TH-Matematik Lösningsförslag till Tentamenskrivning 5-6-, kl. 8.-3. 5B7, matematik III för E och ME 6p) Del A, 3-poängsuppgifter x. xy y )dy dx x y y3 3 ) * x 3 x3 3, x3 -. dx 5 5 x4 6 4 y x y 5 4 dx. Man har att punkterna i kroppen satisfierar x z y och därmed också. x y.olymen blir y ) x )dxdy x r cosv y r sin v,dxdy rdrdv * dv r )rdr * ) x y 3. Om vi låter P x x y och Q så får vi att x y Q x x P x och y y x x. Alltså är differentialen y ) ) Pdx Qdy exakt i hela R utom i origo, ty där är derivatorna singulära. En ekvivalent utsaga är att fältet P,Q) är konservativt i hela R utom i origo.eftersom den givna kurvan inte omsluter origo kan vi utnyttja att det enligt satsen.3) om konservativa fält existerar en potential Ux,y) till fältet P,Q) så att P U x och Q U. i har alltså att y U x P x x y ) U y Q x y ) Integration av ) med avseende på x ger x U x y dx ln x y) x y) 3) där Ψ är någon kontinuerlig och deriverbar funktion av y.
Derivation av 3) med avseende på y samt jämförelse med ) ger U y x y y) ) x y y C Potentialen tillp,q) är alltså U lnx y) x y C och den sökta integralen kan nu beräknas enligt x x y dx x y dy U,) ) U),) ln ) ln 4. Observera att ej är en sluten yta och att vi endast kan tillämpa Gauss sats för lutna ytor. Först slutar vi ytan med { x, y,z) : x y ),z }. Då omsluter och volymen x, y, z) : x y ) z,z { } är ett halvklot. Nu använder vi Gauss sats F ˆnd div F) d s s Eftersom den utriktade normale på är e z har vi att F ˆnd F e z d divfd Det följer att F e z z och då z på är den första integralen i högra ledet noll. å F ˆnd divfd d olymen av var: flödet är / 3. 5. För att få ut arbetet behöver vi beräkna integralen F dr. i börjar med att bestämma skärningskurvan. x y z a är en sfär med radien R och centrum i origo, medan x z är ett plan med enhetsnormalvektorn ˆn,,). kärning mellan de båda ytorna blir en cirkel med radien a. Den motsvarande cirkelskivan har också enhetsnormalvektorn ˆn,, ). Med det val som vi har gjort av ˆn,, ), så gäller tokes sats om partikeln rör sig längs cirkeln. F dr rot F ) ˆnd
Men rot F) ˆn F) ˆn y a x z) sin y x a x a z z) cos F a ) F dr rot F) ˆnd F a ) d tokes sats ger F a ) a )a F var: )a F 6.. h u r u v,u,) u v kalfaktorerna: h v r v u,v,) u v h w r w,,) div F) Med F u u u v,f v v u v ) 4 u v 4 u v u u u v ger se formelbladet) )) v v u v ) ) 6u v ) u 6v ) ) 7. En variant av Gauss sats säger att Uˆn d gradudxdydz se sats.5 sid 364). Detta ger x 3y 4z) ˆn d, 3, 4)dxdydz, 3, 4 ) Obs vi kan definiera skalär produkten endast mellan två vektorer. var x 3y 4z) ˆnd,3,4)
Del B, 4-poängsuppgifter 8. Ytan z x är en parabolisk ränna och ytan z 4 x y är nedåt paraboloid med vertex i,, 4 ). På skärningen mellan ytorna är 4 x y x 4 x y x y 4 Här ser vi att projektion på xy-planet av kroppen är ellipsskivan E : x y 4. roppens massa är 4 x y m x, y, z)dxdydz x dxdydz x dz) dxdy x 4 x y x E E ) x x 4 x y ) [ E : halva ellipsskivan x * ] -, x cosv,dxdy rdrdv / E.- y sin v / r cosv 4 4r ) rdrdv 8 sinv / / [ ] / var: roppens massa är 8 5 me. 9. Här a n n 3 n Finn konvergensradie via tex kvotkriteriet R lim n a n a n lim n n 3 3 n n ) n 3 5 4 4 r 3 3 4 r 5 5 6 8 7 3 lim n n ) 3 n erien konvergerar absolut då x 5 / < 3 / 4 < x < 8 5 Undersök ändpunkterna ) n Fall x 4 * 3 4 5 / ) n ) ) n *. Denna serien är n n n n absolut konvergent. Ty ) n som jämförs med dx lim [ n n n n x arctan x] n n Allt enligt Cauchys integral kriteriet sats 9.5 MAI ) ) n Fall x * 3 5 / ) n ) *. n n n n Denna serien är konvergent. Ty som jämförs med dx lim [ n n x arctan x] n Allt enligt Cauchys n integral kriteriet sats 9.5 MAI)
svar: onvergensmängden { x R : 4 x }. Om vi låter P y ycos xy och Q y x cos xy så får vi att Q cos xy xysin xy x och P y cos xy ysin xy, y dvs Q x P y. Alltså är fältet P,Q) inte konvervativt. Om vi däremot betraktar fäletet P,Q) ycos xy, y x cos xy) så får vi att P Q cos xy xysin xy y dx. Alltså är fältet P,Q) ycos xy, y x cos xy) konservativt. Linjeintegralen av ett konservativt fällt är oberoende av vägen. i kan alltså integrera fältet P,Q) från,) till,) via y-axeln från till till origo och sedan till,) via x-axeln. i får ycos xy)dx y x cos xy)dy ycos xy)dx y x cos xy)dy y x ycos xy)dx y x cos xy)dy ydy x y idare har vi följande relation mellan fälten P,Q) och P,Q): P,Q) P,Q) y,) och den sökta integralen kan beräknas enligt y y cos xy )dx y x cos xy )dy P,Q) dx,dy ) { P,Q) y,)} dx,dy ) P,Q) dx,dy ) / enl. ovan y,) dx,dy ) y dx y x x )dx x x 3 * 3 ) AR: 6. 3 6. F har en skalär potential om rot F). i får y,) dx, dy )
rot F) e e e z z z sin ) a cos ) z) 3a cos cos )e z å måste ha att a / 3 för att rotationen skall bli. Potentialen ges av F e e z e z ekvationen z sin )e 3 cose z)e z z sin ) om blir 3 cos ) z z 3) Ekvation ) ger z 3 3 sin f,z) Ekvation ) ger då 3 cos f 3 cos som ger att f, z) gz). Alltså z 3 3 sin gz). För att bestämma gz) använder vi 3): z g z) z gz) z / C var: a / 3; potentialen till F är,,z) z 3 3 sin z. i beräknar F x, y, z kx ) x x y z r xe x ye y ze z,r x y z i skriver F F F kr r r 3. Utanför origo är divf div r r 3 ) 3r 3r C. ),ky ) y 3/ x y z ),kz ) z 3/ x y z ) 3/ kr r r 3. r 5.
Låt : x y z a < R så att sfären ligger innanför. Om har utåtriktad normal så är rand till området mellan och och Gausssats ger att x, y,z) F ˆnd F ˆnd a 3 x, y,z) a d a a 4 d a d a 4)a 4) i får då F ˆn d kr ) ˆn d 4. idare är kr) ˆn d [ Gaus sats] div kr)d [ ] k 3 d k 3 R L. divr) 3 i får F ˆn d kr ) ˆn d 4 6kLR 4. För att detta flöde skall vara noll krävs6klr 4 k 3LR var: k 3LR