ANNALES ACADEMIÆ REGIÆ SCIENTIARUM UPSALIENSIS KUNGL. VETENSKAPSSAMHÄLLETS I UPPSALA ÅRSBOK. KVS inlaga 38.indd

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "ANNALES ACADEMIÆ REGIÆ SCIENTIARUM UPSALIENSIS KUNGL. VETENSKAPSSAMHÄLLETS I UPPSALA ÅRSBOK. KVS inlaga 38.indd 1 2011-05-13 09.25"

Transkript

1 ANNALES ACADEMIÆ REGIÆ SCIENTIARUM UPSALIENSIS KUNGL. VETENSKAPSSAMHÄLLETS I UPPSALA ÅRSBOK KVS inlaga 38.indd

2 Kungl. Vetenskapssamhället i Uppsala The Royal Academy of Arts and Sciences of Uppsala Uppsala Sweden 2011 Resp. författare ISBN Printed in Sweden by Litografia Alfaprint, Sundbyberg 2011 KVS inlaga 38.indd

3 INNEHÅLL Gustavsson, Sverker: Högtidsanförande den 8 oktober Johansson, Bo-Göran: Kulturmöten i matematiken... Nilsson, Per-Olof: Lärandets kreativa kaos: Enkla experiment för förståelse av naturens lagar... Falk, Lars: Rivaler på avstånd Lev Landau och Richard Feynman... Hasselberg, Ylva: Universitetet och den akademiska professionen... Henningsson, Jan: Religion och politik konfessionalisering och sekularisering... Magnusson, Ulf: Kemikalier och fortplantning vetenskap möter politik... Nilsén, Anna: Livshjul och lyckohjul osäkert hjulpar under vagnen... Sennerby Forsse, Lisa: Energi och mat i ett globalt perspektiv... Sundqvist, Bo: Universitetens självförståelse... Österberg, Eva: Varför historia?... Österdahl, Inger: Internationaliseringen av det svenska försvaret regeringsformen, EU-rätten och folkrätten... Akademiens verksamhet under år Akademiens verksamhet under år Akademiens ledamöter KVS inlaga 38.indd

4 KVS inlaga 38.indd

5 Högtidsanförande den 8 oktober 2010 Sverker Gustavsson Att lära av katastrofer 5 Ärade ledamöter, ärade gäster! Dagens datum är den 8 oktober och vi är samlade till vår årliga högtidssammankomst. Vad vi högtidlighåller är årsdagen av akademins grundande Firandet sker i en form, som är i stort sett oförändrad genom åren. Det som varierar är vilka samtida händelser och stämningar som sätter sin prägel på situationen. När ledamöterna med gäster den här hösten samlas till högtidssammankomst sker det mot bakgrund av en samtidshistorisk omständighet, som länge har varit känd i sina huvuddrag men som först i de yttersta av dessa dagar har kommit att konkretiseras. Det jag syftar på är den högerpopulistiska våg som sveper genom Europa och vars möjligheter till ytterligare framgångar inte får underskattas vare sig i vårt land eller i något av de övriga länderna i vår del av världen. Bakgrunden är de senaste tjugo årens stora och snabba samhällsförändringar. För oss som är socialt och ekonomiskt välbeställda erbjuder det inga svårigheter att vara bejakande och framåtblickande. De befolkningsgrupper, som riskerar arbetslöshet och som inte tror sig kunna lita på att bli omfattade av någon verksam solidaritet från befolkningsmajoritetens sida, befinner sig mentalitetsmässigt om jag så får uttrycka mig hela tiden på gränsen till att vilja ifrågasätta själva principen om en fortgående modernisering och globalisering. Så länge yttrandefriheten och organisationsfriheten tas för givna och rösträtten anses böra vara allmän och lika för alla riskeras därigenom fundamentet för en fortsatt utveckling längs den linje, som har varit den dominerande i vår del av världen efter 1945 och Vad vi nu ser över hela Europa också här i Sverige med stor tydlighet efter höstens val är ett växande väljarmässigt underlag för att i grunden vilja ifrågasätta den socialliberala och socialdemokratiska grundformeln. Enligt denna grundformel är öppenhet mot omvärlden, politisk demokrati och ett system av heltäckande sociala försäkringar problemets lösning. Vi människor blir benägna att vara företagsamma och ta risker om vi kan lita på att inte bli lämnade i sticket när vi drabbas av arbetslöshet, sjukdom och ålderdom. Bedriver vi en politik som undergräver den tillförsikten riskerar den politiska friheten att öppna dörrarna för ett socialt missnöje, som lätt kan komma att innebära raka motsatsen till fortsatt modernisering. Ju snabbare utvecklingen går, desto mer ökar risken för allvarliga bakslag. KVS inlaga 38.indd

6 6 Sverker Gustavsson Under kommande år ligger med andra ord konsten i att kunna hantera samhällspolitiken på ett sådant sätt att inte klyftorna mellan oss med egen tillförsikt å ena sidan och de ängsliga och frustrerade å andra sidan växer sig alltför stark och det som binder oss samman på allvar börjar förflyktigas. Det är ett ansvar som inte bara tillkommer de politiska partierna och massmedia utan i hög grad var och en av oss som medborgare och yrkesutövare. Alldeles särskilt gäller detta för oss universitetslärare. Vår uppgift är att befinna sig i främsta linjen vad gäller fortsatt upplysning och modernisering. För oss handlar det om att kunna begripliggöra vad vi håller på med och vad som är den samhälleliga innebörden. Ärade ledamöter och ärade gäster! Mer tänker jag inte säga om den samtidshistoriska inramningen. Inte bara den svenska omstruktureringen av det politiska landskapet utan i hög grad också den europeiska och amerikanska utvecklingen ger oss skäl att ta på stort allvar frågan om vad det är som betingar ett brett folkligt stöd för idén om att vilja driva moderniseringen vidare utifrån tanken om att effektivitet och rättvisa förutsätter varandra ömsesidigt. Steget från övergripande reflexioner till nästa punkt på programmet är kortare än det först vill synas. Av grundläggande betydelse för att moderniseringen skall kunna drivas vidare med hundraprocentigt folkligt stöd är att naturvetarna inte lämnar medborgarna på efterkälken vad gäller deras egen individuella förståelse för sammanhangen i naturen. Kungl. Vetenskapssamhällets årliga pris på kronor avser växelvis framstående populärvetenskaplig insats och framstående tvärvetenskaplig insats. Priset för 2010 avser utomordentlig populärvetenskaplig förmåga och går till professor Per-Olof Nilsson vid Chalmers. Han får priset för sin idé om fysikaliska leksaker och demonstrationer, som gör fysiken tillgänglig och underhållande särskilt för barn och ungdomar och som mycket har imponerat på priskommittén. KVS inlaga 38.indd

7 Kulturmöten i matematiken Bo-Göran Johansson Kulturmöten i matematiken Kulturmöten i matematiken Bo-Göran Johansson 1. Matematiska underhållningsproblem 1. Matematiska underhållningsproblem När Bo-Göran man studerar Johansson äldre tiders matematik är det ofta som man finner likheter mellan man matematik studerar äldre i skilda tiders kulturkretsar. matematik är Det det kan ofta vara som man en problemformulering, finner likheter mellan en När matematik specifik i lösningsmetod, skilda kulturkretsar. några Det särskilda kan vara talvärden problemformulering, som skymtar fram. en specifik Ibland 1. Matematiska underhållningsproblem har lösningsmetod, vi tillgång till några ytterligare särskilda information talvärden som skymtar visar på fram. kontakter, Ibland har som vi kan tillgång ha gett till ytterligare upphov När man information till studerar en överföring äldre som tiders visar av matematik kunskap. på kontakter, är Termen det ofta som som kan över man ha föring gett finner upphov likheter är kanske till mellan en inte helt överföring matematik av kunskap. i skilda kulturkretsar. Termen överföring Det kan vara är en kanske problemformulering, inte helt lyckad; en specifik det finns en lyckad; det finns en komponent som bör betonas särskilt: mot tagande (eller komponent lösningsmetod, som bör några betonas särskilda särskilt: talvärden mottagande som skymtar (eller fram. kanske Ibland har hellre vi tillgång tillägnande, för kanske att ytterligare framhålla hellre information tillägnande, det aktiva som deltagandet). visar för på att kontakter, framhålla Det handlar som det kan aktiva om ha sammansatta gett deltagandet). upphov till och en Det långvariga handlar processer, om överföring sammansatta där av vi kunskap. ofta och bara långvariga Termen har kunskap överföring processer, om vissa är kanske där delar. vi inte ofta Och helt bara ibland lyckad; har saknar kunskap det finns vi information en om vissa delar. komponent Och ibland som bör saknar betonas vi särskilt: information mottagande för att kunna (eller kanske säga något hellre tillägnande, mer specifikt. för att kunna säga något mer specifikt. för att framhålla det aktiva deltagandet). Det handlar om sammansatta och långvariga Ett exempel, processer, Ett exempel, hämtat där vi hämtat ofta från bara en från kinesisk har en kunskap kinesisk klassiker, om vissa klassiker, Nio delar. kapitel Och Nio ibland om kapitel räknekonsten, saknar om räknekonsten, vi information troligen troligen för att sammanställd kunna under säga århundradet något under mer århundradet specifikt. f. Kr. (kap.6, f. problem Kr. (kap.6, 20; Chemla problem & 20; Guo Chemla 2004, s. & 533): Guo sammanställd 2004, Ett exempel, s. 533): hämtat från en kinesisk klassiker, Nio kapitel om räknekonsten, troligen sammanställd Antag att en under vildand, århundradet som lämnar f. Kr. (kap.6, det södra problem havet 20; når Chemla det norra & Guo havet 2004, på s. 7533): dagar, och att en Antag vildgås, att en som vildand, lämnar som det lämnar norra havet det södra når det havet södra når havet det norra på 9 dagar. havet Om på 7 nu dagar, vildanden och vildgåsen Antag att att vildgås, en börjar vildand, som samtidigt, som lämnar lämnar det så efterfrågas: det norra södra havet Efter når når det hur södra norra många havet dagar på på 7 möts 9 dagar, dagar. de? och Om att nu vildanden vildgås, och som lämnar vildgåsen det norra börjar havet samtidigt, når det så södra efterfrågas: havet på 9 Efter dagar. hur Om många nu vildanden dagar Svar: möts och de? vildgåsen börjar samtidigt, så efterfrågas: Efter hur många dagar möts de? 3 dagar och 15/16 dagar. Svar: Svar: 3 dagar 3 dagar och och 15/16 dagar. Regel: Man summerar antalet dagar, vilket gör divisorn. Antalet dagar, multiplicerade med Regel: Regel: varandra Man Man summerar gör summerar dividenden. antalet antalet Division dagar, dagar, vilket vilket av gör dividenden gör divisorn. divisorn. med Antalet divisorn Antalet dagar, dagar, multiplicerade ger resultatet multip-licerade med varandra med varandra gör dividenden. gör dividenden. Division av Division dividenden av med dividenden divisorn med ger resultatet divisorn i ger dagar. resultatet dagar. i dagar. Och Och nu till en italiensk en italiensk räknebok räknebok från 1478, från den 1478, s.k. den Trevisoaritmetiken, s.k. Trevisoaritmetiken, den äldsta den tryckta äldsta matematikboken Och nu till en utanför italiensk Kina räknebok (Anonymus från 1478, 1478, den s.k. f. 54v-55r): Trevisoaritmetiken, den äldsta tryckta tryckta matematikboken matematikboken utanför Kina utanför (Anonymus Kina 1478, (Anonymus f. 54v-55r): 1478, f. 54v-55r): Den Den Helige Helige Fadern Fadern sände sände en en kurir kurir från från från Rom Rom Rom till till till Venedig, Venedig, med med order med order att order anlända att att anlända anlända till till Venedig till Venedig på 7 på på dagar. 77 dagar. dagar. Och Och Och den den den högst högst illustra illustra Signorian Signorian i Venedig i Venedig i Venedig sände sände en sände annan en annan kurir en annan Rom, kurir som som till skulle Rom, skulle anlända som skulle till till Rom anlända inom till 9 dagar. Rom Och inom Och från från 9 Rom dagar. Rom till Och till Venedig Venedig från är Rom det är 250 det till 250 kurir till till Rom, mil. Venedig mil. Det Det är inträffade det 250 så, mil. så, att att Det enligt inträffade dessa herrars så, att order enligt påbörjade dessa herrars kurirerna order sin resa sin påbörjade resa kurirerna samtidigt: sin Man Man resa frågar samtidigt: efter hur Man många frågar dagar efter de hur möts många och och hur hur dagar många många de mil möts var mil och var och en och hur har en har gjort. många gjort. Gör mil Gör enligt var enligt och regeln, en har sålunda: gjort. Gör enligt regeln, sålunda: 7 i delar delar i 6 3 dagar i 6 dagar 15 Således Således kommer de de att att mötas efter 3 och dagar. 15 Således kommer de att mötas efter 3 och 16 dagar. 16 I detta exempel nämns regeln för beräkningarna först: I detta exempel nämns regeln för beräkningarna först: KVS inlaga 38.indd

8 8 Bo-Göran Johansson I detta exempel nämns regeln för beräkningarna först: Regeln Regeln för för de för de de två de två ting två ting ting som som som kommer tillsammans är är denna: är är denna: denna: Att Att man Att Att man man multiplicerar de de två två de tingen, två tingen, tingen, det det ena det ena med ena med med det det andra: det andra: andra: och och och och dividerar dividerar produkten produkten vid vid vid vid denna denna multiplikation: multiplikation: summan med av summan av båda båda de de av de nämnda båda de talen. nämnda talen. talen. med med Dessa två problem har samma matematiska struktur, även om de är utsmyckade i Dessa Dessa två två problem har har samma samma matematiska struktur, även även om om de de är är är utsmyckade i i olika i olika olika klädnader, klädnader, vilka var för sig speglar sin tids samhälle. I den italienska formu- vilka vilka var var för för sig sig speglar speglar sin sin sin tids tids samhälle. I den I I den italienska formuleringen nämns nämns leringen även även avståndet nämns mellan även mellan avståndet platserna, mellan men men det det platserna, används inte men inte i lösningen i det i används av av problemet. inte i lösningen I dagens I dagens av algebraiska problemet. språk språk I dagens kan kan man man algebraiska formulera språk lösningen kan man så: så: så: formulera lösningen så: Kurirernas hastighet är är är 250/7 250/7 respektive 250/9 250/9 mil mil mil per per per dag. dag. dag. På På x dagar x dagar reser reser de de x x // 7 / 7 respektive x x x / 9 // mil. 9 mil. De De möts möts när när de de de tillsammans rest rest mil, mil, dvs. dvs. när när x x / 7 // + 7 x+ x / 7 / = = 250,, alltså, alltså x x + x+ x = 1 =,, 1 x, x + + = 1=,, 1x, x x + + = 1 =, 1, x, x = 1 =, 1, x, = x = = 3 = Men Men denna denna tolkning speglar speglar vår vår vår tids tids tids matematik, matematik, och och den och den ligger den ligger en ligger en god god bit en bit vid god vid sidan bit sidan vid av av de de sidan äldre äldre regelformuleringarna. av de äldre regelformuleringarna. Den Den algebraiska Den formuleringen algebraiska visar formuleringen visar alltså alltså hur hur man visar man i i våra alltså i våra dagar dagar ofta hur ofta har man har sett i sett våra på på på matematisk dagar ofta förståelse: har förmåga sett på matematisk att att att formulera förståelse: problemet och förmåga att och dess formulera dess lösning lösning i i i algebraiskt problemet språk. och språk. dess lösning i algebraiskt språk. I dag, I dag, med dag, med användningen med av användningen av av datorer, ligger av datorer, ligger det ligger det det nära nära till det nära till till hands hands att till hands att översätta lösningen att översätta mer lös- mer bokstavstroget, som som som en en algoritm, en en en följd följd följd av av av instruktioner: ningen mer bokstavstroget, som en algoritm, en följd av instruktioner: Addera Addera Addera antalet Addera antalet antalet dagar, antalet dagar, dagar, resultat: dagar, A. resultat: A. A. 2. A Multiplicera antalet antalet antalet dagar, dagar, dagar, resultat: resultat: B. B. B Multiplicera antalet dagar, resultat: B Dividera: Dividera: B/A. B/A. B/A. 3. Dividera: B/A. Men Men Men en en algoritm algoritm förklarar förklarar inte inte inte varför varför varför man man man ska ska ska göra göra göra si eller si si eller eller så, så, så, den den den visar visar visar hur hur hur man man man ska ska ska göra. göra. I I I Men detta detta detta exempel exempel en algoritm finns finns finns förklarar det det det kommentarer kommentarer inte varför till till till man den den den kinesiska ska kinesiska göra texten si texten texten eller som så, som som ger den ger ger fullgoda visar fullgoda hur förklaringar, förklaringar, man ska men men men göra. inte inte inte i i I algebraiskt algebraiskt i detta exempel språk, språk, språk, finns som som som det utvecklades utvecklades kommentarer långt långt långt senare. till senare. senare. den Liu kinesiska Liu Liu Hui, Hui, Hui, i en en i texten en kommentar kommentar som ger till till till till Nio Nio Nio Nio fullgoda kapitel kapitel kapitel år år år förklaringar, år 263, 263, 263, motiverar motiverar men lösningen lösningen inte i i algebraiskt ord, i i ord, ord, helt helt helt motsvarande motsvarande språk, som följden utvecklades följden följden av av av av formler formler långt ovan senare. ovan ovan (Chemla (Chemla Liu & & Guo Guo Hui, Guo 2004, 2004, 2004, i en s. s. s. kommentar 533): s. 533): 533): till Nio kapitel år 263, motiverar lösningen i ord, helt motsvarande följden av formler ovan (Chemla & Guo 2004, s. 533): Vildanden Vildanden Vildanden tillryggalägger flygande tillryggalägger tillryggalägger 1/7 flygande flygande 1/7 av 1/7 av 1/7 av av resan resan av resan var resan var var dag. var dag. var dag. dag. Vildgåsen Vildgåsen dag. tillryggalägger Vildgåsen tillryggalägger tillryggalägger flygande flygande flygande 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 av av av av resan av resan resan resan av av av dag. av dag. dag. Om dag. Om man Om Om man gör man man gör gör dem gör gör dem dem uniforma dem dem genom uniforma uniforma genom genom att genom genom att att homogenisera att homogenisera [denna beskrivning beskrivning innebär att innebär att bråken att bråken förlängs bråken förlängs med förlängs med med 9 att homogenisera [denna [denna [denna med med respektive 9 respektive 9 9 7, respektive 7, 7, så 7, så 7, så så att att så att att de de att de de får får de får får samma får samma samma samma nämnare], nämnare], samma så så så nämnare], så är är är är vildanden vildanden bestämd så vildanden bestämd att är vildanden bestämd att att flygande bestämd att flygande tillryggalägga att flygande 9/63 tillryggalägga 9/63 9/63 av 9/63 av av resan av resan resan var resan var var dag, dag, dag, dag, var vildgåsen vildgåsen vildgåsen dag, vildgåsen bestämd bestämd bestämd bestämd att att att att flygande flygande tillryggalägga flygande att flygande 7/63 tillryggalägga 7/63 7/63 av 7/63 7/63 av av resan av resan resan var av resan var var dag. var var dag. dag. Detta dag. Detta Detta motsvarar, Detta motsvarar, motsvarar, om om om om avståndet avståndet avståndet om avståndet mellan mellan mellan mellan det det det mellan det södra södra södra och södra det och och det och södra det det norra det och norra norra havet norra det havet havet är havet norra är är 63 är havet delar, 63 delar, delar, att delar, är 63 att att den delar, att den den dagliga den att dagliga dagliga resan dagliga den resan resan för resan för för för dagliga vildanden vildanden resan är är är för är 9 9 vildanden delar delar 9 delar delar medan medan medan den medan är 9 den den dagliga den delar dagliga dagliga resan dagliga medan resan resan för resan den för för vildgåsen dagliga för vildgåsen är vildgåsen resan för är är 7 är delar. 7 vildgåsen 7 delar. delar. Summera delar. Summera det Summera är 7 det det som det som som som delar. vildanden vildanden vildanden Summera och och och och det vildgåsen vildgåsen vildgåsen som vildanden tillryggalägger tillryggalägger på tillryggalägger och vildgåsen på på en på en dag en dag dag för tillryggalägger dag för för att för att att dividera att dividera avståndet dividera på en avståndet mellan dag avståndet för att mellan mellan det mellan det det det dividera norra norra norra norra och och avståndet och och det det södra södra södra mellan södra havet havet havet havet det med med norra med detta, med detta, detta, och detta, så det så så erhåller så erhåller södra man erhåller havet man man den man med den den dag den detta, dag dag dag vid så vilken vid erhåller vilken vilken vilken de man möts. de möts. möts. möts. den dag vid vilken de möts. Men Men Men hur Men hur hur ska hur ska ska vi ska vi vi bedöma ska vi bedöma likheten vi bedöma likheten mellan likheten mellan mellan de likheten mellan de de två mellan de två två problemen? två problemen? Det de två problemen? Det Det skiljer problemen? Det skiljer skiljer dock skiljer dock dock ett Det skiljer dock ett ett och dock ett och och ett och ett ett halvt ett ett halvt halvt årtusende halvt årtusende mellan och årtusende mellan mellan dem. ett halvt mellan dem. dem. Det årtusende dem. Det Det finns Det finns finns även mellan finns även även dem. även en en något Det en något något äldre något äldre äldre variant finns äldre variant variant från även variant från från tidigt en något från tidigt tidigt 1200-tal äldre tidigt 1200-tal i Italien: variant 1200-tal i Italien: i Italien: två från i Italien: två två skepp ti- två skepp skepp på skepp på på ett på ett ett avstånd ett avstånd från avstånd från från varann, från varann, varann, som varann, som som det som det det ena det ena ena kan ena kan kan segla kan segla segla på segla på på 5 dagar, på 5 dagar, 5 dagar, det dagar, det det andra det andra andra på andra på på 7 dagar på 7 7 dagar dagar och dagar och och frågan och frågan frågan som som som ställs ställs ställs är är när när när de de de möts. möts. möts. Likartade Likartade problem problem är är är också också också kända kända kända från från från äldre äldre äldre indisk indisk indisk och och och arabisk frågan som ställs är när möts. Likartade är också kända från äldre indisk och arabisk arabisk matematik, matematik, så så så det det det är är är möjligt möjligt möjligt att att att problemet problemet eller eller eller problemgruppen problemgruppen har har har förmedlats förmedlats via via via kontakter arabisk matematik, så det är möjligt att problemet eller problemgruppen har förmedlats via kontakter dessa dessa dessa kulturer kulturer emellan. emellan. Men Men Men ibland ibland ibland är är är det det det lite lite lite för för för lätt lätt lätt att att att förklara förklara likheter likheter med förmodade kontakter dessa kulturer emellan. Men ibland är det lite för lätt att förklara likheter med förmodade kontakter. kontakter. Man Man Man bör bör bör nog nog nog också också också vara vara vara öppen öppen öppen för för för möjligheten möjligheten att att att de de de två två två problemen problemen förmodade kontakter. Man bör nog också vara öppen för möjligheten att de två problemen KVS inlaga 38.indd

9 Kulturmöten i matematiken 9 digt 1200-tal i Italien: två skepp på ett avstånd från varann, som det ena kan segla på 5 dagar, det andra på 7 dagar och frågan som ställs är när de möts. Likartade problem är också kända från äldre indisk och arabisk matematik, så det är möjligt att problemet eller problemgruppen har förmedlats via kontakter dessa kulturer emellan. Men ibland är det lite för lätt att förklara likheter med förmodade kontakter. Man bör nog också vara öppen för möjligheten att de två problemen kan ha formulerats oberoende av varandra, inte genom direkta eller indirekta kulturmöten, alltså vad man kan kalla en konvergent utveckling. Låt mig ge ytterligare ett exempel, även det från Kina (Zhang Qiujians matematiska klassiker, från senare hälften av 400-talet), det så kallade problemet med de hundra fåglarna (Lam 1997, s. 235): Nu kostar en tupp 5 qian, en höna 3 qian och 3 kycklingar 1 qian. Man vill köpa 100 fåglar med 100 qian. I vart och ett fall, finn antalet tuppar, hönor och kycklingar som köptes. Svaret lyder: 4 tuppar för 20 qian, 18 hönor för 54 qian och 78 kycklingar för 26 qian. Ett annat svar: 8 tuppar för 40 qian, 11 hönor för 33 qian och 81 kycklingar för 27 qian. Ett annat svar: 12 tuppar för 60 qian, 4 hönor för 12 qian och 84 kycklingar för 28 qian. Här möter vi ett problem som har flera olika lösningar, vilka samtliga redovisas i svaret (underförstått att man köpte minst en fågel av varje slag), ett av de äldsta problemen av detta slag. Samma problemstruktur återkommer även senare i Indien (och även i arabisk matematik). I den indiske 800-talsmatematikern Mahaviras version lyder problemet (Kap ; Ranga carya 1912, s ): Fem duvor säljs för tre (panas), sju tranor för fem (panas), nio svanar för sju (panas) och tre påfåglar för nio (panas). En man tillsades att till dessa priser köpa etthundra fåglar för etthundra panas till kungens sons förnöjelse och skickades att göra detta. Vad ger han för var och en? I Europa möter vi problemet i flera varianter i Uppgifter att skärpa ungdomen, som tillskrivs Alcuin av York, omkring år 800 (exempelvis Problem 39; Folkerts 1978, s. 68): En viss man ville i Orienten köpa 100 olika djur för 100 solidi. Han gav sin tjänare i uppdrag att ge 5 solidi för en kamel, en solidus för en åsna och en solidus för 20 får Åter, i 1200-talets Italien, hos Leonardo av Pisa, även känd som Fibonacci (Sigler 2000, s. 256): En viss man köper 30 fåglar, vilka är rapphöns, duvor och sparvar för 30 denarer... Och i Sverige, i den första tryckta räkneläran på svenska, Arithmetica Eller Een Kort och Eenfaldigh Räknebook / uthi heele och brutne Taal (Aurelius 1614, s. 111): En Man wil göra ett Bröllop åt sin Dotter/ sänder sin dräng uth medh 100 Daler/ ther före skal han köpa 100 stycker Booskap/ Oxar/ Swijn/ Fåår och Gäss... Denna grupp av problem har samma matematiska struktur, men på ytan är de KVS inlaga 38.indd

10 10 Bo-Göran Johansson färgade av sin tids samhälle. Vi möter höns, påfåglar, kameler, rapphöns, oxar, svin, får... I detta fall kan man ana en sammanhängande utveckling från 400-talets Kina till Indien, Islams värld och Europa. Det finns en sky av uppgifter av detta slag, som man kan hänföra till underhållnings matematik. De är ofta helt orealistiska som Alcuins välkända problem (Problem 18; Folkerts 1978, s. 54): En viss man måste över en flod frakta en varg, en get och ett knippe kål. Och han kunde inte finna en annan båt än en som kunde bära två av dem. Han hade emellertid i uppdrag att föra över dem alla oskadda. Säg, den som kan, på vilket sätt kunde han föra över dem oskadda? Genomgående för denna grupp av problem är att de inte är beroende av en matematisk begreppsapparat för sin lösning (även om de exempel jag valt ur läroböcker ibland har satts in i ett sådant sammanhang). Ofta består lösningen av en kontrollräkning eller en handfast demonstration. Problemen har färdats med snabba och lätta steg utan att tyngas av matematisk teori. Problemet med de hundra fåglarna, för att nämna ett exempel, nådde Europa redan omkring år 800, mer än 300 år innan de arabiska matematiska arbetena började översättas till latin. Referenserna till kameler i Alcuins problem visar att Orientens värld inte var främman de för den tidens Europa. I själva verket förekom redan under 700-talet, förutom handels kontakter, även utbyten av sändebud såväl med Bysans som med kalifatet i Bagdad (Butzer 1993, s ). 2. Vetenskapliga möten När man talar om kulturmöten inom en vetenskap tänker man sig en kontakt mellan veten skaper, alltså ett möte mellan teorier, förklaringsmodeller och generella metoder. Spridningen av enskilda problem, som underhållningsproblemen i föregående stycke, har förmodligen större likheter med överföring av teknik, som kan ske både genom diffus, indirekt spridning (som exempelvis spridningen av odling av vete och korn till Norden en lång väg från ursprunget i sydöstra Turkiet, Syrien och Irak) eller genom direkta kontakter, exempelvis genom handel eller krig. 2.1 Introduktionen av de indiska siffrorna i den arabiska matematiken För att visa på vetenskapliga möten mellan olika kulturer ska jag ge några exempel från introduktionen av de indiska siffrorna (det gängse namnet för dem i dagens svenska är arabiska siffror ) i arabisk och senare i europeisk vetenskap. De indiska siffrorna är kända från dokument från cirka år 600. De omnämns i ett arbete av Severus Sebokht från Syrien på 660-talet (Nau 1910, s. 226): deras beräkningsteknik som överträffar beskrivning, jag talar om den med nio siffror När introducerades de i den arabiska kulturkretsen? Kanske mot slutet av 700-talet. De äldsta kända arabiska aritmetiska arbetena är från 800-talet. Vid KVS inlaga 38.indd

11 Kulturmöten i matematiken 11 den tidpunkten sträckte sig den arabiska makten från Spanien och Marocko till Centralasien. För administrativa behov fanns redan tidigare en utvecklad matematik. I den skrevs tal med bokstavssymboler en översättning av det grekiska (och hebreiska) betecknings sättet: nio bokstäver för entalen 1 9, nio bokstäver för tiotalen och nio bokstäver för hundratalen De aritmetiska operationerna utfördes främst mentalt, men där det egna minnet inte räckte till använde man sig av ett externt minne: handens fingrar (tekniken kallades ibland handens räknekonst ). Denna teknik kom att leva kvar, parallellt med den nya indiska aritmetiken. Även i Europa var tekniken levande, bilder av fingerkonstellationer finns med ännu i Luca Paciolis stora arbete Summa de Arithmetica, tryckt 1494 (f. 36b). De fingerkonstellationer som användes i Europa var desamma som i den arabiska matematiken, men man hade bytt händer: i Europa användes vänsterhandens fingrar för ental och tiotal, i arabisk matematik användes (med reservation för att källorna här är mycket få) högerhanden. Användningen av de indiska siffrorna hängde intimt samman med användandet av räkne brädet, på vilket man skrev siffrorna inom den arabiska matematiken. Det var en tavla med damm eller sand, takht (ordet har persiskt ursprung), i vilken man ritade siffrorna och där man lätt kunde radera delresultat som inte längre behövdes (vilket var nödvändigt av utrymmes skäl). Hur räknebrädet kan ha sett ut vet vi inte: en av experterna på området, Paul Kunitzsch skriver (Kunitzsch, 2003, s. 8): for myself I have some difficulty to imagine what it looked like. Tekniken som helhet motsvarade närmast ett verktyg för att utföra matematiska beräkningar, likt en mekanisk räknemaskin eller enkel räknedosa. Den kan knappast ha haft det höga anseende som tillkom (och tillkommer) en teoretisk vetenskap. Så här skriver al-uqlidisi från 900-talets Damaskus (Saidan 1978, s. 35, 247): Om några tycker illa om den [indiska aritmetiken] för att den behöver räknebrädan, så svarar vi att detta är en vetenskap och en teknik som be höver ett redskap. Tjänstemannen, hantverkaren och hästkarlen, envar behöver det som han arbetar med Mången avskyr att visa räknebrädan i sina händer, när han behöver an vända denna sorts beräkningar, av rädsla för att de närvarande eller vem som än må se det kan missförstå det. Det gör honom mindre, ty den kan ses i händerna på personer med dåligt uppförande som får sin utkomst som astrologer på gatorna... Uqlidisi jämför här aritmetiken med hantverk och administrativt arbete, inte med en teoretisk vetenskap. Den inställningen tycks ha varit rådande under lång tid. I sin självbiografi skriver den persiske filosofen och läkaren (med mera) Ibn Sina (d. 1037, i väst känd som Avicenna; hans medicinska verk översattes tidigt till latin och användes vid europeiska universitet) om hur han lärde sig den indiska aritmetiken av en egyptisk religiös propagandist och en indisk grönsakshandlare (Gohlman 1974, s. 21): De talade också om filosofi, geometri och indisk aritmetik. Sedan sände min far mig till en grönsakshandlare som använde den indiska aritmetiken, och så studerade jag med honom. KVS inlaga 38.indd

12 12 Bo-Göran Johansson Vi har ett ögonvittne i mötet mellan arabisk och indisk kultur, sju år äldre än Ibn Sina: Abu al-raihan al-biruni, född 973 i Khwarizm, Centralasien, från 1017 verksam i Ghazni, Afghanistan, vid sultanen Mahmuds hov. Troligen åtföljde han denne under hans åter kommande krigshärjningar i nordvästra Indien. Han lärde sig sanskrit, var bekant med flera indiska klassiska arbeten i matematik och astronomi och översatte även några till arabiska. Han skriver i ett stort arbete om Indien (Sachau 1910, s. 25): Därför finner man för det mesta att till och med hinduernas så kallade vetenskapliga satser befinner sig i ett tillstånd av den yttersta förvirring, berövade varje slags ordning och till sist alltid hoprörda med massans dumma föreställningar, t.ex. enorma tal, enorma tidrymder och alla slags religiösa dogmer, vilka den allmänna tron inte vill ifrågasätta... Jag kan bara jämföra deras matematiska och astronomiska litteratur, så vitt jag känner till den, med en blandning av pärlemor och sura dadlar, eller av pärlor och dynga, eller av dyrbara kristaller och vanligt grus. Bådadera är lika i deras ögon, eftersom de inte förmår höja sig till en sträng vetenskaps metoder. Biruni visar på och tar avstånd från den indiska vetenskapens samhörighet med religion och världsbild, som båda var helt främmande för den muslimska (och för den delen även den västerländska) traditionen. Vi, utanförstående läsare, kan också ana Birunis egen veten skap liga grundsyn, grundad i det klassiska grekiska kunskapsidealet, som vilar inbäddad i hans text. Man kan se en person som bedömer en främmande kultur utifrån sin känsla av veten skap lig överlägsenhet, en situation som man kan återfinna även i senare tider och andra kulturmöten. Låt oss se närmare på införandet av de indiska siffrorna i den arabiska matematiken. Den matematiska principen var helt ny: värdet av en siffra var beroende av dess plats. Hur bruket av siffrorna överfördes, i direkta kontakter med Indien eller genom persisk förmedling, det vet vi inte. Det är inte självklart att processen skedde på en plats och med en bestämd uppsättning siffror. Biruni skriver, några hundra år senare, om de indiska siffrorna (Sachau 1910, s. 174): Indierna använde inte alfabetets bokstäver att beteckna tal, så som vi använder de arabiska bokstäverna, ordnade efter det hebreiska alfabetet. Eftersom bokstäverna har olika form i olika delar av Indien, så skiljer sig siffertecknen, som kallas anka, också. De som vi använder kommer från de finaste formerna av de indiska tecknen. Nollan betraktades inte som en siffra i den äldre arabiska aritmetiken (och noll sågs inte som ett tal). I ett tidigt aritmetiskt arbete (al-khwarizmi, början av 800-talet, Bagdad, översatt till latin under den tidigare hälften av 1100-talet) sägs om indierna (Folkerts 1997, s. 29): De gjorde ix skrivtecken, vars figurer är dessa... och om nollan, när man skulle skriva talet tio (s ): De placerade alltså på denna plats [platsen för 1:an i talet 10] en liten cirkel framför [till höger], vilken liknar bokstaven o, så att de därigenom visste att platsen för entalen var tom... Ännu under 1400-talet rådde detta synsätt i de konservativa, östra områdena, i Persien och Centralasien. Al-Kashi, verksam i Samarkand, skriver i Nyckeln till räknekonsten, 1427 (Demirdash & Hafni 1967, s. 46): KVS inlaga 38.indd

13 Kulturmöten i matematiken 13 Vet att de indiska vise skrev nio siffror till de kända nio talen med denna figur: 9, 8, varje plats, i vilken där inte finns ett tal, i den måste man skriva noll dess tecken är en liten cirkel för att ta mellanrummets plats. Vidare inhämtades räknetekniker som var anpassade till det nya sättet att skriva tal. Siffrorna användes som verktyg för aritmetiska beräkningar, det vill säga beräkningar som var för omfattande för att utföras helt mentalt utan krävde ett större, externt minne. Den äldre, mentala tekniken måste ha varit svår att hantera, om mycket stora tal och komplicerade operationer dök upp i räkningarna (i mindre skala däremot bör den ha varit mycket snabb och effektiv att hålla tal i huvudet eller i handen är mycket snabbare än att rita ner dem på ett sandbräde). Men med den arabiska expansionen bör komplexiteten i det matematiska arbetet som behövdes för administrationen ha ökat betydligt. Och som ett externt minne användes, som redan nämnts, en tavla med damm eller sand, i vilken man ritade siffrorna (i Indien använde man, enligt Biruni, svarta tavlor för barnen i skolan, och skrev på dem i vitt). När talen omnämndes i text, så skrevs de till att börja med ut i ord (eller, i de latinska översättningarna i romerska siffror, ibland uppblandat med ord). Så ser vi i en översättning till latin av al-khwarizmi (tidigt 800-tal, översatt vid mitten av 1100-talet) att man beskriver ett divisionsexempel, / 324, så (Folkerts 1997, s ): Om jag vill dividera xlvi tusen fyrahundra lxviii med cccxxiiii så sätter jag av det första talet i den högra delen viii på den första platsen [man räknar från höger; enligt arabiskt mönster]. Sedan skriver jag på den andra [platsen] vi till vänster, vilket betyder lx... Eller (Ibn Tahir al-baghdadi, början av 1000-talet. Saidan, 1985, s. 65): Och om vi vill dividera ettusentrehundratjugonio med tjugofyra, så ställer vi upp dem enligt denna figur: De indiska siffrorna används här för att beskriva konfigurationen på räknebrädet, men räkneoperationen som sådan formuleras helt i ord. 2.2 Aritmetikens väg från den arabiska matematiken till Europa Europa mötte den arabiska vetenskapen från 1100-talet och framåt. En av vägarna var genom översättningar till latin eller hebreiska av arabiska arbeten. Men detta var inte på något sätt den enda vägen. Leonardo av Pisa, för att nämna en person vars historia är känd, hade fått en underbar skolning i räknekonsten med de nio indiska siffrorna i sin ungdom (senare hälften av 1100-talet) vid Pisas handelshus i Bougie (nuvarande Bejaija i Algeriet) och sedan tillägnat sig ytterligare kunskaper (han nämner kontakter med Egypten, Syrien, Grekland, Sicilien och Provence; Sigler 2002, s. 15). Kanske är en bättre bild av hur den KVS inlaga 38.indd

14 14 Bo-Göran Johansson nya räknekonsten spreds till Europa denna: inte en bred fåra utan ett inflöde i flera samtidiga stråk, små rännilar parallellt med större. Och även tillägnandet av den nya vetenskapen skedde inom olika kretsar, i universitetens värld likaväl som inom handel och teknik (utan några skarpa gränser dem emellan). Det var inte så att den arabiska vetenskapen bara flödade in i ett rum som tidigare var helt tomt. Det handlade snarare om ett mottagande av nya, främmande begrepp och tekniker och integrationen av dem i den egna vetenskapen. Europas mottagande av den arabiska matematiken hade också som följd att man skapade nya begrepp och utvecklade ett vetenskapligt språk för detta. Detta hade kanske inte så stort genomslag inom aritmetiken, eftersom det var ett område som redan var utvecklat i Europa. Termer som var knutna till siffrorna och sättet att skriva tal lånades dock in. Det mest bekanta exemplet på detta är ordet siffra, överfört från arabiskans sifr noll. Detta blev också den tidiga betydelsen i europeisk matematik. I den äldsta nordiska texten, Hauksbok, nedtecknad i Norge tidigt på 1300-talet (Jónsson 1896, s. 417) skrev man cifra för nollan. I Hauksbok möter vi också fingr ( finger, latin digitus) för tal mindre än tio och liðr ( led, latin articulus) för tiotal. De motsvarande latinska termerna, med anknytning till finger räk ning, förekom redan tidigare i medeltida europeiska arbeten i aritmetik. De har inte arabiskt ursprung utan är (sen)romerska och användes i denna betydelse av Boetius redan omkring år 500. Det fanns också nyskapade termer, på latin och på de folkspråk (italienska, proven salska, franska osv.) där de praktiskt inriktade verken skrevs (från 1200-talet och framåt), som täljare, nämnare, dividend, divisor. Framställningen av bråk i den västliga arabiska matematiken var detaljrik och komplicerad och fick aldrig fullt genomslag i alla detaljer i Europa, så terminologin kom nog att utvecklas mer självständigt här. Men själva termen bråk har dock inlånats från arabisk matematik (i sin tur ett lån från sanskrit), via latinets fractio kommer den från arabiskans kasr (kasara bryta ). Inom andra områden av matematiken, där man i Europa inte hade egen tidigare erfarenhet, var det inte ovanligt att man helt enkelt övertog de arabiska termerna. Så var fallet inom trigonometri och astronomi/astrologi. Ett exempel är det tidiga inlånet av elgeib för det som senare kom att heta sinus. Eller elkhataym ( de två felen ) för regeln om det dubbla falska antagandet, en metod att interpolera mellan givna värden (Aurelius 1614, s. 127, kallar den för then andre Regula Falsi medh twenne taal ). 2.3 Ett exempel: divisionsalgoritmens utveckling De aritmetiska operationerna inom den tidiga arabiska aritmetiken var: addition, subtraktion, dubblering, halvering, multiplikation, division och rotutdragning. Denna indelning stod sig inom arabisk matematik genom århund radena, längst i de östra regionerna, även om ordnings följden kunde variera något. Varifrån kom denna indelning? De klassiska indiska arbetena fram till 800-talet KVS inlaga 38.indd

15 inom arabisk matematik genom århundradena, längst i de östra regionerna, även om ordnin följden 2.3 Ett kunde exempel: variera divisionsalgoritmens något. utveckling Varifrån kom denna indelning? De klassiska indiska arbetena fram till 800-talet har en hel De aritmetiska operationerna inom den tidiga arabiska aritmetiken var: addition, subtraktion, annan klassifikation. Ingår det ett lokalt arv från egyptisk aritmetik, där dubblering och hal dubblering, halvering, multiplikation, division och rotutdragning. Denna indelning stod sig ering inom spelade arabisk en matematik viktig roll? genom Det århundradena, visar i varje längst fall i att de östra man regionerna, inte passivt även tog om emot ordningsföljden kunde utan variera att tillägnandet något. också anpassades efter den lokala traditionen. den indiska aritmetiken, Kulturmöten i matematiken 15 Jag har Varifrån ska en gå helt kom in annan mer denna i klassifikation. detalj indelning? på ett De Ingår särskilt klassiska det område, ett indiska lokalt arbetena utförandet arv från fram egyptisk av till division 800-talet aritmetik, av har heltal en inom arabi och annan klassifikation. Ingår det ett lokalt arv från egyptisk aritmetik, där dubblering och halvering spelade en viktig roll? Det visar i varje fall att man inte passivt tog emot den indiska där europeisk dubblering matematik. och halv ering Låt spelade oss se en på viktig hur roll? den beskrivs Det visar av i varje Ibn fall Tahir att man i det tidigare nämnda exemplet, inte passivt tog emot den indiska aritmetiken, utan att tillägnandet också anpassades Jag ska efter gå skrivs den in mer lokala på i detalj en traditionen. yta, på på ett särskilt vilken område, man kan utförandet radera, av ett division slags griffeltavla heltal inom eller arabisk ett sandbräd aritmetiken, 1329 utan 24. att tillägnandet också anpassades efter den lokala traditionen. Siffrorna och Jag europeisk ska gå in matematik. mer i detalj Låt på oss ett se särskilt på hur område, den beskrivs utförandet av Ibn av Tahir division i det tidigare av hel-nämndtal exemplet, inom arabisk och 1329 divisor och 24. europeisk ställs upp matematik. så: Låt oss se på hur den beskrivs av Ibn Dividend Tahir Siffrorna i det skrivs tidigare på nämnda en yta, på exemplet, vilken man 1329/24. kan radera, ett slags griffeltavla 2 4 eller ett sandbräde. Siffrorna skrivs på en yta, på vilken man kan radera, ett slags griffeltavla eller ett Dividend sandbräde. och divisor ställs upp så: Dividend och divisor ställs upp så: 1329 Subtrahera 5 24 = 120 från 132 (rest 12) 24 och skriv kvoten, 5, på andra platsen från höger, i en Subtrahera rad ovanför = 120 från 132 (rest 12) 5 och skriv kvoten, 5, på andra platsen från höger, 129 i i en en rad ovanför. 24 Flytta sedan divisorn ett steg till höger: Flytta sedan divisorn ett steg till höger: 5 Flytta sedan divisorn ett steg till höger: Division av 129 med ger kvoten Division av 129 med 24 ger kvoten Denna Denna skrivs skrivs längst längst till till till höger höger i i övre i övre raden. raden. 9 Subtrahera 5 24 = 120 från från (rest (rest 9). 9) är, i 55 9 Svaret är, i vårt nutida skrivsätt, 55 av 24 ( femtiofem hela och hela nio och delar nio av delar tjugofyra av delar tjugofyra av en delar av 24 delar av en hel ). hel ). hel ). Väsentligen samma metod att att utföra utföra division division fanns fanns redan redan tidigare tidigare i såväl i Indien såväl Indien äldsta som vittnesbörden Kina. som Kina. De Väsentligen samma De äldsta är metod från vittnesbörden Kina, att utföra men riktigt division är från hur Kina, kontakterna fanns men redan riktigt mellan tidigare hur dessa kontakterna i områden såväl Indien som Kina. äldsta mellan försiggått, vittnesbörden dessa det områden vet inte. är försiggått, från Att det Kina, verkligen det men vet vi riktigt funnits inte. Att hur matematiska det kontakterna verkligen kontakter funnits mellan är däremot matematiska Utförandet kontakter det av vet divisionen är däremot inte. ovan Att säkert. kunde det verkligen lika Utförandet väl ha funnits hämtats av divisionen matematiska från Kina ovan eller kunde Indien kontakter (därmed lika däremot inte säker dessa säkert. områden försiggått, Utförandet väl sagt ha att hämtats av inte divisionen från fanns Kina varianter eller ovan Indien på kunde temat). (därmed lika väl inte ha sagt hämtats att det inte från fanns Kina varianter eller Indien (därmed in sagt på Man temat). att lägger det inte märke fanns till att varianter resultatet på av temat). divisionen blev ett schema av formen Man Man lägger (heltals-)kvot märke till att resultatet av av divisionen blev blev ett schema ett schema av formen av formen täljare (heltals-)kvot nämnare täljare Det var nämnare också så som bråk kom att skrivas i indisk och arabisk matematik. I väster, i Det Nordafrika var också och så Spanien som bråk utvecklades kom att skrivas under 1100-talet i indisk och det arabisk skrivsätt matematik. som vi använder I väster, heltalsdelen var i Nordafrika också skrivs så som och för Spanien sig, bråk men kom utvecklades i öster att skrivas höll sig under det i indisk äldre 1100-talet skrivsättet och arabisk det kvar skrivsätt matematik. in på som 1400-talet. vi I väster, i i dag, där Det Nordafrika använder i dag, och där Spanien heltalsdelen utvecklades skrivs för under sig, men 1100-talet i öster höll det sig skrivsätt det äldre som skrivsättet kvar in skrivs på 1400-talet. för sig, men i öster höll sig det äldre skrivsättet kvar in på 1400-talet. vi använder i dag, heltalsdelen Den tekniska utvecklingen påverkade även de teoretiska vetenskaperna. Vi kan se motsvarande förhållande i dag, med datorernas genombrott. Inom den arabiska KVS inlaga 38.indd

16 16 Bo-Göran Johansson kulturkretsen ska bruket av papper ha introducerats från Kina genom krigsfångar från slaget vid Talas (nära gränsen mellan nuvarande Kazakstan och Kirgizistan). Här möttes en arabisk och en kinesisk armé år 751 och de båda makternas expansion kom att avstanna efter detta möte. I detta fall kan man tala om en teknikspridning genom en enda specifik kontakt (jag förmodar att Kina aktivt försökte behålla tekniken internt liksom i en del andra fall när den tekniska kunskapen var särskilt värdefull, och när muren brast skedde spridningen av tekniken snabbt). Kunskapen om papperstillverkning nådde snabbt Samarkand och i slutet av 700-talet tillverkades papper i Bagdad. Till de västra delarna av det arabiska området kom tekniken med en inte obetydlig fördröjning, till Spanien och Frankrike kom den under 1100-talet och till Italien först mot slutet av 1200-talet. Användningen av papper kom gradvis att förändra beräkningsteknikerna, inte den inre kärnan. Djupstrukturen, som innefattade de enskilda räkneoperationerna var densamma, men sättet att skriva ner delresultaten, alltså att lagra delresultat i ett yttre arbetsminne, förändrades. På papper är det ganska arbets- och tidskrävande att sudda ut text, men papperet rymmer betydligt mer än vad räknebrädan gjorde. De första försöken att anpassa de aritmetiska algoritmerna till papper gjordes vid mitten av 900-talet i Damaskus, men också i detta fall levde den nya tekniken parallellt med den gamla under lång tid. Mot slutet av 1200-talet hade beräkningar på papper troligen tagit över helt i de östra delarna av det arabiska området. Jag ger ett exempel som visar hur utvecklingen skedde inledningsvis. Det är hämtat från ett arbete (Solärt meddelande om räknekonsten) av den persiske teologen och vetenskapsmannen al-nisaburi, som levde och verkade i nordöstra Iran under tidigt 1300-tal (Leiden, Ms. Or. 204, f. 36b-37a). Här genomför han divisionen med 255. Han börjar med att skriva ner en tabell med dividenden, , i en övre rad och divisorn, 255, i en nedre: Så finner han den första siffran, 2, i kvoten och skriver den i en rad ovanför dividenden, på platsen ovanför den första siffran (dvs. siffran längst till höger) i divisorn. Sedan multipliceras 2 med divisorn, en siffra i taget, och resultaten subtraheras från dividenden och resten skrivs omedelbart nedanför. De förbrukade värdena raderas symboliskt med ett streck under var siffra. Slutligen flyttas divisorn en plats till höger i en ny rad KVS inlaga 38.indd

17 Kulturmöten i matematiken 17 nedanför den tidigare, och värdena i den tidigare raden raderas med ett streck Sedan upprepas denna procedur, siffra för siffra, och slutresultatet är följande: nedtill: kvoten är och resten (som bildas av de siffror som inte är understrukna) är 215. Sedan upprepas denna procedur, siffra för siffra, och slutresultatet är följande: kvoten är och resten (som bildas av de siffror som inte är understrukna) är Ett hundra Ett hundra år yngre år exempel yngre exempel visar på hur visar tekniken på hur utvecklades. tekniken utvecklades. Det är taget Det från är Nyckeln taget från till räknekonsten, Nyckeln skriven till räknekonsten, 1427 i Samarkand skriven av 1427 den i persiske Samarkand astronomen av den och persiske matematikern astronomen al- Kashi (Demirdash och matematikern & Hafni al-kashi 1967, s. (Demirdash 60-61). Det behandlar & Hafni 1967, divisionen s ) Det 565 behandlar. divisionen /565. Den väsentliga Den väsentliga förändringen förändringen är att när siffrorna att när siffrorna i kvoten i multipliceras kvoten med multipliceras divisorn och med subtraheras divisorn och från subtraheras dividenden, från dividenden, så görs det inte så görs längre det med inte en längre siffra med i taget. en Den första siffra siffran i taget. i kvoten, Den första 4, multipliceras siffran i kvoten, således 4, multipliceras (i huvudet) med således divisorn (i 565 huvudet) och produkten, med divisorn , skrivs och ner och produkten, subtraheras 2 från 260, 2 skrivs 274 i ner dividenden. och subtraheras Efter från subtraktionen i skrivs dividenden. resultatet, Efter 14, subtraktionen ner och 2 260skrivs raderas 1 resultatet, med 14, ett ner streck och under talet. raderas symboliskt med symboliskt På motsvarande ett streck sätt under bestäms talet. de övriga tre siffrorna i kvoten. För På varje motsvarande ny siffra sätt flyttas bestäms divisorn de övriga ett steg tre åt siffrorna höger När alla siffror i kvoten. i kvoten För beräknats varje ny och siffra motsvarande flyttas divisorn subtraktioner genomförts återstår i detta fall resten 1. ett steg åt höger. När alla siffror i kvoten beräknats och motsvarande subtraktioner genomförts återstår i detta fall resten 1. Kashis teknik Kashis är, teknik bortsett är, från bortsett det stegvisa från det förflyttandet stegvisa förflyttandet av divisorn, av påfallande divisorn, lik påfallande moderna uppställningarna lik de moderna för lång uppställningarna division. Men när för tekniken lång division. att räkna Men med när de indiska tekniken siffrorna att räkna introducerades med de i indiska Europa siffrorna så skedde introducerades det genom kontakter i Europa med så arabisk skedde matematik det genom inom kontakter med arabisk Här matematik förmedlades inom tekniken Medelhavsområdet. att räkna på räknebrädet Här förmedlades sand eller tekniken damm, Medelhavsområdet. men i Nordafrika att räkna på kom räknebrädet också en räknetavla med sand att eller utvecklas, damm, som men hade i Nordafrika en vit yta kom (av lera) också på en vilken räknetavla man kunde att skriva utvecklas, med bläck som och hade där en man vit lätt yta kunde (av lera) radera på vilken föregångare man kunde till skriva dagens whiteboard. med bläck Det är och troligen där den man som lätt beskrivs kunde också radera från en tidigt föregångare 1200-tal i till Italien dagens av Leonardo whiteboard. (Boncompagni Det är troligen 1857, s. den 7) som som en beskrivs tabula dealbata också (vid från den tidigt tidpunkt 1200-tal när i Leonardo Italien av av Pisa verkade hade pappersanvändningen ännu inte nått Italien). Den rymde mer information än det Leonardo av Pisa (Boncompagni 1857, s. 7) som en tabula dealbata (vid den tidpunkt när Leonardo verkade hade pappers användningen ännu inte nått Italien). äldre räknebrädet, vilket förde med sig att man inte behövde radera lika mycket under utförandet av räkneoperationerna. Den rymde mer information än det äldre räknebrädet, vilket förde med sig att Leonardo man beskriver inte behövde divisionen radera av lika mycket med under 19 så (Sigler, utförandet 2002, av s. räkneoperationerna ): Man skriver 19 under 56. Sedan divideras 184 med 19 och kvoten, 9, skrivs under 4:an KVS inlaga 38.indd

18 18 Bo-Göran Johansson Leonardo beskriver divisionen av med 19 så (Sigler, 2002, s ): Man skriver 19 under 56. (på en ny Sedan rad). divideras 184 med 19 och kvoten, 9, skrivs under 4:an 1 Så subtraheras (på en ny 9 19 rad). från 184: 9 3 Först 9 1 Så = subtraheras 9 ifrån 18. Resten, 9 19 från 9, skrivs 184: ovanför 4:an Sedan "sammanfogar" Först 9 1 = 9 man ifrån 9:an 18. Resten, med 4:an 9, och skrivs får 94, ovanför tar 9 94:an. = (på en ny rad). 9 och subtraherar Sedan sammanfogar från 94. Resten, man 13, skrivs 9:an med ovanför 4:an 9:an och och får 4:an. 94, tar Så Proceduren subtraheras = 81 hittills 9 19 och subtraherar illustreras från 184: med från den 94. första Resten, figuren: , skrivs ovanför 9:an (på Först en 9 1 ny = och rad). 9 ifrån 18. Resten, 9, skrivs ovanför 4:an :an. 6 Så Sedan Nu subtraheras ska "sammanfogar" nästa Proceduren siffra 9 19 i från kvoten man hittills 184: 9:an illustreras bestämmas. med 4:an och får 94, tar 9 9 = med den första figuren: I och dividenden subtraherar sammanfogas från 94. Resten, 13 med 13, 5:an skrivs till ovanför höger därom, 9:an och till 4:an. Först 9 1 = 9 ifrån 18. Resten, 9, skrivs ovanför 4:an Kvoten Proceduren vid division hittills illustreras 135/19 är med 7 och den 7:an första skrivs figuren: under 5:an (till Sedan "sammanfogar" Nu ska nästa siffra man i 9:an kvoten med bestämmas. 4:an och får 94, tar 9 9 = höger om 9:an.) subtraheras från 135, först 7 1 från 13, rest 6. 7 och subtraherar I dividenden från 94. sammanfogas Resten, 13, skrivs 13 med ovanför 5:an 9:an till och höger 4:an Sedan Nu ska 7 9 nästa = 63 siffra ifrån i kvoten 65, rest bestämmas. därom, till Proceduren hittills illustreras 2. med Dags den för första andra figuren: I dividenden 135. sammanfogas 13 med 5:an till höger därom, till Sista Kvoten siffran: Kvoten vid division Vi sammanfogar vid 135/19 division är 135/19 7 2:an och i 7:an dividenden är 7 skrivs och 7:an under med skrivs nästa 5:an siffra (till under 5:an (till Nu ska nästa siffra i kvoten bestämmas. till höger höger om höger därom, 9:an.). om 7 19 till 9:an.). 26. subtraheras Division 7 19 subtraheras 26/19 från 135, ger först kvoten från , 1, från och först 13, resten rest I dividenden sammanfogas 13 med 5:an till höger därom, till 135. från 13, Denna Kvoten Sedan 7 9 rest, vid = division 7, skrivs ifrån 135/19 65, ovanför rest är 2. bråkstrecket, 7 Dags och 7:an för andra skrivs ovanför figuren: under delarna, 5:an (till 19, till höger vänster om Sedan 9:an.). om 7 9 heltalskvoten 7 19 = subtraheras 63 ifrån , från rest 135, 2. Dags först för 7 1 andra från 13, figuren: rest Sista figuren: siffran: Vi sammanfogar 2:an i dividenden med nästa siffra Sedan 7 9 = 63 ifrån 65, rest 2. Dags för andra figuren: till höger därom, till 26. Division 26/19 ger kvoten 1, och resten Sista siffran: Vi sammanfogar 2:an i dividenden med nästa Denna rest, 7, skrivs ovanför bråkstrecket, ovanför delarna, 19, Sista siffran: Vi till sammanfogar höger därom, 2:an till i dividenden 26. Division med 26/19 nästa ger siffra kvoten 7 Leonardo till vänster skriver om heltalskvoten 1, och alltså resten bråkdelen Denna till vänster rest, 7, om skrivs heltalsdelen, ovanför bråkstrecket, 7, skrivs ovanför ovanför delarna, bråkstrecket, 19, ovanför till vänster delarna, om heltals- 19, 1 9 ett skrivsätt till höger därom, till 26. Division 26/19 ger kvoten 1, och resten 7. som 1 användes i Nordvästafrika Sista figuren: Denna rest, under 1100-talet och senare. Vi till ser vänster att Leonardo skriver kvoten under dividenden och utför subtraktionen 7 uppåt. Detta utförande kvoten om heltalskvoten av subtraktion Sista figuren: i samband med division var det gängse under lång tid i Europa, men till Leonardo skillnad Sista skriver från figuren: Leonardo alltså bråkdelen behöll man till vänster också det om äldre heltalsdelen, skrivsättet ett där skrivsätt divisorn som skrevs användes på nytt, i ett Nordvästafrika steg åt höger, under för varje 1100-talet ny siffra och som senare. togs fram i kvoten. En fullbordad beräkning kunde se ut Vi Leonardo så ser här att (från Leonardo skriver den alltså tidigare skriver bråkdelen alltså nämnda kvoten bråkdelen under till Trevisoaritmetiken dividenden vänster till om vänster och heltalsdelen, om från utför heltalsdelen, 1478, subtraktionen ett skrivsätt här (f. ett 36r) som skrivsätt uppåt. med användes divisionen som Detta användes 432 av = subtraktion 28 i under Nordvästafrika, med 1100-talet resten192 i samband i utförande Nordvästafrika / och under ): med senare talet division var och det senare. gängse under lång tid i Europa, men till skillnad Vi ser att Leonardo Vi från ser Leonardo att skriver Leonardo behöll kvoten skriver man också under kvoten det dividenden under äldre skrivsättet och dividenden där utför subtraktionen och divisorn utför skrevs uppåt. subtrak på tionen nytt, Detta ett steg åt höger, för varje ny siffra som togs fram i kvoten. En fullbordad beräkning kunde se utförande uppåt. av subtraktion Detta utförande i samband av med subtraktion division var i samband det gängse med under division lång tid var i Europa, det gängse men ut så här (från den tidigare nämnda Trevisoaritmetiken från 1478, här (f. 36r) med divisionen till skillnad under från lång Leonardo tid i Europa, behöll man men också till skillnad det äldre från skrivsättet Leonardo där divisorn behöll man skrevs också på nytt, det / 432 = 28, med resten192 ): ett steg åt äldre höger, skrivsättet för varje där ny divisorn siffra som skrevs togs fram på nytt, i kvoten ett steg. En fullbordad åt höger, för beräkning varje ny kunde siffra se ut så här som (från togs den fram tidigare i kvoten nämnda. En Trevisoaritmetiken fullbordad beräkning från 1478, kunde här se (f. ut 36r) så med här divisionen (från den / tidi 432gare = 28nämnda, med resten192 Trevisoaritmetiken ): från 1478, här (f. 36r) med divisionen /432 = 28, med resten 192): I detta exempel är metoden, som kom att kallas galärdivision, mer omständlig och mekanisk än den som Leonardo av Pisa presenterade 250 år tidigare. Men Leonardos metod kräver större mental uppmärksamhet, eftersom han inte stryker över förbrukade siffror och även kräver att man ska hålla reda på siffrornas placering. Samtidigt ger den en större I överskådlighet detta exempel åt är beräkningarna. metoden, som kom Exemplet att kallas från galärdivision, Treviso-aritmetiken mer är omständlig inte precis och uppbyggligt. mekanisk Det än den som som gör Leonardo skrivningen av så Pisa komplicerad presenterade är att 250 man år tidigare. arbetar med Men siffrorna Leonardos från metod vänster kräver större mot höger, mental vilket uppmärksamhet, tvingar fram eftersom ett stort antal han inte strykningar stryker över av siffror. förbrukade siffror och I detta exempel är metoden, som kom att kallas galärdivision, mer omständlig och Denna även kräver metod att återkommer man ska hålla i europeiska reda på siffrornas räkneböcker placering. under Samtidigt och ger 1600-talet den en större mekanisk än den som Leonardo av Pisa presenterade 250 år tidigare. Men Leonardos och dyker metod upp överskådlighet ibland ännu åt beräkningarna. bit på 1700-talet. Exemplet Men från var Treviso-aritmetiken och hur uppstod den? är Det inte finns precis likheter uppbyggligt. sätt att Det arbeta som som gör kräver större mental uppmärksamhet, eftersom han inte stryker över förbrukade siffror och med det även kräver att man ska vi skrivningen hålla såg i reda Nisaburis så komplicerad på siffrornas exempel, placering. men är att det man Samtidigt finns arbetar också med ger påtagliga siffrorna den en större skillnader, från framför vänster mot överskådlighet allt att höger, subtraktionen vilket tvingar åt beräkningarna. utförs fram Exemplet uppåt, ett stort men antal från också strykningar Treviso-aritmetiken i sättet att skriva av siffror. är divisorn. inte precis Jag uppbyggligt. denna metod har inte mött Denna Det metod återkommer som gör i arabiska i europeiska skrivningen medeltida så komplicerad arbeten. räkneböcker Kan under är Leonardo att man arbetar ha och lärt 1600-talet med sig den siffrorna i 1100-talets och dyker från Nordafrika upp ibland ännu vänster mot eller höger, på en vilket någon bit in på tvingar av 1700-talet. sina fram resor, Men ett är stort den var antal hans och egen hur uppstod strykningar skapelse, den? av eller Det siffror. representerar finns likheter den med en tradition, det sätt att Denna metod okänd arbeta återkommer för som oss, vi som såg i i europeiska redan Nisaburis fanns exempel, räkneböcker i Italien eller men under Spanien? det finns också påtagliga skillnader, och 1600-talet och dyker framför allt att subtraktionen utförs uppåt, men också i sättet att skriva divisorn. Jag har inte upp ibland ännu en bit in på 1700-talet. Men var och hur uppstod den? Det finns likheter med mött denna metod i arabiska medeltida arbeten. Kan Leonardo ha lärt sig den i 1100-talets KVS inlaga 38.indd

19 Kulturmöten i matematiken 19 I detta exempel är metoden, som kom att kallas galärdivision, mer omständlig och mekanisk än den som Leonardo av Pisa presenterade 250 år tidigare. Men Leonardos metod kräver större mental uppmärksamhet, eftersom han inte stryker över förbrukade siffror och även kräver att man ska hålla reda på siffrornas placering. Samtidigt ger den en större överskådlig het åt beräk ningarna. Exemplet från Treviso-aritmetiken är inte precis upp byggligt. Det som gör skrivningen så komplicerad är att man arbetar med siffrorna från vänster mot höger, vilket tvingar fram ett stort antal strykningar av siffror. Denna metod återkommer i europeiska räkneböcker under och 1600-talet och dyker upp ibland ännu en bit in på 1700-talet. Men var och hur uppstod den? Det finns likheter med det sätt att arbeta som vi såg i Nisaburis exempel, men det finns också påtagliga skillnader, framför allt att subtraktionen utförs uppåt, men också i sättet att skriva divisorn. Jag har inte mött denna metod i arabis ka medeltida arbeten. Kan Leonardo ha lärt sig den i 1100-talets Nordafrika eller på någon av sina resor, är den hans egen skapelse, eller representerar den en tradition, okänd för oss, som redan fanns i Italien eller Spanien? Vårt nuvarande sätt att ställa upp division började visa sig i Italien först under 1400-talet. Jag ger ett exempel, hämtat från Paciolis Summa de Arithmetica (Pacioli 1494, f. 34a). Pacioli kallade metoden danda (dare att ge, eftersom man ger, flyttar ner, siffror från dividenden till de nedre raderna), till skillnad från galea eller batello, galärmetoden. Här utförs divisionen /9 876 = 9 876: Hur kan det komma sig att Paciolis divisionsalgoritm, i princip densamma som den vi använder i dag, har mer gemensamt med den samtidiga östliga formen från Persien och Centralasien än med de äldre uppställningarna? En möjlig förklaring i detta fall är nog att utvecklingen i Europa pågått helt självständigt, utan kontakter med vetenskapen i öster. Vi skulle alltså här kunna ha ett exempel på konvergens, även om man inte kan utesluta gemensamma mötespunkter, exempelvis i Bysans. Troligen är det här användningen av papper som skrivmaterial som på var sitt håll har drivit fram en utveckling mot ett mer utrymmeskrävande men samtidigt mer överskådligt skrivsätt. KVS inlaga 38.indd

20 20 Bo-Göran Johansson 3. Slutsatser Det exempel som behandlats här, introduktionen av de indiska siffrorna i den arabiska och senare i den europeiska matematiken, visar att det har handlat om en komplex och sammansatt process om vilken vi ännu har och kommer att ha stora luckor i vår kunskap. Man kan säga att mötet mellan kulturerna i dessa fall har skett utmed en bred och omfattande kontaktyta. Och mottagandet har inte bestått i ett passivt mottagande från den ena parten, ett inflöde av kunskap i ett tomt rum. Det har varit en aktiv integration av den nya kunskapen i en redan etablerad tradition. (Däremot kan man nog säga att processen till stor del varit enkelriktad, från indisk vetenskap under 700- och 800-talen och först senare även i den andra riktningen, liksom från arabisk vetenskap till Europa.) Under långa perioder har olika tekniker använts parallellt och först långsamt har den äldre kunskapen, eller delar av den, förbleknat. I det här sammanhanget är Kuhns paradigmbegrepp inte så lätt att applicera. Det har knappast varit så, att ett nytt paradigm har ersatt ett äldre och problemfyllt, utan det kan bättre beskrivas som en mer eller mindre fullständig sammansmältning av två traditioner. I den processen kom sådan kunskap med, som kunde passa in i det befintliga systemet, medan annat utelämnades, som exempelvis den indiska aritmetikens behandling av negativa tal och noll, och dess kombinatorik. I den arabiska matematik, som nådde Europa under 1100-talet och senare, ingick inte de avancerade och nyare teknikerna som exempelvis det som senare kom att kallas Pascals triangel. Birunis stora arbeten i matematik, astronomi, geografi, historia med mera, skrivna i första hälften av 1000-talet, förblev också okända för det medeltida Europa. Däremot översattes Ibn Sinas samtidiga verk i medicin till latin inom de följande hundra åren och kom att användas som lärobok vid de europeiska universiteten. Inom medicin fanns det i Europa en äldre tradition, gemensam med Ibn Sinas, som underlättade tillägnandet. Avslutningsvis, åter till kulturmöten. Vi har sett några exempel från några äldre kulturer, där vi kan orientera oss i det matematiska innehållet: den inre strukturen kan tolkas i termer av dagens matematik. Men tolkningen innehåller också ett moment av vår egen syn på matematik och av det matematiska språk som vi använder i dag. Jag tror att detta är väsentligt om man vill ha tolkningar som är begripliga för dagens människor, men att man också bör försöka se andra kulturer utifrån deras specifika förutsättningar, alltså vidga perspektivet och se den specifika vetenskapen som en del i en större helhet. Tack Jag vill här framföra mitt tack till Christer Kiselman och Sten Kaijser som granskat manuskriptet och lämnat värdefulla synpunkter. Pristagarens föredrag den 8 oktober 2009 KVS inlaga 38.indd

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består

Läs mer

Multiplikation genom århundraden

Multiplikation genom århundraden Multiplikation genom århundraden För många elever i skolan kan multiplikation upplevas som något oöverstigligt. Addition och subtraktion kan de förstå sig på men inte multiplikation. Utan förståelse för

Läs mer

Bråk. Introduktion. Omvandlingar

Bråk. Introduktion. Omvandlingar Bråk Introduktion Figuren till höger föreställer en tårta som är delad i sex lika stora bitar Varje tårtbit utgör därmed en sjättedel av hela tårtan I nästa figur är två av sjättedelarna markerade Det

Läs mer

Att förstå bråk och decimaltal

Att förstå bråk och decimaltal Att förstå bråk och decimaltal Flera undersökningar som är gjorda visar att elever har svårt att förstå bråk. I undervisningen är det också vanligt att eleverna lär sig olika regler för bråk, men få förstår

Läs mer

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, Bråkform i vardagssituationer Stambråk, bråkuttryck med 1

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:.

2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. 2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. Inledning I det här kapitlet skall du studera vad tal är för någonting och hur tal kan organiseras och sorteras efter storleksordning. Vad skall detta vara nödvändigt

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

ARBETSPLAN MATEMATIK

ARBETSPLAN MATEMATIK ARBETSPLAN MATEMATIK Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera

Läs mer

1 Boris stegmätare visar att han har gått steg. Vad visar den när Boris har gått tio steg till? Fortsätt talmönstret.

1 Boris stegmätare visar att han har gått steg. Vad visar den när Boris har gått tio steg till? Fortsätt talmönstret. Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet ungefär i uppgift

Läs mer

Steg-Vis. Innehållsförteckning

Steg-Vis. Innehållsförteckning Innehållsförteckning SIDAN Förord 6 Inledning 7 Målgrupp och arbetssätt 8 Dåligt minne? 9 Nyckelfakta 10 Råd till pedagog 11 Tre matematiska lagar 12 10-komplement 14 Från subtraktion till addition 15

Läs mer

2-4: Bråktal addition-subtraktion. Namn:.

2-4: Bråktal addition-subtraktion. Namn:. -: Bråktal addition-subtraktion. Namn:. Inledning I det här kapitlet skall du räkna med bråk. Det blir inte så stökigt som du tror, eftersom vi talar om bråk i matematisk mening. Du skall lära dig hur

Läs mer

Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en

Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en o m e r f a r e n h e t o c h s p r å k Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en skapelseakt där

Läs mer

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller =

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller = n se ta l l ta al u at sen nt al rat l r l d d n iotu se hun tiot a ent a hu t tu + + 7 tiotusental tusental 7 tiotal 7 7 7 7 Ju längre till höger, desto större är talet. 7 > 7 Siffran betyder tiotusental

Läs mer

1 Julias bil har gått km. Hur långt har den gått när den har körts tio (3) kilometer till? Rita en ring runt det största bråket.

1 Julias bil har gått km. Hur långt har den gått när den har körts tio (3) kilometer till? Rita en ring runt det största bråket. Test 9, lärarversion Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet

Läs mer

Engelska... 2. Svenska... 6. Svenska som andraspråk... 7. Idrott och hälsa... 8. Musik... 9. Biologi... 10. Fysik... 11. Kemi... 11. Slöjd...

Engelska... 2. Svenska... 6. Svenska som andraspråk... 7. Idrott och hälsa... 8. Musik... 9. Biologi... 10. Fysik... 11. Kemi... 11. Slöjd... 2010-08-23 Lokal kursplan år 3 Engelska... 2 Svenska... 6 Svenska som andraspråk... 7 Idrott och hälsa... 8 Musik... 9 Biologi... 10 Fysik... 11 Kemi... 11 Slöjd... 12 Geografi... 13 Historia... 13 Religion...

Läs mer

2-5 Decimaltal Namn: Inledning. Vad är ett decimaltal, och varför skall jag arbeta med dem?

2-5 Decimaltal Namn: Inledning. Vad är ett decimaltal, och varför skall jag arbeta med dem? 2-5 Decimaltal Namn: Inledning Tidigare har du jobbat en hel del med bråktal, lagt ihop bråk, tagit fram gemensamma nämnare mm. Bråktal var lite krångliga att arbeta med i och med att de hade en nämnare.

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG matematik b Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG Övningsblad Potenser Multiplikation och division av potenser samt potens av potens Potenslagar Multiplikation av potenser med samma

Läs mer

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson

Talsystem Teori. Vad är talsystem? Av Johan Johansson Talsystem Teori Av Johan Johansson Vad är talsystem? Talsystem är det sätt som vi använder oss av när vi läser, räknar och skriver ner tal. Exempelvis hade romarna ett talsystem som var baserat på de romerska

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

Islams guldålder 750-1258. Vetenskap och kultur i muslimska länder under kalifen i Bagdad

Islams guldålder 750-1258. Vetenskap och kultur i muslimska länder under kalifen i Bagdad Islams guldålder 750-1258 Vetenskap och kultur i muslimska länder under kalifen i Bagdad Arabernas erövringar Arabernas erövringar Syrien 636, Jerusalem 638 Mesopotamien 637 Egypten 640 644 Nordafrika

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

3-5 Miniräknaren Namn:

3-5 Miniräknaren Namn: 3-5 Miniräknaren Namn: Inledning Varför skall jag behöva jobba med en massa bråk, multiplikationstabeller och annat när det finns miniräknare som kan göra hela jobbet. Visst kan miniräknare göra mycket,

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Islam. - Gud är en. - Koranen är Guds sanna ord. - Följ de fem pelarna. - Religion och vardagsliv är ett

Islam. - Gud är en. - Koranen är Guds sanna ord. - Följ de fem pelarna. - Religion och vardagsliv är ett Islam - Gud är en - Koranen är Guds sanna ord - Följ de fem pelarna - Religion och vardagsliv är ett En muslim tror att gud är en, den som inte är säker på det kan inte kalla sig muslim. Gud heter Allah

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 1. Procent och statistik Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Intervju med Stefan, testingenjör på Sony

Intervju med Stefan, testingenjör på Sony s. 10 TALSYSTEMETS Intervju med Stefan, testingenjör på Sony Fråga: Använder du matematik på ditt jobb? Svar: Jag använder matematik när jag testar hur stor brandbredd mobiltelefoner klarar av. Hastigheten

Läs mer

Om det finns något som de flesta som arbetar med barn är överens om, så är

Om det finns något som de flesta som arbetar med barn är överens om, så är inledning Om det finns något som de flesta som arbetar med barn är överens om, så är det att fantasi är något positivt och önskvärt i barns liv. Fantasi och kreativitet hör nära samman och det är just

Läs mer

1 Aylas bil har gått 14 999 kilometer. Hur långt har den (2) gått när hon har kört en kilometer till? 15 000

1 Aylas bil har gått 14 999 kilometer. Hur långt har den (2) gått när hon har kört en kilometer till? 15 000 Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet ungefär i uppgift

Läs mer

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt.

RÖRELSE. - Mätningar och mätinstrument och hur de kan kombineras för att mäta storheter, till exempel fart, tryck och effekt. RÖRELSE Inledning När vi går, springer, cyklar etc. förflyttar vi oss en viss sträcka på en viss tid. Ibland, speciellt när vi har bråttom, tänker vi på hur fort det går. I det här experimentet undersöker

Läs mer

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal

Matematik. Mål att sträva mot. Mål att uppnå. År 1 Mål Kriterier Eleven ska kunna. Taluppfattning koppla ihop antal och siffra kan lägga rätt antal Matematik Mål att sträva mot Vi strävar mot att varje elev ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik utveckla sin förmåga att

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Med anledning av de nya kursplanerna har Strävorna reviderats. Formen, en matris med rutor, är densamma men istället för att som tidigare anknyta till mål att sträva

Läs mer

Islam en livshållning Islams uppkomst

Islam en livshållning Islams uppkomst Islam Islam en livshållning Islam är en religion, men för muslimer har ordet religion en vidare innebörd än det i regel har för kristna. Muslimer anser att islam betecknar en livshållning, en grundläggande

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 2 augusti 2016 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0

Läs mer

Begrepps- och taluppfattning Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal.

Begrepps- och taluppfattning Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal. MATEMATIK ÅR1 MÅL Begrepps- och taluppfattning Kunna talbildsuppfattning, 0-10 EXEMPEL Du förstår sambandet mellan tal och antal, t.ex. genom att hämta rätt antal föremål till muntligt givna tal. Kunna

Läs mer

Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. - + Talsort ental, tiotal, hundratal osv siffran 7 är tiotal

Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. - + Talsort ental, tiotal, hundratal osv siffran 7 är tiotal TEORI Pixel 4A kapitel 1 Heltal Siffror 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tal skrivs med en eller flera siffror Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. Tallinje mindre färre sjunker -

Läs mer

3-3 Skriftliga räknemetoder

3-3 Skriftliga räknemetoder Namn: 3-3 Skriftliga räknemetoder Inledning Skriftliga räknemetoder vad är det? undrar du kanske. Och varför behöver jag kunna det? Att det står i läroplanen är ju ett klent svar. Det finns miniräknare,

Läs mer

Aritmetikens och algebras utveckling. Vladimir Tkatjev, MaI, LiU, ht2013

Aritmetikens och algebras utveckling. Vladimir Tkatjev, MaI, LiU, ht2013 Aritmetikens och algebras utveckling Vladimir Tkatjev, MaI, LiU, ht2013 Algebra och aritmetik Aritmetik: målet är själva räknesätt, dess utveckling och numerisk resultat. Ursprungligen ligger nära talteori.

Läs mer

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1

1Mer om tal. Mål. Grunddel K 1 Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: kunna multiplicera och dividera med positiva tal mi ndre än veta vad ett negativt tal är kunna addera och subtrahera negativa tal kunna

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning

Torskolan i Torsås Mars 2007. Matematik. Kriterier för betyget godkänd. Metoder: Arbetssätt. Muntligt. Problemlösning Torskolan i Torsås Mars 2007 Matematik Kriterier för betyget godkänd Metoder: Arbetssätt Ta ansvar för sin egen inlärning. Göra läxor. Utnyttja lektionstiden (lyssna, arbeta). Utnyttja den hjälp/stöd som

Läs mer

Bo skola 1 Matematikmål år F-3 Skriftligt omdöme/kunskapsinformation

Bo skola 1 Matematikmål år F-3 Skriftligt omdöme/kunskapsinformation Bo skola Matematikmål år - Namn: Strävansmål: Vi strävar efter att varje elev ska Utveckla goda baskunskaper i de fyra räknesätten Utvecklar en god förståelse för matematik och matematiska begrepp att

Läs mer

Datoraritmetik. Binär addition papper och penna metod. Binär subtraktion papper och penna metod. Binär multiplikation papper och penna metod

Datoraritmetik. Binär addition papper och penna metod. Binär subtraktion papper och penna metod. Binär multiplikation papper och penna metod inär addition papper och penna metod Dagens föreläsning: Lärobok, kapitel rbetsbok, kapitel Ur innehållet: hur man adderar och subtraherar tal i det binära talsystemet hur man kan koda om negativa binära

Läs mer

jämföra/storleksordna talen jämföra/storleksordna talen Jag kan jämföra/storleksordna talen

jämföra/storleksordna talen jämföra/storleksordna talen Jag kan jämföra/storleksordna talen Utveckling A Taluppfattning 0-100 Jag kan ramsräkna 0-100. Jag kan jämföra/storleksordna talen 0-100. Jag kan markera ut tal 0-100 på en tallinje. Jag förstår tiotal och ental för talen 0-100. B Taluppfattning

Läs mer

Målkriterier Beskrivning Exempel Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll.

Målkriterier Beskrivning Exempel Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll. ÖREBRO MATEMATIK, ÅR 3 1(5) Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll Eleven kan uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av vardagligt språk,

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

TAL OCH RÄKNING HELTAL

TAL OCH RÄKNING HELTAL 1 TAL OCH RÄKNING HELTAL Avsnitt Heltal... 6 Beräkningar med heltal...16 Test Kan du?... 1, 27 Kapiteltest... 28 Begrepp addition avrundning bas differens division exponent faktor kvadratroten ur kvot

Läs mer

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..

Läs mer

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6

BEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs

Läs mer

Livsfilosofins ursprung

Livsfilosofins ursprung Livsfilosofins ursprung Idag vet vi med ganska stor säkerhet att det för cirka 50 000 år sedan uppstod en stor förändring av människosläktets gener. En helt ny ras av människor fanns plötsligt på vår planet.

Läs mer

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

INNEHÅLLSFÖRTECKNING Majid Gorbani mgy01001@student.mdh.se CT3620 Mälardalens Högskola 13 oktober, 2005 1 SAMMANFATTNING Under 700- och 800-talet nådde den islamiska kulturen sin höjdpunkt efter det arabiska anfallet som täckte

Läs mer

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper

När vi läste Skolverkets rapport Svenska elevers matematikkunskaper Florenda Gallos Cronberg & Truls Cronberg Två perspektiv på att utveckla algebraiska uttryck Svenska elever påstås ha svårt med mönstertänkande. Eller är det så att de inte får lärarledd undervisning i

Läs mer

ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson

ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL. Matematikens grunder. för lärare. Anders Månsson ANDRA BASER ÄN TIO EXTRAMATERIAL TILL Matematikens grunder för lärare Anders Månsson Extramaterial till boken Matematikens grunder för lärare (art.nr. 38994), Anders Månsson. Till Tallära-kapitlet: Andra

Läs mer

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) Känguru 2014 Student sida 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal.

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Matematik klass 3. Höstterminen. Anneli Weiland Matematik åk 3 HT 1

Matematik klass 3. Höstterminen. Anneli Weiland Matematik åk 3 HT 1 Matematik klass 3 Höstterminen Anneli Weiland Matematik åk 3 HT 1 Minns du från klass 2? Tiokamraterna 10=5+ 10=1+ 10=2+ 10=5+ 10=4+ 10=0+ 10=9+ 10=4+ 10=7+ 10=3+ 10=6+ 10=10+ 10=2+ 10=1+ 10=3+ 10=7+ 10=6+

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Vad innebär det att undervisa i algebra i årskurs 1 3? Vart ska dessa

Vad innebär det att undervisa i algebra i årskurs 1 3? Vart ska dessa Åsa Brorsson Algebra för lågstadiet I denna artikel beskriver en lärare hur hon arbetar med algebra redan i de tidiga skolåren. Det är ett arbete som hjälper elever att förstå likhetstecknets betydelse,

Läs mer

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar

Läs mer

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Dagens program Introduktion och kursens översikt Varför problemlösning? Problemlösning ur historiskt perspektiv Information om kursen på hemsida Flervariabelanalysen

Läs mer

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1.

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. Varje lördag året om spelar tusentals svenskar på travspelet V75. Spelet går ut på att finna sju vinnande hästar i lika många lopp. Lopp 1: 5 7 Lopp 2: 1 3 5 7 8 11 Lopp 3: 2 9 Lopp

Läs mer

DIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013

DIAMANT. NaTionella DIAgnoser i Matematik. Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9. Anpassat till Lgr 11. Löwing januari 2013 DIAMANT NaTionella DIAgnoser i Matematik Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9 Anpassat till Lgr 11 Diamantmaterialets uppbyggnad 6 Områden 22 Delområden 127 Diagnoser Till varje Område

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera 6 7-1 7

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera 6 7-1 7 Övning Bråkräkning Uppgift nr 1 Vilket av bråken 1 och 1 är Uppgift nr Vilket av bråken 1 och 1 är Uppgift nr Skriv ett annat bråk, som är lika stort som bråket 1. Uppgift nr Förläng bråket med Uppgift

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Varför talar ingen om Suhrawardi?

Varför talar ingen om Suhrawardi? Om islamisk filosofi i västerländsk idéhistoria Klas Grinell, universitetslektor i idé- och lärdomshistoria Filosofen Shihab al-din Suhrawardi levde enligt vårt sätt att indela tidens gång under andra

Läs mer

MATEMATIK I FAMILJEN

MATEMATIK I FAMILJEN MATEMATIK I FAMILJEN Matematik i skolan Lärostoffet i matematik har under årens lopp genomgått endast små förändringar. Det brukar därför vara lätt för föräldrarna att känna igen innehållet i lärokurserna

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 4. Samband och förändring Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget

Läs mer

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk.

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk. täljare bråkstreck ett bråk nämnare Vilket bråk är störst? Ett bråk kan betyda mer än en hel. Olika bråk kan betyda lika mycket. _ 0 två sjundedelar en hel och två femtedelar > 0 > 0 < > > < > Storlek

Läs mer

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt

kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i vardagslivet kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt Lokal pedagogisk planering Matematik år 2 Syfte Undervisningen i matematikämnet ska syfta till att eleverna ska utveckla kunskaper om matematik och visa intresse och tilltro till sin förmåga att använda

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Religion VT 2015: Judendom, kristendom och islam Historia VT 2015: Medeltiden KORT SAMMANFATTNING

Religion VT 2015: Judendom, kristendom och islam Historia VT 2015: Medeltiden KORT SAMMANFATTNING Religion VT 2015: Judendom, kristendom och islam Historia VT 2015: Medeltiden KORT SAMMANFATTNING Vad 4b ska kunna i religion och historia torsdagen den 12 mars Kort sammanfattning Det ser nog ändå mycket

Läs mer

DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA

DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA DE FARLIGA OÄNDLIGHETERNA Grubblande över evigheten leder lätt till mental ohälsa! Det får man lära sig i en ovanligt läsvärd bok om de matematiska oändligheterna Det berättas att några judiska rabbiner

Läs mer

Addition, subtraktion, summa, differens, algebra, omgruppering, ental, tiotal, multiplikation, division, rimlighet, uppskatta

Addition, subtraktion, summa, differens, algebra, omgruppering, ental, tiotal, multiplikation, division, rimlighet, uppskatta LPP Matematik räknesätten År 2 Beskrivning av arbetet Addition och subtraktion 0 200 - med utelämnat tal - algebra - med omgruppering och tiotalsövergång Addition och subtraktion med hela 100-tal Se likheter

Läs mer

Pedagogisk planering aritmetik (räkning)

Pedagogisk planering aritmetik (räkning) Pedagogisk planering aritmetik (räkning) Vi kommer att arbeta med de fyra räknesätten i matematik. Syfte (ur Skolverkets kursplan) Under det här arbetsområdet kommer vi att arbeta med att utveckla följande

Läs mer

Matematikundervisningen har under

Matematikundervisningen har under bengt aspvall & eva pettersson Från datorernas värld Hur kan vi stimulera elever i matematik, och hur kan vi genom matematiken visa delar av datorns funktioner? Författarna visar hur man kan introducera

Läs mer

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret

Matematik. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret Balderskolan, Uppsala musikklasser 2009 Matematik Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det fjärde skolåret läsa och skriva tal inom talområdet 0 10 000 räkna de fyra räknesätten med olika metoder

Läs mer

Grundläggande programmeringsteknik Datorsystem

Grundläggande programmeringsteknik Datorsystem Datorsystem Från abakus till Z3 Datorsystem Från kursplanen Moment 3, Datorsystem 3hp I detta moment ges en introduktion till datorsystem och dess uppbyggnad. Minneshantering, vad en CPU är och gör samt

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

MATEMATIKUNDERVISNINGENS BLOCKERANDE MISSTAG 1

MATEMATIKUNDERVISNINGENS BLOCKERANDE MISSTAG 1 1 MATEMATIKUNDERVISNINGENS BLOCKERANDE MISSTAG 1 MATEMATIKUNDERVISNINGENS BLOCKERANDE MISSTAG Systematiska strukturella misstag Stora grupper elever Blockering av matematikutveckling Specifika innehållsliga

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

5-2 Likformighet-reguladetri

5-2 Likformighet-reguladetri 5-2 Likformighet-reguladetri Namn:. Inledning Du har nu lärt dig en hel del om avbildningar, kartor och skalor. Nu är du väl rustad för att studera likformighet, och hur man utnyttjar det faktum att med

Läs mer

Föreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning

Föreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning Föreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning Algebra Läroplanen om algebra och algebraiskt tänkande

Läs mer

Om kompetens och lärande

Om kompetens och lärande Om kompetens och lärande Vi bär på mycket mer kunskap än vi tror och kan så mycket mer än vi anar! När som helst i livet har du nytta och glädje av att bli medveten om delarna i din kompetens. Du funderar

Läs mer

Lokal studieplan matematik åk 1-3

Lokal studieplan matematik åk 1-3 Lokal studieplan matematik åk 1-3 Kunskaps område Taluppfat tning och tals användni ng Centralt Innehåll Kunskapskrav Moment Åk1 Moment Åk2 Moment Åk3 Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen

Läs mer

Grundläggande tabellkunskaper, addition och subtraktion

Grundläggande tabellkunskaper, addition och subtraktion Grundläggande tabellkunskaper, addition och subtraktion Kapitlet behandlar Test Grundläggande kombinationer, liten tabell 2 Fler kombinationer, stor tabell 3 Säkra tabellkunskaper 4 14 I detta kapitel

Läs mer

En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden.

En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden. En noggrant planerad och organiserad kurs i matematik är ibland alltför lik en fjällvandring som aldrig lämnar den markerade leden. Man ser en jämn ström av uppseendeväckande scenarier. Man undviker nog

Läs mer

Södervångskolans mål i matematik

Södervångskolans mål i matematik Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll

Läs mer