Om inget annan anges gäller det rumstemperatur, d.v.s. T =300K, termisk jämvikt och värden som inte ges i uppgiften hämtas från formelsamlingen.

Transkript

1 Komponentfysik Övning 1 VT-10 Om inget annan anges gäller det rumstemperatur, d.v.s. T =300K, termisk jämvikt och värden som inte ges i uppgiften hämtas från formelsamlingen. Utredande frågor: I Definiera Fermi-nivån i ord och hur kopplas den till koncentrationen av elektroner i ledningsbandet och hål i valensbandet på en halvledare? II Var i bandgapet ligger Fermi-nivån i: a) En intrinsisk halvledare? b) En p-typ halvledare? c) En n-typ halvledare? d) Vad händer med Fermi-nivån i (c) om vi ökar donatorkoncentrationen? III a) Definiera begreppen majoritetsladdningsbärare och minoritetsladdningsbärare. b) Hur är koncentrationerna av dessa kopplade till varandra i termisk jämvikt? c) I en dopad halvledare, vilken typ av laddningsbärare har man mest av (enligt a)? IV I en halvledare finns det två typer av strömmar: a) Vilka är det två? b) Vad är orsaken till (= drivkraften bakom) de två? c) Vilken riktning går de två strömmarna, och i vilken riktning rör sig laddningsbärarna (både elektroner och hål)? V a) Rita diagram med koncentration som funktion av x-koordinat i jämvikt och med en linjär koncentrationsgradient för både majoritetsladdningsbärare och minoritetsladdningsbärare för en n-typ halvledare. Förutsätt att laddningsneutralitet gäller (= båda koncentrationerna ökar lika mycket). Indikera vilken riktning de olika laddningsbärarna rör sig och i vilken riktning motsvarande strömmar går i. b) Rita ett banddiagram för en halvledare i termisk jämvikt och ett med en spänning över halvledaren. Indikera vilken riktning de olika laddningsbärarna rör sig och i vilken riktning motsvarande strömmar går i. VI Är följande grundämnen acceptorer eller donatorer i kisel och vilken typ av material ger de upphov till: a) As (arsenik), b) B (bor) c) P (Fosfor) d) Ga (gallium) Beräkningsuppgifter: 1 Beräkna var Fermi-nivån ligger med avseende på valensbandskanten (E V ) i kisel vid 300K. Tänk på att om materialet är dopat med både donatorer och acceptorer så är det nettoeffekten som gäller. (Om t.ex. N A >N D så gäller att den andra termen i ekvationen är -kt ln[(n A -N D )/n i ] a) Dopat med As: 1,010 0 m -3 respektive 1,010 4 m -3. b) Dopat med B: 1,010 0 m -3, 1,010 4 m -3. c) Samtidigt dopat med As: 1,010 0 m -3 och B: 1,010 0 m -3. d) Samtidigt dopat med As: 1,010 m -3 och B: 1,010 0 m -3. Anders Gustafsson 1(1) Uppdaterad:

2 Komponentfysik Övning 1 VT-10 a) Vi har en odopad (intrinsisk) diamant på 1,0 mm 3. Vid vilken temperatur har den diamanten precis en elektron i ledningsbandet? För diamant är N V = m -3 och N C = m -3. b) Om det istället är kisel, vilken temperatur gäller då? 3 Beräkna den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen för följande ämnen vid 300K. Antag att skillnaden i bandgap är den enda faktorn som spelar in, d.v.s. vi kan använda värdena på de effektiva tillståndstätheterna (N V och N C ) för kisel vid 300K för samtliga ämnen. a) Kol (C, dvs. diamant) b) Galliumarsenid (GaAs) c) Kisel (Si) d) Germanium (Ge) 4 Vid vilken temperatur är den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen lika stor som bakgrundsdopningen, N D, om N D = 1,010 0 m -3 och 1,010 4 m -3. a) För Si. b) För Ge med N D = 1,010 0 m Betrakta en bit kisel som har elektriska kontakter i båda ändar på dess längd, längs x-axeln och en area på 1,0 mm. a) Beräkna strömmen (= driftström, I drift ) för både elektroner och hål i n-typ kisel dopad med N D =1,010 m -3 med ett pålagt elektrisk fält,, på 100 V/m längs den positiva x-axeln. b) Samma ström som i (a) kan också genereras av en koncentrationsgradient. Hur stor koncentrationsgradient av hål, respektive elektroner behövs för att skapa samma ström (= diffusionsström, J diff ) i samma halvledare som i (a). Antag att det inte finns något elektriskt fält. c) Vi injicerar hål som ger en koncentration av p(0)=1,010 m -3 vid ena kontakten i n-typ kisel med en dopningskoncentration av N D =1,010 m -3. Det genererar en avtagande koncentrationsgradient av hål, motsvarande den i (b). Vid vilket avstånd från injektionspunkten har koncentrationen av hål p(x) gått ner till minoritetsladdningsbärarkoncentrationen, p n 0. d) Om en avtagande koncentrationsgradienten av elektroner motsvarande den i (b) skapas genom injektion av elektroner i p-typ material med N A =1,010 m -3 med en koncentration av n(0)=1,010 m -3, vid vilket avstånd från injektionspunkten har n(x) gått ner till minoritetsladdningsbärarkoncentrationen, n n 0. e) Vad beror skillnaden mellan (c) och (d) på? 6 Utgå från intrinsiskt kisel vid rumstemperatur och termisk jämvikt (=massverkans lag gäller). a) Beräkna elektron- respektive hålkoncentrationen och Fermi-nivån relativt valensbandskanten! b) Om Fermi-nivån ökas med 00 mev, hur stora är elektron- respektive hålkoncentrationen? c) Om Fermi-nivån istället minskas med 00 mev, hur stora är elektron- respektive hålkoncentrationen? Anders Gustafsson (1) Uppdaterad:

3 En allmän kommentar är att många formler innehåller exponentialfunktioner, vilket gör att svaren kan variera beroende på vilka värden som används. 1a) N D =1,010 0 m -3 : E F = 0,79 ev och N D =1,010 4 m -3 : E F = 1,03 ev b) N A =1,010 0 m -3 : E F =0,3 ev och N A =1,010 4 m -3 : E F = 0,08 ev c) 1,010 0 m -3 B och 1,010 0 m -3 As: E F = 0,56 ev d) 1,010 0 m -3 B och 1,010 m -3 As: E F = 0,91 ev a) 860 K b) 170 K 3a) C: n i =,410-1 m -3 b) GaAs: n i = 1, m -3 c) Si: n i = 8, m -3 d) Ge: n i = 4, m -3 4a) Si: N D = 1,010 0 m -3 : => 530 K, N D = 1,010 m -3 : => 860 K och N D = 1,010 4 m -3 : => 300 K b) Ge: N D = 1,010 0 m -3 : => 340 K, N D = 1,010 m -3 : => 580 K och N D = 1,010 4 m -3 : => 1900 K 5a) drift J n = ka/m och J drift p = 7, na/m b) dp dx = -1,106 m -4 dn dx = 3,9105 m -4 c) x= 86 μm d) x = 60 μm 6a) E F = 0,56 ev, n = p = 0, m -3. b) n =, m -3 och p = 4,410 1 m -3. c) n = 4,410 1 m -3 och p =, m -3. Anders Gustafsson 3(1) Uppdaterad:

4 I Fermi-nivån definieras ur statistiksynpunkt som den energinivå där det är 50 procents chans det finns en elektron, under förutsättning att det finns ett energitillstånd där. Över den nivån så är chansen mindre och under den nivån är chansen större. Med en Fermi-nivå någonstans i mitten på bandgapet så är chansen att hitta elektroner i valensbandet mycket stor och chansen att hitta elektroner i ledningsbandet mycket liten. Med en Fermi-nivå i mitten av bandgapet så koncentrationen av elektroner i ledningsbandet lika stor koncentrationen av hål i valensbandet. Samtidigt är koncentrationen av hål i valensbandet bara en bråkdel av elektronkoncentrationen. En ökning (höjning) av Fermi-nivån medför en ökning av elektronkoncentrationen i ledningsbandet och minskning av hålkoncentrationen i valensbandet. En minskning (sänkning) av Fermi-nivån medför en minskning av elektronkoncentrationen i ledningsbandet och ökning av hålkoncentrationen i valensbandet. II Fermi-nivån ligger: a) Mitt i bandgapet i en intrinsisk halvledare. b) I undre halvan av bandgapet i en p-typ halvledare. c) I övre halvan av bandgapet i en n-typ halvledare. d) Fermi-nivån ökar om vi ökar donatorkoncentrationen i en n-typ halvledare. III a) Begreppen gäller bara för dopade halvledare. Majoritetsladdningsbärare Är den typ man får från den aktuella dopningen och minoritetsladdningsbärare är den andra typen. Exempelvis, i en n- typ halvledare är elektroner majoritetsladdningsbärare och hål är minoritetsladdningsbärare. b) I termisk jämvikt är koncentrationerna av dessa kopplade genom massverkans lag. Det innebär att produkten av de två koncentrationerna är konstant, där produkten är lika med kvadraten på den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen. c) I en dopad halvledare har man flest majoritetsladdningsbärare. IV a) I en halvledare finns det driftström och diffusionsström. b) Driftströmmen orsakas av ett elektriskt fält, d.v.s. när det ligger en spänning över halvledaren och diffusionsströmmen orsakas av en skillnad i koncentration av laddningsbärare. c) Driftströmmen går från plus till minus, där elektroner rör sig mot pluspolen och hålen rör sig mot minuspolen. Diffusionsströmmen är lite mer komplicerad. Både elektron och hål rör sig från hög till låg koncentration, vilket gör att strömmen går från låg till hög koncentration för elektroner och från hög till låg koncentration för hål. Anders Gustafsson 4(1) Uppdaterad:

5 V a) Det vänstra diagrammet nedan visar koncentrationerna i jämvikt och det högra med en linjär koncentrationsgradient för både majoritetsladdningsbärare och minoritetsladdningsbärare för en n- typ halvledare. Dessutom har vi lagt in den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen. Både elektroner och hål rör sig från hög till låg koncentration, vilket med tanke på skillnaden i laddning leder till att strömmen går i skilda riktningar. Hålströmmen går från hög till låg koncentration, medan elektronströmmen går i motsatt riktning. Koncentration n n i Koncentration n I n n n i p p I p p x x b) Det vänstra banddiagrammet nedan visar en halvledare i termisk jämvikt, där det gråa bandet är valensbandet och det vita bandet är ledningsbandet. Det högra banddiagrammet visar en halvledare med en spänning över sig, plus på högersidan. Banden lutar då ner med -q U mot plussidan, Elektronerna i ledningsbandet följer nerförsbacken mot plussidan, vilket ger upphov till en ström mot minussidan. Hålen i valensbandet följer uppförslutningen mot minussidan, vilket ger en ström mot minussidan. I n -q U - I p + VI 1 a) As är ett grupp V ämne som har en extra elektron jämfört med Si, vilket är en donator och det resulterar i n-typ material. b) B är ett grupp III ämne som har en elektron mindre än Si, vilket ger är en acceptor och det resulterar i p-typ material. c) P, samma som i (a). d) Ga, samma som i (b). Anders Gustafsson 5(1) Uppdaterad:

6 En allmän kommentar är att många formler innehåller exponentialfunktioner, vilket gör att svaren kan variera beroende på vilka värden som används. 1 Fermi-nivån är en funktion av bandgapet, temperaturen och dopningskoncentrationen. För att räkna fram positionen på Fermi-nivån, behöver vi ekvationerna för Fermi-nivån. Generellt gäller att: E F = E V + E C E F = E V + E C ( ) ( ) + kt ln N D n i kt ln N A n i för en n-typ halvledare och för en p-typ halvledare. Om vi använder valensbandskanten E V som referensnivå ger det: E F = E g + kt ln N D ni för en n-typ halvledare och E F = E g kt ln N A n för en p-typ halvledare. i a) Dopat med As (n-typ): För N D =10 0 m -3 är: E F = 1,11 + 0,059 ln = 0,7935 = 0,79 ev För N D =10 4 m -3 är: E F = 1,11 + 0,059 ln = 1,031 = 1,03 ev E g = 1,11 ev n i = 1, m -3 kt = 0,059 ev b) Dopat med B (p-typ): För N A =10 0 m -3 är: E F = 1,11 0,059 ln = 0,3164 =0,3 ev För N A =10 4 m -3 är: E F = 1,11 0,059 ln = 0,0779 = 0,08 ev c) Samtidigt dopat med 1,010 0 m -3 B och 1,010 0 m -3 As. Här måste vi först räkna fram en effektiv dopkoncentration genom att ta fram skillnaden mellan den högsta och den lägsta koncentrationen. I det här fallet är båda koncentrationerna lika stor och tar ut varandra. Vad vi får kvar är intrinsiskt material, d.v.s. E F = E g / = 0,555 = 0,56 ev Anders Gustafsson 6(1) Uppdaterad:

7 d) Samtidigt dopat med 1,010 0 m -3 B och 1,010 m -3 As. För att få fram den totala laddningskoncentrationen räknar vi fram skillnaden mellan acceptor och donatorkoncentrationerna. Eftersom koncentrationen av As är högre än B är materialet n-typ, och den nettodopningen ges av: N Dnet = N D N A. N Dnet = =0,9910 m -3. E F = 1,11 + 0,059 ln 0, = 0,915 = 0,91 ev. Fermi-nivån ligger alltså i övre halvan av bandgapet för n-typ och undre halvan för p-typ. Ju högre dopning desto närmare bandkanten. a) Koncentrationen av elektroner är antalet genom volymen. Med en elektron i en diamant med en storlek på 1 mm 3 (=10-9 m -3 ) så är koncentrationen 1/110-9 m -3. För en given temperatur så är den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen: ( )e E g kt n i = 1,0 mm -3 k = 8, ev/k N V = m -3 N C = m -3 E g = 5,47 ev n i = N c N v För att lösa ut temperaturen för en given koncentration så kvadrerar vi och stuvar om lite i ekvationen T = E g ln N c N v k n i Med insatta värden blir det: 5,47 T = 8, ln = 86, K = 860 K b) Kisel har m -3, eller 10 7 mm -3 elektroner vid rumstemperatur. Det betyder att vi måste kyla ner kisel för att få ner elektronkoncentrationen. Temperaturen är nu istället: 1,11 T = 8, ln 1,04 105, = 17,46 K = 170 K n i = 1,0 mm -3 k = 8, ev/k N V = 1, m -3 N C =,810 5 m -3 E g = 1,11 ev Anders Gustafsson 7(1) Uppdaterad:

8 3 För att räkna fram den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen behöver vi ekvationen som ger den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen: n i = N C N V e E g kt. En förutsättning i uppgiften är att vi ska använda samma värden (för Si) för N C och N V för alla ämnen. a) n i (C) =, , e ( 5,47 0,059) =, =,410-1 m -3 b) n i (GaAs) =, , e ( 1,43 0,059) = 1, = 1, m -3 c) n i (Si) =, , e ( 1,11 0,059) = 8, = 8, m -3 Enligt tabellvärde är det 1, m -3. Skillnaden beror på att formeln gäller över ett stort temperaturintervall och tabellvärdet är ett experimentellt värde vid 300K. d) n i (Ge) =, , e ( 0,67 0,059) = 4, = 4, m -3 Här kan vi observera att den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen minskar med ökande bandgap. I diamant som är en isolator finns det inga fria laddningsbärare vid rumstemperatur. Ett litet tankeexperiment är att fundera på hur stor kristall man behöver för att hitta en elektron i ledningsbandet? Speciellt för diamanten! Anders Gustafsson 8(1) Uppdaterad:

9 4 För att räkna fram den temperatur som behövs för att den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen ska vara lika stor som dopningskoncentrationen behöver vi uttrycket för den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen: n i = ( N C N V )e Eg kt E g, vilket kan skrivas på ett par olika sätt ger: kt = ln n i N C N V eller E g kt = ln n i = ln N C N V N C N V n i Vi antar att det enda temperaturberoendet finns i det explicita T:et i ekvationen ovan. Med N D = n i ger det: E g T = = E g ln N C N V k ln N C N k N V D N D a) Si: N D = 1,010 0 m -3 : T = 535,05 =540K N D = 1,010 m -3 : T = N D = 1,010 4 m -3 : T = 1,11 8, ,11 8, ,11 8, ln, , [ ] ln, , [ ] ln, , [ ] = = 866,1 =870 K = 7,1 = 300K k = 8, ev/k N V = 1, m -3 N C =,810 5 m -3 E g = 1,11 ev b) Ge: 0.67 N D = 1,010 0 m -3 : T = 8, ln 1, ,110 4 k = 8, ev/k N [ ] = 344,7 V = 6,110 4 m -3 N C = 1, m -3 E g = 0,67 ev = 340 K 0,67 N D = 1,010 m -3 : T = 8, ln 1, ,110 4 [ 110 ] = 58,4 = 580 K 0.67 N D = 1,010 4 m -3 : T = 8, ln 1, ,110 4 [ ] = 1875,1 = 1900 K Ju högre dopning desto högre temperatur för att uppnå samma laddningsbärarkoncentration. Vi ser också att det lägre bandgapet kräver betydligt lägre temperaturer för att uppnå en bestämd intrinsisk laddningsbärarkoncentration. Anders Gustafsson 9(1) Uppdaterad:

10 5a) Driftströmmen som funktion av pålagt elektriskt fält i en n-typ halvledare ges av: I drift n = e Aμ n n n, där vi antar att alla donatorer är joniserade, d.v.s. n = N D. I drift n =1, , =, A = = ma Motsvarande hålström ges av: I drift p = e Aμ p p n, där p n fås ur massverkans lag: n n p n = n i. Strömmen blir följaktligen: I p drift = e Aμ p n i N D J drift p = 1, , = 7, A = 7, fa Vilket är betydligt mindre än elektronströmmen och hålströmmen är därför försumbar. b) För att räkna fram en koncentrationsgradient från en ström behöver vi sambandet mellan ström och gradient. Eftersom det handlar om kontinuerlig ström kan vi anta att vi har en konstant gradient, d.v.s. dp dx = p och dn x dx = n. Driftströmmen fåns (a) ges av elektronströmmen eftersom x hålbidraget enligt ovan är försumbart. Det gör att strömmen vi ska generera är 1,67 ma För hål gäller: I diff p = e A μ p U t dp dp. Det ger en gradient på: dx dx = N D = 1,010 m -3 μ n = 0,135 m /Vs μ p = 0,045 m /Vs e = 1, As = 100 V/m n i = 1, m -3 U t = 0,059 V A = 1,0 mm = 1,010-6 m diff I p e A U t μ p dp dx =, , ,059 0,045 = -1, = -1,10 6 m -4 Enheten m -4 anger en koncentrationsskillnad per längdenhet. Minustecknet anger att koncentrationen avtar i riktningen som motsvarar -fältets riktning i a). För elektroner gäller: dn dx = diff I n e A U t μ p dn dx =, , ,059 0,135 = 3, = 3,910 5 m -4 Plustecknet anger att koncentrationen ökar i riktningen som motsvarar -fältets riktning i a). Det första vi observerar är att vi får gradienter i olika riktningar för elektroner och hål. I båda fallen vill laddningsbärarna gå åt det håll som har lägst koncentration. Eftersom laddningsbärarna har olika laddning kommer avtagande koncentration [ dp dx < 0 ] att ge en positiv hålström medan en dn ökande gradient [ dx > 0 ] ger en positiv elektronström. Vi ser också att vi behöver en gradient som är större för hål än för elektroner. Det handlar om att det är lättare att flytta elektroner än hål, elektroner har en högre rörlighet. Anders Gustafsson 10(1) Uppdaterad:

11 c) Vi antar även här att vi har en linjär gradient, dp dx = p x, vilket för en given gradient från koordinaten 0 ger: x = x = p = p n n(x) p n (0) i N, där p(x) = p dp dp n 0 x = D p(0) dp dx dx dx enligt uppgiften ( ) x = 1, , = 8, m = 86 μm Man kan bortse från p n 0 i uträkningen eftersom p n (0) >> p n 0, (10 10 jämfört med 10 ), därför använder vi ungefär lika med () i andra steget. d) På samma sätt räknar vi fram sträckan i p-typmaterial: x = x = n i N A n p (0) dn ( dx ) , , =, m = 60 μm e) I båda fallen (c & d) kommer vi att ha samma strömtäthet, men eftersom det finns en skillnad i rörlighet mellan elektroner och hål så kommer vi behöva en kraftigare gradient för hål än för elektroner för att uppnå samma strömtäthet. Det gör att elektrongradienten sträcker sig längre in i halvledaren innan den går ner till jämviktsvärdet på minoritetsladdningsbärarkoncentrationen. En annan observation är att om vi tvingar ner koncentrationen på en kortare sträcka så får vi en högre ström och om vi tvingar ner den på en längre så får vi en lägre ström. 6a) Vi börjar med intrinsiskt kisel. Definitionen på intrinsiskt material är att n = p = n i i termisk jämvikt. Därför ges elektron- och hålkoncentrationerna av den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen: n i = ( )e N c N v E g kt. Med insatta värden blir det: N D = 1,010 m -3 p(0) = 1,010 m -3 dp/dx = -1, m -4 N A = 1,010 m -3 n(0) = 1,010 m -3 dn/dx = -3, m -4 N C =,810 5 m -3 N C = 1,010 5 m -3 kt(300) = 0,059 ev E g = 1,11 ev n i =, , e 1,11 0,059 = 8, = 0, m -3. Vilket kan jämföras med tabellvärdet på 1, m -3. Det betyder att elektron- och hålkoncentrationerna är 0, m -3. För en godtycklig halvledare vid termisk jämvikt ges Fermi-nivån av: E F = E v + E c + kt ln n. Eftersom vi har samma koncentration av elektroner som hål är den p andra termen noll. Som förväntat ligger då Fermi-nivån mitt i bandgapet, vilket relativt valensbandskanten ges av: Anders Gustafsson 11(1) Uppdaterad:

12 E F = E g = 1,11 = 0,55500 = 0,56 ev b) Om vi höjer Fermi-nivån med 00 mev hamnar den på n i = m -3 E V + 0,755 ev. Med en Fermi-nivå över mitten på bandgapet så rör det kt (300K) = 0,059 ev sig om n-typ material. Den generella formeln för Fermi-nivån i n-typ E g = 1,11 ev material under förutsättning att massverkan lag gäller ges av: E F = E v + E c + kt ln n = E g n i + kt ln n n = E g i + kt ln n i, vilket gör att vi kan lösa ut p n elektronkoncentrationen respektive hålkoncentrationen: n = n i e Det gör att: E F E g kt och p = n i e E F E g kt n = e 0,7551,11 0,059 =, =, m -3 0,7551,11. p = ,059 e = 4, = 4,410 1 m -3 Alternativt hade vi kunnat räkna ut hålkoncentrationen med hjälp av massverkans lag: n p = n i : p = 110 3, = 4, = 4,410 1 m -3 c) Om vi sänker Fermi-nivån med 00 mev hamnar den på E V + 0,355 ev. Med en Fermi-nivå över mitten på bandgapet så rör det sig om p-typ material. Vi använder samma ekvationer som i (b), Vilket ger: p = e 0,3551,11 0,059 =, =, m -3 n = e 0,3551,11 0,059 = 4, = 4,410 1 m -3 Alternativt hade vi kunnat räkna ut elektronkoncentrationen med hjälp av massverkans lag: n p = n i : n = 110 3, = 4, = 4,410 1 m -3 Som vi ser från (b) och (c) har vi bytt koncentrationerna. Det är vad vi hade förväntat oss eftersom vi har Fermi-nivåer på samma avstånd från mitten på bandgapet men på olika sidor om den. Den ena är n-typ och den andra är n-typ. Anders Gustafsson 1(1) Uppdaterad: