( ) = B 0 samt att B z ( ) måste vara begränsad. Detta ger

Transkript

1 Lösningsförslag till deltentamen i IM601 Fasta tillståndets fysik Londons ekvation Måndagen den augusti, 011 Teoridel 1. a) Från Amperes lag och det givna postulatet får vi att: B = m 0 j fi B = m 0 j = - 1 l L A = - 1 l L B där vi har utnyttjat att B = A. Enligt den givna vektorrelationen i uppgiften får vi att B = ( B ) - B = - B eftersom B = 0 enligt Maxwells ekvationer. Sätts detta samman får vi slutligen att - B = - 1 l B fi l L B - B = 0 (.S..) L b) Eftersom geometrin på problemet är sådant att B = B z z utanför supraledaren, är det rimligt att ansätta att B = B z ( x) z inuti supraledaren. Detta ger oss direkt att B z ( x) x - B z ( x) = 0 eftersom övriga komponenter av Laplaceoperatorn i ett artesiska koordinatsystem, = x + y +, försvinner. Den allmänna lösningen till differentialekvationen är z = exp - x B z x + D exp x l L l L Randvillkoren till problemet är att B z 0 oss direkt att D = 0 samt att = B 0 varför lösningen är = B 0 samt att B z ( ) måste vara begränsad. Detta ger B = B 0 exp - x z l L (.S..) c) Meissnereffekten uppkommer på grund av att det bildas skärmningsströmmar på ytan av supraledaren, vilka motverka det yttre fältet (dessa skärmningsströmmar kan beräknas med hjälp av Amperes lag, B = m 0 j ). Eftersom Londons penetrationsdjup är av storleksordningen 0,1-1 mm i verkliga supraledare och fältet avtar exponentiellt inuti supraledaren, kommer en praktisk supraledare i Meissnertillståndet (typisk tjocklek mm och uppåt) att ha ett fält i mitten av supraledaren som är nästan lika med noll. Därav följer att B är praktiskt taget noll inuti supraledaren, vilket är det vanliga sättet att beskriva Meissnereffekten.

2 Defekter i material. a) En Schottkydefekt är en punktdefekt i form av en vakans (tom atomposition i gittret) som uppkommer när en atom lämnar sin atomposition i gittret och diffunderar ut till ytan av materialet. b) En Frenkeldefekt är en punktdefekt i form av både en vakans (tom atomposition i gittret) och en interstitial (extra atom på en plats som inte tillhör gittret) som uppkommer när en atom lämnar sin atomposition i gittret och diffunderar till en position inuti materialet som inte är en egentlig atomposition i gittret. c) En kantdislokation är en linjedefekt som består av en förskjutning av atomplan på sådant sätt att det fattas en hel rad av atomer i gittret längs en specifik riktning i materialet. Ser man det från sidan längs med dislokationsriktningen motsvaras tre rader av atomer i ett atomplan av att det bara finns två rader av atomer i nästa atomplan (den ena raden saknas). d) En skruvdislokation är en linjedefekt som består av en skjuvning av hela gittret runt en linje (dislokationsriktningen) genom materialet. Detta betyder att om man startar på ett givet atomplan och följer detta atomplan runt om skruvdislokationen, hamnar man inte på det atomplan som man startade på när man har gått ett varv runt skruvdislokationen (utan istället på nästa atomplan). Bandstruktur 3. a) Det finns energiband som korsar Fermiytan alltså finns det fritt rörliga elektroner i materialet, vilket betyder att det rör sig om en metall. b) Under Fermiytan finns endast ett band som verkar vara ungefär halvfullt (lika stor andel av bandet ligger ovanför Fermieenergin som under Fermienergin). Dessutom verkar detta energiband vara frielektronlikt med tanke på det paraboliska utseendet. Eftersom varje band maximalt kan innehålla två elektroner från varje enhetscell (total N elektroner per band och N enhetsceller) betyder ett enda halvfyllt band att det finns en fri elektron per enhetscell. (För den nyfikne kan nämnas att figuren visar en energibandsberäkning för Na.) Paramagnetism 4. a) När Sm förekommer i en metallegering, avger Sm-atomen elektroner till elektronbanden. I fallet med Sm som är trevärt i kemiska föreningar, avges 3 elektroner till elektronbanden. Dessa tre elektroner är dels de båda 6s-elektronerna och dels en av 4f-elektronerna. Därför är alla elektronskal utom 4f-skalet fyllda hos Sm och i 4f-skalet saknas en elektron som har avgetts till elektonbanden. Därför ska man räkna med 5 elektroner i 4f-skalet när man använder Hunds regler. b) Paulis paramagnetism är elektronbandens bidrag till paramagnetismen och beror på att det sker en omfördelning av antalet elektroner med spinn upp respektive spinn ner i elektronbandet när en metall utsätts för ett yttre fält. Det är endast ofyllda band som ger bidrag till denna effekt. Dela upp ledningselektronerna i elektroner med spinn upp och elektroner med spinn ned, så att den totala tillståndstätheten är D( E) = D ( E) + D Ø ( E) I nollfält är D ( E) = D Ø ( E) = 1 D ( E ). När fältet läggs på, ökar energin för de elektroner som har motriktat spinn mot det pålagda fältet och energin minskar för de elektroner som har

3 spinnet i samma riktning som det pålagda fältet. Energiändringen är m B B åt vardera hållet och antalet elektroner som byter spinnriktning blir N ª m B B D ( E F ) = 1 m B B D ( E F ). Detta ger att magnetiseringen kan tecknas: M = N m B + N Ø (-m B ) Susceptibiliteten kan nu tecknas ( = N - N Ø )m B = m B BD( E F ) c = m 0M B = m 0m BD ( EF ) Beräkningsdel Galliumarsenid, GaAs 1. a) Laddningsbärarkoncentrationen för en intrinsisk halvledare ges av: n i = p i = k 3 BT * * ph m e mh Numeriskt blir detta: 3 4 exp - E g 3 n i = 1, , p ( 1, ) k B T ( 0,066 0,51) 3 4 1,43 1, exp - 1, =1,9 101 m -3 =1, cm -3 b) Konduktiviteten hos en halvledare är s = nem e + pem h fi r = 1 s = 1 nem e + pem h Numeriskt får vi att: 1 r = 1, , = 3,9 108 Wcm = 3, Wm c) Ändringen i energigapets storlek kan direkt beräknas ur den givna formeln: 1,519 - = E g 500 K E g 300 K 5, ,519-5, = 1,371 1,45 = 0,933

4 Minskningen av energigapet är således 6,7 % eller e. d) Ändringen i laddningsbärarkoncentrationen blir: = n 500 K n 300 K exp - 1,371 1, , = 3, exp - 1,45 1, , dvs. laddningsbärarkoncentrationen vid 500 K blir 7, cm -3 akanser i aluminium, Al. Antalet vakanser i termisk jämvikt med gittret ges av uttrycket n N ª exp - E v k B T där N är antalet Al-atomer och E v är vakansbildningsenergin. Det sökta sambandet är = exp - E v n 773 K n 93 K Numeriskt ger detta att n 773 K n 93 K 1-1 k B T 773 T 93 0,65 1, = exp - 1, ª exp( 15,98) = 8, Magnetism i Zr 5 Sb 3 Fe 3. a) Av det linjära temperaturberoendet hos den inversa susceptibiliteten vid höga temperaturer kan vi dra slutsatsen att materialet är paramagnetiskt ovanför urietemperaturen T c ª 550 K. i ser vidare att den inversa susceptibiliteten fortsätter att successivt minska under T c, vilket betyder att susceptibiliteten fortsätter att öka med minskande temperatur. Detta är karakteristiskt för en ferromagnet. i ser även att den paramagnetiska susceptibiliteten följer urie-weiss lag c = c -1 = T - T c T - T c Detta är ytterligare ett tecken på att materialet är ferromagnetiskt vid låga temperaturer. i har således en ferromagnetisk fas vid låga temperaturer och en paramagnetisk fas vid höga temperaturer. b) i) Enligt urie-weiss lag gäller att den inversa ära susceptibiliteten ( N = N A ) bestäms av (i GS-enheter):

5 c -1 = T - T c där = N A p m B 3k B fi p = 3k B N A m B È Í SI : p = Î Í 3k B N A m 0 m B uriekonstanten kan beräknas från lutningen i grafen: 1 c = T - T c fi = T - T c c fi = emu K =1,06 emu K varvid det effektiva antalet Bohrmagnetoner blir p = 3 1, ,06 =,91 6, , Motsvarande räkningar utförda i SI-systemet blir: = p 10-6 m 3 K =1, m 3 K p = 3 1, , =,91 6, p , b) ii) Att m 0 M = 70 mt är konstant vid mycket låga temperaturer och höga fält betyder att detta är mättnadsmagnetiseringen hos provet. I detta fall gäller att M( 0) = n B Nm B, där n B är det effektiva antalet Bohrmagnetoner och N är antalet formelenheter per enhetsvolym. Eftersom det finns två formelenheter per enhetscell i det hexagonala gittret, får vi att: N = cell = 3a c Numerisk blir detta: n B = fi n B = M( 0) ( 8, ) 5, = m 0 M 0 = m 0 M 0 Nm B Nm 0 m B 4m 0 m B 4 4p , =1,11 Anm: Notera att n B skiljer sig från p som vi fann i föregående uppgift! Detta beror i huvudsak på att det endast är kvanttalet S som inverkar på ferromagnetismen, medan det är kvanttalet J som inverkar på paramagnetismen. 3a c