Slump och sannolikhet

Transkript

1 Modul: Sannolikhet och Statistik Del 3: Att utmana elevers resonemang om slump Slump och sannolikhet Andreas Eckert, Linnéuniversitetet Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet I denna text kommer du att läsa mer om en av grundpelarna till sannolikhetsläran som har visats innebära en del problem för elevers förståelse, nämligen slump. Sannolikhetsläran är en gren av matematiken som grundar sina resultat i ett visst mått av osäkerhet, vilket kan härledas till begreppet slump. Men innan vi diskuterar slump som ett matematiskt fenomen så ska vi titta på den vardagliga användningen av begreppet. Ordet slump används i vardagligt tal på många olika sätt, du har kanske hört eller själv använt uttryck som det var ren slump, det var slumpen som gjorde det och vilken slump. Knutet till slump finns även uttryck som chans, risk, troligt, möjligt, sannolikt och osannolikt som du kan fundera på vad de betyder för dig. Enligt Svenska akademins ordbok kan slump ha olika betydelser i det svenska språket. De som är relevanta för matematikundervisning kan sammanfattas i två huvudspår. Den ena betydelsen innebär att slump är en oförutsedd omständighet som inte kan förklaras genom ett orsakssamband och som dessutom ofta är osannolik, t.ex. att det var en slump att just dina föräldrar träffades och inledde ett förhållande. Den andra betydelsen innebär att slump är en styrande makt som styr vissa skeenden, t.ex. det var slumpen som gjorde att det blev klave vid myntsinglingen. Båda fallen innefattar någon typ av process som inte är förutsägbar av betraktaren på förhand, och det är nyckeln i sammanhanget. I ett historiskt perspektiv har man ofta gått från en tro på högre makter eller ödet, till att tro att vad som händer oss är helt slumpartat. Exempelvis vilka som drabbas av sjukdomar eller hur vädret blir. Sanningen är ofta att det finns begripliga och förutsägbara mekanismer som påverkar vad som sker, även om de vid just sjukdomar och väder tycks obegripliga. Mycket forskning går idag ut på att försöka hitta orsaker till att saker händer i syfte att kunna förutse och därmed kunna kontrollera våra liv och vår tillvaro. Många saker i våra liv betraktas dock som slumpmässiga i brist på kunskap om vad som påverkar dem. Brist på kunskap handlar många gånger om att de faktorer som påverkar en händelse eller ett skeende ofta är för många och för komplexa, eller helt enkelt okända, för att händelsen eller skeendet med säkerhet ska kunna förutsägas. Om vi använder kast med en symmetrisk sexsidig tärning som exempel säger vi att resultatet, eller utfallet, av ett sådant kast är slumpmässigt. Detta för att det är många faktorer, kända och okända, såsom kraft och vinkel på kastet, som påverkar ett tärningskast. Underlag, tärningens viktfördelning, luftströmmar, handsvett o.s.v. kan också tänkas påverka vad tärningen kommer att visa för utfall. För att kunna uttala sig alls om resultatet av ett tärningskast säger vi att händelsen inträffar slumpmässigt, eller är betingad med slump, och tilldelar istället de olika utfallen 1, 2, 3, 4, 5 och 6 ett sannolikhetsmått. 1 (8)

2 Inom matematiken benämns slump inte som en påverkande kraft eller faktor utan som en variabel. En slumpvariabel kan anta olika värden, eller annorlunda uttryckt, ett slumpförsök kan resultera i olika utfall. Utfallsrummet i ett slumpmässigt försök utgörs av alla de utfall som är möjliga. Om vi återigen använder den sexsidiga tärningen som ett konkret exempel vet vi att när vi kastar tärning så kommer någon av sidorna 1 till 6 att hamna uppåt, något annat är inte möjligt. Med ett matematiskt språk om slumpbegreppet säger vi att slumpvariabeln antar ett värde i utfallsrummet {1, 2, 3, 4, 5, 6} när vi kastar tärningen. Slumpvariabeln kan alltså anta vilket värde som helst inom utfallsrummet men det som är speciellt för slumpvariabeln, jämfört med andra variabler, är att det inte går att förutsäga/bestämma vilket. Denna egenskap kan tyckas nyckfull och svår att passa in i matematikens annars välordnade värld. Men det slumpvariabeln saknar i förutsägbarhet i enstaka fall tar den igen i förutsägbarhet i många återupprepade försök. Slump är alltså, matematiskt, något som är oförutsägbart om vi bara gör få observationer (små stickprov) men förutsägbart om vi gör många observationer (stora stickprov). Om vi t.ex. kastar ett perfekt symmetriskt mynt kan vi inte förutsäga om det kommer bli korna eller klave. Men om vi däremot kastar samma mynt gånger kan vi förutsäga att de relativa frekvenserna (andelarna) för utfallen krona respektive klave kommer att vara nära 50% för respektive utfall. Eftersom slump är ett vedertaget vardagsbegrepp som få reagerar på är det lätt att ta förståelsen för slumpbegreppet för given. Forskning, som ges exempel på längre fram i texten, har dock visat att svårigheterna att förstå slumpbegreppet och sannolikhetsläran är många både bland barn och vuxna. Det har även visat sig att personer som visat formell förståelse för slump och sannolikhet ofta faller tillbaka till att intuitivt resonera på tvären med vad som vore formellt riktigt. Vi går än en gång tillbaka till fallet med den sexsidiga tärningen. Tärningen är perfekt balanserad. Du kastar flera kast och märker att du inte får någon sexa. Här är det lätt att tänka att sannolikheten att få en sexa i efterföljande kast ökar för varje gång man inte får en sexa. Flera av er skulle säkert kunna uttrycka något i stil med att nu måste det bli en sexa! om det inte blivit en sexa på ett bra tag. Men tärningen har förstås inget minne! Inför varje nytt kast är sannolikheten för de olika utfallen 1/6 oberoende av vad som hänt tidigare. Det är en sak att tänka det i ett fiktivt exempel men en annan sak att intuitivt känna det i en faktisk situation. I resten av texten kommer vi att diskutera olika vanliga uppfattningar om slump och sannolikhet som inte stämmer överens med den matematiska definitionen, vad forskningen på området har visat och hur man kan arbeta med detta i klassrummet. Slump och sannolikhet i forskningen Människors tro på möjligheten att kunna påverka slump samt intuitiva resonemang kring slump och sannolikhet återkommer i forskningen. De resonemang som tas upp nedan är starkt kontextberoende och kan i många fall uttryckas på olika sätt beroende på hur frågan eller problemet är formulerat. I anslutning till de svårigheter som vi ska diskutera presenteras först ett problem. Stanna upp i läsningen inför varje problem och fundera själv på hur du tänker innan du läser vidare. Problemen är formulerade så att det går att svara i termer 2 (8)

3 av lika sannolikt, mer sannolikt, sant och omöjligt för att även fungera med yngre barn som ännu inte börjat sätta siffror på sannolikhetsmått. Problem 1: Vad blir nästa utfall? En elev har singlat slant fem gånger och fått resultatet Krona Klave Klave Klave Klave Vad är det troligaste resultatet på ett sjätte kast? Som var fallet med tärningen ovan så har inte myntet något minne. Ett matematiskt korrekt svar här vore därför att det är lika troligt (sannolikt) att det blir krona som klave vid ett sjätte kast. Ändå har Kahneman och Tversky visat att många svarar att krona vore troligast för att det skulle jämna ut serien. Antingen genom ett sorts rättvisetänk att det nu är kronas tur, eller med en matematisk motivering att eftersom sannolikheten ska vara lika stor för krona och klave borde man få ungefär lika många av varje. Om man följer den andra av de båda förklaringarna menar Kahneman och Tversky att man tillämpar en strategi som de kommit att kalla för representativitet. Tillämpar man representativitet så menar man att det är större sannolikhet för krona då detta skulle medföra att proportionerna mellan krona och klave bättre skulle stämma överens med, dvs. representera, den teoretiska sannolikheten för krona och klave än om det blev klave än gång till. Det är också fullt möjligt att någon svarar att klave vore troligast för att den här eleven verkar vara duktigare på att få just klave eller har turen med sig just nu, att eleven i problemformuleringen på något sätt kan påverka slumpen. Kanske har du stött på känslan av att någon person får fler sexor när ni spelar sällskapsspel och att det på något sätt är knutet till den personen? Eller har du kanske ett turnummer eller turfärg som kan vara till din fördel i spelsituationer som innefattar slump? För att få till en diskussion om olika resonemang i klassrummet kan man förslagsvis låta eleverna själva uppleva slump genom praktiska försök. Låt eleverna kasta tärning tio gånger och bokföra sina resultat. När samtliga elevers/gruppers resultat sedan lyfts till en helklassdiskussion får eleverna en upplevelse av variationen i slumpförsök. I samtalet kring resultaten är det då viktigt att eleverna får ge uttryck för sina uppfattningar och formulera egna motiveringar, och att dessa motiveringar kan utmanas för att så småningom utvecklas till matematiskt hållbara resonemang. Ett sätt att utmana elever och skapa diskussion är att kontrastera olika resonemang och positionera dem mot varandra.det kan göras genom att välja ut och sätta fokus på två olika lösningar och slutsatser. Ta till exempel ett scenario där Kim påstår att det kommer att bli krona i det kommande kastet för att jämna ut eller göra det mer rättvist. Under arbetet kanske du som lärare har uppmärksammat Eva, som anser att tidigare kast inte påverkar resultatet på efterföljande kast. Skillnaderna mellan dessa båda resonemang kan nu lyftas fram och förstärkas till exempel så här: Eva påstod att det är lika stor sannolikhet för klave som för krona eftersom myntet inte har något minne. Hon anser att det som hänt innan kan inte påverka nästa kast. Men, några av er har skrivit att ni tror det blir krona nästa gång. Därefter finns utrymme att ställa klargörande frågor för att få eleverna att motivera sina resonemang i kontrast till andras synsätt. Att uppmana eleverna att motivera sina idéer 3 (8)

4 kan hjälpa dem att komma överens om ett resonemang som är matematiskt hållbart; i det här fallet Evas resonemang. Problem 2: Vilket utfall är mest sannolikt? Två tärningar kastas samtidigt två gånger med följande resultat. Kast 1: en femma och en sexa Kast 2: två sexor Vilket av dessa resultat är mest sannolikt, eller är de lika sannolika? Många elever menar att de två resultaten är lika sannolika. Lecoutre visade att en vanlig uppfattning är att alla slumpmässiga händelser betraktas som lika sannolika. Denna uppfattning kan bero på svårigheter att bestämma utfallsrummet. I ovanstående fråga har händelsen en femma och en sexa två möjliga utfall (5,6) och (6,5) medan händelsen två sexor bara har ett utfall (6,6), vilket gör att händelsen en femma och en sexa är dubbelt så sannolikt som händelsen två sexor. Uppfattningen kan också bottna i en stark tro på rättvisa i slumpsituationer. Många tror att alla utfall är lika sannolika i ett slumpförsök, och i vissa böcker definieras slumpen på det sättet. I det här fallet är alla tre utfallen lika sannolika, men de två olika händelserna har olika sannolikhet. I andra situationer, till exempel när asymmetriska/oregelbundna objekt kastas upp, är sannolikheten för de olika utfallen inte lika stor. Astragalarena som nämndes i texten i del 1 är exempel på asymmetriska objekt som har använts i spel. Betrakta leksakshuset på bilden. Huset har två långsidor, två gavlar, en botten och två taksidor. Det finns sju möjliga utfall (sidor) att landa på om det kastas! som en tärning. De sju utfallen är antagligen inte lika sannolika då huset är oregelbundet i formen. Ytorna är olika stora och tyngdpunkten ligger inte i mitten. Att använda ett sådant föremål istället för vanliga tärningar kan vara ett sätt att utmana elevernas uppfattningar om slump. Lecoutre har visat att det finns en del elever som även i fallet med leksakshuset skulle anse att alla utfall (sidor) är lika troliga enligt principen, allt är bara fråga om chans!. Man kan använda ett monopolhus, eller låta eleverna såga till en skev tärning eller oregelbunden träbit där sidorna numreras. Jobba då mycket med frågor innan försöken utförs, be till exempel eleverna att diskutera sinsemellan, innan de kastar de oregelbundet formade tärningarna, vad de tror om resultatet. 4 (8)

5 Problem 3: Gäller de stora talens lag även de små talen? När alla sexbarnsfamiljer i en stad tillfrågades om den exakta ordningen deras barn fötts i, med avseende på kön, svarade 72 familjer att de fötts i denna ordning: Flicka Pojke Flicka Pojke Pojke Flicka Hur många familjer borde, enligt din uppskattning, svarat att deras barn har fötts i följande ordning? Pojke Flicka Pojke Pojke Pojke Pojke Under förutsättning att den underliggande sannolikheten att få en pojke eller flicka är lika stor (i verkligheten är det inte helt sant, det föds något fler pojkar än flickor totalt sett och vissa par har genetiskt sett en större sannolikhet att få flera barn av samma kön) så är de två serierna precis lika sannolika. Ändå fann Kahneman och Tversky att många intuitivt ansåg den senare serien vara mindre sannolik än den förra. Förhållandet mellan antalet pojkar och flickor i den senare serien stämmer inte överens med den lika fördelningen av pojkar och flickor i samhället (populationen). Detta är ett nytt exempel på ett representativitettänkande: De två serierna bedöms utifrån hur väl de representerar fördelningen i populationen. Den innebär också att många tror att fördelningen i små stickprov kommer att efterlikna fördelningen i stora stickprov till exempel anser många att resultat av tio myntkast bör bli fördelat ungefär hälften krona och hälften klave för att resultatet av tio tusen kast skulle ha ungefär den fördelningen. Efter att ha diskuterat denna eller en liknande frågeställning skulle du som lärare kunna utmana elevernas resonemang ytterligare genom att följa upp med en spelsituation. Du kan låta eleverna skapa ett eget slumpmässigt stickprov med hjälp av till exempel ett mynt som kastas tio gånger och samtidigt be dem hitta på ett stickprov som de själva anser är slumpmässig och sedan låta kamraterna gissa vilket som är vilket. På så sätt ges möjligheten att fortsätta diskussionen om hur eleverna bedömer slumpmässighet. Diskussionerna kan självklart gå i olika riktningar men exempel på intressanta frågeställningar mot slutet vore om det går att skapa slumpmässiga serier genom att hitta på, eller kan man säga något om hur ett litet stickprov borde se ut om det är slumpmässigt? Ur ett vardagsperspektiv kan en övertro på hur små stickprov avspeglar förhållandena i populationen lätt påverka val vi gör genom att vi drar felaktiga slutsatser om en population utifrån ett litet stickprov. Säg att vi tänker köpa en ny bil och därför frågar tre bekanta om en modell som de tidigare ägt. Om då två av de tre haft problem med oljeläckage är det lätt att dra slutsatsen att detta är ett vanligt problem för den aktuella bilmodellen. Men i ett litet stickprov spelar slumpen stor roll och problem med oljeläckage kan i själva verket vara ytterst ovanligt för bilmodellen. 5 (8)

6 Problem 4: Är slumpen regelbunden? Alla sexbarnsfamiljer i en stad tillfrågades om den exakta ordningen deras barn fötts i. Vilken ordning är mest sannolik? eller Flicka Pojke Pojke Flicka Pojke Flicka Pojke Pojke Pojke Flicka Flicka Flicka Även här är de två serierna lika sannolika men Kahneman, Slovic och Tversky visade att många ändå resonerar intuitivt att serie två är avsevärt mindre sannolik än serie ett. Detta har att göra med hur slumpmässighet uppfattas. Trots att båda serierna efterliknar fördelningen i populationen (lika många flickor och pojkar) uppfattas inte serie två som slumpmässigt ordnad. Slumphändelser är processer som är oförutsägbara så när de genererar till synes ordnade sekvenser upplevs dessa som osannolika trots att de är precis lika sannolika som någon annan sekvens som kan uppstå. Till exempel upplevs lottoraden 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (till skillnad från exempelvis 2, 7, 11, 12, 23, 25, 33) som väldigt osannolik eftersom det ses som ett ordnat resultat av en serie av slumphändelser. Här är ett exempel från verkligheten. Signe hade sett en vacker kakelsättning i ett kök. Den bestod av kakelplattor i sex olika färger, spridda över väggen helt slumpmässigt. Hon ville göra något liknande hemma i sitt kök och köpte kakelplattor i sex olika färger. Hon köpte 10 av varje färg för att täcka en yta som skulle vara 6x10 plattor stor. Hur ska jag få det slumpmässigt? funderade hon. Eftersom tärningar är liksidigt symmetriska beslöt hon sig för att låta tärningen bestämma ordningen på plattorna. Varje färg tilldelades ett nummer. Sedan slog hon tärningen och fyllde i ett rutat papper vilken färg slumpen gav för varje ruta. Det konstiga var att hon inte fick till ett vackert mönster. Det blev inte alls vad hon skulle beskriva som slumpmässigt. Istället blev det ofta samma färg flera gånger i rad och vissa färger dök nästan aldrig upp. Ibland blev det upprepningar som såg symmetriska ut såsom gul-blå-gul-blå-gul-blå. När hon fyllt de 60 rutorna visade det sig att kaklet hon köpte inte skulle räcka, vissa färger fanns det för få av och andra för många av. Något måste ha blivit fel tänkte Signe och gjorde ett nytt försök. Efter tre försök var hon lika missnöjd. Inget blev speciellt vackert och inget gick jämnt upp med de 60 plattor hon köpt. Med en suck gav Signe upp och kaklade istället sin vägg randig. I själva verket var den vägg Signe hade inspirerats av, och som givit henne ett slumpmässigt intryck, en noga planerad och medvetet komponerad vägg. Varje platta hade blivit utplacerad över ytan så att inga två plattor bredvid varandra hade samma färg och så att varje färg var jämnt utspridd över hela väggen. Att få ett jämnt och harmoniskt utseende på väggen genom slumpens inverkan vore extremt osannolikt. Slumpen är till sin karaktär inte rättvis eller regelbunden. Den är oförutsägbar. Exemplet med Signe skulle kunna vara en intressant uppgift för eleverna att genomföra och diskutera. Upplever de slumpmässighet på samma sätt när det handlar om geometriska 6 (8)

7 mönster? Med hjälp av ett rutat papper och färgpennor kan de göra egna slumpmässiga mönster som sedan jämförs med mönster som skapats med hjälp av till exempel tärningar. Påverkar kontexten deras uppfattning nu när det handlar om geometriska mönster? Problem 5: Vilka finns det flest av? Vilka finns det flest av i det svenska språket? Ord som börjar på bokstaven R eller Ord som har R som tredje bokstav Utfall som vi enkelt kan visualisera eller tänka på uppfattas ofta som mer sannolika än andra utfall. För många av oss är det mycket enklare att komma på ord som börjar på R än ord som har R i tredje positionen. Kahneman och Tversky menade att tillgängligheten leder till att ord som börjar på R bedöms vara fler, trots att det är tvärt om. Att göra riskbedömningar utifrån hur enkelt det är att dra sig till minnes en händelse kan få oönskade och ibland kostsamma följder. Låt oss ta ett exempel. Du ska precis betala din nya mobiltelefon med en lång kö av personer bakom dig och du får frågan om du vill köpa en tilläggsförsäkring. Du måste snabbt bestämma dig och de första minnena som dyker upp är av bekanta som förstört sina mobiltelefoner på ett eller annat sätt. Även om du själv är en försiktig person kan dessa minnesbilder få dig att bedöma risken som stor att du kommer att behöva försäkringen. För att lyfta denna typ av svårighet med eleverna och hjälpa dem med strategier för att arbeta mer systematiskt med liknande uppgifter kan det vara bra att låta dem bedöma sannolikheten för olika utfall i enkla additioner och subtraktioner. För en elev i skolans tidiga år är det inte alls självklart att det är större sannolikhet att få summan sju än summan tolv när man kastar två sex-sidiga tärningar. Ur ett teoretiskt perspektiv är det 6/36=1/6 chans att få summan 7 men bara 1/36 chans att få summan 12. Detta beror på att händelsen summa sju erhålls av sex olika utfall: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (4,3) och (3,4), medan händelsen summa tolv endast kan erhållas på ett sätt: (6,6). Totalt går det att kombinera alla 11 summorna på 36 olika sätt. För yngre elever kan det vara svårt att urskilja olika kombinationer av summorna och göra den informationen tillgänglig som underlag för sin bedömning av sannolikheterna. Ett tärningsspel kan användas för att göra tillgängligt och skapa reflektion kring det underliggande utfallsrummet och hur det inverkar på olika händelsers sannolikheter. Använd en spelplan som den i figuren nedan och två sexsidiga tärningar, gärna av olika färg för att göra utfallen tydligare. Det är en fördel om eleverna spelar i lag, gärna parvis så att de ges möjlighet att diskutera strategier, och att flera omgångar spelas i följd så att eleverna utmanas att utveckla sina strategier. Ge varje lag ett bestämt antal spelmarker som de ska placera på rutorna. Markerna får placeras på vilka rutor som helst, även flera på samma ruta. Sedan slås två tärningar, gärna med olika färg. De lag som placerat någon spelmark på den summan som kommer upp får plocka hem den. Om exempelvis två och fem kommer upp får de lag som har lagt en spelmark på sju ta hem en mark. Har laget lagt flera marker på samma tal tas ändå bara en hem varje gång. Vinner gör det lag som först får hem alla sina 7 (8)

8 marker. Summan sju har högst sannolikhet som nämnts tidigare, men det kan i ett första skede vara svårt att se framför sig. Spelet bör spelas flera gånger i följd för att eleverna dels ska ges möjligheten att revidera sina strategier och dels få uppleva att slumpen inverkar, så att även om sannolikheten är liten för exempelvis summan tolv så är den inte omöjlig I en annan variant beräknas istället differensen mellan de två tärningarna. Det är då inte enkelt att se framför sig att ett är den vanligaste differensen följt av två och att noll är lika sannolikt som tre om man använder sexsidiga tärningar, medan alla tal över fem är omöjliga utfall. Spelet kan byggas ut och göras svårare till exempel genom att tiosidiga eller tolvsidiga tärningar används, att tre tärningar slås eller att produkten istället för summan beräknas. Sammanfattning Slumpbegreppet har både vardagliga och matematiska betydelser som kan skapa förutsättningar för goda diskussioner i klassrummet men som också kan skapa svårigheter för elever att ta till sig begrepp och strategier inom sannolikhetsläran. I texten har ett antal svårigheter pekats ut med förslag på hur de kan bearbetas i klassrummet. Gemensamt för alla förslag som givits i texten är ett undersökande arbetssätt. Eleverna ges möjlighet att uppleva slump och utrymme skapas för diskussion där du som lärare får syn på olika tankesätt hos eleverna samtidigt som deras egna resonemang utmanas. Att blanda teori och praktik är ett kraftfullt verktyg i sannolikhetsläran vars logik skiljer sig något från matematik i övrigt. För att göra materialet i texten så konkret som möjligt har kast med tärning använts flera gånger för att exemplifiera slumpbegreppet. Ett häftstift eller ett monopolhus kan också kastas och visar i kontrast till tärningen ett orättvist utfallsrum. Även lyckohjul eller skeva tärningar kan bidra med kontraster till den vanliga sexsidiga tärningen i klassrumsförsök som utmanar elevernas egna resonemang om slump och sannolikhet. Läraren kan utmana elevers uppfattningar genom att välja eller själv utforma uppgifter som fokuserar på olika aspekter av slump. En intuitiv uppfattning av slump kan utmanas genom att läraren iscensätter försök där elevens uppfattning inte stämmer med de nya erfarenheterna. Kontexten i uppgiften kan också påverka vilka uppfattningar om slump som träder fram, till exempel kanske eleven resonerar på ett sätt om chansen att få en sexa i ett sällskapspel med kompisarna och ett annat sätt i en matematikuppgift i klassrummet. Litteratur Kahneman, D. & Tversky, A. (1972). Subjective probability: a judgment of representativeness. Cognitive Psychology, 3 (3), Kahneman, D. & Tversky, A. (1973). Availability: a heuristic for judging frequency and probability. Cognitive Psychology, 5, Kahnemann, D., Slovic, P. & Tversky, A. (1982). Judgement under uncertainty: heuristics and biases. Cambridge: Cambridge University Press. Lecoutre, M.-P. (1992). Cognitive models and problem spaces in "purely random" situations. Educational Studies in Mathematics, 23 (6), (8)