen verkniipft sind. Angenommen, es verhate sich so, wie das Resutat der Kronenängensortierung es auszuweisen scheint, dass nämich die Stammkurven der Kronen bei den Kronengrenzen sich an eine und diesebe Hauptkurve anschiessen. Sochenfas wird die Mitteknrve fiir eine Gipfegruppe sich von der Hauptkurve in dem Punkte trennen, wo die in der Gruppe vorkommeode ängste Krone ihre untere Grenze hat, aso weit unterhab der fiir die Gruppe berechneten Mitteage der Kronengrenze. Der Umstand, dass die Mittekurven der Gipfegruppen sich voneinander weit unterhab der Krone trennen, braucht demnach nicht zu bedeuten, dass die zu diesen Gruppen gehörenden einzenen Bäume Stämme haben, die unterhab der Krone verschiedenen Hauptkurven fogen. Wir fanden, dass die Mittestämme der zu derseben Hauptgruppe gehörigen Gipfegruppen nicht Hauptkurven mit derseben Nupunktage haben konnten. Nun sehen wir, dsss die sämtichen einzenen Bäume der Hauptgruppe demungeachtet diesebe Hauptkurve mit derseben Nupunktage haben können. Dieser Umstand ist dazu geeignet, zur Vorsicht bei der Arregung bioogischer Gesichtspunkte an die Stammform von Mittestämmen zu mahnen. Die Verjiingung innerhab der Krone. U m einen Uberbick ii ber die Verjiingung des Stammes innerha b der Kron e zu erangen, ist die absoute Formkasse fiir diesen Stammtei in aen zur

127 184 HENRIK PE'I''I'ERSON (122] Höhenkasse 1 2 m gehörigen Gipfegruppen berechnet worden. Diese Formkassenwerte finden sich in 'I'ab. 8 zusammengestet, die aso Quotienten des Durchmessers an der Mitte der Krone und des Durchmessers an der Kronengrenze enthät. Wie man sieht, bewegen sich die Mitteformkassen in 'I'ab. 8 praktisch genommen innerhab det Grenzen o,ss und o,6s. Biervon maehen nur drei W erte eine Ausnahme. Fiir das auf Kronenängenkassen verteite Materia in Höhenkasse I 6 m sind die in Tab. 9 wiedergegebenen Kronenformkassen erhaten worden. Auch hier bewegen sich die Kronenformkassen um einen Mittewert von ungefähr o,6o. Sieht man von der ersten und der etzten Gruppe ab, die nur durch je einen Baum vertreten sind, so ist die niedrigste Kronenformkasse o,576 und die höchste o,633. Der Mittewert fiir die ganze Höhenkasse ist o,6o2. Um eine Vorsteung von dem Einfuss von Rasse und Kronenschicht zu erhaten, ist eine Kronenängenkasse, nämich 2,5-3,4 m, der Höhenkasse 8 m im Hinbick auf diese Bestimmungen sortiert worden, worauf die Mitteformkasse fiir den Stammtei innerhab der Krone in jeder Gruppe berechnet wurde. Das Resutat ist aus Tab. Io ersichtich. Wie man sieht, iegt die Ubergangszone am höchsten in aen Schichten, danach kommt die nordschwedische Rasse und zuetzt die siidschwedische. Innerhab aer Rassengebiete hat die zweite Schicht die höchste Mitteformkasse, danach kommt die dritte und zuetzt die erste. Die Mitteformkasse fiir sämtiche Bäume ist o,6oo. V on grösstem Interesse in dieser Zusammensteung ist das Maximum der Mitteformkasse in der Ubergangszone und in der zweiten Schicht. Diese Kumination in einer Zwischenzone und einer Zwischenschicht verringert ziemich stark den Wert der fiir gam~e Höhenkassen und Kronenängenkassen berechneten Mittewerte des Rassen- und des Kronenschichtindex. Im iibrigen können weitergehende Schiisse aus den ebenerwähnten Ziffern nicht gezogen werden, da ja keine Gewähr dafiir vorhanden ist, dass die beobachteten Probestämme die fragichen Rassen und Kronenschichten statistisch repräsentieren. Von Bedeutung ist jedoch die ständig wiederkehrende Erfahrung, dass die Mitteformkasse fiir den Stammtei innerhab der Krone sich innerhab enger Grenzen um einen Wert von ungefähr o,6o herum bewegt. Vorausgesetzt, dass die Stammkurve der Krone der HöJER'schen Geichung fogt, entspricht diese Formkasse einer absouten Formzah von etwas mehr as o,4o. Wir können provisorisch die etztgenannte Ziffer bei der Kubierung stehender Stämme benutzen. Amähich muss es mögich sein, durch Untersuchung repräsentativer Probestämme genanere Mitteformzahen fiir den Stammtei innerha b der Krone zu erhaten, die fiir Bestände verschiedener Typen Getung besitzen. Kap. VIII. Methode zur Schätzung von Versuchsfiächen. Auf Grund der oben gegebenen Erörterungen assen sich fogende Richtinien fiir die Schätzung von Versuchsfächen aufsteen. I. Die Schätzung muss mögichst mit Hife statistisch repräsentativer Probestämme geschehen, die stehend untersucht werden.

128 [123] STUDIER ÖVER STAMFORMEN Wenn es sich um Mittewerte einer grossen Anzah wahos entnommener Bäume handet, scheint ein gewisser Zusammenhang zwischen der Krone und der Stammform unzweifehaft zu bestehen. Ungekärt ist jedoch die Frage, ob ein socher Zusammenhang bei Beständen verschiedener Typen vorausgesetzt werden kann. Infogedessen kann es jetzt nicht in Frage kommen, die Schätzung der Durchforstungsfiächen der Versuchsanstat auf Grund von Beobachtungei betreffs der Lage und Form der Krone vorzunehmen. 3 Betreffs des Stammteis innerhab der Krone (des Kronenstamms) hat es sich gezeigt, dass die absoute Formzah im Verhätnis zur Grundfäche an der Kronengrenze sich innerhab enger Grenzen um den Wert o,4o herum bewegt. Da dieser Stammtei in der Rege einen recht geringen Tei von der Kubikmasse des Baumes ausmacht, so wirkt ein geringer Feher bei der Bestimmung seiner absouten Formzah nur unbedeutend auf das Endresutat ein. Es erscheint. daher berechtigt, provisorisch.die Mitteformzah o,4o bei einer Schätzung der Kubikmasse der Kronenstämme in ganzen Beständen zu verwenden. Die Methode kann dann amähich dadurch verfeinert werden, dass der Mrttewert o, 4 o durch Erfahrungszahen aus verschiedenen Bestandstypen, die man bei Untersuchung gefäter repräsentativer Probestämme erhaten hat, ersetzt wird. 4 Im iibrigen muss die Kubierung durch direkte Messung geschehen. Der Bestand wird bei Brusthöhe kuppiert, worauf repräsentative Stämme nach einer objektiven Methode entnommen werden, am einfachsten dadurch, dass man jeden n:ten Baum in der Stammnummeriste wäht. An den Probestämmen wird mitteist geeigneten Instruments die Höhe des Gipfes und der Kronengrenze ii ber dem Boden gemessen und das Resutat in gewöhnicher W eise durch Höhenkurven ausgegichen. Der Unterschied zwischen den beiden Höhenkurven gibt in jeder Durchmesserkasse die Länge der Krone an. Da die Mitteformzah der Kronenstämme as bekannt vorausgesetzt wird, eriibrigt es zu ihrer Kubierung nur, die Grundfiäche an der Kronengrenze zu bestimmen. Diese Bestimmung geschieht an Hand der Stammkurve unterhab der Krone. Wir kommen hierauf noch weiter bei Punkt 9 zu sprechen. s. Zur Kubierung des Stammteis unterhab der Krone bedarf es der Kenntnis seiner Profikurve. Wir setzen dabei voraus, dass die Durchmesser des Stammteis proportiona den Ordinaten der Kurve y= og x sin d. Eine andere Annahme wird nicht gemacht. Es wird offen geassen, ob der Gipfe im Punkte x = I iegt (HöJER's Geichung), ob er im Nupunkt iegt, oder ob er anderswie in dem Koordinatensystem der Stammkurve paciert ist. Sote einer der ebengenannten Speziafäe voriegen, so gibt sich dies bei Anwendung der mehr genereen Kurve zu erkennen. 6. Bei einer derartigen freien Pacierung der Punkte x = o und x = I mussen drei Durchmesser gemessen werden, darnit die ogarithmische Vergeichskurve bestimmt sein so. Dabei ist es erwiinscht, dass die beiden ättssersten Masse so weit voneinander wie mögich genommen werden, da hierdurch der störende Einfiuss zufäiger Abweichungen vermindert wird. Das mittere Mass ist behufs einfacherer Rechnung am besten mitten zwischen den beiden äusseren zu nehmen. 7. Hande t es sich u m die Bestimmun g der Kubikmasse mit Rinde, so kann der obere Messpunkt in die Kronengrenze und der untere so niedrig wie mögich oberhab des Wurzeanaufs veregt werden. Bei einigen Stammtypen

129 186 HENRIK PETTERSON [124] iegt der Wendepunkt der Stammkurve so hoch, dass man den konkaven unteren Tei kaum as Wurzeanauf bezeichnen kann. Auch in sochen Fäen mussen indessen ae drei Durchmessermasse an dem von der Längsachse aus konvexen Tei der Stammkurve genommen werden. Bei derartiger Veregung der Messpunkte muss oft der obere Durchmesser mitteist eines optischen Instruments, z. B. Lijenströms Dendrometer, beobachtet werden. 8. Handet es sich um Schätzung der Kubikmasse ohne Rinde, so mussen in der Rege ae drei Durchmesser so veregt werden, dass sie einer Rindenuntersuchung zugängich sind. Bei Probefächenuntersuchungen bietet es keine grässeren Schwierigkeiten, zu diesem Zweck eine eichte Leiter mitzunehmen, mitteist deren Hife der Durchmesser und die Rindendicke bequem bei 6 m Höhe uber dem Boden untersucht werden können. Betreffs des unteren Durchmessers git auch in diesem Fae das in Punkt 7 Gesagte. 9 Nachdem die drei Durchmessermasse erhaten worden, werden Differenzenquotient und Verjungungszah berechnet, worauf der Nupunkt und die Masseinheit der Vergeichskurve nach den in Kap. III gegebenen Anweisungen bestimmt werden. Darnit sind sowoh die Grundfäche an der Kronengrenze as auch die Kubikmasse des Stammteis unterhab der Krone bestimmt. Die ~ubikmasse des ganzen Eaumes kann direkt durch die Forme 49 aufs. IOI erhaten werden. IO. Auch wenn man versucht, den unteren Messpunkt oberhab des Wendepunktes der Stammkurve zu veregen, kann man nicht vöig sicher sein, dass dies geungen ist. In socher Hinsicht gewährt der Differenzenquotient einen gewissen Anhat, da ja nur Messpunkte, deren Differenzenquotient grösser as 1 ist, auf der ogarithmischen Kurve iegen können. Diese Kontroie ist indessen nicht genugend. Es ist höchst erwunscht, dass die aus drei Messpunkten hergeeitete Logarithmenkurve durch noch einen Messpunkt oder am besten mehrere kontroiert wird. Zunächst, bis hinreichende Erfahrung bezugich der e.inschägigen Verhätnisse gewonnen worden ist, mussendaher die Durchmesser an so vieen Messpunkten wie mögich gemessen werden, vorschagsweise bei 2, 3, 4, 5 und 6 m vom Boden. I I. Eine Formbestimmung nach dieser Methode ist naturieb äusserst empfindich fir zufäige Abweichungen. Bei der Anwendung der Methode auf einzene Bäume muss daher mögichste Sorgfat darauf verwendet werden, diese zu vermindern. Nur soche Durchmesser durfen gemessen werden, die sich dem Auge as frei von Fehern darsteen. Geichwoh entstehende Ungeichmässigkeiten werden graphisch ausgegichen, bevor der Differenzenquotient und die Verjungungszah berechnet werden. Besonders wenn man den Zusammenhang zwischen der Stammform und verschiedenen bioogischen Faktaren zu studieren wunscht, mussen Messung und Feherausgeichung mit grösstmögicher Genauigkeit bewirkt werden. I 2. Bei K u bierung von Beständen kann indessen die erforderiche Ausgeichung im agemeinen auf vie einfachere Weise erreicht werden. Liegt die Kronengrenze ungefähr geichhoch in sämtichen Durchmesserkassen, so denkt man sich ae Probestämme des ganzen Bestandes zu einem einzigen soiden Körper vereinigt, der dann auf diesebe Weise behandet wird, wie es soeben fur einzene Bäume besebrieben worden ist. Bei Anwendung dieser Methode mussen die Durchmessermasse in geichen Höhen bei aen Bäumen

130 [125] STUDIER ÖVER ST AMFORMEN 187 genommen werden. Fur jeden Messpunkt werden die Quadrate der Durchmesser summiert, woraqf die Quadratwurze aus der Summe den Durchmesser des gesuchten Körpers im Messpunkte angibt. In Beständen, bei denen die untere Kronengrenze beträchtich mit dem Durchmesser variiert, werden die Probestämme in Gruppen mit ungefähr geichen Kronengrenzenagen eingeteit. Danach wird in jeder Gruppe diesebe Berechnung durchgefihrt, wie sie im vorigen Fae fur den ganzen Bestand zur Anwendung kam. Es ist keineswegs sebstverständich, dass ein durch derartiges Summieren ge bideter Körper eine Profikurve von der Form y = og x haben wird. O b dies der Fa ist, kann man indessen eicht bezigich der zugängichen Messpunkte untersuchen. Lassen sich die dart erhatenen Durchmesser durch eine ogarithmische Kurve ausgeichen, so muss man berechtigt sein, diese bis zur Kronengrenze auszuziehen. Fur den Fa, dass eine gentigende Ubereinstimmung mit der Logarithmenkurve nicht erreicht wird, dirfte in der Rege eine weitere Einteiung in Gruppen anzuraten sein. J edenfas hat man es in der Hand, auf Grund des Materias zu beurteien, ob die Methode anwendbar ist. Es ist mögich, dass Ausnahmeverhätnisse voriegen, wo nichts anderes ibrigbeibt, as den Bestand nach der fruher angewandten subjektiven Methode zu kubieren. Dies kann besonders dann notwendig sein, wenn bei einer grässeren Anzah Stämme der Wendepunkt abnorm hoch geegen ist. Bei der Behandung socher Fächen tut man daher kug daran, voräufig Probestämme auch nach der subjektiven Methode zu entnehmen. 13. U m dem neuen Verfahren voe Gerechtigkeit widerfahren zu assen, misste dassebe an statistisch repräsentativen Probestämmen kontroiert werden. Da soche gegenwärtig mir nicht zu Gebote stehen, ha be ich zu diesem Behufe 39 St. sektionsweise gemessene Probestämme benutzt, die ich bei dem Durchforstungsmateria bei der I vorgenommenen Revision der Versuchsfiäche Nr. 40, Bispgården, entnommen habe. Bei einem derartigen Vergeich muss man dafir sorgen, dass Wurzeanauf und Stockabzige nicht auf das Resutat einwirken. Ich babe daher bei der Kubierung nur den Stammtei iber 2 m Höhe bericksichtigt. Der Sektionskubierung gemäss beträgt die Masse dieses Stammteis insgesamt fir sämdiche Probestämme 3,4477 cbm, weches Voumen aso mit dem berechneten vergichen werden so. Die mittere Höhe der Probestämme ist I 5,6 7 m, und die Kronengrenze iegt im Mitte 9,9o m iber dem Boden. Die Summe der Durchmesserquadrate ist bei 2,5 m Höhe o,6r3727, bei 4,5 m o,533 ro8 und bei 6,5 m o, Demgemäss ist der Differenzenquotient = I 1 r2 978 und die Verjingungszah = I4,?D645 r ist= 9,225 und u= o,o Hieraus erhät man den Nupunktabstand A vom unteren Messpunkt = I 8, 45 m und die Masseinheit a= 3,4132 m. Auf Grund dieser Zahen erhät man nach Forme (49) die gesuchte Kubikmasse = 3,4558 cbm, aso o,2 3 Prozent zu hoch. ndessen ist dabei die Mitteformzah der Kronenstämme as o, 4 o angenommen worden. In diesem Fae, wo es sich um gefäte Probestämme handet, kann die fragiche Formzah kontroiert werden. Sie beträgt der Sektionierung gemäss o, 4 2. Wird dieser W ert in Forme (49) eingesetzt, so ergibt sich fir die Kubikmasse der