STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT

Transkript

1 MEDDELANDEN FRÅN STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT HÄFTE MITTELUNGEN AUS DER FORSTLICHEN VERSUCHS ANSTALT SCHWEDENS 25. HEFT REPORTS OF THE SWEDISH INSTITUTE OF EXPERIMENT AL FORESTRY N:o 25, BULLETIN DE L'INSTITUT D'EXPERIMENT A TION FORESTIERE DE SUEDE N:o 25 CENTRALTRYCKB:RIET STOCKHOLM 1929

2 REDAKTÖR: PROFESSOR DR HENRIK HESSELMAN

3 INNEHÅLL: T AMM, OLOF: An Experimenta Study on C a y Formation and Weathering of Fespars.... En experimente studie över erbidning och vittring av fätspater. 2 7 TR.Ä.GÅRDH, IvAR: Undersökningar över den större snytbaggen och dess bekämpande Untersuchungen i.iber den grossen Ri.issekäfer und dessen Bekämpfung. 88 NÄsLUND, MANFRED: Antaet provträd och höjdkurvans noggrannhet 93 Die Anzah der Probestämme und die Genauigkeit der Höhenkurve I 54 TRÄGÅRDH, IvAR: Om tabocken och dess bekämpande... I7 I On the Injury of the pine-sawyer (Monochammus suor L.) and its prevention I 9 TIREN, LARs: Uber Grundfächenberechnung und ihre Genauigkeit 229 Om grundyteberäkning och dess noggrannhet I Redogörese för verksamheten vid Statens skogsförsöksanstat under år 1928 (Bericht i.iber die Tätigkeit der Forstichen Versuchsanstat Schwedens im Jahre I928. Report on the Work of the Swedish Institute of Experimenta Forestry.) Amän redogörese av HENRIK HESSELMAN I. skogsavdeningen (Forstiche Abteiung, Forestry division) av HENRIK PETTERSON II. N a tur v etenska p i g a a v de ni n gen (Naturwissenschaftiche Abteiung, Botanica-Geoogica division) av HENRIK HEssELMAN 3 I I III. skogsentomoogiska avdeningen (Forstentomoogische Abteiung, Entomoogica division) av I v AR TRÄGÅRD H... 3 I 2 IV. Avdeningen för föryngringsförsök i Norrand (Abteiung fi.ir die V erji.ingungsversuche in Norrand, Division for Afforestation Probems in Norrand) av EDVARD WIBECK., Sid.

4 M A N F R E D. N Ä S L U N D. (J ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJD, KURVANS NOGGRANNHET. Inedning. För a skogsuppskattning är det av grundäggande betydese att känna den använda metodens femöjigheter. Vid uppskattning för vetenskapiga ändamå är detta ett oavvisigt krav, och -för praktiska behov är det givetvis av stort värde att kunna anpassa arbetsme" toderi och därmed kostnaden efter önskad noggrannhet. Den osäkerhet, som vidåder uppfattningen av exempevis kubikmassan å en försöksyta eer å provytan vid en injetaxering, häreder des från fekäor vid uppskattningen av det enskida trädet, des från bristande repres~ntativa egenskaper {höjd, form) hos provträden. Den senare fekäan minskas vid ökning av provträdsantaet och bortfaer vid individue uppskattning av samtiga träd. Gäer det däremot att uppskatta den typ, variationstyp, ytan representerar, erfordras teoretiskt ett oändigt anta provträd. På grund av va-. riatianens agbundenhet och ringa storek, bir emeertid feet i förhåande.ti typen redan vid ett mycket begränsat provträdsanta obetydigt. Vid uppskattningar i praktiken kan i rege feet i förhåande ti variationstypen approximativt överföras att gäa uppskattningsobjektet (beståndet, skogen), viket kommer att närmare verifieras i det föjande. För försöksväsendet torde det i amänhet vara feet med hänsyn ti variationstypen, som det är av intresse att känna. Dessa förhåanden diskuteras dock ämpigen i samband med undersökningsresutaten. För att bestämma storeken av ett fe är det nödvändigt att veta, vad som är tätt, och vi nöja oss här med att konstatera, att det rätta" värdet des kan vara den enskida ytan, des den typ, ytan representerar, beroende på uppskattningens ändamå.. Avsikten med föreiggande undersökning är. att ge en uppfattning om det anta provträd, som erfordras vid uppskattning av försöksytor' och bestånd, för att feet i kubikmassan sannoikt ej ska övers_krida viss storek, när hänsyn enbart tages ti höjdkurvans osäkerhet. Systematiska höjdmätningsfe och övriga fekäor förutsättas h~rvid borteiminerade 7. Medde. jr/in Statens Skugsförsöksanstat. Häft. 25

5 94 MANFRED NÄSLUND BehandEngen av detta probem är beroende ~av huru~höjdprovträden uttagas. Detta kan ske såvä subjektivt som objektivt band stammarna å uppskattningsytan. De objektivt utvada provträdens många företräden ha med skärpa framhåits av professor H. PETTERSON (1926). Av dessa anför jag i detta sammanhang endast, att den objektiva metoden ger statistiskt representativa provträd, varigenom det bir. möjigt, att med edning av observationsmateriaet beräkna höjdkurvans säkerhet och anpassa antaet provträd efter behovet. Det subjektiva förfarings;sättet erbjuder ej någon sådan genere beräkningsgrund. Jag förutsätter därför i det föjande att provträden uttagas efter någon objektiv metod, viket för vetenskapiga ändamå är ofr~nkomigt och för praktiska behov i rege, såvida antaet ej är atför ringa, tiföritigast. Det objektiva provstamsvaet utgör jämte injetaxeringens sannoikhetsteoretiska underag grundvaen för vår stota riksskogstaxering. KAP I. Amänna riktinjer för undersökningen. Det igger nära ti hands att söka använda sannoikhetskakyens matec matiska apparat på probem av föreiggande art. För bestämmandet av det sannoika uppskattningsfeet i förhåande ti typen finnes för övrigt ingen anpan utväg att tigripa. Då det gäer feet i förhåande ti den enskida ytan, kan visserigen en mera empirisk undersökningsmetod tänkas. Men härför erfordras ett synnerigen omfattande materia, och dock skue vi endast få en saming isoerade exempe utan möjighet att ange en beräkningsmetod för att av observationsmateriaet i ett aktuet fa uppskatta det sannoika feet. Det är därför av vikt att närmare undersöka sannoikhetskakyens tiämpighet på ifrågavarande objekt. Innan vi övergå ti en sannoikhetsteoretisk anays av materiaet, skoa vi diskutera några frågor av amännare innebörd, som instäa sig, då man söker tiämpa den matematiska teorien på verkigheten. Det har gärna veat ägga sig ett magiskt skimmer kring sannoikhetskakyens användning på faktiska förhåanden, viket ej heer undgått den skogiga tiämpningen. Orsaken synes mig vara ätt att finna. Vid en orientering i den rikhatiga itteraturen på området, frapp,eras man genast av författarnas oika framstäning av grundäggande satser och principfrågor. Vad den ene författaren framstäer som en erfarenhetssats, vars tiämpighet på verkigheten är något sjävkart, bevisar den andre rent matematiskt under vissa på användbarheten mycket inskränkande förutsä~tningar. Man måste emeertid göra kart för sig, att sannoikhetsformerna. via på rent matematisk grund och såedes fordra vissa bestämda förutsätt-

6 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 95 ningar. Sannoikhetskakyens matematiska de kan behandas som en fristående teori utan förbindese med några användningar. Detta har starkt betonats av docenten H. CRAMER, som ämnat en mycket karäggande framstäning av sannoikhetskakyens grunddrag efter denna princip (CRAMER 1926). I rege framstäes den dock i anknytning ti hasardsspesteorien, som eder ti uppstäarrdet av ett visst rnatematiskt s c h e m a, det kassiska sannoikhetsschema t. Särskit då man söker tiämpa sannoikhetskakyen på opöjda användningsområden, ti vika de skogsbioogiska ännu måste räknas, är det av vikt att håa isär den rent matematiska sannoikhetskakyen och de empiriska erfarenheterna från andra tiämpningsgebit. Sannoikhetsformerna förora d; sin mystik och framstå mot en. bakgrund av kart formuerade förutsättningar, som endast med stör;e eer mindre approximation kun~a återfinnas i ett konkret materia. Graden av approximation bir då avgörande för kakyens värde. Vid den matematiska behandingen av praktiska probem måste vi schematisera och renoda undersökningsobjektet för att uppfya förutsättningarna ti de satser, varpå den rent teoretiska beräkningen måste grunda sig. De matematiska satserna gäa vid tiämpning på verkigheten bott inom vissa empiriskt funna gränser. Deras tiämpighet kan ej teoretiskt bevisas, utan endast empiriskt verifieras. Genom renodingen erhåa vi en mer eer mindre abstrakt bid av verkigheten. Bir denna abstraktion så stor, att vi ej approximativt och med viss rimig begränsning kunna överföra de gjorda beräkningarna på faktiska förhåanden, är givetvis kakyen värdeös ur praktisk synpunkt, och probemet måste ösas på annat sätt.. De amänna riktningarna för undersökningen böra såedes innehåa tre moment: statistisk anays av materiaet, matematisk behanding av det renodade materiaet samt diskussion av kakyens gitighet i det aktuea faet. A v dessa är det första synnerigen viktigt, ty därmed måste de matematiska förutsättningarnas tiämpighet verifieras och kakyens värde motiveras. Sannoikhetskakyen kan endast ge en schematisk bid av verkigheten. Det är därför nödvändigt att göra de matematiska kakyerna på ett i högsta grad renodat materia, där de erforderiga förutsättningarna med minsta grad av approximation återfinnas. Sedan bir det en omdömesfråga att generaisera och överföra kakyens resutat på den ursprungiga företeesen. Insätter man ursprungsmateriaet direkt i den m.atematiska apparaten införas fera fekäor, och dessa äro svåra att överbicka, då matematiken arbetar bint efter givna förutsättningar.

7 96 MANFRED N ÄSLUND Tab. I. Materiaet. Försöksyta eer trakt n:r V ersuchsfäche o der Bestand Area Area hektar Anta stammar Bonitet å ytan eer Beståndsform Åder en!. Jonson trakten Bestandsform Ater Bonität Stammzah nach Jonson in der Fäche oder dem Bestand Yta 27:I 0,2,:) Ta (gran) Fäche () 183 (1'67) so IV > 27:II 0,2o Ta (gran) rr6 (136) so IV () )) 27:IV 0,2o Ta (gran) 157 (I57) so IV ()» 27:V 0,20 Ta (gran) 233 (5 II) so IV (), 27:VII O,IS Ta (gran) r so (9 r) so IV () Ta o,g, gran o,r )) Sf. I7:I 0 12I Sr III o,g, o,:r )) )) 31 0,22 Gran (ta) 2!0 (I I) 95 IV () )) )) 32 0,25 Ta 0,7, gran 0, ss III 0,7, o,3 )) > 5o:H 0,25 Ta IOO VI >» 5o:III 0,20 Ta IOO VI ))» 5o:IV 0,24 Ta IOO VI )) )) 56:I 0,64 Gran (ta) 593 (r 3) S0-135 IV ()» )) 56: 0,43 Gran o,g, ta o,r so-ss IV o,g, o,x ))» 6o 0,25 Gran v > 253 0,25 Gran II» 349:I 0,25 Gran II-() Trakt Ta o,6, gran o,4-95 III Bestand o,6, o,4» 193 6,20 Gran o,6, ta 0,4 - IOO IV o,6, 0,4» 199 ro,ss Gran o,s, ta o,s (öv) - ss IV o,s, o,s (Laub)» 153 z,so Gran o,s, ta 0,2 - IOO IV-(III) o,8, ,35 Ta o,s, gran 0,2 (öv) -!20 v o, (Laub) )) r so I I,go Ta o,g, gran o,r v o,g, o,i ))!26 3,20 Ta o,g, gran o,r - 90 V-(IV) o,g, o,i > 129 2,6o Ta, gran - IOO IV- (III),

8 Das Materia. ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 97 Höjdmätningar Höhenmessungen Mede- B e h a n d i n g s f o r m Träd- Mededi am. Behandungsform sag Anta höjd Mitterer Baum~ Anzah Durch-. Mittere art messer cm Höhe m Beägenhet Lage Stark åggaring Starke Niederdurchforstung Ta I83 I 5,s I3,3 Jönåker, Söderman!. Extra stark åggaring Ta II6 I 7,3 I3,s > )) Extra starke Niederdurchforstung Extra stark krongaring Ta I 57 I4,s I I,S )) > Extra starke Hochdurchforstung Svag krongaring Ta 233 I3,3. I I,3 )) > Schwache Hochdurchforstung Stark krongaring Ta I 50 I4,7 12,3 > " Starke Hochdurchforstung Extra stark åggaring Ta I24 2I,3 I8,s Sijansfors, Daarna Extra starke Niederdurchforstung Stark krongaring Gran 2IO I6, I5,S )) )) Starke Hochdurchforstung Stark krongaring Gran 250 IO,o 9,4» )) Starke Hochd urchforstung Extra stark åggaring Ta 203 I4,9 I I,6 > > Extra starke Niederdurchforstung Orörd Ta 249 I4,S I I >9 " > Ungeriihrt Extra stark krongaring Ta 23I I4,z Io,s )) > Extra starke Hochdurchforstung Stamvis bädning Gran 593 I 7,s I6,3 > )) Pienter.Stamvis bädning Gran ,4 I4,4 > )) Pienter Stark krongaring Gran 299 I4,s I4,r )) )) Starke Hochdurchforstung Stark åggaring Gran 46 26,6 24,8 Kinne revir, Västerg. Starke Niederdurchforstung Stark åggaring Gran 69 I9, I8,o Marks Starke Niederdurchforstung Fri krongaring Ta 96-23,4 Sijansfors, Daarna Frei e Ho c hd urchforstung Fri genomhuggning Gran I4,8» Freier Durchhieb F ich te Fri garing Gran I 5,r ~ >> Freie Durchforstung Fri genomhuggning o. föryngringshuggning Gran I35 - I8,3»» Freier Durchhieb und Verjiingungshieb. Fri genomhuggning Ta II4 - I 7,r > Freier Durchhieb Ljushuggning Ta I 56 - I6,4 )) > Lic h tung Garing och föryngringshuggning Ta 82 - I5,8 )) > Durchforstung und Verjingungshieb Stark åggaring Gran 84 - I6, r ))» Starke Niederdurchforstung "»

9 98 MANFRED NÄSLUND KAP. II. statistisk anays av materiaet. Materiaet utgöres av I6 försöksytor, varav på I4 st. samtiga träd av ett trädsag höjdmätts med teodoit och på vardera av de två återstående representativa provträd uttagits efter viss kvot (vart n te träd). Dessutom har bearbetats representativa höjdprovstammar mätta med Christens höjdmätare från 8 s. k. trakter å Sijansfors försökspark Dessa trakter äro att betrakta som bestånd av å väskötta skogarförekommande typer. Över materiaet ämnas en beskrivning i tab. I. Trädsagsbandningen har angivits på vanigt sätt i tiondear av kubikmassan. För samtiga försöksytor och trakter med undantag a:v ytan sf 32 har huvudträdsaget höjdmätts. Den å ytan sf 32 höjdmätta granen ingår ti c:a 80 J~ av stamantaet i underbeståndet - 3:dje och 4:de kron~kikteh. Första förutsättningen för en matematisk behanding av höjdkurvan är en ekvation för densamma. Det är en karakteristisk oikhet mean taens och granens höjdkurvor i ikådriga, såvä rena som bandade bestånd och försöksytor, viket demonstreras av fig. 1. Granens höjdkurva har i rege en vändpunkt vid övergången ti de starkt undertryckta diameterkasserna. För. materiaets ytor igger denna punkt under 6 cm. Av I 5 andra undersökta krongarade försöksytor i ådrarna år saknade en yta vändpunkt, och för de övriga varierade den från 2.:.._6 cm med svag tendens att stiga högre upp i diameterskaan med stigande åder och bättre bonitet. I bandbestånd är äget mera variabet. Taens kurvor sakna egentig vändpunkt, givetvis beroende på taens mindre förmåga att uthärda beskuggning och mindre seghet i amänhet i kampen för tivaron.. Granens ägsta diameterkasser (under c:a 6 cm) visa, som kommer att framgå av det föjande, andra särdrag och måste på grund därav utesutas vid en renoding av materiaet. För taens och, ovanför vändpunkten, även granens höjdkurvor å ikådriga försöksytor och homogena bestånd utgå vi ifrån en andra grads parabe av den amänna formen y =a + bx + cx 2, där y är höjden och x diametern samt a, b, c vissa konstanter. Med edning av observationsmateriaet från en viss yta kunna a, b och c en. minsta kvadratmetoden så bestämmas, att summan.av kvadraterna på avvikeserna från den kurva, ekvationen återger, bir ett minimum? Det återstår att visa, att ekvationen tifredsstäande återger den sökta 1 För minsta kvadratmetoden redogöres närmare i kap.. III.

10 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 99 rn 16 Yta S( 50IY Få'che TaLL z z o B 10 Y1a S( 60 F!dche Gran riche e cm [;{z ndpunkf ken.depu.n.c c c m Fig. I. Numeriskt' utjämnade höjdkurvor. Den finare injen betecknar extrapoerade vär den (sf 6o). Numerisch ausgegichene Höhenkurven. Die feine Linie beze_ichnet extrapoierte W_erte (sf 6o).

11 Jr00 m, Yta Sf 501Y Fide h e T!:z.L 2. 0 MANFRED NÄSLUND Yta sr so.u Aäche TaL Kiefir z o~~---l--~--~~l-~~-l--~--~~~~~~~~. Z ZO 2Z 24 cm. Fig. 2. Numeriskt utjämnade höjdkurvor. Numerisch ausgegichene Höhenkurven. höjdkurvan. Ett mått härpå är korreationsindex (p), som definieras av formen (MILLS I 925) : p 2 = I - d' där är kring kurvan, ~, d' a> sy spridning.. sm a;m $pridningen kring höjdernas,aritmetiska medeta och med a;y och a; 11 I betecknas den medekvadratiska avvikesen.

12 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 101 I det föjande skija vi på spridning och medeavvikese. Med spridning (us) avses ett visst materias medeavvikese från sitt medevärde,.mätt som den medekvadratiska avvikesen, samt med medeavvikese (u) variationstypens av materiaet bestämda spridning. För avvikese från en kurva bi formerna resp. ~-2 v-2 0'5 = v I;v och O' = ~' där v är den enskida variantens av- N N-~ vikese, N antaet varianter och ~ antaet obekanta i kurvans ekvation (MILLS I92S). Om G 2 = 0' 2 M,. bir p = o, d. v. s. spridningen kring kurvan är ika, sy s stor som spridningen kring det aritmetiska medetaet och någon tendens saknas. Om 0' 2 = o bir p = r. Kurvan går då genom samtiga punkter - sy grafiskt uppagda höjdmätningar. Gränserna för p äro tydigen o och r. För ytorna sf sov och sf 6o har korreationsindex för de enigt minsta kvadratmetoden utjämnade höjdkurvorna (fig.' r) beräknats. För gran, sf 6o, har endast diameterkasserna över. 6 cm utjämnats, och har den beräknade kurvans förängning inagts med en finare inje. Trädantaet är resp. 23 r och 243, och har varje enskit träds avvikese från höjdkurva och medeta uträknats utan kassindening. Man erhåer då: Sf 50 1 v': a;y = 199,36, a;jf = I 137,87 och p= O,gr ± O,orr. Sf 6o: u;y = 415,33, a;m = 7 013,26 och p= 0,97 ± O,oo4. De båda korreationsindices äro ej jämförbara, emedan O'sM varierar, men visa, att ekvationen har en synnerig god anpassningsförmaga. (Jfr fig. r och 2). För p = r skue kurvan gå igenom aa punkterna. Vid detta stora trädanta är en grafisk utjämning ätt att utföra (fig. r), och det kan tänkas, att denna bättre förmår föja individuea beståndsegenskaper hos den aktuea ytan. Dessutom är det av värde att känna den grafiska och den numeriska utjämningens verkningssätt, för att kunna överföra efter den senare metoden gjorda beräkningar att gäa även för den förra. Såvä grafisk som numerisk utjämning har därför gjorts på 4 ytor. De grafiska utjämningarna äro benäget utförda av jägmästare PETRINI enigt gängse metod. Resutaten framgå av tabe 2. De numeriska utjämningarna äro återgivna i fig. I och 2. För ytan sf sov :p.ar höjdkurvan utjämnats des för aa träd och des för 20 representativa provträd. Vid utjämning av höjdkurvor för ikådriga försöksytor synes den numeriska utjämningen av ekv. y = a + bx + ex' vara något överägsen den grafiska vid stamanta, som vanigen igga ti grund för höjdkurvan, men är skinaden ringa. Vid mycket stort stamanta har ej någon differens framkommit.

13 MANFRED NÄSLUND Tab. 2. Jämförese mean numerisk och grafisk utjämning. Vergeichung zwischen rechnerischer und graphischer Ausgeichung. S p r i d n i n g (tts) Y t a Anta mätta träd Streuung (us) Fäche Anzah geffiessener Bäume Numerisk utjämning Grafisk utjämning N:r Rechnerische Ausgeichung Graphische Ausgeichung Sf so: IV (aa) ±... 0,94 ± o,94 ae Sf so: IV representativa... ± 1,oo ± I,o3 repräsentative Sf so: II... 6o representativa... ± 0,83 ± o,ss Sf 6o... repräsentative 243 (aa > 6 cm)... ± 1,32 ± 1,32 ae Jag har i det föjande använt en numerisk utjämning av ekv. Y.= a+ bx + cx 2 som ett tifredsstäande matematiskt uttryck för försöksyto"rnas höjdkurvor. Sannoikhetskakyen grundar sig på en agbunden spridning - variation - hos undersökningsmateriaet kring medevärdet eer medekurvan. Det är därför nödvändigt att närmare studera denna spridning. På fyra taytor och fyra granytor har spridningen kring den numeriskt utjämnade höjdkurvan uträknats för varje r cm:s kass enigt formen: as= /L, v 2, där v är avvikesen och N trädantaet, samt uttryckts i abs. V N- mått (spridning) och i % av resp. cm-kass' medehöjd (variationskoefficient). I dessa räkningar ha medtagits samtiga träd å ytan av det undersökta trädsaget (se tab. r). Resutatet framgår av fig. 3 och 4 För taen (fig. 3) är spridningen oberoende av diametern, och stiger variationskoefficienten föjaktigen med sjunkande diameter. Spridningen för de ara ägsta diameterkasserna å den ogarade ytan sf som visar möjigen en svag och obestämd tendens att sjunka med sjunkande diameter. Vad granen beträffar (fig. 4) är denna tendens utprägad för de ägsta diameterkasserna, men från omkring 6 cm och däröver bir spridningen även här oberoende av diametern och variationskoefficienten såedes stigande med sjunkande diameter. Spridningens sjunkande tendens för granens ägsta diameterkasser är ur statistisk synpunkt en viktig iakttagese, emedan sannoikhetsteorien förutsätter, att någon tendens ej finnes. Vid granytornas statistiska bearbetning måste därför diameterkasserna under 6 cm utesutas. Det är givetvis viktigare att få höjdkurvans säkerhet rätt bestämd för de övriga diameterkasserna och sedan approximativt extrapoera säkerheten för de ägre, tämigen betydeseösa diameter-

14 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 103 rr 2 +j{ r- 'Yta Sf27I... ~..., "' Ftäche G>~ G> ' ~!" e E> rid ~in~ m euu 1"1-q./ ta tic. 'nsf<o ~ff"c Va iatio rzsko fffizi ent~ "' en.t. 8 % o o cm rr 2 ""' _yta Sf 27Y ~ 0 0 ~ ~ ~ "' "' % 1 o o cm. \ "' "\ "\ ~ 0 (.) ~ "'(,_yta Sf 50IY ~ 0... ~... rr 0 r o % o Fig. 3. Spridningen kring höjdkurvan. Ta. Die Streuung um die Höhenkurve..

15 J04 MANFRED NÄSL UNI'> rr 3 Yta j( 561I f?&he, +~;...St 0 0W ~ ~ 0 {z 0 " ~ 0... ~ 0 0 ~ N1J...J ~ + - ~ r z o ~ o cm. rid <in_s m. o % e ut-~ nq-' 6 iati nsko i/e t ~nt~ iat:ic nsw,ffi z L ent 4 0 -r-r-- m 3 ~ Y1 a J f 56 Ir--+---t--t---t---t--+---T--t i 2~~ ~--~-+--+-~--~~ ~ z o B cm. m. 2- Y'ta Sf 60 + _... t- 1 o crn ~ v rr 2r- Y'ta Sf 3! P- ~ ~-""" o - ~ cm. Fig. 4 Spridningen kring höjdkurvan. Gran. Die Streuung um die Höhenkurve.. +

16 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 105 kasserna, än att utföra en kaky för hea materiaet och erhåa siffror på kurvans säkerhet i oika punkter, som aa skue vara mer eer mindre feaktiga i viss riktning. Spridningen kring höjdkurvan har för de fyra granytorna (fig. 4) uträknats des för aa diameterkasserna och des endast för kasserna > 6 cm, varav en sammanstäning ämnas i tab. 3 Tab. 3 s p r i d n i n g (O"s) Differens Yta Streuung (o) Differenz Fäche Diam.-kasserna > 6 cm Samtiga diam.-kasser m N:r % Durchm.-kassen Sämtiche Dm:chm.-kassen Sf I 128 I,14 - o,4-12 Sf. s6: I...,43 I,26 - O,I] -14 sr. 56: n... I 142 I,23-0,19-15 Sf. 6o...,33 I 120-0,12 -O Härav framgår att på förra sättet bir spridningen % för ågt bestämd i förhåande ti det senare, viket betyder samma feprocent å bestämningen av kurvans säkerhet (sid. 22). Överföres den på senare sättet beräknade medeavvikesen att gäa diameterkasserna < 6 cm, bir den tydigen för hög och överskattningens storek beroende på tendensens styrka. Sedan vi nu konstaterat att spridningen kring höjdkurvan är oberoende av diametern med undantag för de ara ägsta diameterkasserna, gäer det att undersöka, om fördeningen kring höjdkurvan föjer någon viss sannoikhetsag - fördeningsfunktion. Detta kan ske genom jämförese med den normaa sannoikhetsfunktion- GAuss: fefunktion - viket utförts med ytorna: 27I, sf 50IV, sf 56II och sf 60. Tivägagångssättet har varit föjande. Inom varje yta uträknades de enskida stammarnas avvikeser från höjdkurvan, varvid för gran diameterkasserna < 6 cm ej medtogos. Dessa avvikeser prickades sedan i kasser (pos. och neg.) med o, 3 m:s vidd. Vid jämförese har CHARLIERS förfaringssätt använts, varvid kassernas avvikeser och frekvenser transfor-. 5 -== m eras ti normakoordinater i funktionen: y = --=. e 2 med medeav- 1/2-;r I x vikesen (a) ti enhet för x och y= 5 rp 0 (x), där rp 0 (x) =--= e---;, eer 1/271" den normaa sannoikhetsfunktionen (CHARLIER 1920). Härigenom bi de oika ytorna direkt jämförbara med varandra, och genom mutipikationen med 5 kunna samma skaor användas för x och y utan att kurvan bir så fack; att mindre avvikeser. från normakurvan ej tydigt framträda.

17 MANFRED NÄSLUND I fig. 5 återges en jämförese med normakurvan för ytorna 27 1 och sf 56n. För samtiga fyra ytor ha dessutom medeavvikese, excessoch asymmetrikoefficient uträknats enigt nedanstående former och ämnas i tab. 4 en sammanstäning av de erhåna värdena. Sannoikhqtsfunktionen 5 _!J} Y vrn e 2 Enheten för x.= medeavvikesen ~~i~he27i Tatt Kt:efer :t x 0 f1a.5( 56II 11äche. -4 Gran. fich.:e x. Fig. 5. Fördeningen kring höjdkurvan jämförd med den normaa sannoikhetsfunktionen. Die Verteiung urtf die Höhenkurve mit der normaen Wahrschein~chkeitsfunktion vi::rgichen. Me~eavvikesen. v -3. a- ' /r,npv 2, där v är kassmittens avvikese från höjd- kurvan o~h p antaet träd i kassen samt N= L, p. N-3 emedan det är 3 obekanta i höjdkurvans ekv. En på detta sätt beräknad medeavvikese bir tydigen något för hög, om fårdening kring höjdkurvan är

18 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 107 norma (tig. 5), emedan frekvensen ägre kassgränsen ti den högre. korrigeringsforme: av varianter faer från den numeriskt SHEPPARD har därför konstruerat en den korrigerade medeavvikesen = ' j a2 - w 2, där w= kassbredden V 12 (MILLS 1925). Vid den här använda, ringa kassbredden (o, 3 m) bir denna korrektion betydeseös och har underåtits. Medeavvikesens medefe e" = 1 a.. y2(n- J 3) Excesskoefficienten E = [. 'E,pv4 0,6r24 a 4. N- 3 och dess medefe ee == ---==-- N 'E.P v3 1,2247 Asymmetrikoefficienten S = -N och dess medefe e5 =. fj{. 2a3 y u v Tab. 4. Trädens fördening kring höjdkurvan. Verteiung der Bäume um die Höhenkurve. Yta Fäche N:r Trädsag Baumart Anta mätta träd An z ah! gemessener Bäume Medeavvikese Excesskoeffic'ient Asymmetrikoefficient Dispersion Excesskoef:fizient Asymmetrikoeffizient {f± "" E± ~E s± 25 27:1... Ta!83 ± o,s. ± o,o44 + o,o63 ± 0, O,oo6 ± o,ogo5 Sf. 5o: IV.. Ta 231 ± o,g4 ± 0,044 - o,oo6 ± 0, o,os~ ± o,o8o6 Sf. 56: II... Gran 300 ± I,42_ ± o,o58 + o,xoi ± 0, ,250 ± O,o707 Sf. 6o """ Gran 243 ± I,33 ± o,o6o - o,or7._ 1 ± o_,o393 + o,o65 ± o,o7861 Av fig. 5 och t ab. 4 framgår att träde11~, 1 spridning kring höj d kurvan approximativt föjer den normaa sannoikhetsfunktionen. Excesskoefficienten är för aa ytorna mindre än sitt maximife (3 ee) och har dessutom växande tecken. Någon excess synes därför ej föreigga. Asymmetrikoefficienten är endast på en yta (sf 56II) större än sitt maximife (3 e 5 ), men har positivt tecken för samtiga ytor, varför en tendens ti positiv asymmetri torde kunna spåras (jfr LöNNROTH, 1926). Antaet mätta träd är dock för itet, för att en mindre grad av excess eer asymmetri skue kunria faststäas, emedan bestämningarnas medefe bi. så stora, att endast högre värden på koefficienterna igga utanför de maximaa fegränserna. Däremot ha ytorna visat frånvaro av höggradigare excess, och med ett undantag, asymmetri. Om spridningen kring höjdkurvan exakt föjer en viss fördeningsfunk-

19 108 MANFRED NÄSLUND tion, kunna vi också ange sannoikheten för en avvikese mean v1ssa bestämda gränser. För normaa sannoikhetsfunktionen gäer t. ex. att: 68,27 % av aa avvikeser (fe) igga mean + I a och ~ I a )) )) )) )) )) 95,45 % )) )) + 2 a ~ 2 a )) )) )) )) )) )) 99,73 x: + 3 a ~ 3 a )) 99,99 % >) )) )) )) + 4a )) -4a Är nu fördeningen endast approximativt norma, så bir givetvis en sannoikhetsbestämning, som förutsätter den normaa funktionen, ry,ter eer mindre osäker. Vi ha dock atid TCHEBYCHEFFS sats som säger, att om sannoika värdet (medevärdet)?ch medeavvikesen (a) fö-r statistisk variabe äro kända, så är sannoikheten för en avvikese mindre I. I än k gånger medeavvikesen större än I~ k 2 d. v. s. k a> I-k? (CRAMER I926). Vi få atså att: mera än 7 5,o % av aa avvikeser igga mean + 2 a och - )).. )) 88,9 % )) )) )) )) a )) - 3 a»93,8%»» +4a»-4a»» 96,o,%»» >> + 5 a >> ~ 5 a Härav synes att medeavvikesen (-feet) är ett gottmått på variationen eer osäkerheten i närmevärden. Vid norma fördening igga såunda 99,7 3 % av avvikeserna mean gränserna ± 3 a, men enigt den genereare satsen mer än 88,9 % inom ± 3 a. 2 a KAP. III. Höjdkurvans säkerhet. Matematisk deduktion. Vi kunna nu anse, att materiaets taytor och, med bortseende från stammarna under c:a 6 cm, granytor approximativt uppfya föjande förutsättningar, som bi utgångspunkt för den matematiska bearbetningen. Under de växtbetingeser, som gäa i ett visst bestånd (försöksyta), antagas höjderna (y) hos de träd, vikas diameter vid brösthöjd har ett givet värde (x) fördea sig efter en viss fördeningsfunktion kring ett medevärde (höjdkurvan), som kan uttryckas genom ekv.y- a+ bx + cx 2, där parametrarna a, b, c äro oberoende av x. Medeavvikes.en från detta medevärde, a, antages även oberoende av x (jfr fig. I och z).. Härvid förutsättes såedes a, b, c och a vara konstanta inom ett visst bestånd, men ej numeriskt kända.

20 ANTALET PRÖVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET M Man har uppmätt diametrar och höjder på sammanagt N provträd, fördeade i n kasser efter diametern x. För den i:te kassen är antaet provträd =A medediametern = x,. medehöjden =y,. Om det bortses från det o betydiga avrundningsfe, som, vid i det föjande använd kassvidd (r cm), igger i sammanförarrdet av aa kase sens träd ti medediametern x,., så är y,. att uppfatta som: en statistisk variabe med medevärdet: och medeavvikesen: ey = 0 i My. = a + b x,. + ex;" '. VA. Ekv. y ~a + bx + cx 2 är höjdkurvan för den vanatwnstyp, försöksytan representerar, och för att exakt bestämma konstanterna a, b, c fordras teoretiskt ett oändigt anta provträd. Det gäer att för ett godtyckigt givet värde på x med edning a_v observationsmateriaet bida ett närmevärde på motsvarande medehöjd a + bx + cx 2 samt att uppskatta feet i detta närmevärde. Vi sätta y= a +fix+ rx 2 och beteckna därmed ekv. för den höjdkurva, som kan bestämmas med hjäp av materiaet. a, (i, r utgöra då närmevärden på de obekanta storheterna a, b, c och skoa bestämmas. Ekvationer av formen y = a + fix + rx 2 kunna vi nu bida ika många som antaet observationer (N), och probemet är att av dessa bestämma parametrarna a, (3, r med minsta möjiga medefel Då deras anta.är större än antaet obekanta, kunna de icke aa satisfieras av något värdesystem. Man har då att söka närmevärden, vika så nära som möjigt satisfiera ekvationerna. Sätt Såedes bir y-yi = V;, där y = a + {ix; + rxi. n v; = a + (ix,. + x:-y,. och.l v~ = ~ [o. + (ix,. + rx: -y,-]>. z=r z=r Är nu fördeningen av v i överensstämmese med normaa sannoikhetsfunktion (j fr sid. I 5 ), kan det bevisas att de sökta värdena å a, (3, r skoa göra L v 2 ti minimum (HELMERT I907). Vi ha såunda: L [a+ fix+ /X 2 -y]"= min. Genom partie derivering av detta uttryck med hänsyn ti a, (3, r erhåes ekvationssystemet: 8. 'edde. jritt Statms Skogsforsöksanstat. Häft. 25. n

21 110 MANFRED NÄSLUND I; y = a N + (3!: z + r!: Z 2!: z y = a I;z + (3.!: Z 2 + r!: x3 I: z 2 y = a I;z 2 + f3 I: z3 + r!; z4 (MILLS I 92 5.) Genom att sovera dessa ekvationer, normaekvationerna, erhåa vi de sökta a, p, r Denna utjämningsmetod har fått namnet minsta kvadratmetoden. Är materiaet indeat i kasser och N= I: P övergår tydigen I; y, I: z.... ti I;jJy, I;jJz.... Normaekvationerna bi, redan då utgångsekvationen är av 2:dra graden, svårhanteriga. I denna undersökning har. antaet erforderiga siffror i I: pz4 varierat från I I ti I4. Det har därför utbidats metoder för att förenka och schematisera bestämningen av a, /1, r A v dessa räknemetoder torde föjande vara de amännaste: GAUSS' metod (HELMER T I907, ]ORDAN I920), DOOLITTLE'S metod (MILLS I925) samt determinantmetoden (JORDAN I920, WHITTAKER and ROBINSON I924). Den senaste metoden, som använts i denna undersökning, torde i rege vara att föredraga, och beror dess överägsenhet på normaekvationernas goda symmetriegenskaper (axisymmetri). Ett systein injära ekvationer, som ej äro axisymmetriska, ösas enkare med GAUSS' metod. För kännedomen om determinantmetoden och värdefua anvisningar står jag i stor tacksamhetsskud ti docenten H. CRAMER. För praktiskt behov kan visserigen ej här använda utjämningsmetod finna någon användning, men vid utjämning av kurvor för erfarenhetstabeer och vid beräkning av säkerheten hos kurvor är den av amännare värde. På grund av den genomgående symrrietrien är det nämigen ätt att överföra räkneoperationerna på ekvationer av högre grad av den amänna formen: y = a + bz + cz 2 + dz3... Jag har därför ansett det ämpigt, att närmare ange de räkneschemata som använts i denrta undersökning, då mig veterigen någon utförigare skogig tiämpning av här använda räknemetoder ej tidigare pubicerats. TISCHENDORF har utjämnat massakurvan (med ådern som oberoende variabe) enigt GAUSS' metod för iknande ändamå (I926). Men de därvid använda medefesberäkningarna tifredsstäa ej föreiggande behov. Av det teoretiska underaget, viket grundar sig på äran om determinanter (FISCHER I 92 I), kan här endast medtagas, vad som erfordras för förståesen av deduktionerna i den efterföjande framstäningen. I Övrigt hänvisas ti anförd itteratur. Vi införa beteckningarna n Sp.v =f:,}.; Z~ Y;, :z=i

22 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKUR V ANS NOGGRANNHET 111 varvid såunda exempevis n Soo = L,P,. =N; Szr = L,P,.x:yi' z"= r z"= I s,m S20, s d. v. s. L. px, L,px2, L,pz3.... i normaekvationerna sid. I 8 kunna ämpigen beräknas enigt nedanstående schema (tab. 5). n Tab. s- Räkneschema för: Soo, Sor, So2... Rechenschema fur: Soo 1 Sar 1 Sa2. cm kass Anta Anzah p P, Diam. Höjd Durchm. Hö h e x p x px2 px3 px4 )' p y pxy px2y x I P,x, p xz p x3 p x4 I I I I I I Y, P,Y, P,x,Y, P,x~y, py2 P,Y~ p2 x p2x2 p xz p.'1:3 p x )'2 p2y2 p2x2y2 pzx~yz pzy~ p3 x p3x3 p xz p x3 p x4 )'3 p3y3 p/r:3y3 p3x~y p3y~ S:a Soo - Sr o Szo S3o S4o - Sor srr Szr So2 Normaekvationerna få nu formen: S00 a + Sro ~ + Szo r= Sar Sro a+ Szof1 + S3o r= SuJ Szoa + S3ofi + S4or = Szr En av determinantteoriens viktigaste tiämpningar är ösning av system av injära ekvationer. Med tihjäp av determinanter skoa vi sovera ovanstående ekvationssystem och beteckna dess determinant med L. L1 skrives: Soo Sro Szo. L/ = Sro Szo S3o Szo S3o S4o och definieras som summan av föjande sex produkter med sina tecken: L/ '= Soo Szo S4o- Soo S~o + Sro S3o Szo- S~o S4o + Szo Sro S3o- S~o För a, fi, r få vi föjande uttryck: I a= L' Sar s O Szo Su Szo s3o Szr s3o s4o

23 112 MANFRED NÄSLUND ft = Saa Sar s2a I - Sro Su s3o L1 s2o s2r s4o Soo Sro Sar I r=- Sro s2a Su L1 s2o s3a S2r (FISCHER I92 I) För beräkning av a, ft, r införa vi underdeterminanten.d;k och beteckna därmed underdeterminanten ti eementet i den i:te raden och k:te koonnen av L/, tagen med sitt tecken. Rader och koonner ha här numrerats o, I, 2. Vi få då Med tihjäp av tabe 6 kunna vi nu beräkna r1., ft, r Tab. 6. Räkneschema för: a, (3, r Rechenschema fur: a, (3, r I Joo = S2o S4o - S~ 0 Soo Åoo Sot Åoo L1ot = Szo S3o - Sto s{o Sot Lfot 6 Jo2 :::::::; Sto S3o - S~ 0 7 Sot.doz Lfro == Szo S3o - Sro S4o Sro Lto Str Lho Lfzr = Soo S4o - S~ 0 sn Lftt Lzz = Sto Szo - Soo S3o S:n.Lizz Lzo = Sro S3o - s:o Szo L1zo Szt Lfzo Lzt = Sro Szo - Soo S3o Sz:r L1zi Summa L1 Summe L1z Summa L1, Summe Lzz = Soo Szo - S~ 0 Summa Summe Szt Lzz L13 Gången av denna uträkning är föjande. Först uträknas koumnerna I, 4 och 6. Underdeterminanterna Lau L/ 02 och L 12 behöva ej särskit uträknas, emedan de äro ika med LrO>.d 2a och L 2 r Sedan uträknas koumnerna 2, 3, 5 och 7 samt adderas, varefter sutigen koefficienterna a, /3, r beräknas. Som kontro på räkningen kan man bida summorna: OCh vika båda skoa vara ika med L. Sro dar + S2a LJV + S30 L/zr S2o L/02 + S3o L/r2 + S4o L/22>

24 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 113 Formen för y kan skrivas: y = a + fix + rz2 = --. I A Sor Soo Sro Szo Su Sro Szo s3o Szr Szo S3o s4o Vi hava nu bestämt a, j], r i ekv. y= a + j]z + rz2 d. v. s. höjdkurvan för en viss försöksyta. På grund av det ändiga provträdsantaet äro a, f, r endast närmevärden för de exakta parametrarna a, b, c och föjaktigen behäftade med vissa medefe, som. kunna beräknas (JORDAN I920, HELMERT I907). Dessa medefe intressera oss ej direkt utan endast det därigenom förorsakade medefeet i y-bestämningen för viss diameter. Medefeet för y kan ej direkt beräknas av medefeen på a, f, r enigt den vaniga formen: e = 2 e + 2 efi + 2 e 2, medan denna förutsätter att a, f, r Y o. r äro ob~roende av varandra. Ett annat tivägagångssätt måste därför tigripas. (HELMERT I907). F orm e I för y kan skrivas: I y=- Ā o x x2 o x x2 1t L. A Y i Soo'Sro Szo I Soo Sro Szo =-- L.AYi L,piz,-yi Sro Szo S3o A i= r z i Sro Szo S3o "E. Pi x: Y i Szo S3o S4o z: Szo S3o S4o ' o x x2 I n. =-A ~p;k,.y;, där ki = t=i 2. ki = - L, L, zt' z~ A 1,v p..=o :;=:o Soo Sro Szo X i S ro Szo S3o z: Szo S3o S4o För medefeet i y har man då, eftersom koefficienterna k; äro oberoende av variaberna y;: Efter några räkneoperationer och med stöd av kända satser om utvecking av. determinanter få vi sutigen (se resumen!) : 2 2 r, A k: = r, r, zt<.-t f<2 A. Ap., P. 2 = i J.t=o J1,2=o = A [Aoo + (A ro + Aor) x + (Azo + Au + Aoz) xz + + (A2 r + Arz) x3 +A22 z4)]

25 114 MANFRED NÄSLUND och atså: ey =av Laa+ (A ro+ dar)z+(~za+ Lrr; L1az)z 2 +(Lizr + L1rz)z3 + Lz 2%4 (z) I denna forme för medefeet på y ingår emeertid den obekanta stor~ beten a, medeavvikesen. För mede~vvikesen ha vi formen: a= saz- (a Sar + /1 Srr + r Szr)... (3) V n-3 där n är antaet kasser av inaes N träd (MILLS I9Z5), och n- 3 emedan det är tre obekanta i ekvationen. Sutforrnen för det sökta medefeet för y bir såunda: E y= v [so.-(asox +f3sn + rr.x)] [Joo+ (Lho + Lox)x t (L2o +.dn+ Lo2)x2 +(Jox 4- Lxo)x3 +.d22x4) (4) (n-- 3).d Tiämpning. Vi skoa nu bestämma höjdkurvans säker~et för de oika ytorna.i förhåande ti den variationstyp, som de representera, och utgå närmast från det fa, att aa träd äro höj dmätta. Det gäer då först att bestämma höjdkurvans ekvation. Med hjäp av i tabeerna 5 och 6 ämnade räkneschemata ha konstantern a, f, r i ekvationen: y = a + f.x + r.x 2 beräknats för varje yta. Härvid ha träden sammanförts i. I cm kasser och för. gran endast medtagits cmkasserna > 6 cm. Konstanterna äro sammanstäda i ta b. 7. Av tabeen framgår att konstanterna f och r genomgående äro resp. pas. och neg. Däremot är a pas. får ta och neg. för gran. Det senare beroende på den i det föregående (sid. 6) omnämnda vändpunkten. De erhåna ekvationerna få givetvis ej användas utanfår materiaets gränser. I fig. I äro ekvationerna för ytorna sf sov och sf 6o grafiskt återgivna. Formen för medefeet på y (z) innehåer medeavvikesen (a). Denna kan bestämmas enigt forme 3, men här ingår differensen sa 2 _(asar + + f1s II + rs 21), SOm hos. föreiggande materia är mycket iten i förhåande ti de stora taen Saz och (rsar + fsrr + rszr) De siffermässiga avrundningsfeen få ett mycket stort infytande på differensen. Medeavvikesen har därför beräknats enigt. forme~: a = j I: vz, där v är. VN-3. differensen mean den observerade höjden och det beräknade medevär-

26 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 115 Tab. 7. Konstanterna a, f3 och r Samtiga träd höjdrnätta. Die Konstanten a, f3 und r Sämtiche Bäume Höhengemessen. Ytans Fäche N:r Höjdmätt trädsag Höhengemessene Variationsvidd i diameter vid brh Variationsweite in Konstanterna Die Konstanten Baumart Brusthöhendurchm. a f3 cm r 27: I 27: II 27: IV 27: v 27: VII Sf I 7: I ' 31» 32 )) 5o: II» 50: III )) 50: IV» 56: I» 56: II» 6o Ta , ,7681 Ta I , ,5773 Ta ,o5 + 0,7364 Ta ,ga7 + 0,7576 Ta , ,5752 Ta II-32 + I,os6 + I,2822 Gran ,240 +,3920 Gran ,236 + I,x786 Ta I,n7 + o,g83s Ta I-28 + o,g64 + o,gg6x Ta I, ,8534 Gran I,335 + I,2730 Gran I,363 + I,27o6 Gran ,718 + I,3go8 - o,o:r2o4 - o,oos93 - O,OQ907 - o,oog88-0, , o,o:r79o - O,oog35-0, o,o O,OI38S - O,o:rs86-0, ,02041 det för höjden, a + (3x; + rx: samt N antaet träd. För erhåande av differensen har ekvationen: y ' = (J. + f3x + rx2 uppagts grafiskt i stor skaa och var j e träds avvikese avästs. De oika ytornas medeavvikeser återfinnas i tab. 8 uttryckta i såvä m som i,% av resp. ytas medehöjd. I dessa medeavvikeser ingå även de tifäiga teodoitmätningsfeen, varför den bioogiska avvikesen är något ägre. Med medehöjd avses här och i det föjande medediameterns höjd å höjdkurvan. Medeavvikesen hos de undersökta försöksytorna varierar för ta mean o,so-i,rr m och i procent av medehöjden mean 5,9-8,8 %, för gran äro motsvarande siffror 0,99- I, 43 m och 4,s-9,o J~. För jämföreser mean de båda trädsagen under i övrigt ikartade förhåanden är materiaet av för ringa omfattning. Den åga medeavvikesen för ytorna 2 53 och 3491 förkaras av deras egenskap av kuturskog. Någon mera a vs e v ä r d differens torde dock ej föreigga mean ta och gran.

27 116 MANFRED NÄSLUND Tao. 8. Medeavvikesen (o') samt medehöjdens mede Die Dispersion (o') un< der mittere Feher der mittieren - Höjdmätt Bonitet eri. y t a trädsag Åder JoNSON Behandingsform Fäche Hö hengemessen e Ater Bonität nach Behandungsform Baumart JoNSON N:r 27:I Ta so IV Stark åggaring Starke Niederdurchforstuni : 27: II... Ta so IV Extra stark åggaring Extra starke Niederdurchforstung 27: IV... Ta so IV Extra stark krongaring Extra starke Hochdurchforstung 27: v... Ta so IV Svag krongaring Schwache Hochdurchforstung 27: VII... Ta so IV Stark krongaring Starke Hochdurchforstung Sf I7:I... Ta Sr III Extra stark åggaring Extra starke Niederdurchforstung Gran 95 IV Stark krongaring Starke Hochdurchforstung )) Gran ss III Stark krongaring :» so: I... Ta IOO VI Starke Hochdurchforstung Extra stark åggaring Extra starke Niederdurchforstung» so: III... Ta IOO VI Orörd Ungeriihrt So:IV... Ta IOO VI Extra stark krongaring Extra starke Hochdurchforst:'ung» 56: I Gran S0-135 IV Stamvis bädning Pienter " 56: n Gran so-ss IV Stamvis bädning P enter 6o Gran 99 v Stark krongaring Starke Hochdurchforstung 253 Gran 95 II Stark åggaring Starke Niederdurchforstung 349:I... Gran 57 II~(III) Stark åggaring Starke Niederdurchforstung Enigt det föregående är spridningen kring höjdkurvan med undantag för granens ägsta diameterkasser oberoende av diametern. Härav. föjer, att den absouta medeavvikesen är oberoende av behandingsformen. Däremot är den procentuea medeavvikesen beroende av behandingsformen, på grund av dennas inverkan på medehöjden. Krongaring måste därför under ikartade förhåanden ge större procentue medeavvikese än åggaring, viket även framgår av tab. 8. Uttryckes medeavvikesen i procent av exempevis första kronskiktets medehöjd (en. SCHOTTES skiktindening), bör den för behandingsformerna krongaring och åggaring biva mera konstant!.

28 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 117 fe (sy)-. Samtiga träd å försöksytorna höjdmätta. Höhe (sy) Sämtiche Bäume in den Versuchsfächen gemessen. Medeavvikese Medehöjdens medefe (sy) Anta träd Medehöjd Dispersion Der mittere Feher der mitt~ Anzah Bäume Mittere Höhe IT±s ( IT) erer Höhe (ö y) m m % m % ,3 ± 0,84 ± o,o44 ± 6,3 ± 0,33 ± 0,0]9 ± o,s ,5 ± o,s. ± o,oss ± 6,r ± ~!4' ± 0,094 ± 0 1]o, r', s ± o,so ± 0 1o46 ± 6,8 ± 0,39 ± o,o82 ± o, ,3 ± o,g2 ± o,o43 ± 8,r ± o,38 ± O,o78 ± o, ,3 ± o,s4 ± o,o47 ± 6;8 ± 0,38 ± o,ogo ± o, ,8 ± I,u: ± 0,o7r ± 5.9 ± 0,38 ± ± o,6s 16o 17 4 ± 1,os ± 0 1o72 ± 7,~4 ± o,4r ± o,r~r.± o,sr 177 I,r ± o,99 ± o,os3 ± 8,g ± o,4s ± o,og6 ± 0, ' I 16 ± o,s9 ± o,o45 ± 7.7 ± 0,39 ± o,o77 ± 0, I,g ± I,os ± o,o47 ± 8,8 ± 0,39 ± o,oss ± 0 17r ,8 ± o,g4 ± o,o44 ± 8,7 ± o,4r ± o,o78 ± 0, I 7,g ± >43 ± 0,047 ± 8,o ± ± o,ogo ± o,so ,8 ± I 142 ± O,cs8 ± g,o ± ± o,r63 ± o,6s ,3 ±.33 ± o,o6o ± 8,7 ± o,39 ± o,n6 ± 0, ,8 ± I,r8 ± 0,127 ± 4,8 ± o.sr ± 0, 33 ± o,g4 6g r8,o ± o,gs ± o,c83 ± 5,3 ± o,46 ± o,'49 ± 0,83 Sambandet mean den procentuea medeavvikesen och medehöjden vid viss behandingsform har närmare undersökts. Medeavvikesen från den grafiska höjdkurvan har uträknats för 10 andra, starkt åggarade försöksytor av ta och jämte materiaets taytor med samma behanding uppagts grafiskt (fig. 6). Provträdsantaet för de förra ytorna är rätt stort 50-75, varför de oika utjä~ningsmetoderna ej böra inverka nämnvärt på jämföresen (jfr sid. 10). Siffrorna vid ordinatorna ange ådern. Av fig. 6 framgår, attden procentuea medeavvikes.en sjunker med stigande medehöj d ti omkring I 5 m för att sedan bi

29 118 MANFRED NÄSLUND konstant (5-6 %). En tendens ti avtagande medeavvike1se med sjunkande bonitet kan även spåras. Formen för medefeet på höj den (e y) för diametern x kan skrivas : ey = a R.x, där R =, /doa+ (dra+ Aar)z+ (Azo +Arr+ Loz)X 2 + (Lzr + Lrz)x3 +L122X4 x v L eer R 2 = Loo + Lira +.dar + Lfzo + Lrr + Lfoz 2 Azr + Arz. + Azz 4 L1. L x L. x + L1 xo L1 x. 1'1edeLawike!se Dispersion. % 10 9 ~'" 44'\ 8 ~ 7 "" ~ -- (Jfr forme 2.) '" 5 -u o ~ -~- O: t t1edefhåjd m. /1iU/ere Höhe Fig. 6. Sambandet mean medehöjd och medeavvikese. Medeavvikesen är uttryckt i procent av medehöjden. Siffrorna vid de observerade värdena ange försöksytornas ådrar. Die Beziehung zwischen mitterer Höhe und Dispersion. Die Dispersion ist in Prozent von der mittieren Höhe ausgedriickt. Die Ziffern bei den beobachteten Werten bezeichnen die Ater der Versuchsfächen. Determinanten A samt underdeterminanterna.d 00, Ara... o. s. v. bidas av taen h och X; (tabeerna 5 och 6). Koefficienten R.x bir tydigen för en viss diameter (x) endast beroende på provträdens anta (P;) och fördening på diameterkasser samt den vada kassindeningen (x;). För ett givet provstamsuttag (h och x,.) på en viss yta (a) bi därför Aoo Lira +.dar k r R k h d 1 ta en ----;:[' A.... r uttryc et 1Ör 2 vrssa onstanter oc me e - feet (zy) såedes endast en funktion av diametern (x). Ändras provstammarnas anta eer fördening eer påda dearna, ändras också konstanterna i uttrycket och därmed också medefeet (zy)- Detta demonstreras av fig. 7- På samma yta (sf sov) ha 6o provträd

30 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANs NOGGRANNHET 119 uttagits på tre oika sätt: r) 60 st. efter viss kvot (vart 4:de träd), z) so st. efter viss kvot (vart s:te träd) och därti de ro grövsta, 3) 6o st. efter tre oika kvoter, så att r 5 träd representera 25 % av kubikmassan från ägsta dimension, 30 träd för intervaet % och r 5 träd för intervaet 75-roo ;>{. Ett detajstudium av fig. 7 visar att R synner: igen noggrannt föjer förändringarna i provstammarnas fördening: ökas deras anta för visst diameterinterva minskas R o. s. v. (Jfr även fig. ro.) Enigt forme 2 har medefeet (e y) på medediameterns höj d bestämts för de oika ytorna och uttryckts i såvä m som i % av medehöjden (tab. 8). I denna bestämning ingå samtiga träd å ytorna (und. ytorna Än.>a.L ~-~ ~ R O,so 0,400 E =6 R 'j '"' 0,300 0,200 Fig. 7 Rx vid oika fördening av provträden (Sf sov). R x bei verschiedener Verteiung der Probestämme o repr. provträd (vart n:te träd). fia repr. Probestämme (jeder n:te Baum) so repr. provträd och därti de 10 grövsta träden. so repr. Probestämme und dazu die ro stärksten Bäume o provträd fördeade efter 3 kvoter och i förhåande ti försöksytans kubikmassa. 6o Probestämrue nach 3 Quoten und im Verhätn'is zu der :Masse der Versuchsfäche verteit, 253 och 3491), och hänför sig medefeet ti den variationstyp ytan representerar. Betydesen härav diskuteras i det föjande (sid. 5 r och 58). De oika ytornas medefe äro ej jämförbara med varandra utan endast konkreta exempe, som igga ti grund för den efterföjande deduktionen. Medefeet varierar mean o,o 77-o,14 r m eer i procent av medehöjden o,so-0,86 %. (und. ytorna 253 och 3491). På samma sätt kan medefeet på höjden beräknas för viken diameter som hest, men är det dessförinnan ämpigt behanda stamfördeningen.

31 120 MANFRED NÄSLUND KAP. IV. stamantaet och kubikmassans fördening i homogena, ikådriga bestånd. Höjdkurvaus säkerhet är enigt det föregående (sid. 26) även beroende av provträdens fördening. Vid provträdstagning efter en viss konstant kvot bir denna, såvida antaet ej är atför ringa, approximativt ika med stamfårdeningen i beståndet. För behandingen av frågan om provträdens effektiva uttagande är det därjämte nödvändigt känna kubikmassans fördening. Efterföjande framstäning av stamantaet och kubikmassans fördening. får endast betraktas som en teoretisk orientering och för praktisk användning tirättaäggning av probemet. Fördeningen är beroende av trädsag, åder, bonitet och behandingsform. Åderns och bonitetens inverkan på stamfördeningen ha tidigare mera ingående studerats av CAJANUS (1914) i Schweiziska försöksanstatens svagt garade granytor och av LöNNROTH (1926) i orörda tabestånd. Beträffande boniteten äro resutaten samstämmande och visa att asymmetrien, som är negativ, titager med sjunkande bonitet samt att excessen i yngre ådrar titager i positiv riktning med sjunkande bonitet men i motsatt ed för ädre bestånd, viket närmare preciserats av LöNN ROTH.. HAGELBERGs bearbetning av försöksanstatens svagt åggarade taytor med. hänsyn ti kubikmassans fördening visar ett bonitetsinfytande i samma riktning (1918). Av ådern fann CAJANUs såvä asymmetri som excess ej i märkbar grad beroende. För LöNNROTHs orörda tabestånd däremot kuminerar asymmetrien vid år för att sedan avtaga, och detsamma är även, ehuru mindre framträdande, faet med excessen i yngre bestånd, men för ädre bir den konstant. Skinaden mean CAJANUs och LöNNROTHs resutat torde i någon mån bero på de orörda beståndens sjävgaring. Men även för HAGELBERGs svagt åggarade taytor spåras ett svagt ådersinfytande varför, åtminstone för svagare huggningsformer, fördeningen i någon grad synes även bero av ådern. A v behandingsform och trädsag kunna stamantaets och kubikfnassans fördening a priori förutsättas beroende. Jag har närmare undersökt denna fördening' å 36 av fårsöksanstatens försöksytor ika fördeade på ta och gran samt för ta på jushuggning och stark krongaring, för gran på stark åggaring och stark krongaring. För vardera av de fyra kombinationerna ha 9 ytor behandats och ungefår ika fördeade på bonitetskasserna I-II, III-IV, V-VI samt åderskasserna 50-70, och 91-1 ro år. Dessutom ha för järn-

32 ANTALET PROVTRÄD OCH HÖJDKURVANS NOGGRANNHET 121 föreses sku medtagits två stamvis bädade granytor av bon. III och. ådern r-190 år. Bearbetningen har skett enigt av HAGELBERG använd metod, varvid procent stamanta eer kubikmassa grafiskt utjämnats i form av en summationskurva m<:!d reativdii!metern, uttryckt i mede- Ta II D,-, c e {; v ta rna fr>. cc fet '"' er ro z ene der 1'-'t" m z a 1-ri u s/ u g ru g v_ -- - ch. t n / /.'i'. t.//,. y '}""'.):>.rk H. ch.c u. re {or tur V/ 9_ /. //..-,j V J, 1/~. f c Fig ~ ;4 _... / / / n ~ 5 6 (7 8 9 o ;) 6' 2 Pre c,.!;r t v u6 crr: a.s arz. ro en. de ass - -:... / on. / O o... O o rr O o t,, ~ / / / / 1/ / KJe.d. iarf urc mes er Stamantaets och kubikmassans fördening kring medediametern (re!. diam: I,o). Ta. Die Verteiung der Stammzah und der Masse um den mittieren Durchmesser (re. Durchm. I,o)... diametern (medegrundytims diameter) som enhet, ti abscissa (fig. 8 och 9). Den procent av exv. :Stamantaet, som igger under viss re. diameter kan såedes aväsas. Spridningen kring. de utjämnade kurvorna är rätt stor och har variationsvidden för r 5 och 85 % markerats med ett tvärstreck. Någon bestämd tendens med avseende på åderns inverkan har