SPECIALKOMBINATIONER.

Transkript

1 OM SPECIALKOMBINATIONER. Akademisk Afhandling, som med vidtberömda Philosophiska Facultetens i Upsala samtycke till offentlig granskning framställes af MAG. VICTOR VON ZEIPEL och JAKOB LINDSTRÖM af Gottlands Nat. pa öfra Philosophiska lärosalen den 18 Mars p. v. t. e. m. VIII. UPSALA, C. A. LEFFLEU

2

3 57 J- n+1-1/?r..*n,-r-1+1 < men enligt (10) 7 är föregående formel detsamma som Emedan hvarje a, hvars index är större än n, är lika med noll, måste allmänna formen för termerna af tredje slaget vara (10) A, r+n+1-1 ' 'v.m-r-1+1 Då man i (8) ger b dess tillbörliga värden, erhållas tyd ligen r termer, identiskt lika med de r första termerna i (2): på samma sätt erhållas ur (O) n termer, identiskt lika med de nästföljande n termerna i (2) och ur (10) slutligen (m-r+1) stycken termer, hvilka äro identiska med de (m-r+1) sista termerna i (2); hvaraf således inses, att summan, som finnes, då (4) adderas till produkten af (1) och (5), är identiskt lika med (2); och alldenstund detta bevis är oberoende af värdet på r, måste (5) vara den quot, och (4) den rest, som upp kommer om divisions-methoden r gånger appliceras på (1) och (2), i det man betraktar (1) såsom divisor och (2) som dividend. Formeln (4), hvilken visar, att koefficienterna för de suc cessiva termerna inom samma rest äro de motsvarande derivator af koefficienten för första termen, hvilka erhållas, då den i 7 framställda derivations-lag appliceras på koefficienten 8

4 S8 för denna första term, är en af de hufvudformler vi i denna afhandling velat framställa. Den synes oss vigtig för läran om största gemensamma divisorn och således älven för läran om elimination samt för Sturmska theoremet, äfvensom för den derivations-lag, densammas framställande bringar i dagen. Vi skola här visa några applicationer så väl af denna formel som af (10) och (11) föregående. deras uti 1. Att bestämma m:te resten, som erhålles, då x-a divi xm-\-axx^-l-\-a2xm Am.xx~\~Am. Här är «=!,-«,=-a, a2 a? r/4 -.,.. an o. Enligt (11) 7 är Ü?0=1 Kx = Al-\-a, K.2=A2-\-A1a-\-a2 o. s. v. ända till Km d. v. s. den sökta resten, hvilken blir ett ur AmAa-\-Am,2a2 equations-theorien bekant resultat.... Aiam'l-{-am, 2. Att bestämma de 4 första termerna af quoten äfven som 4:de resten, som erhålles, då xi 2.r3+ 5.v2 7x+4 divideras uti xs 2.v6 + 4jc4 6x2 + 2x 14. Enligt formlerna (10) och (11) 7 finna vi, att kalky lerna framställa sig så, som visas i (II), (se nästa sida). I afseende på dessa equationer (i 1) må följande märkas: de koefficienter, som tillhöra första vertikalkolumnen af högra membrum i dessa equationer, äro i ordning lika med dividendens koefficienter med samma tecken; de, som tillhöra andra, tredje

5 vertikalkolumnen o. s. v., äro divisorns andra, tredje och föl jande koefficienter med («) / K0= 11 Ki= O.t+2. 1 ombytta tecken. /?2 = K3= (-3) if4 = (-9) - 5 (-5) + 7 o.i 2K4=-6.1 3/?4= 2.1 \ 4K4 = = 1 = 2 =- 5 1 = = 11 (-9) + 7 (-5) = (-9) - 4 (-3) =-57-4 (-9)= 58 =-14 och Den sökta quotens 4 första termer blifva alltså Xi + Zx* 3*2 9A: den sökta resten ll^4-f- 16 a:1 57 ^c2-f-3s a: Att bestämma differens-equationen af rötterna till equ. a-3 6a: 7 = o, d. v. s. att eliminera a: ur equationerna.v3 6 x 7 = o, 5 A:2- -5 w A:-f-M2 6 = 0. Enligt (10) och (11) 7 K0= 1.5 =1 JK,= u.K0=-5M blifva K2 = i«. ff, - (n2-6) 51 /?0=6 u2-56 ^}K2='-7.32-(M2-6)f?1=3n3^18u-63 och, om den ge-

6 .v5 eo mensamma faktorn 5 bortdivideras- ur K2 och äro de nya polynomer, på hvilka samina method bör appliceras, (2m2-12)X + (M3_ Gu 21) = O, 3*2 + 5MX+M2-6=O. Enligt nyss anförda equationer äro K0= 3(2M2-12) =!5 31«(t2w2-12)1-(u3-ßu-21)if0»3n8-i8M+63 /?2=(w2-6) (2m2-12)2-(M3-6U-21)/?1= 4(U2-6)3-5 (?t3-6t/-21) (M3-GM+2I ). Om värdet på K2 sättes lika med noll, är den uppkom mande equationen den sökta differens-equationen, hvilken, då termerna ordnas, blir M6-36 u4 -f 524 u = o. 4. Rekursionsformel för de Bcrnoulliska talen. Af Algebraiska Analysen veta vi, att fm\ f 1 22^1 %- 3 28Ä., (1).... cotx ±X S-X3-3xs etc. -- x r( 5) r(5) j\7) 7T>.*> 7T, men cotx = 1 f- _+ etc. r{ 3) j\5) r(7) ^ xs, x7 r(2) r(4) + /\6) etc* i och således måste quoten, som erhålles, då nämnaren i före gående equations högra membrum divideras uti täljaren vara term för term lika med högra membrum i (I). För att finna ifrågavarande quot, erinra vi oss, att ^ o, r(i)

7 ... B2x~ r(ö) ^3 = 0,... A2nAr=o, A2n-={-l)n samt att r(2n+i) ii =, Oj O, flj= * (l3 0 ).... uin.l O 1 (ton ( 1) r\a) 1 ' r(4) J 7 " x r(2n+2) och häraf följer, att r ^*2«-i ^"" )K, =(-*)* ' * i/f,,,...-(-1)" 1 K, ( " 'r(2»+i) r;.i) r;«} v r('2n+2) 0277 jr» » men It2n=~, J?2 _2=- = etc äfvensom 7t0 = ' och z\2n+i) /\2»-i) således O? I 26 I » i » i /.jy7 1 ' **277-3 i 1 **277-5 Z"\2n+1) Z\2n+i) T(4) r(2»-l) T(6) r(2n-3) v 7 r(2n+2) Om hela föregående equ. multipliceras med - 1 samt för sta och sista termerna af högra memkrum blilva sammanslagna och alla öfriga termer i detta membrum öfverflyttas till det venstra, erhålles ^ 22»ß2 _, 1 V^B^ 1 2^B^, ^n+x W 2n ^ ""K-1) i\2»+l) r(4) Z\2n-1) r(6) r(2n-s) v 7 r\2n+2) multipliceras derefter hela equ. (3) med +*>, blir Ii Ii <in (4)... (2«+l), ß2., - (2tt+l)s. ^-'+( (-f)»«., hvilken equ. just är den sökta rekursions-formeln. 5. Rekursions-formel för Sekant-koefficienterna. i Om vi erinra oss, att, Béxk. Bry.. 1) ' secx = 1+ -i + ---T+ etc. r(3) r(5) r(7)

8 % J_ x G2 7T 7T ->^> _ 2 2 och att secx. cos x.. i _L etc. x a: I\3) r(5) T(7) ^ samt utveckla den, i högra membrum af föregående equ., teck nade quot efter ofvan angifna formler, i det vi ihågkomma, att 1 ocli A... A =o och «0=1, «,=o, «,=, r(3) I a3 = o,...ä2jm = o, «2,=(-l)* så finna vi 1^üw+1] f$2 _t = o (21 l JK2re=iS(0/M+l} is,^l/n) + 5(2#w-I)-... +*9(11,1), då de här förekommande specialkombinationerna äro bildade af quantiteterna, J l_, J_ r(3)' r(5)' r(7)' h i\9) e c" och koefficienterna i den definierande equ. äro lika med 1. Multipliceras de equationer, som uppkomma, då man successivt i den sednare af equationerna (2) skrifver n-1, n-2, n-3 etc i st. för tt, i ordning med etc., erhålles r(3) r(5) r(7) L/f2n.2 = -JL js(0;n) +J_S(l/n-l)--L Ä2.n-2)-f-'etc. r(3) i\3) r(5) v r(3) v ~ + J_j?2 _4 = S(0,n-1)-»9(1,n-2) + -»9i 2 n-3) etc. r(3) r(3) v r(5) v ' y r(3) v ; Kj.6=--i *940,n-2) + _i_s(l,w-3) i_s(2,n-4) _i_ etc. r(7) r(7) ; J r(7) V/ J r(7) ' ^

9 63 (_1)»! K0=(-iy i S( v 0,1). yr(2n+1) -;r(2«+i) Men enligt equ. (10) 1 är summan af alla quantiteter på högra sidan om likhetstecknen detsamma som 8(1,w) 8(2,11-1) -f- 8(3,11-2) 8(4,n-3) + etc., hvilken sednare expression enligt equ. (2) är f*2n, så vida n>o. Flyttas nu i?2n öfver på venstra sidan och samman lägges med alla der förut varande termer, får man K2n -JL f?2n.2 + L i?2n.4 K2b., +(-! )n K =o, T(3) r(5) T(7) r(2n+l) men enligt equ. (1) är i?2n=- ^2", /f2n.2 =L-...K0=1 och således 7\2n+i) -1 ^2n2 + 1 ^ r(2n-l) =o. (5)..... ^2" /'(2«+i) r(3)r(2n-l) r(3)r(2n-3) 1 I(2n+1) sig Multipliceras hela equ. (5) med r(2n+l), förvandlar den till (4).... B2a (2«)2^2n.2 + (2«)4^2n (-l)n=o och är denna equ rigtig för alla obrutna värden på n, som äro större än noll. * 9. Om de successiva termerna i serien a{, a2, a3.... an äro lika med hvar sin af de successiva derivatorna

10 64 I cp*(x)... q>n(x) af en function <jd(x), och vi betraktade spe cialkombinationer af dessa derivator, hvilkas koefficienter äro bestämda genom (2) 4, så skola vi bevisa, att (i) ds(m,n)~ S (m,n+ 1) rjp1 (x),s (m - 1,11 + 1), då tecknet d har den i differential-kalkylen vanliga betydelsen. Om vi antaga, att (1) är sann för ett värde på m och alla möjliga värden på n, så bevisa vi först, att denna equ. förblir rigtig, om i st. f. m, skrifves m +1: d. v. s. vi skola bevisa, att (1) 4 ds (m +1,ti) S (m +1,» + ) cpl (x) S (mtn + 1). Om vi för korthets skull antaga m + «-l=a, så är enligt S (m+l,n) = k0 qpl (x) S(im,n) + k{ y2 (x) S (m,n-l) kn.x cpn(x) S(m,l) och således ds(m+1 n)=/*0<p2^' S (w'n)+älv8(jf) ' S ( k0cpl(x)ds{mfn)+kl(p2(x) ds(m,n-i)...+kn.1cpn(x)ds(m/l) J Om equ. (I) tillämpas på livar och en af de termer, som ingå i nedra raden blir denna af föregående equations högra membrum equation förvandlad till k0<v\x)s(m,n)+... +/f,^<jo"(x)s(m/2) +^.1^"+,(x^S(w/l) Aoqo^x) S(mtn+1)+klq>2(x)S(m,ii)... +A _1g>*(x)S(m,2) '-At0<p,(x)2S(wi-l/n+l)-_A1qp2(x)<pl(ijf)S(w-l/fi)...-ÄÄ.1q>*(x)qfr1(x)S{iii-l,2) men vi veta, att knq>n+x (x) S{m, l) = knq>n+1(x)(px (x)s(m-l,l) och således blir värdet af föregående equations högra membrum oförändradt, om den förra tillsättes med tecknet -j- i andra