HALVLEDARE. Inledning

Transkript

1 HALVLEDARE Inledning Halvledare har varit den i särklass viktigaste materialkategorin för den högteknologiska utvecklingen under 1900-talet. Man kan också säga att inget annat exempel kan mer tydligt visa hur kvantmekaniken lyckats styra den teknologiska utvecklingen i en riktning som varit helt omöjlig inom ramen för den klassika fysiken. Med klassisk fysik kan man förklara att metaller har god ledningsförmåga och att ledningsförmågan avtar med ökande temperatur. Att isolatorer inte kan leda ström kan också enkelt förklaras med avsaknad av laddningsbärare i materialet. Att ett material leder ström mycket dåligt vid låga temperaturer men förbättrar sin ledningsförmåga med ökande temperatur går inte att förklara med klassik teori går däremot inte att förklara med klassisk fysik. Utgående från elektronbandstrukturen kan man härleda ledningsförmågan hos halvledare. Verkliga halvledare har en mer komplicerad elektronbandstruktur än de schematiska diagram som jag visat i avsnittet om energiband. Figur 1 visar ett energibanddiagram för germanium. Kisel har samma kristallstruktur som germanium (diamantstruktur) och har ett liknande diagram men med ett större bandgap, 1.1 ev mot germanium 0.67 ev. Germanium har hybridorbitaler av 4s 1 p 3.Hybrid innebär att det finns fyra orbitaler som är linjärkombinationer av s- och p x, p y och p z orbitaler. Det finns N k-tillstånd per band, N är antal gitterpunkter i kristallen (eller per volymsenhet kristall). Diamantstrukturen har fcc-gitter med två atomer i basen. Det ger 8 valenselektroner per gitterpunkt, två elektroner i varje k-tillstånd och därmed 4 fyllda band (vid 0 K), dvs 4 valensband vilket framgår av figuren. Bandgapet är indirekt vilket innebär att valensbandets maximum (=valensbandkanten) och minimum för ledningsbandet (=ledningsbandkanten) inte inträffar för samma k. Ett direkt bandgap har bandkanterna vid samma k. Vad ni också ska observera är att valensbandkanten ligger i zon-centrum (k=0). En annan sak värd att påpeka men som inte framgår av diagrammet är att krökningen på banden vid bandkanterna är kraftigare än för FEM-band. Den enklaste modellen för en halvledares elektrontillstånd, som vi kommer att använda här, utgår från FEM-lika band i bandkantsområdena, dvs E(k) µ k 2 för både valens- och ledningsband. Krökningen på banden är kraftigare än för rena FEM-band och det innebär att de effektiva massorna för hål respektive elektroner är lägre än frielektronmassan. Man inför dessutom att banden är ickedegenererade, de olika banden har olika energi för samma k-tillstånd. Dessutom har modell-halvledaren ett direkt bandgap. En schematisk skiss av energibanden ser ut som i figur 2. Valensbandskanten ligger vid E=0 vilket inte är den verkliga energin men införs för att förenkla beräkningarna. I en halvledarkristall utan föroreningar kan tillskottet av elektroner i ledningsbandet endast komma från elektroner som exciterats från valensbandet. Det innebär att det finns lika många hål i valensbandet som elektroner i ledningsbandet. Man brukar kalla dessa elektroner och hål för intrinsiska laddningsbärare därför att de kommer från kristallens egna atomer (värdatomerna). 1

2 Figur1. Kopierad från Kittel, Introduction to Solid State Physics. 2

3 E(k) ledningsband FEM-band E c E F E g E v FEM-band k valensband hål Figur 2 Antalet ledningselektroner och hål Hur många elektroner som befinner sig i tillstånd i ledningsbandet beror på temperaturen och bestäms kvantitativt av Fermi-Diracs fördelningsfunktion och tillståndstätheten. Antalet intrinsiska elektroner i ledningsbandet är: n i = g e ( E) f FD (T,E)dE Ú E c Indexeringen på tillståndstätheten, g e markerar att den gäller för elektronerna i ledningsbandet. Integreringen görs över hela ledningsbandet från bandkanten på ledningsbandet med energin E c till oändligheten. Elektronens energi i ledningsbandet är för FEM-lika band: E = E c + h2 k 2 2m e m e är elektronens effektiva massa. Eftersom en halvledare inte är en frielektronmetall så anpassar man detta med att införa en effektiv massa, precis som för icke frielektronlika metaller. Uttrycket ovan kan skrivas om: E - E c = h 2 k 2 2m e 3

4 Tillståndstätheten kan uttryckas p.s.s som i FEM: g e (E) = 1 2p 2 Ê Á Ë 2m e h 2 ˆ 3 / 2 (E - E C ) 1/ 2 Fermi-Diracfördelningen kan förenklas om E-E F >> k B T. (k B T 25 mev vid rumstemperatur ) vilket gäller för det intressanta temperaturområdet, givet att vi antar att ferminivån E F ligger mitt i bandgapet men framförallt inte för nära bandkanterna. Notera att vi använder begreppet ferminivå för kemiska potentialen i sammanhanget halvledare. Som tidigare nämnts i Metallers egenskaper så gör man det i halvledarbranschen. Ferminivån skall inte sammanblandas med fermienergin för metaller även om de båda har samma beteckning. f e = 1 ( ) / k B T +1 ª e E F - E e E- E F ( )/ k B T => n i = 1 2p 2 Ê Á Ë 2m e h 2 ˆ eftersom E c =E g : 3 / 2 e E F / k B T E - E c Ú E c ( ) 1/ 2 e - E / k B T de = Ê 2 m k T e B Á ˆ Ë 2ph 2 3 / 2 ( e E F -E c )/ k B T n i = 2 m k T 3/ 2 Ê e B ˆ ( Á e E F - E g )/ k B T Ë 2ph 2 (1) Eftersom E g E F kommer antalet elektroner att öka exponentiellt med ökande temperatur, som figur 4 visar. Inte bara elektronerna i ledningsbandet bidrar till elektrisk ledningsförmåga. Valensbandet töms på elektroner vilket gör det möjligt för elektroner i de översta nivåerna att byta tillstånd inom bandet men istället för att beskriva elektronerna i valensbandet så beskriver man de tomma tillstånden, hålen som fysiska partiklar. Den bilden är enklare att använda för det blir en spegelbild till elektronerna i ledningsbandet. Hålets energi i det paraboliska valensbandet är: E = - h 2 k 2 2m h m h är hålets effektiva massa. Tillståndstätheten för hål är: g h (E) = 1 Ê Á 2p 2 Ë 2m h h 2 ˆ 3/ 2 (-E) 1/ 2 (E<0 i valensbandet) 4

5 Sannolikheten för hål i valensbandet bestäms av 1-f FD (E,T). Eftersom vi antar att ferminivån ligger någonstans mitt i bandgapet så gäller för energier i valensbandet att E F -E >> k B T och Fermi-Dirac-funktionen kan förenklas till: 1-1 ( ) / k B T + 1 = 1 ( ) / k B T +1 ª e E- E F e E- E F e E F -E ( )/ k B T Antalet hål kan uttryckas som: 0 p i = Ú g h ( E)(1 - f FD (T, E))dE = 2 m k T 3/ 2 Ê h B Á ˆ e -E Ë 2ph 2 F / k B T (2) - Diagrammet nedan visar funktionerna som ingår i integralerna i ekv. (1) och (2), tillståndstätheterna och Fermi-Diracs fördelningen och produkterna av dessa, dvs elektrontätheten per energienhet vid en viss temperatur. Ytan under produkterna är B f FD (E,T) E F g h (E) g e (E) 5 30 g h (E)*(1-f FD (E,T)) g e (E)*f FD (E,T) 0 E v =0 E c E Figur 3 lika med n i respektive p i. Observera att n i och p i står för antal elektroner och hål per volymsenhet. Multipliceras n i och p i (uttrycken enligt ekv.(1) och (2)) så erhålls produkten: Ê n i p i = 4 k T B Á ˆ Ë 2ph 2 3 ( ) 3/ 2 e - E g / k B T (3) m e m h vilket är ett användbart uttryck eftersom inte ferminivån ingår. För en intrinsisk halvledare gäller att det finns lika många elektroner i ledningsbandet som antalet hål i valensbandet vid en viss temperatur: 5

6 Ê n i = p i = n i p i = 2Á k BT ˆ Ë 2ph 2 3 / 2 ( ) 3 / 4 e - E g / 2k B T (4) m e m h Figur 4 visar den exponentiella ökningen av antalat laddningsbärare i lednings respektive valensband. Brytpunkten, den temperatur som ökningen blir markant beror av bandgapet storlek. Kisel med 1.1 ev bandgap har brytpunkten över rumstemperatur och rent kisel har därför mycket dålig ledningsförmåga vid rumstemperatur. InSb med bandgapet 0.18 ev har en kraftig ökning av antalet antal elektroner(hål) Temperatur laddningsbärare redan i rumstemperaturområdet. Figur 4 Ekv. (4) är mer användbar än ekv. (1) och (2) eftersom den inte innehåller ferminivån. Ferminivån är temperaturberoende vilket framgår av följande: Ekv. (2) och (4) ger varsitt uttryck för antalet hål: 6

7 Ê p i = 2 m hk B T ˆ Á Ë 2ph 2 3 / 2 e -E / k T F B Ê p i = 2 k BT ˆ Á Ë 2ph 2 fi 3 / 2 e -E / k F B T Ê m = e ˆ Á Ë m h ( ) 3/ 4 e - E g / 2k B T m e m h 3/ 4 e -E g / 2k B T fi E F = 1 2 E + 3 g 4 k T ln Ê m ˆ h B Á (5) Ë m e Fermienergin hamnar alltså någonstans i bandgapet och om elektroner och hål har lika stora massor eller temperaturen är 0 K så hamnar den mitt i bandgapet. Skillnaden i effektiv massa för hål och elektroner i kisel och germanium är inte så stor att det skjuter fermienergin nära någon av bandkanterna. Det innebär att antagandena som gjordes tidigare om E-E F >> k B T och E F -E >> k B T gäller inom modellen. Konduktivitet och mobilitet Drudes uttryck för en frielektronmetalls konduktivitet kan användas även för halvledare om man inför effektiv massa och adderar bidragen från hål och elektroner: s = ne2 t e m e + pe2 t h m h (6) Konduktiviteten beror av antalet elektroner i ledningsbandet och hål i valensbandet vilka ökar exponentiellt med ökande temperatur. Det finns förutom n och p ytterligare två tempraturberoende storheter, t e och t h men med ett mycket svagare temperaturberoende. Man kan visa (vilket ligger utanför ramen för denna kurs) att: t µ T 3/ 2 vid låga temperaturer när kollisioner med föroreningar dominerar och t µ T -3/ 2 vid högre temperaturer när kollisioner med fononer dominerar. Vad som avses med hög respektive låg temperatur beror av föroreningshalten i provet och brytpunkten förflyttas mot högre temperaturer med ökande antal föroreningar. Temperaturberoendet är alltså inte detsamma som för t i metaller. Konduktiviteten begränsas något av att elektronernas rörlighet påverkas av föroreningar och fononer och man inför därför en storhet för laddningsbärarnas rörligheten, mobiliteten: 7

8 m = v drift / E som den fältoberoende driften. E är beloppet på elektriska fältet och v drift är som för metaller drifthastigheten i ett yttre elektriskt fält. Vid härledningen av drifthastigheten i avsnittet om metallers konduktivitet: v drift = qe m t Det innebär att mobiliteten för ledningselektroner respektive hål kan uttryckas i t e och t h enligt: m e = et e m e m h = et h m h Konduktiviteten i ekv. (6) kan då uttryckas i mobilitet: s = nem e + pem h (7) och med ekv. (4) för antalet laddningsbärare vid intrinsisk ledning insatt: Ê k s = 2e B T ˆ Á Ë 2ph 2 3/ 2 ( m e m h ) 3 / 4 e - E g / 2k B T m e + m h ( ) För högre temperaturer och/eller låg föroreningsgrad är mobiliteterna propotionella mot T -3/2 : m µ T -3/ 2 Det innebär att konduktivitetens temperaturberoende (utom vid riktigt låga temperaturer) endast återfinns i exponentialfunktionen: s(t) µ e - E g / 2k B T En halvledares bandgap kan därför bestämmas genom att mäta ledningsförmågan vid olika temperaturer, se figur 5 nedan. Det kommer ni att få göra på laborationen Halvledarfysik. Mobiliteten går inte att mäta direkt men det finns en metod att bestämma antalet laddningsbärare. 8

9 lutningen=e g /2k B log( s i ) 1/Temperatur Figur 5 9

10 Halleffekt Halleffekt är ett fenomen som uppstår i ett material med både elektron- och/eller hålledning och innebär att laddningarna separeras i närvaro av ett yttre elektriskt och magnetiskt fält pga av Lorentzkraften. Antalet laddningsbärare av den typ som är i majoritet i kristallen (hål eller elektroner) kan bestämmas från en Halleffektsmätning och mäter man dessutom provets konduktivitet så kan mobiliteten bestämmas ur sambandet i ekv. (7). Halleffekten kommer att mätas på laborationen Halvledarfysik och labinstruktionen innehåller också en härledning. OBS, måste göras som förberedelse till laborationen! Störledning I föregående avsnitt behandlades egenledning i halvledare. Inget prov är dock helt fritt från föroreningar och i halvledare kan dessutom föroreningar av kontrollerad sort och mängd användas för att erhålla en önskad ledningsförmåga. Denna typ av medveten förorening av ett prov kallas dopning. Här följer en fysikalisk beskrivning av dopning, dess påverkan på laddingsbärarantalet och ledningsförmågan. n-dopning Kisel och germanium kristalliserar i diamantstruktur med kovalenta bindningar. Det innebär att de fyra valenselektronerna s 2 p 2 binder till fyra andra atomer. Dopar man med ett grundämne som har en elektron mer, dvs har fem valenselektroner som fosfor, arsenik eller antimon binder föroreningsatomen till fyra värdatomer men den femte elektronen blir över och blir mycket löst bunden till föroreningsatomen. Dopning med ett grundämne som har fler valenselektroner än värdmaterialet kallas för n-dopning. n för elektroner eftersom den löst bundna elektroner ger ett tillskott av elektroner som lätt exciteras till ledningsbandet. Figuren nedan visar detta i en förenklad endimensionell bild. Donatoratomen (donator=föroreningsatom med fler valenselektroner än värdatomen) är markerad med grå färg, alla elektroner som deltar i de ordinarie kovalenta bindningarna är mörkgrå och den löst bundna extra elektronen är ljusgrå. Till höger visas ett schematiskt energidiagram där ledningsband och valensband visas som fyrkantiga rutor efter en energi-axel vertikalt men ingen horisontell skala (ingen k-axel). Inom halvledarfysiken är denna mycket enkla bild vanligt förekommande. Energibandens bredd motsvaras av rutans längd i y-led. En energinivå, dopnivån strax under ledningsbandet anger energin hos donatorernas extra elektron. Den är löst bunden och har därför mycket högre energi än elektronerna i valensbandet. Från donatornivån som har ett mycket mindre bandgap (beteckning E d ) kan elektroner exciteras vid mycket lägre temperatur än från valensbandet. Donatorbandgapet är i storlek mev för fosfor, arsenik och antimon i kisel och germanium. Donatorerna brukar förekomma i koncentrationer 1 donator på värdatomer och kan öka ledningsförmågan med en faktor vid rumstemperatur för kisel. Antalet elektroner i donatornivån är alltså relativt begränsat jämfört med elektroner i valensbandet och det innebär att donatornivån har tömts vid höga temperaturer. Samtliga elektroner som tillhör donatorerna befinner sig då i ledningsbandet och samtliga donatorer är därmed joniserade. 10

11 Figur 6 n-dopad HALVLEDARE T=0K ledningsband Ed dopnivå Eg Donator har en elektron mer än värdatomerna valensband Antalet donatorer betecknas med N d. Figur 7 visar hur elektroner exciteras från dopnivån vid låga temperaturer och över en viss temperatur är samtliga elektroner i dopnivån exciterade till ledningsbandet. Vid höga temperaturer exciteras också elektroner från valensbandet och dessa blir vid en tillräckligt hög temperatur så många att dopningen inte har någon betydelse. Figur 8 nedan visar antalet ledningselektroner som funktion av invers temperatur. Brytpunkten mellan egenledning och fullständigt 11

12 störledning bestäms av antalet donatorer, ju fler donatorer per volymsenhet ju högre temperatur vid brytpunkten. Kisel och germanium har så stort bandgap att egenledningen är mycket liten vid rumstemperatur. Ledningsförmågan vid rumstemperatur bestäms därför av koncentrationen donatorer i dopat kisel och germanium: s = N d em e Bidraget från hålledningen kan försummas, p<< N d vid rumstemperatur. 12

13 k B T<<E d E d <k B T<<E g ledningsband dopnivå Ed E g ledningsband dopnivå Ed E g valensband valensband störledning jonisering av donatorerna fullständigstörledning fullständig jonisering av donatorerna k B T<E g ledningsband Ed dopnivå E g valensband Figur 7 egenledning (intrinsisk) 13

14 log(n) log(n d ) Egenledning Fullständig störledning Störledning 1/T Figur 8 Massverkans lag och laddningsneutralitet Vid n-dopning finns det fler elektroner i ledningsbandet än hål i valensbandet vid temperaturer där inte egenledningen dominerar. Men elektroner som exciteras från dopnivån till ledningsbandet kan deexciteras till valensbandet vilket kallas att rekombinera med hål. Det innebär att antalet hål i valensbandet är lägre vid en viss temperatur i en dopad kristall jämfört med ett odopat prov där egenledning dominerar vid den temperaturen. Men totala antalet laddningsbärare är större än vid egenledning eftersom antalet ledningselektroner blir fler vid dopningen. Summan n+p ökar (n ökar mer än vad p minskar) med dopning men produkten np är konstant vid en viss tempratur oberoende av dopning, detta kallas massverkans lag: n i (T)p i (T) = n(t)p(t) = kons tant En annan nyttig ekvation ges av laddningsneutralitet i kristallen: e(n - p - N d + + N ā ) = 0 N d + är antalet joniserade donatorer och N ā är antalet joniserade acceptorer. 14

15 p-dopning Om kisel och germanium dopas med ett grundämne som har en valenselektron mindre så kommer de dopatomerna att bara binda till tre av de omgivande atomerna som i figur 9. Dessa dopatomer kallas acceptorer eftersom de gärna fyller sin vakanta bindning med en elektron från en värdatom. Värdmaterialet får då en vakant binding vilket motsvarar ett hål i valensbandet. Med acceptorer skapas alltså ett hålledande material. Exempel på acceptorer är aluminium, gallium och indium i grupp III i periodiska systemet. Även atomer med två elektroner mer eller mindre kan användas vid dopning. p-dopad HALVLEDARE T=0K ledningsband hål dopnivå E a valensband Acceptorn har en elektron mindre än värdatomerna Figur 9 Figuren ovan visar ett energidiagram med energi-nivå för acceptorernas hål. Hålen i dopnivån kommer att fyllas vid mycket lägre temperaturer än ledningsbandet. Figur 10 visar de tre temperaturintervallen för störledning, fullständig störledning och egenledning. Ett likadant diagram för laddningsbärarantalets temperaturberoende som i figur 8 kan ritas för p-dopning, man byter bara beteckningen N d mot N a vid fullständig störledning. 15

16 16

17 k B T<<E a ledningsband ledningsband E a <k B T<<E g hål hål dopnivå E a dopnivå E a valensband störledning jonisering av donatorerna valensband fullständigstörledning fullständig jonisering av donatorerna k B T<E g ledningsband hål dopnivå E a valensband egenledning (intrinsisk) 17

18 Figur 10 Avslutande frågor Vad är ett hål? Beskriv konduktivitetens temperaturberoende hos en intrinsisk halvledare. Beskriv konduktivitetens temperaturberoende hos en extrinsisk halvledare (dopad halvledare). Vad är mobilitet? Relaxationstiden, t har ett annat T-beroende i halvledare än i metaller, beskriv det i halvledare. Vad säger massverkans lag? Vad är donatorer, acceptorer, störledning och fullständig störledning? 18