Cirkulära data och dess statistiska tillämpningar
|
|
- Gerd Martinsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 U.U.D.M. Project Report 2017:5 Cirkulära data och dess statistiska tillämpigar Erik Persso Examesarbete i matematik, 15 hp Hadledare: Jesper Rydé Examiator: Jörge Östesso April 2017 Departmet of Mathematics Uppsala Uiversity
2
3 Sammafattig I dea uppsats ges e itroduktio till cirkulära data och dess statistiska tillämpigar. De mest grudläggade verktyge ödvädiga för tolkig av cirkulära data redovisas, såsom beräkig av medelvärde och spridig. Äve metoder för att utföra tester preseteras. Avslutigsvis exemplifieras dessa statistiska redskap geom ett eget exempel med data frå Trasportstyrelse.
4 Iehållsförteckig 1. Iledig Ett stickprovs medelvikel a och spridig Kofidesitervall för medelvikel Spridig Mediavikel Testa för symmetri rut mediavikel Axiell data Medelvärdet av medelviklar för axiella data Testa för cirkulär likformighet Rayleighs test V-testet, ett modifierat Rayleigh test Ett-stickprovstest för medelvikel Hodges-Aje testet för likformighet Batschelettestet, ett modifierat Hodges-Aje test Goodess of fit test för cirkulära data Chi två test Watsos U 2 test för ett stickprov Problemlösig Exempel: Svårt skadade i trafikolyckor åre Refereser... 15
5 1. Iledig Vi aväder oss utav cirkulära data daglige uta att äga ågo större take åt sake. Exempelvis stöter vi på det i och med att vi avläser aktuell tid på ett ur, läser av e kompass för att udvika att gå vilse eller för de oritologiitresserade som vill udersöka flyttfåglars migratiosmöster. Det dyker äve upp i flera veteskapliga fält såsom biologi, geografi, geofysik, medici, meteorologi och oceaografi. 1 Hur vi ä aväder oss utav cirkulära data har de ågra gemesamma egeskaper som defiierar dem. Cirkulära data sakar tydlig ollpukt och höga och låga värde är godtyckliga, i exemplet med kompass fis det iget som fysiskt berättigar att orr ska bli tilldelad grad 0 (eller 360) och iget som tyder på att e riktig av 180 är större ä e på 90. Äve tide på dyget är uta ollpukt och har därför tilldelats e ollpukt vid midatt. E timme motsvarar 15 på e cirkel och följaktlige motsvaras e grad av fyra miuter. All cirkulära data ka översättas till grader vilket ofta är ödvädigt då det represeteras grafiskt med fördel utav just e cirkel och med atige pukter eller staplar. Ytterligare e egeskap som följd av godtycklig ollpukt är att, som i exemplet med årets måader, jauari (första måade på året) ligger lika ära februari (r två) som december (r tolv). Huvudkälla i detta arbete har varit Zar (2010), då framför allt kapitel 26 och 27 om cirkulära data. I slutet av arbetet redovisas ett exempel som baseras på data frå Trasportstyrelse. 2. Ett stickprovs medelvikel a och spridig När ma behadlar cirkulära data fis det ett atal viktiga verktyg ma behöver ha till sitt förfogade. Att kua beräka medelvikel på ett stickprov är ödvädigt för att kua tolka materialet. Eftersom de cirkulära skala har e godtycklig ollpukt är vissa grudläggade metoder ej applicerbara. Ta, till exempel, tre riktigar på e kompass: 5, 15 och 355. Då hade medelvikel, beräkad som aritmetiskt medelvärde, blivit ( )/3 = 125. Detta ger mycket dålig förklarig för datamaterialet ty de tre viklara pekar orr på e kompass meda medelvärdet har e sydöstlig riktig. Det ma istället bör aväda sig av är ett mått som tar häsy till de cirkulära skalas egeskaper och ger e bättre förklarig av stickprovet. Säg att ma har ett stickprov med stycke viklar, a1, a2, a3,...,a. För att beräka medelvikel a behöver ma först beräka medelvikels rektagulära koordiater, X och Y, eligt följade: X = i=1 cos a i, Y = i=1 si a i ( 1 ), ( 2 ) 1 Fisher, s 1. 1
6 Ofta är cirkulära data grupperade, för att ta häsy till detta gör ma e altererig till ekvatio (1) och (2) geom att helt ekelt multiplicera med frekvese (fi) av varje vikel: X = i=1 f i cos a i, Y = i=1 f i si a i ( 3 ), ( 4 ) Med dessa två kompoeter (X och Y) ka ma seda beräka r, lägde av medelvektor, som beskriver hur väl medelvikel tillika medelvektor beskriver datamaterialet (r är alltså ett mått på stickprovets kocetratio): r = X 2 + Y 2 ( 5 ) Ytterligare e aspekt att begruda är ma behadlar grupperade data är att det därefter beräkade r-värdet blir e aig skevt. För att korrigera detta bör ma, om fördelige är uimodal, multiplicera sitt r med e korrektioskoefficiet c: r c = cr ( 6 ) där rc är det korrigerade r-värdet och c fås eligt: c = dπ 360 si( d 2 ) ( 7 ) där d är itervallägde av datamaterialets grupper, till exempel 30 för måadsvis data. Om d <30 blir korrigerige oväsetlig. Därefter ka ma få fram medelvikel a med hjälp av: cos a = X r, si a = Y r ( 8 ), ( 9 ) 2
7 Det fis edast e vikel som har ovaståede värde på cosius och sius. De erhåller ma eklast med hjälp utav arccos och arcsi. Ytterligare e trigoometrisk likhet mella medelvikel och dess rektagulära koordiater är: ta a = si a cos a = X Y ( 10 ) Om r = 0 fis ej ågo medelriktig ty medelvikel är odefiierad. 2.1 Kofidesitervall för medelvikel Kofidesgräsera och kofidesitervallet för medelvikel ka uttryckas eligt följade: a ± d ( 11) eller [a d, a + d] ( 12 ) där d beräkas eligt följade för 8 och r 0,9: d = cos 1 2(2R2 χ 2 α,1) 4 χ 2 α,1 R ( 13 ) ( ) och för 8 och r 0,9: d = cos 1 ( 2 ( 2 R 2 )e χ 2 α,1 / R ) ( 14 ) 3
8 där R = r ( 15 ) 2 och kallas Rayleighs R, återkommer till detta seare. I ekvatio (13) och (14) iebär χ α,1 chitvåfördelig med e frihetsgrad och kofidesgrad α. 2.2 Spridig Ett medelvärde (eller medelvikel i vårt fall) säger ite mycket om ett stickprov uta ett mått på spridige. Dels ka ma defiiera stickprovets spa som vikel på de mista cirkelbåge som iehåller all data. Till exempel om vi har ett stickprov iehållades följade riktigar 23, 41 och 355 är spaet mista avstådet mella de yttersta riktigara. I vårt exempel blir det alltså avstådet mella 355 och 41 som är 46. Ett aat sätt att mäta spridig på cirkulära data är geom att beräka värdet på de ova ämda variabel r. Värdet på r ka variera mella 0, där spridige på stickprovet är så pass stor att ågo medelvikel ej existerar, och 1. Har r värdet 1 är alla observatioer kocetrerade i e pukt. E amärkig vid fallet r = 0 är att de ej medför att det är e likformig distributio uta det ka vara så att hälfte av observatioera är kocetrerade vid 180 och adra hälfte vid 0 varvid ma erhåller ett värde på r ära 0. Som ämt ova så beäms variabel r iblad som lägde av medelvektor då de beskriver hur väl medelvektor beskriver stickprovet geom att ata e ehetslös lägd mella 0 och 1. Ma ka tolka äde av medelvektor, alltså lägde av r, i medelvikels riktig som mittpukte för stickprovets tygd. Om alla observatioer har samma vikt och placeras i utkate av e disk, eligt respektives agiva vikel, kommer diske kua balasera på positioe av äde av medelvektor. Eftersom r är ett mått av kocetratio får ma helt aalogt ett mått av spridig geom följade ekvatio, som är e defiitio av cirkulär varias: S 2 = 1 r ( 16 ) där ett värde på S 2 ära 1 tyder på stor spridig och brist utav spridig beskrivs av ett värde rut 0. Ett aat mått på spridig är vikelvarias och defiieras eligt följade: s 2 = 2(1 r) ( 17 ) 4
9 Detta ases av vissa vara e bättre beskrivig av spridig och bättre motsvara valig lijär varias. De seare ekvatioe ka ata värde mella 0 och 2. E amärkig är att, på likade vis som kocetratio, ett värde av S 2 = 1 eller s 2 = 2 leder ödvädigtvis ite till att ma ka dra slutsatse att stickprovet är likformigt fördelat trots att det är fullkomligt utspritt på de cirkulära skala. Ytterligare ett mått av spridig ka beräkas, dea gåg med hjälp av aturlig logaritm: s 0 2 = 2 l r ( 18 ) Detta mått ka ata värde frå 0 till. Att det sakar e övre gräs skiljer det frå de två adra spridigsmåtte. Eftersom det är lättare att tolka ett spridigsmått på ett begräsat itervall (till exempel frå 0 till 2) kommer s 2 i fortsättige att avädes vid tillfälle där ett stickprovs spridig skall beräkas. 3. Mediavikel För att bestämma mediavikel på ett stickprov behöver ma först hitta diameter som delar upp observatioera i två lika stora grupper. Mediavikel är de radie på diameter som är ärmast majoritete av observatioera. Om atalet observatioer är udda kommer mediavikel oftast vara beläge vid e av datapuktera eller mittemot (180 ) e. Däremot om atalet observatioer är jämt kommer mediavikel vara placerad halvvägs mella två datapukter, helt aalogt med lijära data. Det är möjligt, dock ovaligt, att det ka förekomma fler ä e mediavikel. Då bör ma, eligt kovetio, beräka ett medelvärde av de befitliga mediaviklara. 3.1 Testa för symmetri rut mediavikel Symmetri krig mediavikel ka testas geom att aväda Wilcoxos teckeragtest. För varje observerad vikel, ai, beräkar vi differese till mediavikel. Vi beämer differese di = ai media. Då ka vi förslagsvis ställa upp H0: stickprovets fördelig är symmetrisk rut mediavikel mot H1: ej symmetrisk. Därefter fortsätter ma som ett valigt Wilcoxo teckeragtest med att ta fram dessa differeser (di) och ragorda absolutbeloppet av dem ( d i ). Addera seda ihop absolutbeloppe av de positiva respektive de egativa differesera till två statistiska variabler, T+ och T-. Slutlige jämför ma T+ och T- med kritiskt tabellvärde av T (som e fuktio av α och ) för att se om ma ka förkasta ollhypotese. 4. Axiell data Iblad stöter ma på cirkulära data som är bimodal ( tvåvägsdata ), alltså data som är uppdelad i två grupper, ofta motsatta riktigar. Ett exempel på detta hittar vi iom biologi, 5
10 ärmare bestämt i limologi och ett experimet med vadrade fisk. Om ma släpper fri fisk i e flod i sydöstlig ordvästlig riktig ka det vara utav itresse att udersöka ifall fiske vadrar till grudare vatte, i ea riktige, eller djupare vatte, adra riktige. Då får ma apassa beräkig av medelvikel ty om ma skulle aväda tidigare ämda formel får ma e skev bild av stickprovsfördelige. Det ma istället gör är att dubbla alla observatioers viklar (så att ai, där i= 1,2,...,, blir 2ai) och beräkar de modulo 360. Om ma dubblar e vikel ai >180 resulterar det i att ma subtraherar 360 frå de dubblade vikel. Exempelvis vikel 190 blir, efter dubblerig och modulo 360, 20. Därefter beräkar ma medelvikel eligt kovetio förutom det att ma avslutigsvis dividerar vikel med två. Detta eftersom ma egetlige får fram 2a. Medelvikel ma u fått fram beskriver ej stickprovet väl me e lije frå de beräkade a till a kommer geerera e cirkeldiameter som löper mella de två datagruppera och är de eftersökta axel av de bimodala data. 4.1 Medelvärdet av medelviklar för axiella data Om ma beräkar e medelvikel för varje grupp av data i e bi- eller multimodal distributio ka det vara utav itresse att ta fram ett medelvärde för dea uppsättig medelviklar, e så kallad huvudmedelvikel. Dock ka ma ite betrakta varje grupps medelvikel som e observatiosvikel och seda fortsätta att beräka e huvudmedelvikel med de valiga metode. Då skulle ma ata att varje medelvikel har ett r-värde på 1,0 vilket är högst osaolikt. Det ma bör göra är att ta fram huvudmedelvikels rektagulära koordiater eligt följade: X = k j=1 X j k, Y = k j=1 Y j k ( 19 ), ( 20) Med k stycke grupper av data och Xj respektive Yj erhålles som tidigare. När ma fått fram X och Y ka ma beräka huvudmedelvikel med de valiga formel. Om ma skulle saka värde på X och Y för varje grupp me istället har a och r så ka ma aväda: X = k j=1 r j cos a j k k, Y = j=1 r j si a j k ( 21 ), ( 22 ) När ma ska beräka huvudmedelvikel med dea metod är det rekommederat att alla grupper har lika måga observatioer, 1 = 2 =... = j, fastä olika storlekar på grupperas stickprov ej påverkar resultatet allvarligt. Dea metod att dubblera (eller tripplera etc.) vikel är lämplig att aväda geerellt vid statistiska tester och aa statistik ivolverade bi- eller multimodala data. 6
11 5. Testa för cirkulär likformighet 5.1 Rayleighs test Ju högre r-värde ma får desto bättre beskriver medelvikel stickprovet, ekvivalet gäller för s-värde (spridig) fast där ger lägre värde bättre beskrivade a. Ett lämpligt test att geomföra för att avgöra om es stickprov är likformigt fördelat, alltså sakar medelvikel, är Rayleightestet. Då ställer vi upp hypotesera H0: Populatioe är likformigt fördelad rut e cirkel mot H1: Populatioe är ej likformigt fördelad. Testet cetreras rut hur stort r-värdet måste vara för att säkerställa e icke likformig distributio. Detta utförs med hjälp av det så kallade Rayleighs R, som ämts tidigare får ma det av produkte av atal observatioer och r-värdet (R = r). Rayleighs R ka seda yttjas för att räka ut Rayleighs z: z = R2 = r2 ( 23 ) Därefter jämför ma resultatet med kritiskt värde av zα., där α är kofidesgrad och atal observatioer, frå tabell för att avgöra om det är sigifikat. För att få fram ett p-värde på Rayleighs R ka ma aväda: P = e ( 1+4+4(2 R 2 ) (1+2)) ( 24 ) När ma utför Rayleightestet atar ma att de uderliggade fördelige är vo Mises, äve kallat cirkulär ormalfördelig och som det låter är det aalogt med lijär ormalfördelig. Om testet resulterar i att vi förkastar H0 iebär det att det fis e medelvikel och om vi ite förkastar H0 ka vi dra slutsatse att stickprovet har likformig fördelig rut cirkel. Det sistämda gäller dock edast om vi ka ata att stickprovet bara har e grupp med data (alltså uimodal). 5.2 V-testet, ett modifierat Rayleigh test Ett modifierat Rayleightest, äve kallat v-test, är helt ekelt ett valigt Rayleigh test med eda skillade att ma har e specifik medelvikel som mothypotes. Lämpligt tillfälle att aväda sig av v-testet är, äu ett exempel frå biologi, om ma ska udersöka vart hougsbi skulle flyga om de blev frisläppta orr om si bikupa. Det aturliga atagadet är då att bia ställer i siktet på deras hem och flyger rakt söder ut (180 ). Då skulle ma ställa upp följade hypoteser, H0: Populatioes riktig är likformigt fördelat rut cirkel, mot H1: Populatioes riktig är ej likformigt fördelat och medelvikel är 180. Eftersom vi gissar 7
12 e medelvikel, och därmed adderar mer iformatio, är v-testet ågot kraftfullare ä Rayleighs test. När ma seda skall räka på det aväder ma: V = R cos(a a 0) ( 25 ) där a 0 är de förslaga medelvikel. Sigifikase för variabel v erhålls frå: u = V 2 ( 26) Detta jämförs med kritiskt tabellvärde på uα,. 5.3 Ett-stickprovstest för medelvikel Om ma är ute efter att testa ifall ett stickprovs medelvikel (a ) är lika med ett givet värde bör ma göra ett test som är aalogt med ett oe-sample t test. Då ställer ma upp H0: a = a 0 mot H1: a a 0. Seda udersöker ma ifall a 0 ligger iom ett kofidesitervall för a. Ligger det utaför förkastar ma H Hodges-Aje testet för likformighet Som ett alterativ till Rayleightestet fis det så kallade Hodges-Ajetestet, vilket ej atar ågo specifik fördelig för stickprovet. Det fugerar bra för såväl uimodala som bimodala samt multimodala fördeligar. Om de uderliggade fördelige är vo Mises (cirkulär ormalfördelig), som är förutsättige för att göra Rayleightestet, är också Rayleightestet det starkare av de två. Givet ett stickprov med cirkulära data dras e lije geom cetrum (e diameter) så att differese mella atal observatioer på båda sidora av diameter blir så stor som möjligt. På ea sida har vi så måga observatioer som möjligt meda på adra sida har vi så få som möjligt. Just det atalet, det lägsta, blir viktigt seda är vi skall göra beräkigar så vi kallar det atalet m. P-värdet för ett m mist så litet som det observerade, uder ollhypotese att stickprovet är cirkulärt likformigt, är: P = ( 2m)( m ) 2 1 = ( 2m)! m!( m)! 2 1 ( 27 ) 8
13 För > 50 ka ma göra följade approximatio: P 2π A e π2 8A 2 ( 28 ) där A = π 2( 2m) ( 29 ) Ma ka äve direkt jämföra es observerade m med ett tabellvärde som ger kritiska värde på m som fuktio av α och. Detta gäller för Batschelettestet, ett modifierat Hodges-Aje test På samma sätt som det fis ett modifierat Rayleighs test fis där äve ett modifierat Hodges-Aje test. Det så kallade Batschelet testet fugerar på likade sätt som v-testet, att ma ställer upp e ollhypotes med föreslage medelvikel. Därefter räkar vi atalet observatioer som ligger iom ± 90 frå de föreslaga medelvikel, vi beämer dea variabel m : C = m ( 30 ) Där värdet på det observerade C är det vi seda jämför med kritiskt tabellvärde, där C är e fuktio av α och. 6. Goodess of fit test för cirkulära data 6.1 Chi två test Chi två aväds för att se hur väl e teoretisk cirkulär fördelig stämmer överes med e observerad. Tillvägagågssättet är, som för ett valigt chi två test, att bestämma förvätad frekves för varje observerad. Detta görs geom att dela i det observerade materialet i grupper, till exempel 0-30, 30-60, etc., därefter beräka förvätad frekves för varje grupp. Eligt kovetio bör observatioera grupperas så att ige förvätad frekves uderstiger fyra. Grupperas itervall behöver ite vara lika me om de är det (exempelvis 30 som ova) råds följade kriterium vara uppått, /k 2, där är atal observatioer och k är atal grupper. För att slutföra sitt chi två test ska ma beräka testvariabel χ 2 eligt följade: 9
14 χ 2 = k (f i f i) 2 i=1 ( 31 ) k Där fi är observerad frekves och f i är förvätad frekves. Slutlige jämför ma sitt beräkade χ 2 2 med kritiskt värde χ α,k 1 frå tabell, där α är kofidesgrad och k är atal grupper. Om ma skulle aväda sig utav icke-grupperade data bör ma, istället för chi två, aväds atige Kuipertestet eller Watsos U 2 -test för ett stickprov. 6.2 Watsos U 2 test för ett stickprov Då Watsotestet och Kuipertestet är av likvärdig styrka kommer edast det förstämda testet att redovisas. Det första ma gör är att omvadla sia observerade viklar (ai) geom att dividera respektive vikel med 360. u i = a i 360 ( 32 ) Seda beräkar ma testvariabel Watsos U 2 : U 2 = 2 i=1 u i ( i=1 u i ) 2 2 iu i=1 i + ( + 1)u + 12 ( 33 ) Tills sist jämför ma sitt U 2 med kritiskt värde U α, 2 frå tabell, där α är kofidesgrad och är atal observatioer. 10
15 7. Problemlösig Neda kommer ågra av metodera att demostreras geom ett exempel. När e ekvatio frå arbetet aväds kommer det att fias e hävisig till höger om uträkige. Detta exempel är baserat på data frå Trasportstyrelse. 7.1 Exempel: Svårt skadade i trafikolyckor åre Måad ai fi si ai fi si ai cos ai fi cos ai Ja Feb ,5 717,5 0, ,7 Mar , , ,5 Apr Maj , ,1-0, ,5 Ju , , ,3 Jul Aug , , ,7 Sep , ,2-0, Okt Nov , ,1 0,5 906,5 Dec ,5-903,5 0, ,9 Beräkig av medelvikel: = Eftersom det är grupperade data måste vi multiplicera med frekvese fi är vi beräkar de rektagulära koordiatera: f i si a i = 378,889 f i cos a i = 3 157,86 Y = f i si a i X = f i cos a i = 0, ( 4 ) = 0, ( 3 ) r = X 2 + Y 2 0, 1331 ( 5 ) 11
16 Beräkar äve det korrigerade r-värdet ty grupperade data: r c = cr = 30 π 360 0, 1345 si( 30 ( 6 ) ) 2 Det korrigerade r-värdet skiljer sig ej mycket frå det ursprugliga ty itervalle på 30 är ej stort og för att påverka avsevärt. si a = Y r = 0, ,1331 = 0, ( 9 ) cos a = X r = 0, ,1331 = 0, ( 8 ) Detta ger oss följade medelvikel: a 173 Vi beräkar äve spridige: s 2 = 2(1 r) = 1, ( 17 ) 12
17 Figur 1: Schematisk bild över skador i trafike år De röda lije idikerar medelvikel. Bilde är gjord i R med paketet plotrix. Rayleighs test: H0: Svårt skadade i trafike är likformigt fördelat rut cirkel (året). H1: H0. z = r 2 = , = 423, 23 ( 23 ) Jämför seda med tabellvärdet z 0,05, = 2,9957, vi ka förkasta H0 på ivå 5 %. Eftersom vi har ett väldigt stort får vi ett oerhört litet p-värde, P < 0,0001 Chi två test: H0: Svårt skadade i trafike är likformigt fördelat rut cirkel (året). 13
18 H1: H0. k = 12 Ta fram förvätade värde: f i = k = χ 2 = k (f i f i) 2 i=1 f i = ( ) ( ) , 7 ( 31 ) 2 χ 0,05,11 = 19,675 Förkasta H0 på ivå 5 %. Svårt skadade i trafike är ej likformigt fördelat rut året. 14
19 8. Refereser Böcker Jerold H. Zar. Biostatistical Aalysis. 5 uppl. Pearso Educatio, Ic N. I. Fisher. Statistical aalysis of circular data. Cambridge Uiversity Press Webbsidor Dödade och svårt skadade efter lä, måad och år. (seast uppdaterad ) Trasportstyrelse. (Hämtad ) 15
Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,
Läs mera) Beräkna E (W ). (2 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde
Läs mer1. Test av anpassning.
χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma
Läs merAntalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).
Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse
Läs merS0005M V18, Föreläsning 10
S0005M V18, Föreläsig 10 Mykola Shykula LTU 2018-04-19 Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig 10 2018-04-19 1 / 15 Hypotesprövig ett stickprov, σ okäd. Stadardiserig av stickprovsmedelvärdet då σ är
Läs merF19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden
Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde
Läs mer(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.
1 0,5 0 LÖSNINGAR till tetame: Statistik och saolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:30-12:30 de 6 april 2016 Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare, formelblad Betygsgräser: 3: 12 poäg, 4: 18 poäg, 5: 24 poäg.
Läs merθx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl
Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merIntervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej
Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merZ-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z
Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar
TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:
Läs merF10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,
Läs merb) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF922, SF923 och SF924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 208 KL 0800 300 Examiator för SF922/SF923: Tatjaa Pavleko, 08-790 84 66 Examiator för SF924:
Läs merF3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.
F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,
Läs merStatistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten
Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 11 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs merFör att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ
1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av
Läs merTillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik
Pla rörelse Kiematik vid rotatio av stela kroppar Iledade kiematik för stela kroppar. För de två lijera, 1 och, i figure bredvid gäller att deras vikelpositioer, θ 1 och θ, kopplas ihop av ekvatioe Θ =
Läs merVid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då
Stat. teori gk, ht 006, JW F7 ENKEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT.5-.7) Statistisk iferes rörade β Vi vet reda att b är e vätevärdesriktig skattig av modellparameter β. Vi vet också att skattige b har
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs merHöftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund - Exempel på tavlan
Höftledsdysplasi hos dask-svesk gårdshud - Exempel på tavla Sjö A Sjö B Förekomst av parasitdrabbad örig i olika sjöar Exempel på tavla Sjö C Jämföra medelvärde hos kopplade stickprov Tio elitlöpare spriger
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merMinsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera
Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig
Läs mer================================================
rmi Halilovic: ETR ÖVNINGR TVÅ STICKPROV Vi betraktar två oberoede ormalfördelade sv och Låt x, x,, x vara ett observerat stickprov, av storleke, på N (, ) och låt y, y,, y vara ett observerat stickprov,
Läs mer2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.
Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs mer1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive
Läs merAnmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merResultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.
Kommetarer till Christer Nybergs bok: Mekaik Statik Kommetarer kapitel 2 Sida 27 Resultatet av kryssprodukte i exempel 2.9 ska vara följade: F1 ( d cos β + h si β ) e z Det vill säga att lika med tecket
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merFöreläsning 2: Punktskattningar
Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,
Läs merInledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan
Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Examiator för SF1917/1919: Jörge Säve-Söderbergh, 08-790 65 85. Examiator
Läs merRäkning med potensserier
Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,
Läs merStudentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.
KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso
Läs merKOM IHÅG ATT NOTERA DITT TENTAMENSNUMMER NEDAN OCH TA MED DIG TALONGEN INNAN DU LÄMNAR IN TENTAN!!
Göteborgs uiversitet Psykologiska istitutioe Tetame Psykologi kurskod PC106, Kurs 6: Idivide i ett socialt sammahag (15 hp) och PC 145. Tid för tetame: 6/5-01. Hel och halvfart VT 1. Provmomet: Socialpsykologi
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK
UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg
Läs mer4.2.3 Normalfördelningen
4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett
Läs merTentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II Estimerig 2 Kofidesitervall G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 3 februari 205 3 Hypotesprövig 4 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan
Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merJag läser kursen på. Halvfart Helfart
KOD: Tetame Psykologi Kurskod: PC106, Kurs 6: Idivide i ett socialt sammahag (15 hp) och PC145 Datum: 5/5-013 Hel- och halvfart VT 13 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig
Läs merJag läser kursen på. Halvfart Helfart
KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merREGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:
CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal
Läs merFöljande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Besrivade statisti BESKRIVANDE STATISTIK. GRUNDBEGREPP Följade begrepp aväds ofta vid besrivig av ett statistist material: LÄGESMÅTT (medelvärde, media och typvärde): Låt
Läs merEgna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)
- 1 - Vad är si? si är amet på e av måga ibyggda fuktioer i Ada (och de återfis i paketet Ada.Numerics.Elemetary_Fuctios) si är deklarerad att ta emot e parameter (eller ett argumet) av typ Float (mätt
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs merTrigonometriska polynom
Trigoometriska polyom Itroduktio Iga strägistrumet eller blåsistrumet ka producera estaka siustoer, blott lieära kombiatioer av dem, där de med lägsta frekvese kallas för grudtoe, och de övriga för övertoer.
Läs merLÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs merSannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1
Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar
Läs merHambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)
1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp, 018-0-1 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!
Läs merF6 Uppskattning. Statistikens grunder 2 dagtid. Beteckningar, symboler, notation. Grekiskt-romerskt
01-10-19 F6 Uppskattig Statistikes gruder dagtid HT 01 Vi skattar populatiosparametrar (modellparametrar med olika statistikor: E. stickprovs- -medelvärdet X skattar μ -variase S skattar -adele P skattar
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs merViktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.
Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, 08-05-3 Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas i!
Läs merBefolkning per födelseland Reviderad metod vid framskrivningar. Version: 2
Befolkig per födelselad Reviderad metod vid framskrivigar Versio: 2 Tillväxtverket stärker Sverige geom att stärka företages kokurreskraft Vi skapar bättre förutsättigar för företagade och bidrar till
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grudkurs Tetame 07-0- - Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + =
Läs merFourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL
Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y Â m W t, Â W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade
Läs merTentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl
Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsig 7 73G70 Statistik A Hypotesprövig för jämförelse av populatiosadelar Krav: vi har dragit två OSU p( p) > 5 för båda stickprove Steg : Välj sigifikasivå och formulera hypoteser H 0 : π - π = d
Läs merSannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, vt 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlita till NCT Iferece Slutledig, ifere Parameter Parameter Saolikhetlära tatitik ifere Hittill har vi ylat med aolikhetlära. Problem av type:
Läs merLösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =
Lösigar till tetamesskrivig i kompletterigskurs Lijär Algebra, SF605, de 0 jauari 20,kl 4.00-9.00. 3p Visa med hjälp av ett iduktiosbevis att m= mm + = +. Lösig: Formel är uppebarlige sa är = eftersom
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel:
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret
Läs merHandbok i materialstyrning - Del F Prognostisering
Hadbok i materialstyrig - Del F Progostiserig F 71 Absoluta mått på progosfel I lagerstyrigssammahag ka progostiserig allmät defiieras som e bedömig av framtida efterfråga frå kuder. Eftersom det är e
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg
Läs merSAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs
SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg
Läs merÖvning 3 - Kapitel 35
Övig 3 - Kapitel 35 7(1). Brytigsidex får vi frå Eq. 35-3: c = = v. 998 10 8 19. 10 8 ms ms = 156.. 6(4). (a) Frekvese för gult atriumljus är,998 10 589 10 5,09 10 (b) När ljuset färdas geom glas blir
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,
MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.hp, 2018-08- Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 20 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas
Läs merDigital signalbehandling Fönsterfunktioner
Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Om komplexa tal och fuktioer Aalys60 (Grudkurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det täkt du ska göra i aslutig till att du läser huvudtexte. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall
Läs mer